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Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Bioestatística – Distribuições Estatísticas 1

1

Teoria elementar de probabilidade

A probabilidade de ocorrência de um evento

E, que possa ocorrer de h maneiras diferentes em um

total de n modos possíveis igualmente prováveis é

dada por:

nhEp }Pr{

A probabilidade de Nao ocorrência do

evento (q), denominado insucesso, é dada por:

pEqnh

nhn 11} nãoPr{

O evento "não E" é denotado por

EEE ~ou ~

, .

Exemplo 1 - Admita que o evento E seja a

ocorrência dos números 3 ou 4, em um único

lançamento de um dado. Há seis maneiras segundo as

quais o dado pode cair, e que resultam nos números

1,2,3,4,5 e 6. Se o dado é "honesto", (não viciado),

pode-se supor que as seis maneiras sejam igualmente

prováveis. Como E pode ocorrer de duas destas

maneiras, teremos:

31

62}Pr{Ep

Exemplo 2 - A probabilidade de não ter

conseguido um 3 ou um 4, isto é, de ter conseguido

{1,2,5,6} é:

32

311}Pr{Eq

Note-se que a probabilidade de um evento é

um número compreendido entre 0 e 1. Se um evento

não pode ocorrer, sua probabilidade é 0. Se ele deve

ocorrer, isto é, se sua ocorrência é certa, sua

probabilidade é 1.

Se p é a probabilidade de que um evento

ocorra, a vantagem a favor de seu acontecimento é p

: q (leia: p para q), a vantagem contra seu

acontecimento é q : p.

Definição de probabilidade como

frequência relativa.

Da definição anterior, o termo "igualmente

provável" é vago, pois estamos definindo

essencialmente a probabilidade em seus próprios

termos. Por esta razão, alguns autores têm

estabelecido uma definição estatística de

probabilidade. De acordo com isso, a probabilidade

avaliada ou a probabilidade empírica de um dado

evento é considerada como a frequência relativa de

sua ocorrência, quando o número de observações é

muito grande. A probabilidade propriamente dita é o

limite da frequência relativa quando o número de

observações cresce indefinidamente.

A definição estatística é útil na prática;

porém apresenta dificuldades do ponto de vista

matemático, visto que um número limite real pode

não existir. Por essa razão, desenvolveu-se

axiomaticamente uma teoria moderna, na qual a

probabilidade é um conceito indefinido, como ponto

e linha são indefinidos em geometria.

Exemplo 3 - Se em 1000 lances de uma

moeda resultam 529 caras, a frequência relativa

dessas caras é 529/1000=0,529. Se em outros 1000

lances resultam 493 caras, a frequência relativa no

total dos 2000 lances é de (529+493)/2000=0,511.

De acordo com a definição estatística, prosseguindo-

se dessa maneira, poder-se-á finalmente chegar cada

vez mais próximo de um número que será

denominado probabilidade de ocorrer cara em um

único lance de uma moeda. De acordo com os

resultados até agora, ela será de 0,5 com um

algarismo significativo. Para obter outros algarismos

significativos, deveriam-se ser feitas outras

observações adicionais.

Probabilidade Condicional: Eventos

independentes e dependentes.

Se E1 e E2 são dois eventos, a probabilidade

de E2 ocorrer, depois de E1 ter acontecido é definida

por:

Pr{E1|E2}

Ou probabilidade de E2 dado E1 e é

denominada de probabilidade condicional de E2

depois de E1 ter ocorrido.

Se a ocorrência ou não de E1 não afetar a

probabilidade da ocorrência de E2, então:

Pr{E2|E1}=Pr{E2} e diz-se que E1 e E2 são eventos

independentes; caso contrário, eles são eventos

dependentes. Se se representar por E1 e E2 a

ocorrência de ambos os eventos, então:

Pr{E1E2}=Pr{E1}Pr{E2}

Exemplo 4 - A determinação do sexo na

raça humana é feita através dos coromossomos X e

Y. Há na célula humana normalmente 23 pares de

cromossomos. A mulher possui o par XX e o homem

XY. Sendo assim, qual a probabilidade de nascer

menino e qual a probabilidade de nascer menina na

raça humana?

