resolucao da prova azul enem2010 com dicas pet-matematica ufcg

Grupo PET Matemtica UFCG

www.dme.ufcg.edu.br/pet

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA (UNIDADE ACADMICA DE MATEMTICA E ESTATSTICA) PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL TUTOR: PROF. DR. DANIEL CORDEIRO DE MORAIS FILHO

RESOLUO COMENTADA DA PROVA DE MATEMTICA ENEM 2010

EQUIPE DE BOLSISTAS QUE RESOLVERAM A PROVA: Alan de Arajo Guimares Andr Felipe Arajo Ramalho Jogli Gidel da Silva Arajo Lorena Brizza Soares Freitas Mrio Srgio Alves Ferreira Matheus Cunha Motta Michell Lucena Dias Ygor Dias A. Torquato

CAMPINA GRANDE, 2011

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 136Comentrios e resoluo por Ygor Torquato


Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu dela com conceitos e explicaes, conforme a figura seguinte. Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchla, mas, dessa vez, utilizando 40% do espao dela. Uma representao possvel para essa segunda situao a) b) c)

d)

e)

Comentrio sobre o enunciado O enunciado da questo est claro, trazendo ao aluno o entendimento necessrio para o procedimento que dever tomar para chegar resoluo da questo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas noes de fraes, nmeros decimais e porcentagem. Resoluo Devemos verificar as divises feitas em cada item e escrev-la em forma de frao nmero de partes da lousa preenchida sobre o nmero de partes do qual foi dividida e, em seguida, encontrar o nmero decimal que representa a frao. No item A, a lousa foi dividida em quatro partes, e uma dessas quatro foi preenchida, isso indica que da lousa. No item B, do mesmo modo, tem-se da lousa preenchida. E no item C, a lousa foi dividida em cinco partes, e, duas dessas cinco foram preenchidas (o que nos d . Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil. Questo 137Comentrios e resoluo por Michell Dias

No monte de Cerro Armazones, no deserto do Atacama, no Chile, ficar o maior telescpio da superfcie terrestre, o Telescpio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT ter seu espelho primrio de de dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu.Disponvel em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).



Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposio de que o dimetro do olho humano mede aproximadamente . Qual a razo entre o dimetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o dimetro do espelho primrio do telescpio citado? a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado Podemos destacar positivamente a conciso do enunciado e da citao introduo deste, pois contm dados importantes resoluo da questo (e no somente como fuga de contextualizao). Entretanto, tal objetividade d lugar a uma estranhssima resoluo, tamanha a facilidade de se obter a resposta correta. Alm disso, a questo adqua-se perfeitamente ao contexto de Ensino Fundamental, no de Ensino Mdio. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. O candidato apenas precisa estar atento mudana de unidades (de metro para centmetro). Resoluo Como queremos encontrar a razo entre o dimetro do olho humano, suposto pela professora ( ), e o dimetro do telescpio E-ELT ( ), basta fazermos o seguinte clculo:

Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: fcil.

Questo 138Comentrios e resoluo por Matheus Motta

DICA PET MATEMTICA - UFCG: EVITE FAZER CLCULOS COM NMEROS DECIMAIS! MULTIPLIQUE NUMERADOR E DENOMINADOR POR POTNCIAS DE , POIS QUASE SEMPRE RECAI EM UM CLCULO MAIS SIMPLES!

Alguns testes de preferncia por bebedouros de gua foram realizados com bovinos, envolvendo trs tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros e tm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e dimetro da base superior igual a e , respectivamente. O bebedouro um semicilindro, com de altura,

Grupo PET Matemtica UFCGde comprimento e


de largura. Os trs recipientes esto ilustrados na figura.

Considerando-se que nenhum dos trs recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificao para o bebedouro ?a) b) c)

d)

e)

Comentrios sobre o enunciado O enunciado tem uma contextualizao desnecessria para a resoluo da questo. Apesar da facilidade para resolver, esse problema testa a concentrao e vigor do estudante, que provavelmente acabou de resolver a cansativa prova de portugus. DICA PET MATEMTICA UFCG: DE Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas planificao de slidos que normalmente ensinado no ensino fundamental. Resoluo Com a visualizao da planificao do bebedouro 3 em mente, a alternativa E a nica possvel soluo. E de fato, uma vez que as medidas coincidem. Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: fcil. Questo 139Comentrios e resoluo por Mrio Srgio

IMEDIATO POSSVEL EXCLUIR AS ALTERNATIVAS A, B E C, UMA VEZ QUE NO H NENHUMA SEMICIRCUNFERNCIA NA PLANIFICAO DO BEBEDOURO . A ALTERNATIVA D TAMBM NO CORRETA, POIS FALTA UMA SEMICIRCUNFERNCIA E A LARGURA EST ERRADA. LOGO, S RESTA A ALTERNATIVA E.

Uma fbrica produz barras de chocolates no formato de paraleleppedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paraleleppedo medem de largura, de comprimento e de espessura.



Analisando as caractersticas das figuras geomtricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tm o formato de cubo igual aa) b) . c) . d) . e) .

Comentrio sobre o enunciado Questo de redao clara e concisa, cuja soluo simples, envolvendo apenas a aplicao de frmulas, tpica de alguns livros do ensino mdio. Entretanto, esse procedimento no faz com que o aluno pense um pouco mais. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas noes de geometria espacial: volume de paraleleppedo e volume de cubo. Resoluo Chamemos de a medida da aresta do cubo. Pelo enunciado, temos:

Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil.

DICA PET MATEMTICA -UFCG: NO EFETUE LOGO TODA CONTA QUE V NA SUA FRENTE. POR EXEMPLO, , FATORE E COLOQUE COMO POTNCIAS DE E DE .

Questo 140Comentrios e resoluo por Lorena Brizza

A classificao de um pas no quadro de medalhas nos Jogos Olmpicos depende do nmero de medalhas de ouro que obteve na competio, tendo como critrios de desempate o nmero de medalhas de prata seguido do nmero de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpadas de , o Brasil foi o dcimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido medalhas de ouro, de prata e de bronze. Parte desse quadro de medalhas reproduzida a seguir.



