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PROJETOS DE INVESTIMENTO NA EMPRESA Prof. Juan Carlos Lapponi

Capítulo 5

MÉTODO DE AVALIAÇÃO COM TAXA DE RETORNO


Na apresentação do perfil do VPL no Capítulo 4 foi mostrado que no projeto do tipo simples há uma taxa de juro que anula o VPL do projeto, e essa taxa efetiva é denominada taxa interna de retorno TIR, que detecta mais não mede a criação de valor do projeto.

O tema inicial deste capítulo explica a avaliação do projeto com a taxa interna de retorno TIR e mostra como se toma a decisão de aceitação do projeto utilizando o método da TIR que se deve aplicar apenas com projetos simples.

Por ser uma taxa de juro, aparentemente a TIR é um resultado de avaliação do projeto mais fácil de compreender, entretanto, ao afirmar que a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto é a TIR se está aceitando a premissa implícita que os retornos serão reinvestidos em novos projetos com a mesma TIR, condição nem sempre possível de atender.


Em geral, os retornos são reinvestidos em novos projetos com certa taxa de reinvestimento e isso dá origem à taxa interna de retorno integrada TIRI e a decisão com o método da TIRI que incorpora a premissa de reinvestimento dos retornos com uma taxa de reinvestimento definida externamente, tema equivalente ao do valor presente líquido integrado VPLI.

O último tema é a avaliação e a decisão de aceitação do projeto com a taxa interna de juro TIJ comparada com a referência da taxa requerida do projeto, procedimento recomendado para avaliar projetos com múltiplas taxas internas de retorno, ou projetos não-simples.

Na tomada de decisão de aceitação do projeto, o resultado da avaliação é comparado com um valor de referência, e a TIR é comparada com a taxa requerida do projeto simples. Na apresentação se destacam as relações entre os procedimentos de avaliação e a coerência entre os métodos de decisão e, neste capítulo, principalmente com o método do VPL.


O VPL do projeto depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco do projeto. Portanto, para um fluxo de caixa determinado o resultado do VPL do projeto depende da taxa requerida. Por exemplo, o projeto aceito com uma determinada taxa requerida poderá ser rejeitado se essa taxa requerida aumentar como mostra o Exemplo 5.1 desenvolvendo o projeto do Exemplo 4.1 do Capítulo 4. O cálculo da TIR é apresentado num ambiente de certeza. Os retornos do projeto com fluxo de caixa incerto são

variáveis aleatórias e o cálculo da TIR é realizado com o valor esperado dessas variáveis.

MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO


Exemplo 5.1. A empresa tem a oportunidade de investir $600.000 no projeto cujo fluxo de caixa está registrado na tabela. Considerando a taxa requerida de 12% ao ano, verifique se esse projeto deve ser aceito utilizando a TIR.

2 3

4 5 6 7

$120.000 $150.000 $200.000$600.000

1 (1 ) (1 )

$220.000 $200.000 $180.000 $230.000

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

VPLk k k

k k k k


Os resultados do VPL registrados na tabela confirmam que o aumento da taxa requerida diminui o VPL do projeto simples tendendo ao custo inicial $600.000.

Também, no intervalo de taxa requerida de 0% a 20% o VPL é positivo, e a partir da taxa requerida de 25% o VPL é negativo. O perfil do VPL destaca o impacto da taxa requerida k no VPL do projeto simples.


Tanto a tabela quanto o gráfico do perfil do VPL mostram que há uma taxa de juro que anula o VPL do projeto. Essa taxa efetiva é denominada taxa interna de retorno, ou

simplesmente TIR, e seu valor é igual a 21,68% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira HP-12C.

Com o procedimento de cálculo do VPL e o comando Atingir Meta se pode calcular a TIR do projeto como se mostra no Apêndice 5.2 deste capítulo.

Da regra de decisão do VPL para o projeto simples, se deduz que se a taxa requerida for menor do que TIR, o projeto será aceito, e se for maior do que a TIR o projeto será rejeitado. Portanto, se pode dizer que a TIR é a maior taxa requerida que aceita o projeto.

Também, da definição da TIR como a taxa de juro que zera o VPL do projeto se deduz o procedimento de obtenção da TIR. No projeto do Exemplo 5.1, a TIR é obtida de:

2 3 4 5 6 7

$120.000 $150.000 $200.000 $220.000 $200.000 $180.000 $230.000$600.000 0

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

TIR

TIR TIR TIR TIR TIR TIR TIR


De forma geral, do cálculo do VPL do fluxo de caixa do projeto simples com custo inicial I na data inicial e a soma dos presentes dos retornos do projeto FC1, FC2, FC3, ..., FCn considerando a taxa requerida constante k:

Impondo a condição VPL=0, da expressão anterior se obtém a TIR do projeto simples:

Essa expressão mostra que a TIR depende somente do custo inicial e dos retornos do projeto e suas datas de ocorrência. Comparando com o VPL a taxa requerida k não participa do

procedimento de cálculo da TIR, entretanto, a taxa requerida é a referência da decisão de aceitar ou rejeitar o projeto.

31 22 31 (1 ) (1 ) (1 )

nn

FC FCFC FCVPL I

k k k k

31 22 3

01 (1 ) (1 ) (1 )

nn

FC FCFC FCI TIR

TIR TIR TIR TIR


Para o lançamento de um novo tipo de cotonetes foram definidas as seguintes estimativas do fluxo de caixa. O custo inicial de $400.000 na data zero e os retornos anuais iguais a $100.000 durante o prazo de análise do projeto de cinco anos. Verifique se o projeto deve ser aceito com o método da TIR, considerando a taxa requerida de 10% ao ano.

O projeto não deve ser aceito, pois a TIR igual a 7,93% é menor do que a taxa requerida 10% ao ano. A decisão com TIR de rejeitar o projeto é coerente com a do VPL realizada no Exemplo 4.2 do Capítulo 4.

2 5

5

$100.000 $100.000 $100.000$400.000 0 7,93%

1 (1 ) (1 )

1 (1 )$400.000 $100.000 0 7,93%

TIRTIR TIR TIR

TIR TIR

TIR


A TIR do projeto igual a 7,93% ao ano é obtida com a calculadora financeira HP-12C. O procedimento da primeira coluna seguinte utiliza a rotina de fluxo de caixa dessa calculadora, e o procedimento da segunda coluna considera os retornos do projeto como fluxo uniforme postecipado, procedimentos revistos no Capítulo 2.

A TIR do projeto também é obtida com a função TIR do Excel registrando numa célula da planilha a fórmula =TIR({400;100;100;100;100;100};0,1), como mostrado no Apêndice 5.1 deste capítulo.

Como os retornos do projeto formam um fluxo uniforme postecipado, a TIR do projeto pode também ser obtida com a função financeira TAXA do Excel registrando a fórmula =TAXA(5;100000;400000;0;0).


Sendo a TIR do projeto simples do Exemplo 5.2 menor do que a taxa requerida, o VPL é negativo.

Se o projeto do Exemplo 5.2 for aceito apesar do método da TIR não o recomendar se estará aceitando que o valor da empresa decrescerá, pois se pagará $400.000 por um ativo que na mesma data vale menos e, consequentemente, se destruirá parte do patrimônio da empresa.

