princípios de comunicações slides 5 e...

Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 1

Princípios de Comunicações

Slides 5 e 6

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA


2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS

2.1 Sinais

Um sinal representa um conjunto de informações ou dados

em função do tempo 𝒳(𝑡).

Em comunicações, os sinais podem representar uma tensão

ou uma corrente elétrica

Iremos nos preocupar com duas grandes classes de sinais,

conhecida como determinista e aleatória.

A medida da força de um sinal pode ser feita de duas

maneiras:

Energia de um sinal

Potência de um sinal



2.2 Sistemas

Um sistema processa um conjunto de informações ou dados

(entradas) para produzir um outro conjunto de sinais

(saídas).

Pode ser um equipamento físico, um meio de transmissão

ou um algoritmo de software, ou uma combinação de vários

elementos



2.3 Modelos de sinais

2.3.1 Sinais determinísticos e aleatórios

Determinísticos: Não há incerteza quanto ao seu valor em nenhum

instante de tempo. Tais sinais podem ser representados no tempo

através de fórmulas matemáticas. O valor de um sinal determinístico

𝑓 𝑡 é conhecido exatamente para todos os valores de t.

𝑓 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡), ∞ < 𝑡 < ∞

Onde 𝐴 𝑒 𝜔0 são constantes.

Π(𝑡) =1, 𝑠𝑒 𝑡 ≤ Τ1 20, 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎

Pulso retangular unitário

Sinal senoidal



Aleatórios: Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência.

Só podem ser representados por suas características estocásticas

(média, variância, autocorrelação, etc). Não podem ser representados

por uma função analítica (não é possível determinar precisamente o

valor do sinal em um dado instante de tempo

Ex. Sinal de voz.



2.3.2 Sinais periódicos e aperiódicos

Periódicos: Um sinal 𝑥 𝑡 é chamado periódico se e somente se:

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇0 , −∞ < 𝑡 < ∞

Onde 𝑇0 é o período.

Um sinal periódico com período 𝑇0 também é periódico com período

𝑚𝑇0, ou seja 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 +𝑚𝑇0 .



Um sinal periódico não é alterado quando deslocado por um

período 𝑚𝑇0.

Um sinal periódico 𝑥 𝑡 pode ser gerado pela repetição periódica

de qualquer segmento de 𝑥 𝑡 com duração 𝑚𝑇0.

Aperiódicos: Qualquer sinal 𝑥 𝑡 que não satisfaz a igualdade 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡 + 𝑇0 é chamada aperiódico.



2.3.3 Sinais fasoriais e espectros

Um sinal útil em análise de sistema é o sinal:

𝑥(𝑡) = A𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃), −∞ < 𝑡 < ∞

O qual é caracterizado por três parâmetros: amplitude A, fase 𝜃 e

frequência angular 𝜔0 em radianos por segundo ou 𝑓0= Τ𝜔02𝜋 em

hertz.

Vamos nos referir a 𝑥(𝑡) como um fasor rotativo.

O sinal 𝑥(𝑡) é um sinal periódico com período 𝑇0= Τ2𝜋𝜔0 .

O fasor rotativo pode ser relacionado com a parte real de um sinal

senoidal 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 de duas maneiras.



Seja 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 . Usando o teorema de Euler podemos

escrever que:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) = 𝐴cos 𝜔0𝑡 + 𝜃 ± 𝑗𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 + 𝜃

Portanto, a primeira maneira de relacionar o sinal senoidal 𝑥 𝑡 com o

fasor rotativo 𝑥 𝑡 é:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 = 𝑅𝑒 𝑥 𝑡

= 𝑅𝑒 𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) (Eq.1)



A segunda maneira de relacionar o sinal senoidal 𝑥 𝑡 com o fasor

rotativo 𝑥 𝑡 é tomando a soma da metade do complexo 𝑥 𝑡 com a

metade do conjugado complexo de 𝑥 𝑡 . Assim,

𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 =1

2𝑥 𝑡 +

1

2𝑥∗(𝑡)

=1

2𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) +

1

2𝐴𝑒−𝑗(𝜔0𝑡+𝜃)

Portanto,

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 =1

2𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) +

1

2𝐴𝑒−𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) (Eq. 2)



As Equações (1) e (2), as quais fornecem uma representação do sinal

senoidal 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 em termos do fasor rotativo 𝑥 𝑡 =

𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) e são representações no domínio do tempo.

Duas representações do sinal senoidal 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜃 no

domínio da frequência pode ser obtido notando que o sinal fasor

rotativo 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃) está completamente especificado em termos

dos parâmetros 𝐴 e 𝜃 para um particular valor de 𝑓0.

Assim, a representação da magnitude (𝐴) e ângulo 𝜃 de 𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜃)

versus frequência nos fornece informações que caracterizam

completamente o sinal 𝑥 𝑡 .


2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMASA representação gráfica da amplitude e fase são referidas como o

espectro de linhas da amplitude e espectro de linha de fase do sinal

senoidal

Os ângulos de fase serão medidos em relação às ondas de

cosseno ou, de forma equivalente, em relação ao eixo real positivo

do diagrama fasorial. Assim, as ondas senoidais precisam ser

convertidas em cossenos através da identidade: 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 =cos(𝜔𝑡 − 90°)



Consideramos a amplitude como sendo sempre uma quantidade

positiva. Quando os sinais negativos aparecem, eles devem ser

absorvidos na fase usando

−𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝐴 cos (𝜔𝑡 ± 180°)

Os ângulos de fase geralmente são expressos em graus

Para ilustrar a construção do espectro de linha (amplitude e fase),

considere o sinal:

𝑤 𝑡 = 7 − 10 cos(4π𝑡 − 60°) + 4 𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡



𝑤 𝑡 = 7 − 10 cos(4π𝑡 − 60°) + 4 𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡

Convertendo o termo constante para uma componente de frequência

zero ou DC (corrente contínua) e aplicando as convenções descritas

anteriormente temos:

𝑤 𝑡 = 7𝑐𝑜𝑠 2𝜋0𝑡 + 10 cos(2π20𝑡 + 120°) + 4 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋60𝑡 − 90°



Cujo espectro de linhas é dado na Figura abaixo

𝑤 𝑡 = 7𝑐𝑜𝑠 2𝜋0𝑡 + 10 cos(2π20𝑡 + 120°) + 4 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋60𝑡 − 90°

Assim temos o chamado espectro de linhas de frequência positiva ou

espectro de linhas de lado simples



Uma outra representação espectral pode ser construída envolvendo

as frequências negativas. É o chamado espectro de lado duplo. Para

o exemplo anterior temos:



Problemas

Construa o espectro de linhas lado simples e lado duplo dos sinais:

a 𝑥 𝑡 = −3 − 4 𝑠𝑒𝑛 30𝜋𝑡

b 𝑥 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 10𝜋𝑡 −1

6𝜋

c 𝑥 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 10𝜋𝑡 −1

6𝜋 + cos(20𝜋𝑡)

princípios de comunicações slides 5 e...

Documents