projeto estrutural i - torção de aula 01 - torção.pdf · mesma distância até o centróide que...

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Programa de PPrograma de Póóss--GraduaGraduaçção em Engenharia Civilão em Engenharia CivilMestrado AcadêmicoMestrado AcadêmicoFaculdade de Engenharia Faculdade de Engenharia –– FEN/UERJFEN/UERJProfessor:Professor: Luciano Rodrigues Ornelas de LimaLuciano Rodrigues Ornelas de Lima

TorTorççãoão

2

1. Introdu1. Introduççãoão

Momento torsor (T) Momento torsor (T) →→ secundsecundááriorioCombinado com outros tipos de esforCombinado com outros tipos de esforçços os →→ flexão flexão →→pode se tornar preponderantepode se tornar preponderante


2

3

1. Introdu1. IntroduççãoãoExemplo PrExemplo Prááticotico

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1. Introdu1. IntroduççãoãoExemplo PrExemplo Prááticotico


3

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Importância:Importância:seseçções de paredes finas abertasões de paredes finas abertasFLT FLT –– flambagem lateral por torflambagem lateral por torçção de vigasão de vigasFLA FLA –– flambagem lateral da alma de colunasflambagem lateral da alma de colunasvigasvigas--colunascolunas

SeSeçções de paredes finasões de paredes finasconsiderar o efeito do momento torsor e então adicionar os considerar o efeito do momento torsor e então adicionar os efeitos de outros carregamentosefeitos de outros carregamentosconsideraconsideraçção das seão das seçções abertas (para a grande maioria)ões abertas (para a grande maioria)membros de paredes finas (d/t membros de paredes finas (d/t ≥≥ 10) 10)

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Procedimento a ser adotadoProcedimento a ser adotadoCalcular as tensões provocadas pelo momento torsorCalcular as tensões provocadas pelo momento torsorAvaliar a resistência a torAvaliar a resistência a torçção e aumentão e aumentáá--la, se necessla, se necessááriorioCertos carregamentos e seCertos carregamentos e seçções transversais ões transversais →→instabilidade por torinstabilidade por torççãoão

TorTorçção ão →→ EmpenamentoEmpenamentoExceExceçções:ões:

seseçções transversais fechadas circulares ões transversais fechadas circulares →→certos casos prcertos casos prááticos onde as seticos onde as seçções de paredes finas são feitas ões de paredes finas são feitas

com elementos de placas que se encontram em um ponto (muito com elementos de placas que se encontram em um ponto (muito fracos fracos torsionalmentetorsionalmente) )

GJL.T e

Jc.T

=φ=τ

≡ (torção em 2 partes)


4

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Melhor seMelhor seçção transversal para membros submetidos ão transversal para membros submetidos ààtortorçção ão →→ seseçção circular ocaão circular oca

distância de qualquer elemento desta sedistância de qualquer elemento desta seçção possui a ão possui a mesma distância atmesma distância atéé o centro centróóide que coincide com o centro ide que coincide com o centro de cisalhamento (serde cisalhamento (seráá comentado posteriormente)comentado posteriormente)seseçções circulares inicialmente planas ões circulares inicialmente planas →→ permanecem permanecem planas não havendo distorplanas não havendo distorçção da seão da seçção transversal ão transversal TorTorçção Pura ou Torão Pura ou Torçção de St. ão de St. VenantVenant (T(TSVSV))

ocorre rotaocorre rotaçção ão θθ da seda seçção ão transversal em torno do eixo transversal em torno do eixo

longitudinal do elementolongitudinal do elemento

8


Membros com seMembros com seççãoão transversal transversal →→ Perfil Perfil ““II””empenamento da seempenamento da seçção transversal alão transversal aléém da torm da torçção ão →→muito significante em perfis com semuito significante em perfis com seçções abertasões abertas

TorTorçção Empenamento (ão Empenamento (““WarpingWarping””) ) -- TTww

TSV TW+T =


5

9

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))membro com semembro com seçção circularão circulartortorçção pura (St. ão pura (St. VenantVenant)) →→situasituaçção onde as tensões ão onde as tensões em qualquer ponto podem em qualquer ponto podem ser representadas como ser representadas como cisalhamento purocisalhamento puroa linha a linha abab, ap, apóós a aplicas a aplicaçção ão do torsor T passa para a do torsor T passa para a posiposiçção aão a’’bbconsiderandoconsiderando--se o elemento se o elemento infinitesimal infinitesimal dzdz

10

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))taxa de modificataxa de modificaçção do ângulo de ão do ângulo de tortorçção ão →→ φφ

elemento elemento dzdz →→ linha radiallinha radial da seda seçção ão éé rotacionadarotacionada de um ângulo de um ângulo ddθθenquanto a enquanto a linha na superflinha na superfííciecie sofre sofre uma rotauma rotaçção de ão de γγ →→

atravatravéés do ms do móódulo de cisalhamento dulo de cisalhamento G, a Lei de Hooke fornece para a G, a Lei de Hooke fornece para a tensão cisalhante unittensão cisalhante unitááriaria