Acompanhando a análise do VPL realizada no Exemplo 4.2 do Capítulo 4 do livro, embora a decisão seja de não aceitar o projeto, ele não deve ser abandonado, descartado, de imediato.

O mais importante é o desenvolvimento da oportunidade do novo tipo de cotonetes que poderá ser inovador e tomar uma boa parte desse mercado, e não se apegar somente ao resultado da avaliação com o VPL. De outra maneira, as estimativas do fluxo de caixa devem

ser revistas, pois o objetivo do projeto pode conter uma criação de valor potencial para a empresa.


Todos os exemplos deste capítulo também estão resolvidos na planilha de Excel Exemplos, incluída na pasta Capítulo 5 que faz parte do CD-Rom que acompanha o livro.

Todos os exemplos e problemas deste capítulo podem ser resolvidos com o Modelo Avaliação em Excel desenvolvido pelo autor. Esse modelo foi construído na pasta Modelo Avaliação,

que faz parte do CD-Rom que acompanha o livro e cuja descrição está registrada no Apêndice 4.1 do Capítulo 4.


Exemplo 5.3. Continuando com o projeto do Exemplo 4.2. Na tentativa de melhorar o resultado do projeto, o gerente de novos investimentos incluiu o valor residual do equipamento estimado em $90.000 na data final do prazo de análise do projeto. Verifique se o projeto deve ser aceito.

O projeto deve ser aceito, pois a TIR igual a 13,05% é maior do que a taxa requerida 10% ao ano. Essa decisão é coerente com a do VPL deduzida no Exemplo 4.3 do Capítulo 4.

2 5 5

5

5

$100.000 $100.000 $100.000 $90.000$400.000 0 13,05%

1 (1 ) (1 ) (1 )

1 (1 ) $90.000$400.000 $100.000 0 13,05%

(1 )

TIRTIR TIR TIR TIR

TIR TIR

TIR TIR


Ao aceitar o projeto do Exemplo 5.3, a empresa pagará $400.000 por um ativo que na mesma data vale mais, embora seu valor não seja conhecido.

Mesmo que a orientação da TIR seja de aceitar o projeto se deve ter presente que o resultado TIR > k será conseguido com a venda do ativo que produz os cotonetes no final do prazo de análise.

Embora tecnicamente válido, a inclusão do valor residual pode esconder a impossibilidade do novo produto criar valor para a empresa. Nesse caso também, as estimativas do projeto devem ser

revistas, pois o objetivo do projeto pode ter potencial de criação de valor para a empresa.


No projeto do tipo simples, com o aumento da taxa requerida o VPL do projeto tende ao valor do custo inicial, pois o VPL é uma função decrescente da taxa requerida.

Portanto, a decisão com o método da TIR somente se deve realizar em projetos simples que garantem a existência de uma única TIR > 100%. Nos outros tipos de fluxo de caixa, em geral, o método da

TIR não deve ser utilizado, pois há a possibilidade de múltiplas TIR’s.

Sendo a TIR a taxa de juro que zera o VPL do projeto simples, para qualquer taxa requerida k menor que a TIR o VPL será positivo, e para qualquer taxa requerida k maior que a TIR o VPL será negativo. Em alguns casos, o projeto não é simples e tem uma única

TIR, como o projeto do Exemplo 5.6 deste capítulo.

COMO DECIDIR COM O MÉTODO DA TIR


Para decidir se deve ser aceito a TIR do projeto é comparada com a referência da taxa requerida k de forma que: Se TIR > k, o custo inicial será recuperado e remunerado

com a taxa requerida k e o projeto criará valor não-determinado. Logo, se a TIR for maior que k o projeto deve ser aceito.

Se TIR < k, o custo inicial não será recuperado nem remunerado de forma completa com a taxa requerida k. Por conseguinte, o projeto deve ser rejeitado porque sua aceitação destruirá valor da empresa não-determinado.

A TIR=k não foi incluída na condição de aceitação do projeto, pois esse resultado indica que o custo inicial será recuperado e remunerado com a TIR, porém, não criará nem destruirá valor da empresa.

Essa condição mostra que no projeto simples a TIR é a máxima taxa requerida que aceita o projeto.


Depois de aceitar o projeto e durante seu prazo de análise os gerentes se empenharão para que as estimativas desse projeto se tornem realidade e se obtenha a TIR esperada.

Entretanto, se for afirmado que a TIR é a rentabilidade periódica do capital investido o compromisso de que as estimativas se cumpram é uma condição necessária de obter a taxa esperada TIR, porém, não é suficiente, pois, como se mostra a seguir, apenas tomar uma boa decisão não garante o bom resultado esperado.

Nesse caso, os gerentes deverão procurar novos projetos para reinvestir os retornos do projeto com a mesma TIR. De forma equivalente com o método do VPL, a obrigação

de reinvestimento dos retornos é uma premissa implícita no cálculo do TIR como se mostra a seguir.


Multiplicando e dividindo a expressão para obter a TIR se tem:

Realizando a operação indicada se tem a expressão que destaca a premissa implícita de reinvestimento dos retornos com a TIR.

Essa conclusão é coerente com a obtida com o método do VPL. Para garantir o VPL, os retornos do projeto devem ser reinvestidos em outros projetos com a taxa requerida k. Dessa maneira, para garantir o VPL=0, os retornos do projeto devem ser reinvestidos em outros projetos com a TIR obtida dessa condição.

Portanto, ao afirmar que a TIR é a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto se está garantindo que os retornos gerados serão reinvestidos em outros projetos com a mesma TIR.

1 21 2

(1 )(1 ) (1 ) (1 ) 0

(1 )

n

nn n

TIRI FC TIR FC TIR FC TIR

TIR

1 21 2(1 ) (1 )

0(1 )

n n

nn

FC TIR FC TIR FCI

TIR


Começamos por analisar os pontos fortes da TIR. Considera o fluxo de caixa completo do projeto e o valor

do dinheiro no tempo. Informa se o projeto simples cria ou destrói valor. É uma taxa de juro, uma medida relativa em vez de uma

medida absoluta como o VPL. A TIR é fácil de ser comunicada e, aparentemente, bem compreendida por muitos.

VANTAGENS E DESVANTAGENS DA TIR


Os pontos fracos da TIR. Deve ser aplicada somente na avaliação de projetos com

fluxo de caixa com uma única mudança de sinal, denominados projetos do tipo simples ou projetos simples.

Necessidade de determinar a priori a taxa requerida do projeto.

Não tem a propriedade aditiva do VPL de fluxos de caixa de um mesmo projeto.

A maior TIR não seleciona o melhor projeto de um grupo de projetos mutuamente excludentes com o mesmo prazo de análise, exceto aplicando a análise incremental, ou grupo de projetos independentes sob restrição orçamentária, tema apresentado no Capítulo 7 do livro.

Dificuldade em reinvestir os retornos do projeto para garantir a rentabilidade periódica igual a TIR.


No projeto simples cujo fluxo de caixa apresenta uma única mudança de sinal, a recomendação de aceitação ou rejeição do projeto com o VPL e a TIR deve ser a mesma como foi mostrado na análise do perfil do VPL do Exemplo 5.1.

