Propagação & Antenas Página 1

Aula de Programas – 1

Programa 1

Num primeiro programa MATLAB, intitulado PA_1, ilustre a demonstração gráfica do teorema de

Pitágoras.

Usando o Microsoft PowerPoint pode ilustrar melhor o que se pretende provar (como na figura

anexa da página seguinte) importando o gráfico produzido na plataforma MATLAB.

Propagação & Antenas Página 2

Programa 2

Num mesmo programa MATLAB, intitulado PA_2, desenhe três figuras. Na Figura 1 desenha-se a

circunferência 2 2 1x y . Considere, para isso, a representação paramétrica

cos0 2

sin

x

y

Na Figura 2 desenham-se os dois ramos da hipérbole 2 2 2 1c t x . Considere, para isso, as

seguintes representações paramétricas (experimente diferentes valores de 0 )

0 0

coshramo superior

sinh

coshramo inferior

sinh

ct

x

ct

x

Propagação & Antenas Página 3

Na Figura 3 desenham-se os dois ramos da hipérbole 2 2 2 1x c t . Considere, para isso, as

seguintes representações paramétricas

0 0

sinhramo direito

cosh

sinhramo esquerdo

cosh

ct

x

ct

x

Propagação & Antenas Página 4

Propagação & Antenas Página 5

Propagação & Antenas Página 6

Programa 3

Num mesmo programa MATLAB, intitulado PA_3, desenhe quatro figuras dispostas numa matriz

de 2 2 . Na primeira linha pretende-se mostrar o perfil espacial de uma onda em dois instantes

sucessivos 1t t e

2t t . Na segunda linha pretende-se mostrar a evolução temporal dessa mesma

onda em dois pontos 1 e

2 .

A onda que se irá considerar é a seguinte (para um dado valor 1,2,3,m ):

2 1 2

2

0 0

1 1, exp

m m

mf t t t

c c

.

Para efeitos de representação gráfica vai-se considerar 1c e 0 1 . Assim, tem-se:

0

2 1 2

0 0 0 02

0 0

1 1perfil espacial em , exp

m m

t mt t f t t t

c c

0

2 1 2

0 00 0 2

0 0

1 1evolução temporal em , exp

m m

mt f t t t

c c

Considere dois casos: (i) 1m ; (ii) 3m .

Propagação & Antenas Página 7

Propagação & Antenas Página 8

Propagação & Antenas Página 9

Programa 4

Admita que um observador O , no interior de um vagão de comboio, emite um sinal

electromagnético a partir do ponto médio do compartimento. Assim, este observador nota que o

sinal emitido chega simultaneamente às duas extremidades 1e e

2e da carruagem cujo

comprimento, do seu ponto de vista, é 0L . Para um outro observador O , na estação de comboios,

que vê o comboio a deslocar-se com uma velocidade v (constante) no sentido positivo do eixo x , o

sinal emitido por O não chega simultaneamente às duas extremidades (como observado por O ).

Com efeito, o sinal emitido por O , chega – do ponto de vista de O – num instante 1t à

extremidade 1e e num instante (posterior)

2t à extremidade 2e .

(a) Usando um diagrama de Minkowski, mostre que – sendo L o comprimento do vagão do ponto

de vista do observador na estação – se tem

2 1 2 2

v Lt t t

c v

onde c representa a velocidade da luz.

(b) Explique, com base na experiência considerada, como traça os eixos ,x ct e ,x ct no

diagrama de Minkowski.

(c) Mostre, ainda, que

2

01v

L Lc

.

Propagação & Antenas Página 10

A experiência aqui considerada encontra-se representada no diagrama de Minkowski seguinte.

A linha de universo 1e é representada por x vt . Já as linhas de universo m e

2e são,

respectivamente, representadas por 2x vt L e por x vt L . O sinal electromagnético 1 que

liga os acontecimentos M a A é dado pela equação x ct x M . Já o sinal electromagnético que

liga os acontecimentos M a B é dado pela equação Mx ct x . Como é óbvio, tem-se 2x LM .

Assim, o instante 1t é tal que

1 1 1 12 2 2

L L Lct vt c v t t

c v

.

