probabilidade - fij.br · alguns modelos de probabilidades..... 31 6.1. distribuiÇÃo binomial ou...
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PROBABILIDADE
Adriane Violante de Carvalho Ramos
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1. INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE.......................................................................... 4
1.1. DEFINIÇÕES INICIAIS ....................................................................................................... 4 1.1.1. EXPERIMENTO............................................................................................................... 4 1.1.2. EVENTO ........................................................................................................................ 4 1.1.3. EVENTO SIMPLES .......................................................................................................... 4 1.1.4. ESPAÇO AMOSTRAL ......................................................................................................4 1.2. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE ...................................................................................... 5 1.2.1. DEFINIÇÃO CLÁSSICA.................................................................................................... 5 1.2.2. DEFINIÇÃO COMO FREQÜÊNCIA RELATIVA .................................................................... 6 1.3. TIPOS DE EVENTOS .......................................................................................................... 7 1.3.1. EVENTOS COMPLEMENTARES........................................................................................ 7 1.3.2. EVENTOS COMPOSTOS................................................................................................... 7 1.3.3. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES ....................................................................... 8 1.3.4. EVENTOS INDEPENDENTES............................................................................................ 8
2. AXIOMAS DE PROBABILIDADE ........................................................................................ 9
3. TEOREMAS DE PROBABILIDADE................................................................................... 10
3.1. TEOREMA DA SOMA ....................................................................................................... 10 3.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL .................................................................................... 11 3.3. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO ..................................................................................... 12 3.4. TEOREMA DE BAYES E PARTIÇÕES ................................................................................ 13
4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS................................................................................................. 16
4.1. DEFINIÇÃO ........................................................................................................................... 16 4.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................................... 16 4.3. PARÂMETROS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA .................................................................... 18 4.3.1. MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA ................................................................................ 18 4.3.2. VARIÂNCIA ......................................................................................................................... 19 4.3.3. DESVIO PADRÃO................................................................................................................. 19
5. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA.............................................................................................. 23
5.1. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA E DISTRIBUIÇÃO MARGINAL .................................................... 23 5.2. PARÂMETROS DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA .............................................................. 25 5.2.1. COVARIÂNCIA .................................................................................................................... 25 5.2.2. CORRELAÇÃO..................................................................................................................... 26 5.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES.......................................................................... 27
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6. ALGUNS MODELOS DE PROBABILIDADES .................................................................. 31
6.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL OU DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI ............................................. 31 6.2. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.................................................................................................. 32 6.3. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA .................................................................................... 33 6.4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ......................................................................................................34 6.4.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ....................................................................................... 35 6.4.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL NÃO PADRÃO ............................................................................... 37
7. TESTE DE HIPÓTESES....................................................................................................... 41
7.1. DEFINIÇÃO DE H IPÓTESE: ................................................................................................... 41 7.2. HIPÓTESE NULA E HIPÓTESE ALTERNATIVA ...................................................................... 42 7.3. ERROS DO TIPO I E II ........................................................................................................... 42 7.4. TESTES UNILATERAL E BILATERAL ..................................................................................... 43
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 45
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1. Introdução a Probabilidade 1.1. Definições Iniciais
1.1.1. Experimento Qualquer processo que permita ao pesquisador fazer observações.
1.1.2. Evento Coleção de resultados de um experimento.
1.1.3. Evento Simples Qualquer resultado que não comporta decomposições. Se o evento permitir
decomposições ele é dito composto.
1.1.4. Espaço Amostral Consiste de todos os eventos simples de um experimento.
Exemplo 1: Experimento: arremesso de um dado. � Evento simples: face 3 � Espaço amostral: EA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2: Experimento: arremesso de um par de dados � Evento composto: resultado 7.
Esse resultado pode ser obtido através de vários eventos simples: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
� Espaço amostral: EA = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),....,(6,3),(6,4), (6,5)} num total de 36 eventos.
NOTAÇÃO: P – probabilidade P(A) – probabilidade de ocorrer o evento A Os eventos serão sempre denotados por letras maiúsculas.
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Exemplo 3: No arremesso de 2 dados devemos tomar a quantidade de faces do dado 6 e elevá-lo a 2 que é a quantidade de vezes que o dado será lançado, assim 62 = 36 e, portanto esse experimento terá 36 eventos simples. Exemplo 4: No lançamento de 3 moedas teremos 23 = 8 eventos, pois temos 2 possibilidades na moeda (cara ou coroa) sendo lançada 3 vezes.
1.2. Definição de Probabilidade Existem duas definições para Probabilidade: a definição clássica e a
definição como uma freqüência relativa.
1.2.1. Definição Clássica Suponha que um experimento tenha n eventos simples, cada um com a
mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s eventos dentre as n maneiras possíveis, então:
n
sAAP ==
simples eventos de totalnúmero
ocorrer pode que maneiras de número)(
Exemplo 5: Joga-se um dado não viciado uma vez. Qual a probabilidade de ocorrer a face 3? EA = {1, 2, 3, 4, 5,6}→ n = 6 Evento A = face 3 → s = 1
16,66%ou 1666,06
1)( ==AP
Exemplo 6: Ao lançarmos uma moeda honesta 3 vezes, qual a probabilidade de dar 2 caras? Para facilitar denotaremos cara = c e coroa = k. EA = {ccc, cck, ckc, ckk, kkk, kkc, kck, kcc} → n = 8 A = 2 caras → s = 3
37,5%ou 375,08
3)( ==AP
QUESTÃO: Como saber o número de elementos do espaço amostral? Basta tomarmos a quantidade de eventos simples do experimento elevado ao número de vezes que o experimento será feito.
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1.2.2. Definição como Freqüência Relativa Realize um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes
o evento A ocorre. Então P(A) é estimada como:
oexperiment do repetições de número
evento do socorrência de número)(
AAP =
Exemplo 7: Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio?
Nesse caso não temos a mesma probabilidade para os dois casos possíveis: ser atingido por um raio e não ser atingido por um raio.
Assim precisamos usar a definição como freqüência relativa, para isso devemos recorrer a um estudo já feito. Por exemplo, se numa determinada cidade foram contabilizadas 260.000 quedas de raios durante um determinado período do ano sendo 371 pessoas atingidas, teríamos então:
0,14%ou 0014,0260000
371)( ≅=AP
Exercícios: 1. Qual a probabilidade de sua resposta em uma questão de múltipla escolha, com
5 respostas possíveis, estar errada respondendo à questão aleatoriamente? n = 5 s = 4
80%ou 8,05
4)( ==AP
2. Uma empresa de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e
obteve o seguinte resultado: 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes por envenenamento e 70 por queimaduras. Selecionado um caso aleatoriamente, qual a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento?