Essa conclusão também se obtém de forma analítica partindo das expressões do VPL obtido com a taxa requerida k e da TIR a seguir repetidas.

Subtraindo a segunda expressão da primeira e reagrupando os termos não se altera o resultado da primeira expressão:

CONSISTÊNCIA DA DECISÃO

1 20 1 2

1 20 1 2

1 1 1

0 1 1 1

nn

nn

VPL A A k A k A k

A A TIR A TIR A TIR

1 20 1 2

1 20 1 2

1 1 2 21 2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

nn

nn

n nn

VPL A A k A k A k

A A TIR A TIR A TIR

VPL A k TIR A k TIR A k TIR


Eliminando os expoentes negativos dos termos de cada parcela da última expressão se tem:

Como a taxa requerida do projeto k é sempre positiva, a TIR será também positiva. Dessa maneira, se a TIR for maior do que a taxa requerida k o resultado do numerador de cada parcela dessa expressão é sempre positivo e, conseqüentemente, o VPL também será positivo.

De forma equivalente, se a TIR for menor do que a taxa requerida k o resultado do numerador de cada parcela da expressão acima é sempre negativo e também o VPL é negativo.

Finalmente, se a TIR for igual a k o resultado do numerador de cada parcela é sempre zero e o VPL é nulo. Esses resultados confirmam que no projeto simples a decisão de aceitação do projeto pelo VPL e pela TIR coincide.

2 2

1 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

n n

n n n

TIR k TIR k TIR kVPL A A A

k TIR k TIR k TIR


O projeto simples garante a existência de uma única TIR e a decisão de aceitação ou rejeição desse projeto aplicando o método do VPL e o método da TIR deve ser a mesma.

O fluxo de caixa com uma única mudança de sinal do projeto simples pode ser do tipo (, +, +, ..., +) com um único desembolso na data zero, ou do tipo (, , +, +, ..., +), (, ..., , +, ..., +) com dois ou mais desembolsos seguidos, sempre a partir da data inicial.

Entretanto, se o fluxo de caixa do projeto apresenta mais de uma mudança de sinal como (, +, , +, ..., +) poderá haver mais de uma TIR como se mostra no Capítulo 2 do livro.

Nos exemplos seguintes são avaliados outros tipos de projetos, alguns deles com fluxo de caixa que não são do tipo simples.

MAIS EXEMPLOS


Exemplo 5.4. O fluxo de caixa do projeto da nova planta química de processo de sínteses para uma nova geração de produtos farmacêuticos está registrado na tabela. Verifique a viabilidade dessa nova planta com a TIR e considerando a taxa requerida de 16% ao ano.

Solução. O projeto demandará dois anos, os retornos foram considerados durante cinco anos e o fluxo de caixa apresenta uma única mudança de sinal. A TIR do projeto é igual a 16,50% ao ano, resultado obtido com a calculadora HP-12C.

O projeto deve ser aceito, pois a TIR=16,50% é maior que a taxa requerida k=16%, decisão coerente com a do VPL do Exemplo 4.7 do Capítulo 4.


A TIR igual a 16,50% ao ano do projeto do Exemplo 5.4 é bastante próxima da taxa requerida 16%.

Na análise do Exemplo 4.7 do Capítulo 4 foi recomendada a revisão das estimativas desse projeto, pois o objetivo do projeto pode ter potencial de criação de valor para a empresa.

Por exemplo, se o prazo de análise for aumentado de 6 para 7 anos e o retorno do sexto ano $1.550.000 se repetirá no sétimo ano, a TIR será igual a 21,14%.

Embora seja um bom aumento da TIR, é preciso verificar se o aumento de um ano no prazo de análise é compatível com o objetivo da planta.

De maneira geral, o aumento do número de retornos cada vez agregará menos valor devido ao decréscimo exponencial decorrente da data de ocorrência e da taxa requerida. Pode-se continuar aumentando o prazo de análise e verificar a contribuição anual decrescente na TIR do projeto.


Exemplo 5.5. Para o lançamento do novo refrigerante foram arrendados espaços para instalação de quiosques e realização de eventos musicais em 10 praias do Brasil com maior freqüência de pessoas durante o dia e à noite. Esse projeto será realizado no prazo de quatro meses a partir do dia 15 de novembro quando se desembolsará $3.500.000 para comprar e instalar quiosques completos incluindo geladeira etc, e concluirá o 15 de março quando se deverão retirar todos os quiosques das praias e realizar o pagamento de todos os impostos. Verifique a viabilidade desse lançamento considerando o fluxo de caixa mensal do projeto de lançamento registrado na tabela seguinte e a taxa requerida de 5% ao mês.


Solução. Como o fluxo de caixa do projeto de lançamento apresenta duas mudanças de sinal, o método da TIR não deve ser aplicado. O perfil do VPL desse projeto mostra que há duas taxas que anulam o VPL, uma taxa negativa entre 45% e 55%, e uma taxa positiva ao redor de 25%.

A TIR positiva do projeto igual a 25,37% ao ano é obtida com a calculadora HP-12C. Não sendo possível obter diretamente a TIR negativa se pode estabelecer o intervalo de mudança do VPL e depois realizar uma interpolação para calcular a TIR.


O método da TIR não deve ser aplicado na avaliação do projeto do Exemplo 5.5, pois seu fluxo de caixa apresenta duas mudanças de sinal.

Entretanto, ao considerar que a taxa requerida sempre é positiva e maior do que zero, a TIR que decide a aceitação do projeto deverá ser ainda maior do que a taxa requerida.

Da análise do perfil do VPL do projeto desse exemplo se poderia concluir que considerando somente taxas positivas o resultado da avaliação com a TIR coincide com a do VPL, pois nesse intervalo o perfil do VPL é semelhante ao do projeto simples.

Essa rápida análise tem a intenção de destacar as dificuldades de decidir com a TIR, devendo prevalecer a regra que abre este parágrafo.


Exemplo 5.6. Para atender o crescimento de venda será necessário ampliar a capacidade de produção substituindo os equipamentos existentes com outros de nova tecnologia a serem instalados na mesma área. A instalação dos novos equipamentos será realizada em duas etapas, sendo a primeira a preparação de uma área contígua onde será instalada uma parte dos novos equipamentos que complementada com os equipamentos atuais conseguirá atender às vendas durante o ano que demorará a instalação completa dos equipamentos na área remodelada. Verifique a viabilidade desse lançamento considerando o fluxo de caixa semestral registrado na tabela e a taxa requerida de 7% ao semestre.


Solução. Como os capitais do fluxo de caixa do projeto de lançamento apresentam três mudanças de sinal, a princípio, o método da TIR não deve ser aplicado.

Entretanto, o perfil do VPL desse fluxo de caixa mostra que há uma única TIR igual a 24,98% ao semestre, resultado obtido registrando numa célula do Excel a fórmula com

=TIR({-65;15;-160;80;100;120;130};0,1). Portanto, o método da TIR recomenda aceitar o projeto, pois

a TIR de 24,98% ao semestre é maior que a taxa requerida de 7% ao semestre.


