probabilidade
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Prof. Hélio Radke Bittencourt
PROBABILIDADE – T. 490
Conteúdo 1. Análise Combinatória 1.1 Princípio da contagem seqüencial 02 1.2 Permutação, Arranjo e Combinação 02 2. Probabilidade 2.1 Experimentos, Espaço Amostral e Eventos 04 2.2 Operações com eventos 05 2.3 Conceitos de probabilidade 06 2.4 Probabilidade condicional e Independência 08 2.5 Teorema de Bayes 10 3. Variáveis Aleatórias Discretas 3.1 Definições básicas (função de probabilidade, esperança e variância) 11 3.2 Aplicações com árvores de decisão 14 3.3 Principais modelos discretos (Bernoulli, Binomial, Geométrica, Poisson, etc.)
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4. Variáveis Aleatórias Contínuas 4.1 Definições básicas (função densidade, esperança e variância) 24 4.2 Principais modelos contínuos (Uniforme, Exponencial, Normal, etc.) 27 4.3 Tópicos Especiais 37 5. Probabilidade Bivariada 5.1 Distribuições conjuntas de probabilidade 42 5.2 Covariância e Correlação 45 6. Aplicações 6.1 Noções de simulação (Monte Carlo) NC 6.2 Processos estocásticos NC
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Cap. 1 – Análise Combinatória 1.1 – Princípio da Contagem seqüencial Suponha duas ou mais ações que devam ser executadas em uma ordem definida. Se existem m possibilidades na primeira ação, n na segunda e p na terceira, o número de possibilidades conjuntas é dado por mpn. Exemplos: Suponha uma empresa que vai adquirir uma máquina. Há 4 marcas disponíveis no mercado (A,B,C,D) e 3 tipos de combustível (Gás, Diesel, EE). Desenhe uma árvore de possibilidades. 1.2 Permutação, Arranjo e Combinação Permutação: São agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. Pn = n! Exemplos: Três pessoas (Álvaro, Benito e Carlos) Arranjo: é uma seqüência de k elementos distintos escolhidos de um total de n elementos onde a ordem importa.
)!(!kn
nAkn −=
Obs.: Quando n=k temos uma Permutação. Há livros que não diferenciam Arranjo e Permutação. Exemplo: Quatro pessoas para 3 medalhas. Numa eleição temos 10 candidatos, todos podendo ser presidente ou vice. Arranjo com repetição: neste caso o mesmo elemento pode aparecer mais de uma vez na mesma seqüência. O arranjo com repetição é a aplicação direta do princípio da contagem seqüencial.
kkn nA =)(
Exemplo: Placas de carro. Qual o número de combinações no Brasil e Argentina? Sorteio de um prêmio com reposição
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Combinação: uma combinação de k elementos em n elementos pode ser imaginada como uma maneira de selecionar k objetos de uma coleção de n objetos sem que importe a ordem. Não há reposição. O número de possíveis combinações é: Exemplo: Formação de grupos na sala de aula. Fornecedores selecionados numa amostra aleatória Exercícios: 1) Seleção de comissões: uma CPI deve ser constituída de dois senadores e três deputados. Sabe-se que, atualmente, há 81 senadores e 484 deputados. Qual o número de diferentes possíveis comissões? 2) O alfabeto tem 26 letras. Suponha uma senha de cinco letras. Calcule o número de senhas possíveis com e sem repetição de letras. 3) Calcule o número de diferentes resultados possíveis na: Mega Sena e Loteria Esportiva (13 jogos). 4) Cinco operadores de máquina estão competindo para ver quem é o mais eficiente. Quantos possíveis resultados diferentes poderemos ter? 5) O “Teclado Virtual” do Banco do Brasil tem teclas (de 0 a 9) que são dispostas aleatoriamente. Quantas possíveis seqüências de apresentação do teclado existem? 6) Os oito primeiros colocados da Fórmula 1 pontuam. Numa corrida com 22 concorrentes, quantas são as diferentes possibilidades na zona de pontuação? 7) Seis candidatos foram selecionados para uma vaga de Engenheiro de Produção. Todos devem se apresentar entre 9h e 10h de um certo dia e o chamamento será por ordem de chegada. De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a fila? 8) (Humor) Scooby, Salsicha, Welma, Fred e Daphne formam uma equipe. Para resolver um mistério eles se separam em dois grupos (um com dois e outro com três integrantes). Qual a probabilidade da dupla Scooby/Salsicha ser formada?
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Cap. 2 – Probabilidade 2.1 – Experimentos, Espaço Amostral e Eventos Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de experimento aleatório. Características de um experimento aleatório: 1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado, porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades; 2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições aumenta, uma regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático útil para análise do experimento. Exemplos de fenômenos aleatórios: 1) Condições meteorológicas 2) Produção de arroz anual numa cidade 3) Mercado Financeiro 4) Lançamento de uma moeda 5) Resultados de loterias Exemplos de experimentos aleatórios: E1: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima. E2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido. E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de caras e coroas obtida. E4: O estado (conforme, não-conforme) de três peças produzidas é verificado. E5: O número de peças produzidas até a obtenção de uma defeituosa é anotado. E6: A temperatura de uma máquina é verificada por um supervisor. Nos seis exemplos anteriores não somos capazes de precisar o resultado, entretanto conseguimos listar os possíveis resultados. Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. É denotado por S ou Ω. A cardinalidade do espaço amostra é denotada por #.
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Exemplos de espaços amostrais relacionados aos experimentos anteriores. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = Um evento é um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ (conjunto vazio) são eventos; S é dito o evento certo e ∅ o evento impossível. Exemplo de eventos no lançamento de um dado S = 1,2,3,4,5,6 A: ocorre um n.º par A = 2,4,6 B: ocorre a face 6 B = 6 C: ocorre um n.º maior que 6 C = ∅ D: ocorre nº 6 ou nº par D = 2,4,6 E: ocorre nº par ou nº ímpar E = 1,2,3,4,5,6 = S 2.2 Operações com eventos É possível realizar operações com eventos que nada mais são do que as operações com conjuntos já estudadas no Ensino Fundamental. Operações com eventos Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 1) União: A∪B → A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem 2) Interseção: A∩B → A ocorre e B ocorre 3) Complementar: Ac ou A → não ocorre A
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Duas definições importantes: 1) Dois eventos A e B são excludentes ou mutuamente exclusivos se a ocorrência de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, não podem ocorrer simultaneamentee, logo, P(A∩B)=0. 2) Eventos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrência. Se A e B são equiprováveis, então P(A)=P(B). Exemplo – Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a probabilidade de um particular par (x,y) ser selecionado. Assinale os seguintes eventos: 2.3 Conceitos de probabilidade Os conceitos de probabilidade podem ser enunciados de três formas distintas. O conceito clássico - simples e antigo; o conceito frequentista - baseado na observação e o conceito moderno ou axiomático introduzido pelo russo Andrei Kolmogorov em 1933. Considere P(A) = probabilidade de ocorrência do evento A. ⇒ Conceito clássico Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por:
)(
)()(STotal
AnAP = n(A) é o número de resultados favoráveis ao evento A
Total (s) é o número total de resultados em S Exemplos – Conceito clássico Mega-sena, Lançamento de moedas e dados honestos.
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⇒ Conceito freqüentista Neste conceito a probabilidade é tratada como um limite. Aqui é possível fazer uma relação entre probabilidade (teórica) e estatística (empírica). Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: 1º) O experimento é repetido n vezes. 2º) Observa-se a freqüência relativa de ocorrência de um certo resultado A:
fr(A) = ,)(nAn
onde n(A) é o nº de vezes em que ocorre o resultado A em n realizações do
experimento. 3º) Probabilidade como limite. A medida que n aumenta, a fr(A) converge para a real probabilidade P(A).
