PRODUTOS NOTÁVEIS

Existem alguns produtos que se notabilizaram por algumas particularidades; chamam-se de PRODUTOS NOTÁVEIS. São eles: I – Quadrado da soma de dois números O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a + b)² = a² + 2.a.b + b² II – Quadrado da diferença entre dois números O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a – b)² = a² – 2.a.b + b² III – Produto da soma pela diferença entre dois números O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. (a + b)(a – b) = a² – b² IV – Cubo da soma de dois números (a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ V – Cubo da diferença entre dois números (a – b)³ = a³ – 3.a².b + 3.a.b² – b³

ATIVIDADES: 01) Sabendo que xy = 15, quanto vale (x – y)² - (x + y)²?

a) 16 b) 48 c) – 16 d) – 48 e) – 60

02) Sabendo-se que 10x1x =+ , encontre o valor da expressão

22 x1x + .

a) 100 b) 98 c) 96 d) 90 e) 88

03) O valor numérico da expressão a³ - b³ + 3ab² - 3a²b, para

3

3

323 +

=a e 3

3

323 −

=b , é:

a) 8 b) 13,5 c) 32 d) 293 − e) 293 +

04) Determine o valor de (a + b + c)² - (a – b – c)²

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

CASO DO FATOR COMUM Quando os termos de um polinômio apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência, obtendo uma forma fatorada do polinômio. Exemplo: Vamos fatorar Kx + Ky – Kz. K(x + y – z) CASO DO AGRUPAMENTO Exemplos: a) ax + ay + bx + by

a(x + y) + b(x + y) ⇒ (x + y)(a + b) b) ax – a – 3x + 3

a(x – 1) – 3(x – 1) ⇒ (x – 1)(a – 3)

CASO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS a² – b² = (a – b)(a + b) Exemplos: a) x² - y6

(x – y³)(x + y³)

b) 0,16x10 – x4y6

(0,4x5 – x2y3)(0,4x5 + x2y3)

CASO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO x² + 2xy + y² = (x + y)² x² – 2xy + y² = (x – y)² Exemplos:

a) x² – 20x + 100

(x – 10)²

b) 4x² + 8x + 4

4(x² + 2x + 1) = 4(x + 1)² CASO DO TRINÔMIO DO 2º GRAU ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), onde x1 e x2

representam as raízes reais de ax² + bx + c = 0. Exemplos: Fatore:

a) x² - 4x + 3 a = 1; x1 = 3 e x2 = 1. Logo: 1(x – 1)(x – 3)

b) 2x² – 5x + 3 a = 2; x1 =1 e x2 = 3/2 Logo: 2(x – 1)(x – 3/2) c) x² + 3x – 10

a = 1; x1 = 2 e x2 = – 5 Logo: 1(x – 2)(x + 5)

CASO DA SOMA E DA DIFERENÇA ENTRE CUBOS a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b³) Exemplo:

Prove que a expressão: xy+−+−+

−y)y²)(xxyy)(x²(x

yx 66

é um

produto notável. Resolução:

xyyxyxyxyx

+−++−))(())((

33

3333

= xyyx

yxyxyx+

−++−

)()²)(( 2

=

= x² + xy + y² + xy = x² + 2xy + y² = = (x + y)² c.q.d. ATIVIDADES:

01) Simplifique a expressão: )²(²²)²(

cbacba

−−−+

.

02) Dê a fatoração completa de 16x8 – x6 .

03) Dê o valor da expressão 81x²454xx².

145xx²632xx²

−−−

−−−+

para x = 100.