Solução. Como os capitais do fluxo de caixa do projeto de lançamento apresentam três mudanças de sinal, a princípio, o método da TIR não deve ser aplicado.

Entretanto, o perfil do VPL desse fluxo de caixa mostra que há uma única TIR igual a 24,98% ao semestre, resultado obtido registrando numa célula do Excel a fórmula com =TIR({-65;15;-160;80;100;120;130};0,1). Portanto, o método da TIR recomenda aceitar o projeto, pois a TIR de 24,98% ao semestre é maior que a taxa requerida de 7% ao semestre.


O significado do VPL é conciso, o valor criado pelo projeto para a empresa depois de recuperar e remunerar o custo inicial com certa taxa requerida e atender à premissa implícita.

Sendo a TIR uma taxa efetiva do projeto, qual o significado da TIR quanto à rentabilidade periódica do custo inicial do projeto?

Uma forma de explicar é considerando que o fluxo de caixa do projeto se assemelha a um plano de financiamento cujo valor financiado é o custo inicial que será remunerado e devolvido com os retornos do projeto, e no final do prazo de análise o saldo devedor é zerado.

RENTABILIDADE PERIÓDICA DO CUSTO INICIAL


Nas duas primeiras linhas da tabela está registrado o fluxo de caixa FC do projeto do Exemplo 5.3 e cuja TIR é igual a 13,0533% ao ano.

No final do primeiro ano o projeto remunera o custo inicial $400.000 com a TIR resultando o saldo do projeto inicial de $452.213,20 e na mesma data o projeto gera o retorno $100.000 resultando o saldo do projeto final de $352.213,20.

Da mesma forma, o saldo do projeto inicial do segundo ano é $398.188,65 e com a entrada do retorno $100.000 o saldo do projeto final passa a ser $298.188,31 e assim sucessivamente até completar o quinto ano quando o saldo do projeto é zerado.


As últimas duas linhas da tabela registram, respectivamente, o juro e a amortização anual do custo inicial, valores anuais obtidos dos resultados das linhas anteriores dessa tabela, como mostrado no Capítulo 2 do livro.

Concluindo, a TIR remunera periodicamente o custo inicial não-amortizado que permanece investido no projeto, um valor decrescente que se anula no final do prazo de análise do projeto.

Embora adequada, essa constatação não explica a TIR como a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto, pois esse procedimento não avalia o que é feito com os retornos do projeto durante o prazo de análise.


Vimos que para garantir o VPL os retornos do projeto devem ser reinvestidos em outros projetos com a mesma taxa requerida, conclusão do Capítulo 4.

De forma equivalente, para garantir o VPL=0 os retornos do projeto devem ser reinvestidos em outros projetos com a TIR obtida dessa condição.

Portanto, ao afirmar que a TIR é a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto se está garantindo que os retornos gerados serão reinvestidos em outros projetos com a mesma TIR. Essa premissa implícita é demonstrada com:

1 21 2(1 ) (1 )

0(1 )

n n

nn

FC TIR FC TIR FCI TIR

TIR


O resultado do numerador da segunda parcela confirma que o compromisso de reinvestimento dos retornos com a TIR é uma premissa implícita no procedimento de cálculo da TIR.

É por isso que ao afirmar que a TIR é a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto se está implicitamente aceitando que os retornos do projeto serão reinvestidos em outros projetos com a mesma TIR.

A seguir, se mostra de forma prática a premissa de reinvestimento implícito, que também será útil para antecipar a compreensão do procedimento da taxa interna de retorno integrada TIRI.


As duas primeiras colunas da tabela registram o fluxo de caixa do projeto do Exemplo 5.3 e cuja TIR é 13,0533% ao ano.

Cada linha da última coluna registra o futuro de reinvestir cada retorno anual até completar o prazo de análise de cinco anos do projeto.

O retorno do final do primeiro ano $100.000 reinvestido até o final do prazo de análise de cinco anos com a TIR de 13,0533% ao ano gera o futuro . Procedendo da mesma maneira se obtém o futuro do

reinvestimento dos restantes quatro retornos do projeto até completar o prazo de análise de cinco anos.

1

5$738.712,421 0,130533

$400.000

TIR


A premissa implícita de reinvestir os retornos do projeto em novos projetos com TIR não é fácil de atender porque a empresa nem sempre terá oportunidades de reinvestimento com a mesma TIR, ainda mais que essa premissa ocorre no momento de aceitar o projeto.

Na prática, o mais plausível é que a empresa reinvista os retornos do projeto em novos projetos que criam valor para a empresa com certa taxa requerida menor do que a correspondente TIR do novo projeto e assim garantir a criação contínua de valor para a empresa.

Essa conclusão reforça a utilização do método do VPLI para avaliar o projeto e medir a criação de valor considerando o reinvestimento dos retornos com uma taxa de reinvestimento diferente.

TAXA INTERNA DE RETORNO INTEGRADA


No Capítulo 4 foi mostrado que o valor presente líquido integrado VPLI considerando a taxa requerida k e a taxa de reinvestimento kr dos retornos do projeto até completar o prazo de análise n se obtém com:

Passando o custo inicial para o primeiro membro e realizando operações se tem:

O resultado do segundo membro dessa expressão ocorre no final do prazo de análise do projeto e depende apenas dos retornos do projeto e da taxa de reinvestimento kr.

1 21 2(1 ) (1 )

(1 )

n n

r r nn

FC k FC k FCVPLI I

k

1 21 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n

r r nVPLI k I k FC k FC k FC


Considerando que a taxa interna de retorno integrada TIRI zera o VPLI e ao mesmo tempo remunera periodicamente o custo inicial durante o prazo de análise do projeto, a expressão anterior se reescreve da seguinte forma:

A taxa interna de retorno integrada TIRI que remunera periodicamente o custo inicial I durante o prazo de análise n considerando o reinvestimento dos retornos com a taxa kr é:

1 21 2(1 ) (1 ) (1 ) n n n

r r nI TIRI FC k FC k FC

11 2

1 2(1 ) (1 )1

n n nr r nFC k FC k FC

TIRII


Como num determinado fluxo de caixa do projeto a TIRI é equivalente à taxa de reinvestimento kr, conclui-se que a TIRI é uma medida única de rentabilidade periódica do projeto.

Essa expressão mostra que quanto maior for a taxa de reinvestimento kr maior será o futuro dos retornos e, conseqüentemente, maior a TIRI, e vice-versa.

A TIRI junto com o VPLI são dois procedimentos de avaliação equivalentes e incorporam o conjunto formado pelo VPL e pela TIR, pois se a taxa de reinvestimento for igual à taxa requerida o VPLI é igual ao VPL e, de forma equivalente, se a taxa de reinvestimento for igual à TIR o TIRI é igual à TIR.


Outra forma de mostrar que a TIRI é uma medida única de rentabilidade periódica do projeto surge de constatar que o futuro dos retornos do projeto FRetornos reinvestidos com a taxa kr é um capital único na data final do prazo de análise n, e o custo inicial é também um capital único na data inicial, o que leva a uma taxa efetiva única.

