Probabilidade

Os jogos de azar, que se caracterizam por ações como girar uma roleta, lançar

dados ou retirar cartas do baralho, têm duas características básicas: a incerteza

e a regularidade. Por exemplo, o resultado de um jogo de dados é incerto

porque, toda vez que se joga um dado, pode ocorrer qualquer uma das faces.

No entanto, o jogo, embora incerto, tem regularidade. Se forem feitos muitos

lançamentos, espera-se que todas as faces ocorram igual número de vezes. Foi

essa ideia que incentivou o estudo de tais jogos, o que levou à formulação da

teoria da probabilidade, base da estatística moderna.

Conceito de probabilidade

Imagine que se deseja saber a probabilidade de ocorrer cara, quando se lança

uma moeda. Ora, para uma série muito grande de lançamentos espera-se que

ocorram caras e coroas igual número de vezes. Então, numa série muito grande

de lançamentos ocorre cara metade das vezes. Logo, a probabilidade de ocorrer

cara é ½. Vem daí a definição de probabilidade.

Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se

m desses eventos têm a característica A, a probabilidade de ocorrer um evento

com a característica A, que se indica por P (A), é:

P (A) = m/n

P (A) = número de vezes em que A ocorre/ número de vezes em que todos os

eventos ocorrem.

Veja um exemplo. Qual é a probabilidade de ocorrer número ímpar, quando se

joga um dado? Quando se joga um dado, são possíveis seis eventos: 1, 2, 3, 4,

5 ou 6. Esses seis eventos são mutuamente exclusivos, porque duas ou mais

faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for honesto, esses seis

eventos são igualmente prováveis.

Então, a probabilidade de ocorrer um número ímpar, quando se joga um dado,

é: P (ímpar) = 3/6 = ½ , porque existem seis eventos possíveis mutuamente

exclusivos e igualmente prováveis, dos quais apenas três, isto é, 1, 3 e 5, têm a

característica de “ser ímpar”. O conjunto de todos os eventos possíveis deste

experimento é chamado de espaço amostral.

Probabilidade condicional

Imagine que alguém pergunta: “Qual é a probabilidade de ocorrer um ás de

espadas, quando se retira ao acaso uma carta do baralho?” Para responder a

esta pergunta é preciso saber que um baralho tem 52 cartas distribuídas em

quatro naipes diferentes. Existem 13 cartas de paus, 13 cartas de ouro, 13

cartas de copas e 13 cartas de espadas. Cada naipe tem apenas um ás. Como

das 52 cartas, apenas uma tem a característica “ser ás de espadas”, a

probabilidade de sair “ás de espadas”, quando se retira uma carta ao acaso de

um baralho, é: 1/52.

Naipes do baralho: paus, ouro, copas e espadas.

Imagine agora que foi feita a mesma pergunta, isto é, perguntou-se: “Qual é a

probabilidade de ter sido retirado um ás de espada de um baralho?”, mas se deu

uma informação adicional: “Saiu carta de espadas”. Ora, esta informação limita

o número de eventos possíveis. Se saiu carta de espadas, a probabilidade de

ter ocorrido um ás de espadas é: 1/13 e não mais 1/52, como anteriormente.

Esse exemplo ilustra a idéia de probabilidade condicional, ou seja, a

ideia de que a probabilidade de ocorrer um evento pode ser modificada quando

se impõe determinada condição. No exemplo, a probabilidade de ocorrer ás de

espadas é de 1/52, foi modificada para 1/13, quando se impôs a condição de ter

ocorrido carta de espadas.

Então, a probabilidade condicional de ocorrer B, dado que ocorreu A, é a

probabilidade de ocorrer B sob a condição de ter ocorrido A, que é indicada por

P (B/A), que se lê “probabilidade de B, dado A”.

Eventos independentes

Imagine que uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo e alguém

pergunta: “Qual é a probabilidade de sair 6 no dado, sabendo que saiu cara na

moeda?”

Verifique que a probabilidade de ocorrer a face 6 no dado é 1/6, quer se

imponha, ou não, a condição de ter ocorrido cara na moeda. Esse exemplo foi

trazido aqui para mostrar que a probabilidade de ocorrer um evento pode não se

modificar, mesmo quando se impõe a condição de ter ocorrido outro evento.

