principios de conversão eletromecanica

8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica

1/34

1 -1

“Principios da Conversao

”

Universidade Federal de Minas GeraisDepartamento de Engenharia ElétricaPrograma de Pós-graduação em Engenharia Elétrica

Ano: 2013

Prof. Selênio Rocha SilvaDepto. Eng. Elétrica

[email protected]


2/34


3/34

• Histórico:1820: descoberta do efeito magnético da corrente elétrica

(Oersted)

1831: descoberta da indução magnética por Faraday

1864: Maxwell estabelece as bases da teoria eletromagnética

1890: as principais formas de máquinas elétricas são

inventadas e o período até 1950 se caracteriza por intensa

pesquisa industrial

Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1

1 -10

• Estruturas atuais de máquinas elétricas :- máquinas síncronas: geração de energia elétrica

- máquinas assíncronas ou de indução: emprego amplo como

motores

- máquinas c.c. : uso como motor em acionamentos de altodesempenho

- motores monofásicos a comutador: eletrodomésticos (em

desuso)

- motores de passo: como servo-acionadores

- outras estruturas especiais: lineares, relutância chaveada, etc.


4/34

1 -2 6

RELAÇÕES FÍSICAS PRINCIPAIS• Lei de Ampère

• Relação B-H

• Lei Faraday-Lenz

∫ →→

==ℑ l d H i N ..

H B .µ=→→

=== ∫ Ad Bd d

N u . φ λ φ


• Lei de Laplace (Força de Lorentz)

→→→→→→→→

⊗==⊗= ∫ l l S

.Bvu .dEu BvE

XN S

dF

→→→

⊗= Bl d i F d .


5/34

1 -2 7

CIRCUITOS MAGNÉTICOS• Circuitos Magnéticos sem Entreferro:

i

N

∫ →→

==ℑ l d H i N ..

i N i N i N

l

i N H B

l

i N H l H i N

...

..

...

==

=⇒==ℑ

→→

µ µ


• Relutância do circuito magnético =

• Permeância do circuito magnético = P• Área da seção do núcleo magnético = A

• Indutância própria = L

P A

l

Al l S

1

...

==ℜ

ℜ

µ

µ

ℜ

P N N

L

i N

i.L. N

22

2

=

ℜ

=

ℜ==φ=λ


6/34

1 -2 8

CIRCUITOS MAGNÉTICOS• Circuitos Magnéticos com Entreferro:

i

Efeito

g

Fe

Fe

g Fe

g B

l B

i N

g H l H i N

+=

+==ℑ

→→

0

...

...

µ µ


N

gdeespalhamento

( )

( ) g Fe

g Fe

Fe

g Fe g

S

N L N i L

A

g

A

l i N

B B A A

ℜ+ℜ=⇒==

ℜ+ℜ=

+=

=⇒==

20

Fe

..

...

AquedoConsideran

..

φ λ

φ µ µ

φ


7/34

1 -2 9


PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS• Saturação Magnética

4000500

/10.4 onde ,.

r

7

00

−=

== −

µ

π µ µ µ µ AWbr Fe

• Histerese Magnética

• Densidade de fluxo residual = Br

• Campo coercitivo = Hc

• Perdas por histerese

2,5a1,5n onde ,.. max == f Bk P n H H


8/34

1 - 3 0

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS

• Efeito de Correntes de Foucault

• Impedir a passagem de fluxo sobre o núcleo magnético

• Perdas Foucault

• Redução de perdas:

• Incluir Si (3,5%) no ferro

f .B.k P 22maxFF =


• Laminação do núcleo


9/34

1 - 3 1

Exemplo 1: Relé eletromecânicoi

N

g

• N = 500 espiras;• Comprimento do ferro = 360 mm;• g = 1,5 mm;

• B = 0,8 Tesla;

a) i = ?

g Bl H

g l Bi N Fe ... +=

+=


b)

c) Se o gap for nulo, qual é a corrente?