Portanto, a TIRI que remunera periodicamente o custo inicial com um único desembolso se obtém com:

Tanto a TIR quanto a TIRI remuneram periodicamente o custo inicial do projeto durante o prazo de análise, porém, com a TIR o reinvestimento dos retornos deve ser realizado com a própria TIR, enquanto que com a TIRI o reinvestimento dos retornos é realizado com a taxa de reinvestimento kr.

Como vantagem adicional, o método da TIRI pode ser aplicado ao projeto com qualquer tipo de fluxo de caixa.

MÉTODO DA TIRI

1

1

nFRetornosTIRI

I


Exemplo 5.7. Continuando com o projeto do Exemplo 5.3, calcule a TIRI do projeto considerando que a empresa reinveste os retornos com a mesma taxa requerida do projeto igual a 10% ao ano.

Solução. As duas primeiras colunas da tabela da esquerda registram o fluxo de caixa do projeto do Exemplo 5.3.


Em cada linha da última coluna foi registrado o resultado de reinvestir o correspondente retorno com a taxa de reinvestimento de 10% ao ano até completar o prazo de análise de cinco anos do projeto.

O retorno gerado no final do primeiro ano $100.000 reinvestido durante quatro anos no regime de juros compostos a taxa 10% ao ano gerou o futuro . Procedendo da mesma maneira, obtém-se o futuro do reinvestimento dos outros retornos do projeto até completar o prazo de análise de cinco anos como se registra na última coluna da tabela.

1

5$700.5101 0,1186

$400.000

TIRI


É importante analisar o comportamento da TIRI em função da taxa de reinvestimento kr dos retornos do projeto e os resultados do Exemplo 5.7.

A segunda coluna da tabela registra a TIRI do projeto correspondente à taxa kr na mesma linha da primeira coluna da tabela.

Os resultados dessa tabela confirmam que quanto maior for kr maior será o futuro dos retornos e, conseqüentemente, maior a TIRI, e vice-versa.


No intervalo entre 13% e 14% mais próximo de 13%, há uma taxa de reinvestimento kr igual a TIRI de forma que se verifica:

Nessa expressão, a taxa de rentabilidade periódica do custo inicial é a mesma que a taxa de reinvestimento dos retornos, a TIRI.

Portanto, essa taxa é também a TIR do projeto, pois, como foi mostrado, se a TIR é a rentabilidade periódica do custo inicial do projeto se está implicitamente aceitando que os retornos do projeto serão reinvestidos em outros projetos com a mesma TIR.

Concluindo, no projeto do tipo simples, a TIRI que simultaneamente remunera o custo inicial e os retornos que são reinvestidos é a própria TIR do projeto; nesse caso TIRI=TIR=kr=13,05%.

1 21 2(1 ) (1 ) (1 ) n n n

nI TIRI FC TIRI FC TIRI FC


Ampliando o alcance da TIRI, havendo mais de um desembolso de custo inicial, a TIRI é a taxa efetiva da equivalência entre a soma dos presentes de todos os desembolsos PDesembolsos na data inicial e a soma dos futuros dos retornos do projeto FRetornos no final do prazo de análise n, e é um valor único obtido com:

Ao utilizar a mesma taxa de reinvestimento para calcular os presentes dos desembolsos PDesembolsos na data zero do projeto, e a soma dos futuros dos retornos FRetornos no final do prazo de análise do projeto, o fluxo de caixa do projeto é transformado numa operação com dois capitais mantendo o mesmo prazo de análise. Remunerando os desembolsos do custo inicial e reinvestindo os retornos com a taxa requerida do projeto, por exemplo, obtém-se a TIRI única que remunera periodicamente o custo inicial do projeto com qualquer tipo de fluxo de caixa, com uma ou mais mudanças de sinal.

1

1

nFRetornosTIRI

PDesembolsos


Exemplo 5.8. Continuando com o projeto do Exemplo 5.4, calcule a TIRI considerando que a empresa remunera os desembolsos e reinveste os retornos com a mesma taxa requerida de 16% ao ano. Depois verifique se o projeto deve ser aceito.

Solução. O projeto deve ser aceito, pois TIRI > 16% ao ano, a mesma recomendação dos métodos do VPL e da TIR.

1

6$8.857.554,561 0,1626

$3.586.206,90

TIRI


Exemplo 5.9. Continuando com o projeto do Exemplo 5.6, calcule a TIRI considerando que a empresa remunera os desembolsos e reinveste os retornos com a taxa requerida de 5% ao semestre. Depois, mantendo a remuneração dos desembolsos com a taxa requerida de 5% ao semestre verifique se o projeto deve ser aceito considerando a taxa de reinvestimento de 7% ao semestre.

Solução. O projeto deve ser aceito, pois TIRI > 5%.

1

6$4.780.042,231 0,1468

$2.101.247,17

TIRI


No projeto com prazo de análise n, custo inicial I na data zero, a taxa requerida k e os retornos gerados FC1, FC2, FC3, ..., FCn reinvestidos até o final do prazo de análise com a taxa de reinvestimento kr, a taxa interna de retorno integrada TIRI que remunera periodicamente o custo inicial é obtida com:

COMO DECIDIR COM O MÉTODO DA TIRI

11 2

1 2(1 ) (1 )1

n n nr r nFC k FC k FC

TIRII


A decisão com o método da TIRI se aplica a qualquer projeto, simples e não-simples e para decidir se o projeto deve ser aceito sua TIRI é comparada com a taxa requerida k exigida pelo projeto de forma que: Se TIRI > k, o projeto criará valor não-determinado para a

empresa. Portanto, sempre que a TIRI for maior que k o projeto deverá ser aceito.

Se TIRI < k, o projeto deve ser rejeitado. A TIRI=k não foi incluída na condição de aceitação do

projeto, pois esse resultado indica que VPLI será igual a zero e o projeto não criará nem destruirá valor da empresa.


O método da TIRI é uma boa prática no caso de dificuldade de reinvestir os retornos do projeto com a mesma TIR.

O método da TIRI é útil para obter uma medida de avaliação única de um fluxo de caixa com mais de uma mudança de sinal, ou do projeto com mais de uma TIR.

No procedimento de cálculo da TIRI é considerado que os retornos periódicos do projeto são totalmente reinvestidos em outros projetos no momento que são gerados e até completar o prazo de análise.

Entretanto, os retornos poderão ser reinvestidos em datas posteriores ou não serem totalmente reinvestidos, situação que pode ser incluída no projeto da forma como foi mostrado no caso do VPLI no Capítulo 4 do livro.


Deve-se utilizar o método da TIR somente na avaliação do projeto simples, pois essa condição garante a existência de uma única TIR. Se os capitais do fluxo de caixa do projeto apresentarem mais de uma mudança de sinal, como (, +, , +, ..., +), o projeto poderá ter mais de uma TIR.

A regra dos sinais de Descartes apresentada no Capítulo 2 define que o número possível de TIR’s maiores que -100% não é maior do que o número de mudanças de sinal do fluxo de caixa e, se for menor, sempre será um número par.

Porém, sem determinar quantas são, pois a quantidade de mudanças de sinal dos capitais nem sempre garante a quantidade de TIR´s. Como ajuda, a regra de Norstrom detecta a existência de uma única TIR real e positiva, TIR 0.

