projeto de controlador robusto h em um sistema de … · como a natureza, tipos, ... essas matrizes...

PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO H∞ EM UM SISTEMA DE POTÊNCIA DE CARGA-

FREQUÊNCIA

BETANIA G. DA S. FILHA1,2, ALEXANDRE C. DE CASTRO

3, FERNANDO A. MOREIRA1, JOSÉ MÁRIO ARAÚJO

4

1- Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétirca, Universidade Federal da Bahia

R. Prof Aristides Nóvis, 2 – Federação, 40210-630, Salvador, BA.

SALVADOR, BRASIL

2 - Grupo de Pesquisa no Desempenho dos Sistemas Elétricos de Potência, Departamento de Eltrotécnica,

Instituto Federal da Bahia

Campus Salvador, Salvador – BA.

SALVADOR, BRASIL

3 - Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Paraíba

Campus universitário I, João Pessoa – PB.

JOÃO PESSOA, BRASIL

4 - Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas, Departamento de Automação e Sistemas,

Instituto Federal da Bahia

Campus Salvador, Salvador – BA.

SALVADOR, BRASIL

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

Abstract Techniques for the analysis and design of multivariable system controllers in the frequency domain are used for verify-

ing the possibility of obtaining robust control with reduced order decentralized controllers aiming at the robust stability of the power

system. In order to reach the robustness, the selection of the most effective signals and inputs for the application of controllers is es-

sential. With this purpose, two frequency analysis techniques were used: Relative Gain Matrix (RGM) and singular value analysis.

The proposed techniques are applied to a three area load-frequency system. At the end, it was possible to find a first order efficient

controller that remains robust, even in the presence of faults or disturbances. The controller used was of the type H∞ and the optimiza-

tion method applied was Genetic Algorithms.

Keywords Power systems, load-frequency, robust control, genetic algorithms.

Resumo Técnicas de análise e projeto de controladores de sistemas multivariáveis no domínio de frequência são usadas para veri-

ficar a possibilidade de se obter controle robusto com controladores de ordem reduzida descentralizados, visando a estabilidade ro-

busta do sistema de potência. Para que a robustez possa ser atingida, é imprescindível a seleção dos sinais e as entradas mais eficazes

para aplicação dos controladores. Para tanto, foi utilizada duas técnicas de análise frequenciais: Matriz de Ganhos Relativos (MGR) e

análise dos valores singulares. As técnicas propostas são aplicadas em um sistema de carga-frequência de três áreas. Ao final, foi

possível encontrar um controlador eficaz já em primeira ordem, que se mantém robusto, mesmo com a presença de faltas ou per-

turbações. O controlador utilizado foi do tipo H∞ e o método de otimização aplicado foi Algoritmos Genéticos

Palavras-chave sistemas de potência, carga-frequência, controle robusto, algoritmos genéticos

1 Introdução

Desde a criação dos primeiros sistemas elétri-

cos, dois aspectos devem ser observados para se ob-

ter estabilidade. O primeiro se refere às variações

bruscas na tensão e corrente do sistema. Denomina-

se Estabilidade Transitória. O segundo trata-se das

variações ocorridas no sistema em regime perma-

nente, ocasionadas por pequenas perturbações que

ocorrem durante a operação do Sistema. A expansão

econômica e o desenvolvimento industrial, que per-

mitiram a construção de sistemas elétricos interliga-

dos, favoreceram o aparecimento de oscilações ele-

tromecânicas de baixa frequência fracamente ou não

amortecidas. Estas oscilações são prejudiciais, pois

diminuem as margens de estabilidade do sistema de

potência, podendo limitar a potência de transmissão.

Portanto, o amortecimento dessas oscilações tornou-

se o pré-requisito para uma operação segura de um

sistema elétrico e a preocupação de engenheiros e

operadores (Rogers, 2000; Tortelli , 2010).