γ=φ⇒φ=θ . r

dzd

. rdzdr φ=γ⇒θ

=γ

dz.d.r γ=θ

G.γ=ν


6

11

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))da figura da figura →→ torque elementartorque elementar

momento torsor total momento torsor total →→ obtenobtençção do ão do equilequilííbriobrio

como como ddθθ//dzdz e G são constantese G são constantes

dA.G.dzd.rdA.G..rdA..rdT 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

=γ=ν=

∫θ

=A

2 dA.G.dzd.rT

⇒θ

= ∫ dArG.dzdT

A

2

J (momento polar de inércia)

dzdGJTSVθ

=

12

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Esta equaEsta equaçção ão éé ananááloga a de flexão onde o loga a de flexão onde o momento fletor M momento fletor M éé igual a rigidez EI multiplicada pela igual a rigidez EI multiplicada pela curvatura dcurvatura d22y/dxy/dx22. .

Aqui, o momento torsor T Aqui, o momento torsor T éé igual a rigidez igual a rigidez àà tortorçção GJ vezes a ão GJ vezes a curvatura torsional (taxa de mudancurvatura torsional (taxa de mudançça do ângulo a do ângulo θθ))

Finalmente, podeFinalmente, pode--se escrever,se escrever,

⇒=θθ

=γ=ν GJT

dzd mas G.

dzd.rG. SV

Jr.TSV=ν

dzdGJTSVθ

=

2

2

dxydEIM −=

onde r é a distância do ponto conside-rado até o centróide


7

13

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))SeSeçções Circularesões Circulares

Para sePara seçções circulares com diâmetro t, não ocorre empenamento da ões circulares com diâmetro t, não ocorre empenamento da seseçção e J representa o momento polar de inão e J representa o momento polar de inéércia e a tensão rcia e a tensão cisalhante mcisalhante mááxima ocorre em r = t / 2xima ocorre em r = t / 2

32tJ

4π= 3

SVmáx t.

T.16π

=ν

SeSeçções Retangularesões Retangularespyx

2222

A

2 III dAydAxdA)y(x dArJ =+=+=+== ∫ ∫∫∫

dz

A B

Ponto APonto A Ponto BPonto B

ττ = 0= 0dz

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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))ConsideraConsideraççãoão inconsistenteinconsistente

Para sePara seçções retangulares ões retangulares →→ deformadeformaçções provenientes do ões provenientes do cisalhamento devem variar de forma nãocisalhamento devem variar de forma não--linearlinearJ deve ser reavaliadoJ deve ser reavaliadoA seA seçção transversal não permanece plana como previsto por ão transversal não permanece plana como previsto por StSt. . VenantVenantTeoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade →→ tensão cisalhante mtensão cisalhante mááxima ocorre no ponto xima ocorre no ponto mméédio ao longo do lado do retângulo e atua paralelamente a estedio ao longo do lado do retângulo e atua paralelamente a este

Magnitude Magnitude →→ funfunçção da razão b / t (comprimento / largura)ão da razão b / t (comprimento / largura)

32 t.b.kJ =

2SV1

máx t.bT.k

=ν

0,3330,3330,2910,2910,2810,2810,2630,2630,2490,2490,2290,2290,1960,1960,1660,1660,1410,141kk22

3,003,003,443,443,553,553,753,753,883,884,074,074,334,334,574,574,814,81kk11

∞∞5,05,04,04,03,03,02,52,52,02,01,51,51,21,21,01,0b/tb/t


8

15

2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Para sePara seçções retangulares ões retangulares →→ as tensões de cisalhamento as tensões de cisalhamento provocadas por T desenvolvemprovocadas por T desenvolvem--se paralelamente se paralelamente ààs faces do s faces do retânguloretângulo

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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Quando vQuando váários retângulos são associados para compor a rios retângulos são associados para compor a seseçção transversal, o fluxo cisalhante tornaão transversal, o fluxo cisalhante torna--se mais complexo. se mais complexo.

