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PROPOSTA DE RESOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA

O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DA

PRODUÇÃO DE BEBIDAS À BASE DE FRUTAS

Murilo Vinicius Correa Trassi (UFSCar)

[email protected]

Deisemara Ferreira (UFSCar)

[email protected]

Alyne Toscano Martins (UFTM)

[email protected]

Reinaldo Morabito Neto (UFSCar)

[email protected]

Neste trabalho estuda-se o problema de programação da produção de

bebidas à base de frutas. O objetivo é definir o dimensionamento e

sequenciamento dos lotes de produção, otimizando custos de estoque, atraso

e limpezas. O processo de produção estudado é composto de dois estágios e

tem as seguintes características: presença de um estoque intermediário no

segundo estágio, limpezas temporais em ambos os estágios e a necessidade

de sincronia entre os dois estágios. A partir de um modelo matemático

aproximado para o problema encontrado na literatura é proposto um

método de solução heurístico. Esse modelo contempla a sincronia entre os

estágios de forma aproximada e pode não conseguir soluções factíveis na

realidade para algumas instâncias. Assim, a heurística proposta é composta

de duas fases: a primeira encontra uma solução factível a partir do modelo e

a segunda tenta melhorar a solução encontrada. Testes computacionais

foram realizados e a heurística mostrou-se promissora pois é capaz de

encontrar soluções melhores do que o modelo em um tempo computacional

menor.

Palavras-chave: Programação da produção, bebida à base de frutas,

heurística

XXXVII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

“A Engenharia de Produção e as novas tecnologias produtivas: indústria 4.0, manufatura aditiva e outras abordagens

avançadas de produção”

Joinville, SC, Brasil, 10 a 13 de outubro de 2017.





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1. Introdução

Em toda manufatura existem objetivos de desempenho e as estratégias de produção devem se

apoiar nos objetivos de desempenho de suas respectivas organizações. Nesse sentido, são

necessários ferramentas e métodos que apoiem gestores em tomadas de decisões.

O planejamento e controle da produção (PCP) é de suma importância para que, nas

organizações, se tomem decisões orientadas a esses objetivos de desempenho e se adquira

sucesso competitivo (VOLMANN et al., 2006)

Assim, modelos matemáticos de dimensionamento e sequenciamento de lotes podem ser

utilizados para determinar as quantidades que devem der produzidas de cada item em cada

período e em que ordem produzi-los, com o objetivo de atender a demanda minimizando

custos, tais como de estoque, trocas, atraso, entre outros. Esses modelos vêm sendo muito

pesquisados nos últimos anos tanto do ponto de vista teórico quanto em aplicações de

ambientes reais (COPIL et al., 2016).

Na indústria de bebidas são encontrados diversos trabalhos para refrigerantes e cerveja

(FERREIRA et al., 2012; GUIMARAES et al., 2012; BALDO et al., 2014). Atualmente as

bebidas à base de frutas (néctares e refrescos) vêm ganhando espaço no mercado de bebidas.

Esse tipo de bebida possui características de produção, tais como limpezas temporais, que não

permite que o problema de programação da produção para essas bebidas seja uma extensão

dos trabalhos de bebidas já presentes na literatura.

Existem alguns trabalhos na literatura que abordam essa aplicação. Pagliarussi et al. (2016)

apresentam modelos para somente um dos estágios de produção. Toscano et al. (2015)

abordam os dois estágios de produção, entretanto apresenta uma heurística que decompõem o

problema em estágio. Toscano et al. (2016) apresenta dois modelos (pessimista e otimista)

que trazem características dos dois estágios de produção, entretanto ainda não conseguem

resolver o problema integrado e necessitam de um pós-processamento para determinar se a

solução é factível ou não.





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Assim, nesse trabalho é proposta uma heurística de melhoria utilizando o modelo com melhor

desempenho entre os dois modelos propostos por Toscano et al. (2016), que é o pessimista,

em que a capacidade de produção é superestimada.

Esse trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2 apresenta-se a descrição do

problema abordado. Na Seção 3 é abordado o modelo pessimista. A heurística proposta é

apresentada na Seção 4. Na Seção 5 são apresentados os resultados dos testes computacionais

e na Seção 6 as conclusões.

2. Descrição do problema

A produção de bebidas à base de frutas é composta por dois estágios: a Xaroparia,

responsável pelo preparo da bebida, e a Linha, onde bebida é pasteurizada, envasada e

empacotada.