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

2652

mailto:[email protected]




Para um controle eficaz dessas oscilações é im-

prescindível a análise e conhecimento de fatores

como a natureza, tipos, frequências das oscilações

mais preocupantes e etc. As técnicas lineares utili-

zadas para projetar a maioria dos controladores

apresentam um baixo desempenho devido ao fato de

que esses métodos não consideram também as varia-

ções nas condições de operação, a variação de parâ-

metros do sistema devido a falhas, e também a parte

da dinâmica do sistema. Nas últimas décadas al-

guns pesquisadores passaram a utilizar técnicas de

controle robusto que consideram toda a complexida-

de inerente ao sistema (Klein et al, 1995; Boukarim

et al, 2000; Pal e Chaudhuri, 2005; Chen et al,

2006). Os controladores resultantes dessas técnicas

possuem ordem muito alta (equivalente ao número

de variáveis). Para contornar esse problema, o mode-

lo pode ser previamente reduzido e, posteriormente,

a ordem do controlador é também reduzida (Bouka-

rim et al, 2000). Daí a necessidade do aprimoramen-

to das técnicas de controle aplicadas para se obter

cada vez mais modelos de controladores com ordem

baixa e maior eficiência, contribuindo para manter a

estabilidade do sistema.

Neste artigo, é apresentado um projeto de con-

trolador robusto de baixa ordem para amortecimento

de oscilações, de baixa frequência, em um sistema

de potência de carga-frequência. Para isso, foi sele-

cionado os pares e entradas-saídas mais efetivos uti-

lizando a combinação da matriz de ganhos relativos

(MGR) com valores singulares. O método de otimi-

zação escolhido para selecionar o melhor controla-

dor robusto foi o de Algoritmos Genéticos.

2 Materiais e métodos

2.1 Análise de sinais para controle descentralizado

O sistema de potência com n unidades, m en-

tradas de controle e r sinais de saída é descrito por:

y(j) = G(j)u(j)

em que G(j) é a matriz de funções de transferência

de respostas frequênciais (MFTfr).

Pode-se definir a “controlabilidade” de um modo de

oscilação (MO) como a habilidade do sistema para

amortecer o MO para atingir um desempenho acei-

tável com entradas e saídas limitadas. Do mesmo

modo, pode-se definir a “observabilidade” de um

MO como a contribuição do MO na resposta do sis-

tema.

Para análise de controlabilidade e observabilida-

de modais de sistemas multivariáveis no domínio de

frequência são utilizados os “valores singulares” da

MFTfr, que para o caso da matriz G(j) são defini-

dos por

kiH

i

H

ii ,...,1,)()()( GGGGG

em que i é o i-ésimo autovalor da matriz, GH

é a

matriz conjugada e transposta de G e k = min(m,r).

Definindo como o maior valor singular, como

o menor e a relação / como o número de

condição as seguintes propriedades de interesse são

descritas (Cruz, 1996; Skogestad e Postlethwaite,

2005):

na frequência de um MO representa o

grau de observabilidade do modo na respos-

ta do sistema e representa o grau de con-

trolabilidade do modo. MO pouco amorte-

cidos e fortemente observáveis apresentam

grandes picos no gráfico de .

os picos de são associados à robustez do

sistema. Sistemas robustos apresentam pe-

quenos picos de .

Considere o sistema de potência G(j) com con-

troladores H(j), entradas de referência R e distúr-

bios, d, como apresentado na Fig. 1.

Figura 1. O sistema de potência com controlador

A seguinte relação é obtida da Fig. 1:

y = (I+GH)-1GR + (I+GH)-1

Gdd

em que S=(I+GH)-1 é a matriz de sensibilidade

e T = SG é a matriz de funções de transferência de

malha fechada do sistema. Essas matrizes são usadas

para análise do desempenho do sistema controlado.

2.2 Interações frequenciais

A matriz de ganhos relativos (MGR) é impor-

tante para análise de sistemas multivariáveis e será

usada para uma prévia seleção de entrada e saídas

para controle descentralizado. A MGR é definida

por:

(1)

(2)

(2)


2653

rm1r

m111

))j((

G

em que λij = gijbji e bji é o elemento ji de †G (ma-

triz inversa generalizada de G), definida por †G =

(GHG)-1

GH para m r, Posto(G) = m ou

†G =

GH(GG

H)-1 para r m, Posto(G) = r.