MMááxima tensão cisalhante xima tensão cisalhante →→ tortorçção pura, em cada retângulo ão pura, em cada retângulo →→ ocorre no ponto mocorre no ponto méédio do maior lado do retângulodio do maior lado do retângulo

∑∑=ν=ν

3btTt e

3btTt

3SVw

máx w3SVf

máx f


9

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2. Tor2. Torçção Pura ou de St. ão Pura ou de St. VenantVenant (T(TSVSV))Para um perfil Para um perfil ““II”” →→ T = T = TTalmaalma + 2 + 2 TTmesamesa

νwm

νfm

νfm

νwm

νfm

νfm

dzdG

3bt

dzdG

3tb.2

dzdG

3tbT

33ff

3ww

SVθ

=θ

+θ

= ∑

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3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaTorTorçção de barras ão de barras →→ seseçções não circulares ões não circulares →→ solusoluçção analão analíítica tica

complicada complicada →→ mméétodos indiretos de solutodos indiretos de soluçção ão →→ MMéétodo de todo de AnalogiasAnalogiasProblemas diferentes (natureza fProblemas diferentes (natureza fíísica) sica) →→ reduzemreduzem--se se ààs s

mesmas equamesmas equaçções diferenciais ões diferenciais →→ analogia entre estes analogia entre estes problemasproblemasPodePode--se afirmar que as varise afirmar que as variááveis xveis x11 e ye y11 de um problema tem a de um problema tem a mesma dependência que as varimesma dependência que as variááveis xveis x22 e ye y22 de outro problemade outro problemaPrandtlPrandtl (1903) (1903) →→ TorTorçção seão seçção qualquerão qualquer →→ mesmas mesmas equaequaçções ões diferenciaisdiferenciais que uma que uma membrana esticadamembrana esticada sobre um contorno de sobre um contorno de mesma configuramesma configuraçção e submetida a uma ão e submetida a uma pressãopressão qq


10

19

3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaAnalogia da Analogia da tensão cisalhantetensão cisalhante →→ ângulo ângulo da da tangentetangente ààsuperfsuperfíície da membranacie da membranaAnalogia do Analogia do momento torsormomento torsor →→ volumevolume entre o entre o plano do plano do contornocontorno e a e a superfsuperfíície da membranacie da membrana

T

τxz

z

τyz

z

qF F

≡≡

20

3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaDefiniDefiniççõesões

q q →→ pressão uniforme na membranapressão uniforme na membrana

F F →→ forforçça no a no ““aroaro”” da membrana por unidade de comprimentoda membrana por unidade de comprimento

G G →→ mmóódulo de cisalhamento eldulo de cisalhamento eláástico:stico:

νν →→ coeficiente de Poissoncoeficiente de Poisson

φφ →→ ângulo de torângulo de torççãoão

ddφφ//dzdz →→ taxa de tortaxa de torçção ão –– ângulo de torângulo de torçção por unidade de ão por unidade de

comprimentocomprimento

)1(2EGν+

=


11

21

3. Analogia de Membrana3. Analogia de Membrana

VolumeVolume

DerivadasDerivadas

EquaEquaçção Diferencialão Diferencial

TorTorççãoãoFunFunçção de Tensão: ão de Tensão: φφ

MembranaMembranaDeflexão: zDeflexão: z

Fq

yz

xz

2

2

2

2

−=∂∂

+∂∂

dzdG2

yx 2

2

2

2 φ−=

∂φ∂

+∂φ∂

yz ,

xz

∂∂

∂∂

yzxy y ,

xτ=

∂φ∂

τ=∂φ∂

∫∫ dy dx z ∫∫ φ= dy dx 2Tsv

Portanto, ângulo da tangente da membrana Portanto, ângulo da tangente da membrana ≡≡ tensões cisalhantestensões cisalhantes

22

3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaVolume abaixo da membrana = Volume abaixo da membrana = TTsvsv / 2/ 2

x

z

y

t

b≡≡

B

B

A A

qF F

q

F F

Corte AA Corte BB


12

23

3. Analogia de Membrana3. Analogia de MembranaPressão uniforme Pressão uniforme →→ deslocamento equadeslocamento equaçção parabão parabóólicalica

qF F

y

z

α

t/2

z0

2y kz =

20

2

0 tz 4k

4t kz =∴=

(a) 22

0 y tz 4z =

(b) inclinação: τ== y tz 8

dydz

20

(c) ΣFz = 0: 0sen.b.F.2b.t.q =α−

(d) α===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sentz 4

2t

tz 8

dydz 0

20

máx

para ângulos pequenos, sen α = tan α = (dz/dy)máx

⇒=−∴ 0tz4.b.F.2b.t.q 0

20

tz8

Fq=(e)

dzdG2

Fq φ=(f) mas por analogia e o volume

2/Tz.b.t32V2/TV sv0sv ==∴=

24

3. Analogia de Membrana3. Analogia de Membrana(g) 0sv z.b.t3

4T =

(h)b.t.4

T.3z sv0 =

'G2dzdG2

btT.6

tz8

Fq

3sv

20 φ=

φ===

(i)3

'.G.b.tT3

svφ

=

Definindo , tem-se3t.bJ

3

=

'GJTsv φ=

e a rigidez à torção GJCt =

'CT tsv φ=

Comparando-se com a equação M = -EIv” onde M é comparado com Msv, (Tsv), E com G, I com J e φ’ com v”. Da equação (b), tem-se,

y tz 82

0=τ

2svsv0

2/tmáx t.bT 3

t.bT

43.

