Propagação e Antenas – Exame 16 de Janeiro de 2016

IST | DEEC – Área Científica de Telecomunicações 1

Docente Responsável: Prof. Carlos R. Paiva

Duração: 3 horas 16 de Janeiro de 2016

Ano Lectivo: 2015 / 2016 PRIMEIRO EXAME

Nota Inicial – As soluções dos Problemas 3 – 6 podem ser encontradas na resolução do teste do mesmo

dia (16 de Janeiro de 2016).

1. Uma onda electromagnética plana e monocromática é caracterizada pelo vector complexo 3

0 1 2i E E E (em que 3

1 2, E E ). Tem-se, portanto, 0, exp .t i t E r E k r

Admitindo que 1 1 21.4 3 E e e e

1 1 22.5 2 E e e , com 3

ˆ k e , determine todas as

características da polarização desta onda. Represente graficamente o vector complexo 0E e assinale

as características notáveis desta linha.

Sugestão: Definindo 2

0 E , tem-se 1a F e 2b F , em que 0 1 2 0i F F F E .

Solução

16 de Janeiro de 2016 Propagação e Antenas – Exame

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Comecemos por calcular

2 2

0 00.71 5 1.6971 + 1.4731 0.7552 0.6555i i i

E E .

A figura anexa (da página anterior) caracteriza completamente a polarização: PED (polarização elíptica

direita).

2. Num sistema de comunicação óptica operado em regime linear monomodal, qualquer componente

do campo electromagnético tem a forma , , , , ,U x y z t F x y B z t , em que

0 0, , expB z t A z t i z t . Para impulsos gaussianos com trinado C , tem-se

2 2 2 2

20 2 20 0 2 2

0 0 0 0

10, exp 1

2 2 22

L LiC tA t A C

.

Admita que o débito binário obedece à condição 4 1B . Determine, então, o débito binário

máximo para 200 kmL nos três casos seguintes: (i) 0C ; (ii) 6C ; (iii) 6C . Considere 2

2 20 ps km . Indique, para cada caso, a largura (RMS) dos impulsos não só à entrada mas

também à saída da fibra óptica.

Solução

Da condição 4 1B resulta que

0

1

4B B

.

Por outro lado, vem 2 2 2

2 2

2 2

0 0 0

12 2

L LC

2

2 2 2 20 2

0

12

LC L C

2 2 20 2

0 0 0

d2 2 2 1

d 2 2

L LC

22 2

0

0

d0 1

d 2

LC

2 2 2

2 2 2 21 sgn 1C L C L L C C

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2

2 2sgn 1L C C

0 0

22 2

1 1 14 1 ,

4 4 sgn 1

B BL C C

2

0 2

2

1sgn 1

4B p C C

p L

0

2

10 1

4C p B

L

Em geral podemos, então, escrever

max0

max 0 0

20 0

0

,1

014 ,

4

B

pB B C B

L B

.

Com efeito, o débito binário resulta do período temporal (fixo) BT atribuído a cada bit. Quando se tem

0 , devemos considerar a nova regra 04 1B pelo que, neste caso,

0 0

0

1

4B

.

Para 2

2 20 ps km e 200 kmL , vem então

2

1, 0

1 3.4760, 6

0.2877, 6

C

p C C C

C

0

44.7214 ps, 0

110.2974 ps, 6

110.2974 ps, 6

C

C

C

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63.2456 ps, 0

219.8432 ps, 6

18.1948 ps, 6

C

C

C

Com efeito, tem-se

2 2

0 0

2 2

comprimento de 2

dispersãoDL

.

Logo, vem

22 2 2

2 222 2

0 0 0

1 1 sgn2 2 D D

L L L LC C

L L

.

Assim, para 2 0 vem 2sgn 1 , de modo que

2 2

2 0 1D D

L LC

L L

.

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A figura anexa (da página anterior) representa a variação do coeficiente de alargamento dos impulsos

em função do cociente DL L para 2sgn 1 e 6C .

0

max 0

0

3.9528 Gb s, 0

3.9528 Gb s 1.1372 Gb s, 6

2.2666 Gb s, 6

B C

B B C

B C

3. Pretende-se adaptar uma carga 25LZ a uma linha de impedância característica

0 81Z

através de um transformador de quarto-de-onda (com dieléctrico ar) para uma frequência nominal

0 100 MHzf . Nestas condições, determine: (i) o comprimento do transformador; (ii) a impedância

característica xZ do transformador; (iii) o valor máximo max inmax quando

00 2f f ;

(iv) a largura de banda 1 2,f f do transformador quando se impõe a restrição 0.25m . (v)

Finalmente, represente graficamente (de forma qualitativa) f para 00 2f f .

