PROGRESSES GEOMTRICAS Podemos definir progresso geomtrica, ou simplesmenteP.G., como uma sucesso de nmeros reais obtida, com exceo do primeiro, multiplicando o nmero anterior por uma quantidade fixaq, chamadarazo. Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...),q = 2.Clculos do termo geralNuma progresso geomtrica de razoq, os termos so obtidos, por definio, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1a2a3...a20...an...

a1a1xqa1xq2... a1xq19a1xqn-1...

Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral, tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica.an= a1x qn-1

Portanto, se por exemplo,a1= 2 eq= 1/2, ento:an= 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo paran = 5, substituindo-o na frmula, obtemos:a5= 2 x (1/2)5-1= 2 x (1/2)4= 1/8

A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua definio. Enquanto as progresses aritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progresses geomtricas os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a.Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva, isto ,r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progresso aritmtica com razo negativa,r < 0, seu comportamento ser decrescente. Observe, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo,|r|. Assim, quanto maior forr, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa.Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an, ...) . Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn= a1+ a2+ a3+ a4+ ... + an-1+ anMultiplicando ambos os membros pela razo q vem:Sn.q = a1. q + a2.q + .... + an-1. q + an.qConforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como:Sn. q = a2+ a3+ ... + an+ an. qObserve que a2+ a3+ ... + an igual a Sn- a1. Logo, substituindo, vem:Sn. q = Sn- a1+ an. qDa, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja:

Exemplo:Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:

Observe que neste caso a1= 1.5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitadaConsidere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:Exemplo:Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100O primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo, substituindo na frmula, vem:

Dessa equao encontramos como resposta x = 50.