Temos probabilidade de 50% homens e 50%

mulheres:


2

Sexo

Cromossomos Mulher

XX

Homem

XY

XX XY

XX XY

Observações: 1000 em cada 100.000

nascimentos ocorre a Síndrome de Down

(mongolismo ou trisomia 21). A chance de nascer

crianças com mongolismo aumenta com a idade da

mãe. Caracteriza-se por haver 47 cromossomos (o

normal é 46 cromossomos na célula humana (23

pares)). Há cerca de 1% de chance de uma criança

ser afetada quando a mãe possui idade superior a 40

anos. A Síndrome de Turner ocorre quando há

ausência do segundo cromossomo X ou do Y e

causa o nascimento de pessoas baixas e estéreis.

Exemplo 5 - Sabe-se hoje que há cerca de

175000 genes compondo o cromossomo de uma

célula humana. Os tipos sanguíneos são definidos por

genes denominados IA, I

B e i. Os genes I

A e I

Bsão

dominantes em relação ao gene i. Há quatro tipos de

sangue: Tipo O (ii), tipo A (IAI

A ou I

Ai), tipo B (I

BI

B

ou IBi) e tipo AB (I

AI

B). Se um home I

Ai casa-se com

uma mulher IBi, qual as probabilidades da criança:

a) Nascer com sangue tipo O. (25%)

b) Nascer com sangue tipo A. (25%)

c) Nascer com sangue tipo B. (25%)

d) Nascer com sangue tipo AB. (25%)

Genes Sanguíneos Mulher

IBi

Homem

IAi

IAI

B I

Bi

IAi ii

Exemplo 6 - A NASA gasta cerca de dois

milhões de dólares por ano na identificação de

asteróides com mais de 1 km de diâmetro. A tabela a

seguir indica a freqüência em função do tempo para

cada diâmetro de determinado asteróide.

Diâmetro Frequência

25 cm Todos os dias

3 a 4 m A cada 4 meses

30 a 100 m A cada 500 anos

1 km A cada 300.000

anos

3 a 10 km A cada 10

milhões de anos

A probabilidade de cair um asteróide de

1km de diâmetro é da ordem de 1/300000

A probabilidade dele cair nos oceanos é

cerca de 70%.Explique.

Exemplo 7 - Qual a probabilidade de se

retirar 1 ás em um baralho de 52 cartas?

Existem 4 ases nesse baralho. Logo

P=4/52=1/13

Exemplo 8 - Uso da probabilidade na

Mecânica Quântica - Trata- se os fenômenos de

movimento e equilíbrio do mundo macroscópico com

a mecânica Newtoniana. Já no mundo microscópico,

a Mecânica Quântica, cuja teoria foi desenvolvida

por vários cientistas, como Max Planck, Einstein,

Neils Bohr e De Broglie, explica os fenômenos que

envolvem partículas de pequenas dimensões, como

por exemplo, o estudo da corrente elétrica

(movimentos dos elétrons) em um diodo. Nesse

estudo, o cálculo de probabilidade é fundamental. Há

uma "barreira" de potencial natural ao movimento

dos elétrons. Existe a probabilidade do elétron

"atravessar" essa barreira e se propagar no mesmo

sentido, não refletindo seu movimento. Isso é

verificado quando se calcula a densidade de

probabilidade 2, onde representa o estado

quântico do elétron. A figura abaixo ilustra a barreira

de potencial e a densidade 2 , ambas em função de

x (posição do elétron).

Curva de densidade de probabilidade, muito usada

em física quântica.


3

Exemplo 9 - O "gato de Schrödinger". Em

1935, o físico austríaco Erwin Schröndinger

idealizou um experimento hipotético para demonstrar

seu descontentamento com a recém criada mecânica

quântica. Seu virtual "gato de Schrödinger" é um

felino aprisionado em uma caixa hermeticamente

fechada, com um sistema perverso: um vidro com

gás mortal, acionado por um detetor de radiatividade

e um átomo radiativo. O átomo teria 50% de chance

de emitir uma partícula radiativa em um certo

intervalo de tempo. Se isso ocorressem, o martelo,

sob a ação do detetor, quebraria o vidro com veneno

e o animal morreria. Para Schröndinger, o paradoxo

estava na impossibilidade de a teoria determinar se o

gato estaria vivo ou morto, pois o átomo teria outros

50% de chance de não emitir radiatividade, evitando

o acionamento do martelo. O gato de Schröndinger

permaneceria neste estado "misto"(vivo/morto) até

que alguém resolvesse abrir a caixa para verificar.