Se o Brasil tivesse obtido mais medalhas de ouro, de prata e de bronze, sem alterao no nmero de medalhas dos demais pases mostrados no quadro, qual teria sido a classificao brasileira no quadro de medalhas das Olimpadas de ? a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado Enunciado claro que no oferece dificuldades para que o candidato entenda o que a questo pede, tornando assim, a questo simples de ser resolvida. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas soma que assunto do Ensino Fundamental. Resoluo O Brasil obteve, em , medalhas de ouro, de prata e de bronze. Se o Brasil tivesse obtido mais medalhas de ouro, de prata e de bronze ficaria com, medalhas de ouro, de prata e de bronze. Note que com medalhas de ouro o Brasil fica empatado com pases (Coria do Sul, GrBretanha, Cuba e Ucrnia). Para desempatar basta conferir o nmero de medalhas de prata: como o Brasil teria medalhas de prata, ficaria na frente da Ucrnia que obteve medalhas de prata, ocupando o lugar. Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 141Comentrios e resoluo por Jogli Gidel

Os dados do grfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios. Supondo-se que, no Sudeste, estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuam telefone mvel celular?a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado Essa questo no envolve operaes elementares de porcentagens que, em geral, visto na maioria das escolas do Ensino Fundamental. Apesar de ser de fcil resoluo, envolve apenas operaes com nmeros decimais, o candidato tem que interpretar bem os enunciados, j que pode se confundir, pois nem todos os dados da questo sero usados. Portanto, podemos concluir que a questo no se enquadra numa prova ao nvel de Ensino Mdio.



Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas porcentagem que j abordado no Ensino Fundamental. Resoluo De acordo com o grfico estatstico divulgado na questo, mostra-se que no Sudeste, dos estudantes possuam telefone mvel celular. Como foram entrevistados estudantes na mesma regio, ento basta fazermos:

Logo, 8.344 estudantes do Sudeste possuam telefone mvel celular. Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: fcil. Questo 142Comentrios e resoluo por Andr Ramalho

Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variao de sua altura se dava de forma mais rpida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir dos 17 anos, essa variao passava a ser cada vez menor, at se tornar imperceptvel. Para ilustrar essa situao, o casal fez um grfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que grfico melhor representa a altura do filho desse casal em funo da idade?a) b) c)

d)

e)

Comentrios sobre o enunciado O enunciado claro e objetivo. Porm, possvel resolver a questo sem a informao de que a partir dos 17 anos a variao na altura cada vez menor.



Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Funo. Resoluo O nico grfico que representa uma funo o da alternativa A, pois em todos os outros h mais de uma imagem para algum elemento do domnio. Resposta correta: alternativa A. Grau de dificuldade: fcil.

DICA PET MATEMTICA UFCG: LEMBRE-SE QUE SE UM GRFICO APRESENTA ALGUM SEGMENTO DE RETA VERTICAL, ELE NO REPRESENTA UMA FUNO. ALM DISSO, O GAROTO NO PODE TER MAIS DE UMA ALTURA AO MESMO TEMPO!

Questo 143Comentrios e resoluo por Alan Guimares

Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme o grfico, da chamada Amaznia Legal, integrada por nove estados. Considerando-se que at 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relao aos dados de 2004, o desmatamento mdio por estado em 2009 est entre a) b) c) d) e) Comentrios sobre o enunciado Consideramos essa questo boa e compatvel com os objetivos da prova do ENEM. Dotada de um enunciado conciso e claro ela permite que o candidato mobilize seus conhecimentos prvios e obtenha a resposta correta. Alm do mais, as alternativas so bastante distintas, o que permite ao candidato usar aproximaes ao realizar as contas e economizar tempo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum, apenas porcentagem e mdia aritmtica. Resoluo e e e e e . . . .



Calculemos o desmatamento mdio por estado em 2004:

Com o crescimento de 10,5% ocorrido em 2009, a mdia de desmatamento por estado passou a ser:

Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: mdio. Questo 144Comentrios e resoluo por Ygor Torquato

DICA PET MATEMTICA UFCG: PARA CALCULAR N, AO INVS DE TRABALHAR COM O NUMERADOR APROXIME PARA QUE MLTIPLO DE ; AS ALTERNATIVAS DA QUESTO PERMITEM ESSE TIPO DE APROXIMAO. NO CLCULO DE M, PREFIRA TRABALHAR COM FRAES NA FORMA IRREDUTVEL E, MAIS UMA VEZ, USE APROXIMAES PARA FACILITAR AS CONTAS.

A resistncia eltrica e as dimenses do condutor. A relao da resistncia eltrica com as dimenses do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vrios experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre Resistncia ( ) e comprimento ( ), dada a mesma seco transversal ( ); Resistncia ( ) e a rea da seco transversal ( ), dado o mesmo comprimento ( ) e Comprimento ( ) e rea da seco transversal ( ), dada a mesma resistncia ( ). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistncia eltrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistncia ( ) e comprimento ( ), resistncia ( ) e rea da seco transversal ( ), e entre comprimento ( ) e rea da seco transversal ( ) so, respectivamente,

Grupo PET Matemtica UFCGa) b) c) d) e) Direta, direta e direta. Direta, direta e inversa. Direta, inversa e direta. Inversa, direta e direta. Inversa, direta e inversa.


Comentrios sobre o enunciado O enunciado da questo de fcil entendimento e bem elaborado. Foi feita uma separao, item por item, das relaes de proporcionalidade entre as grandezas e a resistncia.Isso evitou que o estudante se confundisse ao investigar cada caso proposto pela questo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. O tema usado proporcionalidade direta e inversa. Resoluo No h necessidade de clculo algum. Perceba que, no primeiro caso, conforme a resistncia aumenta (de para ) o comprimento tambm aumenta (de para ); logo uma proporcionalidade direta. No segundo caso observe que a resistncia diminui (de para ) e, no entanto, a rea da seco transversal aumenta (de para ). Teremos, portanto, uma proporcionalidade inversa. Veja que no terceiro, tanto o comprimento quanto a rea da seco transversal aumentam proporcionalmente, o que nos leva a seguinte resposta: as relaes so, respectivamente, direta, inversa e direta. Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil. Questo 145Comentrios e resoluo por Michell Dias

Os dados do grfico a seguir foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regies metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatstica e Estudos Socioeconmicos (Dieese). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na regio metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o nmero de desempregados em maro de 2010, nessa regio, foi dea) 24500. b) 25000. c) 220500. d) 223000. e) 227500.

