primos: de -300 a 2008 - página principalcollier/palestras/primos1.pdf · o crivo de eratóstenes...

Primos: de -300 a 2008S. C. Coutinho

Instituto de Matematica–UFRJ

OBMEP 2009 – p. 1/32

Alexandria, Egito, século III a.C.

OBMEP 2009 – p. 2/32

Alexandria, 300 a. C.

OBMEP 2009 – p. 3/32


O farol

OBMEP 2009 – p. 3/32


O farol A Biblioteca

OBMEP 2009 – p. 3/32


O farol A Biblioteca O Museu

OBMEP 2009 – p. 3/32

Euclides: os Elementos

OBMEP 2009 – p. 4/32

Os Elementos: livro VII

Euclides dizia:

OBMEP 2009 – p. 5/32


Euclides dizia:

11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.

OBMEP 2009 – p. 5/32


Euclides dizia:


13. Composto é um número que é medido por algumoutro número.

OBMEP 2009 – p. 5/32


Euclides dizia:



Nós dizemos:

OBMEP 2009 – p. 5/32


Euclides dizia:



Nós dizemos:

11. Primo é um número cujos únicos divisores sãoele próprio e a unidade.

OBMEP 2009 – p. 5/32


Euclides dizia:



Nós dizemos:

11. Primo é um número cujos únicos divisores sãoele próprio e a unidade.

13. Composto é um número que é divisível por algumoutro número que não é a unidade.

OBMEP 2009 – p. 5/32

Nosso problema

OBMEP 2009 – p. 6/32

Nosso problema

Dado um número natural, determinar se é primo oucomposto.

OBMEP 2009 – p. 6/32

Eratóstenes, 200 a. C.

OBMEP 2009 – p. 7/32


Beta

OBMEP 2009 – p. 7/32


Beta O mapa

OBMEP 2009 – p. 7/32


Beta O mapa Medida da Terra

OBMEP 2009 – p. 7/32

O Crivo de Eratóstenes

OBMEP 2009 – p. 8/32


Um crivo é uma peneira.

OBMEP 2009 – p. 8/32



O crivo inventado por Eratóstenes peneira os númerosímpares:

OBMEP 2009 – p. 8/32




• passam os compostos,

OBMEP 2009 – p. 8/32




• passam os compostos,

• mas ficam os primos.

OBMEP 2009 – p. 8/32

O Crivo em ação

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em açãoÍmpares menores que cem:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em açãoRiscando de três em três:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em açãoRiscando de cinco em cinco:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em açãoRiscando de sete em sete:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Já podemos parar!

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Já podemos parar!

n =√

n ×√

n

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Já podemos parar!

n =√

n ×√

n

n = a × b

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Já podemos parar!

n =√

n ×√

n

n = a × b

sea for maior que a raiz, entãob é menor,OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Já podemos parar!

n =√

n ×√

n

n = a × b

sea for maior que a raiz, entãob é menor, evice-versa.

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Logo os primosímparesaté 100 são:

OBMEP 2009 – p. 9/32

O Crivo em ação

1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Logo os primosímparesaté 100 são:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,

73, 79, 83, 89, 97

OBMEP 2009 – p. 9/32

Crivos

OBMEP 2009 – p. 10/32

Crivos

• ainda muito usados hoje em dia;

OBMEP 2009 – p. 10/32

Crivos


• precisam de muita memória do computador.

OBMEP 2009 – p. 10/32

Crivos



• bons para listar todos os primos menores que umnúmero dado;

OBMEP 2009 – p. 10/32

Crivos




• lentos demais se queremos saber apenas se umnúmero grande é primo;

OBMEP 2009 – p. 10/32

Crivos




• lentos demais se queremos saber apenas se umnúmero grande é primo;

• inviáveis se o número dado tem 100 algarismos.