)A(P)A(frlimn =∞→ Exemplos – Conceito freqüentista 1) Verificando se um dado é honesto. 2) Encontrando a probabilidade de ocorrência de um acidente aéreo. 3) Qual a probabilidade de uma criança nascer com Síndrome de Down ? TAREFA 1: Se virando no Excel... Desenvolver um dado no EXCEL de forma que seja possível verificar o funcionamento do Conceito Frequentista. Verifique se a fr(6) converge para 1/6 à medida que n aumenta. Dica: Veja como podemos fazer uma moeda no Excel e como contar quantas caras ocorreu: =SE(ALEATÓRIO()<0,5;”Cara”;”Coroa”) Se o número aleatório entre 0 e 1 gerado pelo Excel for inferior a 0,5,então escreva “Cara”; caso contrário escreva “Coroa”. Depois, copie e cole esta fórmula para as células A2 até A1000. = CONT.SE(A2:A1000;”Cara”) O Excel irá contar quantas vezes aparece a palavra “Cara” entre as células A1 e A1000.
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⇒ Conceito Axiomático Os Axiomas da Probabilidade devem-se ao russo Kolmogorov. Seja A um evento de S. A probabilidade de ocorrência de A, denotada por P(A), deverá satisfazer os seguintes axiomas (propriedades fundamentais). Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Axioma 2: P(S) = 1
Axioma 3: Para eventos Ai excludentes, P(A1 ∩ A2) = P(A1) + P(A2)
2.4 Probabilidade Condicional e Independência A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Considere que A e B são eventos de um mesmo espaço amostral S. Chamaremos de P(A|B) a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento B já ocorreu. Graficamente: Olhando para o desenho podemos estabelecer as seguintes relações: P(A|B) = P(B|A) = Exemplo – Escolhendo alguém na sala de aula Suponha que um aluno da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz algumas perguntas utilizando probabilidade condicional.
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Exemplo – Fornecedor X Devoluções
Devolução
Fornecedor Sim Não Total
A 30 50 80
B 60 40 100
C 50 50 100
Total 140 140 280
Resolver as seguintes probabilidades: => Independência Dois eventos A e B são considerados independentes se a ocorrência de um não interfere na probabilidade de ocorrência do outro:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) Isolando a intersecção na expressão de probabilidade condicional obtemos:
P(A∩B) = P(A) x P(B) Esse conceito é fundamental para aplicações em Estatística. Exemplo – Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos. Exemplo – Três operadores diferentes realizam a mesma tarefa em máquinas distintas. Eles produzem caixas com três peças, cada uma feita por um operado. A probabilidade do operador A falhar é de 3/1000 ; do operador B 5/1000 e do operador C, 1/100. Qual a probabilidade de haver pelo menos uma peça defeituosa nesta caixa?
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2.5 Teorema de Bayes Considere um espaço amostral formado por n eventos Ai excludentes de forma que A1∩A2∩...∩An = S. Suponha que as probabilidades dos Ai´s sejam conhecidas bem como todas as condicionais P(B|Ai). Será possível determinar a probabilidade P(Ai|B)? Dedução da “Regra de Bayes”:
...)B(P
)A|B(P)A(P)B(P
)BA(P)B|A(P iii
i =×
=∩
=
Exemplo – Máquinas e não-conformidade Uma empresa possui três máquinas (A,B,C) com as seguintes probabilidades de produção de uma peça não-conforme (NC): 1%, 2% e 5%. A máquina A é responsável por 40% da produção; a máquina B por 50% e a máquina C é responsável pelo restante. a) Se uma peça não-conforme é encontrada, qual a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina A? Encontre as probabilidades para as máquinas B e C também. b) Qual a probabilidade de uma peça não-conforme ser encontrada na produção conjunta? Exemplo – Bayes numa tabela cruzada Suponha uma sala de aula com 60 alunos, sendo 30 das Ciências da Computação, 20 da Engenharia Elétrica e 10 da Eng de Produção. Sabe-se que, nesta turma, 20 alunos estão em G2, sendo 12 da CCO e seis da EEL. Sabendo que um aluno está em G2, qual a probabilidade ele ser a Eng de Produção?
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Cap. 3 – Variáveis aleatórias discretas 3.1 Definições Básicas Uma variável aleatória discreta X é uma função que associa números aos resultados do Espaço Amostral. Exemplo – Prova Para exemplificar vamos admitir uma prova composta de n=4 questões com cinco alternativas cada onde apenas uma está correta. Q1) a) b) c) d) e) Q2) a) b) c) d) e) Q3) a) b) c) d) e) Q4) a) b) c) d) e) Escreva o espaço amostral S considerando apenas questão certa (C) ou errada (E). S = EEEE; CEEE; CCEE; CCCE; CCCC onde temos 24 = 16 ECEE; CECE; CCEC; EECE; CEEC; CECC; EEEC; ECCE; ECCC; ECEC EECC Agora considere X=número de acertos em cada ponto amostral de S. Logo, os valores possíveis para X são 0,1,2,3 ou 4. O resultado EEEE implica em X=0; os resultados CEEE, ECEE, EECE, EEEC implicam num X=1, etc. A função de probabilidade de X, denotada por P(X=x) ou f(x), indica o comportamento probabilístico de X. Neste caso:
x 0 1 2 3 4 P(X=x)
Características da função de probabilidade: 1a) 1)(0 ≤=≤ xXP
2a) ∑ ==x
xXP 1)(
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A função de probabilidade pode ser representada graficamente. A Função de probabilidade acumulada de X, denotada por F(X) ou )xX(P ≤ , indica a probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a x. Características da F(X) ou : )xX(P ≤1a) Ela é contínua à direita; 2a) e 0=−∞ )(F 1=∞ )(F3a) é sempre não decrescente. )x(F Graficamente: 3.1.1 Esperança e Variância de uma Variável Aleatória Discreta O valor esperado ou esperança de uma variável discreta é o seu “centro de equilíbrio”. É uma média da variável X, mas do ponto de vista teórica, sem coleta de dados empíricos. A esperança de uma variável discreta é calculada por:
∑ =×=x
)xX(Px)X(E
Exemplo – Prova Calcular o número esperado de acertos no caso da prova. A variância de uma variável aleatória discreta indica a variabilidade em torno de sua média. A expressão da variância pode ser melhor entendida se comparada a expressão da variância que aprendemos em Estatística Descritiva:
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( )[ ] ( ) [ ]222 )X(EXE)X(EXE)X(Var −==−= K O desvio-padrão, conseqüentemente é encontrado extraindo-se a raiz quadrada positiva da variância:
)X(Var)X(DP = Exemplo - Prova Encontrar a variância e o desvio-padrão para o número de acertos na prova. Exemplo – Dados Criar a variável X=soma das faces no lançamento de dois dados e construir a sua função de probabilidade. Exercício completo – Para a função de probabilidade a segui, encontre o valor de k, construa a distribuição acumulada, encontre a Esperança e a Variância de X.
x 0 1 2 3 4 P(X=x) 0,35 0,30 0,20 k 0,05
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3.2 Árvores de decisão Há RISCO quando são conhecidos os estados futuros que possam ocorrer e suas respectivas probabilidades de ocorrência. Há INCERTEZA quando não são conhecidos os estados futuros e/ou suas probabilidades de ocorrência.
• Ajudam a lidar com situações complexas e a tomar decisões difíceis
• Ampliam a sua compreensão dos fatores que afetam a situação em que você se encontra
• Melhoram o seu desempenho como tomador de boas decisões
• Ajudam a lidar com situações complexas e a tomar decisões difíceis
• Ampliam a sua compreensão dos fatores que afetam a situação em que você se encontra
• Melhoram o seu desempenho como tomador de boas decisões
O que as técnicas de tomada de decisão podem fazer
O que as técnicas de tomada de decisão podem fazer
• Não consideram todos os fatores envolvidos, pela simples impossibilidade de modelar a realidade de forma perfeita
• Não tornam os fatores mais controláveis pelo simples fato de que você os compreende
• Não o impedem de tomar decisões que possam “dar errado”. Sorte & Azar
• Não consideram todos os fatores envolvidos, pela simples impossibilidade de modelar a realidade de forma perfeita
• Não tornam os fatores mais controláveis pelo simples fato de que você os compreende
• Não o impedem de tomar decisões que possam “dar errado”. Sorte & Azar
O que as técnicas de tomada de decisão NÃO podem fazerO que as técnicas de tomada de decisão NÃO podem fazer
Uma ÁRVORE DE DECISÃO é uma ferramenta que auxilia na modelagem e análise de problemas, pois: • Facilita a visualização de alternativas. • Identifica pontos de tomada de decisão. • Mostra claramente todas alternativas e possibilidades Simbologia das árvores de decisão:
Event 3
Decision 1
Event 4
1
Decision 2
0,5EVENTO ALEATÓRIO
TOMADA DE DECISÃO
(dentro do quadrado temos a melhor decisão)TEXTO DESCRITIVO DA DECISÃO
FINAL DA ÁRVORE
Observação:O Σ DAS PROBABILIDADES DEVE SER IGUAL A “1” EM CADA RAMO DA ÁRVORE.