Grupo PET Matemtica UFCG Comentrios sobre o enunciado


O enunciado bastante objetivo ajuda ao entendimento fcil e a conseguinte resposta da questo, muito embora o grfico apresentado possa gerar dvidas pois no est explcito que as taxas tabeladas so porcentagens (proporo populacional). Alm disso, o ttulo da tabela deveria ser Taxas de desemprego por regio metropolitana ao invs de Taxas de desemprego nas regies metropolitanas pois os dados so o percentual de desempregos por regio metropolitana, e no a porcentagem na regio metropolitana do total de desempregos. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas clculos com porcentagens. Resoluo DICA PET MATEMTICA UFCG: OBSERVE QUE MUITO PRMIXO DE 10%. PORTANTO, O RESULTADO POUCO MENOR DO QUE DESEMPREGADOS!

Observamos durante a leitura dois dados importantes: o primeiro o total de pessoas que participaram da pesquisa na regio metropolitana de Porto Alegre (250000 pessoas), e o segundo a porcentagem de pessoas desempregadas, nesta regio, em maro de 2010 ( ). Como queremos saber o total de pessoas desempregadas (correspondentes aos ), teremos ento de fazer o seguinte clculo: DICA PET - MATEMTICA UFCG: ECONOMIZE O SEU TEMPO! FAA E O RESULTADO DA MULTIPLICAO SER OBTIDO FACILMENTE!

Resposta correta: alternativa A. Grau de dificuldade: fcil.

Questo 146Comentrios e resoluo por Matheus Motta

A siderrgica Metal Nobre produz diversos objetos macios utilizando ferro. Um tipo especial de pea feita nessa companhia tem o formato de um paraleleppedo retangular, de acordo com as dimenses indicadas na figura que segue.

O produto das trs dimenses indicadas na pea resultaria na medida da grandezaa) Massa. b) Volume. c) Superfcie. d) Capacidade. e) Comprimento.

Grupo PET Matemtica UFCG Comentrios sobre o enunciado


Esse problema demasiadamente simples, j que a frmula do volume do paraleleppedo retangular bastante conhecida. O enunciado sucinto e claro. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum tpico do ensino mdio. A questo envolve volume do paraleleppedo retangular, um assunto geralmente abordado no ensino fundamental. Resoluo Basta lembrar que o produto da largura, altura e comprimento de um paraleleppedo retangular, o volume deste. Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 147Comentrios e resoluo por Mrio Srgio

A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada nmero indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, h uma probabilidade de de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de quando se passa por E3. Essas probabilidades so independentes umas das outras. Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possvel. O melhor trajeto para Paula a) E1E3. b) E1E4. c)

E2E4.

d) E2E5.

e)

E2E6.

Comentrio sobre o enunciado Questo que desperta o raciocnio do candidato por abordar o estudo da probabilidade complementar. Contudo tem redao um pouco dbia, porque no estabeleceu com clareza se Paula deve evitar engarrafamento em ambas s estradas ou apenas em uma, por isso, deve-se ter cuidado na resoluo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Probabilidade complementar.

Grupo PET Matemtica UFCG Resoluo


Analisando o enunciado, podemos construir a seguinte tabela:

Trajeto E1E3 E1E4 E2E5 E2E6

Probabilidade de no pegar engarrafamento em nenhum dos trechos

Probabilidade de pegar en- CUIDADO! NO CALCULE A PROBAgarrafamento em pelo menos BILIDADE DE ENGARRAFAMENTO um dos trechos

DICA PET MATEMTICA - UFCG:

PARA CADA TRAJETO, PORQUE VOC TER DE FAZER TRS CONTAS! FAA PRIMEIRO A PROBABILIDADE DE NO PEGAR ENGARRAFAMENTO E DEPOIS O SEU COMPLEMENTAR. MAIS SIMPLES ASSIM!

Logo, dos quatros possveis trajetos que Paula poder pegar o de menor probabilidade de engarrafamento o E2E5. Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: difcil. Questo 148Comentrios e resoluo por Lorena Brizza

O grfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no perodo de 1988 a 2006.

Com base no grfico, o gasto militar no incio da Guerra do Iraque foi de: a) b) c) d) e)

. . .

Comentrios sobre o enunciado O enunciado desta questo claro. O grfico fcil de ser compreendido, o que torna esta questo simples.



Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas interpretao de grfico. Resoluo No incio da Guerra do Iraque os Estados Unidos gastou U$ Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: fcil. Questo 149Comentrios e resoluo por Jogli Gidel

bilhes de dlares, ou seja,

Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos ( ) de cada figura depende da quantidade de quadrados ( ) que formam cada figura. A estrutura de formao das figuras est representada a seguir.

Que expresso fornece a quantidade de canudos em funo da quantidade de quadrados de cada figura? a) b) c) d) e) Comentrios sobre o enunciado Essa questo tpica do Ensino Mdio, pois envolve conceitos de progresso aritmtica, embora na sua forma mais elementar. Qualquer bom aluno do Ensino Fundamental pode resolv-la sem nenhum problema, j que bastaria deduzir a correspondncia que associa os canudos e os quadrados em funo do termo . Em relao redao, detectamos alguns desleixos que precisam ser revistos. Por exemplo, na frase ... para montar figuras, onde cada lado..., mencionado lado de uma figura, um termo que no foi definido a priori; da, posteriormente, diz-se que essa figura o quadrado, mas deveria ter dito antes de falar em lado. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Progresso aritmtica.



Observando as figuras mostradas na questo, deve-se procurar uma lei de formao: 1. Para 2. Para 3. Para , temos um quadrado; , temos dois quadrados, ou seja, , temos trs quadrados, ou seja, .

; .