Sabe-se que ij é uma medida de interação entre a

entrada j e a saída i (Skogestad e Postlethwaite,

2005).

Utilizando as suas propriedades, a MGR pode

ser usada para seleção dos pares entrada-saída mais

efetivos. Entretanto, a utilização da MGR isolada-

mente para essa seleção tem algumas limitações. A

maior limitação é a impossibilidade de se selecionar

a saída mais efetiva entre sinais de uma mesma uni-

dade, por exemplo, velocidade e potência elétrica

num gerador (Milanovic e Duque, 2001) ou, de uma

maneira geral, sinais com alguma relação entre si.

Em (Castro e Araújo, 2002) foi proposta uma

técnica que combina MGR e valores singulares na

seleção dos pares entrada-saída mais efetivos para

aplicação de controladores descentralizados. Essa

técnica se mostra muito eficiente e confiável para

seleção de sinais.

2.3 Descentralização

Um conjunto de entradas e saídas é completamente

descentralizado se (G) = I. Entretanto, essa igual-

dade só ocorre se a matriz G for triangular, que não

é o caso de sistemas de potência. Todavia, pode-se

aceitar como descentralizado o conjunto que resultar

(G(j)) I para = c (Skogestad e Postlethwaite,

2005). Define-se a “frequência de corte”, c, como a

frequência em que =1, quando está decrescen-

do.

Quanto mais próximo da matriz identidade re-

sultar (G(jc)) mais independentes são os pares

entrada-saída e consequentemente menores intera-

ções ocorrerão entre os controladores.

2.4 Seleção de Entradas e Saídas

Inicialmente todas as entradas e sinais de saída

são usados para determinação da MGR na frequên-

cia = 0. Com essa matriz eliminam-se os sinais e

entradas pouco efetivos ou que provoquem intera-

ções indesejáveis.

A seguir, considerando que p controladores são

suficientes para amortecer os modos de oscilação

com controle robusto do sistema, formam-se todos os

conjuntos com p entradas e p saídas. Então esses

conjuntos são testados para verificação da descentra-

lização na frequência = c. Conjuntos com fortes

interações entre unidades (fraca descentralização)

são descartados.

Finalmente, os conjuntos restantes são compa-

rados, usando valores singulares, para selecionar o

conjunto com boa descentralização e com a maior

controlabilidade ( maior) na faixa dos MO. Esse

conjunto é usado para aplicação de controladores

descentralizados.

2.5 Projeto de Controladores Robustos Descentrali-

zados

Os controladores serão projetados levando em

consideração os erros de modelagem. Esses erros,

denominados incertezas, ocorrem por não se incluir

no modelo do Sistema as não linearidades, as mu-

danças dos parâmetros com as variações de carga e

devido à exclusão da dinâmica dos geradores, siste-

mas de excitação, etc. Nesse modelo, estes erros são

considerados, adotando incertezas multiplicativas

refletidas na saída, como representado na Figura 2

[8],[9], onde oWo(s)= (G´-G)G-1 é a matriz de in-

certezas relativas e G´ é a matriz de transferência do

sistema real. A matriz diagonal )(0 sW representa os

limites superiores das incertezas nos canais de con-

trole que corresponde a 12WW .

Figura 2. Diagrama de blocos do sistema de potência real

O objetivo é projetar controladores para estabi-

lizar não somente a planta nominal, G(s), mas o

conjunto de todas as plantas definido por

G´(s)=(I+oWo)G(s). S´=(I+G´H)-1, que é a matriz

de sensibilidade do sistema real.

Introduzindo as incertezas no diagrama de blo-

cos da Fig. 1 e arrumando-os para separar o bloco de

incertezas o, resulta o diagrama da Figura 3, onde

M(s) = -Wo(s)T(s)H(s). Sendo T equivalente ao

produto da Matriz de sensibilidade pelo sistema.