Total = 350 Envenenamento = 120
343,0350
120)( ==AP
7
3. Determine a probabilidade de que um casal com 3 filhos tenha exatamente 2
meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina sejam as mesmas. EA = {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH} n = 8
s = 3
375,08
3)( ==AP
4. Selecionado um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de o dia da
Páscoa cair: a. Numa quarta-feira
P(A) = 0 → evento impossível b. Num Domingo.
P(A) = 1 → evento de ocorrência certa Observação: Para qualquer evento A sempre temos 0 ≤ P(A) ≤ 1
1.3. Tipos de Eventos
1.3.1. Eventos Complementares O complemento de um evento A, que será denotado por Ā ou AC, consiste
em todos os resultados do espaço amostral em que A não ocorre. Dessa maneira dois eventos são complementares se um é o complementar do
outro. Observe que A ∪ AC = Espaço Amostral
Exemplo 8: No lançamento de um dado, se A for o evento relacionado a face par, teremos AC como dar face ímpar.
1.3.2. Eventos Compostos São os eventos que combinam dois ou mais eventos simples.
Exemplo 9: Dar soma 9 no lançamento de dois dados é um evento composto, pois teríamos 4 possibilidades para essa soma: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3).
8
1.3.3. Eventos Mutuamente Excludentes Dois eventos são mutuamente excludentes se não podem ocorrer
simultaneamente. Exemplo 10: Ao lançar um dado não podemos ter face 3 e face 6 ao mesmo tempo.
Observação: Eventos complementares são mutuamente excludentes.
1.3.4. Eventos Independentes Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B, não são independentes, então são ditos dependentes.
Exemplo 11: Jogar uma moeda e um dado são eventos independentes, pois o resultado da moeda não afetará o resultado do dado.
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2. Axiomas de Probabilidade
Antes de qualquer coisa precisamos saber o que são axiomas:
Os Axiomas de Probabilidade são: 1. Para todo evento A temos 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Seja S um espaço amostral, então P(S) = 1.
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes então,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
DEFINIÇÃO: Axioma: Afirmação que se admite como verdadeira sem exigência de
demonstração e da qual podemos deduzir proposições.
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3. Teoremas de Probabilidade
3.1. Teorema da Soma Sejam A e B dois eventos quaisquer, temos que:
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
Exemplo 12: Numa pesquisa obtivemos os seguintes dados sobre três jornais e quantos dias da semana são lidos pelos entrevistados. Suponhamos que cada entrevistado só possa escolher um dos jornais.
Jornal A Jornal B Jornal C Total Todos os dias 125 140 110 375 Fim de semana 35 18 44 97
Total 160 158 154 472
a) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de ser alguém que leia o jornal A ou o jornal C?
Nesse caso os eventos são mutuamente excludentes, aplicamos então o axioma 3.
665,0472
314
472
154
472
160)()()( ==+=+=∪ CPAPCAP
b)Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de obter alguém que lê o jornal B ou só lê jornal no fim de semana?
Utilizando o teorema da soma:
502,0472
237
472
18
472
97
472
158)()()()( ==−+=∩−+=∪ fimBPfimPBPfimBP
11
Observação:
Seja A um evento qualquer.Temos que A e AC são eventos mutuamente excludentes, logo pelo axioma 3:
)()()( CC APAPAAP +=∪ Mas A ∪ AC = Espaço Amostral, e assim pelo axioma 2:
1)( =∪ CAAP
Portanto, 1)()( =+ CAPAP
Exemplo 13: Se a probabilidade de chover for igual a 0,4, então qual é a probabilidade de não chover?
Chuva e não-chuva são eventos complementares , logo P(não chuva) = 1 – 0,4 = 0,6
3.2. Probabilidade Condicional Chamamos de probabilidade condicional a probabilidade de um evento
ocorrer sabendo que outro evento já ocorreu e que essa ocorrência influenciará o segundo evento. Denotamos por P(B/A) e lemos: a probabilidade de B ocorrer sabendo que A já ocorreu. Exemplo 14: Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em um deles?
A = soma 6 → {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2),(5,1)}→ 5 possibilidades Queremos agora que a face 2 tenha ocorrido já sabendo que a soma dos
dados é 6: B = face 2 → {(2,4),(4,2)}→ 2 eventos Assim,
4,05
2)/( ==ABP
12
3.3. Teorema da Multiplicação Se A e B, são eventos dependentes, então:
)/().()( ABPAPBAP =∩
Se ao contrário, A e B forem independentes, então:
)().()( BPAPBAP =∩ Exemplo 15: Na extração de 2 cartas de um baralho comum com 52 cartas, determine a probabilidade da 1ª carta ser um ás e a 2ª carta ser um rei, sabendo que \ não houve a reposição da 1ª carta.
006,02652
16
51
4.
52
4)/().()( ====∩ ásreiPásPreiásP
Exemplo 16: Ao lançar um dado honesto duas vezes, qual a probabilidade de dar as faces 1 e 3? Nesse caso o 2º evento não está condicionado ao 1º.
0277,036
1
6
1.
6
1)3().1()31( ====∩ PPP
Observação: com reposição → eventos independentes
sem reposição → eventos dependentes Exemplo 17: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas aleatoriamente, uma após a outra, sem reposição. Encontre a probabilidade de todas as três peças serem não defeituosas. No lote, temos 4 peças defeituosas e 8 peças boas. Queremos que as três peças retiradas estejam boas, assim
2545,01320
336
10
6.
11
7.
12
8)( ===∩∩ boaboaboaP
Observação: OU → ∪ E → ∩
Exemplo 18: A probabilidade de A acertar um alvo é de 4
1 e a de B acertar é de
5
2.
Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atirarem, sabendo que um não afeta a chance do outro acertar?
Queremos então que A acerte ou B acerte, então pelo teorema da soma:
13
)(5
2
4
1)()()()( BAPBAPBPAPBAP ∩−+=∩−+=∪
Precisamos saber o valor de P(A ∩ B) , como estamos supondo que são
eventos independentes, temos que:
10
1
5
2.
4
1)().()( ===∩ BPAPBAP
Substituindo, teremos:
55,020
11
20
285
10
1
5
2
4
1)( ==−+=−+=∪ BAP
3.4. Teorema de Bayes e Partições Sejam A e B eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral S, de
maneira que A ∪ B = S. Dessa maneira dizemos que A e B são uma partição de S. Seja X um evento qualquer, pelo Teorema de Bayes é possível determinar a probabilidade condicional de uma das partições de S sabendo que X ocorreu, ou seja,
)/().()/().(
)/().()/(
BXPBPAXPAP
AXPAPXAP
+=
Exemplo 19: Suponha uma determinada peça de computador utilizada por uma empresa seja fabricada por duas fábricas: 60% pela fábrica A e 40% por outra fábrica. Suponha ainda que as taxas de defeito das fábricas sejam de 35% para a fábrica A e 25% para a outra. Qual a probabilidade de uma peça defeituosa, escolhida aleatoriamente , ter vindo da fábrica A?