Por sua vez, o instante 2t é tal que

2 2 2 22 2 2

L L Lct vt L c v t t

c v

.

Propagação & Antenas Página 11

Logo, infere-se que

1 1 2 2 2 2

2

2 2 2

L L L v v Lt t t t

c v c v c v c v

.

O eixo ct corresponde à «equiloc» 0x do sistema de coordenadas S , i.e., à linha de universo

1e x vt no sistema de coordenadas S . Ou seja:

1 1Eixo 0

tanct x x ct ct x x

.

O eixo x corresponde à «equitemp» 0ct do sistema de coordenadas S , i.e., é a «equitemp»

paralela à «equitemp» que liga os acontecimentos A a B e que contém o acontecimento 0x x

quando 0t t (i.e., a origem comum dos dois sistemas de coordenadas S e S ).

Do ponto de vista de S , tem-se então

1,

2 2 1 2 1

c L L Lx vt ct ct ct x

c v

A A A A AA

2

2,

2 2 1 2 1 2 1

c L L L Lx vt L ct L ct ct x L

c v

B B B B BB

Logo, a equação que descreve a «equitemp» (em S ) que liga estes dois acontecimentos é:

A A B AA A

B B B A

12

ct p x q ct ct Lct p x q p q ct p x

ct p x q x x

12

Lct x .

Esta última equação prova inequivocamente que, de facto, a «equitemp» de S que passa na origem

dos dois sistemas de coordenadas é dada por ct x . Assim:

1

Eixo 0 tanx ct x ct ct x ct x

.

Note-se que existe, aqui, uma invariância. Como

Propagação & Antenas Página 12

0x A , 1

2 1

Lct

A e

2 1

Lx

A ,

a (seguinte) invariância do intervalo permite calcular ctA :

2 22 2 2 2

A

1 1

2 1 2 1

L Lc t x c t x ct t

c

A A A A A .

Analogamente, tem-se:

2 22 2 2 2c t x c t x B B B B .

Neste caso, com A e B são simultâneos em S , obtém-se

1

2 1

Lct ct

B A e 0Bx , pelo que:

2

2 22 3

2 1

Lc t x

B B .

Logo, como

2 1,

2 1 2 1

L Lx ct

B B ,

daqui resulta, então, que:

2

2 2 2 3

2 1

Lc t x

B B .

Em síntese:

1 10, ,

2 1 2 1 2 1S S

L L Lx ct x ct

A A A AA

0

1 2 1, ,

2 1 2 1 2 1S S

L L Lx L ct ct x ct

B B A B BB

Mas então, vem:

Propagação & Antenas Página 13

2 2

2 22 2

0

1 3

2 1 2 1

L Lc t x L

B B .

Esta última equação permite, agora, determinar a relação entre L e 0L . Vem sucessivamente

22 2

2

0 2 2

2 22

2

2 2

2 2

1 3 11 3

2 1 1 2 1 1

1 2 3 3

2 1

4

2 1 1

L LL

L

L L

donde se infere, por fim, que

2

01 QEDL L .

Era também possível chegar a este mesmo resultado de uma forma alternativa. Vejamos como.

A intersecção da «equitemp» ct x (i.e., o eixo x ) com a linha de universo

2

1e x vt L x ct L ct x L

,

permite definir um novo acontecimento Q , tal que

2 2

1

1 1Q

L Lx x L x ct x

Q Q Q Q .

Porém, do ponto de vista do referencial S , o acontecimento Q ocorre em 0x L no instante

0t . Ou seja:

0 2 2, 0 ,

1 1S S

L Lx L ct x ct

Q Q Q QQ .

Logo, de acordo com a invariância do intervalo, vem

2 22 2 2 2c t x c t x Q Q Q Q .

Propagação & Antenas Página 14

Assim, substituindo nesta última equação as coordenadas do acontecimento Q nos dois sistemas de

coordenadas, obtém-se:

2 2 2 22 2 2

0 0 2 22 2 22 2

1

1 1 11 1

L L LL L L

2

01L L .

É claro que também se poderia inferir a contracção do espaço por outras vias. Mas, como exemplo,

fica aqui apenas referido o processo que se baseia na invariância do intervalo.