APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Binomial

Considere: p a probabilidade de sucesso;q = 1-p a probabilidade de insucesso(fracasso);

A probabilidade do evento acontecer exatamente x vezes, em n tentativas (x sucessos e n-x insucessos) é definida por:

xnxqpx

nP(x)

Função DistrBinom: calcula a Prob.de x sucessos (cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0 (cumulativo=1) até o valor estipulado.

Exemplo 1:

A porcentagem de neutrofilos numa amostra de sangue é de 70%. Qual a probabilidade de encontrar 50% de neutrofilos tomando-se 20 leucócitos ao acaso?

0,0308(0,3)(0,7)10

20P(10) 1010

p(x 1) = p(0)+p(1)

0,16807(0,7)(0,3)0

5P(0) 50

36015,0)7,0()3,0(1

5)1(P 41

Exemplo 2:

Uma infecção experimental em camundongos determina morte de 30% dos animais a ela submetidos, 70% sobrevivendo. Qual a probabilidade de obter num lote de 5 animais, uma mortalidade de, no máximo 20%?

APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Poisson

Definição Considere X uma variável aleatória com os seguintes valores: 0,1,2,3,...,n. A probabilidade de assumir um valor k é dada pela fórmula de distribuição de probabilidade:

!k

ek)P(X

k

Função Poisson: calcula a Prob.de x sucessos (cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0 (cumulativo=1) até o valor estipulado.

Nº DE ÓBITOS Nº DE CONDADOS

0 18

1 13

2 3

3 ou mais 0

TOTAL 34

Exemplo: Mortes por esclerose múltipla, em uma determinada população.

Encontrar os valores esperados, admitindo uma distribuição de Poisson.

APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição

Normal

Características:1.A área sob a curva normal é igual a 1;2.Como a distribuição é continua, só faz sentido calcular a Prob.de X assumir valores dentro de intervalos;3.Como a média é igual à mediana, a Prob. de se obter um valor inferior à média é igual a 0,50;4.A maior concentração de freqüências ocorre no centro da distrbuição, isto é, em torno da média.

Função Dist.norm: calcula a área da curva normal de menos infinito (cumulativo=1) até o valor estipulado (X).

APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal

Exemplo 3.

Seja a variável X = altura de indivíduos adultos, com distribuição aproximadamente normal, com média m = 1,65 m e desvio padrão = 0,09 m. Ou seja, X N(1,65;0,09).

Qual a proporção de indivíduos desta população que mede 1,65 m e 1,80 m?

APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal

A curva normal padronizada é dada por:

padrãodesvio

médiaxz

Exemplos: Calcular1) P(0 z 1,96) 4) P(-2 z 2)2) P(0 z 2,56) 5) P(-3 z 3)3) P(1,44 z 1,96)

Função Dist.normp: calcula a área da curva normal de menos infinito (cumulativo=1) até o valor estipulado (z).

Exemplo 4

1. Seja a variável X = altura de indivíduos adultos, com distribuição aproximadamente normal, com média m = 1,65 m e desvio padrão = 0,09 m. Ou seja, X N(1,65;0,09).

Calcular a proporção de indivíduos desta população que mede 1,65 m e 1,80 m, ou seja, entre a média da distribuição e 1,80 m. Para isso transformar o valor x = 1,80 m em um específico valor z, usando a relação.

,zmx

.67,109,0

15,0

09,0

65,180,1

Função Padronizar: calcula o valor de z, ao se digitarem os valores de x, da média e do desvio-padrão.

Com variância conhecida

Conforme mostrado na aula anterior, o intervalo de confiança bilateral de 100 (1- )% para é dado por:

Intervalo de Confiança para a Média

nzX

nzX

2/2/

Função Int.Confiança: calcula o valor do erro de amostragem dado os valores de alfa, desvio-padrão e tamanho da amostra.

Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias 1, 2 e variâncias 1

2 e 22 .

Retire uma amostra aleatória de tamanho n1 da primeira população, com uma variância s1

2, e outra amostra aleatória de tamanho n2 da segunda população com variância s2

2 .

A Distribuição F

A estatística indica a relação entre as razões das variâncias amostral e da população.

)//()/( 22

22

21

21 ss

Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então:

F=s12 /s2

2. A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F

No menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F. .

Função TesteF: realiza o teste de igualdade de variância dado os valores da amostra1 e da amostra2 e do valor de alfa.

Exemplo: Considere as medidas de alturas de alunos e alunas da disciplina RGM 5837.F 1,60 1,65 1,54 1,55 1,59 1,65 1,73 1,71 1,73 M 1,71 1,72 1,92 1,73 1,83 1,80 1,82 1,76 1,75Considerando-se uma confiança de 95%, pode-se afirmar que as variâncias são iguais?

Exercício sobre o Teste F

No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de variâncias.