X → estar defeituosa P(A) = 0,6 P(B) = 0,4
P(X/A) = 0,35 P(X/B) = 0,25 P(A/X) = ?
6774,031,0
21,0
1,021,0
21,0
25,0.4,035,0.6,0
35,0.6,0)/( ==
+=
+=XAP
14
Exemplo 20: Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20% respectivamente do total de peças de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosa dessas máquinas são de 3%, 4% e 5%, respectivamente. Suponha que uma peça retirada aleatoriamente seja defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?
X → estar defeituosa P(A) = 0,5 P(B) = 0,3 P(C) = 0,2
P(X/A) = 0,03 P(X/B) = 0,04 P(X/C) = 0,05 P(B/X) = ?
3243,0037,0
012,0
010,0012,0015,0
012,0
05,0.2,004,0.3,003,0.5,0
04,0.3,0
)/().()/().()/().(
)/().()/(
==++
=++
=
=++
=CXPCPBXPBPAXPAP
BXPBPXBP
Exercícios: 5. Numa pesquisa realizada numa universidade obtevesse os seguintes resultados:
Homens Mulheres Total Fumantes 45 30 75
Não fumantes 75 50 125 Total 120 80 200
a) Escolhido aleatoriamente um dos 200 entrevistados, qual a probabilidade de ser homem?
6,0200
120)homem( ==P
b) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de ser mulher ou ser fumante?
625,0
200
125
200
30
200
75
200
80
)()()()(
==−+=
=∩−+=∪ fumantemulherPfumantePmulherPfumantemulherP
c) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade ser homem ou ser não fumante?
85,0200
170
200
75
200
125
200
120
fumante) nãohomem(fumante) não()homem(fumante) não(homem
==−+=
=∩−+=∪ PPPP
15
6. Retiram-se duas cartas de um baralho, sem reposição da 1ª carta, determine a probabilidade de: a) ser um valete e um 2;
006,02652
16
51
4.
52
4)2( ===∩valeteP
b) ser uma dama de copas e um 7;
0015,02652
4
51
4.
52
17) copas de dama( ===∩∪P
c) ser uma carta de ouros e um ás de paus;
0049,02652
13
51
1.
52
13paus) de ás ( ===∩ourosP
d) serem as duas cartas de espadas;
0588,02652
156
51
12.
52
13)( ===∩ espadaespadaP
e) serem dois ases.
0045,02652
12
51
3.
52
4)( ===∩ ásásP
7. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que 1,70m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,70 m de altura, qual é a probabilidade de o estudante ser uma mulher?
X → mais de 1,70 m. P(A) = 0,6 P(B) = 0,4
P(X/A) = 0,01 P(X/B) = 0,04 P(A/X) = ?
2727,0022,0
006,0
016,0006,0
006,0
04,0.4,001,0.6,0
01,0.6,0)/( ==
+=
+=XAP
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4. Variáveis Aleatórias
4.1. Definição Uma variável aleatória é uma variável que tem um único valor numérico
para cada resultado de um experimento. Denotaremos por letras maiúsculas. Uma primeira etapa no estudo de variáveis aleatórias é a determinação dos
valores que a variável pode assumir. Exemplo 21: Seja o experimento que consiste em selecionar aleatoriamente 7 acidentes aéreos e contar quantos envolvem aviões da Empresa Gaivota. A variável aleatória representa o número de acidentes com aviões dessa empresa dentre as 7 ocorrências selecionadas, assim:
X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Exemplo 22: No lançamento de 2 moedas contamos o número de coroas que aparecem. A variável aleatória representa o número de coroas e assim, X ∈ {0, 1, 2}
Observação: A variável é dita aleatória pois só conhecemos seu valor após o experimento ter sido realizado.
Além de identificar os possíveis valores de uma variável aleatória, podemos
atribuir uma probabilidade a cada um desses valores.
4.2. Função de Probabilidade Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente
com suas respectivas probabilidades, temos uma função ou distribuição de probabilidade.
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Exemplo 23: Suponha que a distribuição de probabilidade do número de acidentes com a Empresa Gaivota dentre os 7 analisados, seja:
X P(X) 0 0,210 1 0,367 2 0,275 3 0,115 4 0,029 5 0,004 6 0 7 0
Qualquer função de probabilidade deve satisfazer as seguintes condições:
1. 0 ≤ P(X) ≤ 1 para todo X
2. 1)( =∑ XP
Exemplo 24: Determine a distribuição de probabilidade. EA = {CC, CK, KC, KK}
X P(X) 0
4
1
1
4
2
2
4
1
Exemplo 25: Seja 3
)(X
XP = , onde X ∈ {0, 1, 2}. Essa lei define uma distribuição
de probabilidade?
X P(X) 0 0 1
3
1
2
3
2
18
Exemplo 26: Seja 5
)(X
XP = , onde X ∈ {0, 1, 2, 3}. Essa lei define uma
distribuição de probabilidade?
X P(X) 0 0 1
5
1
2
5
2
3
5
3
4.3. Parâmetros de uma variável aleatória
4.3.1. Média ou Esperança Matemática
Notação: E(X) ou µ ou x
....)(.)(.)(.)( 2211 ++==∑ XPXXPXXPXXE
Exemplo 27: Utilizando os dados do caso dos acidentes aéreos com a empresa Gaivota, teremos:
398,1)(
020,0116,0345,0550,0367,0)(
0.70.6004,0.5029,0.40115.,3275.,2367,0.1210,0.0)(
=++++=
+++++++=
XE
XE
XE
Exemplo 28: No exemplo das duas moedas, teremos:
1)(4
2
4
2)(
4
1.2
4
2.1
4
1.0)(
=
+=
++=
XE
XE
XE
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4.3.2. Variância Notação: Var(X)
[ ] ( )22 )()(.)( XEXPXXVar −= ∑
Exemplo 29: No caso dos acidentes aéreos:
[ ] ( )[ ]
1116,19544,1066,3)(
9544,11,0464,0035,11,1367,0)(
398,1004,0.5029,0.4115,0.3275,0.2367,0.1)( 22222
=−=−++++=
−++++=
XVar
XVar
XVar
Exemplo 30: No caso das coroas:
( )
5,0)(
114
2)(
14
1.2
4
2.1)( 22
=
−
+=
−
+=
XVar
XVar
XVar
4.3.3. Desvio Padrão Notação: DP(X) ou σ(X)
)()( XVarXDP =
Exemplo 31: No caso dos acidentes aéreos:
0543,11116,1)( ==XDP
Exemplo 32: No caso das coroas:
7071,05,0)( ==XDP
CURIOSIDADE: O assunto probabilidade está diretamente ligado aos jogos de azar. Quem nunca se perguntou qual a chance de se ganhar na loteria? Assim podemos utilizá-la para saber se um jogo é favorável ou desfavorável para o jogador, vejamos:
20
Exemplo 33: Um jogador lança uma moeda não viciada duas vezes. Ganha $1,00 ou $2,00 caso ocorra 1 ou 2 caras respectivamente. Por outro lado perde $5,00 se não ocorrer cara. Ache o valor esperado do jogo e diga se ele é favorável ou não para o jogador. EA = {CC, CK, KC, KK}
X P(X) $ 0
4
1
- 5
1
4
2
+ 1
2
4
1
+ 2
Devemos calcular a esperança desse experimento, colocando no lugar dos
valores de X, a quantia em dinheiro relacionada:
25,04
1
4
225
4
1.2
4
2.1
4
1.5)( −=−=++−=++−=XE
Logo o jogo é desfavorável!
