PROVA PRESENCIALLista de Exercícios - Cálculo Integral

Nome: ____________________________________________________________________________________

RA: _______________________ Turma: ________________ Data: ____ / ____ / ____

QUESTÃO 01

A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas quando divididas empedaços menores e, então, soma-se a contribuição de cada parte. Essas somas finitas representam abase da definição da integração.

Segundo Thomas (Pág. 355), embora não tenhamos ainda uma fórmula geométrica simples paracalcular a área de formas com contorno curvo como a região R, podemos aproximá-la de um modosimples, utilizando retângulos para preencher a área. Quanto maior for a quantidade de retângulosutilizados para preencher a mesma área, maior será a precisão da aproximação.

Na figura abaixo, utilizamos o ponto médio da base de cada retângulo para determinar a altura decada um deles. Estimar a medida da área limitada pelos eixos coordenados e pela curva ,nos limites determinados, utilizando a soma das áreas dos retângulos:

a) 1,37 u.a.

b) 0,67 u.a.

c) 0,5 u.a.

d) 0,875 u.a.

e) 1 u.a.

[Ref: 17557] 1/17

QUESTÃO 02

Começa-se a bombear óleo para um tanque de armazenagem à razão de galões/hora,para o tempo t (em horas). Sabendo que a bomba foi ligada às 0 horas (zero horas), quantos galõesterão sido bombeados para o tanque até as 4h do mesmo dia?

a) 125

b) 325

c) 625

d) 700

e) 900

QUESTÃO 03

Uma máquina está bombeando refrigerante para fora de um recipiente, segundo uma taxa dada por

onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o recipiente continha 500litros de refrigerante no momento inicial, quanto de refrigerante resta no recipiente,aproximadamente, 20 minutos depois?

a) 425 litros

b) 370 litros

c) 225 litros

d) 80 litros

e) 70 litros

QUESTÃO 04

O bombeamento do coração consiste da fase sistólica, na qual o sangue é ejetado do ventrículoesquerdo para a artéria aorta, e da fase diastólica, durante a qual o músculo cardíaco relaxa. Ográfico abaixo mostra o fluxo de sangue (em litros por segundo) para a aorta em função do tempo e

sua equação é: L/s

[Ref: 17557] 2/17

Supondo que a fase sistólica dura de segundo, calcule a quantidade total de sangue, em litros,bombeado para a aorta durante uma fase sistólica.

a)

b)

c)

d)

e)

[Ref: 17557] 3/17

QUESTÃO 05

Os engenheiros de uma fábrica observaram que o custo C(q), em reais, de um produto varia a uma

taxa de para uma produção entre zero e dez milhares de produtos. Osengenheiros notaram que quando nenhum produto é feito o custo é de R$ 110,00.

Considerando essas informações, qual será o custo para fabricação de 8 unidades deste protuto?

a) R$ 6,00

b) R$ 16,00

c) R$ 94,00

d) R$ 96,00

e) R$ 106,00

QUESTÃO 06

Em Belo Horizonte, as capivaras estão causando aumento na população de carrapatos transmissoresde doenças. Suponha que o número de carrapatos, quando não há controle da prefeitura, aumenta auma taxa estimada pela função

onde t é medido em semanas. Em quanto aumenta, aproximadamente, a população de carrapatosentre a primeira e a terceira semana?

a) 54760

b) 17650

c) 8760

d) 13670

e) 12150

[Ref: 17557] 4/17

QUESTÃO 07

Um botânico descobre que um certo tipo de árvore cresce de tal forma que a taxa de variação da

sua altura é dada pela função metros/ano, em que x é o tempo, em anos,transcorrido desde o plantio da àrvore. Se em 2005, quando foi plantada, uma árvore tinha 1 m dealtura. Considerando o modelo criado pelo botânico, a altura dessa árvore em 2030 será de:

a) aproximadamente de 10,14 metros.

b) aproximadamente de 7,03 metros.

c) aproximadamente de 6,14 metros.

d) aproximadamente de 8,82 metros.

e) aproximadamente de 9,82 metros.

QUESTÃO 08

A Curva de Lorenz, denotada por L(x) e representada a seguir, é um gráfico muito utilizado peloseconomistas e procura ilustrar a desigualdade existente na distribuição do rendimento entre asfamílias em uma determinada economia ou sociedade. Neste gráfico, em um dos eixos é colocada avariável Rendimento e no outro a População, ambos representados por percentuais. Quanto maisafastada da diagonal y=x estiver a curva L(x), maior é a concentração de renda, ou seja, maior seráa desigualdade na repartição do rendimento entre as famílias.

Podemos estimar a quantidade total de desigualdade pelo coeficiente de Gini (CG), dado pelaintegral a seguir:

,

onde L(x) é a equação da curva de Lorenz. Suponha que em determinado país . Calculeo coeficiente de Gini aproximado para este país. Use e=2,7.

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a) 0.28

b) 0.07

c) 0.11

d) 0.74

e) 0.38

QUESTÃO 09

Para se adaptar ao aumento da demanda mundial de carvão de caldeira – o combustível dasfornalhas usadas para geração de eletricidade – a direção de certa empresa decidiu acelerar suasoperações de mineração. Os planos indicam que a taxa de aumento da produção anual será dada por

milhões de toneladas/ano nos próximos 20 anos. Sabe-se que a atual produção anualé de 20 milhões de toneladas, ou seja, P(0) = 20 milhões. Considerando tais informações qual dasfunções a seguir descreve a produção total de carvão de caldeira da referida empresa ao final de tanos, se a mesma aplicar o plano traçado?

a)

b)

c)

d)

e)

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QUESTÃO 10

Baseado em dados de uma pesquisa, um engenheiro descobriu que a taxa à qual a quantidade depeças produzidas em sua empresa que satisfazem as normas do INMETRO varia em relação aotempo t, pode ser aproximada pelo modelo onde t é o número de diasdesde o início da pesquisa. O número de peças dentro das normas nos primeiros 10 dias de pesquisaé, aproximadamente:

a) 23

b) 22

c) 19

d) 16

e) 14

QUESTÃO 11

A quantidade de bairros (B) de uma cidade, num determinado ano (A), pode ser calculadaaproximadamente de acordo com a relação:

O modelo é válido para o ano variando entre A = 1666 e A = 3333. Utilizando a fórmula, calculequal seria aproximadamente a quantidade de bairros dessa cidade no ano atual (A = 2015).

a) 336

b) 380

c) 424

d) 468

e) 512

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QUESTÃO 12

Estima-se que a taxa com que o montante de dinheiro arrecadado com a venda de uma determinadamercadoria está sendo definida com o tempo transcorrido (em anos, desde que se iniciaram as

vendas), de acordo com a equação (sendo medido em milhares).

Qual é, aproximadamente, o montante arrecadado entre 1 e 4 anos após o início das vendas?

a) 150.470,00

b) 450,00

c) 50.050,00

d) 140.777,00

e) 223,14

QUESTÃO 13

As tanajuras são formigas aladas do sexo feminino, da família das saúvas. São fêmeas virgens que,após acasalarem, voam para outros locais a fim de fundar um novo formigueiro.

Imagine que durante o processo de procura de um novo local para o formigueiro, uma tanajuradescreva uma trajetória de modo que sua velocidade v (em m/s) varie no tempo de acordo com

, com medido em segundos. Se a tanajura parte do repouso, o valoraproximado do deslocamento (em metros) por ela realizado nos primeiros seis minutos do vôo é de:

a) 0,324

b) 0,405

c) 0,560

[Ref: 17557] 8/17

d) 0,677

e) 0,690

QUESTÃO 14

Um projétil é lançado a partir da origem e tem sua posição, em metros, monitorada pela seguinte

função: , em que x é o tempo, em minutos, transcorrido após o seulançamento. Desse modo, qual será aproximadamente a sua posição após 2 minutos de seulançamento?

a) 0,88 m

b) 1,19 m

c) 1,68 m

d) 2,25 m

e) 3,20 m

QUESTÃO 15

Uma partícula move-se linha reta. Sua velocidade v pode ser descrita pela função

, onde v é dada em metros por segundo e t é o tempo dado em segundos. Ográfico de v(t), para foi construído utilizando-se o software de geometria dinâmicagratuito Geogebra (http://www. geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:

[Ref: 17557] 9/17

Pode-se dizer que a distância percorrida por essa partícula no intervalo t = 1 a t = 3 foiaproximadamente de

a) 0,42 m

b) 0,63 m

c) 2,49 m

d) 3,51m

e) 4,85 m

QUESTÃO 16

Dois veículos se movem lado a lado e percorrem uma estrada retilínea. A velocidade do carro éde metros/segundo no intervalo , e a velocidade do carro é de metros/segundo nomesmo intervalo, com . Além disso, suponha que os gráficos de e sejam osmostrados na figura a seguir, com e as áreas das regiões sombreadas:

[Ref: 17557] 10/17

Analise as afirmativas abaixo:

I) .