Para , teremos quadrados, ou seja, Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 150Comentrios e resoluo por Andr Ramalho

A loja Telas & Molduras cobra reais por metro quadrado de tela, reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de reais. Uma artista plstica precisa encomendar telas e molduras a essa loja suficientes para quadros retangulares ( ). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para quadros retangulares ( ). O valor da segunda encomenda ser a) O dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) Maior do que o valor da primeira encomenda, mas no o dobro. c) A metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) Menor do que o valor da primeira encomenda, mas no a metade. e) Igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega ser o mesmo. Comentrios sobre o enunciado O enunciado sucinto. As informaes apresentadas so suficientes e necessrias resoluo da questo. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. exigido apenas o clculo de rea e permetro de um retngulo, que so estudados a partir do ensino fundamental. Resoluo Pelo enunciado da questo, v-se que os quadros da segunda encomenda so maiores do que os quadros da primeira. Portanto as alternativas C, D e E podem ser automaticamente eliminadas. Observe que ao dobrar ambos os lados da tela a rea quadruplicar, o que elimina a alternativa A. Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil.

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 151Comentrios e resoluo por Alan Guimares


Dona Maria, diarista na casa famlia Teixeira, precisa fazer caf para servir vinte pessoas que se encontram numa reunio na sala. Para fazer o caf, Dona Maria dispe de uma leiteira cilndrica e copinhos plsticos, tambm cilndricos. Com o objetivo de no desperdiar caf, a diarista deseja colocar a quantidade mnima de gua na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria dever a) Encher a leiteira at a metade, pois ela tem um volume copo. b) Encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume copo. c) Encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume copo. d) Encher duas leiteiras de gua, pois ela tem um volume copo. e) Encher cinco leiteiras de gua, pois ela tem um volume do copo. Comentrios sobre o enunciado Essa questo tem a particularidade de as alternativas fazerem parte do enunciado. Quase sempre, quando isso ocorre, tem-se uma questo cansativa que pode induz o candidato ao erro. No o presente caso. Aqui, vemos um problema contextual, cuja soluo decorre do emprego de conceitos da Matemtica elementar. importante observar, porm, que o enunciado dessa questo possui uma sutileza que pode passar despercebido pelo candidato. Trata-se do detalhe de que se deseja encher vinte copinhos pela metade e no vinte copinhos completos. Disto, v-se que uma pequena falta de ateno na leitura do enunciado pode levar ao erro da questo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas geometria espacial. Resoluo Vamos verificar o quanto o volume da leiteira maior do que o volume dos copinhos. Se o raio da leiteira e , o raio dos copinhos, vemos que os volumes da leiteira e do copo so: vezes maior que o volume do vezes maior que o volume do vezes maior que o volume do vezes maior que o volume do vezes maior que o volume

DICA PET - MATEMTICA UFCG: SE NO FOR PEDIDO, NO NECESSRIO FAZER CLCULOS COM



Note que o volume da leiteira vezes maior do que o volume do copo. Logo, as alternativas C, D e E so falsas. Vendo que encher copinhos pela metade o mesmo que encher copinhos, conclumos que a alternativa A a resposta certa. Grau de dificuldade: fcil. Questo 152Comentrios e resoluo por Ygor Torquato

Um satlite de telecomunicaes, minutos aps ter atingido sua rbita, est a quilmetros de distncia do centro da Terra. Quando assume seus valores mximo e mnimo, diz-se que o satlite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satlite, o valor de em funo de dado por

Um cientista monitora o movimento desse satlite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de , no apogeu e no perigeu, representada por . O cientista deveria concluir que, periodicamente, atinge o valor dea) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado Notamos que o que se pede est claro, no deixando dvida quanto ao procedimento que o candidato dever tomar para chegar resposta do problema. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Valor mximo e valor mnimo da funo cosseno. Resoluo sabido que a funo cosseno assume valores no intervalo , isto , o menor e o maior valor que estas funes podem assumir. Diante disso, quando , o denominador da frao ter um valor mnimo, e portanto, r assumir seu maior valor (perigeu):

DICA PET MATEMTICA - UFCG: NO PRECISO TRABALHAR COM OS VALORES DE ! LEMBRE-SE DOS VALORES QUE A FUNO COSSENO PODE ASSUMIR!

Grupo PET Matemtica UFCGPor outro lado, quando


, por raciocnio anlogo, teremos o apogeu:

Logo, Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 153Comentrios e resoluo por Michell Dias

.

DICA PET MATEMTICA - UFCG: FAA E OBSERVE QUE AMBOS SO MLTIPLOS DE .

Uma empresa vende tanques de combustveis de formato cilndrico, em trs tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preo do tanque diretamente proporcional medida da rea da superfcie lateral do tanque. O dono de um posto de combustvel deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques dever ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 3.) a) I, pela relao rea/capacidade de armazenamento de b) I, pela relao rea/capacidade de armazenamento de c) II, pela relao rea/capacidade de armazenamento de d) III, pela relao rea/capacidade de armazenamento de e) III, pela relao rea/capacidade de armazenamento de Comentrios sobre o enunciado Aqui percebemos um exerccio interessante: as alternativas complementam o enunciado numa tentativa de empenhar o candidato a calcular as fraes (de rea pela capacidade) de cada um dos cilindros a fim de conferir e legitimar o resultado final. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas geometria espacial. . . . . .

Grupo PET Matemtica UFCG Resoluo DICA PET MATEMTICA - UFCG: PENSE UM POUCO E OBSERVE QUE NO PRECISO CALCULAR O VOLUME E A REA DOS CILINDROS! SE A REA LATERAL DESTE DADA POR E O VOLUME POR , ENTO:


Conhecidos os raios dos cilindros indicado na figura, o resultado ser imediato. Para o cilindro I ( ), temos:

Para o cilindro II (raio

), tambm temos:

Finalmente, para o cilindro III (

), temos:

Como

, ento a resposta correta a alternativa D.

Grau de dificuldade: Fcil. Questo 154Comentrios e resoluo por Matheus Motta

Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica seu desempenho Financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos so: insuficiente, quando o crescimento menor que ; regular, quando o crescimento maior ou igual a e menor que ; bom, quando o crescimento maior ou igual a e menor que ; timo, quando maior ou igual a e menor que ; e excelente, quando maior ou igual a . Essa empresa apresentou lucro de em e ,00 em . De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de deve ser consideradoa) Insuficiente. b) Regular. c) Bom. d) timo. e) Excelente.

Comentrios sobre o enunciado O enunciado claro e fornece todas as informaes necessrias para obter a resposta. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas clculos com porcentagens. Resoluo Como a classificao feita baseada no valor do ano anterior, basta tomar o quociente da diferena do valor dos dois anos com o valor do ano base, isto



Da tem-se um crescimento menor do que . Portanto, de acordo com os critrios de classificao dessa empresa, seu desempeDICA PET MATEMTICA nho financeiro em foi bom. UFCG: NOTE QUE POUResposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil.

