Prof. Enio LimaUECE-FECLI

O que é mesmo um número primo????O que é mesmo um número primo????

Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p.

Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc...

Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito composto.

Pitágoras de Samos (580-497 a.C) Profeta, místico, filósofo, astrônomo e matemático grego.

Possível origemPossível origem

1) O número 1 era chamado de unidade (monad, do grego).

2) Demais números : 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós, do grego.

3) 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi arithmói.

4) Deuterói arithmói: números que podem ser gerados pelo produto protoi arithmói: 4,6,24,66,etc..

Os Elementos de Euclides cerca. 300 AC.

A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC.

Livros influentes

O De Institutione Arithmetica, do romano Boécio cerca de 500 dC.

O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de 1200 dC.

Livros influentes

O O TeoremaTeorema Fundamental da Aritmética Fundamental da Aritmética“Todo inteiro positivo composto se fatora de maneira única como um produto de números primos.”

Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

Os números primos são finitos?Os números primos são finitos?“Há uma infinidade de números primos”

Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

A demonstração de Hermite

Charles Hermite (1822 —1901) foi um matemático francês.

Prova: para cada número natural n>1 defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número natural (para cada n natural) , então existe um primo p fator de x(n). Esse primo p não pode dividir um número menor do que ou igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí,

dividiria x(n)-n!=1Conclusão: dado qualquer natural n>1, sempre existe um primo p > n, ou seja :

Há uma infinidade de números primos!

Descobrindo primos – O crivo de Descobrindo primos – O crivo de

Eratóstenes (276 a.C. — 194 a.C.), foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego

Sobre a distribuição dos primosSobre a distribuição dos primos

2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e  10 000000

  9 999 901          9 999 907            9 999 929          9 999 931   9 999 937          9 999 943            9 999 971          9 999 973   9 999 991

1) Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e 120

3) Mas já entre os cem números seguintes , 10 000000  até

10 000 100, existem apenas 2:

   10 000 019     e     10 000 079

Sobre a distribuição dos primos Gauss e LegendreSobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre

Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) foi um matemático francês

Johann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)matemático alemão

Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primosnúmeros primos

Charles Poussin (1866-1962 ) matemático belga

Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático francês.

Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-), independentemente , demonstraram o Teorema dos Números Primos sem apelo à teoria analítica dos números.

x pi(x) x/log x

1000 168 145

10000 1229 1086

100000 9592 8686

1000000 78498 72382

10000000 664579 620420

100000000 5761455 5428681

Sobre a distribuição dos primosSobre a distribuição dos primosalguns valoresalguns valores

Um pouco sobre os números de:

Pierre Fermat (1601 – 1665) matemático e cientista francês.

1.238.926 .361.552.897 × 93.461.639 .715.357.977 .769.163.558 .199.606.896 .584.051.237 .541.638.188 .580.280.321

Um pouco sobre os primos de:

Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um matemático, padre ,teólogo e filósofo francês.

Números perfeitos e os primos de Mersenne

Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios. Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6.

• A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se 2n-1 é um número primo então 2n-1 . 2n-1 é um número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma.

• Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum.

Alguns Primos de Mersenne 219-1= 524287

2⁶¹-1= 2305843009213693951

2⁸ -1⁹ = 618970019642690137449562111

2¹ ⁷-1⁰ = 162259276829213363391578 010288127

2⁵²¹-1= 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812 574028291115057151

2⁶⁰⁷-1= 531 137992816 767098689 588206552 468627329 593117727031923199444138200 403559860 852242739 162502265 229285668 889329486 246501015 346579337 652707239 409519978 766587351 943831270 835393219 031728127

10 maiores primos de Mersenne já encontrados até 2009

Primo de Mersenne Dígitos

1) 243112609-1 12.978.189 47(2008)2) 242643801-1 12.837.064 46(2009)3) 237156667-1 11.185272 45(2008)4) 232582657-1 9.808.358 44(2006)5) 230402457-1 9.152.052 43(2005)6) 225964951-1 7.816.230 42(2005)7) 224036583-1 7.235.733 41(2004)8) 220996011-1 6.320.430 40(2003)9) 213466917-1 4.053.946 39(2001)10) 26972593-1 2.098.960 38(2007)

Sophie Germain (1776 —1831) matemática francesa

Os primos de:

Um primo p é dito ser um primo de Sophie Germain quando p e 2p+1 são primos.

Exemplos: 1) 3 é um deles pois: 3 e 2 .3+1=7 são primos.

2) 5 é um deles pois: 5 e 2 .5+1=11 são primos

Dígitos

1) 48047305725·2172403-1 51.910 47(2007)

2) 137211941292195·2171960-1 51.780 46(2006)

3) 33759183·2123458-1 37.173 45(2009)

4) 7068555·2121301-1 36.523 44(2005)

5) 2540041185·2114729-1 34.547 43(2003)

05 maiores primos de Sophie Germain já encontrados até 2009

Alguns testes de primalidadeAlguns testes de primalidade

• 91 é composto• 9901 é primo• 999001 é composto• 99990001 é primo• 9999900001 é composto• 999999000001 é primo• 99999990000001 é composto• 9999999900000001 é primo

2000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000003000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0050000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000070 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000110000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0130000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000017

1) Um primo com 1240 dígitos1) Um primo com 1240 dígitos

Alguns problemas em aberto sobre Primos

Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341

Todos eles são da forma 4k+1, vejam:

Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros, vejam:

Demonstração:

c.q.d

Relembrem!!!

Conclusão:

é irracional!!

Vendo geometricamente:

Conclusões: