principio de energia potencial minima 1.2

7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2

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TEMARIO1. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA

1.1 Funcional de Energía Potencial1.2 Graca de la !unci"n de Energía Potencial

1.# Princi$io de e%uili&rio de tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno

2. E*EMPLO ELEMENTAL DE ANALI+I+ E+TR,CT,RAL

2.1 -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida

#. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA 0APLICACIN

#.1 Integraci"n directa

#.2 M3todo a$ro(i/ado 4/3todo Ra)leig56Rit78#.2.1 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4918#.2.2 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4928

:. INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO

;. EC,ACIONE+ <ERMITIANA+

PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA



P

Donde se considera lo siguiente:E = es el módulo de elasticidad del materialL = es la longitud inicial de la barraA = es el área inicial de la sección transversalP = Carga axial actuante

La Rigidez del sistema se maneja con la siguiente exresión:

Deslazamiento corresondiente a la condición dee!uilibrio estático:

dest =P L P

" LAE

Comonente aralela a eje x del camovectorial de deslazamientos

Por ser estado uniaxial de es#uerzos

Donde $ = deslazamiento total del extremo libre de

la barra%

u ( x)=∆ x

L

ε x ( ∆ )= d

dx u( x )

" L

" L =EAL



F,NCIONAL DE ENERGIA POTENCIAL=

∂ u

∂ x=∈ x=

σx

E

U (∆ )=1

2

( E ε x (∆ ))²

E ( AL)

W (∆ )= P ∆

∏ (∆)=W (∆ )−U (∆)

d

d ∆ Π (∆ ) → P−

A E ∆

L

d

d ∆ Π (∆ )=0 solve,∆→

L P

A E

∆equilibrio= L P

A E

da=dy dz

dV =dxda=dx dy dz

δ =∂u

dx

dx

dU =(σxda ) δ

2=

σx

2(dy dz)

∂u

dx dx

dU =σx

2

∂ u

dx (dx dy dz)

Por lo tanto

dU =σx2

∂ u∂ x

dV

&inalmente

U =∂ x

2

2 E V

'#uncional de energ(a otencial

'variación con resecto a $

∂ u

∂ x



'valor de $ !ue )ace !ue laenerg(a otencial del sistema seam(nima%

'este es el deslazamiento máximo!ue ocurre en el extremo libre de labarra en tensión%



GRAFICA DE LA F,NCION DE ENERGIA POTENCIALAsignando valores num*ricos a las variables !ue intervienen:

E=+ L=+ A=+ P=+

ε x ( ∆ )=∆

L

ε x ( ∆ )=1

2

( E ε x ( ∆ ) )2

E ( A L)

W (∆ )= P ∆

Π (∆ )=U ( ∆ )−W (∆)

$= ,+- ,.%//'%%0

1bservar !ue la energ(a otencial es m(nima cuando el 2 = +- or lo tanto este

es el valor !ue minimiza la energ(a otencial del sistema- 3 es la resuestabuscada%

∆ equilibrio= L P

A E=1



PRINCIPIO DE E>,ILI?RIO DE TRA?A*O E@TERNO

TRA?A*O INTERNO

1

2

( E ε x ( ∆equilibrio ))2

E( A L )=0.5

1

2 P ∆equilibrio=0.5

4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entretrabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es:

1

2

( E ε x ( ∆sol ))2

E( A L )=

1

2 P ∆ sol resolviendo,∆sol →(01)

La solución trivial se desec)a 52 =.6 3 la resuesta buscada es 2 = +



E*EMPLO ELEMENTAL DE ANALI+I+E+TR,CT,RAL

-iga i/$le/ente a$o)ada con cargauni!or/e/ente ditri&uida

La solución obtenida en los cursos de 7ecánica de 7ateriales ara el caso deuna viga simlemente ao3ada es observada desde una ersectiva di#erente%

1. Funci"n de /o/ento Be(ionante

( x )=! L

2 x−

! x2

2si"#li$i%ando →

! x ( L− x )2

( L2 )si"#li$i%ando → L

2!

8

2. F,NCION +OL,CION DE LA EC,ACION DIFERENCIAL ORDINARIA4Ordinar) Di!errential E%uation ODE8

& s ( x )= ! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− W L

3

24 E ' x

& s( L

2 )si"#li$i%ando → 5 L

4!