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Exercícios de Árvore de Decisão Questão 1 - Uma carga de petróleo (no valor de R$ 1 milhão) está sendo transportada do RJ com destino a Tramandaí-RS. A probabilidade de um pequeno acidente no percurso é calculada em 5%. A pena para este tipo de acidente (que compromete 5% da carga) é de R$ 200.000,00. A probabilidade de um grande acidente - que comprometa toda carga - é de 0,5% e a pena para este tipo de acidente é estimada em R$ 2 milhões. Sabe-se que um seguro para este trecho, que cobre todo o tipo de perda e multas, custa R$ 30.000,00. a) Qual a melhor decisão: fazer ou não o seguro? Apresente a decisão mais sábia do ponto de vista financeiro Através do cálculo da esperança e variância. Admita que nenhum outro tipo de perda é possível. Questão 2 – Você vai sair à noite e deve decidir onde estacionar o carro. A opção por um estacionamento pago (R$10,00) garante que nada acontecerá com o carro. A opção por estacionar na rua te dá 5% de chance de ter o rádio furtado (R$ 350,00) e 0,1% de furto total (R$ 1.200,00, franquia do seguro paga em caso de roubo). Ainda existe a possibilidade de deixar o carro em casa e ir e voltar de táxi, o que lhe custaria R$15,00 a mais do que o seu gasto com gasolina. No caso de ir de taxi existe 0,5% de chance de ser assaltado e perder os R$ 70,00 que tem na carteira.
a) Qual a melhor decisão do ponto de vista financeiro? Questão 3 - Existe três possibilidades de aplicação financeira para o seu capital (R$100 mil) 1a) Poupança com rendimento certo de 0,8%. 2a) Fundo fixo com 0,8 de possibilidade de render 1,2%; 0,15 de render 0,8% e 0,05 de probabilidade de ter rendimento zero. 3a) Ações com um terço de probabilidade de valorizar 35%; um terço de não valorizar e o restante de probabilidade de recuar 5%. a) Qual a melhor decisão para aplicar o seu dinheiro?
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3.3 Principais modelos discretos A partir de agora veremos modelo (fórmulas, expressões) que retratam o comportamento probabilístico de variáveis discretas. Veremos cinco modelos: Binomial, Poisson, Hipergeométrica, Geométrica e Binomial Negativa. 3.3.1 Distribuição Binomial Um caso como o da prova de quatro questões pode ser resolvido pela DistribuiçãoBinomial. Sempre que um experimento que assume apenas dois possíveis resultados em cada repetição for repetido n vezes e que a probabilidade de sucesso for constante em cada repetição, podemos modelar o número de sucessos pela distribuição Binomial.
X = número de sucessos, variando de 1 até n p = probabilidade de sucesso em cada repetição 1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição n = número de repetições X ~ Binomial (n ; p) x=0,1,...,n
( )xnx pp
xnxnxXP −−××−
== )1(!!
!)(
Exemplo – Prova No exemplo da prova, encontre os parâmetros da Binomial e calcule P(X=2). Exemplo – Peças defeituosas Numa fábrica peças são produzidas em larga escala (podemos considerar produção infinita). Sabe-se que 5% das peças são defeituosas (D) e o restante perfeitas (P). a) Qual a probabilidade de obtermos 2 peças defeituosas? Exemplo – Loteria Esportiva Numa loteria com 13 jogos de futebol, qual a probabilidade de um “desentendido de futebol” acertar 11 ou mais jogos?
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Esperança e Variância na Binomial O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente encontrado. Intuitivamente, responda as perguntas a seguir: 1) Se lançarmos uma moeda honesta 100 vezes, qual o número esperado de caras? 2) Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5”. 3) No exemplo da prole de 6 filhos, qual o número esperado de meninos?
E(X) = = np ∑∑=
−
=
−==n
x
xnxxn
n
x)p(pC)xX(P
00
1
Var(X) = np(1-p) Exemplos – Nos exemplos anteriores encontre a esperança Prova: E(X) Var(X) Peças: E(X) Var(X) Loteria: E(X) Var(X) 3.3.2 A distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é conhecida com a distribuição de um só parâmetro. Uma variável aleatória discreta X segue uma distribuição de Poisson se a sua função de probabilidade é dada por: X ~ Poisson (λ)
( )!x
exXPxλλ−
== , x = 0,1,2,... λ>0
Geralmente X representa o número de ocorrências num determinado espaço de tempo e o parâmetro λ é a média de ocorrências neste intervalo. Conhecidamente, o número de chamadas telefônicas recebidas numa central, a chegada de navios a um porto, pode ser modelada pela distribuição de Poisson. Atenção: o parâmetro λ deve estar em sintonia com a variável X.
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Provando que P(X=x) é função de probabilidade:
∑∞
=
−
0x
x
!xe λλ
=1
Esperança e Variância na Poisson
E(X) = λλλ=== ∑∑
∞
=
−∞
= 00 x
x
x !xex)xX(xP
Var(X) = λ Exemplo – Navios A taxa de chegadas de navios a uma porto segue a média de 1 por dia e pode ser modelada pela distribuição de Poisson. a) Qual a probabilidade de chegarem três navios em um mesmo dia? b) Qual a probabilidade de chegar ao menos um navio em três dias? c) Qual o número esperado de navios em uma semana? Exemplo – Erros em um livro Um revisor aponta que encontrou 100 erros em um livro de 200 páginas. Considere X=número de erros por página, podendo ser modelada pela distribuição de Poisson. a) Qual a probabilidade de encontrar, em uma página escolhida ao acaso, dois erros? b) Qual a probabilidade de encontrar, em uma página escolhida ao acaso, ao menos um erro?
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Aproximação entre Binomial e Poisson A medida que n→infinito e p→0 a distribuição Binomial pode ser aproximada pela Poisson.
( )!xnpe )p(p
xn
)xX(Pxnp
0p n
xnx−
→∞→
− =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== 1
Para já temos uma boa aproximação. 7≤np Exemplo – X ~ Binomial (n=30 ; p=1/20) Comparar a probabilidade P(X=0) e P(X=1) pela Binomial e Poisson.
Binomial
-0,05000,10000,15000,20000,25000,30000,35000,4000
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Poisson
-0,05000,10000,15000,20000,25000,30000,35000,4000
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
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3.3.3 A distribuição Hipergeométrica Suponha a extração de peças de um lote formado por 4 peças boas e 1 defeituosa. Se extrairmos uma amostra de 2 peças COM reposição, o modelo que descreve o comportamento probabilístico de X=número de peças defeituosas é o Binomial. 4 Boa 1 Def
___ ___
Agora façamos a extração SEM reposição. O modelo Binomial funciona? Perceba que até mesmo o espaço amostral é diferente. Na Binomial COM reposição: X = 0,1,2 Na Hipergeométrica SEM reposição: X = 0,1 A distribuição hipergeométrico modela a variável X= número de objetos do tipo r extraídos numa amostra de n elementos de uma população formada por N elementos. X ~ Hipergeométrica (r ; n ; N) x=0,1,..., mínimo(r;n)
CC C
n
N
xn
rN
x
r
nN
xnrN
xr
)xX(P−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
Exercício – Problema do lote de 5 peças com a distribuição Hipergeométrica Para populações grandes, o resultado da Hipergeométrica pode ser aproximado pela Binomial sem maiores problemas. Meyer sugere que n/N < 0,10. Se X ~ Hipergeométrica (r ; n ; N), quando ∞→N , X ~ Binomial (n ; r/N)
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Exemplo – Amostra em uma empresa Uma empresa tem 16 funcionários, sendo 4 sindicalizados. Uma amostra de n=5 funcionários é selecionada. Construa a função de probabilidade para X=número de funcionários sindicalizados na amostra e compare com os resultados supondo que tivéssemos uma distribuição Binomial. Esperança e Variância na Hipergeométrica
11
−−
−=
=
NnN)p(np)X(Var
np)X(E
Obs.: A expressão 1−
−N
nN é conhecida como fator de correção para população finita.