Figura 3. Estrutura M do sistema

(3)


2654

Usualmente, a matriz Wo(s) é representada por

o(s)I, onde o(s) é um peso, considerando um úni-

co limite superior, representando o pior caso, associ-

ado a todos os canais de controle. Esse peso é des-

crito por o(s) = (s + o)/[(/)s + 1], onde o é a

incerteza relativa no estado estacionário, 1/ é apro-

ximadamente a frequência onde a incerteza relativa

atinge 100% e é a magnitude do peso em altas

frequências.

Assumindo que a matriz M e as perturbações se-

jam estáveis, então o sistema M da Fig. 3 é estável

para todas perturbações com 1)( Δ , , se e só

se (Skogestad e Postlethwaite, 2005):

(M(j)) < 1,

onde (M) é o valor singular estruturado de M.

Sabe-se que (M) (M) e que a igualdade

ocorre quando a matriz de incertezas, , é cheia, que

deve ocorrer com erros de modelagem e exclusão de

dinâmica dos geradores, rede de transmissão, etc.

Sendo assim, considera-se como condição necessária

e suficiente para estabilidade robusta do sistema,

com (∆)≤1, , a condição:

1))(( jM

Assume-se que o controlador é de estrutura co-

nhecida (descentralizado e de ordem reduzida). Para

atingir a robustez, os parâmetros do controlador

H(s) são ajustados para solução do seguinte proble-

ma de otimização:

min[Sup( (M(jω))]

Se, após a minimização, a robustez es-

tabelecida pelo Teorema 6 não for atingida, ou seja,

se o valor mínimo do maior resultar igual ou maior

que um, então aumenta-se a ordem de cada e

repete-se o problema de otimização. É importante

salientar que ))M(sup(σ significa o valor superior

ou pico máximo de )M(σ .

Algumas restrições poderão ser introduzidas no

problema de otimização. Entre elas cita-se que os

parâmetros dos controladores devem ser ajustados

entre limites práticos. Por exemplo, neste trabalho,

os parâmetros são sempre positivos, e a relação de-

les, nos estágios de avanço-atraso, deverá satisfazer:

0,1 ≤ T1/T2 ≤ 10.

Considere M=oTH (o sinal negativo não afeta

o resultado). Então, (6) reduz-se a (M)=

o (TH) o

(H) (T)< 1, ou

)(

11)(

Ho

T

Para o caso particular com controladores idênti-

cos, (H)= (H)= 1/ (H-1), que substituído em (8),

resulta:

o

)()(

1HT

que é a condição mais fácil de ser verificada.

Observe que para controladores idênticos

ou não, a verificação de robustez é realizada tra-

çando dois gráficos diferentes na mesma escala e

verificando se o gráfico de )T(σ permanence abaixo

do gráfico de

o

)( 1H , para qualquer valor de ω .

O procedimento computacionalmente mais prá-

tico para projetar o controlador robusto descentrali-

zado, consiste em ajustar os parâmetros dos

)s(hi , p,......,i 1 , para minimizar )T(σ . Depois

verifica-se se a (7) ou (8) foram satisfeitas. Se sim,

obtemos o controle robusto descentralizado, se não,

aumentamos a ordem. Foi utilizado, nesse caso, Al-

goritmos Genéticos para fazer a busca dos melhores

resultados, por se encaixar perfeitamente às condi-

ções propostas no problema, além da possibilidade

de se obter um mínimo global para a função objeti-

vo, o que garante maior robustez. Ao aplicar o mé-

todo, viu-se a necessidade impor uma limitação ao

valor da constante K em T, permitindo que ele só

variasse entre 0,4 e 1, para garantir que todos os

autovalores sejam negativos, resultando na estabili-

dade do sistema em malha fechada.

Os Algoritmos Genéticos são algoritmos de

busca baseados nos mecanismos de Seleção Natural

e Genética, aplicando operadores genéticos como

seleção, recombinação e mutação nos indivíduos, até

encontrar a combinação solução para o problema.

Trata-se de técnicas heurísticas de otimização glo-

bal, opondo-se a métodos como o do Gradiente (Hill

Climbing), que seguem a derivada de uma função

para encontrar seu máximo, ficando facilmente reti-

do em máximos locais (Linden, 2008).

É um método de busca aleatória e, como tal, po-

de gerar respostas diferentes para uma mesma fun-

ção, com um mesmo conjunto de condições iniciais.

