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EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho

Prova 635/2.ª Fase 15 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

2014

VERSÃO 1

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Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h

Losango: Diagonal maior Diagonal menor2#

Trapézio: Base maior Base menor Altura2

#+

Polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#

Sector circular:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2

2a a- -^ h

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h Área de uma superfície esférica: 4 r raio2 -rr ] g

Volumes

Pirâmide: Área da base Altura31 # #

Cone: Área da base Altura31 # #

Esfera: r r raio34 3r -] g

Trigonometria

a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] ga b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] ga b

a ba b

1tg tg tg

tg tg+ =

-+] g

Complexos

cis cis nnt i t= n i^ ^h h, ,cis cis

nk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +

Probabilidades

é ã, ,,

,

,

p x p x

p x p x

X N

P X

P X

P X

0 6827

2 2 0 9545

3 3 0 9973

:Se ent o

n n

n n

1 1

1 12 2

f

f

1 1

1 1

1 1

.

.

.

n

v n n

n v

n v n v

n v n v

n v n v

= + +

= - + + -

- +

- +

- +

] ^

]]]]

g h

gggg

Regras de derivação

u

u

u

u

u

u

sen cos

cos sen

tgcos

ln

ln

logln

u v u v

u v u v u v

vu

vu v u v

u n u u n

u u u

u u

uu

e e

a a a a

uu

uu a

a

1

1

R

R

R

n n

u u

u u

a

2

1

2

!

!

!

+ = +

= +

= -

=

=

=-

=

=

=

=

=

-

+

+

l l l

l l l

l l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

^^`^ ^^^^^^ ^^

^ ^

hhjh hhhhhh hh

h h

"

"

,

,

Limites notáveis

3

lim

lim sen

lim

limln

lim ln

lim

ne n

xx

xe

xx

xx

xe p

1 1

1

1 1

11

0

N

R

n

x

x

x

x

x

x p

x

0

0

0

!

!

+ =

=

- =

+=

=

=+

"

"

"

"

"

3

3

+

+

b ^

^

^

l h

h

h

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GRUPO I

1. Seja

Sejam A e B dois acontecimentos (A e B ).

A e B são acontecimentos independentes;

,P A 0 4^ h,P A B 0 48+] g

Qual é o valor de P(B ) ?

(A) 0,08 (B) 0,12 (C) 0,2 (D) 0,6

2. Oxyzum octaedro [ABCDEF]coordenados.

z 5 ?

(A) 1C6 3

(B) 4C6 3

(C) 8C6 3

(D) 12C6 3

z

A

Cy

F

x

E

BO

D

Figura 1

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3. Um dos termos do desenvolvimento de ,x x x2 0com

10!c m x

Qual é esse termo?

(A) 10 240

(B) 8064

(C) 1024

(D) 252

4. Seja g , e3 6@ lng x e x= −^ ^h hConsidere a sucessão estritamente crescente de termo geral x n1

1n

n= +a k

Qual é o valor de lim g xn^ h ? (A) 3

(B) e

(C) 1

(D) 3

5. k f ,4 2r r; E

cos

f xx

x x

k x

24 2

3 2

se

se

1#r

r r

r

=−

− =

^ h

Z

[

\

]]]

]]]

Qual é o valor de k ?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 4

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6. xOy gllg

Figura 2

y

O x

g''

g ?

(A) (B)

(C) (D)

y

O x

y

O x

y

O x

y

O x

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7. Oxyz A (1, 0, 3) a3 2 4 0x y+ − =

Seja b um plano perpendicular ao plano a e que passa pelo ponto A

b ?

(A) 3 2 3 0x y+ − =

(B) 2 3 1 0x y z− − + =

(C) x y z2 3 0− + =

(D) yx3 2 0+ =

8. semirretas OAo e OBo C e raio BC

O é a origem do referencial;

o ponto A i32 3 2

o ponto B i32 3 2− +

o ponto C 2 i

Considere como arg z^ h ,r r6 6

(A) argz i z2 32 3

4 43/1 1 1r r^ h

(B) argz i z2 32 3

3 32/1 1 1r r^ h

(C) argz i z2 32 3

3 32/2 1 1r r^ h

(D) argz i z2 32 3

4 43/2 1 1r r^ h

AB

O

Figura 3

Im (z )

Re (z )

C

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GRUPO II

necessárias.

1. Seja C

1.1. Considere cisz 2 6r` j e 1w zi

z i 4= +−^ h

O a origem do referencial.

Seja A z e seja Bw

Determine a área do triângulo AOB6 @

1.2. Seja ,0! ra 6@C cosz z2 1 02 a− + =

a

2.

2.1.

2.2.

Seja X

X

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3. [ABCDE]

1AB

Mostre que sen

ADAB AD 1 2 5

2 r= −: c m

Nota: AB AD: designa o produto escalar do vetor AB pelo vetor AD

4. f e g , 03 6@lnf x x x

x g x x f x1 e= − + − = − +^ ^ ^ ^h h h h

4.1. f

4.2. f x e= −^ h ,e 16@

4.3. g

x para g

5. O e raio 2 e os pontos P Q R e S

os pontos P Q R e S

[PR]

PQ PS

a QPR

,0 2!ra :D

A a^ h é a área do quadrilátero [PQRS ] a

i ,0 2!ri :D tg 2 2i

A i^ hComece por mostrar que A cos16sena a a^ h

A B

C

D

E

Figura 4

R

a

P

SQ

O

Figura 5

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6. xOy f ,0 106 @por f x e x 82

x2= − + +^ h e dois pontos A e B

o ponto A f

o ponto B f

a reta AB tem declive 2

B

––

– B com arredondamento às centésimas.

7. o.n. xOy fde grau 3

2 e 3 f f x 2= −

hl h Rpor h x

ef x

x2l^^h h

lim h x 3x

=" 3+

^ h

III) h

III) h 2 0− =ll^ hIII) y 3 0 h quando x tende para 3

FIM

Figura 6

y

xO2

f

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COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8. ...................................................... ........................ 40 pontos

40 pontos

GRUPO II

1. 1.1. ................................................................................................... 15 pontos1.2. ................................................................................................... 15 pontos

2. 2.1. ................................................................................................... 10 pontos2.2. ................................................................................................... 15 pontos

3. ........................................................................................................... 15 pontos

4. 4.1. ................................................................................................... 20 pontos4.2. ................................................................................................... 10 pontos4.3. ................................................................................................... 15 pontos

5. ........................................................................................................... 15 pontos

6. ........................................................................................................... 15 pontos

7. ........................................................................................................... 15 pontos

160 pontos

TOTAL .............................................. 200 pontos