B

H

0,8 T

510 A.esp/m

Aii N

Fe

19,410.4

0015,0.2.8,036,0.510.

7

00

=⇒+=−π

1250

10.57,1

510

8,0

H

B

?

0

Fer

3

Fe

FeFe

Fe

≅µµ

=µ

===µ

=µ

−

A368,0500

36,0.510i ==


10/34

1 - 3 2

CIRCUITOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS

i

N N1

1

2

2i+ +

_ _

v v1 2

φ

φ

φ φ

m

m

l l

1

1

2

2

2111

222

111

2

222

1111

.

.

.

.

mm

N

N

dt

d

ir v

dt

d ir v

φ φ φ φ

φ λ

φ λ

λ

λ

++=

=

=+=

+=

l


2122 mm φ φ φ φ ++= l

secundáriodoãomagnetizaçdefluxo .

primáriodoãomagnetizaçdefluxo .

secundáriododispersãodefluxo

.

primáriododispersãodefluxo .

222

111

2

22

2

1

111

m

m

m

m

i N

i N

i N

i N

ℜ=

ℜ=

ℜ=

ℜ=

φ

φ

φ

φ

l

l

l

l

112

2

22

2

2

22

2

221

1

21

1

1

21

1

.

.

i N N

i N

i N

i N N

i N

i N

mm

mm

ℜ+

ℜ+

ℜ=

ℜ+

ℜ+

ℜ=

l

l

λ

λ


11/34

1 - 3 3

CIRCUITOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS

112

2

22

2

2

22

2

221

1

21

1

1

21

1

.

.

i N N

i N

i N

i N N

i N

i N

mm

mm

ℜ+

ℜ+

ℜ=

ℜ+

ℜ+

ℜ=

l

l

λ

λ

mm

mm

m

N N N N L

N L N L

N L

N L

ℜ=

ℜ=

ℜ=

ℜ=

ℜ=

ℜ=

1221

2112

22

m2

21

1

2

22

2

1

21

1

.L

.

l

l

l

l


• L12 = L21 !! Ambas as indutâncias mútuas são positivas já que

implicitamente está sendo considerada a polaridade aditiva dos

fluxos produzidos pelas bobinas;

• Define-se:

• Indutância própria da bobina 1:• Indutância própria da bobina 2:

•

1212222

2121111

..

..

i Li L

i Li L

+=

+=

λ

λ

1111 m L L L += l2222 m L L L += l


12/34

1 - 3 4

CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM MOVIMENTO

m

mm

i. N

i. N

. N

dt

di.r v

ℜ=φ

ℜ=φφ+φ=φ

φ=λ

λ+=

l

ll

i

N

x

+

_

v

22


gFem

mm

.2

iLLi

ℜ+ℜ=ℜ

+= ℜ

+ℜ

=λ l

l

+=ℜ⇒==

=ℜ=ℜ

xl

A A A A

A

x

A

l

r

m g Fe

g g

Fe Fe Fe

21

.

.

0

0

µ µ

µ µ

0,)(L se-temalto,muitoforSe

2

m

0

2

〉∀=

+

=

x x

k x

xl

A N L

r

r

m

µ

µ

µ


13/34

1 - 3 5

MÁQUINA DE RELUTÂNCIA ELEMENTAR

+

_

i

v N

θr

)(Londe i).LL(

)0(d).(w

r mm

r

t

0r r

θ+=λ

θ+ξξ=θ ∫l

• Lm(0) = Lmax => Eixos alinhados

• Mínimo entreferro;

• L 90o = L => Eixos desalinhados


• Máximo entreferro.