II) .

III) representa a distância total percorrida pelos dois carros e .

São verdadeiras as afirmativas:

a) apenas II

b) Somente I e II

c) apenas III

d) Somente II e III

e) todas as afirmativas

[Ref: 17557] 11/17

QUESTÃO 17

Uma placa retangular de largura C e altura C2, representada a seguir, deve ser cortada seguindo acurva descrita na figura abaixo.

Qual deve ser a largura, C, da placa para que a área da região sombreada seja 10m2 ?

a)

b)

c)

d)

e)

[Ref: 17557] 12/17

QUESTÃO 18

Uma decoradora fará um painel em que a imagem modelada abaixo será reproduzida várias vezesocupando a extensão de uma parede. Para estimar a quantidade de tinta necessária para arealização do serviço, a decoradora determinou a área da figura modelada. Sabendo que a imagemencontra-se limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, as quais se interceptam nos pontos de abscissa -2, 0 e 2, com as medidas dos eixos x e y expressas em dm, então podemos dizer que o resultadoobtido pela decoradora para a área da figura foi de:

a) 4, 0 dm2

b) 0,4 dm2

c) 2,0 dm2

d) 0,8 dm2

e) 8,0 dm2

QUESTÃO 19

Uma siderúrgica utilizará em um de seus processos de tratamento do minério um grande funil oqual foi modelado a partir da rotação da curva em torno do eixo no intevalo ,tal como esquematizado na figura a seguir:

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Sabendo que as medidas de x e y são dadas em metros, qual é aproximadamente o volume máximode minério comportado pelo funil, em m3?

a) 85 m3

b) 70 m3

c) 40 m3

d) 105 m3

e) 120 m3

[Ref: 17557] 14/17

QUESTÃO 20

Especialistas em estudos de câncer encontraram um tumor em certo paciente que tem a mesma

forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva em torno do eixo x,onde x e y estão em centímetros. Determine o volume do tumor encontrado pela equipe.

a)

b)

c)

d)

e)

QUESTÃO 21

Sabe-se que um vasilhame foi projetado pela rotação em torno do eixo y da região do primeiroquadrante do plano cartesiano compreendida entre a parábola e a reta .Considerando que as medidas dos eixos estão definidas em decímetros, qual é o volume de matériaprima que será utilizado na fabricação do vasilhame?

a)

b)

c)

d)

e)

[Ref: 17557] 15/17

QUESTÃO 22

Uma partícula viaja segundo uma trajetória, onde sua posição é dada por , onde édado em metros (m) e t (s) em segundos. Estime o valor da posição média, em metros (m), destapartícula, no intervalo [0, 10] segundos.

a)

b)

c)

d)

e)

QUESTÃO 23

Em certa indústria, a função fornece uma estimativa do número demercadorias produzidas durante x minutos. Desse modo, pode-se afirmar que o valor médio daquantidade de itens produzidos durante uma hora e meia nessa indústria é de aproximadamente:

a) 1775

b) 897

c) 739

d) 626

e) 468

QUESTÃO 24

Sabe-se que o trabalho realizado por uma força variável F atuante sobre uma partícula quando ela

se move de x1 até x2 é dado por . Uma partícula move-se ao longo do eixo x poruma força que mede Newtons em um ponto que está a x metros da origem.Sabendo-se que o trabalho médio realizado ao mover a partícula da origem até certo ponto é de20,0 Joules, determine o valor de .

a) -3,24

b) -2

c) 1,24

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d) 2

e) 11

QUESTÃO 25

A força, em joules, com que dois elétrons se repelem mutuamente é inversamente proporcional ao

quadrado da distância (em metros) entre eles, isto é, , onde f é a força, em Newtons,e K é uma constante positiva. Na figura abaixo, um elétron encontra-se fixo no ponto A e outroelétron encontra-se no ponto B. Sadendo que o trabalho, em joules (Newton/metro) para se deslocar

um elétron da posição x = p para a posição x = q é dado por , qual será otrabalho realizado pela força elétrica sobre o elétron repelido ao longo do eixo x, do ponto B queestá na posição , até o infinito?

a) T = - K

b) T = 2K

c) T = K

d) T = - 2K

e) T = K/2

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