Professor Alexandre M. M. P. Ferreira

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação

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Sumário Definição dos conjuntos numéricos .................................................................................. 3

Operações com números relativos: adição, subtração, multiplicação e divisão .............. 5

Operações com números racionais: adição, subtração, multiplicação e divisão ............ 10

Potenciação: Definição, propriedades e operações válidas ............................................ 14

Radiciação: Operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) .............................. 16

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Conjuntos Numéricos

Frequentemente avaliamos os objetos, considerando principalmente dois aspectos: qualidade e quantidade. Por exemplo: No estacionamento existem carros. Podemos avaliar esses carros por dois prismas, isto é:

Quantidade: Quantos carros existem no estacionamento? Quantas marcas de carros existem no estacionamento?

Qualidade: Quais marcas de carros existem no estacionamento? De quais cores são os carros existentes no estacionamento?

A matemática preocupa-se exclusivamente com o aspecto quantidade. A quantidade envolve a noção de contagem, expressa por números. Um elemento é tomado como base dessa contagem – a "unidade“.

Hoje em dia utilizamos os seguintes símbolos e conjuntos numéricos:

Conjunto dos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos e

o zero, isto é: N = 0, 1, 2, 3, ...

Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e

negativos e o zero, isto é: Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números inteiros positivos

e negativos, o zero e todas as frações positivas e negativas. Mas para escrever o

conjunto dos números racionais precisamos utilizar símbolos matemáticos, pois não

conseguimos enumerar todos os números em ordem, como nos dois anteriores, pois

veja o seguinte exemplo:

Você sabia que a contagem mais simples dos números sempre existiu, desde os povos primitivos? Ela era feita com base na quantidade de dedos das mãos (contagem digital). Tal contagem, até dez, não foi suficiente para resolver os problemas que surgiam; houve necessidade de estender a contagem além de dez. Para representar os números, lançaram mão de sinais (ou símbolos). Cada povo tinha sua maneira própria de escrever os números, o que acabou sendo muito importante para efetuar os cálculos.

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Quem está entre 0 e 1 no conjunto dos números racionais (fracionários)?

Poderíamos dizer que é o

, mas temos o

, ou melhor, o

e assim por diante... Por

isso, é impossível escrever o conjunto dos racionais (fracionários) enumerando todos

os seus elementos explicitamente, conforme foi feito no conjunto dos números

naturais e inteiros. Então, escrevemos o conjunto dos racionais (fracionários) da

seguinte forma:

Q = x Q | x =

, onde Z e Z*

Lê-se assim: o conjunto Q é igual a um elemento x pertencente ao conjunto dos

racionais, tal que (ou desde que) o elemento x possa ser escrito da forma

, onde o

pode ser qualquer elemento do conjunto dos inteiros (isto é: números negativos e

positivos e o zero) e o pode ser qualquer elemento do conjunto dos inteiros menos o

zero (isto é: números negativos e positivos).

Obs.: os números racionais podem ser escritos em forma de fração, números decimais

exatos ou dízima periódica (simples ou composta).

Conjunto dos Números Irracionais

O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números positivos e

negativos que não se enquadram no conjunto dos números racionais, isto é, todos os

números que não são escritos da forma

, onde Z e Z*. Por exemplo:

O número π (3,1416...)

As raízes não exatas (√ ,√

...)

Da mesma forma que o conjunto dos números racionais, o conjunto dos irracionais

não pode ser escrito enumerando os seus elementos explicitamente, por isso,

escrevemos da seguinte forma:

I = x I | x Q

Lê-se: o conjunto dos irracionais é igual a um elemento x pertencente ao conjunto dos

irracionais, tal que (ou desde que) o elemento x não pertença ao conjunto dos

racionais.

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Mas o que são números relativos?

Às vezes, aparecem situações em que é necessário

registrar numericamente variações de valores em

sentidos opostos, ou seja, maiores ou menores que zero

(positivos), como as medidas de temperatura, de reais

em débito ou em haver, etc. Esses números, que se

estendem indefinidamente, tanto para o lado direito

(positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são

chamados números relativos (ou inteiros).

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais é a união dos conjuntos racionais e irracionais, isto é,

todos os números que existem nos conjuntos anteriores.

R = Q I

Lê-se: o conjunto dos números é igual ao conjunto dos racionais união com o conjunto

dos irracionais.

