PROGRAMMA DA

* Primeira caieira io s e g u i aune- DO -

Curso funíamentalGEOMETRIA AI1ALÏTICA (complementos),

ArtALTSE inEiniTESlMAL. CALCULO D A S V A R I A Ç Õ E S .

1916OFFICINAS DA CASA M ATTOS

Rua T ir a d e n t e s , 9 O U R O P R E T O

PROGRAMMA DA

Primeira caieira ie segundo annoDO -

Curso fundamentalGEOMETRIA APIALYTICA (coMDlemeBtos).

AÜALYSE mi'iniTESlMAL. CALCULO DAS VARIAÇÕES.

1916OFFICINAS DA CASA MATTOS

Rua T ir a d e n t c s , 9 O U R O P R E T O

PROGRAMMA DA

Primeira caleira lo s e p l o m o- DO

Curso fundamentalGEOMETRIA AflALYTICA (complementos).

AHALYSE íriFtniTESlMAL. CALCULO DAS V A R I A Ç Õ E S .

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1916OFFICINAS DA CASA M ATTOS

Rua T ir a d e n t c s , 9 O U K O P R E T O

F R O G E Ä M M ÄDA

Primeira caieira do segundo annoDO

CURSO FUNDAMENTAL

Geometria analytiea a duas dimenssesEstudo complementar däs cônicas — Secções planas

do cone e do cylindro. Identidade com as curvas do 2.° gráo.

Numero de condições para a determinação de uma curva. Applicação ás cônicas. Secantes communs.

Polos e polares. Figuras polares reciprocas.Applicação ás cónicas. Theoremas de Pascal e Brian- chon.

Geometria analytiea a 1res iim tnsiesNoções fundamentaes. Systemas de coordenadas.

Transformação de coordenadas. Theoria analytiea da linha recta e do plano.

Superficies— Determinação da equação geral de uma superficie definida pelo seu modo de geração.

Superficies regradas desenvolviveis e não desen- volviveis.

Superficies cylindricas. - \Superficies cónicas.Superficies conoides.Superficies de revolução.

- 2 -

Plano tangente em um ponto de uma superfície. Normal.

Theoria dos centros.Theoria das superfícies diametraes.Superficies de 2 * ordem — Determinação dos centros

e superfícies diametraes. Planos principaes. Diâme­tros. Eixos.

Reducção da equação geral das superfícies de 2? ordem. Superfícies dotadas de centro e desprovidas de centro.

Discriminação dos diversos generos de superfícies de 2? ordem pela discussão das equações reduzidas

Principaes propriedades do Ellipsoide, dos H y­perboloides de uma e duas folhas, do Paraboloide el- liptico e do Paraboloide hyperbolico.

Analyse infinitesimalN oções fu n d a m e n ta e s

F uncções. Classificação das funcções. Continui­dade.

Methodo dos limites. Me th o do infinitesimal.Objecto geral da analyse. Analyse algébrica e

infinitesimal.— Calculo e mctliodo.Calculo infinitesimal : seu objecto. Divisão em

calculo differencial e integral.

Calculo differencial

Funcções de uma só variavel — Definições : accres- cimo ou differença, derivada e differencial de uma fuucção de uma variavel.— Representação geometrica.

Theoremas preliminares relativos ás derivadas.Differenciação das funcções simples. Funcçâo de

ftincção. Funcções inversas. ,Differenciação das funcções compostas.— Regras

de differenciação de uma somma algébrica, de um pro- dueto, de um quociente, etc. de funcções explicitas de uma variavel.

- 3 -

Differenciação das funcções implícitas : caso de uma equação entre duas variaveis ; caso de n equações entre n - \ - i variaveis.

Propriedades geraes das derivadas — Theorema dos accrescimos finitos, sua interpretação geometrica. Theorema de Rolle.

Derivadas e differenciaes de diversas ordens. Accrescimos de diversas ordens. Mudança de varia­veis.

huncções de mais de uma variavel — Accrescimos parciaes, derivadas parciaes e differenciaes parciaes. Accrescimo total e differencial total. Notações de L a ­grange, de Leibnitz e de Cauchy.

Differencial total das funcções compostas. Ex­tensão ás funcções de mais de uma variavel, das regras de differenciação de somma, producto, etc.

Propriedades da differencial total.Derivadas e differenciaes parciaes de varias or­

dens das funcções explicitas. Theorema relativo a ordem das differenciações.