t 4

tz 4

===τ=τ

⇒=τ 3sv

máx t.bT . t.3

JT . t sv

máx =τ

Para qualquer configuração de retângulo

∑= 3ijij tb

31J

JT . t svij=τ


13

25

4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas0 ds dz

z t dz ds

s)t( z =

∂σ∂

+∂τ∂

z t -

s)t( z

∂σ∂

=∂τ∂

ΣΣFFzz = 0 = 0 →→

ou ou

1. Assumindo1. Assumindo--se que o se que o momentomomento seja seja apenas no apenas no plano plano yzyz, ou seja, , ou seja, MMyy=0=0, tem, tem--se as tensões de flexão: se as tensões de flexão:

)xIyI(III

Mxyy2

xyyx

xz −

−=σ e e

)xIyI(III

z/Ms xyy2

xyyx

xz −−∂∂

=∂σ∂

Tensões normais Tensões normais →→ flexãoflexão

26

4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas

LembrandoLembrando--se que , temse que , tem--sese

)xIyI(III

V tst

xyy2xyyx

y −−

−=

∂τ∂

z/MV xy ∂∂=

IntegrandoIntegrando--se para encontrar se para encontrar ττtt a uma a uma distância s da face livre, temdistância s da face livre, tem--se o fluxo de se o fluxo de cisalhamento cisalhamento ττtt dado por,dado por,

[ ]∫∫ −−

−=τ s

0xys0y2

xyyx

y ds xtIds ytIIII

V t


14

27

4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas Abertas2. Assumindo2. Assumindo--se que o se que o momento momento ééaplicado no aplicado no plano plano xzxz, isto , isto éé, , MMxx=0=0, , temtem--se as tensões de flexão dadas se as tensões de flexão dadas por:por:

)xIyI(III

Mxxy2

xyyx

yz +−

−=σ

TomandoTomando--se , lembrando que se , lembrando que . e integrando. e integrando--se para se para obter o fluxo de cisalhamento, temobter o fluxo de cisalhamento, tem--se,se,

z/z ∂σ∂z/MV yx ∂∂= [ ]∫∫ −

−+

=τ s0x

s0xy2

xyyx

x ds xtIds ytIIII

V t

3. 3. MomentosMomentos aplicados em ambos os aplicados em ambos os planos planos yzyz e e xzxz →→ as tensões podem as tensões podem ser calculadas por superposiser calculadas por superposiçção dos efeitos. O cortante ão dos efeitos. O cortante VVyy na direna direçção y deve ão y deve ser igual a componente ser igual a componente ττtt na direna direçção y somada ao longo de toda a seão y somada ao longo de toda a seçção. ão. Similarmente, para VSimilarmente, para Vxx e e ττtt na direna direçção x.ão x.

28

4. Se4. Seçções de Paredes Finas Abertasões de Paredes Finas AbertasO O equilequilííbrio rotacionalbrio rotacional tambtambéém deve ser m deve ser satisfeito, ou seja, o satisfeito, ou seja, o momentomomento em relaem relaçção ao ão ao centrcentróóide ide da seda seççãoão

deve ser deve ser igual a zeroigual a zero em casos de perfis com em casos de perfis com seseçções transversais em I ou Z.ões transversais em I ou Z.

Se este equilSe este equilííbrio brio éé automaticamente automaticamente satisfeito quando o cisalhamento atua no satisfeito quando o cisalhamento atua no centrcentróóide, nenhuma esforide, nenhuma esforçço de toro de torçção atuarão atuaráásimultaneamente com os esforsimultaneamente com os esforçços de flexão.os de flexão.

∫ τn0 ds r )t(


15

29

5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoPara se Para se evitar evitar que ocorra que ocorra tortorççãoão da da seseçção transversal ão transversal →→ aplicaaplicaçção da ão da cargacarga na na linha linha que passa pelo que passa pelo centro centro de cisalhamentode cisalhamento →→ em seem seçções ões duplamente simduplamente siméétricas tricas –– coincidência coincidência com o centrcom o centróóideideTodavia, isto nem sempre Todavia, isto nem sempre éé posspossíível vel tendo em vista que em alguns tipos tendo em vista que em alguns tipos de sede seçção transversal, o C.S. fica fora ão transversal, o C.S. fica fora da seda seçção transversalão transversal

0ds r )t(n0 =τ∫

30

5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoConsiderandoConsiderando--se os esforse os esforçços os cortantes Vcortantes Vxx e e VVyyatuantes em distâncias de atuantes em distâncias de yy00 e xe x00 do centrdo centróóideide, , respectivamente e que o momento torsor em respectivamente e que o momento torsor em relarelaçção ao centrão ao centróóide ide éé o mesmo que , o mesmo que , temtem--se,se,