Representação por meio de diagrama

Operações com Números Relativos

Fazer operações matemáticas como adição, subtração, multiplicação e divisão é tarefa

corriqueira no nosso dia a dia, portanto é de extrema importância entender como

essas operações são realizadas. Neste tópico veremos como se opera com os números

relativos.

N Z

N

Q

W

I

R

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Nesse exemplo temos (sinal positivo) três e temos (sinal positivo) cinco, portanto temos (sinal positivo) 8.

Nesse exemplo devemos (sinal negativo) seis e devemos (sinal negativo) 4, portanto devemos (sinal negativo) 10.

Nesse exemplo devemos (sinal negativo) dois e temos (sinal positivo) sete, portanto temos (sinal positivo) 5.

Nesse exemplo temos (sinal positivo) quatro e devemos (sinal negativo) oito, portanto devemos (sinal negativo) 4.

Observações:

Quando o matemático se refere ao valor absoluto de um número relativo, ele

está querendo dizer que é o valor do número que faz parte de sua

representação, sem o sinal.

Exemplos: o valor absoluto de -4 é 4; o valor absoluto de +8 é 8. Portanto o valor

absoluto de um número é sempre o valor sem o sinal.

Quando o matemático se refere ao valor simétrico (ou oposto) de um número,

é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal.

Exemplos: o valor simétrico (ou oposto) de -2 é 2; o simétrico (ou oposto) de +8 é -8.

Portanto o simétrico (ou oposto) de um número é sempre o mesmo valor com o sinal

trocado.

Adição e Subtração de Números Relativos

a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e

conservar o sinal.

Exemplos:

Os dois números possuem o mesmo sinal, logo se soma os dois números e se mantém o sinal.

1) 3 + 5 = 8

2) -6 -4 = -10

b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e

dá-se o sinal do maior numeral.

Exemplos:

Os dois números possuem sinal trocado, logo se subtrai o número menor do maior e se

mantém o sinal do maior.

1) -2 + 7 = 5

2) 4 -8 = -4

7

Neste exemplo temos três vezes oito igual a vinte e quatro,

positivo com positivo resulta positivo (essa regra só vale na

multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos seis vezes cinco igual a trinta, negativo

com negativo resulta positivo (essa regra só vale na

multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos, vinte e sete dividido por três igual a

nove, positivo com positivo resulta em positivo (essa regra só

vale na multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos quarenta e dois dividido por seis igual a

sete, negativo com negativo resulta em positivo (essa regra só

vale na multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos que: três vezes sete é vinte e um.

Positivo com negativo resulta em negativo (essa regra só vale

na multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos que: seis vezes oito é quarenta e oito.

Negativo com positivo resulta em negativo (essa regra só vale

na multiplicação e divisão).

Multiplicação e Divisão de Números Relativos

a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre

positivos.

Exemplos:

A multiplicação de dois números com o mesmo sinal é sempre positiva. Para resolver a

multiplicação de números relativos, primeiro multiplicam-se os números e depois faz-

se a regra de sinal.

1) 3 x 8 = 24

2) -6 x (–5) = 30

A divisão de dois números com o mesmo sinal é sempre positiva. Para resolver a

divisão de números relativos, primeiro dividem-se os números e depois faz-se a regra

de sinal.

3) 27 3 = 9

4) -42 (-6) = 7

b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre

negativos.

Exemplos:

A multiplicação de dois números com sinais diferentes é sempre negativa. Para

resolver a multiplicação de números relativos, primeiro multiplicam-se os números e

depois faz-se a regra de sinal

1) 3 x (-7) = -21

2) -6 x 8 = 48

8

Neste exemplo temos que: quarenta e cinco dividido por cinco

é nove. Positivo com negativo resulta em negativo (essa regra

só vale na multiplicação e divisão).

Neste exemplo temos que: quarenta e dois dividido por dois é

vinte e um. Negativo com positivo resulta em negativo (essa

regra só vale na multiplicação e divisão).

A divisão de dois números com sinais diferentes é sempre negativa. Para resolver a

divisão de números relativos, primeiro dividem-se os números e depois a regra de

sinal.

3) 45÷ (-5) = 9

4) -42÷ 2 = 21

Expressões com Números Relativos

Expressão numérica com números relativos é uma sequência de números associados

por operações, isto é, imagine que alguém tivesse anotado, em uma única linha de

uma folha de caderno, alguns cálculos a ser efetuados.