No primeiro estágio os ingredientes são misturados com água em tanques preparatórios.

Existe uma quantidade mínima que deve ser produzida devido ao uso de matéria-prima (lote

mínimo), e a quantidade máxima é definida pelo tamanho dos tanques preparatórios (lote

máximo). Depois de pronta a bebida é enviada para um tanque pulmão dentro da linha,

liberando os tanques preparatórios para preparar um novo lote de bebida. Saindo do tanque

pulmão, a bebida passa por um pasteurizador e segue para ser envasada em máquinas de

envase. Os itens finais são então empacotados e enviados para o estoque.

Esse processo de produção possui um sistema de qualidade em que existe a obrigatoriedade

de limpezas que ocorrem em três momentos diferentes: a cada troca de sabor, no início de

cada período e após um tempo limite de no máximo horas ( horas) sem

nenhuma limpeza nos tanques preparatórios (linha). Essas últimas limpezas são denominadas

“limpezas temporais” (TOSCANO et al., 2016). O tempo para a realização de uma limpezas

temporal e o tempo da primeira limpeza do período são fixos e não dependem da sequência de

produção. Para troca de sabor os tempos e os custos de troca são dependentes da sequência

dos sabores.





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Para que seja possível encontrar uma programação da produção factível para esse problema, é

preciso considerar a sincronia entre os estágios. Os tempos em que o tanque preparatório

espera para enviar a bebida pronta para a linha, e os tempos em que o a linha fica ociosa

esperando receber a bebida para ser pasteurizada e envasada devem ser considerados para

efeito de uso da capacidade (TOSCANO et al., 2016). Na Figura 1 é apresentada uma

programação da produção factível para um exemplar ilustrativo com um período. Estão

representados dois itens “a” e “b”, um tanque preparatório e uma linha. As linhas pontilhadas

na Figura 1 representam o instante em que o lote está sendo transferido do tanque preparatório

para o tanque pulmão, dentro da linha. Cinco situações de esperas são representadas nessa

figura (A, B, C, D, E).

Figura 1 - Exemplo de uma programação da produção factível

Fonte: Adaptado de Toscano et al. (2016)

Portanto, o problema abordado nesse trabalho consiste em definir a programação da produção

em empresas de bebidas à base de frutas em que devem ser levadas em consideração as

seguintes características: presença do tanque pulmão no segundo estágio que permite que um

lote seja envasado na linha enquanto o próximo lote é preparado na xaroparia; a necessidade

de limpezas temporais; tempos e custos de troca de sabor dependentes da sequência de

produção; e, a sincronia entre os estágios de produção, em que é preciso considerar as esperas

que podem ocorrer tanto do tanques preparatório pela linha quanto da linha pelo tanque

preparatório. Essas características que diferenciam esse problema dos outros trabalhos

existentes sobre bebidas na literatura.





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3. Modelo matemático

Toscano et al. (2016) propõem dois modelos, nomeados otimista e pessimista, que consideram

os dois estágios de produção (Xaroparia e Linha), entretanto as informações entre esses

estágio não estão totalmente sincronizadas. As limpezas temporais não são incluídas de

maneira explícita nas restrições. Existem variáveis de decisão contínuas que indicam o início

e término do processamento de cada lote de produção, mas não existe variável de decisão que

indique o início ou término de uma limpeza. Assim, se uma limpeza temporal é realizada em

algum dos estágios, o modelo não é capaz de prever se esse evento gerará algum impacto no

outro estágio, como por exemplo espera, ou seja, o modelo não estabelece a dependência entre

os dois estágios de maneira explícita. A partir da solução dada pelo modelo é preciso então

fazer um pós-processamento para saber se essa solução é factível, isto é, respeita os limites de

capacidade de produção do período. Ou seja, uma solução pode ser factível para o modelo,

porém infactível na prática, no mundo real.

No modelo pessimista, supõe-se que a existência de limpeza temporal em algum dos estágios

gera obrigatoriamente uma espera no outro estágio. Assim, tem-se menor capacidade

destinada à produção, em função dessas esperas que ocupam a capacidade total dos períodos,

por isso ele é nomeado pessimista. O modelo otimista, por outro lado, não contabiliza as

esperas que podem ou não aparecer em um estágio quando ocorre a limpeza temporal no outro

estágio.

O modelo pessimista apresenta mais soluções factíveis na prática do que o modelo otimista,

entretanto essas soluções podem ser ruins, pois com a capacidade reduzida, é necessário

atrasar mais lotes, ou aumentar níveis de estoque em determinados períodos.

Logo, para efeito de análise e por fornecer menos soluções infactíveis na prática, neste

trabalho utiliza-se o modelo pessimista da heurística proposta, que será detalhada na Seção 4.

Portanto, é interessante explicitar o modelo simplificado pessimista, proposto por Toscano et

al. (2016) e adaptado para os interesses de proposição de métodos de solução no presente

trabalho. Na Figura 2 a seguir estão descritos os conjuntos utilizados no modelo. Nas Figura 3

e 4 estão descritos os parâmetros e na Figura 5 as variáveis.





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Figura 2 – Conjuntos utilizados no modelo pessimista


Figura 3 – Parâmetros utilizados no modelo

pessimista





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Figura 4 – Parâmetros utilizados no modelo pessimista - continuação


O parâmetro foi inserido para controlar a redução da capacidade da heurística apresentada na Seção 4.





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Figura 5– Variáveis de decisão do modelo


O modelo pessimista é dado a seguir pelas Figuras 6, 7 8 e 9. A função objetivo é apresentada

pela expressão (1) sujeito as restrições de (2) a (26).

Figura 6– Função objetivo





9






10

Figura 7 – Conjunto de restrições

1






11

Figura 8 – Conjunto de restrições 2






12

Figura 9 – Conjunto de restrições 3


A função objetivo (1) minimiza os custos totais de estoque, atraso, trocas e de limpezas

temporais. A restrição (2) realiza o balanço de estoque e demanda. A restrição (3) impõe a





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existência de uma quantidade mínima (lote mínimo) de produção, e a (4) impõe o lote

máximo de produção, definido ou pelo limitante máximo de produção ou pelo menos pelo

máximo que se puder produzir no tempo disponível de envase até que se deva ocorrer a

limpeza temporal. A restrição (5) impõe que só há a produção do lote se houve produção do

lote anterior . A restrição (6) obriga que o item fantasma seja feito apenas uma vez no

início de cada período em cada tanque preparatório/linha (é usado para garantir que haja

limpeza no início de cada período). A restrição (7) realiza a conservação de fluxo para troca

dos itens, enquanto que a (8) força o item fantasma a ser o primeiro a ser produzido (se há a

troca de um item para um item qualquer, obrigatoriamente o item é antecedido pelo item

fantasma ). A restrição (9) impede que haja mais de uma troca para o mesmo sabor em um

mesmo período e a restrição (10) impede a existência de subrotas desconexas nas trocas de

itens. A restrição (11) faz com que os lotes do item possam ser produzidos somente se houve

uma troca para a produção daquele item, e limita o número de lotes produzidos desse item

pelo número de lotes que podem ser produzidos no tanque preparatório/linha no período .

A restrição (12) obriga que a produção do primeiro lote de cada item em cada período no

tanque preparatório só ocorra após o término da primeira limpeza no início do período, e a

(13) impõe que o início da produção do lote na linha ocorra após a limpeza no início do

período e se o primeiro lote do tanque preparatório estiver pronto para ser processado no

segundo estágio. As restrições (14) e (15) determinam o fim do processamento de cada lote

pelo início do processamento mais o tempo de processamento, para o tanque preparatório e

linha, respectivamente. As restrições (16) e (17) impõe que o processamento de um lote é

iniciado somente após o término do processamento do lote anterior, para o tanque

preparatório e a linha, respectivamente. As restrições (18) e (19) impõem que se houver troca





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de um item para um item , o início do primeiro lote de deve ocorrer após o término do

último lote de mais o tempo de troca entre os itens, para o tanque preparatório e linha,

respectivamente. A restrição (20) impõe que o inicio do envase de um lote deve ser após o fim

da preparação do mesmo. A restrição (21) garante que um lote será preparado somente se o

tanque preparatório estiver vazio. As restrições (22) e (23) determinam de maneira estimada,

para o tanque preparatório e linha, respectivamente, o número de limpezas temporais

necessárias em cada período. Esses valores são dados pelo piso do tempo de fluxo do início

do primeiro lote até que o último lote começa a ser envasado mais o tempo de espera gerado

pelo tempo total de limpezas temporais no outro estágio dividido pelo tempo máximo

permitido sem limpeza. Por exemplo, se o tempo total de fluxo e esperas foi de 5500 e o

tempo máximo permitido entre as limpezas é 1000, então são necessárias 5 limpezas.