Exemplo – Calcule E(X) e Var(X) no exemplo acima 3.3.4 A distribuição Geométrica A distribuição Geométrica modela o número de tentativas até a obtenção do primeiro sucesso. Considere um experimento do tipo sucesso ou fracasso que será repetido de maneira independente até a obtenção do primeiro sucesso. Em cada repetição a probabilidade de sucesso é constante e igual a p. X = número de tentativas até o primeiro sucesso X ~ Geométrica (p)
x=1,2,3,...
p)p()xX(P x 11 −−== Prove que:
∑ ==x
)xX(P 1
Esperança e Variância na Geométrica
p)X(E 1= 2
1p
p)X(Var −=
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Exemplo – Lançando um dado Você vai realizar lançamentos com um dado e só vai parar quando obtiver um “6”. Modele o número de tentativas necessárias para obtenção do primeiro “6”. Esboce graficamente a função. Exemplo – Palito premiado Numa promoção de picolés há uma taxa de premiação de 5%. Apresente o modelo geométrico, calcule a esperança e a variância de X= número de tentativas para se ganhar o primeiro picolé premiado. Pergunta: Por que a probabilidade P(X=x) na Geométrica vai decaindo a medida que x cresce?
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
P(X
=x)
x
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3.3.5 A distribuição Binomial Negativa ou Pascal Agora considere uma extensão da Geométrica onde X=número de sucessos até a obtenção do r-ésimo sucesso. Cada repetição do experimento deve ser independente e com probabilidade de sucesso constante e igual a p. Exemplo – Lançamento do dado até obter duas faces “6” Escreva o espaço amostral S = P(X=0) = ∃/P(X=1) = ∃/P(X=2) = (1/6)2
P(X=3) = 2x(1/6)2x(5/6) … X ~ Bin. Negativa ( r ; p) x=r, r+1, ...
rxr )p(prx
)xX(P −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
== 111
Esperança e Variância na Binomial Negativa A esperança e a variância na Binomial Negativa podem ser obtidas fazendo analogia à Geométrica.
pr)X(E =
( )2
1p
pr)X(Var −=
Exercício – Recebendo um lote Um fornecedor de peças tem taxa de falha conhecida e igual a 2%. Você vai retirando peças deste lote aleatoriamente para inspeção. Qual o modelo para X=número de tentativas até encontrar TRÊS peças com falha?
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4 Variáveis aleatórias contínuas 4.1 Definições Básicas As variáveis contínuas podem, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor num intervalo numérico. Sendo assim fica impossível representarmos variáveis contínuas da mesma forma que as variáveis discretas. Diferenciando um caso discreto de um contínuo:
ma variável aleatória contínua é uma função X: S ℜ que associa ao resultado do
mportante
Caso discreto
-
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=
x)
Caso contínuo
-
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13P(
X=x)
Uexperimento aleatório um número real. I As variáveis contínuas são representadas por curvas, chamadas de função densidade de probabilidade, e a área sob essa função representa a probabilidade de ocorrência. Nas variáveis contínuas não existe a probabilidade de ocorrência de um valor exato, mas sim de intervalos. A função densidade de probabilidade, denotada por fx(x), é a função que indica o
a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.
b)
área sob a curva fx(x) nos informa a probabilidade de ocorrência de valores da variável
comportamento probabilístico da variável aleatória contínua X. A função densidade de probabilidade deverá satisfazer as seguintes condições:
∫ = 1dx)x(f
AX.
Pág. 25
Supondo que o gráfico acima represente a função de probabilidade de uma variável aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrência de valores entre a e b ?
∫=≤≤b
a
dx)x(f)bXa(P
A função de distribuição acumulada de X, denotada por F(x), indica a a probabilidade acumulada até o valor x.
∫∞−
=≤=x
dx)x(f)xX(P)x(F
Propriedades da F(x): 1o) F(x) é contínua e não decrescente 2o) F(- )=0 F(∞ ) = 1 ∞ 3o) P(a < X < b) = F(b) – F(a)
4o) )x(Fdxd)x(f =
Exercício – Fixação do conteúdo Esboce graficamente a f(x). Verifique se f(x) é função densidade, encontre a F(x) e calcule P(X<0,5).
⎩⎨⎧ <≤
=.c.c;
x;x)x(f
0102
Pág. 26
Exercício – Fixação do conteúdo II Esboce graficamente a f(x). Verifique se f(x) é função densidade, encontre a F(x) e calcule a P(1/4<X<3/4).
⎪⎩
⎪⎨
⎧<≤<≤
=contrário caso ; 0
1x1/2 ; 4x-41/2x0 ; x
)x(f4
4.1.1 Esperança e Variância de uma variável aleatória contínua O cálculo da esperança e da variância no caso contínuo pode ser feito de forma análoga ao caso discreto. Agora o Σ será substituído pela ∫ :
∫= dx)x(xf)X(E
[ 22 )X(E)X(E)X(Var −= ] onde ∫= dx)x(fx)X(E 22
Em geral:
∫= dx)x(f)x(g))x(g(E
Exemplo – Encontrar E(X) e Var(X) nos exercícios de fixação I e II
Pág. 27
4.2 Principais Modelos Contínuos Existe uma gama de modelos contínuos bastante utilizados. Eles já se encontram descritos na literatura e suas principais características são conhecidas. 4.2.1 Distribuição Uniforme ou Retangular Uma v.a.c X tem distribuição Uniforme se a sua função densidade f(x) descreve um retângulo que dá sempre a mesma probabilidade de ocorrência para intervalos de mesmo tamanho. X ~ Uniforme [a , b]
bxa ≤≤
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
−= contrário caso ; 0
bxa ;1)( abxf
a b
1/(b-a)
x
f(x)
Provar que abaxxF
−−
=)( para bxa ≤≤ .
Esperança e Variância na Uniforme
2)( abXE −=
12)()(
2abXVar −=
Pág. 28
Exemplo - Tempo de produção (Distribuição Uniforme) O tempo para produzir uma peça é igualmente provável de estar entre 60s e 70s. a) Esboce graficamente a função densidade de probabilidade para X = tempo (s). b) Calcular a probabilidade do tempo na exceder 66s. Exemplo - O gerador de números pseudo-aleatórios do EXCEL O gerador de números pseudo-aleatórios do Excel deveria seguir uma Uniforme [0;1]. a) Calcule a esperança e a variância de X e a probabilidade P(X>0,7). b) Realize uma simulação com 1000 números no Excel e verifique se os resultados coincidem.
Pág. 29
4.2.2 Distribuição Exponencial A distribuição Exponencial pode ser utilizada na modelagem do tempo entre ocorrência de acidentes, tempo de ocorrência entre chamadas telefônicas. Na distribuição Exponencial consideramos que a probabilidade de ocorrência de um evento é constante em intervalos de amplitude λ. Uma v.a.c. X tem distribuição Exponencial se a sua função densidade de probabilidade é dada por: X ~ Exponencial (λ)
⎩⎨⎧ >
=−
c.c. ; 00;
)(xe
xfxλλ
0>λ
Vejamos a forma da função densidade f(x) para diferentes valores de λ:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1 2 3 4 5 6
Lambda=0,5
Lambda=1
Lambda=2
Provando que f(x) é função densidade:
∫∞
− =0
1dxe xλλ
Função de distribuição acumulada F(x):
∫ −− −=x
xx edxe0
1 λλλ
Pág. 30
Esperança e Variância na Exponencial Relembrando Integral por partes:
∫ −= '' uvvuvu ∫ neste caso, escolher xeu λ−='
∫ ∫ ===∞
−
λλ λ 1)()(
0
dxexdxxxfXE x
2
1)(λ
=XVar
Exemplo – O período de quebra entre componentes eletrônicos segue uma distribuição Exponencial com média de 2 anos. a) Qual a probabilidade de que haja uma quebra dentro de 4 anos? b) Qual a probabilidade de que haja uma quebra entre 2 e 4 anos? Exemplo – O tempo entre chamadas telefônicas segue uma distribuição Exponencial com média de 15 minutos. a) Qual a probabilidade de que chegue uma chamada dentro de 20 minutos? b) Sabendo que já se passaram 20 minutos, qual a probabilidade de que chegue uma ligação antes dos 40 minutos? A letra b) do exercício anterior nos leva a perceber uma importante característica da distribuição exponencial: a falta de memória (memorylessness).