∫ τn0 ds r )t(

∫ τ=− n00x0y ds r )t(yVxV

Em outras palavras, o momento torsor Em outras palavras, o momento torsor éé igual a igual a . quando as cargas são aplicadas . quando as cargas são aplicadas em planos que passam atravem planos que passam atravéés do centrs do centróóide ide mas igual a zero se as cargas são aplicadas mas igual a zero se as cargas são aplicadas em planos que passam atravem planos que passam atravéés do centro de s do centro de cisalhamento cisalhamento –– coordenadas xcoordenadas x00 e ye y00

0x0y yVxV −


16

31

5. Centro de Cisalhamento5. Centro de CisalhamentoPara se determinar a posiPara se determinar a posiçção do centro de cisalhamento, primeiro fazão do centro de cisalhamento, primeiro faz--se o se o cortante ser igual a zero em uma das direcortante ser igual a zero em uma das direçções (ões (VVyy = 0), lembrando= 0), lembrando--se que se que ττttfoi determinado anteriormentefoi determinado anteriormente

∫ τ−= n0

x0 ds r )t(

V1y [ ]∫∫ −

−+

=τ s0x

s0xy2

xyyx

x ds t xIds t yIIII

V tcomcom

Alternativamente, para VAlternativamente, para Vxx = 0, tem= 0, tem--se,se,

∫ τ−= n0

y0 ds r )t(

V1x [ ]∫∫ −

−

−=τ s

0xys0y2

xyyx

y ds t xIds t yIIII

V tcomcom

32

5. Centro de Cisalhamento5. Centro de Cisalhamento


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34



18

35


36

da figura, temda figura, tem--sese

as mesas do perfil as mesas do perfil éé que resistem ao empenamentoque resistem ao empenamento

6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))ConsiderandoConsiderando--se uma viga em balanse uma viga em balançço, submetida a um o, submetida a um momento torsor Tmomento torsor T

;2h.u θ= u

d

;dzd.

2h

dzdu θ

= dzd.

2h

dzud

2

2

2

2 θ=

h

3

3

3

3

dzd.

2h

dzud θ=

empenamento restringido

empenamento livre

Vf

Vf

h=d-tf

h.VT fw =

dz

V V+dV

dzTz


19

37

6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))Da teoria de vigas,Da teoria de vigas,

Logo,Logo,

SubstituindoSubstituindo--se se VVff na equana equaçção de ão de TTww e tomando h = d e tomando h = d –– ttff, , temtem--sese

2

2

ffz

f dzud.EIM e

dzdMV −==

3

3

ff dzud.EIV −=

onde Ionde Iff (momento de in(momento de inéércia das mesas em relarcia das mesas em relaçção ão ao eixo de maior inao eixo de maior inéércia) rcia) éé tomado igual a Itomado igual a Iyy/2 /2

porque a influência da alma pode ser desprezadaporque a influência da alma pode ser desprezada

( ) ( ) dzd.td.

4EI

T td.dz

ud.2

EIT 3

32

fy

wf3

3y

wθ

−−=⇒−−=

3

3

dzd.

2h θ ( ) ⇒−= td.

4I

C mas 2f

yw

dzdECT 3

3

wwθ

−=

38

6. Tor6. Torçção de Empenamento (ão de Empenamento (““WarpingWarping””))Finalmente, o momento torsor total serFinalmente, o momento torsor total seráá dado pela equadado pela equaçção:ão:

Reescrevendo a equaReescrevendo a equaçção acima apão acima apóós dividir ambos os termos s dividir ambos os termos por por ECECww, tem, tem--se,se,

A soluA soluçção da equaão da equaçção diferencial acima ão diferencial acima éé dada pordada por

dzdEC

dzdGJTTT 3

3

wwSVzθ

−θ

=+=

w2

2

w

z23

3

ECGJ

a1 onde

ECT

dzd-

dzd

==λ=θ

λθ

aplicado torquepara particular solução a é onde)z(senh.C)zcosh(.BA

p

p

φ

φ+λ+λ+=φ


20

39

7. Condi7. Condiçções de Contorno (Idealizadas)ões de Contorno (Idealizadas)

φ→ rotação φ’ → empenamento φ’’ = 0 → empenamento livre

40



21

41


42

8. Combina8. Combinaçções de Tensõesões de Tensões

'.G.tJT.t SV

SV φ==τ '").td(16b.E

f

2

W φ−−=τ "4

)td.(b.E fw φ

−±=σ


22

43

9. Procedimento para Dimensionamento9. Procedimento para DimensionamentoObter as propriedades mecânicas e geomObter as propriedades mecânicas e geoméétricas da setricas da seçção ão transversaltransversal