Considerando iguais as variâncias das populaçõesA variável aleatória X1 é modelada por uma distribuição de Gauss com média 1 e variância 1

2, isto é, X1~N(1, 12) e a

variável X2, também é de Gauss, isto é, X2~N(2, 22)

Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias

O intervalo de 100 (1-)% de confiança para a diferença (1 - 2 ) entre as médias das duas populações é dado por:

212,2/2121

212,2/21

11)(

112121 nnstXX

nnstXX pnnpnn

Com a variância comum, ponderada, dada por:

2

)1()1(

21

222

2112

nn

snsns p

Considere uma população de tamanho n que tem uma distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z1

2, z22, ..., zn

2. A distribuição qui-quadrado(2) é definida como a soma dos quadrados dos n valores de zi:2=z1

2 + z22 + z3

2 + ... + zn2

A Distribuição Qui-quadrado

Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade 2 que poderá ser representado por um histograma.

Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

No menu Colar função, escolher Estatística e a opção INV.QUI ou DIST.QUI.

Exemplo com o Excel

TESTES DE HIPÓTESES

Exemplos1. Suponha que um medicamento P tenha, com relação a uma doença, uma eficiência de curas da ordem de 50%.

Admita, ainda, que o laboratório esteja interessado em lançar no mercado um novo medicamento N cuja eficiência, com relação à mesma doença, seja EN, esperada superior a EP.

H0 EN = 50%

H1 EN 50%

O objetivo é testar a hipótese de que os dois medicamentos têm a mesma eficiência contra a hipótese de que o medicamento N é mais eficiente do que o padrão (P)

H0 EN = EP

H1 EN EP

ou

TESTES DE HIPÓTESESExemplos2. Suponha que um levantamento realizado na população de postos de gasolina do Estado de São Paulo tenha fornecido a média de R$ 1,437.Após, o atentado de 11 de setembro houve um aumento de preço do petróleo no mercado internacional. Temendo as repercussões sobre a inflação doméstica, o governo reduziu os impostos sobre a gasolina.

Pela cultura de inflação no Brasil, parece que o preço da gasolina aumentou nos postos do Estado assim, o governo selecionou uma amostra de 36 postos para testar a hipótese de que houve aumento de preços.

TESTES DE HIPÓTESES

Selecionada a amostra e colhidos os preços, encontrou-se média maior que R$ 1,437, a antiga média da população.Há evidência suficiente para concluir que os preços da gasolina aumentaram no Estado de São Paulo?

ELEMENTOS DE UM TESTE ESTATÍSTICO

• A hipótese alternativa, Ha ou H1

• O teste estatístico

• A região de não rejeição

• A hipótese nula, H0

Região de não rejeição

Região de não rejeição

Para testar H0 contra H1, suponha a realização do seguinte experimento:

Toma-se uma amostra de indivíduos apresentando as características da doença e casualmente aplica-se os dois medicamentos. Por exemplo, 20 indivíduos, 10 tomam o medicamento P e o restante o N.

Ao final do experimento, com os resultados obtidos, o laboratório deverá tomar uma decisão, entre duas possíveis:

• aceitar H0, ou seja, o medicamento N tem a mesma eficiência que o P.

• rejeitar H0 (aceitar H1), isto é, o medicamento N tem eficiência maior que o P.

• se for tomada a primeira decisão (aceitar H0), não se estará cometendo erro

• se for tomada a segunda decisão (rejeitar H0 ), comete-se um erro, denominado tipo I que consiste em rejeitar H0 quando H0 é verdadeira, cuja probabilidade de ocorrência é o .

Ao tomar uma decisão o laboratório estará cometendo algum tipo de erro?

a) Suponha que H0 seja realmente verdadeira

b) Suponha que H1 seja realmente verdadeira:

se for tomada a primeira decisão (aceitar H0), comete-se um erro, denominado tipo II que consiste em aceitar H0 quando H0 é falsa, cuja probabilidade de ocorrência é .

EM RESUMO

Verdade

Decisão

H0 H1

H0

H1

Não há erro

Erro tipo I = Rejeitar H0

(aceitar H1) quando H0 éverdadeira (H1 é falso)

Erro tipo II = Aceitar H0

(rejeitar H1) quando H0 éfalso (H1 é verdadeiro)

Não há erro

b) Ao reduzir um ocorre aumento no outro ;

c) A única maneira de reduzir ambos é aumentando o tamanho da amostra;

a) Os dois erros são igualmente importantes, porém depende do problema;

OBSERVAÇÕES

d) Em geral, fixa-se o e o é o menor possível;

e) A escolha prévia do valor de , não é um problema estatístico e sim do pesquisador interessado em testar H0 contra H1.

OBSERVAÇÕES

Resumo:

Funções: 1. DistrBinom 2. Poisson 3. Dist.norm4. Dist.normp5. Padronizar6. Int.Confiança7. TesteF:duas amostras