Differenciaes totaes de varias ordens das funcções explicitas :

a) Funcções de variaveis independentes.b) Funcções de variaveis dependentes. Caso em

que as variaveis dependentes são funcções lineares. Caso de um producto de funcções, formula de Leibnitz.

Derivadas parciaes e differenciaes totaes de va­rias ordens das funcções implícitas.

Funcções homogeneas propriedades notáveis des­sas funcções.

Mudança de variaveis.

Sem es em genal

Desenvolvimento das funcções em series.— For­mula e serie de Taylor para as funcções de uma va­riavel ; sua interpretação geometrica.

Formula e serie de Mac-Laurin ; sua interpreta­ção geometrica.

Desenvolvimento em serie das funcções ax , sen. x, cos. x, etc.

— 4 —

Desenvolvimento da funcção (1 + x)m. Genera- lisação da formula do binomio.

Desenvolvimento da funcção L (1 -f- x), Form u­las para o calculo dos logarithmos neperianos e vul­gares.

Formulas de Taylor e Mac-Laurin para as func- ções de mais de uma variavel ; interpretação geomé­trica.

Verdadeiro valor das expressões que se apresen­tam sob as formas :

x 00 , 00 — GO , 0°, GO °, 1°° .

Applicações.— Formulas de Briggs. Determina­ção da ordem infinitesimal de um infinitamente pe­queno.

M áxim os e m ín im o s

Máximos e minimos das funcções explicitas de uma só variavel.

Emprego da formula de Taylor.Máximos e minimos das funcções implícitas de

uma variavel.Máximos e minimos das funcções de mais de uma

variavel.

Applicables peooietrieas do ealeolo dlüereoelalCut*vas p la n a s

Revisão, das theorias geraes das curvas planas es­tudadas em Geometria analytica. Curvas unicursaes. Equações paramétricas.

Coordenadas rectilíneas— Tangentes, normaes, subtangentes e subnormaes.

Concavidade e convexidade ; pontos de inflexão. Asymptotas.

- 5 -

Continuação do estudo das curvas planas com os recursos da analyse infinitesimal. Differencial da area limitada por uma curva plana. Differencial do com­primento de um arco. Theoria da curvatura. A ngu­lo de contingência e raio de curvatura. Centro de curvatura. Theoria das evolutas. Curvas envolto- rias. Theoria do contacto. Curvas oscula doras. Recta

£ osculadora e circulo osculador. Pontos singulares. — Applicação ao estudo da cycloide e da catenaria.

Coordenadas polares — Direcção da tangente. Com­primentos da tangente, da normal, da subtangente, da subnormal e distancia da origem á tangente.

Differencial do comprimento de um arco. Diffe­rencial da area de um sector. Raio de curvatura. Applicação ao estudo das espiraes e da cardioide.

Curvas reversas— Equações de uma curva no es­paço. Equações da tangente em um ponto. Cosenos directores da tangente. Equação do plano normal. Differencial do comprimento de um arco. Plano oscu­lador. Normal principal : Equações e cosenos dire­ctores. Curvatura das curvas no espaço. Angulo de curvatura. Raio de curvatura. Circulo osculador. T or­ção das curvas reversas. Angulo de torção e raio de torção. Applicação ao estudo da helice.

Superficies curvas — Equação do plano tangente em um ponto de uma superficie. Equações e cose­nos directores da normal. Curvaturas das superficies: Determinação da curvatura em cada ponto de uma curva qualquer traçada em uma superficie ; curvatura das secções normaes e obliquas ; theorema de Meu­nier. Estudo da curvatura das secções normaes. Sec^ ções principaes. Curvaturas principaes. Curvatura media. Pontos de curvatura espherica. Formula de Euler.

Calculo integral•* Integraes definidas e indefinidas — Integração im-

mediata. Formulas das integraes simples, Integração por decomposição. Integração por substituição. In­tegração por partes. Integração das differenciaes al-

- 6 -

gebricas racionaes. Integração das differenciaes al­gébricas irracionaes nos casos simples usuaes. Irra- cionaes binômias. Integração de differenciaes trans­cendentes. Propriedade das integraes definidas. In­versão da ordem dos limites. Decomposição das iute- graes. Avaliação approximada. Integraes definidas cujos limites se tornam infinitos. Mudança de varia- vel na integral definida. Integração por series. For­mula para o calculo de ar.

Applicações g e o m eirte dg c a le à Integra!Quadratura das areas planas (coordenadas rectilí­

neas e polares).— Processos approximados de quadra­tura : formulas de Simpson e de Poucelet.