J, J, CCww, E e G, E e GEscrever a equaEscrever a equaçção diferencial para o problema a ser ão diferencial para o problema a ser resolvidoresolvidoResolver a equaResolver a equaçção diferencialão diferencial

solusoluçção exata ão exata →→ aplicaaplicaçção das condião das condiçções de contornoões de contornomméétodos aproximadostodos aproximados

Determinar as parcelas de tensõesDeterminar as parcelas de tensõesSaintSaint VenantVenantEmpenamentoEmpenamento

SuperposiSuperposiçção dos efeitosão dos efeitos

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10. Exemplo Te10. Exemplo Teóóricorico

empenamento restringido φ = 0 (rotação) φ’ = 0 (empenamento)

empenamento livre

Tz

0"

0"4

Ebhw

=φ

=φ−=σ

'"EC'GJTTT wwSVz ⇒φ−φ=+=w

z

w ECT'

ECGJ- '" −=φφ

1.1. equaequaçção diferencialão diferencial

solusoluçção da formaão da forma

tentativatentativap)z(senh.C)zcosh(.BA φ+λ+λ+=φ

z

0 e 0 ;F ;z.F "'p

"p

'pp =φ=φ=φ=φ


23

45

10. Exemplo10. Exemplologo,logo,

das condidas condiçções de contornoões de contorno

lembrando quelembrando que

GJTF

ECTF.

ECGJ0 z

w

z

w=⇒−=−

GJz.T)z(senh.C)zcosh(.BA z+λ+λ+=φ

0 e 0 ;0 "L

'00 =φ=φ=φ

1)0cosh()zsinh(.)zcosh(dzd e

2ee)zcosh(

zz=⇒λλ=λ

+=λ

λ−λ

0)0(senh)zcosh(.)z(senhdzd e

2ee)z(senh

zz=⇒λλ=λ

−=λ

λ−λ

46

10. Exemplo10. Exemploentão,então,

que para as condique para as condiçções de contorno do problema, valemões de contorno do problema, valem

GJT)zcosh(..C)z(senh..B' z+λλ+λλ=φ

)z(senh..C)zcosh(..B" 22 λλ+λλ=φ

)zcosh(..C)z(senh..B'" 33 λλ+λλ=φ

0BA0)0( =+⇒=φ

w3

zw

2zz'

ECTCECGJ mas

GJTC0

GJT.C0)0(

λ−=⇒λ=

λ−=⇒=+λ⇒=φ

0)z(senh..C)zcosh(..B0)L( 22'' =λλ+λλ⇒=φ

⇒=λλ

−λ 0)L(senhECT)Lcosh(.B

w3

z

A)Ltanh(ECTB

w3

z −=λλ

=


24

47

10. Exemplo10. Exemplofinalmente,finalmente,

a partir de a partir de φφ, obter , obter φφ’’, , φφ””e e φφ”’”’ e determinar e determinar ττSVSV, , σσWW e e ττWW

+λλλ

+λλ

−=φ )zcosh().Ltanh(ECT)Ltanh(

ECT

w3

z

w3

z

z.ECT)L(senh

ECT

w2

z

w3

z

λ+λ

λ−

'.G.tJT.t SV

SV φ==τ '").td(16b.E

f

2

W φ−−=τ "4

)td.(b.E fw φ

−±=σ

48

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)E = 200000 MPaG = 77000 MPaPerfil W310x74Tz

z

6,0 m43mm10x745J =

69w mm10x505C =

e mm 132710.745.7700010.505.200000

GJECa 3

9w === 52,4

13276000

aL ==

dos dos áábacos (novos) bacos (novos) →→ CASO 9 (CASO 9 (αα = 1,0) = 1,0) →→ ppááginasginas 88 e 8988 e 89

L z em 0,1TGJ'

máxz==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φ

0 z em 0,1a.T

GJ"' 2

z=−=

φ L z em 63,3a1.

TGJ

z==

φ

0 z em 0,5a5.TGJ"z

==φ

(página 89)

(página 88) (página 89)

(página 88)

tw = 9,1 mm tf = 16,3 mm


25

49

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)

a5.TGJ"z

φ

a1.

TGJ

z

φ

a5.TGJ"z

φ

0 z em 0,5a5.TGJ"z

==φ

L z em 63,3a1.

TGJ

z==

φ

52,4aL=

a1.

TGJ

z

φ

50

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)

2

za.

TGJ'"φ

zTGJ'φ

L z em 0,1TGJ'

máxz==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φ

0 z em 0,1a.T

GJ"' 2

z=−=

φ


26

51

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)A.A. Tensão Cisalhante Tensão Cisalhante -- St. St. VenantVenant

L Zem '.G.tmáx SV =φ=τ

GJT.0,1' z

máx =φ Jt.T

GJT.G.t zz

máx SV ==τ

)m.kN(T.2,12)mm/N(T.10.2,1210.745

1,9.TJt.T

z2

z6

3zwz

alma máx SV ====τ −

)m.kN(T.9,21)mm/N(T.10.9,2110.745

3,16.TJt.T

z2

z6

3zfz

mesa máx SV ====τ −

52

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)B.B. Tensão Normal Tensão Normal -- EmpenamentoEmpenamento

0 Zem máx W =σ

"máx

fmáx W .

4)td.(b.Eφ

−=σ

=−

=σa1.

JT.

4)td.(b.

GE zf

alma máx W

a1.

GJT

a51.

GJT.0,5" zz ==φ

)m.kN(T.6,39T.10.6,391327

1.10.745

T.4

)3,16310.(205.77000200000

zz6

3z ==

−= −


27

53

11. Exemplo Num11. Exemplo Numéérico (rico (ÁÁbacos AISC)bacos AISC)C.C. Tensão Cisalhante Tensão Cisalhante -- EmpenamentoEmpenamento

0 Zem '".16

)td(b.E f2

máx W =φ−

−=τ

2z2

z a1.

GJT.0,1a.

TGJ"'

−=φ

2zf

2

máx W a1.

JT)0,1.(

16)td(b

GE

−−

−=τ

23z

2

máx W )1327(1.

10.745T.

16)3,16310()205(

70000200000 −

=τ

kN.m) em T(T.5,1T.10.5,1 zzz6

máx W ==τ −

54

12. Se12. Seçções de Paredes Finas Fechadasões de Paredes Finas Fechadas

ht

τ = h / t se t é pequeno

área fechada limitada pela linha média = A

Logo, volume V = A . h

Portanto,

Analogia de MembranaAnalogia de Membrana

Aq 2 A t 2 h A2T =τ==


28

55

Maior rigidez Maior rigidez àà tortorççãoãoEm tubos de paredes finas Em tubos de paredes finas →→ tensões cisalhantes tensões cisalhantes uniformemente distribuuniformemente distribuíídas ao longo da espessura tdas ao longo da espessura t

tensão cisalhante τ

τt é a força cisalhante por unidade de comprimento ao longo da parede → fluxo cisalhante

Apenas tensões cisalhantes provenientes da torção

Tensões normais (σz) = 0 →τt constante (q)


56

O incremento de momento torsor em cada elemento vale:

ds t dT ρτ=Integrando-se, tem-se,

∫ ρτ=s

ds tT

Observando-se que ½ ρ ds representa a área do triângulo hachurado

A2ds s

=ρ∫ onde A representa a área da parede fechada

Aq 2 A t 2T =τ=

E finalmente,



29

57

Se uma abertura Se uma abertura éé feita na feita na parede parede →→ movimento relativo movimento relativo entre os dois lados na direentre os dois lados na direçção ão axial do membroaxial do membrodeformadeformaçção unitão unitáária provocada ria provocada

pelo cisalhamento ao longo do pelo cisalhamento ao longo do perperíímetrometro G/τ=γ

A energia de deformaA energia de deformaçção ão interna para qualquer elemento interna para qualquer elemento de comprimento de comprimento dsds ao longo do ao longo do perperíímetro valemetro vale

dsGA2

T21 ds t

21dWi

τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γτ=


58

O momento torsor T em torno O momento torsor T em torno do ponto 0 pode ser substitudo ponto 0 pode ser substituíído do por um binpor um bináário T / r e o trabalho rio T / r e o trabalho externo feito pelo binexterno feito pelo bináário valerio vale

Com o objetivo de se obter Com o objetivo de se obter equaequaçções mais usuaisões mais usuais

E finalmente, eliminandoE finalmente, eliminando--se T se T entre as equaentre as equaçções ões e a anterior e resolvendoe a anterior e resolvendo--se se para a constante de torpara a constante de torçção J, ão J, temtem--sese

2Tn

rT

21dWe

θ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

IgualandoIgualando--se se WWii com com WWee por por unidade de comprimento, temunidade de comprimento, tem--sese

⇒τ=θ

∫s

ds AG4T

2T

AG2

ds/t t

AG2

ds ss∫∫ τ

=τ

=θ

θ= GJT

(com τt constante)

A t 2T τ=

AG2

ds/t t GJT s

∫τ=

∫=

s

2

ds/t A4J



30

59

Exemplos Exemplos –– Comparar a resistência ao momento torsor T e a Comparar a resistência ao momento torsor T e a constante de torconstante de torçção J para as seão J para as seçções a seguir sabendoões a seguir sabendo--se que se que a tensão cisalhante a tensão cisalhante ττ = 14 = 14 ksiksi::