Exemplo: 2 + 4 x 5 – 2 + 7

Resolver estes cálculos é fácil, mas muitas vezes erramos o cálculo da expressão, pois

não obedecemos à ordem de execução. Isto é, existe uma ordem em que se deve

efetuar cada uma das contas da expressão numérica.

a) Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita (obedecendo às regras vistas no item Adição e Subtração de Números Relativos).

Exemplo: 25 + 8 + 12 -33 = 33 + 12 -33 = 45 -33 = 12 b) Nas expressões numéricas que apresentam multiplicações e/ou adições e/ou

subtrações, efetuamos primeiramente as multiplicações (obedecendo às regras vistas

no item Multiplicação e Divisão de Números Relativos) e, depois que restar apenas

adição e/ou subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em que

elas estão, ou seja, da esquerda para a direita (obedecendo às regras vistas no item

Adição e Subtração de Números Relativos).

Exemplo: 21 -5 + 24 x (-3) = 21 -5 -72 = 16 -72 = -56

9

c) Nas expressões numéricas que apresentam divisões e/ou adições e/ou subtrações,

efetuamos primeiramente as divisões (obedecendo às regras vistas no item

Multiplicação e Divisão de Números Relativos) e, depois que restar apenas adição

e/ou subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em que elas

estão, ou seja, da esquerda para a direita (obedecendo às regras vistas no item Adição

e Subtração de Números Relativos).

Exemplo:

11 -4 -54 (-6) =

11 -4 + 9 =

7 + 9 =

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d) Nas expressões numéricas que apresentam as quatro operações (multiplicação,

divisão, adições e subtrações), efetuamos primeiramente as multiplicações e divisões

seguindo a ordem que aparecem na expressão, da esquerda para direita (obedecendo

às regras vistas no item Multiplicação e Divisão de Números Relativos) e, depois que

restar apenas adição e subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem

em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita (obedecendo às regras vistas no

item Adição e Subtração de Números Relativos).

Exemplo:

11 -64 2 -12 x (-3) =

11 -32 –12 x (-3) =

11 -32 + 36 =

-21 + 36 =

15

Observações:

Para determinarmos uma expressão numérica em que apareça potenciação, efetua-se

primeiramente a potenciação, em seguida as divisões e multiplicações, seguindo a

ordem que aparecem na expressão, da esquerda para direita (obedecendo às regras

vistas no item Multiplicação e Divisão de Números Relativos) e, depois que restar

apenas adição e subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em

que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita (obedecendo às regras vistas no

item Adição e Subtração de Números Relativos).

Em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves),

efetuam-se, primeiro, as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro

dos colchetes e, por último, as interiores às chaves, respeitando-se, ainda, a ordem das

operações, conforme vimos neste item.

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Neste exemplo, a fração resultante é

. Lembrando que a

barra de fração é uma divisão, temos que quatorze dividido por sete é dois.

Operações com Números Racionais

Como vimos, o conjunto dos números racionais contém os conjuntos dos números

naturais e inteiros, portanto as operações abordadas até agora também são válidas

para o conjunto dos números racionais. Mas precisamos lembrar ainda, que o conjunto

dos números racionais possui os números fracionários, logo neste tópico iremos

estudar como operar com as frações.

Adição e Subtração de Frações

a) Para somar e subtrair frações com mesmo denominador (frações homogêneas),

somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador.

Exemplos:

As três frações possuem o mesmo denominador, portanto são homogêneas. Para

somar e subtrair frações homogêneas, somam-se os numeradores e conserva-se o

denominador.

1)

2)

b) Para somar frações com denominadores diferentes (frações heterogêneas), é

necessário reduzi-las a um denominador comum. O processo para transformá-las a

um denominador comum segue os passos abaixo:

Exemplo:

1 º passo: Determina-se o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores das

frações dadas. O resultado obtido é o novo denominador. Para encontrar o M.M.C.,

utilizaremos o método da fatoração, isto é, colocamos os denominadores lado a lado,

separados por vírgula, e dividimos um a um por números primos (números primos são

aqueles que só se dividem por um e por ele mesmo), até que todos os denominadores

se reduzam ao valor um. Depois disso, multiplicamos todos os números primos

encontrados, e o resultado é o valor do M.M.C. Vejamos como isso é feito:

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M.M.C. (4, 5, 10)

4, 5, 10 2

2, 5, 5 2

1, 5, 5 5

1, 1, 1

2 x 2 x 5 = 20

2º passo: Divide-se o M.M.C. encontrado pelos denominadores das frações dadas. A

primeira fração possui o denominador quatro, logo temos: 20÷ 4 = 5. A segunda fração

possui o denominador cinco, logo temos: 20÷5 = 4. A terceira fração possui o

denominador dez, logo temos: 20÷ 10 = 2.