Nesses casos, os eventos são considerados independentes. Então, dois

eventos, A e B, são independentes se:

P (B/A) = P (B) (probabilidade de B, dado A é a probabilidade de B).

Exercícios

1)Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê um espaço amostral para o experimento.

2)Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. E numere os possíveis resultados desse experimento.

3)Três jogadores A, B e C, disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, 4 partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio?

Exercícios - respostas

1)Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê um espaço amostral para o experimento.

Se for bola branca, lança-se a moeda que pode sair cara (C) ou coroa (R) (BC, BR).Se for bola vermelha, ela é devolvida e outra bola é retirada. Se for vermelha édevolvida (VV).Se for vermelha, ela é devolvida e outra bola é retirada, se for branca, lança-se a moeda que pode ser cara ou coroa (VB).

S = { BC, BR, VV, VBC, VBR}

2) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. E numere os possíveis resultados desse experimento. S = {5, f5, ff5, fff5....} sendo f qualquer face diferente de 5.

Exercícios – respostas

3) Três jogadores A, B e C, disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, 4 partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio?

1)A X B = A A X C = A

2) A X B = A A X C = C C X B = C

3) A X B = B B X C = B

4) A x B = B B X C = C C X A = C

5) A x B = A A X C = C C X B = B B X A = A

6) A X B = A A X C = C C X B = B B X A = B

7) A X B = B B X C = C C X A = A A X B = A

8) A X B = B B X C = C C X A = A A X B = B

{AA, ACC, BB, BCC, ACBA, ACBB, BCAA, BCAB}

Teorema do produto

Pode haver interesse em determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem

ao mesmo tempo, ou um em seguida do outro. Assim, imagine que uma pessoa

retira, ao acaso, uma bola de uma urna e, em seguida, sem que essa bola seja

recolocada na urna, retira uma segunda bola. Imagine que essa urna contém

duas bolas pretas e oito bolas brancas.

Qual é a probabilidade de terem sido retiradas as duas bolas pretas? É fácil

verificar que a probabilidade de uma pessoa retirar ao acaso uma bola preta de

uma urna que contém duas bolas pretas e oito bolas brancas é: 2/10.

Se sair a bola preta, e se essa bola não for recolocada na urna, a probabilidade

de a pessoa retirar uma segunda bola preta é: 1/9, porque a urna passa a conter

nove bolas (uma já foi retirada), das quais apenas uma é preta. Para determinar

a probabilidade de ocorrer uma bola preta na primeira retirada e uma bola preta

na segunda retirada, multiplicam-se as probabilidades, isto é, calcula-se: 2/10 x

1/9 = 2/90 = 1/45.

O teorema do produto pode ser enunciado como segue: A probabilidade de ocorrer um

evento com a característica A e um evento com a característica B, isto é, a

probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é dada pela expressão:

P (A B) = P (A) . P (B/A)

No exemplo, a probabilidade de ocorrer “bola preta na primeira retirada” e “bola preta na

segunda retirada” é dada pelo produto de suas probabilidades: a probabilidade de sair

bola preta na primeira retirada, multiplicada pela probabilidade de sair bola preta na

segunda retirada, considerando-se que saiu bola preta na primeira. É importante

lembrar, que se A e B são eventos independentes: P (B / A) = P (B).

Então, se A e B são eventos independentes, o teorema do produto fica como segue:

P (A B) = P (A) . P (B)

Como exemplo, imagine que são lançadas duas moedas. É claro que o fato de sair cara

numa das moedas não influi sobre o fato de sair cara na outra moeda. Então, esses

eventos são independentes. Consequentemente, a probabilidade de ocorrerem duas

caras quando se lançam duas moedas é: ½ x ½ = ¼.

Exercícios

4) Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ½. Nessas

condições, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco

filhos homens?

5) Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é

igual a ½. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro

caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?

Exercícios - respostas

4) Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ½. Nessas

condições, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco

filhos homens?

P (casal ter 5 filhos homens) = ½ . ½. ½. ½. ½ = 1/ 32.

5) Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é

igual a ½. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro

caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?

A probabilidade de ocorrer cara continua igual a ½.