OBMEP 2009 – p. 10/32

Toulouse, França, século XVII

OBMEP 2009 – p. 11/32

Pierre de Fermat (1601-1665)

OBMEP 2009 – p. 12/32


Fermat

OBMEP 2009 – p. 12/32


Fermat A casa

OBMEP 2009 – p. 12/32


Fermat A casa Uma carta

OBMEP 2009 – p. 12/32

Números de Fermat

OBMEP 2009 – p. 13/32

Números de Fermat

Em carta de 1640 a seu amigo Frénicle de Bessy,Fermat afirmou

OBMEP 2009 – p. 13/32

Números de Fermat


todos os números da forma22n

+ 1 sãoprimos.

OBMEP 2009 – p. 13/32

Números de Fermat


todos os números da forma22n

+ 1 sãoprimos.

Mas isto é falso...

OBMEP 2009 – p. 13/32

L. Euler, 1732

OBMEP 2009 – p. 14/32

L. Euler, 1732

O número de Fermat

225

+ 1 = 232 + 1

tem fatoração

641 × 6.700.417.

OBMEP 2009 – p. 14/32

Números de Fermat em 2009

OBMEP 2009 – p. 15/32


22n

+ 1 é:

OBMEP 2009 – p. 15/32


22n

+ 1 é:

• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;

OBMEP 2009 – p. 15/32


22n

+ 1 é:

• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;

• composto para5 ≤ n ≤ 32;

OBMEP 2009 – p. 15/32


22n

+ 1 é:

• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;


• quandon > 32 pouco se sabe.

OBMEP 2009 – p. 15/32


22n

+ 1 é:

• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;


• quandon > 32 pouco se sabe.

Apesar de sabermos que22n

+ 1 écompostoquando

n = 14, 20, 22, 24

nenhum fator destes números de Fermat é conhecido!

OBMEP 2009 – p. 15/32

O Teorema de Fermat

OBMEP 2009 – p. 16/32

O Teorema de Fermat

Suponha quen ea são números naturais. Sen primo,então

OBMEP 2009 – p. 16/32

O Teorema de Fermat


an − a é divisível por n.

OBMEP 2009 – p. 16/32

O Teorema de Fermat


an − a é divisível por n.

Enunciado por Fermat em uma carta de 18 de outubrode 1640 enviada a Frénicle.

OBMEP 2009 – p. 16/32

Consequência do Teorema deFermat

OBMEP 2009 – p. 17/32


Suponha quen ea são números naturais.

OBMEP 2009 – p. 17/32



Sen é primo

entãoan − a é divisível por n.

OBMEP 2009 – p. 17/32



Sean − a nãoé divisível por n

então

OBMEP 2009 – p. 17/32



Sean − a nãoé divisível por n

entãon é composto.

OBMEP 2009 – p. 17/32

Conclusão

OBMEP 2009 – p. 18/32

Conclusão

• com sorte podemos usar o teorema de Fermatpara provar que um número é composto;

OBMEP 2009 – p. 18/32

Conclusão

• com sorte podemos usar o teorema de Fermatpara provar que um número é composto;

• masnuncapara provar que um número é primo.

OBMEP 2009 – p. 18/32

Paris, França, século XIX

OBMEP 2009 – p. 19/32

Edouard Lucas (1842-1891)

OBMEP 2009 – p. 20/32


E. Lucas

OBMEP 2009 – p. 20/32


E. Lucas O jogo

OBMEP 2009 – p. 20/32


E. Lucas O jogoO Liceu CarlosMagno

OBMEP 2009 – p. 20/32

Números da forma2n − 1

OBMEP 2009 – p. 21/32


Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;

OBMEP 2009 – p. 21/32



Por exemplo,6 é um número perfeito:

OBMEP 2009 – p. 21/32




1, 2, 3 são os divisores.

OBMEP 2009 – p. 21/32




1 + 2 + 3 = 6

OBMEP 2009 – p. 21/32



Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;

OBMEP 2009 – p. 21/32




Por exemplo, sen = 2:

OBMEP 2009 – p. 21/32





22 × (23 − 1)

OBMEP 2009 – p. 21/32





22 × 7 = 28.

