problemas del chapra

8/10/2019 Problemas Del Chapra

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Universidad Autnoma del Carmen

CD CARMEN, CAMPECHE; MEXICO

Dependencia Acadmica de Ciencias Qumica y PetroleraFacultad de Qumica

Norberto Escobar Morales

Guadalupe Carballo Pat

Mtodos numricos

Problemas captulo 5 y 6 Chapra


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5.1 Determine las races reales de() :

a) Grficamente

b) Empleando la formula cuadrtica

c) Usando el mtodo de biseccin con tres iteraciones para determinar la raz ms

grande. Emplee como valores iniciales y calcule el error estimado de y el error verdadero para cada iteracin.

a)


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5.2Determine las races reales de()

a) Grficamente.

b) Utilizando el mtodo de biseccin para localizar la raz ms pequea. Use

valores iniciales iterando hasta que el error estimado se

encuentre debajo de

a)


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5.4 Determine grficamente las races de() . Adems,determine la primera raz de la funcin con a) biseccin y b) falsa posicin. Para a) y b),

utilice valores iniciales para y y un criterio de detencin de 1%.


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5.5 localice la primera raz no trivial de donde x esta en radianes. Use unatcnica grfica y biseccin con un intervalo inicial de 0.5 a 1. Haga el clculo hasta que

sea menor que . Realice tambin una prueba de error sustituyendo larespuesta final en la ecuacin original.


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5.6 Determine la raz real de () :a) Grficamente

b) Empleando tres iteraciones en el mtodo de biseccin con los valores iniciales

y c) Usando tres iteraciones del mtodo de la falsa posicin, con los mismos

valores iniciales de b)


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5.7 Determine la raz real de() ( ):a) Analticamente

b) Grficamente

c) Empleando tres iteraciones en el mtodo de la falsa posicin con valores iniciales

de 1 a 3, calcule el error aproximado y el error verdadero en cada iteracin.

Hay algn problema con el resultado?


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5.8 Calcule la raz cuadrada positiva de 18 usando el mtodo dela falsa posicin con .Emplee como valores iniciales y


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5.9 Encuentre la raz positiva ms pequea de la funcin (x esta en radianes)|cos|=5usando el mtodo de la falsa posicin. Para localizar el intervalo en donde se encuentra la raz,

grafique primero hasta que sea menor que .Compruebe su respuesta finalsustituyndola en la funcin original.


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5.10 Encuentre la raz positiva de f(x) = x 4 8x 3 35x 2 + 450x1001, utilizando el mtodo

de la falsa posicin. Tome como valores iniciales a x l = 4.5 y x u = 6, y ejecute cinco

iteraciones.

Calcule los errores tanto aproximado como verdadero, con base en el hecho de que la raz es

5.60979. Emplee una grfica para explicar sus resultados y hacer el clculo dentro de un e s =1.0%.


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5.11 Determine la raz real de x 3.5 = 80:

a) En forma analtica.

b) Con el mtodo de la falsa posicin dentro de e s = 2.5%.

Haga elecciones iniciales de 2.0 a 5.0.


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5.12 Dada

f(x) = 2x 6 1.5x 4 + 10x + 2

Use el mtodo de la biseccin para determinar el mximo de esta funcin. Haga elecciones

iniciales de x l = 0 y x u = 1, y realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea

menor que 5%.


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5.13 La velocidad v de un paracaidista que cae est dada por

Donde g = 9.8 m/s 2 . Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la

masa m de modo que la velocidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el mtodo de la falsa

posicin para determinar m a un nivel de e s = 0.1%.


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5.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5.14. Emplee el mtodo de

biseccin para resolver la posicin dentro de la viga donde no hay momento.


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5.16 Suponga el lector que est diseando un tanque esfrico (vase la figura P5.16) para

almacenar agua para un poblado pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que

puede contener se calcula con

Donde V = volumen [m 3 ], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque

[m].

Si R = 3m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m 3 ? Haga

tres iteraciones con el mtodo de la falsa posicin a fin de obtener la respuesta. Determine el

error relativo aproximado despus de cada iteracin.


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5.17 La concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua dulce se calcula con la

ecuacin (APHA, 1992)

Donde Osf = concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua dulce a 1 atm (mg/L) y

T a = temperatura absoluta (K).

Recuerde el lector que T a = T + 273.15, donde T = temperatura (C). De acuerdo con esta

ecuacin, la saturacin disminuye con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales

comunes en climas templados, la ecuacin se usa para determinar que la concentracin de

oxgeno vara de 14.621 mg/L a 0C a 6.413 mg/L a 40C. Dado un valor de concentracin de

oxgeno, puede emplearse esta frmula y el mtodo de biseccin para resolver para la

temperatura en C.

a) Si los valores iniciales son de 0 y 40C, con el mtodo de la biseccin, cuntas iteraciones

se requeriran para determinar la temperatura con un error absoluto de 0.05C.

b) Desarrolle y pruebe un programa para el mtodo de biseccin a fi n de determinar T como

funcin de una concentracin dada de oxgeno, con un error absoluto pre especificado como

en el inciso a). Dadas elecciones iniciales de 0 y 40C, pruebe su programa para un errorabsoluto de 0.05C para los casos siguientes: o sf = 8, 10 y 12 mg/L. Compruebe sus

resultados.


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5.18 Integre el algoritmo que se bosquej en la figura 5.10, en forma de subprograma

completo para el mtodo de biseccin amigable para el usuario. Entre otras cosas:

a) Construya enunciados de documentacin en el subprograma a fi n de identificar lo que se

pretende que realice cada seccin.

b) Etiquete la entrada y la salida.

c) Agregue una comprobacin de la respuesta, en la que se sustituya la estimacin de la raz

en la funcin original para verificar si el resultado final se acerca a cero.

d) Pruebe el subprograma por medio de repetir los clculos de los ejemplos 5.3 y 5.4.


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5.19 una reaccin qumica reversible

2A+B C

Se puede caracterizar por la relacin de equilibrio

Donde la nomenclatura representa la concentracin del constituyente i. suponga que se defineuna variable x para representar el nmero de moles de C que se producen. La conservacin de la

masa se puede usar para reformular la relacin de equilibrio como

( )( )

Donde el subndice 0 designa la concentracin inicial de cada constituyente. Si K=0.016,

y determine el valor de x.

a) Obtenga la solucin grficamente

b) En base a a), despeje la raz con valores iniciales de


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5.20 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el mtodo de la falsa posicin. La

estructura del programa debe ser similar al algoritmo de la biseccin que se bosquej en la

figura

5.10. Pruebe el programa con la repeticin del ejemplo 5.5.


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5.22 Desarrolle un subprograma amigable para el usuario para el mtodo de la falsa posicin

modificado, con base en la figura 5.15. Pruebe el programa con la determinacin de la raz de

la funcin del ejemplo 5.6. Ejecute corridas hasta que el error relativo porcentual verdadero

est por debajo de 0.01%. Elabore una grfica en papel semilogartmico de los errores

relativo, porcentual, aproximado y verdadero, versus el nmero de iteraciones. Interprete los

resultados.


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6.1 Utilice la iteracin simple de punto fijo para localizar la raz de

Haga una eleccin inicial de x 0 = 0.5 e itere hasta que e a 0.001%.

Compruebe que el proceso converge en forma lineal segn se describi en el recuadro 6.1.


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6.2 Determine la raz real ms grande de f(x) = 2x 3 11.7x 2 + 17.7x 5

a) En forma grfica.

b) Con el mtodo de iteracin simple de punto fijo (tres iteraciones, x 0 = 3). Nota: asegrese

de haber desarrollado una solucin que converja a la raz.

c) Con el mtodo de Newton-Raphson (tres iteraciones, x 0 = 3, d = 0.001).

d) Con el mtodo de la secante (tres iteraciones x 1 = 3, x 0 = 4).

e) Con el mtodo de la secante modificado (tres iteraciones, x 0 = 3, d = 0.01). Calcule el

porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones.