CO DO MAIOR QUE . LOGO, O QUOCIENTE POUCO MENOR DO QUE

Questo 155Comentrios e resoluo por Mrio Srgio

Uma escola recebeu do governo uma verba de para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessrios trs selos, um de , um de e um de . O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do mximo possvel de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de foram comprados?a) b) c) d) e)

Comentrio sobre o enunciado Uma questo de enunciado claro e de resoluo simples, em que se aplicam as operaes bsicas. No entanto, o candidato deve prestar ateno com o enunciado, pois, dados errados implicam resposta errada. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas operaes bsicas da aritmtica. Resoluo Custo do folheto do segundo tipo: . Assim para enviar do segundo tipo ser usado ; da, dos R$ para enviar selos do primeiro tipo. Como o folheto do primeiro tipo custa , temos: folhetos , sobram

DICA PET - MATEMTICA - UFCG: TRANSFORME EM , POIS, FACILITA A DIVISO POR .

Logo sero comprados selos deste tipo. Sabendo que tanto os folhetos do primeiro quanto os do segundo tipo usam selos que custam , o nmero destes ser: . Resposta correta: alternativa C.

Grupo PET Matemtica UFCG Grau de dificuldade: mdio. Questo 156Comentrios e resoluo por Lorena Brizza


A figura a seguir uma representao de uma regio por meio de curvas de nvel, que so curvas fechadas representando a altitude da regio, com relao ao nvel do mar. As coordenadas esto expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada direita est associada altitude da regio.

Um pequeno helicptero usado para reconhecimento sobrevoa a regio a partir do ponto O helicptero segue o percurso:

De acordo com as orientaes, o helicptero pousou em um local cuja altitude : a) b) c) d) e) Menor ou igual a 200 m. Maior que e menor ou igual a Maior que e menor ou igual a Maior que e menor ou igual a Maior que .

. . .

Comentrios sobre o enunciado O enunciado simples. E, apesar de um pouco extenso, oferece informaes necessrias para compreenso da questo. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Coordenadas (geografia). Resoluo Note que quando o helicptero anda para leste ou oeste somado ou subtrado, respectivamente, o valor em graus da abscissa do ponto , e quando o helicptero anda para norte ou sul somado ou subtrado, respectivamente, o valor em graus da ordenada do ponto . Deste modo temos:



Seguindo o percurso atravs da figura notamos que a rea onde o helicptero pousa possui altitude igual a . Resposta correta: alternativa A. Grau de dificuldade: fcil.

Questo 157Comentrios e resoluo por Jogli Gidel

Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com de dimetro e de altura (de espessura desprezvel), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo de espessura. Supondo que cada metro cbico de concreto custe e tomando como valor aproximado de , ento o preo dessa manilha igual aa) . b) . c) . d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado Essa questo desperta curiosidade pela maioria dos candidatos que gostam de Matemtica, pois a mesma envolve uma situao-problema bem elaborada, que o candidato deve enfrentar como um desafio. Podemos, portanto, selecion-la entre as melhores do ENEM 2010, pois compatvel com o nvel dos candidatos e apta para fazer parte de uma prova de seleo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Geometria espacial. Resoluo Dados do cilindro: dimetro , altura , espessura Seja V o volume da casca cilndrica. Teremos ento: , e .

Usando uma regra de trs simples, teremos:



Logo Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: mdio. Questo 158Comentrios e resoluo por Andr Ramalho

.

No manejo sustentvel de florestas, preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma rvore. Para isso, existe um mtodo prtico, em que se mede a circunferncia da rvore altura do peito de um homem ( ) conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se rodo da rvore. O quadro a seguir indica a frmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em a partir da medida do rodo e da altura da rvore.

Um tcnico em manejo florestal recebeu a misso de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espcies diferentes, sendo toras da espcie I, com ; toras da espcie II com . de rodo, de rodo e de comprimento e densidade de comprimento e densidade

Aps realizar seus clculos, o tcnico solicitou que enviassem caminhes para transportar uma carga de, aproximadamente, a) b) c) d) e) .

Comentrios sobre o enunciado O enunciado da questo, apesar de extenso, bastante claro.



Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo requerido do aluno o conhecimento da relao entre massa, densidade e volume. Resoluo

DICA PET MATEMTICA - UFCG: SE VOC NO SOUBER O QUE DENSIDADE, OBSERVE AS UNIDADES DE MEDIDA! VOC SABIA QUE ELAS TAMBM PODEM SER MANIPULADAS ALGEBRICAMENTE?

Para resolver a questo ser efetuar a seguinte multiplicao para cada espcie e, em seguida, somar os valores obtidos:

Para a espcie I temos:

Para a espcie II temos:

Assim, finalmente teremos Resposta correta: alternativa A. Grau de dificuldade: fcil. Questo 159Comentrios e resoluo por Alan Guimares

Embora o ndice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inmeras restries tericas ao uso e s faixas de normalidade preconizadas. O Recproco do ndice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alomtrico, possui uma melhor fundamentao matemtica, j que a massa uma varivel de dimenses cbicas e a altura, uma varivel de dimenses lineares. As frmulas que determinam esses ndices so:



Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m, ento ela possui RIP igual aa) . b) . c) . d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado Essa questo caracteriza-se pelo fato de que para solucion-la s preciso ler o ltimo pargrafo de seu enunciado e fazer uso das frmulas para o IMC e o RIP. A bem da verdade, acreditamos que esse tipo de questo no justa para com o candidato, dado que a este caber a rdua misso de ler todo um contexto para, no final, notar que tudo se reduzia leitura do ltimo pargrafo. Aqui cabe frisar que o candidato deve ir para prova sabendo da ocorrncia desse tipo de questo para evitar desgastes com leituras que no contribuem para o sucesso na prova. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas transformao de unidades e resoluo de equao polinomial do primeiro grau. Resoluo Calculemos a altura da menina usando a frmula para o IMC:

Com isso, usando a frmula para RIP, temos a igualdade:

Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: fcil. Questo 160Comentrios e resoluo por Ygor Torquato

Um balo atmosfrico, lanado em Bauru ( quilmetros a Noroeste de So Paulo), na noite do ltimo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiab Paulista, na regio de Presidente Prudente, assustando agricultores da regio. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Frana, Argentina, Inglaterra e Itlia, para a medio do comportamento da camada de oznio, e sua descida se deu aps o cumprimento do tempo previsto de medio.Disponvel em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.



Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balo. Uma estava a da posio vertical do balo e o avistou sob um ngulo de ; a outra estava a da posio vertical do balo, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se v na figura, e o avistou sob um ngulo de . Qual a altura aproximada em que se encontrava o balo?a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado O enunciado est relativamente grande, com muita informao (nem todas necessrias). Isso prejudica o candidato visto que a prova em si extensa. Em relao figura, o prprio aluno a poderia deduzir. No entanto, o candidato atento perceber que existem mais de um mtodo de resoluo. Tpico especfico do ensino mdio abordado na questo Nenhum. So utilizadas noes de trigonometria no tringulo retngulo. Resoluo DICA PET MATEMTICA UFCG: FIQUE ESPERTO! SE A QUESTO OFERECER MAIS DE UMA RESOLUO CORRETA, ESCOLHA A MAIS SIMPLES! H duas possibilidades de resolv-la. Considerando o observador a 1,8km, e a outra, considerando o observador a 5,5km. Vamos trabalhar com a primeira, pois o valor da tangente do ngulo dado neste caso, 60, igual a , um valor que simplificar nossos clculos . Observe, na figura, que temos um tringulo retngulo, onde a altura h a distncia vertical do balo at o cho (e um cateto); a distncia 1,8km do observador em relao a posio vertical do balo outro cateto. Com isto, utilizamos a tangente do ngulo dado 60. Dica: Utilize .

Da trigonometria segue-se,

Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil.

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 161Comentrios e resoluo por Michell Dias


Em canteiros de obras de construo civil comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ngulos e fazendo demarcaes por onde a obra deve comear ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no cho plano. Foi possvel perceber que, das seis estacas colocadas, trs eram vrtices de um tringulo retngulo e as outras trs eram pontos mdios dos lados desse tringulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A regio demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calada com concreto. Nessas condies, a rea a ser calada corresponde a) b) c) d) e) mesma rea do tringulo AMC. mesma rea do tringulo BNC. metade da rea formada pelo tringulo ABC. Ao dobro da rea do tringulo MNC. Ao triplo da rea do tringulo MNC.

Comentrios sobre o enunciado Cremos que esta questo pode ser includa dentre as melhores do ENEM 2010: ela tem a estrutura clssica de questes de geometria marcao de terrenos por estacas, rea de figuras que so bastante familiares aos candidatos. Alm disso, exige concentrao, domnio do contedo e perspiccia desejveis aos futuros acadmicos. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas relaes de congruncia entre tringulos. Resoluo DICA PET: EM QUESTES QUE ENVOLVAM REA DE FIGURAS GEOMTRICAS, UTILIZE SEUS CONHECIMENTOS DE GEOMETRIA SO BASTANTE TEIS E EVITAM CLCULOS DESNECESSRIOS!

Tracemos o segmento PM, paralelo ao segmento AN. Como a estaca N o ponto mdio do segmento AC, temos que os segmentos AN, NC e PM so congruentes. Por motivo anlogo, sabemos que o comprimento de AP igual ao comprimento de PB. Pela relao lado ngulo lado (LAL), os tringulos PAN, NMP e MPB so congruentes ao tringulo MNC. Portanto, a rea a ser calada (regio escura da figura) corresponde ao triplo da rea do tringulo MNC. Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: mdio.

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 162Comentrios e resoluo por Matheus Motta


O jornal de certa cidade publicou em uma pgina inteira a seguinte divulgao de seu caderno de classificados.

Para que a propagando seja fidedigna porcentagem da rea que aparece na divulgao, a medida do lado do retngulo que representa os , deve ser de aproximadamentea) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado O enunciado claro e direto, o que pode compensar o tempo gasto para fazer as contas. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum tpico do ensino mdio. Apenas clculo com porcentagem. Resoluo Se a rea do retngulo menor representa ento fcil observar que: do retngulo original,

DICA PET MATEMTICA - UFCG: SIMPLIFIQUE AS CONTAS USANDO SEUS CONHECIMENTOS DE POTNCIAS DE 10! POR EXEMPLO: E . DA RESTA APENAS O PRODUTO, .

Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: fcil.

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 163Comentrios e resoluo por Mrio Srgio


A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egpcios ao construrem as pirmides. Representando por R o raio da base dos rolos cilndricos, em metros, a expresso do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em funo de R, aps o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado Esta questo no envolve clculos, sendo necessrio ao aluno conhecer os objetos e suas propriedades. Alm disso, sua proposta adequada ao estilo do ENEM. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum contedo do ensino mdio foi abordado apenas comprimento de circunferncia. Resoluo Poderamos contemplar a possibilidade dos rolos cilndricos (toras) apresentarem um furo no seu centro. E que nesse furo, seja colocado um instrumento que impea o seu rolamento, assim o deslocamento seria de apenas correspondente ao deslocamento do bloco em relao tora. Como isto no ocorre, temos: I. II. O deslocamento da tora em relao ao solo O deslocamento do bloco em relao tora

Assim, o comprimento Resposta correta: alternativa E. Grau de dificuldade: difcil. Questo 164Comentrios e resoluo por Lorena Brizza

Uma metalrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma pea com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimenses da base so , e e cuja altura . Tal pea deve ser vazada de tal maneira que a perfurao na forma de um cilindro circular reto seja tangente s suas faces laterais, conforme mostra a figura:



O raio da perfurao da pea igual a:a) b) . c) . d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado O enunciado sucinto, porm o candidato pode se confundir na seguinte frase: cujas dimenses da base so , e e cuja altura , pois pode pensar que a altura informada referente base da pea. Alm disso, essa informao sobre a altura da pea no utilizada em momento algum na resoluo da questo, o que pode levar o candidato a ter ideias erradas de como resolver a questo e fazer clculos desnecessrios. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Geometria plana, congruncia. Resoluo

Observe a figura acima da representao da base da pea. Note que o quadriltero ODBE um quadrado de lado r, onde o raio da perfurao da pea. Alm disso, os tringulos OAD e OEC so congruentes aos tringulos OAF e OFC respectivamente. Deste modo, a medida de AF e a medida de FC . Da, temos: AC = AF + FC Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: difcil.

