Prof. Alexandre Lima

QUAL É A ÚNICA DIFERENÇA ENTRE AS IMAGENS APRESENTADAS?

Figuras que apresentam a mesma forma, mas possuem tamanhos diferentes, são chamadas figuras semelhantes.

APLICAÇÕES DA APLICAÇÕES DA SEMELHANÇASEMELHANÇA

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

Observe que:• os ângulos correspondentes são congruentes:                        • os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes:ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

POLÍGONOS SEMELHANTES

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são

proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.

PROPRIEDADES:PROPRIEDADES:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:

•Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA

•Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'

    Exemplo:Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.           Solução

  Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

Observe os triângulos ABC e RST da figura:

Comparando esses triângulos, é possível perceber que eles têm a mesma forma, sendo um deles ampliação ou redução do outro. Em geometria dizemos que eles são triângulos semelhantes.

Dois triângulos são semelhantes quando têm:

Os ângulos respectivamente congruentes;

Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais.

Em relação aos triângulos anteriores, a razão de semelhança do menor triângulo para o maior é:

semelhançaderazão2

1

7

5,3

8

4

6

3

Obs.: Se a razão de semelhança de dois triângulos é 1, esses triângulos são congruentes

EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:

1. Um edifício projeta uma sombra de 10 metros, e um poste de 12 metros projeta uma sombra de 4 metros. Qual a altura do edifício, sabendo que ele e o poste são perpendiculares.

410

12x

4x = 120

X = 30

Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.

EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:

2. Na figura, temos DE // BC.

a) Qual o valor de x?

b) Qual o valor de y?

c) Qual o perímetro do ∆ ABC?

d) Qual o perímetro do ∆ ADE?

CASO PARTICULAR DE CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇASEMELHANÇA

Para saber se dois triângulos são semelhantes não é necessário examinar todos os lados e todos os ângulos.

Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

Dois triângulos congruentes → Triângulos semelhantes → Lados proporcionais