Exercícios

1. Determinar a probabilidade p de:

a) Aparecer um número ímpar em um único

lance de um dado honesto.

b) De ocorrer pelo menos uma cara em dois

lances de uma moeda honesta.

c) De surgir um ás, um dez de ouros ou um

dois de espadas na retirada de uma única carta de um

baralho, bem embaralhado, de 52 cartas.

d) De aparecer o total 7 em um único

lançamento de dois dados.

e) De aparecer uma coroa, no próximo lance

de uma moeda, se, no total de 100 lances, 56 são

caras.

2.Uma experiência consiste em lançar uma

moeda e um dado. Se E1 é o evento correspondente

ao aparecimento de uma "cara" no lançamento de

uma moeda e E2 o de ocorrer "3"ou "6"no lance do

dado, expor em palavras o significado de cada

notação.

a)E1

b)E2

c)E1E2

d)Pr{E1E2}

e)Pr{E1|E2}

f)Pr{E1 + E2}

3.Uma bola é retirada ao acaso de uma urna

que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.

Determinar a probabilidade dela:

a) ser vermelha

b) ser branca

c) ser azul

d) não ser vermelha

e) ser vermelha ou branca

4.Um dado honesto é lançado duas vezes.

Determinar a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6

no primeiro lance e 1, 2, ou 3 no segundo lance.

Distribuição de probabilidade

discreta.

Se uma variável X pode assumir

um conjunto discreto de valores, X1,X2…,Xk com as

probabilidades p1 + p2 +pk =1 ; diz-se que está

definida uma distribuição de probabilidade discreta

de X. A função p(X) que assume os valores para

X=X1;X=X2; X=Xk é denominada função de

probabilidade ou de frequência X. Como X pode

assumir valores com certas probabilidades, ele é

denominado de variável aleatória discreta.

A variável aleatória é denominada

também variável casual ou estocástica.

A distribuição de probabilidade

pode ser representada graficamente, mediante o

gráfico de p(X) versus X (X,p(X)), da mesma forma

que a distribuição é denominada de função de

distribuição de probabilidade.

Distribuição de probabilidade contínua

Pode-se estender os conceitos anteriores

para o caso em que a variável X assume um conjunto

contínuo de valores. O histograma correspondente ao

caso anterior torna-se uma curva contínua.

P(X) é denominada de função de densidade

de probabilidade, ou função de densidade e quando é

dada uma função desta natureza, diz-se que foi

definida uma distribuição de probabilidade para

P(X).

A variável X é denominada de variável

aleatória reduzida.

Veremos as diversas distribuições

estatísticas; porém, recordaremos os conceitos da

análise combinatória.

Análise Combinatória.

Para a obtenção de probabilidade de eventos

complexos, a enumeração é frequentemente difícil, e

para facilitar os cálculos há necessidade do auxílio da

análise combinatória.

Fatorial:

Definimos como fatorial de zero: 0!=1 e

fatorial de 1 como 1!=1 e fatorial de n escrevemos

como n! dado por:

!0)...2)(1(! nnnn


4

Arranjo : Uma permutação de n objetos

diferentes, tomados p de cada vez, é uma escolha p

de n objetos, não se levando em consideração a

ordem de sua disposição:

)!(

!,

pn

nA pn

Combinação : Uma combinação de n

objetos diferentes, tomados p de cada vez, é uma

escolha p dos n objetos, não se levando em

consideração a ordem de sua disposição:

!)!(

!,

ppn

nC pn

Exemplo 10 - Simplifique: 102!/(103!-102!)

1021

)1103!.(102!102

!102!102.103!102

!102!103!102

Exemplo 11 - Dadas as letras A, B e C

encontre:A3,2 e determine C3,2 explicitando seus

valores:

6!1

!1.2.3!1!3

)!23(!3

2,3A

São: A,B , A,C ,

C,A , C,B , B,A , B,C

3!1.2!1!1.2.3

!2!1!3

!2)!23(!3

2,3C

São: A,B , A,C , C,B

Aproximação de Stirling para n!.

Para n grande, n! torna-se impraticavel.

Assim, usa-se a aproximação devida a Stirling.

nnennn 2!

Aqui e 2.71828… é a base dos logarítmos

naturais ou neperianos.

Exemplo 12 - De quantas maneiras

diferentes podem ser dispostas uma fila de 5 pedaços

de mámore de cores diferentes?

5! 5.4.3.2.1! 120


diferentes 10 pessoas podem sentar em um banco se

houver apenas 4 lugares ?

5040!6

!6.7.8.9.10!6!10

)!410(!10

4,10A


diferentes uma comissao de 5 pessoas pode ser

escolhida entre 9 ?

210!1.2.3.4!5!5.6.7.8.9.

!5!4!9

!5)!59(!9

5,9C

Exemplo 15 - Use a aproximação de Stirling

para calcular 50!

5050505022! eSennn nn

Também chamamos:

!)!(

!,

ppn

n

p

nC pn

onde p

né denominado de numero

Binomial, ou binomial de n, p.

A seguir discutiremos sua aplicação no

Triângulo de Pascal.

Exercícios

1. Determine :

a) )!1(! nn

b) )!2(

)!1(!

n

nn

c) !80!87

!86!87

d) !43!44

!45

2. Determine a probabilidade de obter filhos

com tipo de sangue O quando o pai tem sangue AB e

a mãe possui sangue B (IBi).


com tipo de sangue A quando o pai tem sangue AB e



5


com tipo de sangue B quando o pai tem sangue AB e



com tipo de sangue AB quando o pai tem sangue AB

e a mãe possui sangue B (IBi).

6. Qual a probabilidade de se ganhar na loteria

somente com jogos simples ?

7. Qual a probabilidade de se ganhar na loto?

8. Um dado honesto é lançado duas vezes.

Determine a probabilidade de ocorrer um 4,5 ou 6 no

primeiro lance e 1,2,3 ou 4 no segundo lance.

9. Uma bola é retirada de uma urna ao acaso.

A urna contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5

azuis. Determine a probabilidade dela:

a) Ser vermelha.

b) Ser azul.

c) Ser branca.

d) Não ser vermelha.

e) Ser vermelha ou branca.

10. Em uma urna há 5 bolas pretas e 4

azuis. Retira-se 2 bolas sem reposição.

Determine a probabilidade das duas

bolas serem pretas ou das duas bolas

serem azuis.

11. Lança-se uma moeda honesta 5 vezes.

Construa o espaço de todas as

possibilidades.


6

Triângulo de Pascal

Desenvolvendo os termos:

1)( 0qp

qpqp 11)( 1

222 121)( qpqpqp

32233 1331)( qpqqppqp

Se dispormos os coeficientes na forma de

um triângulo, obteremos

15101051

14641

1331

121

11

1

Pode-se escrever também:

n

n

n

n

n

nnnn

12210

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

3

3

2

3

1

3

0

3

2

2

1

2

0

2

1

1

0

1

0

0

Assim, pode-se afirmar que:

N

i

iinNqp

i

Nqp

1

Denominado de Binômio de Newton.

Algumas propriedades dos números

binomiais:

10

n

n

n

nn

nn

11

pn

n

p

n

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Blaise Pascal (extraído de

http://www.mundodosfilosofos.com.br/pascal.htm)