Teorema da soma

Para entender o teorema da soma, imagine que no jogo de dados o jogador

ganha se sair 1 ou 6. Então a probabilidade de o jogador ganhar é dada pela

soma das probabilidades de ocorrer 1 ou 6, isto é:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Imagine agora que no jogo de moedas o jogador ganha se sair pelo menos uma

cara, em duas jogadas consecutivas. Então, a probabilidade de o jogador

ganhar é dada pela probabilidade de sair cara na primeira jogada, somada à

probabilidade de sair cara na segunda jogada, menos a probabilidade de ter

saído cara nas duas jogadas, isto é: ½ + ½ - ¼ = ¾.

Para entender esse raciocínio, observe a tabela.

1º lançamento 2º lançamento

Cara Coroa

Cara Cara-cara Cara-coroa

Coroa Coroa-cara Coroa-coroa

Tabela 1: Eventos possíveis quando se lança uma moeda duas vezes consecutivas.

A tabela mostra que os eventos com a característica desejada, isto é, “sair pelo menos

uma cara”, formam dois subconjuntos: a primeira linha – saiu cara na primeira jogada –

e a primeira coluna – saiu cara na segunda jogada. No entanto, como o evento “cara-

cara” foi contado duas vezes, precisa ser descontado uma vez.

O teorema da soma pode ser enunciado como segue: A probabilidade de ocorrer ou um

evento com a característica A, ou um evento com a característica B, isto é, a

probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é:

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

Se A B é um conjunto vazio, o teorema da soma se reduz à expressão:

P (A B) = P (A) + P (B)

Para tornar mais clara a aplicação do teorema da soma, imagine que se quer saber

qual é a probabilidade de uma carta, retirada ao acaso de um baralho, ser um ás ou

uma carta de espadas. De acordo com o teorema, a probabilidade de uma carta,

retirada ao acaso de um baralho, ser um ás ou uma carta de espadas é:

4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/ 52 = 4/13

Isto é, somam-se as probabilidades de se retirar um ás (4/52) e de se retirar uma

carta de espadas (13/52), mas se subtrai a probabilidade de ocorrer um ás de

espadas (1/52), porque essa probabilidade foi somada duas vezes, isto é, como ás e

como carta de espadas.

Portanto, a chamada regra do ou pode ser resumida assim: Portanto, a chamada regra do ou pode ser resumida assim:

Se A e B são eventos quaisquer: P (A Se A e B são eventos quaisquer: P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) B)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos): P (A Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos): P (A B) = P (A) + P (B) B) = P (A) + P (B)

Frequência relativa

O conceito de probabilidade aplica-se facilmente nos casos de jogos de azar.

Entretanto, a aplicação desse mesmo conceito fica difícil quando se tenta responder a

questões do tipo: Qual é a probabilidade de uma pessoa morrer antes de completar os

40 anos? Qual é a probabilidade de dois aviões se chocarem em pleno ar? Qual é a

probabilidade de um botijão de gás explodir? Todas essas questões são legítimas e

estão associadas à teoria da probabilidades, mas não podem ser respondidas com

base nos conceitos apresentados até aqui. É possível ampliar esses conceitos, mas

primeiro observe os dados apresentados na tabela 2.

Sexo Condição Frequência relativa (%)

Vivo Natimorto

Masculino 1513 37 2,4

Feminino 1451 27 1,8

Total 2964 64 2,1

Tabela 2 - Recém-nascidos segundo o sexo e a condição de vivo ou morto.

Fonte: Vieira, 1999, p. 118.

Para obter a frequência relativa de natimortos, no sexo masculino, dividiu-se

o número de natimortos desse sexo (37) pelo total do sexo masculino (1513 vivos + 37

natimortos = 1550). Obteve-se, dessa forma, o valor 0,024 ou 2,4%. A frequência

relativa é uma estimativa da probabilidade de uma criança do sexo masculino nascer

morta.

Analogamente, a freqüência relativa de natimortos de sexo feminino, que se

obtém por meio do cálculo: 27/1478 = 0,018 ou 1,8% é uma estimativa da

probabilidade de nascer uma criança, do sexo feminino morta.

Na área de saúde é comum usar o termo risco, como sinônimo de probabilidade.

Assim, fala-se em risco de um nascituro apresentar doença séria, em risco de uma

pessoa contrair determinada doença, em risco de acidentes etc.