Rectificação das curvas planas e reversas (coordena­das rectilíneas e polares).

Cubatura dos solidos — Volumes que se obtêm com uma integral simples ; solidos de revolução. Volume dos solidos limitados por superficies quaesquer. In ­tegraes duplas, triplas, etc.

Quadratura das superfícies curvas ~ Superficies de revolução. Superficies quaesquer.

Integra® das egaaçles fliflereaeiaes3 * 1 V . ssv - s ' ■ •

: SSSC »S a:i ' M l j i r i i i T f :

Existência da integral geral. J sEquações differenciaes Ordinarius de r ? ordem In-

t tegração por separação de variaveis. Applicações. Integração das equações differenciaes homogeneas. Integração das equações lineares. Equações que se reduzem a lineares. Problema das trajectórias. T ra ­jectórias orthogonaes. Equação de Jacques Bernoulli 4 Soluções singulares. Equação de Clairaut. Equação de Clairaut generalisada. Equação de Viète. Inte­gração de equações differenciaes de 1? ordem e de gráo superior ao primeiro. Applicações.

— 7 -

Equações differenciaes de gráo superior ao 1 ,° Integração das equações da forma

Integração das equações da forma

f [ d * y d n~Jy \ _drn—i Jy d x n

Integração das equações da forma

f [ dny d"~2y _ o7 [ d x « ’ dx*- -

Equações a differenciaes totaes — Condições de in­tegra bilidade.

Equações a derivada* parciaes.

Calculi das variaçõesObjecto do calculo das variações. Definições e

notações. Permutação das características d e ô, ô.

Variação de uma integral definida. Maximo e minimo de uma integral definida. Linha mais curta entre dois pontos em um plano, entre um ponto e uma curva plana, entre duas curvas planas. Linha mais curta entre dois pontos no espaço. Linhas geo­désicas de uma superficie. Propriedade do seu plano osculador. Superficie de revolução de area minima.

Problema da Brachistochrona.Máximos e minimos relativos das integraes.Problemas relativos aos isoperimetros.

A r m a n d o B r e t a s B h e r i n g

Lente da cadeira

Approvado pela congregação, em sessão de 6 de Setembro de 1915.

O Secretario, Francisco Lopes

PROGRAMMA DA

Segunda caleira de segundo annoD O

Curso fundamental

OFFICINAS DA CASA MATTOS— OURO PR]========== 1917 = = = = = =

PROGRAMMA DA

Sepnia cadeira io segundo annoD O

Curso fundamental

OFFICINAS DA CASA MATTOS— OURO PRETO ----------- 1917 = = = = =

i U L

T ,

Segunda cadeira do segundo annoDO

CURSO FUNDAMENTAL

Zoologia geral

Definição de Zoologia. Importância e utilidade de seu estudo. Divisões.

Estudo da cellula animal ; siia forma e constitui­ção. Protoplasma, membrana e nucleo. Noções so­bre a genese cellular.

Os phenomenos de multiplicação entre os animaes. Reproducção sexuada e multiplicação asexuada.

Graus diversos de organisação anim al. P roto­zoários e Metazoarios. Ovos ; typos e segmentação dos ovos. Folhetos blastodermicos.

Differenciação dos elementos anatomicos. Estudo geral dos tecidos animaes.

Typos de estructura dos Metazoarios : — Phyto- zoarios e Artiozoarios. Indivíduos e Colonias.

Divisão do trabalho physiologico ; differenciação das funcções. Orgãos, apparelhos, systemas, appen­dices e membros. Classificação dos apparelhos e respectivas funcções.

Traços fundamentaes dos differentes Ramos do reino animal e das Classes de Vertebrados. Classi­ficação dos apparelhos e respectivas funcções.

Órgãos e funcções <le nutrição

Apparelho digestivo considerado no homem e na serie dos Artiozoarios. Alimentos. Estudo resu­mido da funcção digestiva. Absorpção das substan­cias elaboradas. Apparelho digestivo dos Phytozoa- rios.

Apparelho circulatório da especie humana e dos diversos typos de Artiozoarios. Sangue e lympha. Mecanismo geral da circulação.

Apparelho respiratório do homem e dos diversos typos de Artiozoarios. Resumo da mecanica respira­tória. Phenomenos chimicos da respiração.

Noções sobre a respiração dos tecidos.Apparelho secretor do homem. Glandulas renaes.

Figado. Baço. Pelle e glandulas cutaneas. Glan­dulas sanguíneas. Mecanismo das secreções.