384 E '

#. -ERIFICACION DE LA -ALIDE DE LA +OL,CION DE LA ODEEcuación di#erencial ordinaria

d2

d x2 & s ( x )=

( x ) E '

Calculo de la #unción 8residuo9 generada:



r ( x )= d2

d x2 & s ( x )−

( x ) E '

si"#li$i%ando→0

'Por lo tanto- la ecuación se cumle en 1D1 el dominio%

PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA

0APLICACINConcetos alicados:

Energ(a interna de de#ormación elástica recuerable 5trabajo interno6

Energ(a externa de de#ormación 5trabajo externo6Estado de e!uilibrio estable cuando la energ(a otencial del sistema esm(nima

Cao de etudio= -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida

Datos:;=+ L=+ E=+ <=+

4e obtiene la #unción matemática !ue satis#ace la ecuación di#erencial dee!uilibrio de las barras rectas en exión de los textos de mecánica de

materiales%&unción solución de la ecuación di#erencial de e!uilibrio estático de la viga enexión:

yd ( x , ( )=( ( ! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− ! L

3

24 E ' x )

yd( L

2,1)=−0.013

'&lec)a al centro del claro

5 ! L

4

384 E ' =0.013

'&lec)a máxima 5#ormula conocida6



NOTA: Cuando C=1 se tiene la función solución que se reporta en las distintas referencias sobre eltema de la Mecánica de Sólidos.

Energía interna de de!or/aci"n 4energía eltica recu$era&le8=

U (( )=∫0

L E'

2 ( d2

d x2

yd( x ,( ))2

dx

Tra&a'o e(terno=

W e (( )=∫0

L

−! yd ( x , ( ) dx

ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+= Π (( )=U (( )−W e(( )

d

d( Π (( )→

(

120−

1

120

'variación con resecto a C

d

d( Π (( )=0 resolver ,( →1

'valor de C !ue )ace !ue la energ(aotencial del sistema sea m(nima%



Princi$io de e%uili&rio de Tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno.

∫0

L E '

2 ( d2

d x2 y d ( x ,1))

2

dx=4.167 x 10−3

Tra&a'o interno

1

2∫0

L

−! yd ( x ,1) dx=4.167 x 10−3

Tra&a'o e(terno

4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entretrabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es:

E '

2 ( d2

d x2 y d( x , ( ))

2

dx=¿ 1

2∫0

L

−! yd ( x ,( ) dxresolviendo,( equilibrio→( 01 )∫0

L

¿

Se deseca !" =#$ % la respuesta buscada es " = 1

MI+MO CA+O DE E+T,DIOPOR EL METODO DE INTEGRACION DIRECTA

La ecuación di#erencial se satis#ace con el siguiente olinomio algebraicode cuarto orden 3 alicando las t*cnicas estándar de integración deecuaciones di#erenciales%



ye( x )= ! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− ! L

3

24 E ' x

METODO+ APRO@IMADO+M3todo de Ra)leig56rit7El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continua-derivable 3 de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #ronteradel medio continuo%Enseguida se calcula la #unción de E>ER?@A P1E>C<AL del sistema% Esta#unción deenderá de los arámetros desconocidos de la #unción intentorouesta 5+6

+oluci"n $or el /3todo de RIT 4918

y )i*zl ( x , ( )=−( sin( x

L + )'#unción intento

4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6-a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%

U (( )=∫0

L1

2 E ' ( d

2

d x2 y )i*z1( x , ( ))

2

dx

W e (( )=∫0

L

(−! ) y )i*zl ( x ,( ) dx


d

d( Π (( )→

+ 5

( −4

2+




( equilibrio= d

d( Π (( )=0 solve ,( →

4

+ 5

'valor de C !ue )ace !ue la

energ(a otencial del sistema seam(nima%

y )i*zl( L

2, ( equilibrio)

ye

=100.386

'>ota: la senoide subestima la ec)amáxima en un .%B resecto a lasolución exacta

ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CIONE+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.



Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unciónde la magnitud del momento exionante actuante en la seccióntransversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación dela energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momentoexionante%

)i*zl( x )= d2

d x2

y )i*zl ( x , ( ) ) si"#li$i%ando→+ 2( ) sin(+ x )

)i*zl ( x , ( )= E ' (+ 2( sin (+ x ) )

&unción momento a artir de la

#unción solución intento%

e ( x )= E ' ( ! L

2 x−

!

2 x

2) &unción momento a artir de la

#unción exacta%

-ERIFICACIN DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA.

d4

d x4 (−(

0sin( x

L0

+ ))→−

+ 4

( 0 sin( + x

L0 )

L0

4



q ( x ,( )= E ' (−( +

4

L4sin( x

L + )) &unción a artir de la #unción

solución intento%

qe( x )= E '

d4

dx4 y e

( x ) &unción a artir de la #unción

solución exacta%

+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4928

y ) 2( x , ( )=−( L− x )( x

&unción intento

4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6-a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%

U (( )=∫0

L

12

E '

( d

2

dx2 y )2( x , ( ))

2

dx W e (( )=∫0

L

(−! ) y ) 2 ( x , ( ) dx


d

d( Π (( )→4( −

1

6




( equilibrio= d

d( Π (( )=0 resolviendo,(→

1

24

'valor de C !ue )ace !ue la

energ(a otencial del sistema seam(nima%



y )2( L

2, ( equilibrio)

ye ( L2 ) =80

'>ota: la senoide subestima la ec)amáxima en un F. resecto a lasolución exacta

ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CIONE+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.

Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unciónde la magnitud del momento exionante actuante en la seccióntransversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación dela energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momentoexionante%

( x )= d

2

d x2 y )2

( x ,( ) si"#li$i%ando →2(

( x ,( )= E ' (2( ) &unción momento a artir de la

solución intento



-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA

- 4 ( x )= d4

dx4

y )2 ( x , ( ) si"#li$i%ando→ 0

q ( x ,( )= E ' - 4 ( x ) &unción ! a artir de la #unción

solución intento%

q e( x )= E '

d4

dx4 y e ( x)

&unción ! a artir de la #unciónsolución exacta



INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTOFINITO

Cao de etudio= iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida ) carga concentrada a$licada al centro del claro.

Datos:;=+ L=+ E=+ <=+ P=.%B

Alicando la t*cnica de solución or el m*todo de integración directa

y #=− P x #

12 E ' (3 L2

4− x #

2) y!=

! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− ! L

3

24 E ' x

yd ( x )= y!+ y #

Con la siguiente consideración:

x #= L− x si x> L

2deo*ra "anera→ x #= x



T3cnica de oluci"n $or el /3todo a$ro(i/ado de Rit7

&unción <ntento

y ( x , ( )=−( sin( x L

+ ) rabajo interno

U (( )=∫0

L1

2 E ' ((

+ 2

L2 sin( x

L + ))

2

dx

rabajo Externo

W e (( )=∫0

L−!

2 (−( sin( x

L + ))dx− P y ( L

2, ( )

Consideraciones:

C=.- .%..+'.%.G Es = .%.+ Ei = .



Π (( )=U (( )−W e (( ) . Ener/ia Po*en%ial

Halor de 8C9 !ue )ace !ue el trabajo interno

sea igual al trabajo externoI C = .%.F/B/



&LECJA 8EKACA9 CALCLADA AL CE>R1 DEL CLAR1

5

384

! L4

E ' +

P L4

48 E ' =0.021354 yd( L

2 )=−0.021354

y ( L

2,( )

yd ( L2 ) =138.122

>1A: la senoide sobrestima la ec)a máxima resecto a la soluciónexacta

ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CION

E+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.

( x ,( )= E ' ( d2

dx2 y ( x , ( )) M&unción intento a artir de la #unción

solución intento

d ( x )= E ' ( d2

dx2 yd ( x)) M&unción momento a artir de la #unción

solución exacta

!=! L

2 x−!

x2

2 #=

P

2 x #

Consideraciones:

x #= L− x . si x> L

2de o*ra "anera x #= x



es*a*i%a( x )= !+ #


q ( x ,( )= E ' (−( +

4

L4 sin( x

L + ))

M #unción a artir de la #unción solución intento

qd ( x )= E '

d4

dx4 y d ( x)



M#unción a artir de la #unción solución exacta

EC,ACIONE+ <ERMITIANA+

Cao de etudio= -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida.

La ecuación di#erencial de e!uilibrio alicable a este medio continuo- uede serresuelta mediante EC><CA4 D<&ERE>E4%

T3cnica de oluci"n $or el /3todo de integraci"n directa.



En casos anteriores- la ecuación di#erencial se satis#ace con el siguienteolinomio algebraico de cuarto orden:

ye( x )= ! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− ! L

3

24 E ' x

e ( x )=

d2

dx2 ( y e

( x ) ) si"#li$i%ando →! x ( L− x )

2 E ' 0 %urva*ura %orres#ondien*e

Esta #unción se obtiene de t*cnicas comunes de integración de ecuacionesdi#erenciales%

y $ix ( x )=−! x

2

24 E '

( L− x2) 0 linea elas*i%a de vi/a doble"en*e e"#o*rada

$ix ( x )= d

2

dx2 ( y $ix ( x ) ) si"#li$i%ando →−

! ( L2−6 L x+6 x2 )

12 E '

0 %urva*ura %orres#ondien*e

+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4RALEIG<6RIT8

El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continua- derivable 3

de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #rontera del mediocontinuo%Enseguida se calcula la #unción de E>ER?<A P1E>C<AL del sistema% Esta#unción deenderá de los arámetros desconocidos de la #unción intentorouesta%

y )i*zl ( x , ya , 1a , yb ,1 b )=¿

ya(2 x3

L3 −

3 x2

L2 +1)+1a( x−2 x

2

L +

x3

L2 )+ yb(3 x

2

L2 −

2 x3

L3 )+1b(− x

2

L +

x3

L2 )

)i*zl( x )=

d2

dx2 y )i*zl ( x , y a, 1a , y b ,1 b )

