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Probabilidade e EstatProbabilidade e Estat íísticastica

Prof. Dr. Narciso GonProf. Dr. Narciso Gon ççalves da Silvaalves da Silvahttp://paginahttp://pagina pessoal.utfpr.edu.br/ngsilvapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

DistribuiDistribuiDistribuiDistribuiçççções Contões Contões Contões Contíííínuas de Probabilidadenuas de Probabilidadenuas de Probabilidadenuas de Probabilidade

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Distribui

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Distribui

Distribui çç çções Cont

ões Cont

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ões Cont íí íínuas de Probabilidade

nuas de Probabilidade



Distribuição Uniforme

Uma variável aleatória contínua X está uniformemente distribuída no intervalo (a, b) se a sua função densidade de probabilidade é dada por:

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ões Cont

ões Cont






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Distribui

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ões Cont

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Exemplo:A espessura de chapas fabricadas numa indústria estáuniformemente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm. a) De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm?b) Qual deve ser a espessura de modo que 40% das chapas não excedam essa espessura?Respostas: a) P(X > 1,00 cm) = 20% n = 40 chapas

b) x = 0,92 cm

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





Distribuição Exponencial

Considere um Experimento de Poisson com parâmetro .λ

A variável aleatória contínua X está exponencialmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade édada por:

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Distribui

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ões Cont

ões Cont






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Distribui

Distribui

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ões Cont

ões Cont






Exemplo:Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída com função densidade de probabilidade dada por:

Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia para cada 1000 lâmpadas fabricadas.

Resposta: 12 lâmpadas

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Distribuição NormalUma variável aleatória contínua X está normalmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade édada por:

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ões Cont

ões Cont





Utiliza-se a notação: X ~ N(µ,σ2)Por exemplo: X ~ N(3, 4)

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Distribuição NormalPropriedades:

1ª) f(x) tem um ponto de inflexão em µ - σ e outro em µ + σ;

2ª) f(x) tende a zero quando x tende a +∞ ou -∞;

3ª) f(x) é simétrica com relação à média µ;

Distribui

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ões Cont

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4ª) f(x) tem um ponto de máximo em x = µ e f(x) =πσ 2

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Distribuição NormalDistribui

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ões Cont

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Propriedades:

5ª) A área abaixo da função é igual a 1;

6ª) A distribuição normal é classificada como simétrica (A = 0) e mesocúrtica (C = 0,263);

7ª) 68,2% dos dados da variável aleatória estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.


Distribui

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ões Cont

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7ª)

Propriedades:

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Distribuição Normal

É impossível resolver esta integral analiticamente. O resultado desta integral é obtido utilizando métodos numéricos.

Distribui

Distribui

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ões Cont

ões Cont





Logo, o cálculo de probabilidade para variáveis aleatórias normalmente distribuída é obtido através de valores tabelados.

Para evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para cada par de valor (µ,σ2) utiliza-se uma transformação fazendo:

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Esta variável aleatória Z tem uma distribuição de probabilidade denominada distribuição normal padronizada ou normal reduzida.

Distribui

Distribui

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ões Cont

ões Cont





Onde Z é uma variável aleatória contínua que terádistribuição normal com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função densidade de probabilidade definida por:

Desta forma:

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





Exemplo: X ~ N(4,9)

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A tabela Z fornece os valores da área abaixo da função f(z) para diversos pontos desde 0 até 3,99 com acréscimos de 0,01.

Distribui

Distribui

Distribui


ões Cont

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Assim:

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Tabela ZDistribui

Distribui

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ões Cont

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Distribui

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ões Cont

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Exemplos:

a) P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413

c) P(-2,55 < Z ≤ 1,20) = 0,4946 + 0,3849 = 0,8795

b) P(Z > 1,93) = 0,5000 - 0,4732 = 0,0268

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Exercícios

a) P(X ≤ 15,5) =

Distribui

Distribui

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ões Cont

ões Cont





2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão normalmente distribuídos com média de R$ 8000,00 e desvio-padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de funcionários que recebem mais de R$ 9280,00 nesta empresa?

P(Z ≤ 1,75) = 0,50 + 0,4599 = 0,9599

b) P(10 < X ≤ 15) =

1) Sendo X ~ N(12,4), determine:

c) P(X > 9,5) =

P(-1,00 < Z ≤ 1,50) = 0,7745

P(Z > -1,25) = 0,8944

Resposta: P(X > 9280) = P(Z > 2,56) = 0,52%

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Exercícios

3) Os pacientes de um hospital são submetidos a um tratamento de saúde cujo tempo de cura estánormalmente distribuído com média de 15 dias e desvio-padrão de 2 dias.

a) Qual a proporção de pacientes que demora mais de 17 dias para se recuperar?

b) Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?

c) Qual deve ser o tempo máximo necessário para a recuperação de 30% dos pacientes?

Distribui

Distribui

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ões Cont

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Exercícios

4) O diâmetro de um anel industrial é uma variável aleatória normalmente distribuída com média de 0,10 cm e desvio-padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel fabricado diferir da média por mais de 0,03 cm ele évendido por R$ 5,00, caso contrário é vendido por R$ 10,00. Qual é o preço médio de venda de cada anel?(Extraído de Notas de Aula da Profa Márcia O. Erbano)

Distribui

Distribui

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ões Cont

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Distribui

Distribui


ões Cont

ões Cont





Uma aproximação da Distribuição Binomial com parâmetros n e p pode ser obtida pela Distribuição Normal fazendo µ = n.p e σ2 = n.p.(1 – p).

Quando n tende para o infinito, a variável aleatória definida por

está uniformemente distribuída com µ = 0 e σ2 = 1.

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





Exemplos:1) Uma moeda não viciada é lançada 100 vezes. Qual a

probabilidade de sair cara entre 38 e 59 vezes?

2) Uma máquina produz peças de modo que 5% são defeituosas. Se uma amostra de 1000 peças é extraída aleatoriamente, qual a probabilidade de que não mais de 40 peças sejam defeituosas?

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Função GamaDistribui

Distribui

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ões Cont

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A função gama é definida por:

Se α é um número natural, então:

Em particular:

Integrando por partes, tem-se:

Por exemplo:

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Distribuição GamaDistribui

Distribui

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ões Cont

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A variável aleatória contínua X tem distribuição gama quando sua função densidade de probabilidade é dada por:

Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro de escala (β > 0).

Observação:

Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial.

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Distribuição GamaDistribui

Distribui

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ões Cont

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Exemplos de gráficos para β =1

Esperança Matemática: E(X) = α/β

Variância: V(X) = α/β²

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Distribuição Qui-quadrado ( χχχχ2)Distribui

Distribui

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ões Cont

ões Cont





A variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado com φ graus de liberdade (φ ϵ N) quando sua função densidade de probabilidade é dada por:

Fazendo α = φ/2 e β = 2 na fdp da distribuição gama tem-se a fdp da distribuição qui-quadrado.

Observação:

A distribuição qui-quadrado é assimétrica positiva.

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Distribui

Distribui


ões Cont

ões Cont





Esperança Matemática: E(X) = φ

Variância: V(X) = 2φ

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Tabela da Qui-quadrado ( χχχχ2)Distribui

Distribui

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ões Cont

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





Exemplos:

1) Sendo φ = 8 e α = 25%, determine a abscissa da qui-quadrado.

2) Sendo X uma variável aleatória contínua com distribuição qui-quadrado com φ = 20, determine a mediana e o 9º decil da variável aleatória X.

3) Determine as abscissas indicadas no gráfico da distribuição qui-quadrado abaixo, sendo φ = 10.

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Distribuição t de StudentDistribui

Distribui

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ões Cont

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A variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student quando a função densidade de probabilidade é dada por:

Com x real onde φ é o grau de liberdade da distribuição.

• Esperança Matemática: E(X) = 0

• Variância: V(X) = φ/(φ – 2) com φ > 2

Esta distribuição foi desenvolvida pelo químico britânico W. S Gosset, que publicava em 1908 seus trabalhos sob o pseudônimo de “Student”.

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Distribui

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ões Cont

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Observações:

1ª) A distribuição é simétrica com relação a sua média;

2ª) Quanto maior o valor de φ mais se aproxima da distribuição normal padronizada;

3ª) Esta distribuição é muito utilizado para inferências estatísticas para amostra pequenas (n < 30).

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Tabela da distribuição t de StudentDistribui

Distribui

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ões Cont

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





Exemplo:

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com 4 graus de liberdade. Determine o 1o quartil da variável aleatória X.

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Distribuição F (Fisher-Snedecor)Distribui

Distribui

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ões Cont

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A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatória independentes que possuem distribuições qui-quadrado.

A distribuição F com φ1 graus de liberdade no numerador e φ2 graus de liberdade no denominador é definida por:

Esta distribuição foi desenvolvida pelo inglês R.A. Fisher (1890-1962) e pelo americano G. E. Snedecor (1881-1974).

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Distribui

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ões Cont

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





A tabela da distribuição F retorna a abscissa que tem 2,5% ou 5% dos dados na cauda à direita, com φ1 e φ2

graus de liberdade.

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Distribui

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ões Cont

ões Cont





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Distribui

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ões Cont

ões Cont





2) Determine o 5o centil e o 95o centil da variável aleatória X que tem distribuição F com 8 graus de liberdade no numerador e 6 graus de liberdade no denominador.

Propriedade:

Exemplos:

1) Calcular

Resposta:

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