Nascido em Clermont-Ferrand, a 19 de

junho de 1623, Blaise Pascal era filho de Étienne

Pascal, presidente da Corte de Apelação, e de

Antoinette Bégon. Segundo sua irmã e biógrafa,

Gilberte Périer, Pascal revelou desde cedo um

espírito extraordinário, não só pelas respostas que

dava a certas questões, mas, sobretudo pelas questões

que ele próprio levantava a respeito da natureza das

coisas. Perdeu a mãe aos três anos de idade; era o

único filho do sexo masculino. Assim, o pai apegou-

se muito a ele e encarregou-se de sua instrução,

nunca o enviando a colégios. Mesmo quando, em

1631, a família Pascal mudou-se para Paris, a

educação de Blaise permaneceu ao encargo do pai. A

irmã Gilberte escreverá mais tarde: "A máxima dessa

http://www.mundodosfilosofos.com.br/pascal.htm


7

educação consistia em manter a criança acima das

tarefas que lhe eram impostas; por esse motivo só

deixou que aprendesse latim aos doze anos, para que

aprendesse com maior facilidade. Durante esse

intervalo não o deixou ocioso, pois o ocupava com

todas as coisas de que o julgava capaz. Mostrava-lhe

de um modo geral o que eram as línguas; ensinou-lhe

como haviam sido reduzidas as gramáticas sob certas

regras, que tais regras tinham exceções assinaladas

com cuidade, e que por esses meios todas as línguas

haviam podido ser comunicadas de um país para

outro. Essa idéia geral esclarecia-lhe o espírito e

fazia-o compreender o motivo das regras da

gramática, de sorte que quando veio a aprendê-las

sabia o que fazia e dedicava-se aos aspectos que lhe

exigiam maior dedicação". Além das línguas, Étienne Pascal ensinava outras

coisas ao filho: dava-lhe rudimentos sobre as leis da natureza e

sobre as técnicas humanas. Tudo isso aguçava ainda mais a curiosidade do menino, que queria saber a razão de todas as coisas

e não se satisfazia diante de explicações incompletas ou

superficiais. Diante de uma explicação insuficiente, passava a pesquisar por conta própria até encontrar uma resposta satisfatória

e, quando se defrontava com um problema, não o largava até resolvê-lo plenamente. Aos onze anos, suas experiências sobre os

sons levaram-no a escrever um pequeno tratado, considerado

muito bom para sua idade. Étienne Pascal era matemático e sua casa era muito

freqüentada por geômetras. Como queria que Blaise estudasse

línguas e, sabendo como a matemática é apaixonante e absorvente,

evitou por muito tempo que o filho a conhecesse, prometendo-lhe

que a ensinaria quando ele já soubesse grego e latim. Essa

precaução serviu apenas para aumentar a curiosidade de Blaise, que passou a se divertir com as figuras geométricas que o pai lhe

havia mostrado. Procurava tracá-las corretamente; depois passou a

buscar as proporções entre elas e, afinal, depois de propor axiomas relativos às figuras, dedicou-se a fazer demonstrações exatas. Com

isso chegou até a 32ª proposição do livro I de Euclides.

Estarrecido, o pai verificou que o filho descobrira sozinho a matemática. A partir de então, Blaise recebeu os livros dos

Elementos de Euclides e pôde dedicar-se à vontade ao estudo da

geometria. Os avanços foram rápidos: aos dezesseis anos escreveu Tratado Sobre as Cônicas, que, no entanto, por sua própria

vontade, não foi impresso na época.

Exercícios:

1. Calcule:

a) 7! b) 8! c) 13!/11!d) 7!/10!

2. Simplifique:

a) )!1(

!nn

b) !

)!2(

n

n

c) !73

!74!76 d) !73!74!5

3. Simplifique:

a) )!1(

!nn

b) !

)!2(

n

nc)

!73!74!76

d) !73!74!5

4. Quantos anagramas podem ser formados

com os caracteres:

a) ESTA b)OVO c) H2O

d) PALADAR e) SOCIOLÓGICAS

5. Calcule:

a) 3

16b)

5

12c)

5n

n d)

2

1

n

n

6. Expandir e simplificar :

a) 522 yx b)

62 2yx

7. Numa classe há nove rapazes e 3 moças.

a) De quantas maneiras o professor pode

escolher uma comissão de 4 pessoas?

b) Quantos poderão ter ao menos uma

moça?

c) Quantos poderão ter exatamente uma

moça?

8. Um dado é lançado. Se o número é ímpar,

qual a probabilidade de ele ser primo?

9. três moedas são lançadas. Se ocorrerem

coroas e caras, determine a probabilidade de

ocorrer exatamente uma cara.

10. Uma bolsa contém 4 bolas brancas e

duas pretas. Outras contém 3 brancas e 5

pretas. Se for retirada 1 bola de cada bolsa,

qual a probabilidade de :

a) Ambas serem brancas.

b) Ambas serem pretas.

c) Serem uma branca e uma preta.

11. Uma bola é retirada ao acaso de uma

urna que contém 6 bolas vermelhas, 4

brancas e 5 azuis.

Determine a probabilidade dela :

a) Ser vermelha.

b) Ser branca.

c) Ser azul.

d) Não ser vermelha.

e) Ser vermelha ou branca.