As restrições (24) e (25) do modelo referem-se ao limite de capacidade de produção para os

dois estágios para cada tanque preparatório/linha em cada período . Na restrição (24) de

capacidade para o tanque preparatório, é subtraído da capacidade total ( ), o tempo total

de limpezas temporais realizadas no tanque naquele período e uma parcela do tempo total

destinado às limpezas temporais realizadas na linha, entendido então como uma espera. Esse

desconto de capacidade ocorre também para o estágio 2, a linha, na restrição (25). Esses

descontos vêm da premissa adotada pelo modelo pessimista que infere que a existência de

limpeza periódica em um estágio implica em espera pelo outro estágio produtivo, como

discutido nas seções anteriores.

No modelo original proposto por Toscano et al. (2016), o parâmetro não era considerado,

ou seja, em Toscano et al. (2016) as restrições (24) e (25) têm fixado. Conforme já

discutido anteriormente, o modelo original proposto por Toscano et al. (2016) pode apresentar

soluções infactíveis por sempre considerar que uma limpeza em um estágio implica em uma





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espera no outro estágio ( . Assim, a proposta de utilização e atualização do parâmetro

é justamente para tentar ajustar as esperas, com o intuito de encontrar mais soluções factíveis.

Os valores assumidos por esse parâmetro são alterados iterativamente na heurística que será

apresentada na Seção 4 a seguir.

O domínio das variáveis de decisão é definido pela restrição (26).

4. Heurística proposta

A partir do modelo pessimista apresentado na Seção 3, apresenta-se nessa seção a “Heurística

de Factibilização e Melhoria da Solução do Modelo Pessimista” (HFM). A HFM preconiza a

factibilização da solução do modelo para o ambiente real de manufatura sem priorizar, a

priori, a qualidade da solução. Posteriormente, em um segundo passo, a HFM tenta melhorar

a solução factível encontrada.

A factibilização de uma solução infactível e a melhoria dessa solução são realizadas através

de mudanças no termo α usado nas restrições (24) e (25) do modelo pessimista na Seção 3. Ao

mudar o valor de α e resolver novamente o modelo pessimista, pode-se mudar a factibilidade

das soluções obtidas. Suponha, por exemplo, , isso significa que além de sempre

considerar que existe espera em um estágio quando há limpezas no outro , acrescenta-

se ainda 10% do tempo total gasto com limpezas temporais, na forma de folga por

imprevisibilidade do modelo simplificado.

Dessa forma, maiores valores de geram mais segurança de factibilidade, pois, ao se

restringir mais a capacidade produtiva, subestima-se mais tal capacidade, reduzindo as

chances para que o modelo forneça uma solução infactível. Por outro lado, esse aumento no

valor de , posto que ele restringe a capacidade, gera soluções de menor qualidade, pois como

se dá uma menor margem para se produzir nos períodos, aumenta-se o nível de atrasos e de

penalizações. Assim, de maneira geral, para encontrar uma solução factível na prática, deve-





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se aumentar o valor de , e para melhorar o valor da função objetivo de uma solução, deve-se

reduzir .

A HFM é baseada na resolução do modelo pessimista (1)-(26) considerando ajustes do

parâmetro . O fluxograma da HFM é apresentado na Figura 10 a seguir.

A primeira etapa da HFM é a obtenção de uma solução factível. O modelo pessimista (1)-(26)

é resolvido com um valor de definido inicialmente. A solução obtida é sincronizada entre os

estágios. Se a solução obtida é factível, o algoritmo passa para a fase de melhoria da solução.

Senão, o valor de é aumentado a uma taxa , definida a priori, e o modelo (1)-(26) é

resolvido novamente. Esses passos são repetidos até que uma solução factível seja obtida ou

até que o tempo limite de execução da heurística seja atingido.

Figura 10 – Fluxograma da Heurística de Factibilização e Melhoria da Solução do Modelo Pessimista (HFM)





17

Fonte: Os autores





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Como o intuito da primeira etapa é factibilizar o problema, pode-se reduzir demais a

capacidade produtiva, forçando o modelo a gerar muitos atrasos, ou onerando de outras

formas o custo total, e assim fornecendo uma solução factível, mas de baixa qualidade.

Assim, a etapa de melhoria serve para resolver o tradeoff entre factibilidade e qualidade da

solução.

A partir de uma solução incumbente factível, S*, obtida na primeira etapa da heurística, na

segunda etapa da HFM o objetivo é melhorar a solução S*. A estratégia é aumentar

gradativamente o valor de , para encontrar uma solução melhor do que a S*, sem

infactibilizá-la.

O valor de é aumentado a uma taxa q definida a priori e o modelo é resolvido novamente.

Cabe observar que a taxa de aumento q pode ser definida de diversas formas. Nessa etapa, já

que se possui uma solução factível, com o objetivo de tornar o modelo mais simples e rápido

de ser resolvido, antes de resolver o modelo pessimista com o novo valor de , fixa-se as

variáveis de produção que são positivas, ou seja se , então essa variável é fixada.

Assim, a cada iteração, resolve-se o problema com as variáveis fixadas e verifica-se se a nova

solução é factível ou não. Se essa solução não for factível, atribui-se como solução final a

melhor solução factível obtida até então. Se a nova solução for factível, compara-se a função

objetivo da nova solução com a da solução incumbente S*. Se a função objetivo da nova

solução não for melhor, atribui-se como solução final a solução incumbente S*. Se, no

entanto, a função objetivo da nova solução for melhor do que atual incumbente S*, a etapa de

melhoria continua para uma próxima iteração, fixando variáveis, aumentando a capacidade,

resolvendo o modelo e sincronizando o problema, até que a função objetivo não seja

otimizada, ou que se atinja níveis de capacidade testadas pela etapa construtiva, ou que se

forneça uma nova solução infactível, ou que se atinja o tempo total limite da heurística,

devolvendo assim como saída a melhor solução obtida até então.

5. Testes Computacionais





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O modelo pessimista e a heurística HFM foram implementados na linguagem de modelagem

AMPL e o solver utilizado foi o CPLEX 12.6.1. O computador utilizado para os testes foi um

Intel core i7 com processador de 3.7GHz e memória de 16GB.

A heurística HFM foi testada para as mesmas instâncias utilizadas no trabalho de Toscano et

al. (2016). O objetivo é fazer uma comparação entre os resultados obtidos com a HFM e com

o modelo pessimista puramente proposto em Toscano et al. (2016).

O tempo limite de execução da heurística HFM é o mesmo tempo limite para resolução do

modelo pessimista, 3.600 segundos. O modelo pessimista é resolvido no trabalho de Toscano

et al. (2016) até a otimalidade ou até que esse tempo limite seja atingido. No presente trabalho

o modelo pessimista é resolvido várias vezes na heurística HFM. Assim define-se que o

critério de parada na resolução do modelo pessimista em cada iteração é a otimalidade ou até

o tempo limite de 300 segundos.

O valor de no início da heurística foi definido como 1,2. Testes iniciais foram realizados

com os valores 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; e 1,2, e foi o valor que apresentou mais soluções

factíveis. Cabe lembrar que no trabalho de Toscano et al. (2016) o valor de é fixo em

.

Na etapa de factibilidade o valor de é aumentado a uma taxa . Isso é, se o modelo é

infactível, .

Na etapa de melhoria da solução o valor de é escolhido aleatoriamente, através de uma

distribuição uniforme, no intervalo , em que . Inicialmente , porém a partir





20

da segunda iteração , em que é o último valor de utilizado na iteração

anterior.

5.1. Instâncias

As instâncias utilizadas nesse trabalho são baseadas em uma instância real, nomeada L1,

apresentada no trabalho de Toscano et al. (2016). Os autores propuseram diversas

modificações para L1 para testar o desempenho dos modelos em diversos cenários. Essas

mesmas instâncias foram utilizadas no presente trabalho e estão resumidas na tabela

apresentada na Figura 11 a seguir.

Figura 11 – Descrição das instâncias utilizadas





21

Fonte: Os autores

5.2. Resultados

Na Figura 12 estão apresentados os valores de função objetivo e os tempos computacionais

obtidos com a heurística HFM e com modelo pessimista. Os melhores valores de função

objetivo estão destacados em negrito.