Exercícios:
8. Determine em cada item se é uma distribuição de probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua esperança, variância e desvio padrão. a)
X P(X) 0 0,53 1 0,24 2 0,23
É função de probabilidade.
[ ]8185,067,0)(
67,049,0]92,024,0[)7,0(23,0.424,0.1)(
7,046,024,023,0.224,0.1)(2
==
=−+=−+==+=+=
XD
XVar
XE
P
21
b)
X P(X) -1 0,3 1 0,2 2 0,1 3 0,4
É função de probabilidade.
[ ]6763,181,2)(
81,269,1]6,34,02,03,0[)3,1(4,0.91,0.42,0.13,0.1)(
3,12,12,02,03,04,0.31,0.22,0.13,0.1)(2
==
=−+++=−+++=
=+++−=+++−=
XD
XVar
XE
P
c)
X P(X) 0 0,35 1 0,48 2 0,16
Não é função de probabilidade.
9. Uma moeda viciada, de maneira que 4
3)( =caraP e
4
1)( =coroaP , é lançada 3
vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorridas. Ache a distribuição de probabilidade, a esperança, a variância e o desvio padrão. EA = {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC,KCK, KCC}
75,05625,0)(
5625,00625,5625,5
0625,564
243
64
108
64
9)25,2(
64
27.9
64
27.4
64
9.1)(
25,264
144
64
81
64
54
64
9
64
27.3
64
27.2
64
9.1)(
2
==
=−=
−
++=−
++=
==++=++=
XD
XVar
XE
P
X P(X) 0
64
1
1
64
9
2
64
27
3
64
27
22
10. Um jogador lança 3 moedas não viciadas. Ganha $5,00 se ocorrerem 3 caras, $3,00 se ocorrerem 2 caras e $1,00 se somente 1 cara ocorrer. Por outro lado perde $15,00 se 3 coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo.
X P(X) $ 0
8
1
-15
1
8
3
+1
2
8
3
+3
3
8
1
+5
25,08
2
8
59315
8
1.5
8
3.3
8
3.1
8
1.15)( ==+++−=+++−=XE
23
5. Distribuição Conjunta
5.1. Distribuição Conjunta e Distribuição Marginal Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de um mesmo espaço amostral.
Suponhamos que X ∈ {x1, x2, ..., xn} e Y ∈ {y1, y2, ..., ym}, assim para cada par ordenado (xi, yi) definiremos sua probabilidade por
),(),( iiii yxhyYxXP ===
Essa função h é chamada de distribuição conjunta ou função de
probabilidade conjunta e é usualmente dada na forma de uma tabela: X \ Y y1 y2 ... ym soma
x1 h(x1,y1) h(x1,y2) ... h(x1,ym) f(x1) x2 h(x2,y1) h(x2,y2) ... h(x2,ym) f(x2) ... ... ... ... ... ... xn h(xn,y1) h(xn,y2) ... h(xn,ym) f(xn)
soma g(y1) g(y2) ... g(ym)
As funções f e g são definidas por: f(xi) é a soma dos valores da linha i g(yi) é a soma dos valores da coluna j
Essas funções são chamadas de Distribuições Marginais e são as
distribuições individuais de X e Y. Exemplo 34: Uma moeda é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, se ocorrer cara ou coroa no 1º lançamento, respectivamente. Seja Y a variável relacionada ao número de caras que ocorram. Determine a distribuição conjunta de X e Y. EA = {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC} X ∈ {0, 1} Y ∈ {0, 1, 2, 3}
Para facilitar separamos o EA segundo os valores de X, ou seja, X = 0 → CCC, CCK, CKC, CKK X = 1 → KKK, KKC, KCK, KCC
24
X \ Y 0 1 2 3 soma 0 0
8
1
8
2
8
1
8
4
1
8
1
8
2
8
1
0
8
4
soma
8
1
8
3
8
3
8
1
Exemplo 35: Dois cartões são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartões numerados da seguinte forma:
1, 1, 2, 2, 3 Seja X a soma dos números que aparecem nos cartões e seja Y o maior dos dois números. Determine a distribuição conjunta de X e Y. EA = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)} X ∈ {2, 3, 4, 5} Y ∈ {1, 2, 3}
X = 2 → (1, 1) X = 3 → (1, 2), (2, 1) X = 4 → (1, 3), (2, 2), (3, 1) X = 5 → (2, 3), (3, 2)
X \ Y 1 2 3 soma 2
8
1
0 0
8
1
3 0
8
2
0
8
2
4 0
8
1
8
2
8
3
5 0 0
8
2
8
2
soma
8
1
8
3
8
4
25
5.2. Parâmetros de uma Distribuição Conjunta Já vimos até agora 3 tipos de parâmetros: Esperança, Variância e Desvio
Padrão. Essas medidas só podem ser calculadas em distribuições individuais. Veremos agora 2 parâmetros para as distribuições conjuntas:
5.2.1. Covariância Notação: Cov(X, Y) )().()(),( YEXEXYEYXCov −= onde ∑= ),(..)( YXHYXXYE
Exemplo 36: Utilizando a tabela do exemplo 34, calcule a covariância: Precisamos inicialmente calcular E(XY), E(X) e E(Y):
2
3
8
3
8
6
8
3
8
1.3
8
3.2
8
3.1
8
1.0)(
2
1
2
1.1
2
1.0)(
2
1
8
2
8
2)(
0.3.18
1.2.1
8
2.1.1
8
1.0.1
8
1.3.0
8
2.2.0
8
1.1.00.0.0)(
=++=+++=
=+=
=+=
+++++++=
YE
XE
XYE
XYE
Substituindo esses valores:
4
1
4
32
4
3
2
1
2
3.
2
1
2
1),(
−=−=−=−=YXCov
Exemplo 37: Utilizando o exemplo 35, teremos:
8
19
8
12
8
6
8
1
8
4.3
8
3.2
8
1.1)(
4
15
8
30
8
10
8
12
8
6
8
2
8
2.5
8
3.4
8
2.3
8
1.2)(
2
19
8
76
8
30
8
24
8
8
8
12
8
2)(
8
2.3.5
8
2.3.4
8
1.2.4
8
2.2.3
8
1.1.2)(
=++=++=
==+++=+++=
==++++=
++++=
YE
XE
XYE
XYE
Substituindo:
32
19
32
285304
32
285
2
19
8
19.
4
15
2
19),( =−=−=−=YXCov
26
5.2.2. Correlação Notação: ρ(X,Y)
)().(
),(),(
YDXD
YXCovYX
PP
=ρ
Exemplo 38: Utilizando novamente o exemplo 34:
Precisamos calcular inicialmente os valores do desvio padrão, para isso calculamos a variância, utilizando o valor da esperança calculado no exemplo 36:
866,02
732,1
4
3)(
4
3
8
6
4
9
8
24
4
9
8
9123
2
3
8
1.9
8
3.4
8
3.1
8
1.0)(
5,02
1
4
1)(
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1.1
2
1.0)(
2
2
===
==−=−++=
−
+++=
===
=−=
−
+=
YD
YVar
XD
XVar
P
P
Substituindo teremos:
5773,0433,0
25,0
866,0.5,0
25,0),( −=−=−=YXρ
Exemplo 39: Utilizando novamente o exemplo 35, com os valores calculados no exemplo 37, teremos:
6959,08
5677,5
64
31)(
64
31
64
361
8
49
64
361
8
36121
8
19
8
4.9
8
3.4
8
1.1)(
9682,04
8729,3
16
15)(
16
15
16
225
8
120
16
225
8
5048184
4
15
8
2.25
8
3.16
8
2.9
8
1.4)(
2
2
===
=−=−++=
−
++=
===
=−=−+++=
−
+++=
YD
YVar
XD
XVar
P
P
E então:
8812,06737,0
5937,0
6959,0.9682,0
5937,0),( ===YXρ
27
5.3. Variáveis Aleatórias Independentes Duas variáveis aleatórias X e Y de um mesmo espaço amostral S, são consideradas independentes se: )().(),( iiii ygxfyxh =
Exemplo 40: Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta. Verifique se X e Y são variáveis independentes.
X \ Y 2 3 4 soma 1 0,06 0,15 0,09 0,3 2 0,14 0,35 0,21 0,7
soma 0,2 0,5 0,3 Para que X e Y sejam independentes, elas devem satisfazer a condição dada
acima, verificando teremos:
21,03,0.7,0)4().2()4,2(
35,05,0.7,0)3().2()3,2(
14,02,0.7,0)2().2()2,2(
09,03,0.3,0)4().1()4,1(
15,05.0.3,0)3().1()3,1(
06,02,0.3,0)2().1()2,1(
=========
=========
gfh
gfh
gfh
gfh
gfh
gfh
Logo X e Y são variáveis aleatórias independentes! Exemplo 41: Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes distribuições individuais:
X f(X) Y g(Y) 1 0,7 -2 0,3 2 0,3 5 0,5 8 0,2
Encontre a distribuição conjunta e verifique que Cov(X,Y) = 0. Como as variáveis são independentes basta calcularmos os valores da função h a partir da definição:
X \ Y -2 5 8 soma 1 0,21 0,35 0,14 0,7 2 0,09 0,15 0,06 0,3
soma 0,3 0,5 0,2 Precisamos calcular agora o valor da covariância:
5,36,15,26,02,0.85,0.53,0).2()(
3,16,07,03,0.27,0.1)(
55,496,05,136,012,175,142,0)(
06,0.8.215,0.5.209,0).2.(214,0.8.135,0.5.121,0).2.(1)(
=++−=++−==+=+=
=++−++−=++−+++−=
YE
XE
XYE
XYE
E, portanto: 055,455,45,3.3,155,4),( =−=−=YXCov
28
Observação: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Cov(X,Y) = 0.
Exercícios : 11. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta:
X \ Y -3 2 4 soma 1 0,1 0,2 0,2 0,5 3 0,3 0,1 0,1 0,5
soma 0,4 0,3 0,3 a) Ache as distribuições individuais de X e de Y;
X f(X) Y g(Y) 1 0,5 -3 0,4 3 0,5 2 0,3 4 0,3
b) Ache Cov(X,Y);
2,16,0.20),(
6,02,16,02,13,0.43,0.24,0).3()(
25,15,05,0.35,0.1)(
02,16,07,28,04,03,0)(
1,0.4.31,0.2.33,0).3.(32,0.4.12,0.2.11,0).3.(1)(
−=−==++−=++−=
=+=+==++−++−=
++−+++−=
YXCov
YE
XE
XYE
XYE
c) Ache ρ(X,Y);
3947,00397,3
2,1
0397,3.1
2,1),(
0397,324,9)(
24,936,08,42,16,36,0)3,0.163,0.44,0.9()(
1)(
145,45,02)5,0.95,0.1()(
2
2
−=−=−=
==
=−++=−++=
==−+=−+=
YX
YD
YVar
XD
XVar
P
P
ρ
d) Responda: X e Y são independentes? Não, pois a sua covariância é diferente de 0.
29
12. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes distribuições individuais:
X f(X) Y g(Y) 1 0,25 -1 0,2 2 0,35 0 0,3 3 0,4 1 0,5
Encontre a distribuição conjunta e determine o valor da covariância.
X \ Y -1 0 1 soma 1 0,05 0,075 0,125 0,25 2 0,07 0,105 0,175 0,35 3 0,08 0,12 0,2 0,4
soma 0,2 0,3 0,5 Cov(X,Y) = 0. 13. Um casal tem 3 filhos. Seja X a variável aleatória associada ao número de meninas e seja Y a variável que toma os valores 1 ou 2 conforme o filho caçula seja homem ou mulher, respectivamente. Determine a distribuição conjunta e os valores da covariância e da correlação. EA = {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH} X ∈ {0, 1, 2, 3} Y ∈ {1, 2} X = 0 → HHH X = 1 → HHM, HMH, MHH X = 2 → HMM, MHM, MMH X = 3 → MMM
X \ Y 1 2 soma 0
8
1
0
8
1
1
8
2
8
1
8
3
2
8
1
8
2
8
3
3 0
8
1
8
1
soma
8
4
8
4
30
5773,0
433,0
25,0
5,0.866,0
25,0),(
5,04
1)(
4
1
8
2
8
1820
4
9
8
16
8
4
2
3
8
4.4
8
4.1)(
866,02
732,1
4
3)(
4
3
8
6
8
1824
4
9
8
9
8
12
8
3
2
3
8
1.9
8
3.4
8
3.1)(
25,04
1
4
910
4
9
2
5
2
3.