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 165Comentrios e resoluo por Jogli Gidel


Nos processos industriais, como na indstria de cermica, necessrio o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situaes, o tempo de elevao dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indstria de cermica, o forno programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a funo

em que T o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno ligado. Uma pea deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for e retirada quando a temperatura for . O tempo de permanncia dessa pea no forno , em minutos, igual aa) b) . c) . d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado Essa questo muito boa, pois envolve uma funo definida por mais de uma sentena, o que muito importante, pois permite que o candidato interprete funes dessa natureza. Na sua resoluo, o candidato deve ter cuidado na eliminao de uma das razes de uma equao do segundo grau. Essa questo no apresenta dificuldade, mas preciso fazer sua interpretao e analisar os casos em que o tempo menor, maior ou igual a . Alm disso, sua redao est boa, no apresentando ambigidade. Em termos gerais, essa questo est adequada para fazer parte de uma prova de seleo do Enem. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum Resoluo Considerando a funo T dada na questo, temos: Quando a temperatura for de graus Celsius, ento

Quando a temperatura for de

graus Celsius, ento


www.dme.ufcg.edu.br/pet(I)

Resolvendo a equao (I). Clculo do discriminante: . Da, = Portanto, pois t Logo, . Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: mdio. Questo 166Comentrios e resoluo por Andr Ramalho

=

=

=

= Note que

. no serve,

O grfico mostra o nmero de favelas no municpio do Rio de Janeiro entre e , considerando que a variao nesse nmero entre os anos considerados linear. Se o padro na variao do perodo se mantiver nos prximos anos, e sabendo que o nmero de favelas em , ento o nmero de favelas em ser

a) Menor que . b) unidades maior que em c) Maior que e menor que d) unidades maior que em e) Maior que . Comentrios sobre o enunciado

. . .

O enunciado da questo claro e de fcil entendimento. Para solucion-la necessrio que se saiba interpretar um grfico e conhecer a principal propriedade das funes lineares: a acrscimos iguais na varivel independente esto relacionados acrscimos iguais na varivel dependente. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Interpretao de grfico e funo linear.



Primeiramente devemos encontrar a variao no nmero de favelas entre os anos de 2004 a 2010, o qual ser feito atravs do seguinte clculo:

Como a variao do crescimento considerada linear, entre os anos de 2010 a 2016 o nmero de favelas crescer a mesma quantidade que no perodo de 2004 a 2010. Assim, o nmero de favelas em 2016 ser encontrado pelo concludente clculo:

Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: fcil. Questo 167Comentrios e resoluo por Ygor Torquato

O grfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 at 2006.

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?a) gols. b) gols. c) gols. d) gols. e) gols.

Comentrios sobre o enunciado O enunciado da questo simples, direto; exigindo um pouco de interpretao do grfico apresentado. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas noes de estatstica (mediana e mdia aritmtica).



Faamos primeiramente o rol, uma lista com a quantidade de gols em cada copa, numa ordem crescente (ou decrescente). Se o nmero de itens for mpar, de fato, a mediana o termo central; caso contrrio, ser a mdia aritmtica dos termos que ocuparem as posies centrais. Logo, teremos:ROL: Observe que a quantidade de itens par ( itens) e, portanto, a mediana ser:

Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 168Comentrios e resoluo por Alan Guimares

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taas com formatos de um hemisfrio (Figura 1), porm um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taas quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taa fosse igual.

Considere: e Sabendo que a taa com formato de hemisfrio servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taa, em centmetros, dea) b) . c) d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado Questo apropriada para prova do ENEM, uma vez que aborda geometria espacial que , normalmente, ensinada no Ensino Mdio. No que se refere clareza do enunciado, acreditamos que, nas figuras 1 e 2, no est claro o que o valor R=3 cm representa. Por exemplo, na Figura 2, esse nmero corresponde ao raio de abertura do copo ou a raio da abertura do copo at onde est o champanhe?



Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum, apenas Geometria Espacial. Resoluo Para que a quantidade de bebida colocada na taa com formato de cone seja igual quantidade de bebida colocada na taa em formato de hemisfrio, devemos ter a igualdade:

Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 169Comentrios e resoluo por Michell Dias

O Salto Triplo uma modalidade do atletismo em que o atleta d um salto em um s p, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulso em um s p ser feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo p que deu a impulso; na passada ele cair com o outro p di qual o salto realizado.Disponvel em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminua em , e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminua . Querendo atingir a meta de nessa prova e considerando os seus estudos, a distncia alcanada no primeiro salto teria de estar entre a) b) c) d) e) e e e e e . . . . .

Comentrios sobre o enunciado Sabemos que a contextualizao uma crescente nos vestibulares de nosso pas. No entanto, nem sempre preciso contextualizar questes de cunho matemtico. Esta questo um exemplo de como o uso da contextualizao pode ser questionado, pois nada acrescenta resoluo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Sistema de equaes.



Chame o alcance do primeiro salto. Diante dos dados da questo, sabendo que no segundo salto ( ) o alcance diminui em relao ao primeiro, segue que a distncia alcanada por este ser . Note, portanto, que a distncia alcanada no terceiro salto ( ) ser , pois do terceiro para o segundo salto, o alcance diminui em relao ao passo original. Da, se o atleta deseja atingir a meta de , ento devemos ter:

Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: Fcil. Questo 170Comentrios e resoluo por Matheus Motta

Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificao no concurso o candidato deveria obter mdia aritmtica na pontuao igual ou superior a . Em caso de empate na mdia, o desempate seria em favor da pontuao mais regular. No quadro a seguir so apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemtica, Portugus e Conhecimentos Gerais, a mdia, a mediana e o desvio padro dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso

O candidato com pontuao mais regular, portanto, mais bem classificado no concurso, a) b) c) d) e) Marco, pois a mdia e a mediana so iguais. Marco, pois obteve menor desvio padro. Paulo, pois obteve a maior pontuao da tabela, Paulo, pois obteve maior mediana. Paulo, pois obteve maior desvio padro.

em Portugus.