OBMEP 2009 – p. 21/32





22 × 7 = 28.

1 + 2 + 4+

OBMEP 2009 – p. 21/32





22 × 7 = 28.

1 + 2 + 4 + 7 + 2 × 7

OBMEP 2009 – p. 21/32





22 × 7 = 28.

1 + 2 + 4 + 7 + 2 × 7 = 28.

OBMEP 2009 – p. 21/32




Mersenne: paran ≤ 257, os números da forma2n − 1 são primos apenas quando

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;

OBMEP 2009 – p. 21/32





n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;

Mersenne estavaerrado,

OBMEP 2009 – p. 21/32





n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;

Mersenne estavaerrado, (os valores den corretos são

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, e 127;

)OBMEP 2009 – p. 21/32





n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;

Mersenne estavaerrado, mas estes númerosacabaram conhecidos comonúmeros de Mersenne.

OBMEP 2009 – p. 21/32


OBMEP 2009 – p. 22/32


Sabe-se que:

OBMEP 2009 – p. 22/32


Sabe-se que:• sen for composto,2n − 1 também é;

OBMEP 2009 – p. 22/32



• sen for primo,2n − 1 pode ser primo ou não.

OBMEP 2009 – p. 22/32



• sen for primo,2n − 1 pode ser primo ou não.

Cada expoente primon tem que ser analisadoseparadamente para verificar se2n − 1 é ou não éprimo.

OBMEP 2009 – p. 22/32

Lucas e Mersenne

OBMEP 2009 – p. 23/32

Lucas e Mersenne

Lucas começou a tentar provar que

2127 − 1

era primo em 1857, quando tinha 15 anos.

OBMEP 2009 – p. 23/32

Lucas e Mersenne


2127 − 1


Só consegui completar a conta em 1876,

OBMEP 2009 – p. 23/32

Lucas e Mersenne


2127 − 1


Só consegui completar a conta em 1876, quandoinventou um novo método para verificar se umnúmero de Mersenne é primo ou composto.

OBMEP 2009 – p. 23/32

Lucas e Mersenne


2127 − 1


Só consegui completar a conta em 1876, quandoinventou um novo método para verificar se umnúmero de Mersenne é primo ou composto.

Nos anos 1930 o teste foi aperfeiçoado por D. H.Lehmer.

OBMEP 2009 – p. 23/32

Uma sequência

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência

Construa uma sequência de números pela regra

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência


S0 = 4 e Sk = S2

k−1 − 2 quando k > 0.

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência


S0 = 4 e Sk = S2

k−1 − 2 quando k > 0.

Alguns valores:

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência


S0 = 4 e Sk = S2

k−1 − 2 quando k > 0.

Alguns valores:

S1 = S2

0 − 2 = 42 − 2 = 16 − 2 = 14.

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência


S0 = 4 e Sk = S2

k−1 − 2 quando k > 0.

Alguns valores:

S1 = 14; S2 = S2

1 − 2 = 142 − 2 = 194.

S1 = 14; S2 = 194; S3 = 37634,

OBMEP 2009 – p. 24/32

Uma sequência


S0 = 4 e Sk = S2

k−1 − 2 quando k > 0.

Alguns valores:

S1 = 14; S2 = 194; S3 = 37634,

e assim por diante.

OBMEP 2009 – p. 24/32

Lucas-Lehmer

OBMEP 2009 – p. 25/32

Lucas-LehmerSejap um número primo.

OBMEP 2009 – p. 25/32


O número de Mersenne2p − 1 é primo se, e somentese,

OBMEP 2009 – p. 25/32



Sp−1 é divisível por2p − 1.

OBMEP 2009 – p. 25/32



Sp−1 é divisível por2p − 1.

Este é o mais eficiente teste de primalidadeconhecido!