)()|( sXPtXtsXP >=>+>
No exemplo: )20()20|2020( <=>+< XPXXP
Pág. 31
4.2.3 Distribuição Normal, Gaussiana ou Curva de Gauss A distribuição normal ou curva de Gauss é, sem dúvida, o principal modelo probabilístico contínuo, pois serve de base para a principal área da Estatística: a Estatística Inferencial. Uma v.a.c. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade de probabilidade é dada por: X ∼ N(µ,σ)
( )
0 ; +<<-
, 2
1 2
2
2)(
>∞∞
ℜ∈=−
−
σµ
πσσµ
xexfx
Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem infinitas curvas normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da fX é apresentado a seguir: Características da Normal
• ∫ =1dx)x(f
• ∫ == µdx)x(xf)X(E
• DP(X) = σµ =−∫ 22 dx)x(fx
Pág. 32
Outra característica importante da Normal é que, independentemente dos valores dos parâmetros, a seguinte relação é sempre válida:
Entendendo os parâmetros da curva Normal: µ (média) é uma parâmetro de locação σ (desvio-padrão) é um parâmetro de forma Vejamos exemplos:
-10 -5 0 5 10Valores de X
f(x)
-10 0 10Valores de X
f(x)
-10 -5 0 5 10Valores de X
f(x)
Pág. 33
Exemplo – Altura Coletar a altura dos alunos em sala de aula e realizar alguns cálculos. Os cálculos integrais envolvendo a distribuição Normal são bastante complicados. Felizmente, veremos a seguir uma relação que facilita muito nossa vida. Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguinte transformação obteremos uma nova variável Z com média 0 e desvio-padrão 1:
X ∼ N(µ,σ) → σµ−
=XZ → Z (0,1)
Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a Normal. A distribuição Normal padronizada (Z) é tabelada. Exemplo – Aprendendo a usar a tabela 1) Calcule: a) P(Z ≤ 1,64) d) P(Z ≤ 0) b) P(Z ≥ 0,38) e) P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) c) P(2,57 ≤ Z ≤ 2,57) Exercício – O peso de sacos de arroz com valor nominal de 1kg segue uma distribuição aproximadamente Normal com média de 1010g com desvio-padrão de 20g. a) Qual a probabilidade de um saco ter peso inferior a 1040g? b) Qual a probabilidade de um saco ter peso superior a 1050g? c) Qual a probabilidade de um saco ter menos de 1kg? d) Qual a probabilidade do peso estar entre 990g e 1030g?
Pág. 34
4.2.4 Distribuição de Erlang Relembrando o caso discreto: Assim como a distribuição geométrica indica o número de tentativas até obter o primeiro sucesso, a distribuição Binomial negativa indica o número de tentativas at´pe obtermos o r-ésimo sucesso. A distribuição de Erlang pode ser vista como uma generalização da Exponencial onde X=o tempo até que ocorram r falhas. Definição: X ~ Erlang (λ , r)
)!1()(
1
−=
−−
rexxf
xrr λλ 0>x 0>λ ,...3,2,1=r
Graficamente: r=1 λ=1 r=3 λ=1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 150
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15
f(x)
Valores de
f(x)
Valores de
Esperança: Variância
λrXE =)( 2)(
λrXVar =
Obs.: Note que quando r=1 temos uma Exponencial.
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4.2.5 Distribuição Gama A distribuição de Erlang é um caso especial da Gama, quando o parâmetro r não é um número inteiro. Neste caso precisamos da função GAMA, visto como um extensão contínua do fatorial :
( ) ∫∞
−−=Γ0
1 dxexr xr, para r > 0
Observe que:
π=Γ
=Γ
)2/1(
1)1( ( ) !nn =+Γ 1
Definição: X ~ Gama (λ , r)
)()(
1
rexxf
xrr
Γ=
−− λλ 0>x 0>λ 0>r
Obs.: Se r for um inteiro, X terá distribuição de Erlang. Esperança: Variância
λrXE =)( 2)(
λrXVar =
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4.2.6 A Distribuição de Weibull A distribuição de Weibull é muito usada para modelar o tempo até uma falha de muitos sistemas físicos diferentes. Os parâmetros da distribuição (β e δ) permitem uma distribuição muito flexível, podendo assumir desde formas parecidas com a Exponencial, Gamma ou Erlang, até a curva Normal. Definição: X ~ Weibull (β , δ)
β
δβ
δδβ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
x
exxf1
)( 0>x 0>β 0>δ
Obs.: δ é um parâmetro de escala e β é um parâmetro de forma. Função de distribuição acumulada:
β
δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=x
exF 1)( O valor esperado de X utiliza a função Gama:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ=β
δ 11)(XE
Exercício Variar os parâmetros (β , δ) da Weibull para verificar os diferentes formatos da curva e de sua função acumulada.
Pág. 37
4.3 Tópicos especiais de Probabilidade 1º) Desigualdade de Tchebyshev: Você se lembra da distribuição e a sua relação entre média + k desvios-padrão (k = 1,2,3,...)? Vejamos a figura para recordar:
Agora, encontre as seguintes probabilidades:
=−≤++≥=≥− )()()( σµσµσµ XPXPXP
=−≤++≥=≥− )2()2()2( σµσµσµ XPXPXP
=−≤++≥=≥− )3()3()3( σµσµσµ XPXPXP
Independentemente da distribuição, a desigualdade de Tchebyshev diz que:
2
1)(k
kXP ≤≥− σµ
Exercícios: 1) Verifique se a desigualdade de Tchebyshev se verifica para a Normal. 2) Teste se a desigualdade de Tchebyshev funciona numa Uniforme [0;10].
Pág. 38
2º) A distribuição Weibull e as distribuições Normal e Exponencial A distribuição Weibull, ao menos aparentemente, é muito semelhante a Normal para valores de Beta elevados. Vejamos se esta semelhança ocorre quando calculamos algumas probabilidades.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Normal (Média=5; Desvio=1,3)WEIBULL (Beta=5; Delta=5)
Compare a Weibull (5;5) com a Normal (5;1,3), calculando P (X>6). Com β=1 temos uma Exponencial, desde que façamos δλ /1= .
β
δβ
δδβ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
x
exxf1
)( 0>x 0>β 0>δ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
WEIBULL (Beta=1; Delta=2)
Pág. 39
3º) Aproximação da Binomial pela Normal (Moivre-Laplace) Considere X ~ Binomial (n ; p). Sabemos que E(X)=np e Var(X)=np(1-p). Padronizando X, obtemos o seguinte resultado:
Zpnp
npXn ∞→−
− ~)1(
Exercícios: 1) Verifique se o X=número de acertos ao acaso numa prova de vestibular que segue uma distribuição Binomial (n=30;p=1/5) pode ser aproximado pela Normal. Calcule P(X > 25). 2) Verifique se a aproximação melhora para X ~ Binomial (n=120;p=1/5). A aproximação pela Normal facilita muito os cálculos, pois uma única integral reúne o resultado de uma grande quantidade de parcelas de um somatório. 4º) Aproximação da Poisson pela Normal Utilizando a mesma idéia do tópico anterior, uma aproximação da Poisson pela Normal é possível.
ZX ~λλ−
1) Verifique se o X=número de clientes que entra em uma loja num intervalo de 10min que segue uma distribuição de Poisson (λ=5 clientes em 10 min.) pode ser aproximado pela Normal. Calcule a probabilidade de entrar 6 ou mais clientes na loja em 10 minutos.
Pág. 40
5º) Teorema do Limite Central (TLC) Este item justifica a importância dada à distribuição Normal no capítulo de variáveis aleatórias contínuas: Seja x1 , ..., xn , n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média µ e desvio-padrão σ.
X1 + X2 + ... + Xn = ∑ );(~ 2σµ nnNormalxi
Este resultado pode ser utilizado para comprender o comportamento probabilístico da
média amostral n
xX
n
ii∑
== 1 .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∑=
nNormal
n
xX
n
ii σµ;~1
6º) A distribuição t de Student O matemático inglês Gosset fez estudos que colaboraram muito para a área de inferência estatística. Ele estudou o comportamento probabilístico de X e propôs um nova distribuição, denominada t.