Tendo o projeto mais de uma TIR e havendo necessidade de avaliar o projeto com uma taxa de retorno se pode utilizar a TIRI.

PROJETO COM MÚLTIPLAS TIR


Exemplo 5.10. Continuando com o projeto do Exemplo 5.5, calcule a TIRI considerando que a empresa remunera os desembolsos e reinveste os retornos com a taxa efetiva de 5% ao mês. Depois verifique se o projeto deve ser aceito considerando a taxa requerida de 5% ao mês.

Solução. Pela regra de sinais de Descartes, o projeto pode ter até duas TIR´s e pela regra de Norstrom o projeto tem uma única TIR real e positiva. Os resultados da última coluna da tabela mostram que o

custo inicial do fluxo de caixa é negativo, a soma dos capitais no final do prazo de análise é positiva e o fluxo das somas tem uma única mudança de sinal, como se mostra no Capítulo 2 do livro.


Foi mostrado que o projeto do Exemplo 5.5 tem duas taxas de juro que anulam o VPL, a primeira taxa é negativa e igual a 51,92% e a segunda taxa é positiva e igual a 25,37% ao mês.

Considerando que a empresa remunera os desembolsos e reinveste os retornos com a taxa efetiva de 5% ao mês, a TIRI do projeto é 10,40% ao mês, resultado obtido com:

Como a TIRI é maior do que a taxa requerida, o projeto deve ser aceito, coerente com a decisão e com o método do VPL do Exemplo 4.8, do Capítulo 4.

13 2 4

4

1

4

$1.500.000 1,05 $2.500.000 1,05 $3.000.000 1,051

$3.500.000 $2.000.000 1,05

$7.642.687,501 0,1040

$5.145.404,95

TIRI

TIRI


Exemplo 5.11. O fluxo de caixa do projeto está registrado na tabela. Calcule a TIRI considerando que a empresa remunera os desembolsos e reinveste os retornos com a taxa efetiva de 12% ao ano e verifique se o projeto deve ser aceito considerando a taxa requerida de 15% ao ano .


Solução. Como o fluxo de caixa do projeto tem três mudanças de sinal, da regra dos sinais se deduz que o projeto pode ter uma ou três TIR´s. Como a regra de Norstrom da última coluna da tabela, não há uma única TIR real positiva. Do perfil do VPL encontramos os valores das três TIR’s do projeto TIR1=5%, TIR2=20% e TIR3=40% ao ano.

Considerando a taxa requerida de 12% ao ano, o VPL do projeto é negativo e igual a $11,16. Ao mesmo tempo, a TIRI é igual a 11,99% ao ano, resultado obtido com:

Como a TIRI é menor do que a taxa requerida o projeto não deve ser aceito, coerente com a decisão com o método do VPL.

12 3

2

1

3

$36.500 1,12 $17.6401

$10.000 $44.100 1,12

$63.425,601 11,99%

$45.156,25

TIRI

TIRI


Para realizar a análise e cálculo de múltiplas TIR se recomenda utilizar a planilha Múltiplas Taxas em Excel incluída na pasta Capítulo 5.


Uma diferença importante entre a TIR e a TIRI é que, para o mesmo fluxo de caixa, enquanto a TIR é independente da taxa requerida, a TIRI é dependente da taxa de reinvestimento que pode ser igual à taxa requerida do projeto.

A taxa interna de juro TIJ do projeto não-simples é também uma taxa dependente de uma taxa de reinvestimento aplicada nos retornos positivos do projeto.

Começamos por estabelecer a classificação dos projetos em dois grupos, projetos puros e projetos mistos.

TAXA INTERNA DE JURO


Exemplo 5.12. A tabela registra o fluxo de caixa de três projetos, Projeto A, Projeto B e Projeto C. Calcule o saldo do projeto considerando a TIR de cada projeto, e verifique a existência de uma única TIR real e positiva com a regra de Norstrom.


Solução. O fluxo de caixa do Projeto A é do tipo simples, pois há uma única mudança de sinal. Pela regra de Norstrom, o Projeto A tem uma única TIR positiva, como se deduz da análise dos resultados da última coluna da tabela seguinte.

A TIR do Projeto A é 16,5086% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira. A terceira coluna dessa tabela mostra que o saldo do projeto anual calculado com a TIR é sempre negativo, exceto o último ano que é nulo. O saldo do projeto no final do primeiro ano foi obtido com

e os restantes de forma equivalente .$8.650,86 $10.000 (1 165086) $3.000


O fluxo de caixa do Projeto B não é do tipo simples, pois há três mudanças de sinal.

Entretanto, pela regra de Norstrom o Projeto B tem uma única TIR positiva, resultados da última coluna da tabela seguinte.

A TIR do Projeto B é 14,7313% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira.

A terceira coluna dessa tabela mostra que o saldo do projeto anual calculado com a TIR é sempre negativo, exceto o último que é nulo.


O fluxo de caixa do Projeto C não é do tipo simples, pois há três mudanças de sinal e, pela regra de Norstrom, o Projeto C não tem uma única TIR positiva, resultados da terceira coluna da tabela seguinte.

As TIR’s do Projeto C são 5%, 20% e 40% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira.

As últimas três colunas da tabela mostram que o saldo do projeto anual calculado com cada uma das três TIR nem sempre é negativo, porém, o último é sempre nulo.


Analisemos os resultados dos três projetos do Exemplo 5.12. O fluxo de caixa do Projeto A é do tipo simples, tem uma

única TIR e é denominado projeto puro. O fluxo de caixa do Projeto B é do tipo não-simples, tem

uma única TIR e também é denominado projeto puro. O fluxo de caixa do Projeto C é do tipo não-simples, tem

três TIR’s e é denominado projeto misto. De outra maneira, tanto o Projeto A como o Projeto B é um

projeto puro, pois seu fluxo de caixa tem uma única TIR e o saldo do projeto calculado com sua TIR é sempre negativo, exceto o último período que é nulo.

O Projeto C é um projeto misto, pois seu fluxo de caixa tem mais de uma TIR e o saldo do projeto calculado com sua TIR nem sempre é negativo ou nulo, exceto o último período que é nulo.


O projeto simples é sempre puro, e o projeto não-simples com uma única TIR também é puro, porém, com mais de uma TIR é um projeto misto.

Dessa constatação, deduz-se que o projeto simples é sempre um projeto puro, entretanto, um projeto puro nem sempre é um projeto simples.

O significado de puro se refere a que o custo inicial do projeto é recuperado parcialmente durante o prazo de análise do projeto, pelo que o saldo do projeto é sempre negativo.

A qualificação de misto identifica que em alguns períodos do prazo de análise o saldo do projeto será positivo e em outros o saldo do projeto será negativo.

O saldo do projeto positivo significa que nesse período o projeto devolve para a empresa o custo inicial, remunerado e com lucro extra. Assim sendo, a empresa tomará emprestado esse saldo do

projeto positivo para reinvestir em novos projetos


Porém, no período em que o saldo do projeto é negativo, a empresa aportará o capital necessário que deverá ser remunerado internamente pelo projeto.

