Colégio Objetivo 9

MATEMÁTICATexto 1 – questões 1 e 2A figura abaixo ilustra a variação percentual entre os preços em dólares de um mesmo tipo de sanduíche em 30 países, considerando o preço-base de 2,43 dólares.

QUESTÃO 1

Com base nas informações do texto I, julgue os itens abaixo.(1) Os dados apresentados permitem concluir que a quantidade do

sanduíche consumida no Japão é igual à quantidade desse sanduíche consumido na Espanha.

(2) O preço do sanduíche na Suíça é inferior a 3,85 dólares.(3) Com o montante que se paga por um sanduíche no Japão, é

possível comprar dois na China.(4) No Brasil, para que o sanduíche passasse a custar o mesmo que

no Japão, ele deveria ter o seu preço aumentado em exatamente 30%.

Item Certo: (3)Itens Errados: (1), (2) e (4)Resolução:(1) Os dados apresentados permitem concluir que o preço do

sanduíche consumido no Japão é igual ao preço desse sanduíche consumido na Espanha, o que não significa que a quantidade de sanduíches consumidos é a mesma.

(2) O preço do sanduíche na Suíça é mais de 60% superior ao preço-base de 2,43 dólares, como 2,43 . 1,6 = 3,89 > 3,85 dólares, o item é falso.

(4) O preço do sanduíche no Brasil é 2,43 . 0,7 = 1,70 dólares. Aumentando esse preço em 30% temos 1,70 . 1,3 = 2,21 dólares.

QUESTÃO 2

A partir das informações do texto I, julgue os itens seguintes.(1) Se, em vez de comparar os preços do sanduíche em dólares, essa

comparação fosse feita em reais em todos os 30 países, o gráfico correspondente à variação em porcentagem desses novos preços não se modificaria.

(2) Se o preço do sanduíche, em cada um dos 30 países mencionados, assim como o preço-base nos Estados Unidos da América (EUA), fosse reduzido em 10% do seu valor em dólares, então o gráfico correspondente à variação em porcentagem dos novos preços seria o mesmo apresentado no texto I.

(3) Se o preço do sanduíche em cada um dos 30 países menciona-dos, assim como o preço-base nos EUA, sofresse um aumento de 50 centavos de dólar, então o gráfico correspondente à variação em porcentagem dos novos preços seria o mesmo apresentado no texto I.

(4) A situação apresentada no texto só ocorreu devido à globalização da economia, que, vencendo a guerra fria, só não conseguiu manifestar-se nos países socialistas do Leste europeu e da Ásia.

Itens Certos: (1) e (2)Itens Errados: (3) e (4)Resolução:(3) Um aumento nominal de 50 centavos de dólar no preço não

acarreta um aumento percentual igual.(4) As informações do texto I não permitem concluir o que se

afirma no item.

QUESTÃO 3

Utilizando dois instrumentos distintos, A e B, foi feita, com cada um deles, uma série de vinte medições de um mesmo ângulo, e os resultados obtidos estão listados na tabela abaixo, em que freqüência A e freqüência B indicam a quantidade de vezes que o

resultado foi encontrado com os instrumentos A e B, respectivamente.

Resultado das medições

Freq.

67 30'

10''

67 30'

12''

67 30'

13''

67 30'

14''

67 30'

15''

67 30'

16''

67 30'

17''

67 30'

18''

A 1 1 2 4 4 3 2 3

B 1 1 2 3 6 2 2 3

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.(1) A média da série dos resultados das medições feitas com o

instrumento A é menor que 67 30' 14''. (2) As séries dos resultados das medições feitas com os

instrumentos A e B têm o mesmo desvio-padrão. (3) A moda e a média da série dos resultados das medições feitas

com o instrumento B são iguais. (4) A mediana da série dos resultados das medições feitas com o

instrumento B é maior que a da série dos resultados das medições feitas com o instrumento A.

Item Certo: (3)Itens Errados: (1), (2) e (4)Resolução:(1) O item é errado pois a maior parte dos resultados obtidos pelo

instrumento A foi maior do que 6730'14'', logo a média da distribuição será superior a tal valor.

(2) Os desvios são diferentes, pois, a série B tem maior concentração em 6730'15'' e a série A apresenta uma dispersão maior com as freqüências dos valores 6730'14'' e 6730'16'' maiores do que as respectivas freqüências da série B.