)i*zl ( x ) → yb( 6 L2−12 x

L3 )−1a(4 L−6 x

L2 )− ya( 6 L2

−12 x

L3 )−1b( 2 L−6 x

L2 )



4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de las constantes6 3 sebusca el valor de las constantes !ue minimizan la #unción%

U ( x , y a , 1a , y b, 1b )=∫0

L1

2 E ' ( d

2

dx2 y )i*zl ( x , y a , 1a , y b ,1b ))

2

dx

W e ( y a ,1 a , y b , 1b )=∫0

L

(−! ) y )i*zl ( x , y a ,1a , yb , 1b ) dx

Energía $otencial del ite/a e=

Π ( y a ,1a, yb , 1b )=U ( y a ,1 a , y b , 1b )−W e ( y a, 1a , y b ,1b )

d

d1a

Π

( y

a, 1

a, y

b, 1

b )→

L2

!

12

+4 E ' 1a

L +

2 E ' 1b

L +

6 E ' ya

L2

−6 E ' yb

L2

d

d1b

Π ( ya , 1a , y b , 1b ) →2 E ' 1a

L −

L2

!

12+4 E ' 1b

L +

6 E ' ya

L2 −

6 E ' yb

L2

d

dya

Π ( ya ,1a, y b , 1b ) → L !

2+6 E ' 1a

L2 +

6 E ' 1b

L2 +

12 E ' y a

L3 −

12 E ' yb

L3

d

dyb

Π ( ya ,1a, yb , 1b ) → L !

2−

6 E ' 1a

L2 −

6 E ' 1b

L2 −

12 E ' ya

L3 +

12 E ' yb

L3

Escribiendo las ecuaciones algebraicas en lenguaje matricial 5igualando a8cero9 cada una de las cuatro ecuaciones6:

Reacomodando t*rminos:



ANLI+I+ COMPARATI-O DE LA DI+TRI?,CIN E+PACIAL DE LAENERGHA DE DEFORMACIN.

Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unción de la

magnitud del momento exionante actuante en la sección transversalanalizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación de la energ(a dede#ormación a trav*s de la variación del momento exionante%

)i*zl ( x , 1a , 1b )= E ' )i*zl ( x ) . $un%ion "o"en*oa #ar*ir de la $un%ionin*en*o

e ( x )= E ' ( ! L

2 x−

!

2 x

2). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ionexa%*a


d4

dx4 ( y )i*zl ( x , 1a , 1b ))→00 %ero%ar/a*ransversal

q ( x ,1a ,1 b )= E ' (0 ). $un%ion 2 a #ar*ir de la$un%ion solu%ionin*en*o

qe( x )= E '

d4

dx4 y e

( x ) si"#li$i%ando →−!

. $un%ion 2a #ar*ir de la $un%ion solu%ion exa%*a

-ALORE+ N,MERICO+ ,+ADO+ PARA ANALIAR LO+ RE+,LTADO+O?TENIDO+ <A+TA A<ORA=

Dato=



;=+ E=+ <=+ L=+ x i=0, L

200 L

ye( x )=

! L

12 E ' x

3− !

24 E ' x

4− ! L

3

24 E ' x

e ( x )=! x( L− x)

2 E '

Esta ecuación matricial se uede articionar de manera de generarse lassiguientes submatrices:

al !ue:



Reconociendo !ue ara este roblema los deslazamientos transversalesen ambos extremos son nulos- el vector de deslazamientos es:

'solución del sistema

y )i*zl ( x ,1a, 1b )=1b(− x2

L +

x3

L2 )+1a( x−2 x

2

L +

x3

L2 )

y )i*zl ( x )=−2 (2 L1a+ L 1b−31a x−31b x )

L2

+I INCL,IMO+ LA CONDICION DE DEFORMACIONCORRE+PONDIENTE A ,NA -IGA DO?LEMENTE EMPOTRADA CON CARGA ,NIFORMEMENTE DI+TRI?,IDA=

y $ix ( x )=

−! x2

24 E ' ( L− x )2



y $ix ( x )=! ( L2−6 L x+6 x

2 )12 E '

y )eal ( x )= y )i*zl ( x ,1a, 1b )+ y $ix( x)

e ( x )= E ' e ( x ). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ion solu%ion exa%*a

)i*zl ( x )= E ' )i*zl ( x ). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la $un%ion solu%ion in*en*o

$ix ( x )= E ' $ix ( x )

real ( x )= )i*zl ( x )+ E ' $ix( x )



qe( x )= E '

d2

dx2 e ( x ). $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ion exa%*a

q )i*zl ( x )= E '

d2

dx2 )i*zl

( x ). $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ionexa%*a



q $ix( x )= E '

d2

dx2 $ix

( x )

qreal ( x )=q )i*zl

( x )+ E ' d

2

dx

2 ( E ' $ix( x))

principio de energia potencial minima 1.2

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