Neste momento se faz necessário responder duas perguntas: Sendo o saldo do projeto positivo, qual a taxa de juro que

remunera o capital fornecido pelo projeto para financiar novos projetos?

E se o saldo do projeto é negativo, qual a taxa de juro que remunera o capital que permanecerá internamente investido no projeto?

Analisemos os dois lados da mesma situação. Pelo VPL, durante o prazo de análise, todos os retornos gerados pelo projeto devem ser reinvestidos com a taxa requerida k.


Ao mesmo tempo, o custo inicial que permanece internamente investido é remunerado com a TIR durante o prazo de análise do projeto. Essas propriedades guiam o procedimento de remuneração do projeto misto. Sempre que o saldo do projeto for positivo, a remuneração

do capital que financiará outros projetos será realizada com certa taxa requerida k.

Entretanto, sempre que o saldo do projeto for negativo, o próprio projeto se encarregará de remunerar o capital internamente investido com a taxa interna de juro TIJ que é a incógnita da avaliação.

Definidas as características das duas taxas de remuneração do projeto misto falta definir como determinar a TIJ desconhecida, pois a taxa requerida k é conhecida.

Logo, o objetivo é determinar a TIJ única que, combinada com a taxa requerida k, zera o saldo do projeto no final do prazo de análise como se mostra nos exemplos.


Exemplo 5.13. Calcule a taxa interna de juro TIJ do projeto cujo fluxo de caixa está registrado na tabela considerando a taxa requerida de 10% ao ano.

Solução. As duas taxas internas de juro do projeto foram determinadas no Exemplo 2.36 do Capítulo 2. O saldo do projeto no ano zero será remunerado com a TIJ ainda desconhecida, pois seu valor é negativo. Dessa maneira, o saldo do projeto no final do primeiro ano SdoPt=1 é obtido com:

1

1

$1.000 (1 ) $2.550

$1.000 $1.550

t

t

SdoP TIJ

SdoP TIJ


O saldo do projeto no final do primeiro ano é positivo e será remunerado com a taxa requerida k=10%. Dessa maneira, o saldo do projeto no final do segundo ano SdoPt=2 é obtido com:

Para determinar o valor da TIJ temos que estabelecer a condição do saldo do projeto no final do segundo ano como igual a zero ou SdoPt=2=0:

2 1

2

2

(1 ) $1.610

$1.000 $1.550 (1 0,10) $1.610

$1.100 $95

t t

t

t

SdoP SdoP k

SdoP TIJ

SdoP TIJ

2$1.100

$1.100 $95 0 0,0864$95 tSdoP TIJ TIJ


Exemplo 5.14. Calcule a taxa interna de juro TIJ do Projeto C do Exemplo 5.12 deste capítulo considerando a taxa requerida de 15% ao ano.

Solução. O saldo do projeto no final do primeiro ano SdoPt=1 é obtido com:

1

1

$10.000 (1 ) $36.500

$10.000 $26.500

t

t

SdoP TIJ

SdoP TIJ


O saldo do projeto no final do segundo ano SdoPt=2 é obtido com:

O saldo do projeto no final do terceiro ano SdoPt=3 é obtido com:

Estabelecendo a condição SdoPt=3=0 se tem:

2 1

2

2

(1 ) $44.100

$10.000 $26.500 (1 0,15) $44.100

$11.500 $13.625

t t

t

t

SdoP SdoP k

SdoP TIJ

SdoP TIJ

3 2

3

23

(1 ) $17.640

$11.500 $13.625 (1 ) $17.640

$11.500 $25.125 $4.015

t t

t

t

SdoP SdoP TIJ

SdoP TIJ TIJ

SdoP TIJ TIJ

211.500 25.125 4.015 0 TIJ TIJ


Resolvendo essa equação se tem as raízes TIJ1=0,1496 e TIJ2=2,3343 :

A única solução financeira é TIJ1=14,96% ao ano. O projeto não deve ser aceito, pois TIJ é menor do que a taxa

requerida de 15% ao ano:

2

1 2

25.125 25.125 4 11.500 4.015

2 11.50025.125 28.564,94

0,14956 2,334323.000

TJI

TJI TIJ e TIJ


A determinação da TIJ do projeto é facilitada com o comando Atingir Meta do Excel, sobre todo nos projetos com prazo de análise maior do que três períodos.

Na planilha Exemplos da pasta Capítulo 5 incluída no CD-Rom que acompanha o livro é calculada a TIJ do projeto do Exemplo 5.14 com ajuda do comando Atingir Meta, procedimento que pode ser estendido para projetos com fluxo de caixa maiores.

Também, a TIJ pode ser obtida no modelo Taxas Múltiplas da pasta Capítulo 5 incluído no CD-Rom que acompanha o livro, e apresentado no Apêndice 5.4 deste capítulo.

Nesse modelo também é obtida a TIRI com reinvestimento de 100% dos retornos com a taxa requerida.


O método de decisão para aceitar o projeto com a TIJ é coerente com o método da TIR.

O projeto simples é também um projeto puro e há uma única TIR igual à taxa interna de juro TIJ.

No projeto não-simples e puro também há uma única TIR igual a TIJ.

No projeto misto e para uma determinada taxa requerida k há uma única taxa interna de juro TIJ que anula o saldo do projeto no final do prazo de análise.

Dessa maneira, para decidir se o projeto deve ser aceito, a TIJ do projeto é comparada com o valor de referência da taxa requerida k, de forma que:

Se TIJ > k , o projeto deve ser aceito. Se TIJ < k, o projeto não deve ser aceito.

COMO DECIDIR COM O MÉTODO DA TIJ


A função TIR retorna a taxa interna de retorno do fluxo de caixa com periodicidade uniforme.

TIR(fluxo de caixa;taxa estimada) O argumento fluxo de caixa é um conjunto de valores monetários

e pode ser definido por um intervalo de células seguidas, em uma coluna ou em uma linha, de uma planilha Excel.

Em qualquer caso, os capitais devem ser registrados de forma ordenada e crescente com relação às datas de ocorrência.

O período da TIR é o da periodicidade uniforme dos capitais, pois a função TIR não utiliza as datas do fluxo de capitais. Se todos os capitais tiverem o mesmo sinal, positivo ou

negativo, não será possível calcular a TIR, portanto, o sinal de um dos capitais, pelo menos, deve ser diferente dos restantes capitais do fluxo de caixa.

A taxa estimada fornecida de forma unitária auxilia no processo de procura do valor da TIR. Se esse argumento for omitido, o Excel considerará o valor

0,10.

Apêndice 5.1 - Função financeira TIR do Excel


O cálculo da TIR é realizado por tentativa e erro, pois não é possível dispor de uma única fórmula para todos os casos, como é mostrado no Capítulo 2 do livro. Por isso, são estabelecidos dois parâmetros: exatidão e número de iterações. O Excel realiza o processo de procura do valor da TIR até conseguir um erro igual a 0,00001%. Se depois de vinte tentativas não for possível encontrar o resultado da TIR com o erro estabelecido, a função TIR retornará o valor #NÚM!.[1]

Exemplo. Calcule a TIR do projeto do Exemplo 5.1 utilizando a função financeira TIR.