(4) 6730'15'' é nessa classe que se encontra a mediana de cada uma das distribuições.

QUESTÃO 4

A massa crua com que é fabricado um certo tipo de pão é composta de 40% de água, 58% de farinha e 2% de sal e fermento. Enquanto é assada, 67% da água contida na massa crua evapora, sendo esta a única substância perdida nesse processo. Nessas condições, calcule, em gramas, a massa crua de pão necessária para obter-se um pão assado de 35 g. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resposta: 47Resolução:67% da água evapora, logo são perdidos 0,67 . 0,40 da massa, ou seja 0,268 desta. Restam, portanto, na massa cozida (M) 0,732 da massa crua (m).logo: M = 0,732 . mpara M = 35 g, temos: 35 = 0,732 m m = 47,81 g

QUESTÃO 5

Em uma região completamente plana, um barco, considerado aqui como um ponto material, envia sinais de socorro que são recebidos por duas estações de rádio, B e C, distantes entre si de 80 km. A semi-reta de origem B e que contém C forma, com a direção Sul-Norte, um ângulo de 45 no sentido Noroeste. Os sinais chegam em linha reta à estação B, formando um ângulo de 45 com a direção Sul-Norte no sentido Nordeste. A partir dessas informações e com o auxilio da rosa-dos-ventos, localize no plano abaixo as posições do barco e das duas estações de rádio.

Sabendo que a estação mais próxima dista 310 km do barco, calcule, em dezenas de quilômetros, a distância do barco à outra estação. Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resposta: 32Resolução:EB = 310BC = 80EC2 = EB2 + BC2

EC =

EC = 320,15 Km

QUESTÃO 6

Suponha que um edifício de 10 andares comporte, por andar, 1 apartamento de 100 m2, 2 apartamentos de 60 m2 e 1 apartamento

z = = R$

de 30 m2. Nesse edifício, a despesa mensal do condomínio é repartida proporcionalmente à área de cada apartamento. Para uma despesa mensal total de R$ 4.750,00, representam-se por x, y e z as frações da mesma correspondentes a cada apartamento de 100 m2, 60 m2 e 30 m2, respectivamente. Nessas condições, calcule, em reais, o valor de z, desconsiderando os centavos de real de seu resultado, caso existam.

Resposta: 57Resolução:

ÁREA DECADA APTO

NÚMERODE APTOS

ÁREA TOTAL(m2)

100 m2 10 100060 m2 20 120030 m2 10 300

10 Colégio Objetivo

R$ 4750,00 2500 m2

z 30 m2

QUESTÃO 7

Sabendo que é possível calcular a área de um triângulo ABC utilizando-se somente o perímetro, p, do triângulo e o raio, r, do seu círculo inscrito de centro 0, julgue os itens abaixo.(1) Se D é o ponto de interseção entre o círculo inscrito e o lado

AB, então o ângulo ODB é reto.(2) A área do triângulo OAB é igual a 2ra, em que a é a medida do

lado AB.

(3) A área do triângulo ABC é igual a r .

Itens Certos: (1) e (3)Item Errado: (2)Resolução:

(2)

a r

Sendo S a área do triângulo OAB, temos:

S =

QUESTÃO 8

Em uma pesquisa realizada com um grupo de 100 turistas, constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e italiano, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e italiano. O número de turistas que falam espanhol é, precisamente, 50% maior que o número daqueles que falam italiano. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

(1) O número de turistas que falam italiano é igual a do número

dos que falam espanhol.(2) Se 9 dos turistas consultados falam as três línguas, espanhol,

inglês e italiano, enquanto 5 deles não falam nenhuma dessas línguas, então, mais da metade dos turistas falam espanhol.

(3) Se 9 dos turistas consultados falam as três línguas, espanhol, inglês e italiano, enquanto 5 deles não falam nenhuma dessas línguas, então, exatamente 24 desses turistas falam apenas inglês.

(4) Se todos os turistas falam pelo menos uma das três línguas, então, escolhendo-se aleatoriamente um dos turistas, a chance de ele falar italiano será maior que 30%.

Itens Certos: (1), (2) e (4)Item Errado: (3)Resolução:(3) Considerando que x turistas falam as três línguas e fazendo a

diagramação segundo o texto temos:

Sendo x = 9, então 21 turistas falam somente a língua inglesa.