Já sabemos que se X ~ Normal (µ;σ), então σµ−
=XZ ~ Normal (0;1).
Podemos utilizar este conhecimento para o caso da estatística X :
Se ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∑=
nNormal
n
xX
n
ii σµ;~1 , então Z
nX ~
/σµ−
. O empecilho para utilizar esta
expressão em situações práticas está no desconhecimento de σ. Gosset propôs uma modificação que depende apenas do conhecimento de uma estimativa de σ, criando a distribuição t de Student que depende do tamanho da amostra selecionada (n).
1~/ −−
ntnsX µ
(tabelada, com média 0)
Pág. 41
6º) A distribuição Qui-quadrado (χ2) A distribuição Qui-quadrado também é muito importante na área da Inferência Estatística. A soma de Normais-padrão ao quadrado converge para uma distribuição conhecida como Qui-quadrado. Z ~ Normal (0;1)
2
1
2 ~ n
n
iiZ χ∑
=
onde E(X)=n e Var(X)=2n
7º) A distribuição F de Snedecor O quociente entre duas variáveis com distribuição Qui-quadrado, cada uma dividida pelos seus graus de liberdade gera uma nova variável com distribuição F. Vejamos:
vuF
vYuX
F ;~= onde e 2~ uX χ 2~ vY χ
Esta distribuição será utilizada em Inferência Estatística em Análise de Variância (Anova).
Pág. 42
Cap 5. Probabilidade Bivariada 5.1 Distribuições Conjuntas de Probabilidade É muito comum ter mais de uma variável associada a um experimento aleatório. Neste capítulo nos restringiremos a duas variáveis (X e Y), apesar dos resultados poderem ser estendidos para o caso p-variado. 5.1.1 Distribuições conjuntas – caso discreto Considere X e Y duas variáveis aleatórias discretas e considere que fXY(x,y) a função de probabilidade conjunta de X e Y que deverá satisfazer as seguintes condições: 1) 0),( ≥yxf XY
2) 1),( =∑∑
x yXY yxf
3) );(),( yYxXPyxf XY === Quando X e Y são independentes: )()(),( yYPxXPyxf XY =×== Exemplo – Independência X = número de caras no lançamento de duas moedas honestas Y = número de caras no lançamento de duas moedas viciadas - P(Cara)=0,7 X ~ Binomial (n=2 ; p=0,5) Y ~ Binomial (n=2 ; p=0,7)
Pág. 43
Distribuições Marginais Somando os valores em Y, obtemos a marginal de X:
∑ ====y
yYxXPxXP );()(
Somando os valores em X, obtemos a marginal de Y:
∑ ====x
yYxXPyYP );()(
Exemplo –
P(X=1) =
P(Y=2) =
Exemplo – Encontrar as marginais f(x) e f(y), as esperanças E(X) e E(Y).
Y X
0 2 4 f(x)
0
0,25 0,15 0
2
0,10 0,20 0,10
4
0 0,05 0,15
f(y)
Pág. 44
Distribuições Condicionais
)();()|(
yYPyYxXPyYxXP
===
===
Exemplo – Duas Moedas No caso de independência, as condicionais são iguais as marginais. P(X=1 | Y=0) = Exemplo – No exemplo da tabela cruzada P(X=2 | Y=0) = 5.1.2 Distribuições conjuntas – caso contínuo Por simplicidade trabalharemos com apenas duas variáveis contínuas X e Y. A função densidade de probabilidade conjunta fXY(x,y) deverá satisfazer as seguintes condições: 1) 0),( ≥yxf XY
2) 1),( =∫ ∫
R RXY dydxyxf
A marginal de X é obtida integrando a conjunta em relação a Y. . ∫=
RXY dyyxfxf ),()(
A marginal de Y é obtida integrando a conjunta em relação a X. . ∫=R
XY dxyxfyf ),()(
Pág. 45
Exemplo – Exponencial Conjunta Considere a seguinte função de probabilidade conjunta:
⎩⎨⎧ >>+−
contráriocasoyxyx
yxf XY
,000,exp
),(
a) Verifique se é função densidade de probabilidade. ),( yxf XY
b) Obtenha a marginal f(x). c) Qual a probabilidade de encontrar valores de X e Y menores que 2?
01,5
34,50
1,252,5
3,755
-
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
5.2 - Covariância e Correlação entre X e Y A covariância indica a variação conjunta de uma par de variáveis. Pode ser denotada por COV(X,Y) ou por σXY. A covariância pode assumir qualquer valor real, onde o sinal indica se a associação entre X e Y é direta ou inversa.
( )[ ])(()(),( YEYXEXEYXCOV −×−= A covariância freqüentemente é substituída pelo coeficiente de correlação de Pearson (ρ) que varia unicamente no intervalo de –1 até +1.
)()(),(YVarXVar
YXCOVXY =ρ
Pág. 46
Exemplo – Calcular a covariância entre X e Y no caso discreto das duas moedas e no caso da tabela cruzada EXTRA – Distribuição Normal Bivariada
( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
−−−
−−
−×−
= 2
2
2
2
22
))((2)1(2
1exp12
1),(Y
Y
YX
YX
X
X
YX
XYyyxxyxfσµ
σσµµρ
σµ
ρρσπσ Distribuição Normal bivariada com ausência de correlação entre X e Y:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-3,5
-2
-0,5
12,5
4
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Curvas de Nível da Distribuição Normal bivariada com correlação POSITIVA e NEGATIVA entre X e Y:
-5
-4,5 -4
-3,5 -3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
4,5 5
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Pág. 47
LISTA DE EXERCÍCIOS
Cap. 1 – Análise Combinatória Ver página 3 Cap 2 – Probabilidade 1. Seja P(A) = 4/8 P(B) = 3/8 P( BA∩ ) = 2/8 a) Qual a probabilidade de ocorrer A ou ocorrer B? 5/8 b) Qual a probabilidade de ocorrer A, se B já ocorreu? 2/3 c) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Não d) Se C não possui intersecção com os eventos A e B e = S, qual é a probabilidade de
C? 3/8 CBA ∪∪
2. Seja P (A) = 0,3 e P( BA∪ ) = 0,8. Qual o valor de P(B) se: a) A e B são independentes? 0,7142 b) A e B são mutuamente exclusivos? 0,5 3. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 bolas pretas. Três bolas são retiradas sem reposição. Calcular a probabilidade de: a) Todas bolas serem pretas. 4/33 b) Ter exatamente uma bola branca. 5/11 c) Ao menos uma ser preta. 31/33 4. Numa bolsa temos 5 moedas de R$1,00 e 4 de R$0,50. Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas da bolsa, obtermos R$1,50? 5/9 5. Seja um experimento lançar dois dados honestos e observar a face superior dos dados. Escreva S e considere os seguintes eventos : A = pares (x,y) tais que x + y = 8 B = pares (x,y) tais que x = y C = pares (x,y) tais que x + y = 10 D = pares (x,y) tais que x > y Calcular a) P (A / B) = 1/6 b) P (C / D) = 1/15 c) P (B / C) = 1/3 d) P( ) = 8/36 CB∪P( A / ) = 1 CB∪
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6. Muitas escolas fornecem o acesso a Internet para seus estudantes hoje em dia. Desde 1996, o acesso à Internet foi facilitado a 21.733 escolas elementares, 7.286 escolas do nível médio e 10.682 escolas de nível superior (Statistical Abstract of United States, 1997). Existe nos Estados Unidos um total de 51.745 escolas elementares, 14.012 escolas do nível médio e 17.229 escolas do nível superior. Dica: construa uma tabela cruzada! a) Se você escolher aleatoriamente uma escola elementar para visitar, qual é a probabilidade de que ela tenha acesso à Internet? b) Se você escolher aleatoriamente uma escola do nível médio para visitar, qual é a probabilidade de que ela tenha acesso à Internet? c) Se você escolher aleatoriamente uma escola para visitar, qual é a probabilidade de que ela seja uma escola elementar? a) Se você escolher aleatoriamente uma escola para visitar, qual é a probabilidade de que ela
tenha acesso à Internet? 7. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido é 3/5. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) Apenas o homem esteja vivo. 3/20 b) Somente a mulher esteja viva. 3/10 c) Ambos estejam vivos. 9/20 d) Pelo menos um esteja vivo. 9/10 8. Há a seguinte promoção do chocolates TWIX e Snickers: se você encontrar a embalagem premiada ganha outro chocolate. A chance de ganhar é de 1 em 10 para cada um dos tipos de chocolates. Qual a probabilidade de você: a) Comprando um chocolate TWIX e um SNICKERS ganhar duas outras barras? b) Comprando um chocolate TWIX e um SNICKERS ganhar apenas uma barra? 9. A probabilidade de que uma nova lei seja aprovada no Congresso é de 0,30. A probabilidade de que a mesma seja aprovada no Senado é de 0,40. A probabilidade de o presidente sancionar a lei é de 50%. a) Escreva o espaço amostral, mas cuidado: se a lei não for aprovada no Congresso não vai para o Senado e se não for aprovada no Senado não vai para o Presidente. b) Qual a probabilidade de que a lei seja aprovada em todas instâncias? c) Qual a probabilidade de que a lei pare no Senado? 10. Uma máquina produz peças que, tipicamente, podem apresentar dois tipos de problemas: a cada 100 peças, em média uma fica “mal-acabada” e a cada 50 peças uma fica maior que o normal. Os dois problemas são independentes. a) Escreva o espaço amostral considerando a ocorrência dos dois tipos de problemas. b) Qual a probabilidade de uma peça apresentar os dois defeitos. c) Qual a probabilidade de uma peça não possuir defeito algum?