Apparelho secretor na serie dos Artiozoarios.Calor animal ; noções sobre sua regularisação.

OrgátoN e funcções <le relaçéio

Apparelho locomotor : — Esqueleto considerado no homem e na serie dos Vertebrados. Noções sobre o systema muscular. Typos diversos de locomoção nos Vertebrados. Locomoção dos animaes invertebrados.

Apparelho sensorial : — Estudo summario do sys­tema nervoso do homem. Systema nervoso na serie dos Artiozoarios. Orgãos dos sentidos do homem e dos diversos grupos de Artiozoarios.

Estudo resumido do funccionamento do systema nervoso.

Innervação dos Phytozoarios.

3

TRABALHOS PRÁTICOS

Estes trabalhos consistirão em estudo de anato- / 0 mia comparada em modelos e, quando possivel, em

animaes.

Ouro Preto, Agosto de 1917.

O Lente da Cadeira,

)\lfred o C eixeira j } a d a J^íeves.Approvado em Congregação de 5 de Setembro de

1917.

Secretaria da Escola de minas, 5 de Setembro de 1917.

O Secretario, F r a n c is c o A. L o p e s .

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PROGRAMMA DA

Terceira caleira do segundo m oD O

Curso fundamental

OFFICINAS DA CASA MATTOS— OURO 1917 -----

Z. M

PROGRAMMA DA

Terceira caieira io segundo assoD O

Curso fundamental

OFFICINAS DA CASA MATTOS— OURO PRETO= = = = = = = = 1917 = = = = = =

Terceira cadeira do sepndo annoDO

CURSO FUNDAMENTAL

Noções prelim inares

Generalidades sobre as superficies e as curvas.— Contornos apparentes.— Planos tangentes.— Theore- raa relativo ao plano tangente.— Classificação das su­perficies.

Superfícies cónicas e cy lind ricas

Representação das superficies.— Planos tangen­tes .— Cone e cylindro circumscriptos a uma esphera.— Problemas indeterminados e especiaes.

Intersecção de superficies cylindricas e cónicas.— Methodo geral — Planos limites.— Diversos casos de intersecção.— Regra pratica para a pesquisa e marca­ção dos pontos.— Casos particulares.

Ramos infinitos. Caso de dous cones, de dous cylindros e de um cone e um cylindro.— Ramos infi­nitos com asymptotas.— Determinação das asymptotas.

Secções planas das superficies cylindricas e coni- cos.— Ramos infinitos e asymptotas.

Desenvolvimento das superfícies cónicas e cylin­dricas .

2

Superficies de revolução

Generalidades.— Meridianos e paralleles.— Equa­dores e gargantas.

Planos tangentes ás superficies de revolução. — Diversos casos. Curva de contacto de uma superfi­cie de revolução e de um cylindrico e um cone cir- cumscriptos.

Secções planas das superficies de revolução.Intersecção de uma superficie de revolução com um

cone ou com um cylindro. Intersecções de duas super­ficies de revolução entre si.

H yperboloide de revolução

Generalidades.— Representação.— Contornos ap­parentes.— Planos tangentes.— Secções planas.— I n ­tersecção de um hyperboloide com uma superficie de revolução.— Intersecção de Hyperboloides com uma ou duas geratrizes communs.

G eneralidades sobre as superficies regradas

Lei da variação do plano tangente.— Theorema de Chasles e sua interpretação geometrica.— Plano asymptotico. Concordância das superficies reversas. — Classificação das superfícies regradas.

Paraboloide e hyperboloide regrados

Definições.— Duplo systema de geração.— Planos tangentes.— Curvas de contacto com um cone e um cylindro. — Superficies de concordância.

l le l ic e s e helicoides

Definições.— Helice cylindrica.— Elementos da helicee seu sentido.

Helicoides diversos.— Superficies de parafuso de filetes triangulares e .quadrados.— Superficie helicoi­dal desenvolvivel.

3

Sombras

Generalidades.—Theoretnas geraes.— Convenções. Sombras transmittidos a planos frontaes. Sombras das superficias de revolução. Applicaçoes ás construcçoes e a detalhes de ar-

Serão executados tantas epuras, quantas as que forem julgadas necessárias.

Escola de Minas, 15 de Agosto de 1917

Approvado em Congregação de 5 de Setembro de 1917.

Secretaria da Escola de Minas, 5 de Setembro de 1917-

O Secretario, F r a n c is c o A. L o p e s

chitectura.

e x e r c í c i o s p r á t ic o s

O Lente da cadeira