12. Calcular: a)5! b) 3,9C

c) 3,9A d) 3,93,8 AC


8

1 20,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

P(X

)

i

N=1

1 2 30,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50

P*X

)

N = 2

i

1 2 3 40,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40 N = 3

P(X

)

i

1 2 3 4 50,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

P(X

)

N = 4

A distribuição Binomial ou de Bernoulli:

Se p é a probabilidade de um evento ocorrer em

uma única tentativa (denominada probabilidade de

sucesso) e q = 1 - p é a de que o evento não ocorra

(denominada probabilidade de insucesso), então a

probabilidade do evento ocorrer exatamente x vêzes,

em N tentativas, isto é, que haja x sucessos e N - x

insucessos é dada por:

,( ) x N x x N x

N x

Np x C p q p q

x

!( )

( )! !

x N xNp x p q

N x x

A média para a distribuição binomial e o

desvio padrão são dados abaixo:

Distribuição Binomial

Média =Np

Variância Npq2

Desvio Padrão Npq

Coeficiente de

simetria Npq

pq

Exemplo 1- Em 100 lances de uma moeda,

a média do número de caras é =Np=100 e o desvio

padrão é 510021

21Npq

A seguir mostramos os dados de

distribuição de probabilidade de Bernoulli para N

lançamentos de uma moeda honesta (p=1/2=q)

N = 1 ; (1p+1q) ; (1 cara ou 1 corôa)

N = 2; (p+q)2 ; (2 caras, 1 cara e corôa, 2 corôas)

N = 3; (p+q)3 ; (3 caras, 2 caras e1 corôa, 1 cara e 2

corôas,3 corôas)

N = 4; (p+q)4 ; (4 caras, 3 caras e1 corôa, 2 caras e

2 corôas,1 cara e 3 corôas, 4 corôas)


9

1 2 3 4 5 60,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

i

P(X

) N=5

N = 5; (p+q)5 ; (5 caras, 4 caras e1 corôa, 3 caras e

2 corôas,2 caras e 3 corôas,

1 cara e 4 corôas, 5 corôas)

Veja que unindo as extremidades do

histograma, à medida que o valor de N cresce

indefinidamente (N tende a infinito, ou N ) o

caso discreto tende a um caso contínuo. A

distribuição Binomial é chamada de Bernoulli por ter

sido descoberta por James Bernoulli em fins do

século XVII.

Jacob Bernoulli (1623-1708) - As

primeiras contribuições importantes de Jacob

Bernoulli foi sobre lógica e álgebra publicado em

1685, probabilidade e geometria em 1687. O

resultado de seu trabalho em geometria gerou um

método de construção para dividir todo triângulo em

quatro porções iguais com duas linhas

perpendiculares. O trabalho mais original de Jacob

Bernoulli foi Ars Conjectandi publicado na Basileia

em 1713, oito anos após sua morte. O trabalho estava

na época de sua morte, mesmo assim é considerado o

mais importante na teoria da probabilidade. No livro,

Bernoulli reviu o trabalho de outros autores em

probabilidade, Schooten , Leibniz , e Prestet. Os

números de Bernoulli aparecem no livro em uma

discussão da série exponencial. Muitos exemplos são

dados em quanto se esperaria ganhar jogar o jogo de

possibilidade.

Em 1689 publicou um trabalho importante

sobre série infinita e sobre teoria de probabilidade: a

interpretação da probabilidade como a freqüência

relativa, numa experiência que ocorre grande

número de repetições. Sua lei é uma interpretação

matemática deste resultado. Jacob Bernoulli publicou

trabalhos em séries infinitas entre 1682 e 1704. Em

maio 1690 publicou no acta Eruditorum. O papel de

Jacob Bernoulli foi importante para a historia do

cálculo, e em 1696 resolveu uma equação na

Mecânica dos Fluidos, hoje chamada "a equação de

Bernoulli".

Exemplo – Encontre a distribuição de

Bernoulli para p = 0,5 e N = 10.

Determine também sua média e seu desvio

padrão.