3º passo: Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da

respectiva fração. O produto é o novo numerador.

A primeira fração possui o numerador um, logo temos: 5 x 1 = 5.

A segunda fração possui o numerador três, logo temos: 4 x 3 = 12.

A terceira fração possui o numerador sete, logo temos: 2 x 7 = 14.

4º passo: Montam-se as novas frações com o mesmo denominador e os novos

numeradores.

A primeira fração, que era

, transformou-se em

.

A segunda fração, que era

, transformou-se em

.

A terceira fração, que era

, transformou-se em

.

Colocamos os três valores lado a lado separados por vírgula

e tentamos dividir todos os números pelo primeiro número

primo, que é o 2. Vejamos que o 4 e o 10 são divisíveis por

2, portanto resultam 2 e 5, enquanto o número 5 não é

divisível por 2, logo ele apenas é copiado sem alteração.

Como o 2 ainda pode ser dividido pelo número primo 2,

fazemos o mesmo procedimento da primeira linha, isto é,

dividimos o 2, que resulta 1, e copiamos os dois números 5.

Agora que sobraram apenas os dois números 5 para serem

divididos, dividiremos pelo número primo 5, que resulta 1

para ambos.

Para finalizar, multiplicamos todos os números primos

encontrados, isto é, 2 x 2 x 5 = 20. Logo, o M.M.C. de 4, 5 e

10 é 20.

12

5º passo: Resolve-se a nova expressão encontrada.

Assim, o que tínhamos eram frações heterogêneas (frações com denominadores

diferentes):

Agora, fazendo o M.M.C., temos frações homogêneas (frações com o mesmo

denominador):

Portanto, basta resolver a conta como visto no item a, isto é, para somar e subtrair

frações com mesmo denominador (frações homogêneas), somam-se ou subtraem-se

os numeradores e conserva-se o denominador:

Multiplicação de Frações

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicam-se entre si os numeradores e os

denominadores.

Exemplo:

No exemplo acima, multiplicam-se os numeradores um e três e depois multiplicam-se

os denominadores dois e cinco, isto é, multiplica-se “em cima, em cima” e “embaixo,

embaixo”.

Divisão de Frações

Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira pela inversa da segunda.

Exemplo:

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Expressões com Números Fracionários

Como visto no tópico dos números relativos, expressão numérica é uma sequência de

números associados por operações, com uma ordem em que se deve efetuar cada

uma das contas da expressão, isto é:

Para determinarmos uma expressão numérica em que apareça potenciação,

efetua-se primeiramente a potenciação, logo efetuam-se as divisões e

multiplicações, seguindo a ordem que aparecem na expressão, da esquerda

para a direita. Depois que restar apenas adição e subtração, resolvemos as

operações seguindo a mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda

para a direita.

Nas expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e

chaves), efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as

que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores às chaves,

respeitando-se ainda, a ordem das operações.

Exemplo:

2÷ [3/5 x (-1/2 + 1/4)] =

1º passo: Resolver dentro dos parênteses.

(-1/2 + 1/4) =

Adição e/ou subtração de frações com denominadores diferentes (seguir os passos do

item Adição e Subtração de Frações). (-1/2 + 1/4) = (-2/4 + 1/4) = -1/4

Voltando à expressão:

2÷ [3/5 x (-1/2 + 1/4)] =2 [3/5 x (-1/4)]

2º passo: Resolver dentro dos colchetes.

[3/5 x (-1/4)] =

Multiplicação de frações: multiplicam-se entre si os numeradores e os denominadores,

isto é, multiplica-se “em cima, em cima” e “embaixo, embaixo”. Portanto temos:

[3/5 x (-1/4)] = [-3/20]

Voltando à expressão:

2÷ [3/5 x (-1/4)] =2 [-3/20]

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3º passo: Resolver a expressão que resultou, obedecendo as ordens das operações.