Sugestão:

0

2 20 0

2 1,

2 1 sec

L

L

Z Zfa f

f Z Z a

.

4. Uma linha de transmissão sem perdas, de impedância característica 0 75Z , encontra-se

terminada por uma carga de impedância 50 25LZ j . Determinar a localização e o

comprimento de um “stub”, terminado em curto-circuito, de tal forma que a carga fique adaptada à

linha. Faça a resolução deste problema utilizando duas vias distintas: (i) um processo puramente

analítico; (ii) a carta de Smith.

Deve entregar, com a sua resolução, a carta de Smith onde determinou as duas soluções deste

problema.

Sugestão:

2 2

0 0

2 22 20 0 0

1tan , ,

L L L L

L L L L

R t R t Z X t X Z tt d G B

R X Z t Z R X Z t

2 12

0

0

10

1 0

1 0

1tan , 0

2,

1tan , 0

2

1tan , 0

2

1 1tan , 0

2 2

LL L L

L g

g

Rt tX R Z X

Z dt

R Zt t

YB

B

YB

B

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5. Um sistema de comunicação óptica, a operar em 1.55 µm, utiliza uma fibra óptica com 360 km de

comprimento e requer uma potência mínima de out 25 dBm P no receptor. O coeficiente de

atenuação é 0.5 dB/km. Existem «splices» em cada troço de 30 km e conectores de 1.5 dB de perdas

em cada uma das duas extremidades da fibra. Cada «splice» introduz 0.2 dB de perdas. Determine,

nestas condições, a potência mínima in dBmP e in mWP que pode ser lançada, à entrada, na

fibra.

6. Pretende-se sintetizar um agregado linear com cinco antenas. O espaçamento entre antenas

consecutivas é 3 5d . Pretende-se obter um nível de 20 dB de lobos secundários. No entanto,

o desfasamento progressivo da corrente de cada antena é 2k d . Admita que as antenas são

isotrópicas e que a distribuição de correntes é simétrica. Determine a distribuição de correntes e o

diagrama de radiação do agregado. Faça um estudo pormenorizado dos nulos e dos máximos do

diagrama de radiação. Calcule, em unidades logarítmicas, a directividade e confirme, a posteriori,

os níveis de lobos secundários.

Sugestão:

2 2 42

1 2 1 2 1

2 2 2 2221 2 1 2

16 2 2 0.0413cos ,

1.64982 2 2 2

c c R c c cu k d

cc c R c c

2 21 1 2

1 2

2 1 2

2 2

1 2

max 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 cos2

2 2

6 2 8

c cu P c c

c c

c cD

c c c c c c

A

A

7. Dois espelhos planos, A e B, permanecem paralelos e aproximam-se um do outro – cada qual com

uma velocidade (normalizada) do ponto de vista do referencial LAB (laboratório). Quando, do

ponto de vista de LAB, o relógio marca 0t a separação entre A e B é (em LAB) 2L . Nesse

mesmo instante 0t um feixe laser deixa o espelho A em direcção a B. Esse sinal sofre sucessivas

reflexões entre A e B até que os espelhos colidem. Determine a distância total percorrida pelo feixe

do ponto de vista do referencial onde B se encontra em repouso.

Solução

Comecemos por apresentar um diagrama de Minkowski representando a situação descrita neste

problema (figura anexa da página seguinte). O LAB é caracterizado pela base

0 1, e eB .

O espelho A é caracterizado pela base

0 1, f fAB

e o espelho B por

0 1, g gBB .

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Tem-se

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1,

1 1

f e g e

f e g e.

A velocidade da luz é (em unidades geométricas) 1c em todos os referenciais. Assim, em qualquer

referencial, o espaço percorrido pela luz é igual ao tempo decorrido nesse percurso. A equiloc do espelho

A é 1m e pode ser representada pelo vector unitário

0f ; a equiloc do espelho B é 2m e pode ser

representada pelo vector unitário 0g . O feixe laser é emitido no acontecimento A e sofre sucessivas

reflexões nos acontecimentos 1 2 3, , ,R R R até à colisão entre os dois espelhos (acontecimento C ). O

espaço percorrido pelo feixe laser corresponde ao vector AC . Do ponto de vista do espelho B, o tempo

(igual ao espaço) percorrido pelo feixe será então

2

2

0 0 1 0 12

11

1

L LT T L

g e e e eAC .