L m

θrπ π2

L

L

A

B

).2cos(LL)(L r BAr m θ+=θ


14/34

RELAÇÕES DE ENERGIA

SISTEMAELÉTRICO

SISTEMAMECÂNICO

CAMPODE ACO-

PLAMENTO

W

W WW W

WpE pM

E Me m

pf W


1 -36

pf emf

msM pMM

esE pEE

WWWW

WWWW

WWWW

−+=

++=

++=

W WsE sMWf

• Se o campo de acoplamento é

conservativo, isto é, não tem perdas,então...

emf WWW +=


15/34

1 - 3 7

RELAÇÕES DE ENERGIA

i

N

x

+

_

v

M K

x0

f

f e

r l

e02

2

f

f )xx(K dt

dxD

dt

xdMf

edt

dili.r v

−−++=

++=

== dx f dt ivW E . W .. M


D

∫

∫

∫∫

∫∫ ∫

−=

==

==

=

===

dx f W

dt

dx M dx

dt

xd M

dt

dt

dx Ddx

dt

dx D

dt ieW

il dt dt diil dt ir W

em

f e

pE

.

..W

....W

..

....W ..

2

21

2

2

sM

2

pM

2

21

sE

2

∫ −=+= dx.f dt.i.eWWW ef mef


16/34

1 - 3 8

RELAÇÕES DE ENERGIA• Em um sistema de múltiplas entradas elétricas e mecânicas:

CAMPO DE

We1

We2

Wm1

Wm2 ∑∑==

+=K

1k

mk

J

1 j

ejf WWW


ACOPLAMENTO

Wej Wmk

∫∑∫∑==

−=K

1k

k ek

J

1 j

jfjf dx.f dt.i.eW


17/34

1 - 3 9

ENERGIA E CO-ENERGIA

• “A energia armazenada em um

campo conservativo é função

apenas dos estados das variáveis

do sistema, e não da forma nas

quais estes estados são atingidos”.• Logo, se dx = 0, tem-se:

==J


∫∑=

λ=J

1 j

j jf di.'W

• Define-se co-energia:

∫∑=

=

λ=⇒λ

=J

1 j

j jf f

1 j

jfjf m

d.iW dt

de

..

∑=

λ=+J

1 j

j jf f i.'WW


18/34

1 -4 0


• Escolha das variáveis de estado eletromagnéticas:

• Sex),i(i e )x,(WW

ou

x)(i, e x)(i,WW

f f

f f

λ=λ=

λ=λ=

λ∂+

λ∂=λ

λ=λ

dx.)x,i(

di.)x,i(

d

x)(i,

• Se


∫∫

∫∫

∫

ξξλ=λ=

ξξ∂ξλ∂

ξ=∂

λ∂=

=λ=

i

0

f

i

0

f

f

d).x,(di).x,i()x,i('W

d.)x,(

.dii

)x,i(.i)x,i(W

0dx para d.i)x,i( WComo

x

∫∫∫∫

∫

λ

λ

ξξ∂

ξ∂ξ=λ=λ

ξξ=λλ=λ

=λλ=λ

∂λ∂+λ

λ∂λ∂=

=

0

f

0f

f

d.)x,(i

di.)x,('W

d.)x,(id).x,(i)x,(W

0dx para d).x,(i)x,( WComo

dx.x

)x,(id.

)x,(idi

x,


19/34

1 -4 1


• Exemplo 1: Em um sistema magneticamente linear:

2

21

f

2

21

f

'

i).x(Ldi.i).x(Ldi.'W

i).x(Li.L(x).di.diWdi).x(Ld

L(x)x),i( e L(x).ix)(i,

==λ=

==λ==λ

λ=λ=λ

∫∫∫ ∫


• Exemplo 2: Em um sistema linear multi-excitado:

f f

[ ] [ ]

2

22221

2112

2

11121

21f

12212222211211112211

2

1 j

j j21f

2221212

2121111

2112222121212

212111211

i.Li.i.Li.L)x,i,i(W

di.i.Ldi.i.Ldi.i.Ldi.i.Ld.id.id.i)x,i,i(W

(x).diL(x).diLd

(x).diL(x).diLd

LL e (x).iL(x).iLx),i,(i

(x).iL(x).iLx),i,(i

++=

+++=λ+λ=λ=

+=λ

+=λ

=+=λ

+=λ

∫∫∫∑=

0


20/34

1 -4 2


• Exemplo 3: Considere o sistema magnético descrito por:

2

21

f

221

f

'

i).x

k 1,0(di.i).

x

k 1,0(di.'W

i).xk 1,0(di).

xk 1,0.(i.di

i)x,i(i..diW

).ix

k (0,1x)(i,

+=+=λ=

+=+=∂λ∂=λ=

+=λ

∫∫

∫ ∫∫


• Exemplo 4: Considere que:

f f

f f

3

312

f

3

3

2

f

2

'WW

i).x

k 1,0(di.i).

x

k 1,0(di.'W

i).x

k

1,0(di.i)x

k

1,0(2.i.dii

)x,i(

i..diW

).ix

k (0,1x)(i,

≠

+=+=λ=

+=+=∂

λ∂

=λ=

+=λ

∫∫∫ ∫∫

Obs.: Normalmente W’f >Wf,este exemplo é apenas

demonstrativo do processode cálculo!!!!


21/34

1 -4 3


• Interpretação Gráfica da Conversão deEnergia

A

BD

C

0 i

λ x=x

x=xa

b

[ ] [ ]

[ ]

[ ] !!! 0AB0AreaWWW

CABDCAread.iW

0AC0Area0BD0AreaW

WWW

ef m

e

f

fAfBf

b

a

−=∆−∆=∆

=λ=∆

−=∆

−=∆

∫λ

λ


• Se ∆∆∆∆Wm é negativa, para a conversão desinais utilizada, a energia é fornecida aosistema mecânico e a operação é motor.

A

BD

C

0 i

λ x=x

x=xa

b

• Observe que a energia é cedida aosistema elétrico e que neste é maior quea energia recebida no caso anterior;operação gerador.

[ ] !!! 0AB0AreaWWW ef m +=∆−∆=∆


22/34

1 -4 4


• Interpretação Gráfica da Conversão deEnergia

• Em um ciclo de ida e volta ao ponto B, a

partir de A (A→→→→B e B→→→→A) há uma energiaresultante para o sistema elétrico, fornecidapelo sustema mecânico, já que a energiaarmazenada no campo de acoplamento não se

A

BD

C

λ x=x

x=xa

b


• Isto é, ∆∆∆∆Wm = - ∆∆∆∆We;