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6.3 Utilice los mtodos de a) iteracin de punto fijo, y b) Newton-Raphson, para determinar

una raz de f(x) = x 2 + 1.8x + 2.5 con el uso de x 0 = 5. Haga el clculo hasta que Ea sea menor

que es = 0.05%. Asimismo, realice una comprobacin del error de su respuesta final.


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6.4 Determine las races reales de f(x) = 1 + 5.5x 4x 2 + 0.5x 3:

a) En forma grfica, y b) con el mtodo de Newton-Raphson dentro de Es = 0.01%


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6.5 Emplee el mtodo de Newton-Raphson para determinar una raz real de f(x) = 1 + 5.5x

4x 2 + 0.5x 3 con el uso de elecciones iniciales de a) 4.52, y b) 4.54. Estudie y use mtodos

grficos y analticos para explicar cualquier peculiaridad en sus resultados.


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6.6 Determine la raz real ms pequea de f(x) = 12 21x +18x 2 2.4x 3 : a) en forma

grfica, y b) con el empleo del mtodo de la secante para un valor de e s que corresponda a

tres cifras significativas.


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6.7 Localice la primera raz positiva de

F(x) = Sen X + cos (1 + x 2) 1

Donde x est en radianes. Para localizar la raz, use cuatro iteraciones del mtodo de la

secante con valores iniciales de a) Xi1= 1.0 y Xi = 3.0; y b) Xi 1 = 1.5 y Xi = 2.5, y c) Xi1 =

1.5 y Xi = 2.25.


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6.8 Determine la raz real de x 3.5 = 80, con el mtodo de la secante modificado dentro de e s =

0.1%, con el uso de una eleccin inicial de Xo= 3.5 y = 0.01.


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6.9 Determine la raz real ms grande de f(x) = 0.95x 3 5.9x 2 +10.9x 6:

a) En forma grfica.

b) Con el uso del mtodo de Newton-Raphson (tres iteraciones, Xi = 3.5).

c) Con el mtodo de la secante (tres iteraciones, x i1 = 2.5 y Xi = 3.5).

d) Por medio del mtodo de la secante modificado (tres iteraciones, x i = 3.5, = 0.01).


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6.10 Determine la menor raz positiva de f(x) = 8 sen(x) e x 1:

a) En forma grfica.

b) Con el uso del mtodo de Newton-Raphson (tres iteraciones, Xi = 0.3).

c) Con el mtodo de la secante (tres iteraciones, Xi1 = 0.5 y Xi = 0.3).

d) Por medio del mtodo de la secante modificado (cinco iteraciones Xi = 0.3, = 0.01).


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6.11 utilice el mtodo de Newton Raphson para encontrar la raz de f(x)=( )

Utilice conjeturas iniciales de a) 2, b)6,c)8.

Explique sus resultados


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6.12 Dado que() use una tcnica de ubicacin de races paradeterminar el mximo de esta funcin. Realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado

caiga por debajo del 5%.

Si emplea un mtodo de agrupamiento en regiones, use valores iniciales de Xa=0 y Xb=1. Si usted

utiliza el mtodo de Newton Raphson o el mtodo modificado de la secante, use un valor inicial deXi=1. Si se decide por el mtodo de la secante use valores iniciales de Xi-1=0 y Xi=1.

Suponiendo que no importa la convergencia, elija la tcnica que ms se adecua para este

problema. Justifique su eleccin.

6.13 Encuentre las races de las ecuaciones simultneas que siguen:

(x 4) 2 + (y 4) 2 = 5

X2 + y 2 = 16

Use un enfoque grfico para obtener los valores iniciales. Encuentre estimaciones refinadascon el mtodo de Newton-Raphson para dos ecuaciones, que se describe en la seccin 6.5.2.


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