Entretanto, difere-se dos demais métodos de buscas

aleatórias por considerar informações históricas para

encontrar novos pontos de busca, onde há maior

probabilidade de um bom desempenho (Carvalho et

al, 2013).

(5)

(6)

(7)

(8)


2655

3 Resultados e Discussões

O sistema de potência de controle de carga-

frequência de três áreas equivalentes interligadas é

usado para ilustração. O modelo linearizado é apre-

sentado em (Calvet e Titli, 1989) O sistema é repre-

sentado na Figura 4.

O modelo do sistema é representado por

Figura 4. Sistema de três áreas interligadas

CXy

BuAXX

onde

XT = | f1 xE1 PG1 Ptie1 f3 xE3 PG3 Ptie2 f2 xE2PG2|

uT = | PC1 PC3 PC2 |

yT = | f1 Ptie1 f3 Ptie2 f2 |

em que fi ,xEi, PGi e Ptiei são respectivamente, fre-

quência, sinal de saída do regulador de velocidade,

potência mecânica da turbina e potência de inter-

câmbio do turbogerador da área i, em valores incre-

mentais. PCi é a entrada de controle do regulador de

velocidade da área i.

O sistema tem três MO, cujos autovalores asso-

ciados são: modo 1: -0,1759 j3,0010; modo2: -

0,1199 j4,0102 e modo 3: -0,1893 j4,6410. Foi

verificado que os três modos são do tipo interárea,

recomendando aplicar controladores nas três áreas

para amortecer os três MO.

Para melhorar a descentralização do controla-

dor, foi considerada a representação com sinais

compostos de saída, um recurso utilizado na prática,

definidos da seguinte maneira:

2232112 BfPBfPBfPy tietietie

T

O B é o fator “bias” em MW/Hz e a relação BfPtie , com variáveis incrementais, é denominada

“Erro de Controle de Área” (ECA). Tanto a ECA

quanto o “bias” são amplamente utilizados na litera-

tura como operadores do controle da frequência e do

intercâmbio de sistemas de potência. Normalmente

tem-se B maior que zero e menor que um. Tradicio-

nalmente procura-se tomar o “bias” igual à caracte-

rística natural combinada de área, isto é,

i

i

i DR

B 1 (Cohn, 1961; Elgerd, 1976; Castro et

al, 1988). Assim, adotamos um valor típico B1=

B2= B = 0,417 MW/Hz.

Com a composição de sinais a MGR, em c = 6

rad/s, resultou

142,0j063,1103,0j004,0039,0j059,0

106,0j0103,0j004,1003,0j004,0

036,0j063,00036,0j063,1

Λ

Verifica-se, então, que os sinais compostos de y2

com as entradas, u, resultam em pares com uma des-

centralização muito boa. Os gráficos de e da

descrição y2 = G2(j)u são apresentados na Fig. 5.

Figura 5. Valores de e de G2(j)

Verifica-se que para G2 é superior, em toda

faixa de frequência dos MO. Assim, os sinais de y2

são selecionados para realimentação. Observe-se

que, apesar dos sinais de y2 serem os mais efetivos,

ainda poderá haver dificuldade para atingir a robus-

tez do controle, porque (G2)<1 em toda faixa de

frequência.

As três áreas tem parâmetros com valores pró-

ximos (Calvet e Titli, 1989), justificando a utilização

de controladores idênticos. Os controladores esco-

lhidos são do tipo hi=K(1+sT1)/(1+sT2), em cada

área. Os parâmetros dos controladores são ajustados

para minimizar a função M, diminuindo também,

por consequência, o (T). Para esse problema,

foram feitas combinações de 20 indivíduos em 200

gerações, valores usuais do Matlab. Os resultados

encontrados para os parâmetros foram: K=0,4028,

T1=0,001s e T2=0,01s. Os gráficos de (T) com o

controlador obtido e de (H-1)/o para

o1=(0,25s+0,15)/(0,5s+1) são apresentados na Fi-

gura 6.