•Concluindo-se:• Se a trajetória é A->B e B->A: ∆∆∆∆Wm > 0

• Se a trajetória é B->A e A->B: ∆∆∆∆Wm < 0

0 i

Operação motor Operação gerador


23/34

1 -4 5

CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO

∑∑

∫∑∫∑

∑∑

==

==

==

−λ=

−=

+=

K

1k

k ek

J

1 j

j jf

K

1k

k ek

J

1 j

jfjf

K

1k

mk

J

1 j

ejf

dx.f d.idW

dx.f dt.i.eW

WWW

J,...2,1 j )x,...,x,x,i,...i,i(

)x,...,x,x,i,...i,i(WW

K 21J21 j j

K 21J21f f

=∀λ=λ

=

• Como


f

J

1 j

j j

K

1k

k ek

K

1k

k

k

jJ

1n

n

n

j

j

K

1k

k

k

f J

1 j

j

j

f f

dWd.idx).x,i(f

dx.x

)x,i(di

i

)x,i(d

dx.x

)x,i(Wdi

i

)x,i(WdW

−λ=

∂

λ∂+

∂

λ∂=λ

∂∂

+

∂∂

=

∑∑∑∑

∑∑

==

==

==


24/34

1 -4 6


∂∂

+

∂∂

−

+

∂

λ∂+

∂

λ∂=

−λ=

∑∑

∑ ∑∑∑

∑∑

==

= ===

==

K

1k

k

k

f J

1 j

j

j

f

J

1 j

K

1k

k

k

jJ

1n

n

n

j

j

K

1k

k ek

f

J

1 j

j j

K

1k

k ek

dx.x

)x,i(Wdi

i

)x,i(W

dx.x

)x,i(di

i

)x,i(.idx).x,i(f

dWd.idx).x,i(f


• Separando os termos em dx

∑∑ ∑

∑∑∑∑

== =

====

∂∂

−

∂

λ∂

+

∂∂

−

∂

λ∂=

J

1 j

j

j

f J

1 j

J

1n

n

n

j

j

K

1k

k

k

f K

1k

k

k

jJ

1 j

j

K

1k

k ek

dii

)x,i(Wdii

)x,i(

.i

dx.x

)x,i(Wdx.

x

)x,i(.idx).x,i(f

• Observe que a diferencial “dx” não pode depender de “di”!!!

0!!


25/34

1 -4 7


• Logo:

• E se:

∑∑∑∑====

∂∂

−

∂

λ∂=

K

1k

k

k

f K

1k

k

k

jJ

1 j

j

K

1k

k ek dx.x

)x,i(Wdx.

x

)x,i(.idx).x,i(f

1,2,...K k )x,i(W)x,i(

.i)x,i('W

Wi.'W

f J

jf

f

J

1 j

j jf

=∀∂

−

λ∂

=∂

−λ= ∑=


xxx k 1 j k k =

1,2,...K k x

)x,i('W)x,i(f

dx.x

)x,i('Wdx).x,i(f

k

f ek

K

1k

k

k

f K

1k

k ek

=∀∂

∂=

∂∂

= ∑∑==

• Procedimento idêntico produziria:

1,2,...K k x

)x,(W)x,(f

k

f ek

=∀∂

λ∂−=λ


26/34

1 -4 8


• Para movimento linear tem-se:

1,2,...K k x

)x,i('W)x,i(f

k

f ek =∀∂

∂=

1,2,...K k x

)x,(W)x,(f

k

f ek =∀∂

λ∂−=λ


• Para movimento rotativo tem-se:

1,2,...K k ),i('W

),i(Tk

f ek =∀θ∂

θ∂=θ

1,2,...K k ),(W

),(Tk

f ek =∀θ∂

θλ∂−=θλ


27/34

1 -4 9


• Exemplo 5: Considere o dispositivo de conversão rotativo:

Máquinas Elétricas & Eletrônica de PotênciaMáquinas Elétricas & Eletrônica de Potência -- Unidade 1Unidade 1

+

_

i

v N

θr

)(Londe i).LL(

)0(d).(w

r mm

r

t

0r r

θ+=λ

θ+ξξ=θ ∫l

).2sen(..

).2sen(..2.)(

.),('

)].(['

).2cos()(

2

2

212

21

2

21

r Be

r B

r

r m

r

r f

e

r m f f

r B Ar m

LiT

Li L

iiW

T

i L LW W

L L L

θ

θ θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

−=

−=∂

∂=

∂

∂=

+==

+=

l

á é & ô êá é & ô ê


28/34

1 - 5 0

• Se o dispositivo é alimentado em corrente alternada:

• Obtem-se que:

eee

emax

t.

)sen(.Ii

ρ+ω=θ

θ=

CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADOMáquinas Elétricas & Eletrônica de PotênciaMáquinas Elétricas & Eletrônica de Potência -- Unidade 1Unidade 1

ee f ..2 π=ω

).2sen()].2cos(.[L.IT

).2sen(.sen.L.I).2sen(.L.)sen.I(T

112

r e

2

B

2

maxr B

2

emaxe

θθ−−=

θθ−=θθ−=

• Para existência de conjugado médio, os argumentos das funções

senoidais devem ser constantes (independentes do tempo), logo:

[ ]{ }).2.2sen().2.2sen().2sen(.L.IT)].2sen().2cos().2sen(.[L.IT

er er 41

r 21

B

2

maxe

r e21r 21B

2

maxe

θ−θ+θ+θ−θ−=θθ−θ−=

er

er

r 0

ω−=ω

ω=ω

=ω

!