QUESTÃO 9

As questões relativas ao rolamento de uma circunferência dentro ou fora de uma outra circunferência são de extrema importância em Mecânica. Exemplos claros desse fato são os rolamentos e as engrenagens. A partir dessa motivação, considere uma circunferência de centro em O e raio a dentro da qual rola, sem deslizar, uma circunferência de centro em C e raio b, b < a, conforme ilustra a figura acima para certos valores de a e b.As expressões

X( ) = (a – b) cos + bcos[(a – b) ]

Y( ) = (a – b) sen – bsen[(a – b) ],

das coordenadas de um ponto P sobre a circunferência menor, descrevem o movimento desse ponto, em que , medido em radianos, é o arco orientado no sentido anti-horário, determinado pelo semi-eixo OX e o segmento OC. A curva descrita pelo ponto P, tracejada na figura, é chamada de hipociclóide.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.(1) Se o raio da circunferência menor for igual à metade do raio da

circunferência maior, então P se deslocará sobre o eixo OX, isto é, a hipociclóide corresponderá a um segmento de reta.

(2) As coordenadas do centro C da circunferência menor são dadas pelos primeiros termos das expressões de X( ) e Y( ), isto é, C = ((a – b) cos , (a – b) sen ).

(3) Se for um número racional, então existe um arco 0

cor- respondente ao qual o ponto P assume a mesma posição que para = 0.

(4) Se , quando varia no intervalo [0, 2], o ponto P toca a

circunferência maior exatamente 5 vezes.

(5) Se , então X( ) = a cos3 e Y( ) = a sen3 .

Itens Certos: (1), (2), (3), (4) e (5)Itens Errados: nenhum

QUESTÃO 10

A figura abaixo ilustra, em determinado instante, a posição de dois segmentos, AB e AD quaisquer, que giram em torno de A com a mesma velocidade angular 0, porém em sentidos opostos, sendo que AD gira em sentido horário. Durante o movimento, os comprimentos dos segmentos AB e AD não variam. A figura tracejada mostra a posição dos segmentos em um instante diferente desse. Quando A, B e D não estão alinhados, um ponto C é determinado de modo que ABCD seja um paralelogramo; caso A, B e D estejam alinhados, o paralelogramo degenera-se em um segmento de reta.

Admitindo que o plano do paralelogramo seja o plano complexo e supondo que o vértice A coincida com a origem desse plano e que o vértice C corresponda ao número complexo x + iy, julgue os itens abaixo.(1) Se, em um dado instante do movimento, ABCD for um losango,

então é correto concluir que os comprimentos dos segmentos AD e AB são iguais e que a trajetória do ponto C é um segmento de reta.

(2) Se, no instante inicial t = 0, o vértice B coincidir com o número complexo z = 1 + i, então, em um instante arbitrário t, a posição desse vértice coincidirá com o número complexo w = cost – sent + i (sent + cost).

(3) Se, em um dado instante, os vértices B e D coincidirem com os

números complexos e 1 – i,

respectivamente, então, nesse mesmo instante, o vértice C

coincidirá com o número complexo + i.

(4) Se, no instante inicial t = 0, os vértices B e D coincidirem com os números complexos z'= b e z = d, respectivamente, em que b e d são números reais e d > b > 0, então, em qualquer instante t, x2 + y2 = (b + d)2.

Itens Certos: (1) e (2)Itens Errados: (3) e (4)Resolução:

(3) B = (cos + i sen ) = ( + i) = + i e

D = 1 – i com C = B + D logo C = + i

Colégio Objetivo 11

(4) b e d são os módulos de AB e AD e é o módulo de AC.

Nos casos em que os vetores AB e AD não estão alinhados o módulo de AC não será igual à soma dos módulos de AB e AD,

logo b + d.

QUESTÃO 11

Uma fonte sonora emite um ruído de intensidade igual a 100 dB. Denota-se por un a intensidade do ruído medida após o mesmo ter atravessado n placas de isolamento acústico. Sabendo que cada placa absorve 10% da intensidade do ruído nela incidente e que u0

= 100 dB, julgue os itens a seguir, admitindo que log103 = 0,477 e log102 = 0,300.(1) A seqüência {un} é uma progressão geométrica de razão igual

a – 0,1.(2) As primeiras 5 placas absorvem, pelo menos, 50% da

intensidade inicial do ruído.(3) A intensidade do ruído, após atravessar 44 placas, será inferior

a 1 dB.