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11. Sabe-se que o Imposto de Renda Pessoa Física (IRPF) tem três faixas com alíquota de imposto crescente (Alíquota 0%, Alíquota 15%, Alíquota 27,5%). De acordo com a Receita Federal (1996), na Alíquota 0% situam-se 75,9% dos contribuintes e na alíquota 15% situam-se 18,7%. Sabe-se que muitas declarações são fraudulentas, sendo que o percentual de fraude corresponde a metade da alíquota de cada faixa. a) Sabendo que um cidadão sonegou IRPF, qual a probabilidade dele ser da faixa de alíquota 27,5%? 12. Estima-se que haja 13 milhões de judeus no mundo, sendo que 5,7 milhões moram nos EUA, 5,1 milhões em Israel, 0,5 milhão na França e o restante em outros países. Sabe-se que, em Israel. A razão entre ashkenazim (alemão, em hebraico) e sefaradim (espanhol)no mundo agora é de 70 por 30, mas em Israel é de meio-a-meio. a) Você encontra um judeu num Congresso Internacional e ele se declara sefaradim, qual a probabilidade de que ele viva em Israel? Cap. 3 – Variáveis Aleatórias Discretas 13. O número de alunos matriculados na turma de Inglês Avançado de uma determinada Escola possui a seguinte função de probabilidade:
x 0 1 2 3 4 P(X=x) 0,15 0,19 0,38 k 0,12
a) Defina quem é a variável aleatória X. b) Qual o valor de k para seja esta uma funçao discreta de probabilidade? c) Qual o número esperado de alunos matriculados nessa turma? E qual o desvio-padrão? 14. Durante 6 meses (180 dias), uma agência de turismo anotou quantos pacotes conseguia vender por dia. Houveram 9 dias onde ela não conseguiu vender nenhum pacote. Em 22 desses 180 dias ela vendeu 1 pacote por dia, e assim seguem as vendas na tabela abaixo:
x 0 1 2 3 4 5 6 Total No. de Pacotes
Vendidos
9 22 45 41 27 22 14 180
P(X=x) a) Com base nessas freqüências, preencha a tabela completando as probabilidade de se vender nenhum pacote/dia, um, e assim por diante. b) Quantos pacotes a agência espera vender, em média? 15. Qual a decisão mais sábia para tal situação: Tenho um carro de R$12.500,00 numa cidade onde a probabilidade de ter o carro roubado é de 1/100 e a chance de um acidente com perda parcial (30%), considerando o período de um ano, é de 1/50. A seguradora calcula apólice de seguro de R$1200,00 com franquia de R$800,00. Qual a melhor decisão: fazer ou não fazer o seguro, dadas essas condições.
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16. Um produto é composto por uma esfera e um cilindro. Cada componente custa R$5,00. Esses componentes podem ser classificados como Bom (B), Longo (L) ou Curto (C). Se o produto final apresentar algum componente C será irrecuperável e vendido como sucata, ao preço de R$ 5,00. Cada componente L pode ser recuperável a um custo adicional de R$ 5,00. Sabendo que o produtoi final é vendido a R$ 25,00 e desconsiderando qualquer outro custo, contrua a função de probabilidade para X=lucro. As probabilidades são: B L C Esfera 0,70 0,20 0,10 Cilindro 0,80 0,10 0,10 3.3 Principais modelos discretos 17. A cada 1.000 decolagens de aviões, uma apresenta algum tipo de problema. a) Suponha que os aviões da empresa Pluna realizem diariamente 10 decolagens. Qual a probabilidade de não haver decolagem com problema num dia? b) Sabendo que os aviões da Varig realizam 150 decolagens diariamente, qual o número esperado de decolagens com problema por dia? 18. Se você jogar na Loteria Esportiva de forma completamente aleatória, calcule a probabilidade de acertar os treze jogos, marcando apenas uma alternativa em cada jogo? 19. Num teste com 10 questões do tipo 'Verdadeiro' ou 'Falso', qual a probabilidade de um aluno, respondendo todas questões ao acaso, acertar 60% das questões? 20. Um frentista de posto de gasolina é instruído pelo patrão para "empurrar" aos clientes aditivos para combustível. O frentista realiza uma venda com probabilidade 0,15. a) Em 15 abastecimentos, qual a probabilidade do frentista vender aditivos para 4 ou mais clientes? b) Se durante o dia o frentista realiza 80 abastecimentos, qual o lucro esperado com a venda de aditivos, sabendo que o lucro unitário é de R$ 2,00. 21. Uma locadora faz uma promoção onde os clientes colocam as suas notas fiscais após a locação. Suponha que haja 100 cupons dentro da urna e que você tenha feito 8 locações (oito notinhas). Suponha que a locadora sorteie três aparelhos de DVD dentre as notinhas da urna.
a) Qual a distribuição para modelar o número de notinhas premiadas que você teve? b) Qual a probabilidade de que você ganhe 2 aparelhos DVD´s? c) É possível utilizar a distribuição Binomial? Compare os resultados.
22. Uma máquina produz tecidos em rolos de 1m de largura. Suponha que a média de falhas seja de 1 para cada metro quadrado.
a) Qual a probabilidade de que em 10m2 hajam 10 falhas? b) Qual o número esperado de falhas em 100m2?
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23. Em média dois navios atracam em um porto por dia, sendo que o número de navios que lá atracam pode ser modelado pela distribuição de Poisson.
a) Qual a probabilidade de, num determinado dia, nenhum navio atracar no porto. b) Qual a probabilidade de que ao menos três navios atraquem no porto em um dia. c) Qual o número esperado de navios em um semana?
24. O processo de gravação de DVD´s ainda está sendo aprimorado. Suponha que, em média, uma gravação resulte em sucesso a cada cinco tentativas.
a) Construa a função de probabilidade para X=número de tentativas até obter o primeiro sucesso.
b) Qual o número esperado de tentativas até obter o primeiro sucesso? 25. Considere o exercício anterior, mas agora construa a distribuição para obtenção de dois sucessos. 26. Um lote é composto de 20 peças, das quais 4 são defeituosas. Você, como comprador da empresa, examina uma amostra de 5 peças antes de aceitar o lote.
a) Construa a função de probabilidade de X=número de peças defeituosas na amostra. b) Qual o número esperado de peças defeituosas no lote.
27. Uma promoção de raspadinhas apresenta taxa de premiação de 1%.
a) Qual a probabilidade de você encontrar o prêmio na 10a, 20a e 30a raspadinha comprada? b) Qual o número esperado de raspadinhas a ser comprado até encontrar o prêmio?
