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Ano: 2016

PRISMAS Aulas 01 e 02

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário PRISMAS .................................................................................................................................................................. 1

CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA.............................................................................................................................. 1

ÁREAS EM UM PRISMA ........................................................................................................................................... 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 1

VOLUME DE UM SÓLIDO ......................................................................................................................................... 2

PRINCÍPIO DE CAVALIERI ......................................................................................................................................... 2

VOLUME DE UM PRISMA ........................................................................................................................................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 2

PARALELEPÍPEDO .................................................................................................................................................... 2

PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ................................................................................................................. 3

CUBO ................................................................................................................................................................... 3

DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ....................................................................................... 3

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ........................................................... 3

VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO .......................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 3

CAIU EM PROVAS ANTERIORES ............................................................................................................................... 4

GABARITO ............................................................................................................................................................... 4

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AULA 01 PRISMAS

Observe a representação de um prisma:

Os elementos de um prisma são: bases, altura, faces laterais, arestas da base e arestas laterais. No caso do prisma apresentado acima, esses elementos são:

Bases: polígonos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶′.

Altura: distância entre os planos 𝛼 e 𝛽.

Faces laterais: retângulos 𝐴𝐴′𝐵′𝐵, 𝐵𝐵′𝐶′𝐶 e 𝐴𝐴′𝐶′𝐶.

Arestas das bases: segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴′𝐵′, 𝐵′𝐶′ e 𝐴′𝐶′.

Arestas laterais: segmentos 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ e 𝐶𝐶′.

Observação 1.1: Nos prismas, as faces laterais sempre

são paralelogramos.

CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA Podemos classificar os prismas quanto ao número de

lados de um dos polígonos da base (triangular,

quadrangular, pentagonal, etc.) e quanto à inclinação

de suas arestas laterais em relação ao plano de uma

base (reto ou oblíquo).

A seguir, temos alguns prismas e uma de suas

classificações:

Prisma Triangular Prisma Quadrangular

Prisma Hexagonal

Prisma Reto Prisma Oblíquo

Observação 1.2: A altura de um prisma reto coincide

com a medida de uma aresta lateral, o que NÃO ocorre

em um prisma oblíquo.

Observação 1.3: Quando um prisma é descrito como

um prisma regular, há a implicação de dois fatos:

ele é um prisma reto; e

as suas bases são polígonos regulares.

ÁREAS EM UM PRISMA Área de uma das bases (𝑨𝒃): área do polígono de

uma das bases;

Área lateral (𝑨𝒍): soma das áreas das faces laterais;

Área total (𝑨𝒕): soma das áreas de todas as faces do prisma.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) PSA 19.2

𝐴𝑡 = 2 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑙

Tablet: (Leitura) – Definição de Prisma

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VOLUME DE UM SÓLIDO

Medir uma região do espaço é compará-la com outra

região do espaço fixada como unidade. Adota-se

frequentemente, como unidade de volume, o volume

de um cubo de aresta unitária. Desse modo, tem-se:

Medida da aresta Volume do cubo

1 dm 1 dm³

1 cm 1 cm³

1 m 1 m³

PRINCÍPIO DE CAVALIERI Sejam 𝑃 e 𝑄 dois sólidos limitados e 𝛼 um plano. Se

para todo plano 𝛽//𝛼 as interseções 𝛽 ∩ 𝑃 e 𝛽 ∩ 𝑄 são

vazias ou têm a mesma área, então os volumes de 𝑃 e

𝑄 são iguais.

Observação 1.4: Se dois sólidos 𝑃 e 𝑄 tem o mesmo

volume, então dizemos que 𝑃 e 𝑄 são sólidos

equivalentes.

VOLUME DE UM PRISMA Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de um prisma em que

a área de uma base é 𝐴𝑏 e a altura é ℎ é dado por:

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2) Determine a área total e o volume de um prisma

triangular regular, em que uma das arestas de uma

base mede 2 𝑐𝑚 e uma das arestas laterais mede

√3 𝑐𝑚.

1.3) PSA 20

1.4) PSA 31

AULA 02 PARALELEPÍPEDO Um prisma em que todas as faces são paralelogramos

é denominado paralelepípedo.