A HFM apresentou solução factível para todas as instâncias e os menores valores de função

objetivo para 8 das 14 instâncias. Os tempos computacionais apresentados pela HFM são

melhores do que o modelo pessimista para todas as instâncias, exceto para a instância L14.

Essa rapidez da HFM se deve ao fato de que o tempo de resolução do modelo em cada

iteração é limitado em 300 segundos e também ao fato de que a heurística fixa parte das

variáveis inteiras. Para maioria das instâncias em que a solução foi melhorada, houve redução

do atraso.

Figura 12 – Tabela de resultados obtidos com a HFM comparados aos resultados do modelo pessimista em

Toscano et al. (2016)





22

Fonte: Os autores

Para ilustrar os resultados que são obtidos de modo iterativo pelo ajuste do parâmetro α, na

Figura 13 está apresentada uma tabela com as iterações da HFM para a instâncias L1.

Inicialmente, o valor encontrado na iteração1 é o mesmo que o de Toscano et al.(2016), mas

na iteração 2, com a redução de α esse valor é melhorado. Na iteração 3, a solução foi factível,

mas como não houve melhoria na função objetivo, a heurística foi finalizada.

Figura 13 – Tabela explicitando as iterações na HFM na resolução da instância L1





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Fonte: Os autores

6. Conclusão e perspectivas futuras

Neste trabalho apresentou-se uma heurística de factibilização e melhoria das soluções obtidas

através do modelo pessimista proposto por Toscano et al. (2016) para o problema de

programação da produção de bebidas à base de frutas.

Testes computacionais foram realizados com instâncias baseadas em dados reais e a heurística

HFM apresentou resultados satisfatórios, e para a maioria das instâncias, melhores do que o

modelo pessimista. Além disso a HFM é em média 53,98% mais rápida que o modelo

pessimista.

Como trabalhos futuros podem ser exploradas outras estratégias de ajuste para o parâmetro α,

como por exemplo, diminuí-lo de forma determinística. Outra proposta é tentar utilizar uma

estratégia de melhoria diferente, ao invés de finalizar a heurística, depois que a redução de α

não for mais capaz de melhorar a solução. É possível também determinar novas partições de

variáveis a serem fixadas no modelo na fase de melhoria.

7. Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq pelo apoio financeiro dado para o desenvolvimento desse

trabalho.





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REFERÊNCIAS

BALDO, T. A.; SANTOS, M. O.; ALMADA-LOBO, B.; MORABITO, R. An optimization approach for the lot

sizing and scheduling problem in the brewery industry. Computers & Industrial Engineering, v. 72, p. 58-71,

2014.

COPIL, K.; WÖRBELAUER, M.; MEYR, H.; TEMPELMEIER, H. Simultaneous lotsizing and scheduling

problems: a classification and review of models. OR Spectrum, 2016. Doi: 10.1007/s00291-015-0429-4.

FERREIRA, D.; CLARK, A. R.; ALMADA-LOBO, B.; MORABITO, R. Single-stage formulations for

synchronised two-stage lot sizing and scheduling in soft drink production. International Journal of Production

Economics, v. 136, n. 2, p. 255-265, 2012.

GUIMARÃES, L.; KLABJAN, D.; ALMADA-LOBO, B. Annual production budget in the beverage industry.

Engineering Applications of Artificial Intelligence, v. 25, n. 2, p. 229-241, 2012.

PAGLIARUSSI, M.; MORABITO, R.; SANTOS, M. Optimizing the production scheduling of fruit juice

beverages using mixed integer programming models. Gestão & Produção, 2016. Disponível em:

<http://dx.doi.org/10.1590/0104-530x2288-15>.

TOSCANO, A.; FERREIRA, D.; MORABITO, R. Heurística baseada em modelo para resolução do problema de

programação da produção de bebidas de frutas. In: Anais do XLVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa

Operacional. [S.l.: s.n.], 2015.

TOSCANO, A.; FERREIRA, D.; MORABITO, R.. Modelos matemáticos para o problema de dimensionamento

e sequenciamento de lotes em dois estágios com limpezas periódicas. In: Congreso Latino-Iberoamericano de

Investigación Operativa, 2016, Santiago, Chile. CLAIO 2016 - Program & Abstracts, 2016.

VOLLMANN, T. E. et al. Sistemas de planejamento e controle da produção para o gerenciamento da

cadeia de suprimentos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 648 p.

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