A Figura 6 mostra que o controle robusto pode

ser obtido para incertezas não elevadas, usando con-

troladores descentralizados de 1a ordem. Melhores

resultados deverão ser obtidos com controladores de

ordem superior.


2656

Figura 6. Gráficos de (T) para o controle proposto e de

(H1)/o

Figura 7: Resposta ao Impulso

Figura 8: Valores Singulares do sistema com controlador obti-

do por Pattern Seach e por Algoritmos Genéticos

A eficácia do controlador pode ser demonstrada

também no domínio do tempo, para isso, foi obtida a

resposta ao impulso para o sistema e foi observado

que, ao aplicar o controlador, o sistema entra em

regime permanente mais rapidamente. Isso pode ser

observado comparando os resultados da Figura 7 que

correspondem à resposta ao impulso para o par de

entrada-saída Ptie1 e Ptie1 + Bf1, sem o controlador e

com o controlador.

Quanto ao método de otimização escolhido, a res-

posta obtida, observando os valores singulares, foi

muito semelhante ao encontrado em (Castro, 2006).,

onde foi utilizado o método “Pattern Search” de

Hooke e Jeeves (Gottfried e Weisman, 1976), como

se pode observar na Figura 8. Entretanto, o método

com algoritmos genéticos tem uma probabilidade

muito maior de encontrar o mínimo global, tornan-

do-se um método mais confiável para ser utilizado

em outros sistemas.

Além disso, o método “Pattern Search” é um

método de busca com convergência mais lenta com-

parado ao Algoritmo Genético, pois implica em

variar cada variável por vez, podendo se tornar

inviável para sistemas maiores.

Para efeito de comparação, repetiu-se o estudo,

usando integradores puros (ui =(Ki/s)yi) como con-

troladores, a exemplo do controle tradicional de in-

tercâmbio. Verificou-se, todavia, que o controle ro-

busto só pode ser atingido com valores de Ki <

0,11(Figura 9). Entretanto, com valores pequenos de

Ki, além de não amortecer os MO, o sistema resulta

com três pólos reais muito próximos da origem, dei-

xando o sistema com resposta muito lenta.

Para outros tipos de perturbação e faltas, a

metodologia também responde satisfatoriamente.

Reduzindo em 25% a potencia de intercâmbio entre

as áreas, ainda é possível atingir robustez, como é

mostrado na figura 10.

A robustez é mantida também quando se retira

um dos três controladores utilizados, como mostra a

figura 11.

4 Conclusão

Foi proposta uma metodologia para o desenvol-

vimento de um projeto de controladores robustos,

descentralizados e de pequena ordem, para sistemas

de carga-frequência.

Figura 10: Verificação da robustez utilizando PTIE =0,75.


2657

Figura 11: Verificação da robustez, com a ausência do contro-

lador 1.

O procedimento proposto, onde os ganhos rela-

tivos são usados para pré-seleção de saídas e entra-

das, deixando a seleção final para ser realizada com

o uso de valores singulares é adequado e eficiente

para aplicação no sistema de carga-frequência esco-

lhido, e foi fundamental para facilitar a escolha efi-

ciente de um controlador de baixa ordem e descen-

tralizado. Essa metodologia pode ser aplicada em

qualquer sistema, independente do tamanho.

Esta técnica se sobressai em relação às técnicas

tradicionais de controle robusto H∞, principalmente

em sistemas de grande porte, por resultar em um

controlador de baixa ordem, aplicado diretamente no

sistema sem nenhuma redução do modelo.

Após a aplicação da metodologia, foi verificado

que o controle gerado matém a robustez, mesmo na

presença de perturbações ou com falta em um dos

controladores.

Além disso, o método de otimização utilizado

para minimizar a norma H∞ nos garante uma proba-

bilidade muito grande de encontrar o mínimo global,

resultando em um controlador o mais ótimo possí-

vel, além de constituir uma excelente opção, pois se

adéqua a diversos modelos de Sistema Elétrico e não

só ao sistema de carga-frequência, além de ser apli-

cável utilizando diferentes tipos de controladores.

Agradecimentos

Os autores agradecem às suas Instituições pelo

apoio ao desenvolvimento do trabalho.

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