2÷[-3/20]

Divisão de frações: multiplica-se a primeira pela inversa da segunda. Portanto temos:

2÷ [-3/20] = (2/1) x [-20/3] = -40/3

Observação: todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração, basta colocar o

denominador igual a um, por isso 2 = 2/1.

Portanto, temos a resolução completa da expressão:

2÷ [3/5 x (-1/2 + 1/4)] = 2÷ [3/5 x (-1/4)] 2÷ [-3/20] (2/1) x [-20/3] = -40/3

Potenciação

Dá-se o nome de potência a um produto de fatores iguais. Exemplo: 4 x 4 x 4 indica-se

por 4³. De forma geral, indica-se a potência por .

A operação necessária para calcular a potência denomina-se potenciação.

Você Sabia?

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Expressões com potenciação

a) Produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes

b) Quociente de potência de mesma base; conserva-se a base e subtraem-se os

expoentes

c) Potência elevada a uma potência; conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes

( )

d) Potência de um produto

( )

e) Potência de um quociente

( )

Vale destacar: o caminho inverso das propriedades da potenciação também é válido,

conforme os exemplos abaixo:

Exemplos:

a)

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ⁄ )

c) ( )

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Exemplos de radicais não semelhantes:

1) √ e √

índices diferentes

2) √

e √

radicandos diferentes

Radiciação

Simplificação de radicais

Quando o radicando possui um fator de expoente múltiplo do índice, esse fator pode

ser colocado fora do radical (propriedade A dos radicais).

Exemplos:

a) √ √ √ √ √

b) √

√

√

√

√

Vale destacar: para percorrer o caminho inverso, isto é, para introduzir o fator no

radical, basta elevar ao expoente do índice e multiplicar o produto pelo radicando.

√

√

Exemplos:

1) √

√

√

2) √ √ √

3) √

√

√

Radicais semelhantes

Dois ou mais radicais que têm o mesmo índice e o mesmo radicando chamam-se

radicais semelhantes.

Exemplos:

1) √ √

2) √ √

√

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1) √ √ ( )√ √

2) √ √ √

√ √ √ ( )√ √

Redução de radicais ao menor índice comum

Regra

a) Determina-se o M.M.C. dos índices dos radicais dados. O M.M.C. encontrado é o índice

comum.

b) Divide-se o M.M.C .pelo índice de cada um dos radicais dados e multiplica-se o

resultado pelo expoente do radicando do radical correspondente. O resultado é o novo

expoente do radicando. Acompanhe a regra pelos exemplos abaixo.

1) √ √ √

a) calcule o M.M.C .dos índices (3, 6, 2) = 6

b) O M.M.C. 6 será dividido pelos índices: 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1 6 : 2 = 3

Logo: √

√

√

√ √

√

2) √

√

a) calcule o M.M.C .dos índices (3, 5) = 15

b) O M.M.C. 15 será dividido pelos índices: 15 : 3 = 5 15 : 5 = 3

Logo: √

√

√

√

Operações com radicais

a ) Adição e Subtração

Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes, ou seja, as unidades devem ser

obrigatoriamente iguais.

Regra: Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, basta adicionar ou subtrair,

algebricamente, os fatores externos de cada radical, conservando o radical:

Lembre-se de que devemos extrair o fator radicando, isto é, simplificar os radicandos.

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b) Multiplicação

Regra

Para multiplicar radicais de mesmo índice, basta efetuar multiplicação entre os

radicandos:

1) √ √ √ √

2) √ √

√

√

√

Observação: Para multiplicar radicais de índices diferentes, primeiramente é necessário

reduzi-los o mesmo índice e, depois, aplicar a regra abaixo:

√ √

√

√

√

√ √

√

√

c) Divisão

Regra

Para dividir radicais de mesmo índice, basta efetuar a divisão entre os radicandos:

1) √

√ √

√

2) √ √

√ √

Observação: Para dividir 2 radicais de índices diferentes, reduzem-se ao mesmo índice e

dividem-se os radicandos:

1) √ √ √

√

√

√

2) √

√ √

√

√

√

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Bibliografia

GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. & GIOVANNI JR., J. R. Matemática fundamental: 2º grau. São Paulo: FTD, 1994.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções v. 1. São Paulo: Atual, 2002.

MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática: conjuntos e funções. 2ª ed. São Paulo: Atual,1988.