Exercícios

6) Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta

contém duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma

bola de cada urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola

branca da urna branca ou da urna preta?

7) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que 4?

Exercícios - respostas

6) Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta contém

duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma bola de cada

urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola branca da urna branca

ou da urna preta?

P1 (B, B) = 2/10 . 8/10 = 16/100

P2 (B, P) = 2/10 . 2/10 = 4/100

P3 (P, B) = 8/10 . 8/10 = 64/100

P(pelo menos uma bola branca) = P1 + P2 + P3 = 84/100 = 0,84.

7) Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um número maior que 4?

Número maior do que 4 no dado temos o 5 e o 6, portanto: P (maior que 4) = P (5 ou 6)

Trata-se de eventos disjuntos, já que, se der 5, é impossível dar 6 e vice-versa.

P (5 ou 6) = P (5) + P (6) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Exercícios

8) Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorona,

chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30%

do dia. Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore?

E qual a probabilidade de que nenhuma chore?

Exercícios - respostas

8) Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorona,

chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30%

do dia. Qual a probabilidade (qual o percentual do dia) de que pelo menos uma chore?

E qual a probabilidade de que nenhuma chore?

A probabilidade de que pelo menos uma chore é a probabilidade de que a primeira

chore ou a segunda chore. Chamando de C1 o evento a primeira criança chora e C2, a

segunda criança chora, temos:

P (C1 ou C2) = P(C1) + P (C2) – P (C1 e C2) = 0,65 + 0,45 – 0,3 = 0,8.

Portanto, pelo menos uma criança estará chorando 80% do tempo. Nenhuma das

crianças chora é o evento complementar.

P (nenhuma chora) = 1 – P(C1 ou C2) = 1 – 0,8 = 0,2

Assim os pais dessas crianças não ouvirão choro apenas 20% do tempo.

Distribuições de Probabilidade – distribuição normal

- Distribuição normal: é a distribuição de probabilidades (para variáveis aleatórias

contínuas) mais importante para a análise estatística, pois boa parte dos

fenômenos observados comportam-se de acordo com essa distribuição.

Exemplos de fenômenos cuja distribuição se “aproximam” de uma curva normal: o

peso ou a altura de pessoas de uma cidade, tempo de duração das chamadas em

uma central de atendimento ao consumidor, tempo de vida de uma lâmpada.

- É uma curva simétrica que apresenta formato de sino, caracterizada pela sua

média e desvio padrão. A média determina a posição da curva em relação à origem

do sistema de coordenadas e o desvio padrão determina se a curva será mais

dispersa (com maior desvio padrão) ou mais concentrada (com menor desvio

padrão). A área sob a curva entre dois pontos de interesse representa a

probabilidade de ocorrência do evento.

- Uma particular distribuição normal, conhecida por normal padronizada, tem média

igual a zero e desvio padrão igual a 1, tem seus resultados tabelados.

Figura 1: Distribuição Normal

Legenda:μ = média aritmética e σ = desvio padrão

Fonte: AGRESTI; FINLAY, 1997, p. 87.

Cômputo da probabilidade em uma distribuição normal

- Calcular a média μ e o desvio padrão σ da variável de interesse X;

- Transformar a variável X na variável Z (da curva normal padronizada)

de acordo com a seguinte equação:

- Apurar o valor da probabilidade de Z consultando a tabela. Este

resultado representa a probabilidade de ocorrência do evento X.

X

Z

Exemplo de aplicação

Um teste foi aplicado a um grupo de 50 adolescentes do 3o ano colegial. Obteve-se

uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 6. Qual a proporção de

alunos com notas superiores a 60 ?

Neste caso temos:

μ = 50; σ = 6; X = 60

Consultando a tabela para Z = 1,67, verifica-se:

A probabilidade de a nota ser superior a 60 é:

P(X>60) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475 ou 4,75 %

67,16

5060

Z

Fonte: Bussab; Morettin, 1987, p. 305.

Referências bibliográficas:

BUSSAB, Wilton O; MORETTIN, Pedro A. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1987. Capítulo 4.

VIEIRA, S. Elementos de Estatística. 3 ª edição. São Paulo: Atlas, 1999. Capítulo 8.