28. Uma promoção premia o primeiro integrante de uma fila que fizer aniversário no mesmo dia que o vendedor de ingressos, a contar do primeiro da fila até o N-ésimo. Escreva a função de probabilidade que descreve a posição na fila do ganhador, admitindo que a fila tenha N pessoas. 29. Você precisa que uma máquina seja operada por 2 pessoas canhotas. Você sabe que 10% da população á canhota. Qual a probabilidade de serem necessárias até 5 tentativas para encontrar um canhoto? Cap. 4 Variáveis Aleatórias Contínuas 33) Considere uma variável aleatório contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:
contrário caso 0,
4x0 , ≤≤+−=21
8)( xxf
a) Esboce a f(x) e verifique se temos uma função densidade de probabilidade.
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34) O comprimento de peças produzidas por uma máquina é igualmente provável de estar entre 10mm e 12mm.
a) Esboce a f(x). b) Qual a probabilidade de uma peça ter comprimento superior a 11,8mm? c) Qual o comprimento esperado e o desvio-padrão de X.
35) O tempo entre pousos de aviões num aeroporto segue distribuição Exponencial com média de 8minutos.
a) Qual a probabilidade do tempo entre pousos exceder 10min? b) Qual a probabilidade do tempo ser inferior a 12 min.? c) Qual a probabilidade do tempo estar entre 15 e 18minutos?
36) Mostre a propriedade de falta de memória da Exponencial considerando um caso Exponencial (λ=0,4). 37) A altura de brasileiros do sexo masculino segue uma distribuição aproximadamente Normal com média de 175cm e desvio-padrão de 6cm.
a) Qual a probabilidade de um brasileiro medir mais de 180cm? b) Qual a probabilidade dele medir entre 169cm e 181cm? c) Qual a probabilidade dele medir exatamente 190cm?
38) Os resultados de um exame revelaram nota distribuídas normalmente com média de 18 acertos e desvio-padrão de 5 acertos.
a) Qual a probabilidade de um aluno ter mais de 30 acertos? b) Qual a probabilidade de um aluno ter entre 20 e 25 acertos?
39) O tempo de vôo entre Rio-Paris é igualmente provável de estar entre 11e 12h.
a) Esboce a f(x). b) Qual a probabilidade do tempo de vôo exceder 11,5h? c) Qual o tempo esperado de vôo e o desvio-padrão.
40) O tempo entre falhas num processo industrial segue uma distribuição Exponencial. Sabendo que o tempo médio entre falhas é e 45 minutos:
d) Qual a probabilidade do tempo entre falhas exceder 60minutos? e) Qual a probabilidade do tempo ser inferior a 50 min.?
41) Cartuchos de impressão da marca Encre imprimem, em média 500 documentos com um desvio-padrão de 50 documentos. Cartuchos da marca Ink imprimem uma média de 510 documentos, mas com desvio-padrão de 40 documentos. a) Admitindo distribuição NORMAL para o número de documentos impressos nas duas marcas, qual cartucho deve ser preferido para imprimir um mínimo de 520 folhas? 42) Considere uma distribuição Exponencial (λ=0,10) e uma Normal (µ=10; σ=2). a) Calcule, nos dois casos, a probabilidade de um valor de X se afastar da média em 2 desvios-padrão. b) Verifique se os cálculos estão de acordo com Tchebychev.
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Cap. 5 Probabilidade Bivariada 43) Considere a seguinte distribuição conjunta para as falhas de dois funcionários de uma empresa. Os dados foram obtidos numa amostra de 2 anos de observações:
Falhas do operário Y Falhas operário X 0 1 2 f(x)
0 0,30 0,03 0,00 0,33 1 0,10 0,40 0,00 0,50 2 0,10 0,03 0,05 0,18
f(Y) 0,50 0,40 0,10 1,00 a) Verifique se X e Y são independentes. b) Encontre E(X) e E(Y). c) Calcule a covariância entre X e Y e a correlação. Sabemos que Var(X)=0,4775 e Var(Y)=0,44. d) Calcule P(X=0 | Y=1) e P(Y=0 | X=0). 44) Considere a seguinte distribuição conjunta de probabilidades: fXY = 9x2y2 para 0<x<1 , 0<y<1 a) Verifique se fXY é função densidade de probabilidade conjunta. b) Qual a probabilidade de ocorrer um valor de X inferior a 5 e um valor de Y superior a 5?
0 0,4 0,80
0,80
2
4
6
8
10
c) Encontre a função densidade de probabilidade de Y (marginal). Calcule o valor esperado de Y. 45) Verifique a COV(X,Y) na seguinte distribuição conjunta:
Falhas do operário Y Falhas operário X 0 1 2 f(x)
0 0,00 0,00 0,50 0,50 1 0,00 0,40 0,00 0,40 2 0,10 0,00 0,00 0,10
f(Y) 0,10 0,40 0,50 1,00 Var(X) = Var(Y) = 0,44
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LISTA EXTRA (para a P3) 46) O tempo de vida de um arranjo mecânico em un teste vibracional é distribuído exponencialmente com uma média de 400h. a) Qual a probabilidade de que um arranjo em teste falhe antes de 100h? b) Qual a probabilidade de que o arranjo opere por mais de 500h? c) Qual a probabilidade de que o arranjo falhe em menos de 200h? d) De já houver passado 400h sem falhas qual a probabilidade de que o arranjo falhe antes das 600h? e) Qual o tempo de vida esperado deste arranjo mecânico. 47) O consumo de luz mensal de uma residência é igualmente provável de estar entre 150 e 250kWh. a) Escreva a função densidade para X=consumo e a acumulada. b) Qual a probabilidade do consumo exceder 200kWh? c) Qual o consumo esperado e a variância de X? 48) A máquina L1 produz lâminas com comprimento médio de 12mm e desvio-padrão de 1mm,. A máquina L2, de outro fabricante, também produz lâminas com média de 13mm e desvio-padrão de 0,5mm. a) Admitindo que a espessura das lâminas, nos dois casos, segue uma distribuição Normal e que o objetivo é produzir lâminas com espessura entre 13 e 14mm, qual é a melhor máquina? 49) A distribuição de Weibull é bastante flexível. Considere que o tempo de vida de um mancal de rolamento siga uma distribuição Weibull com parâmetro β= 0,2 e δ=10.000h. a) Qual a probabilidade do tempo de vida exceder 8000h? b) Qual o tempo de vida esperado? 50) Considere a seguinte função densidade de probabilidade contínua
⎩⎨⎧ <<−
..;0102);3(
)(2
ccxxxk
xf
a) Determine o valor de k para f(x) ser uma função densidade. b) Esboce o gráfico da função. c) Encontre o valor esperado de X. d) Qual a probabilidade de ocorrer X < 6.
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TABELA Z Tabela: Probabilidades acumuladas associadas aos valores críticos (z) da distribuição normal reduzida
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
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TABELA t
Alpha sobre 2 Graus de liberdade 5,0% 2,5% 0,5%
(n-1) 90% bilateral 95% bilateral 99% bilateral
1 6,314 12,706 63,656 2 2,920 4,303 9,925 3 2,353 3,182 5,841 4 2,132 2,776 4,604 5 2,015 2,571 4,032 6 1,943 2,447 3,707 7 1,895 2,365 3,499 8 1,860 2,306 3,355 9 1,833 2,262 3,250 10 1,812 2,228 3,169 11 1,796 2,201 3,106 12 1,782 2,179 3,055 13 1,771 2,160 3,012 14 1,761 2,145 2,977 15 1,753 2,131 2,947 16 1,746 2,120 2,921 17 1,740 2,110 2,898 18 1,734 2,101 2,878 19 1,729 2,093 2,861 20 1,725 2,086 2,845 21 1,721 2,080 2,831 22 1,717 2,074 2,819 23 1,714 2,069 2,807 24 1,711 2,064 2,797 25 1,708 2,060 2,787 26 1,706 2,056 2,779 27 1,703 2,052 2,771 28 1,701 2,048 2,763 29 1,699 2,045 2,756 30 1,697 2,042 2,750 40 1,684 2,021 2,704 50 1,676 2,009 2,678 60 1,671 2,000 2,660 70 1,667 1,994 2,648 80 1,664 1,990 2,639 90 1,662 1,987 2,632 100 1,660 1,984 2,626 110 1,659 1,982 2,621 120 1,658 1,980 2,617
Infinito 1,645 1,960 2,576