Item Certo: (3)Itens Errados: (1) e (2)Resolução:(1) A seqüência {un} é uma P.G. de razão 0,9.(2) Pela P.G. mencionada temos u5 = 100 . 0,95, logo u5 = 59,05

dB, portanto as 5 primeiras placas absorvem menos do que 41% da intensidade inicial.

QUESTÃO 12

Uma criança entra em um elevador de um edifício no andar térreo. Os botões do painel do elevador estão dispostos como ilustrado na figura a seguir, em que o número zero representa o andar térreo e os números negativos representam os três subsolos do edifício. A criança aperta um botão ao acaso, mas, por ser ainda muito pequena, a probabilidade de ela apertar qualquer botão correspondente a um dos números do conjunto {–3, –2, –1, 0, 1, 2} é o triplo da probabilidade de ela apertar qualquer botão correspondente a um dos números do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a qual, por sua vez, é o dobro da probabilidade de ela apertar qualquer botão correspondente a um dos números do conjunto {9, 10, 11, 12}.

Nessas condições, julgue os itens que se seguem.(1) A probabilidade de a criança apertar um dos botões

correspondentes a um dos números do conjunto {–1, –2, –3} é

igual a .

(2) A probabilidade de ela apertar o botão correspondente ao

número 5 ou o botão correspondente ao número 2 é igual a .

(3) A probabilidade de ela apertar o botão correspondente ao

número 0 é menor que .

Itens Certos: nenhumItens Errados: (1), (2) e (3)Resolução:

Para atender às condições do problema, considere o espaço amostral(S) como sendo a série: (–3; –3; –3; –3; –3; –3; –2; –2; –2; –2; –2; –2; –1; –1; –1; –1; –1; –1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10; 11; 12) que representa 52 elementos, logo n(s) = 52

(1) P(–1) + P(–2) + P(–3) = + + = = .

(2) P(5) + P(2) = + = = .

(3) P(O) =

QUESTÃO 13

Para estimar a altura de uma torre em relação ao plano do terreno, um observador pode fazer uso apenas de um pequeno espelho plano e de uma fita métrica, além de conhecimentos básicos de geometria plana e de óptica.

De acordo com a figura acima, considere que um observador proceda da seguinte forma:I - coloca o espelho no chão, em um determinado ponto, C, e,

afastando-se do pé da torre, desloca-se até um ponto D, do qual, por reflexão no espelho, pode observar nele o topo B da torre; ele mede, então, a distância d de C a D;

II - afasta-se mais do pé da torre e coloca o espelho no chão, em uma outra posição, C', sobre a reta determinada por C e D e, novamente, desloca-se do ponto C' até um ponto D', dessa mesma reta, do qual pode observar no espelho o topo B da torre, pelo mesmo procedimento anterior; ele mede, então, a distância d', de C' a D', e a distância k, de C a C';

III - calcula a altura H da torre, usando seus conhecimentos matemáticos.

Com base nessas informações, considerando que os pontos B, C, D, E, C', D' e E' estão em um plano perpendicular ao plano do terreno e representando por h a altura dos olhos do observador, medida a partir do solo, ou seja, h = DE = D'E', julgue os itens seguintes.

(1)

(2) O ângulo CBC' é igual, em valor absoluto, à diferença entre os ângulos C'E'D' e CED.

(3) .

(4) Se o observador tivesse procedido da mesma forma, utilizando um espelho convexo qualquer em vez de um espelho plano, ele teria medido as mesmas distâncias d, d' e k.

Itens Certos: (2) e (3)Itens Errados: (1) e (4)Resolução:Considere a figura:

A

(1) Na figura temos as semelhanças: ABC~DEC e ABC'~D'E'C'.

Os triângulos DEC e D'E'C' não são semelhantes entre si, logo a relação apresentada não é válida.

(4) Usando um espelho convexo o observador poderia fazer variar as distâncias d e d', sem variar sua altura h.

QUESTÃO 14

A figura ao lado representa um troféu formado por um tronco de cone maciço, de estanho, de altura h e raios das bases a e b, a < b, apoiando parte de um octaedro regular de cristal. A seção de contato do octaedro com o tronco de cone é um quadrado inscrito na base superior deste, e o vértice superior do octaedro está alinhado, na vertical, com os centros das duas bases do tronco de cone. A distância entre os vértices opostos do octaedro é igual a 2b.