60

a) sea) seçção circular de parede finaão circular de parede fina[ ] kipsft 6,91

121 4/(10) (0,5) (14) 2 A t 2T 2 −=π=τ=

42

s

2

in 39320

)25(4ds/t

A4J =ππ

==∫

onde π=π=∫ 205,0/)5(2ds/ts

b) b) seseççãoão caixão caixão retangularretangular

[ ] kipsft 84121 72 (0,5) (14) 2 A t 2T −==τ=

4

s

2

in 288)5,0/36.4(ds/t

A4J ===∫



31

61

c) c) seseçção abertaão aberta

Como , a máxima tensão cisalhante ocorrerá nas mesas.JTt

=τ

[ ] 4333 in 08,4)1)(5,5(2)5,0(1031bt

31J =+== ∑

kips-ft 8,4)12)(1()14(08,4

tJT

f==

τ=

A partir dos resultados obtidos, conclui-se que a seção circular possui maior resistência à torção, sendo seguida pela seção caixão retangular

O J destas seções igual a 96 e 71 vezes da seção aberta e T iguais a 19 e 18 vezes ao da seção aberta, respectivamente


62

13. Exemplo CS13. Exemplo CSTomandoTomando--se Vse Vxx = 0 e fazendo= 0 e fazendo--se o momento em relase o momento em relaçção ao ão ao ponto A,ponto A,

∫ τ== b0fy ds h )t(hVqV

s t yIV

ds t yIV

tx

ys0

x

y −=

−=τ ∫

Onde Onde

Para estas sePara estas seçções de paredes ões de paredes finas, o comprimento s finas, o comprimento s utilizado na integrautilizado na integraçção ão éémedido na linha mmedido na linha méédia da dia da espessuraespessura


32

63

13. Exemplo CS13. Exemplo CSSubstituindoSubstituindo--se na primeira equase na primeira equaçção ão e usando y = e usando y = --h / 2 com t = th / 2 com t = tff, tem, tem--se,se,

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= ∫

b0 f

x

yy ds s h t

2h

IV

qV

x

22fyb

0x

2fy

I4bh tV

ds s I2

h tV == ∫

E a posiE a posiçção do centro de cisalhamento ão do centro de cisalhamento na direna direçção positiva do eixo x ão positiva do eixo x éé

x

22f

I4bh t q =

Para se obter a coordenada do Para se obter a coordenada do centro de cisalhamento em relacentro de cisalhamento em relaçção ão ao eixo y, aplicaao eixo y, aplica--se Vse Vxx e tomae toma--se se VVyy = 0= 0

∫ τ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − b

00x ds yt)(y2hV

∫−

=τ s0

y

x ds t xIV t

Onde Onde

64

13. Exemplo CS13. Exemplo CSPara ilustrar numericamente Para ilustrar numericamente →→ b = 4b = 4””, h = 12, h = 12”” e t = e t = ttww

CCáálculo do centrlculo do centróóideide

in 8.0)4(212

)2)(4(2t)b2h(t)2/b(b2

A x. Ax

w

w =+

=+

==∑∑

Então, s = x + 3.2 inEntão, s = x + 3.2 in

ww23

y t87.29t )8.0(202 .)4(31I =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

−=τ s

0

2x

y

x ds hs2,32s

29,87V-ds )2,3s(

IV t

SubstituindoSubstituindo--se se ττtt, tem, tem--se,se,

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=τ 4

0

2x

0x ds hs2,32

s29,87

V-y2hVt


33

65

13. Exemplo CS13. Exemplo CSContinuaContinuaççãoão

2hV

2s2,3

6s

29,87hV- x

4

0

23x +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Com isso, mostraCom isso, mostra--se que yse que y00 = 0. O centro de = 0. O centro de cisalhamento pode ser localizado seguindocisalhamento pode ser localizado seguindo--se se o procedimento abaixo:o procedimento abaixo:

1.1.Calcular, atravCalcular, atravéés da integral das tensões em s da integral das tensões em cada lado da secada lado da seçção, a forão, a forçça cortante atuante;a cortante atuante;

2.2.O centro de cisalhamento O centro de cisalhamento éé localizado de localizado de forma que Vforma que Vxx ou ou VVyy equilibrem as forequilibrem as forçças as atuantes na seatuantes na seçção.ão.

66

14. Observa14. Observaççõesões

I E L

I G L

CI E M w4

4

T2

2

b ycrπ

+π

=

dzdEC

dzdGJTTT 3

3

wwSVzθ

−θ

=+=

Flambagem Lateral por TorFlambagem Lateral por Torççãoão

C E L

J G L

CI E M w4

4

2

2

b ycrπ

+π

=

projeto estrutural i - torção de aula 01 - torção.pdf · mesma distância até o centróide que...

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