OBMEP 2009 – p. 25/32

Los Angeles, Estados Unidos,século XXI

OBMEP 2009 – p. 26/32

Doze milhões de algarismos

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:

Um novo número primo foi descoberto.

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:

Um novo número primo foi descoberto. Com

12.978.189

algarismos,

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:


12.978.189

algarismos, o número

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:


12.978.189


243.112.609 − 1

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:


12.978.189


243.112.609 − 1

é o maior número primo conhecido no momento.

OBMEP 2009 – p. 27/32


Agosto de 2008:


12.978.189


243.112.609 − 1

é o maior número primo conhecido no momento.

A descoberta foi feita por Edson Smith em LosAngeles utilizando os programs do GIMPS.

OBMEP 2009 – p. 27/32

GIMPS

OBMEP 2009 – p. 28/32

GIMPS

GIMPS é a sigla de

OBMEP 2009 – p. 28/32

GIMPS

GIMPS é a sigla deGreat Internet Mersenne Prime Search

OBMEP 2009 – p. 28/32

GIMPS

GIMPS é a sigla deGrande Busca de Primos de Mersenne na Internet

OBMEP 2009 – p. 28/32

GIMPS


O GIMPS fornece uma implementação altamenteeficiente do

OBMEP 2009 – p. 28/32

GIMPS


O GIMPS fornece uma implementação altamenteeficiente doteste de Lucas-Lehmer.

Os programas do GIMPS estão disponíveis na web epodem ser baixados e usados em qualquercomputador.

OBMEP 2009 – p. 28/32

O maior primo

OBMEP 2009 – p. 29/32

O maior primo

Será que um dia o GIMPS vai encontrar o maior detodos os primos?

OBMEP 2009 – p. 29/32

Lembretes

OBMEP 2009 – p. 30/32

Lembretes

• dois números consecutivos não podem ter fatorescomuns;

OBMEP 2009 – p. 30/32

Lembretes


• sea divide b, que dividec, entãoa divide c;

OBMEP 2009 – p. 30/32

Lembretes



• números sem fatores comuns são divisíveis porprimos diferentes.

OBMEP 2009 – p. 30/32

Lembretes




Conclusão:

OBMEP 2009 – p. 30/32

Lembretes




Conclusão:

Sef eg não têm fatores comuns entãof , g ef × g + 1 não têm fatores primos em comum.

OBMEP 2009 – p. 30/32

Existem infinitos números primos.

OBMEP 2009 – p. 31/32

Demonstração

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2 e 2 + 1 = 3

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2 e 2 + 1 = 3

não têm fatores comuns, concluímos que

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2 e 2 + 1 = 3


2, 3 e2 × 3 + 1 = 7

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2 e 2 + 1 = 3


2, 3 e2 × 3 + 1 = 7

também não podem ter fatores primos comuns.

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2 e 2 + 1 = 3


2, 3 e2 × 3 + 1 = 7


Portanto, existem pelo menostrês números primos.

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3 e 7


2, 3 e2 × 3 + 1 = 7



OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3 e 7


2, 3, 7 e

2 × 3 × 7 + 1 = 43



OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3 e 7


2, 3, 7 e

2 × 3 × 7 + 1 = 43


Portanto, existem pelo menosquatro númerosprimos.

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7 e

2 × 3 × 7 + 1 = 43



OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7, 43 e

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807



OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7, 43 e

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807


Portanto, existem pelo menoscinconúmerosprimos.

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7, 43 e

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807


...e assim por diante...

Portanto, existem pelo menoscinconúmerosprimos.

OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7, 43 e

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807



OBMEP 2009 – p. 32/32

Demonstração

Como,2, 3, 7 e 43


2, 3, 7, 43 e

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807



Portanto, sabemos construir qualquer quantidade deprimos desejada!

OBMEP 2009 – p. 32/32

primos: de -300 a 2008 - página principalcollier/palestras/primos1.pdf · o crivo de eratóstenes...

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