Acessando “Intervalo de Confiança” →

“Distribuição de Bernoulli”, inserindo

N=10 e p = 0,5 nas correspondentes caixas e clicando

nos botões para gerar os parâmetros

Solicitados, teremos:

Figura 1 – Distribuição de Bernoulli gerada

pelo DPA.

http://216.239.37.104/translate_c?hl=pt-BR&u=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Schooten.html&prev=/search%3Fq%3DBernoulli%26hl%3Dpt-BR%26lr%3D%26sa%3DG

http://216.239.37.104/translate_c?hl=pt-BR&u=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Leibniz.html&prev=/search%3Fq%3DBernoulli%26hl%3Dpt-BR%26lr%3D%26sa%3DG

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Bioestatística – Distribuições Estatísticas

10

10

A distribuição de Poisson

Outra distribuição discreta importante,

que é uma aproximação da distribuição binomial

quando N >> 1 e p << 1 é a distribuição de Poisson.

Siméon Denis Poisson - (1781 em

Pithiviers, France - 25 April 1840 em Sceaux France)

– Teve como professores Laplace e Lagrange que o

propiciaram seus talentos matemáticos. Aos 18,

atraiu a atenção Legendre. Poisson encontrou essa

geometria descritiva, um tópico importante no École

Polytechnique. Escreveu um trabalho de teoria de

Bézout, e este era de tal qualidade que foi permitido

se graduar em 1800 sem fazer exame de admissão,

fato incomum pois a maioria dos matemáticos

superiores tiveram que servir nas províncias antes de

retornar a Paris.

Poisson foi nomeado professor École

Polytechnique em 1802, uma posição que prendeu

até 1806.

Poisson teve pouco tempo para a política

para suas energias inteiras foi dirigido arduamente

para suportar a matemática, a ciência, a instrução e o

École Polytechnique.

Durante este período Poisson estudou os problemas

que relacionam-se às equações diferenciais ordinárias

e equações diferenciais parciais; estudou aplicações a

um número de problemas físicos tais como o pêndulo

em um meio resistivo e na teoria do som. Seus

estudos eram puramente teóricos. Em 1811 publicou

seu Traité de mécanique, de dois volumes que era

um tratamento excepcionalmente desobstruído

baseou em suas notas do curso no École

Polytechnique.

É dada por:

ex

xPx

!)(

Distribuição de Poisson

Média =Np

Variância )1(2 pN

Desvio Padrão )1( pN

Coeficiente de

simetria Np

'

Exemplo – Encontre a distribuição de

Poisson para p = 0,4 e N = 25.

Determine também sua média e seu desvio

padrão.

Acessando “Intervalo de Confiança”

→”Distribuição de Poisson”, e completando o

valor de N e de p nas caixas correspondentes,

teremos após clicar no botão “distribuição”:

Figura 2 – Distribuição de Poisson gerada

pelo DPA.

Note que a medida que N → e p = 0,5, a

distribuição de Bernoulli aproximará da distribuição

Gaussiana.

http://216.239.39.104/translate_c?hl=pt-BR&u=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Laplace.html&prev=/search%3Fq%3DPoisson%26hl%3Dpt-BR%26lr%3D%26sa%3DG

http://216.239.39.104/translate_c?hl=pt-BR&u=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lagrange.html&prev=/search%3Fq%3DPoisson%26hl%3Dpt-BR%26lr%3D%26sa%3DG


11

11

A distribuição Normal ou de Gauss:

Veja que a medida que N tende a infinito, o

caso discreto da distribuição de Bernoulli ou

Binomial, tende a se aproximar indefinidamente de

uma curva contínua, denominada curva de Gauss.

Essa curva é representada por uma função

que tem como base o número e, denominado número

de Napier. A tabela a seguir mostra a origem desse

número, descoberto por John Napier (&)

.

Ilustração de 1lim 1x

xx

e

x 11

x

x

1 2,0000000000000000

10 2,5937424601000000

100 2,7048138294215300

1000 2,7169239322355200

10000 2,7181459268243600

100000 2,7182682371975300

1000000 2,7182804691564300

10000000 2,7182816939803700

100000000 2,7182817863958000

1E+09 2,7182820308145100

1E+10 2,7182820532347900

1E+11 2,7182820533571100

(&)

John Napier - (Edinburgh:Scottish ( 1550-

1617)) -Although the interpretation of Revelation

was Napier's major intellectual endeavor, he was

interested in mathematics from an early age. An early

MS, published only in 1835, De arte logistica, would

have contributed seriously to algebra had it been

published at the time. Mirifici logarithmorum

canonis descriptio, 1614, and Mirifici logarithmorum

canonis constructio,1619, set forth the concept of

logarithms and published the first table of them. In

explaining logs, he also systematized spherical

trigonometry. Napier made systematic use of decimal

notation and was an important agent in its

acceptance.