2
3
2
5),(
2
3
8
12
8
8
8
4
8
4.2
8
4.1)(
2
3
8
12
8
3
8
6
8
3
8
1.3
8
3.2
8
3.1)(
2
5
8
20
8
6
8
8
8
2
8
2
8
2
8
1.2.3
8
2.2.2
8
1.1.2
8
1.2.1
8
2.1.1)(
2
2
===
==
==−=−+=
−
+=
===
==−=−++=
−
++=
==−=−=−=
==+=+=
==++=++=
==++++=++++=
YX
YD
YVar
XD
XVar
YXCov
YE
XE
XYE
P
P
ρ
31
6. Alguns Modelos de Probabilidades
Vimos até agora, experimentos simples e fáceis de se encontrar a distribuição de probabilidade. Porém existem alguns modelos de experimentos que são mais complexos e por essa razão requerem um modelo mais elaborado para representar as sua probabilidades. Esses modelos foram estudados por grandes matemáticos que os tornaram mais simples através de fórmulas ou até mesmo criando uma tabela de valores. Veremos então alguns desses modelos:
6.1. Distribuição Binomial ou Distribuição de Berno ulli Seja um experimento com dois resultados possíveis, chamaremos um dos resultados de sucesso e o outro de fracasso. Se a probabilidade do sucesso for p então a probabilidade do fracasso será q = 1 – p. Para calcularmos a probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos em n repetições do experimento, utilizaremos a seguinte fórmula:
xnx qpxnx
nxP −
−= ..
)!!.(
!)(
RECORDANDO! O símbolo fatorial (!) denota o seguinte produto: 5! = 5.4.3.2.1 2! = 2.1 0! = 1 (por definição) Para facilitar nossas contas é importante observar a seguinte propriedade dos fatoriais: 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! Assim,
1202.3
8.9.10
!3!.7
!7.8.9.10
!3!.7
!10 ===
ou seja, desenvolvemos o fatorial do numerador até o maior fatorial do denominador, de maneira que eles se simplificarão.
32
Exemplo 42: Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 2 caras? Sucesso → cara (sempre denotaremos de sucesso o que está sendo pedido)
p = 2
1
q = 1 - 2
1 =
2
1
x = 2 n = 6
2343,064
15
64
1.
2
5.6
16
1.
4
1.
!4!.2
!4.5.6
2
1.
2
1.
!4!.2
!6
2
1.
2
1.
)!26(!2
!6)2(
42262
====
=
−=
−
P
Exemplo 43: Se quisermos agora a probabilidade de ocorrer pelo menos 4 caras? Devemos então calcular P(4)+P(5)+P(6)
3437,064
22
64
1615)6()5()4(
64
1
2
1.
2
1.
!0!.6
!6)6(
64
6
2
1.
32
1.
!1!.5
!5.6
2
1.
2
1.
!1!.5
!6)5(
64
15
64
1.
2
5.6
4
1.
16
1.
!2!.4
!4.5.6
2
1.
2
1.
!2!.4
!6)4(
06
15
24
==++=++
=
=
==
=
===
=
PPP
P
P
P
6.2. Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para determinar a probabilidade de um
evento em um intervalo específico. Esse intervalo pode ser tempo, distância, área ou qualquer unidade análoga. Por exemplo, o número de chamadas telefônicas por minuto, o número de erros de impressão por página de um livro ou ainda, o número de partículas emitidas por uma substância radioativa. A fórmula é dada por:
!
.)(
x
exP
x λλ −
=
onde λ é a média de ocorrência do evento x. Observação:
O número e é um número irracional de grande uso na matemática. Seu valor é aproximadamente 2,71828 e é chamado de algarismo neperiano.
33
Utilizaremos uma tabela para determinarmos os valores de λ−e . Exemplo 43: Suponha que 300 erros de impressão estejam distribuídos aleatoriamente em 500 páginas de um livro. Encontre a probabilidade de em uma página qualquer conter exatamente 2 erros. Precisamos determinar o valor de λ que nessa caso será a média de erros por página, ou seja,
6,0500
300 ==λ
Assim,
0988,02
1976,0
2
549,0.36,0
!2
.6,0)2(
6,02
====−e
P
Exemplo 44: Durante a 2ª Guerra Mundial o sul de Londres foi dividido em 576 sub-regiões de mesma área. A região toda foi atingida por 288 bombas. Escolhida aleatoriamente uma das sub-regiões, determine a probabilidade dela ter sido atingida exatamente 3 vezes.
0126,06
0758,0
2.3
607,0.125,0
!3
.5,0)3(
5,0576
288
5,03
====
==
−eP
λ
6.3. Distribuição Hipergeométrica Seja uma população finita com um número A de sucessos e um número B de fracassos. Se tirarmos uma amostra de n elementos, sem reposição, então a probabilidade de obter x elementos do tipo A será:
)!!.(
)!(
)!)!.((
!.
)!!.(
!)(
nBAn
BA
xnBxn
B
xAx
AxP
−++÷
+−−−=
Exemplo 45: Em uma caixa há 100 parafusos com 10 destes defeituosos. Foram tirados 5 parafusos dessa caixa. Qual a probabilidade de retirarmos exatamente 1 defeituoso? A = 10 B = 90 n = 5 x = 1
3393,09034502400
3066228000
96.97.98.99.100
5.87.88.89.90.10
96.97.98.99.100
2.3.4.5.
2.3.4
87.88.89.90.10
!95.2.3.4.5
!95.96.97.98.99.100
!86.2.3.4
!86.87.88.89.90.
!9
!9.10
!95!.5
!100
!86!.4
!90.
!9!.1
!10)1(
====
=÷=÷=P
34
Exemplo 46: Numa loteria um apostador escolhe 6 números entre 54. Sorteando-se posteriormente uma combinação ganhadora, qual a probabilidade de acertar 5 dentre os 6 números ganhadores? A = 6 B = 48 n = 6 x = 5
000001,001859555880
207360
49.50.51.52.53.54
2.3.4.5.6.48.6
!48.2.3.4.5.6
!48.49.50.51.52.53.54
!47
!47.48.
!5
!5.6
!48!.6
!54
!47!.1
!48.