Com base nessas informações e sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases iguais a R e r é dado

por , julgue os itens abaixo.

(1) Se h = então o volume da parte em estanho do troféu é

igual a b(b2 + ab + a2).(2) O volume da parte de cristal que forma o troféu é igual a

.

(3) Se h = 2a, então a altura total do troféu é igual a 2b.

(4) Sabendo que, para e para todo número real k tal que b

= ka, o volume total V do troféu é dado pela expressão

, é correto concluir que todas as

possíveis raízes reais do polinômio p(x) = 5x3 + x2 + x – 2 são maiores que 1.

Item Certo: (1)Itens Errados: (2), (3) e (4)Resolução:

12 Colégio Objetivo

(2) A parte superior do cristal corresponde à pirâmide da figura

abaixo, cujo volume é: ;

logo o volume de cristal do troféu é maior do

que . Por outro lado, na parte inferior

do cristal, temos a figura seguinte:

onde se calcula a altura a da pirâmide projetada pela semelhança dos triângulos sombreados. Dessa forma, o volume

da pirâmide projetada é e o volume do tronco de pirâmide

do cristal será – = e o

volume total será dado, então, por: + =

, que é diferente do valor apresentado.

(3) Segundo a figura do item anterior a altura do tronco de pirâmide de cristal é b – a; dessa forma, a altura total do troféu fica sendo b + b – a + h; com h = 2a, temos b + b – a + 2a = 2b + a, logo diferente de 2b, pois a 0.

(4) Para P(x) = 5x3 + x2 + x – 2, temos P(0) = –2 e P(1) = 5. Segundo o Teorema de Bolzano, P(0) . P(1) < 0, logo, pelo menos uma raiz real de P(x) pertence ao intervalo [0;1], logo o item é falso.

QUESTÃO 15

Uma viga metálica de seção transversal variável está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexão (medida em metros) na vertical, em relação ao segmento horizontal AB, dada por

em um ponto de AB que dista x metros de A, conforme ilustra a figura abaixo.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.(1) A distância entre os pontos A e B é igual a 10 m.(2) No ponto C do segmento AB, distante 4 m de B, a deflexão da

viga é menor que 10 cm.

(3) Sabendo-se que a maior deflexão da viga é igual a m e que

uma das raízes do polinômio – é igual a

18, conclui-se que a maior deflexão ocorre em um ponto D que dista mais de 5 m do ponto A.

(4) O peso da viga e a sua dilatação devido ao aumento da temperatura ambiente são fatores que contribuem para a referida deflexão.

Itens Certos: (1) e (2)Itens Errados: (3) e (4)Resolução:

(3) A deflexão máxima é dada por

x3 – 26x2 + 160x – 288 = 0, dividindo-se o por (x – 18), temos:

1 – 26 160 – 288 18 , logo (x2 – 8x + 16) . (x – 18) = 01 – 8 16 0portanto (x – 4)2 . (x – 18) = 0 e obteremos o ponto D distante 4 m do apoio A para a deflexão máxima.

(4) A afirmativa apresentada é obviamente verdadeira, no entanto a implicação lógica do comando da questão "Com base nessas informações" inviabiliza o julgamento do que foi afirmado. As informações referem-se à distância x, em metros, logo nada se pode afirmar sobre o peso ou a dilatação da barra.

COMENTÁRIO SOBRE A PROVA DE MATEMÁTICA

A Equipe do Curso e Colégio Objetivo, composta pelos professores: Freitas (Coordenador), Mário (Diretor), Martuscelli, Hildebrando, J. Messias, Aroldo, Urbano, Macedo, F. Cruz, Orimar e Luiz Fernando, considerou esta prova melhor elaborada que a do vestibular anterior pelo grau de abrangência dos conteúdos, contextualização das questões, precisão nos enunciados e pela adequação ao nível dos vestibulandos, apesar do elevado grau de dificuldade de algumas questões. Acreditamos que, por esse motivo, os melhores candidatos serão selecionados e, portanto, parabenizamos o CESPE/UnB pela realização desta.

ESTATÍSTICA DA PROVA DE MATEMÁTICA

Curso de Matemática Contextualizada

Com os Professores Martuscelli e LuizInício: 21 de agosto

Informações:Asa Sul – 345-9108

Taguatinga – 563-2670