Napier was apparently reputed to be a

magician in his own age.

Foi Gauss (&&)

quem deduziu a expressão

para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:

22

2

2

1

x

eY

(&&)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855),

Brunswick, Germany

From the outside, Gauss' life was very

simple. Before his 25th birthday, he was already

famous for his work in mathematics and astronomy.

When he became 30 he went to Göttingen to become

director of the observatory. He rarely left the city

except on scientific business. From there, he worked

for 47 years until his death at almost 78. In contrast

to his external simplicity, Gauss' personal life was

tragic and complicated. Due to the French

Revolution, Napoleonic period and the democratic

revolutions in Germany, he suffered from political

turmoil and financial insecurity. Gauss kept an

amazingly rich scientific activity. An early passion

for numbers and calculations extended first to the

theory of numbers, to algebra, analysis, geometry,

probability, and the theory of errors. At the same

time, he carried on intensive empirical and

theoretical research in many branches of science,

including observational astronomy, celestial

mechanics, surveying, geodesy, capillarity,

geomagnetism,electromagnetism, mechanism optics,

actuarial science. His publications, abundant

correspondence, notes, and manuscripts show him to

have been one of the greatest scientific virtuosos of

all time. It is said, that without any help, Gauss was

able to calculate before he could even talk. He taught

himself to read, and must have continued his

arithmetical experimentation intensively, because in

his first arithmetic class at the age of eight, he

astonished his teacher by instantly solving a busy-

work problem: to find the sum of the first hundred

integers. (n(n+1)/2)

Podemos trabalhar com a variável

denominada de variável reduzida z:

xz

Nesse caso, a distribuição Normal ou

Gaussiana fica:

2

2

2

1z

eY

Esta ºe uma expressão mais simplificada,

cujo gráfico está dado a seguir:


12

12

0 2 4 6 8

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

P(X

)

X

N = 8; p = 1/2 q = 1/2

= 4 = 1,41

-4 -2 0 2 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

68,7%

95,45%

Z

Y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Z

Y

= 1

= 2

= 3

Veja que há uma área sob a curva de 1.

Quando o x se encontra no intervalo de ( - , + ),

a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se

encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de

95% ou 0.95. A distribuição de Bernoulli b(N,X,p) se

aproxima da distribuição normal ou gaussiana

quando é grande e nem p e nem q se aproximam de

0. Z é chamado de normalmente distribuído, com

média 0 e variância 1.

Distribuição Normal ou Gaussiana

Média

Variância 2

Desvio Padrão

Coeficiente de simetria 0

Observe que a curva Gaussiana ou Normal é

uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo

50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy.

Veja como se aproxima da distribuição

Normal um resultado para N=8 para um exemplo de

lançamento de moeda ) p = 0.5 = q:

A seguir veja a variação da forma da curva

com o desvio padrão :


1

A área sob a curva Normal padrão está dada na tabela a seguir. (Área de 0 a z).

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549

0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,33151 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000


1

Exercícios – Distribuição de Bernoulli e

Distribuição Gaussiana

1. Calcular:

a) 5!

b) C6,2

c) C8,3

d) C7,5

e) C7,5

f) C4,4

g) C4,0

2. Determinar a probabilidade de, ao

lançar três vezes uma moeda honesta,

aparecerem:

a) Três caras

b) 2 caras e uma coroa

c) 2 coroas e uma cara

d) 3 coroas

3. Determinar a probabilidade de, em 5

lances de um dado honesto, aparecer

um 3:

a) nenhuma vez

b) uma vez

c) duas vezes

d) três vezes

e) quatro vezes

f) cinco vezes

4. Escrever os desenvolvimentos dos

binômios:

a) (p+q)6

b) (p+q)9

5. Determinar a probabilidade de uma

família de 4 crianças haver:

a) pelo menos um menino

b) pelo menos um menino e uma menina.

prof. dr. cláudio s. sartori bioestatística distribuições ... · quais o dado pode cair, e que...

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