!1!.5
!6)5(
===
=÷=÷=P
6.4. Distribuição Normal Uma variável aleatória tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e apresenta a forma de um sino:
E é dada pela fórmula:
2
2
.2
)(
..2
1PD
x
P
eD
y
µ
π
−−
=
Pela fórmula verificamos que a distribuição normal depende do valor da média (µ) e do desvio padrão DP.
35
6.4.1. Distribuição Normal Padrão É uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão igual a 1.
Para determinarmos a probabilidade desejada, calculamos a área da região correspondente na curva de Gauss.
Exemplo 47: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine P( 0 ≤ X ≤ 1,2)
Devemos calcular área azul. Porém na prática, utilizamos uma tabela já construída. Essa tabela nos fornece a área da região entre 0 e um valor t. Assim basta procurarmos na tabela o valor 1,2: P( 0 ≤ X ≤ 1,2) = 0,3849 Observações: 1. A área da curva toda é por definição igual a 1. 2. Os lados da curva são simétricos.
36
Exemplo 48: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine:
a) P( 0 ≤ X ≤ 1,42) = 0,4222
b) P( -0,37 ≤ X ≤ 0) = 0,2673
c) P( -1,37 ≤ X ≤ 2,01) = P( 0 ≤ X ≤ 2,01) + P( -1,37 ≤ X ≤ 0) =
= 0,4778 + 0,4147 = 0,8925
d) P( 0,65 ≤ X ≤ 1,26) = P( 0 ≤ X ≤ 1,26) - P( 0 ≤ X ≤ 0,65) = = 0,3962 – 0,2422 = 0,1540
e) P( X ≥ 1,03) = 0,5 – 0,3485 = 0,1515
37
f) P( X ≤ 0,72) = 0,5 + 0,2642 = 0,7642
6.4.2. Distribuição Normal Não Padrão Nossa tabela só pode ser usada quando a variável aleatória tem distribuição normal padrão. Assim quando tivermos trabalhando com uma variável normalmente distribuída não padrão, devemos padronizá-la, aplicando a seguinte fórmula:
PD
xz
µ−=
onde x é o valor na distribuição não padrão e z é o valor padronizado.
Exemplo 49: Suponha que a temperatura durante o mês de junho seja normalmente distribuída com média de 25° C e desvio padrão de 2° C. Encontre a probabilidade de a temperatura num certo dia de junho estar entre 20° C e 28° C.
Queremos saber o valor de P( 20 ≤ X ≤ 28). Para que possamos utilizar a tabela devemos tornar essa variável padrão:
5,12
2528
5,22
2520
=−=
−=−=
z
z
Assim temos que P( 20 ≤ X ≤ 28) = P( -2,5 ≤ Z ≤ 1,5) E agora podemos utilizar a tabela:
Portanto: P( 20 ≤ X ≤ 28) = P( -2,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,927
38
Exemplo 50: Suponha que as idades de 800 pacientes sejam normalmente distribuídas com média igual a 66 anos e desvio padrão de 5 anos. Encontre o número de pacientes com idade maior ou igual a 72 anos.
1151,03849,05,0)2,1()72(
2,15
6672
=−=≥=≥
=−=
ZPXP
z
Assim o número de pacientes com idade superior a 72 anos é: 0,1151 . 800 = 92 pacientes
Exercícios :
14. Um time A tem 3
2 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A jogar 4 partidas,
encontre a probabilidade de A vencer: a) Exatamente 2 partidas;
2962,081
24
81
4.6
9
1.
9
4.
2!.2
!2.3.4
3
1.
3
2.
!2!.2
!4)2(
22
====
=P
b) Pelo menos uma partida;
9877,00123,01)4()3()2()1(
0123,081
1
3
1.
3
2.
!4!.0
!4)0(
)0(1)4()3()2()1(40
=−=+++
==
=
−=+++
PPPP
P
PPPPP
c) Mais que a metade das partidas
5925,081
48
81
16
81
32)4()3(
81
16
3
1.
3
2.
!0!.4
!4)4(
81
32
81
8.4
3
1.
27
8.
!3
!3.4
3
1.
3
2.
!1!.3
!4)3(
04
13
==+=+
=
=
===
=
PP
P
P
39
15. Suponha que 180 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 200 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: a) Nenhum erro;
407,0!0
.9,0)0(
9,0200
180
9,00
==
==
−eP
λ
b) 1 erro;
3663,0407,0.9,0!1
.9,0)1(
9,01
===−e
P
c) 2 erros.
1648,02
3296,0
2
407,0.81,0
!2
.9,0)2(
9,02
====−e
P
16. Numa sala de aula tem 45 alunos sendo 60\% mulheres. Numa prova apenas 10 alunos obtiveram nota superior a 8. Qual a probabilidade de existirem 8 mulheres nesse grupo? A = 27 B = 18 n = 10 x = 8
2129,0773378736
164689200
8.37.38.39.41.43
17.24.25.26.2736.37.38.39.40.41.42.43.44.45
2.3.4.5.6.7.8.9.10.
2
17.18.
2.3.4.5.76.8
20.21.22.23.24.25.26.27!35.2.3.4.5.6.7.8.9.10
!35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45
!16.2
!16.17.18.
!19.2.3.4.5.6.7.8
!19.20.21.22.23.24.25.26.27!35!.10
!45
!16!.2
!18.
!19!.8
!27)8(
===
==
=÷=
=÷=P
17. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre: a) P( -0,81 ≤ X ≤ 1,13) b) P( 0,53 ≤ X ≤ 2,03) c) P( X ≤ 0,73) d) P(X ≥ 0,25)
40
18. Suponha que os pesos de 2.000 estudantes do sexo masculino sejam distribuídos normalmente com média de 70kg e desvio padrão de 8kg. Encontre o número de estudantes com peso: a) Menor ou igual a 60kg;
1056,03944,05,0)25,1()60(
25,18
7060
=−=−≤=≤
−=−=
ZPXP
z
b) Entre 65kg e 68kg;
1337,00987,02324,0)25,062,0()6865(
25,08
7068
625,08
7065
=−=−≤≤−=≤≤
−=−=
−=−=
ZPXP
z
z
c) Maior ou igual a 80kg.
1056,03944,05,0)25,1()80(
25,18
7080
=−=≥=≥
=−=
ZPXP
z
41
7. Teste de Hipóteses
7.1. Definição de Hipótese:
Uma Hipótese, em Estatística, é uma afirmação feita sobre uma propriedade de uma população. Exemplos de hipóteses:
• Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano não é igual a 37º C. • A porcentagem de motoristas hospitalizados em conseqüência de acidentes é menor
no caso de carros equipados com airbag do que no caso sem esse equipamento. • Quando se utilizam equipamentos novos na fabricação de altímetros para aviões, a
variação nos erros é reduzida tornando os dados mais consistentes.