29/34

sVα

r Vα

r θEixo estacionário

•

r ω

Exemplo 6:

Conversor rotativo eletromecânico a quatro enrolamentos


1 -51

sVβr Vβ

Eixo girante

Considerações:

• Entreferro uniforme e liso;

• Saturação desprezada;

• Enrolamentos em

quadratura;• Enrolamentos idênticos;

• Resistências constantes


30/34

1 - 5 2

d

dtdir v

dt

dir v

r

s

sss

ssss

α

βββ

ααα

λ

λ+=

λ+=

.

.

r r r r r r s sr s sr r

r r sr r s s s s s s s s

r r sr r s s s s s s s s

iiii

iiii

iiii

β β α α α α β β α α α α α

β β β α α β β β β α α β β

β β α α α α β β α α α α α

λ

λ

λ

....

....

....

llll

llll

llll

+++=+++=

+++=

Equações de TensãoEquações de Enlace de Fluxo


dt

dir v

dtr

r r r

r r r

βββ

αα

λ+= .

.r r r r r r s sr s sr r β β β α α β β β β α α β β ....=

r

r r r s s f

eiiiiW T

θ θ β α β α

∂∂= ),,,,('

Equação de conjugado:


31/34

1 - 5 3

Indutâncias do conversor rotativo:

=r r r r sr sr

r r r r sr sr

r sr s s s s s

r sr s s s s s

β β α β β β α β

β α α α β α α α



llll

llll

llll

llll

L


mútuassIndutância

)(.

)(.

)cos(.

0

rotor de própriassIndutânciaestator de própriassIndutância

==

−======

====

⇒+==⇒+==

r sr r s

r sr r s

r sr r s sr r s

r r r r s s s s

mr r r r r r

ms s s s s s

sen M

sen M

M

L L L L

θ

θ

θ

β α α β

α β β α

β β β β α α α α

α β β α α β β α

β β α α

β β α α

ll

ll

llll

llll

llll

l

l


32/34

1 - 5 4

...

..

21' T

f

r

r

s

s

r r r r sr sr

r r r r sr sr

r sr s s s s s

r sr s s s s s

r

r

s

s

energiacoenergiaW

i

i

i

i

β

α

β

α





β

α

β

α

λ

λ

λ

λ

−=⇒=

=

⇔=Λ

iLi

iL

llll

llll

llll

llll


)]..(cos)..(.[

...21

r sr sr r sr sr e

r

T

e

iiiiiiii sen M T

éticoeletromagnconjugadoT

α β β α β β α α θ θ

θ

−++−=

⇒∂∂

= iL

i


33/34

1 - 5 5

Cálculo das condições de produção de conjugado médio útil:

• Se alimentarmos com corrente alternada, tanto estator como

rotor, com fontes independentes e genéricas sendo contudoque, as bobinas de um mesmo enrolamento (estator ou rotor)

são alimentadas por ondas defasadas de 90 graus

elétricos(!!), isto é:


RRRRr r

Rr r

eee

ess

ess

tIi

Ii

tIi

Ii

ρ+ω=θ

θ−=

θ=

ρ+ω=θ

θ−=θ=

β

α

β

α

.)cos(.

)sen(.

.)cos(.

)sen(.

max

max

max

max


34/34

1 - 5 6

Conjugado eletromagnético vale:

ror r r Rer se t I I M T θ ω θ θ θ θ +=⇒−−= .)sen(... maxmax

• Esta fórmula é similar a:

)sen(... sr r se F F k T δ =


• on ç o para ex s nc a e con uga o m o n o-nu o:

• Máquina C.C. :• Máquina Síncrona:

• Máquina Assíncrona:

)sen(.. .maxmax ro Rer ser Re I I M T θ ρ ρ ω ω ω −−=⇒+=

r Re

r e R

r Re

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

+=

=⇒=

−=⇒=

0

0

principios de conversão eletromecanica

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