Tanto a tabela quanto o perfil do VPL do projeto do Exemplo 5.1 mostra que há uma taxa de juro que anula o VPL do projeto, ou para a qual se anula o VPL, e essa taxa efetiva é denominada taxa interna de retorno, ou simplesmente TIR. Esse mesmo exemplo sugere que no projeto simples a TIR

pode ser obtida tentando diversos valores de taxa requerida até anular o VPL do projeto.

É por isso que, no projeto simples, a TIR pode ser interpretada como a máxima taxa requerida que aceita o projeto.

Para obter certo resultado numa única fórmula registrada numa célula do Excel provocado pelo valor de outra célula se utiliza o comando Atingir meta do Excel.

Para atingir o valor desejado da fórmula, o Excel variará o valor da célula específica até que a fórmula dependente daquela célula retorne o resultado desejado.

Apêndice 5.2 – Cálculo da TIR com Atingir Meta


No menu Ferramentas do Excel selecione Atingir meta. Aparecerá a caixa de diálogo Atingir meta. A seguir, na caixa de diálogo Atingir meta informe os dados solicitados, como mostra a figura. Definir célula. Nessa caixa registre o endereço da célula

com a fórmula e cujo resultado será definido na caixa seguinte. Clique nessa caixa e depois clique na célula F4 que será registrada com duplo cifrão $.

Para valor. Nessa caixa registre o resultado desejado, nesse caso o valor zero.

Alternando célula. Nessa caixa registre o endereço da célula que deverá ser alterada para que a célula F4 atinja o valor desejado 0. Clique nessa caixa e depois clique na célula F3 que será registrada com duplo cifrão $.


Depois de completar as informações e pressionar a tecla OK o comando Atingir Meta inicia o processo de procura do valor desejado.

Concluída a procura, o Excel apresenta a caixa de diálogo Status do comando atingir meta informando que foi encontrada uma solução, pois como em alguns problemas pode haver mais de uma solução, o Status toma o cuidado de informar que foi encontrada uma solução.

Finalmente, pressionando o botão OK o valor encontrado 21,68% é registrado na célula F3. Se for pressionado o botão Cancelar o valor original 12%

permanecerá na célula C3.


A nova função Tiri para Excel retorna a taxa interna de retorno integrada TIRI do projeto definido pelo fluxo de caixa com periodicidade uniforme, a taxa requerida, a proporção de retorno reinvestida e a taxa de reinvestimento dos retornos, dados informados como argumentos dessa função. A nova função de avaliação do projeto para o Excel foi

desenvolvida pelo autor do livro e está no arquivo Lapp_Avalia denominado add-in e incluído no CD-ROM que acompanha este livro e não estão pré-instalada na planilha Excel.

Recomendamos que o aluno siga às instruções registradas na planilha Novas Funções da pasta do Excel, Capítulo 4, incluída no CD-ROM.

Apêndice 5.3 – Nova Função do Excel para Avaliação de Projetos


Tiri(TaxReq; PorceReinv; TaxaReinv; FC) Na nova função Tiri, os argumentos TaxReq e TaxaReinv

devem ser informados de forma unitária com período igual à periodicidade dos capitais da série, o argumento PorceReinv deve ser informado de forma unitária, e o argumento FC representa a totalidade de capitais do fluxo de caixa do projeto informado como um intervalo de endereços contíguos na planilha, células seguidas de uma mesma coluna ou linha. Como a nova função Tiri não utiliza datas, apenas utiliza os

capitais do fluxo de caixa, em qualquer caso, os capitais devem ser registrados de forma ordenada e crescente com relação às datas de ocorrência. O resultado retornado pela função Tiri é a taxa efetiva que remunera o capital inicial do projeto.

O registro do intervalo do FC maior do que o do fluxo de caixa do projeto altera o resultado da TIRI, pois a data da última célula do intervalo informado é utilizada no cálculo.


Para facilitar a decisão, no intervalo de células E9:F10 da planilha Nova Função TIRI foi construído um módulo de decisão. Na célula E10 mesclada numa única célula com a F10 foi registrada a fórmula:

=SE(F6>F3;"Aceitar o projeto";"Rejeitar o projeto") O destaque da decisão de aceitação do projeto com fundo de

cor azul e sua rejeição com fundo de cor vermelho foi realizado com o recurso Formatação condicional do Excel.

Esse módulo de cisão foi repetido no intervalo de células E19:F20 da mesma planilha.


O modelo construído na planilha Taxas Múltiplas da pasta Capítulo 6 incluída no CD-Rom que acompanha o livro permite determinar e calcular as taxas internas de retorno de um fluxo de caixa de qualquer tipo.

A figura mostra a avaliação do projeto do Exemplo 5.14 considerando o reinvestimento dos retornos com a taxa requerida k informada no próprio modelo.

Apêndice 5.4 – MODELO TAXAS MÚLTIPLAS


Antes de registrar um novo fluxo de caixa, recomenda-se limpar os dados e os resultados da avaliação registrada na planilha.

Prevendo que o botão Limpar possa ser ativado por engano, antes de executar a tarefa é solicitada a confirmação dessa instrução através da caixa de diálogo e, ao mesmo tempo, são destacados os intervalos dos dados e dos resultados a serem removidos. O leitor deve concordar ou discordar com a solicitação,

pressionando um dos dois botões. No intervalo de células E8:F8 é informada a situação do

modelo, o aviso Modelo OK! indica que os resultados do modelo correspondem aos dados registrados. Caso contrário, o modelo mostra o aviso Recalcular Modelo!.


Para evitar que, involuntariamente, o usuário apague os registros das células de resultados (pintadas de cor verde) e de títulos (pintadas de cor amarela), toda a planilha é protegida, exceto as células de dados (pintadas de cor azul).

Uma parte da avaliação é realizada com cálculos diretos utilizando os recursos da planilha e a outra parte com uma macro ativado com o botão Calcular. Depois de registrar os dados e a seguir pressionar o botão,

a macro inicia os cálculos programados e registra os dados nas células correspondentes da planilha.

No quadro Análise do Fluxo de Caixa, o modelo registra a quantidade de capitais, o número de mudanças de sinal dos retornos do fluxo de caixa, a possível quantidade de TIR’s e se há uma única TIR positiva.

No quadro Cálculo das TIR’s são determinadas até três TIR’s diferentes do fluxo de caixa, por exemplo, registrando uma taxa estimada na célula H5, o modelo calcula e registra a TIR na célula I5.


De forma equivalente com as outras duas taxas estimadas informadas nas células H6 e H7 e suas correspondentes TIR’s, se for o caso, nas células H6 e H7, respectivamente.

No quadro Outras Taxas de Retorno, na célula I10 o modelo calcula e registra a taxa interna de juro TIJ utilizando como taxa de reinvestimento dos retornos e dos recursos de capital a taxa requerida.

O modelo calcula e registra a taxa interna de retorno integrada TIRI considerando o reinvestimento de 100% dos retornos com a taxa de reinvestimento igual à taxa requerida.

No quadro Perfil do VPL informando a taxa inicial e o intervalo de crescimento, o modelo constrói o gráfico do perfil do VPL formado de 15 pontos ou pares de valores de taxa requerida e correspondente VPL.

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