Antes de iniciar o cálculo de uma probabilidade baseada numa hipótese, devemos analisar uma amostra para distinguir entre resultados que podem ocorrer facilmente e os que dificilmente ocorrem. Vejamos o exemplo seguinte: Exemplo 51: Uma empresa americana lançou um produto que garantia que os casais aumentariam em 85% a chance de terem um filho e em 80% a de terem uma filha. Esse produto era vendido numa embalagem azul se o casal quisesse um menino e numa embalagem rosa se quisessem uma menina. Suponha que se fez um experimento com 100 casais que queriam ter meninas e que todos seguiram as instruções corretas da embalagem rosa. O que se pode concluir sobre a eficácia desse produto se as 100 crianças compreendem:
a) 52 meninas? b) 97 meninas?
Solução: a) Normalmente esperamos de 100 crianças que 50 sejam meninas, assim o
resultado de 52 meninas está próxima dos 50 esperados e então não podemos concluir que o produto seja eficaz. Pois sem a utilização do produto esses casais poderiam obter o mesmo resultado.
b) A ocorrência de 97 meninas entre 100 crianças é extremamente improvável e
poderia se r explicada de duas maneiras: ou ocorreu algo raro por puro acaso ou o produto é realmente eficaz. Como a chance de nascer 97 meninas por puro acaso é baixa, concluímos então que o produto é eficaz.
:
42
7.2. Hipótese Nula e Hipótese Alternativa Hipótese Nula: (denotada por H0) é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro
populacional que se deseja aceitar ou rejeitar. Hipótese Alternativa: (denotada por H1) é a hipótese contraditória, ou seja, é a afirmativa
que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa.
7.3. Erros do Tipo I e II Erro do Tipo I: Consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
A probabilidade de ocorrer um erro do tipo I é chamada de nível de significância e se denota por αααα. O valor de αααα é normalmente pré-determinado. Erro do tipo II: Consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa.
Usa-se o símbolo ββββ para representar a probabilidade de um erro do tipo II e ββββ pode ser desconhecido. Controle dos erros de Tipo I e II:
Uma das etapas do teste de hipóteses é a escolha do nível de significância αααα. Entretanto não escolhemos o valor de ββββ. Matematicamente os valores de αααα, ββββ e n (tamanho da amostra) estão correlacionados, então na prática determinamos os valores de αααα e n, e assim ββββ seria determinado.
A escolha de αααα depende da seriedade do erro do tipo I. Para erros do tipo I com conseqüências sérias devemos escolher valores pequenos de αααα. E então se escolhe um tamanho n de amostra tão grande quanto for razoável para analisar a hipótese. Exemplificando: Um pacote de bombons do tipo M&M contém 1498 unidades e o peso médio de cada bombom deve ser pelo menos 0,9085g, pois o pacote anuncia o peso total de 1361g. Um pacote de aspirinas contém 30 tabletes, cada um com 325mg de aspirina. Se o peso médio dos bombons não for 0,9085g as conseqüências serão irrelevantes, inclusive se o peso for maior ninguém reclamará. Ao contrário se os tabletes conterem mais aspirina do que o necessário, a empresa fabricante poderá ser acionada na justiça pois poderão fazer mal aos consumidores. Dessa maneira ao testar a afirmação µµµµ = 0,9085g para os bombons podemos escolher αααα = 0,05 e um tamanho de amostra n = 100; já para testar a afirmação µµµµ = 325mg para os tabletes de aspirina podemos escolher αααα = 0,0 e um tamanho de amostra n = 500.
43
7.4. Testes unilateral e bilateral Para entender os teste unilateral e bilateral precisamos saber o que é uma região crítica. Região Crítica: É o conjunto de todos os valores que levam à rejeição da hipótese nula. Exemplo 52: Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano é 37º C. Numa amostra com 100 pessoas sadias acusou que a temperatura média era de 36,4º C com desvio padrão de 0,3º C. Seguindo uma distribuição normal teríamos:
23,0
6,0
3,0
374,36 −=−=−=z
Nesse exemplo a região crítica consiste nos valores inferiores a z = -2 ou superiores a z = 2.
• Teste Bilateral: quando a região crítica está situada nas duas regiões extremas da curva. Rejeitamos a hipótese nula se nossa estatística de teste estiver na região crítica. Nesses casos o nível se significância é dividido igualmente entre as duas regiões que constituem a região crítica.
• Teste Unilateral: quando a região crítica está localizada em apenas uma das regiões extremas. Pode ser Unilateral esquerdo quando a região crítica é a região da esquerda ou Unilateral direito se for a região da direita. Nesses casos a área da região crítica é αααα.
44
Exemplo 53: Após obter amostras nas bombas de gasolina de um posto, uma agência de propaganda afirmou que os consumidores estão sendo prejudicados em virtude da seguinte condição: quando o marcador indica 1 galão, a quantidade média de combustível é inferior a 1 galão.
a) Expresse a afirmação de que os consumidores estão sendo prejudicados µ < 1 b) Identifique a hipótese nula: H0
H0 = µ ≥ 1 (deve sempre ter a igualdade)
c) Identifique a hipótese alternativa: H1 H1 = µ < 1 d) Identifique esse teste como bilateral, unilateral esquerdo ou unilateral direito Esse teste é unilateral esquerdo pois a hipótese nula é rejeitada se µ < 1, ou seja, para valores menores que 1.
Exemplo 54: Muitos passageiros de navios de cruzeiro utilizam adesivos para evitar o enjôo. Testa-se uma afirmação sobre a quantidade da dosagem média, com nível de significância α = 0,05. Utilizando uma distribuição normal, determine os valores que determinam a região crítica quando o teste é:
a) Bilateral b) Unilateral esquerda c) Unilateral direita
Solução:
a) Como o teste é bilateral o valor de α é dividido entre as duas regiões o que determina uma área de 0,025 em cada região. Para encontrar o valor na tabela de distribuição normal padrão, precisamos achar a área vermelha 0,5 - 0,025 = 0,475. Procurando na tabela vemos que z = 1,96 e z = - 1,96.
b) Em um teste unilateral esquerdo temos α = 0,05 que é a área da região crítica à
esquerda de maneira que a área vermelha é igual a 0,5 – 0,05 = 0,45. Olhando na tabela encontramos z = -1,645.
c) Como a distribuição é simétrica, para o teste unilateral direito encontraremos z = 1,645.
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Bibliografia
� Triola, M. – Introdução à Estatística. Editora LTC.
� Soares, J. F.; Farias, A. A. e César C. C. – Introdução à estatística. Editora Guanabara.
� Tanaka, O. K. e Pereira, W. – Estatística: conceitos básicos. Editora
Makron Books.
� Lipschutz, S. – Probabilidade. Editora Makron Books.