Exemplo 1: Os prismas quadrangular e oblíquo

apresentados na AULA 01 são exemplos de

paralelepípedos.

𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ

Relembrando...

Diagonal de um quadrado de lado 𝑙:

Altura de um triângulo equilátero de lado 𝑙:

Cálculo de áreas de alguns polígonos

Triângulo Equilátero de lado 𝑙:

Quadrado de lado 𝑙:

Hexágono regular de lado 𝑙:

Retângulo de dimensões 𝑏 e ℎ:

Tablet: (Leitura) – Definição de Volume

𝑑 = 𝑙√2

ℎ =𝑙√3

2

𝐴 =𝑙2√3

4

𝐴 = 𝑙2

𝐴 = 6 ∙𝑙2√3

4

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ

Conversão de unidades de volume

1 dm³ = 1 L

1 cm³ = 1 mL

1 m³ = 1000 L

TAREFA 1: P.S.A.: 12, 18, 21, 28 e 29 .

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PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Um paralelepípedo em que todas as faces são

retângulos é denominado paralelepípedo reto

retângulo.

Costuma-se chamar as medidas 𝒂, 𝒃 e 𝒄, da figura a

seguir, de dimensões do paralelepípedo.

CUBO Um paralelepípedo em que todas as faces são

quadrados é denominado cubo.

Costuma-se chamar a medida de uma de suas arestas

de 𝒂.

DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO

RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a medida de uma diagonal de um

paralelepípedo reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é

dada por:

Observação 2.1: No caso de um cubo, cuja medida de

uma aresta é 𝑎, a medida de uma diagonal é dada por:

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM

PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que a Área Total, 𝐴𝑇 , de um

paralelepípedo reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é

dada por

Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de

paralelepípedo reto retângulo, então a área total 𝑨𝑻

da superfície de um cubo, com as três dimensões de

medida 𝒂, é dada por

VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO

RETO RETÂNGULO Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de um paralelepípedo

reto retângulo de dimensões 𝑎, 𝑏 e 𝑐 é tal que

Observação 2.2: Como o cubo é um tipo de

paralelepípedo reto retângulo, então o volume 𝑽 de

um cubo, com as três dimensões de medida 𝒂, é dado

por

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) Determine a área total e o volume de um cubo, em

que uma de suas diagonais mede 6 cm.

2.2) PSA: 14, 17, 19.1 e 27

𝐷 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

𝐷 = 𝑎√3

𝐴𝑇 = 2 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐)

𝐴𝑇 = 6 ∙ 𝑎2

𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐

𝑉 = 𝑎3

Desafio 1.1: Demonstrar as fórmulas para cálculo da

medida de uma das diagonais do paralelepípedo reto

retângulo e de uma diagonal do cubo.

TAREFA 2: PSA: 5, 7, 10, 13, 16, 22, 24, 25 e 26

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CAIU EM PROVAS ANTERIORES

1) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCFDE ,

no qual 6DE cm, 8DF cm e DE é

perpendicular a DF , em D .

Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área

total, em centímetros quadrados, é igual a

a) 144. b) 156. c) 160. d) 168. e) 172.

2) Considere um recipiente na forma de um prisma

hexagonal regular, cujas medidas de uma das

arestas da base e de uma das arestas laterais, em

cm, são iguais a 8 e 12,5, respectivamente.

Determine, em mL, o volume de água presente

nesse recipiente quando a coluna d’água atingir

80% da altura do recipiente.

3) Calcule o volume de um prisma quadrangular

regular cuja área total é igual a 110 m² e cuja área

de uma face lateral é igual a 3

5 da área de uma das

bases.

4) Um prisma hexagonal regular é tal que a medida

de uma aresta de uma das bases é igual à sua

altura. Sabendo que seu volume é igual a

96√3 cm³, calcule a área da superfície desse

prisma.

GABARITO EX. FUNDAMENTAIS

1.2) 𝐴𝑇 = 8√3 cm² e 𝑉 = 3 cm³

2.1) 𝐴𝑇 = 108 cm² e 𝑉 = 54√2 cm³

CAIU EM PROVAS ANTERIORES

1) D

2) 960√3

3) 75 m³

4) 192(√3 + 2) cm²