Movimento Harmônico Simples - III Relação entre o MHS e o MCU

Oscilações amortecidasOscilações Forçadas e Ressonância

Prof. Ettore Baldini-Neto

• 1610:

• Galileu, usando um telescópio recém construído, descobre as quatro principais luas de Júpiter.

• Após semanas de observação, cada lua parecia estar se movimento relativamente ao planeta com um movimento harmônico simples.

• Atualmente:

• Os dados colhidos por Galileu são mostrados a seguir.

O gráfico mostra o ângulo entre Júpiter e Calisto medidos sob o ponto de vista terrestre. Os pontos são os dados colhidos por Galileu e a curva verde, um ajuste aos dados -> MHS

Calisto, na realidade, não descreve um MHS mas um MCU, pois sua velocidade linear é aproximadamente constante e sua órbita ao redor de Júpiter é quase circular

• O que Galileu observou de fato foi a projeção deste MCU ao longo de uma reta no plano do movimento.

• Concluindo

• O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme sobre o diâmetro do círculo no qual o movimento ocorre.

Movimento harmônico amortecido

• Sabemos que o movimento de um sistema massa mola, ou de um pêndulo, ou de qualquer outro sistema que oscila é amortecido por forças de arrasto (no caso de fluidos), de atrito (no caso de contato entre superfícies).

• Forças de atrito ou arrasto são geralmente escritas como sendo proporcionais à velocidade dos sistemas nos quais atuam, ou seja, F=-bv onde b é uma constante de amortecimento que depende das dimensões do sistema e do fluido.

• No SI as dimensões de b são kg/s

~F = m~a

�kx� bv = m

d

2x

dt

2

m

d

2x

dt

2+ b

dx

dt

+ kx = 0

d

2x

dt

2+

✓b

m

◆dx

dt

+

✓k

m

◆x = 0

d

2x

dt

2+ �

dx

dt

+ !

2x = 0

� =b

m! =

rk

m

d

2x

dt

2+ �

dx

dt

+ !

2x = 0

Esta é uma equação diferencial linear homogêna de segunda ordem com coeficientes constantes que com condições iniciais acerca da posição e velocidade do oscilador tem a seguinte solução: (Para saber mais veja o apêndice desta aula).

x(t) = xme

� b2m t

cos(!0t+ �)

x(t) = xme

� b2m t

cos(!0t+ �)

Note que se b=0 e (não há amortecimento e a solução que temos é a mesma do caso anterior

x(t) = xmcos(!t+ �)

!0 = !

Subcrítico

Supercrítico

Note que a amplitude decai com o tempo de acordo com a funçãoo exponencial. Vimos que a energia de um sistema sem amortecimento é dada por:

E =1

2m!

2x

2m

No caso com amortecimento, como a amplitude decresce com o tempo, a energia do sistema amortecido também decai de acordo com:

E =1

2m!

2x

2me

��t

Exemplo: Dado o seguinte sistema onde m=250g, k=85N/m e b=70g/s calcule: a) o período do movimento; b) o tempo que leva para a amplitude cair pela metade; c) o tempo para que a energia mecânica caia pela metade de seu valor inicial.

Oscilações Forçadas e Ressonância

• Uma pessoa em um balanço oscilando por si mesma pode ser considerada uma oscilação harmônica simples.

• Se alguém a empurrar periodicamente, no entanto, teremos uma situação forçada ou direcionada.

• Nestes casos, temos duas frequências angulares associadas:

• a frequência natural do sistema que é aquela com a qual ele oscilaria livremente,

• a frequência angular da força externa aplicada periodicamente,

!0

!

• A equação diferencial associada ao caso forçado sem amortecimento, será uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea.

• O princípio da superposição nos diz que a solução geral desta equação será a combinação da solução particular (para o caso não homogêneo) com a solução geral (do caso homogêneo, que representa as oscilações livres).

d

2x

dt

2+ !

20x =

F (t)

m

d

2x

dt

2+ !

20x =

F (t)

m

Quando F (t) = F0cos!t podemos mostrar que:

x(t) =F0

m(w20 � w

2)cos(!t+ �)

Note que: Quando

!0 = ! ! Ressonancia

• No caso onde o amortecimento é também levado em conta, a equação diferencial é:

d

2x

dt

2+ �

dx

dt

+ !

20x = F (t)

• A solução geral desta equação é:

x(t) = F0m

⇣1

!20�!2+i!�

⌘e

i!t

Calculando o quadrado da amplitude chegamos à:

x

2m = F 2

0m2

1[(!2

0�!2)��2!2]

19

Apêndice (Solução da EDO do oscilador amortecido)

d

2x

dt

2+ �

dx

dt

+ !

2x = 0

� =b

m! =

rk

m

Tentativa de solução:

dx

dt

= ↵e

↵t

d

2x

dt

2= ↵

2e

↵t

x(t) = e

↵t

Ficamos então com:

↵2e↵t + �↵e↵t + !2e↵t = 0

(↵2 + �↵+ !2)e↵t = 0

Resolvendo a equação característica (Báskara).

↵ = ��

2±

r�2

4� !2

Quando �

2< ! o amortecimento é chamado subcrítico

A raiz quadrada será de um número negativo-> solução complexa

↵ = ��

2±

r�2

4� !2

↵± = ��

2± i!0

!0 =

r!2 � �2

4Solução geral:

x(t) = C1e↵+t + C2e

↵�t

Para escrever a solução em uma forma mais parecida com o que estudamos, podemos incorporar fases nas constantes de tal forma que possamos reescreve-las em termos da amplitude xm de oscilação.

C1 =1

2xme

i�

C2 =1

2xme

�i�

Finalmente, depois de um pouco de álgebra escrevemos a solução geral do problema de oscilações amortecidas como:

x(t) = xme

� b2m t

cos(!0t+ �)