Comentrios sobre o enunciado um enunciado simples. Est claro que essa questo exige apenas o conhecimento dos conceitos de mdia, mediana e desvio padro.



Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Probabilidade. Resoluo Pela tabela, Marco e Paulo empataram com mdia igual a 15. Ento, como o critrio de desempate ter a pontuao mais regular, usaremos a informao da coluna de desvio padro, que a medida mais adequada, uma vez que representa a variao nos elementos. Assim, Marco o candidato classificado, por ter o menor desvio padro. Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: fcil. Questo 171Comentrios e resoluo por Mrio Srgio

Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que no obtiveram cura foram distribudos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, dos pacientes foram curados e, no segundo, . Em relao aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura dea) 16%. b) 24%. c) 32%. d) 48%. e) 64%.

Comentrios sobre o enunciado Questo de enunciado claro, conciso e objetivo. Exige do candidato conhecimento sobre porcentagem e deve-se tomar cuidado no ato de fazer a diferena nos valores que realmente far uso na questo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Nenhum assunto do ensino mdio foi abordado apenas porcentagem. Resoluo Seja a quantidade inicial de pacientes. Sabendo que 40% desses foram curados, o nmero de indivduos submetidos inicialmente aos tratamentos inovadores de Sendo o nmero de pacientes curados com os tratamentos inovadores, do enunciado da questo, temos:

Assim, de . Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: mdio.

DICA PET MATEMTICA - UFCG: NO FAA TODA MULTIPLICAO, USE FATOR COMUM PARA SIMPLIFICAR AS CONTAS. POR EXEMPLO,

Grupo PET Matemtica UFCGQuesto 172Comentrios e resoluo por Lorena Brizza


Em , a produo mundial de etanol foi de bilhes de litros e a de biodiesel, de bilhes. Neste mesmo ano, a produo brasileira de etanol correspondeu a da produo mundial, ao passo que a produo dos Estados Unidos da Amrica, usando milho, foi de .Disponvel em: planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 02 maio 2009.

Considerando que, em , a produo mundial de etanol seja a mesma de e que os Estados Unidos produziro somente a metade de sua produo de , para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a da produo mundial, o Brasil deve aumentar sua produo em, aproximadamente:

a)

22,5%.

b) 50,0%.

c)

52,3%.

d) 65,5%.

e)

77,5%.

Comentrios sobre o enunciado O enunciado confuso, alm de conter muitos dados, obrigando o candidato a ler a questo mais de uma vez. Tambm possui informaes que no so utilizadas na resoluo, por exemplo, a produo de biodiesel. Tpico especfico de Ensino Mdio abordado na questo Nenhum. Apenas porcentagem que assunto do Ensino Fundamental. Resoluo Chamando a produo mundial de etanol de p temos que as produes do Brasil e dos Estados Unidos devem ser tais que:

DICA PET MATEMTICA - UFCG: COMO A PRODUO MUNDIAL DE ETANOL FIXA PARA OS DOIS PASES, CHAME PARA NO REALIZAR CLCULOS COM NMEROS DECIMAIS!

Produo em 2006:

Produo em 2009:

DICA PET MATEMTICA - UFCG: SABEMOS QUE A METADE DE 90, DA 45 UM POUCO MAIOR QUE A METADE DE .

Da, temos a relao seguinte:



Resposta correta: alternativa C. Grau de dificuldade: difcil. Questo 173Comentrios e resoluo por Alan Guimares

Joo mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possvel pode ser representado por uma sequncia de letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sair da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nessa ordem, voltando para a cidade A. alm disso, o nmero indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. Como Joo quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequncias, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA tm o mesmo custo. Ele gasta para examinar uma sequncia e descartar sua simtrica, conforme apresentado. O tempo mnimo necessrio para Joo verificar todas as sequncias possveis no problema dea) . b) . c) . d) . e) .

Comentrios sobre o enunciado Est uma boa questo, que exige do candidato o uso do raciocnio combinatrio. Embora longo, acreditamos que o enunciado da questo est bom e no dificulta a compreenso do candidato. S consideramos desnecessrio o fato de estar destacado no texto que o nmero indicado entre as letras informa o custo de deslocamento entre cada uma das cidades, uma vez que essa informao no tem utilidade para a obteno da soluo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Combinatria. Resoluo Para formar um percurso, Joo precisa permutar as letras B, C, D, E e F. Sabemos que isso pode ser feito de maneiras. No entanto, no contexto, permutaes simtricas signifi-

DICA PET MATEMTICA UFCG: CUIDADO AO TRANSFORMAR AS UNIDADES! USE A RELAO



cam a mesma coisa. Como, fixada uma arrumao das cinco letras acima, ela s tem uma permutao simtrica, o nmero de percursos que so contados como distintos no problema Sabendo que Joo gasta para examinar uma sequncia, ele gastar, no mnimo, Resposta correta: alternativa B. Grau de dificuldade: mdio. Questo 174Comentrios e resoluo por Andr Ramalho

O diretor de um colgio leu numa revista que os ps das mulheres estavam aumentando. H alguns anos, a mdia do tamanho dos calados das mulheres era de e, hoje, de . Embora no fosse uma informao cientfica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionrias do seu colgio, obtendo o quadro a seguir:

Escolhendo uma funcionria ao acaso e sabendo que ela tem calado maior que 36,0, a probabilidade de ela calar 38,0 a) b) c) d) e)

Comentrios sobre o enunciado O enunciado est claro e traz as informaes necessrias resoluo da questo. Tpico especfico do Ensino Mdio abordado na questo Probabilidade. Resoluo Considere os conjuntos: A = {funcionrias que usam calado } B = {funcionrias que usam calado maior do que

}

Como todas as funcionrias que calam 38, necessariamente tm calado maior que 36 temos que , de onde . Da, . Usando a frmula de probabilidade condicional temos:



Resposta correta: alternativa D. Grau de dificuldade: mdio.

Questo 175Comentrios e resoluo por Alan Guimares

O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no ltimo campeonato. A coluna da esquerda mostra o nmero de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele nmero de gols.

Se X, Y e Z so, respectivamente, a mdia, a mediana e a moda desta distribuio, entoa) X=Y

resolucao da prova azul enem2010 com dicas pet-matematica ufcg

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