previsÃo do consumo industrial de energia...

PREVISÃO DO CONSUMO INDUSTRIAL DE ENERGIA

ELÉTRICA POR REGIÃO DO BRASIL

Gustavo Costa Moura Neves

Hugo Catalão Simas Vivas

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia de Produção da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: André Assis de Salles, D. Sc.

Rio de Janeiro

Março de 2018

ii

Costa Moura Neves, Gustavo

Catalão Simas Vivas, Hugo

Previsão do Consumo Industrial de Energia Elétrica por

Região do Brasil / Gustavo Costa Moura Neves e Hugo Catalão

Simas Vivas – Rio de Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, 2018.

XVI, 237 p.: il.; 29,7 cm

Orientador: André Assis de Salles

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia de Produção, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 144-148.

1. Consumo de Energia Elétrica. 2. Forecasting. 3. Séries

Temporais. 4. SARIMA. 5. Machine Learning. 6. SVR.

I. Salles, André Assis de. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia de Produção. III.

Previsão do Consumo Industrial de Energia Elétrica por Região

do Brasil.

iii

Agradecimentos

Agradecimentos do Gustavo:

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus, por ter me iluminado em toda minha caminhada.

Agradeço também aos meus amigos e minha família, principalmente meus pais, João e

Márcia, sem cujo apoio jamais teria conseguido chegar até aqui.

À minha namorada, Bruna, por toda a dedicação e apoio durante este trabalho e em toda

a minha vida.

Agradeço, também, a todo o corpo docente do curso de engenharia de produção da

UFRJ, que foram importantíssimos para a minha formação.

Por último, um agradecimento especial ao prof. André Salles, por todo o seu apoio

durante a elaboração deste trabalho, mostrando-se a todo momento interessado e

disposto a nos ajudar.

Agradecimentos do Hugo:

Primeiramente, agradeço a minha família, por ter me apoiado e me incentivado durante

todos esses anos de estudos, sem eles nada disso seria possível, principalmente a minha

avó Áurea e a minha mãe Andreia.

Ao corpo docente do curso de Engenharia de Produção da UFRJ que me formaram, não

somente como Engenheiro, mas também como cidadão.

Ao professor Luiz Antonio Meirelles in memorian, pela sua amizade e por ter feito me

apaixonar pela Engenharia de Produção no início da faculdade.

A todos os meus amigos e a minha dupla do trabalho de conclusão de curso, pelos

momentos felizes e por terem me levantado nos momentos difíceis.

E um agradecimento especial ao professor, André Salles, por seu companheirismo,

disponibilidade, paciência e interesse de nos auxiliar com esse estudo.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de Produção.

PREVISÃO DO CONSUMO INDUSTRIAL DE ENERGIA ELÉTRICA

POR REGIÃO DO BRASIL



Março/2018

Orientador: André Assis de Salles

Curso: Engenharia de Produção

Possuindo relação direta com o comportamento da economia, a energia elétrica é

utilizada por todos os segmentos da sociedade e apresenta papel preponderante para o

setor industrial. Diversos fatores socioeconômicos e climáticos influenciam no consumo

de energia elétrica, contudo, existe a incerteza da intensidade e velocidade com que

esses fatores se manifestam, fazendo com que a previsão do consumo de energia elétrica

tenha uma relevância cada vez maior para o planejamento do setor elétrico e para a

tomada de decisões a curto e longo prazo. Este trabalho se propôs a analisar diversos

modelos de previsões para o consumo de energia elétrica industrial para cada região do

Brasil e a avaliá-los, através da comparação das medidas de ajustamento das previsões,

a fim de indicar o modelo mais adequado para as respectivas regiões. Com este objetivo,

foram utilizadas séries históricas mensais, relativas ao período de janeiro de 2003 a abril

de 2017, das variáveis exógenas: temperatura, número de unidades consumidoras,

Tarifa Média de energia elétrica e o IBCR.

Palavras-chave: Consumo de Energia Elétrica, Forecasting, Séries Temporais,

SARIMA, Machine Learning, SVR.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Industrial Engineer.

INDUSTRIAL ELECTRICAL CONSUMPTION FORECASTING PER

REGION IN BRAZIL



March 2018

Advisor: André Assis de Salles

Course: Industrial Engineering

Being directly related to the behavior of the economy, electric energy is used by all

segments of the society and presents a preponderant role for the industrial sector.

Several socioeconomic and climatic factors affect the consumption of electric energy.

However, there is uncertainty in the intensity and speed with which these factors are

manifested. Thus, electric energy consumption forecasting has an increasing relevance

in regards to the electric sector planning and decision-making in the short and long

term. This work aimed to analyze several forecasting models for the consumption of

industrial electrical energy for each region in Brazil and to evaluate them by comparing

the adjustment measures of the forecasts, in order to indicate the most appropriate

model for each region. For this purpose, monthly historical data series were used for the

periods from January 2003 to April 2017, such as: temperature, number of consuming

units, average electricity tariff, and IBCR.

Keywords: Electric Energy Consumption, Forecasting, Time Series, SARIMA, Machine

Learning, SVR.

vi

Sumário

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1

1.1. Contextualização ................................................................................................. 1

1.2. Motivação e Objetivos ......................................................................................... 6

1.3. Estrutura do Trabalho .......................................................................................... 8

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................... 9

3. METODOLOGIA ADOTADA .............................................................................. 14

3.1. Conceitos Básicos de Séries Temporais ............................................................... 14

Definição de Série Temporal ............................................................................. 14

Componentes de uma Série Temporal ............................................................. 14

Definição de Ruído Branco ................................................................................ 15

Aplicações de Séries Temporais ........................................................................ 16

3.2. Funções de Autocovariância e Autocorrelação .................................................... 16

3.3. Estacionariedade ............................................................................................... 18

Estacionariedade fraca ...................................................................................... 18

Estacionariedade forte ...................................................................................... 18

Testes de Raízes Unitárias ................................................................................. 19

Diferenciação de Séries Temporais ................................................................... 22

3.4. Autocorrelação .................................................................................................. 23

3.5. Homocedasticidade ........................................................................................... 27

3.6. Normalidade ..................................................................................................... 29

3.7. Modelos Utilizando Dados Históricos da Série Dependente ................................ 31

Processo Autoregressivo (AR) ........................................................................... 31

Processo Média Móvel (MA) ............................................................................. 32

Processo Autoregressivo de Médias Móveis (ARMA) ....................................... 33

Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA) ..................... 34

Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis Sazonal (SARIMA) ...... 34

Estimação dos Parâmetros dos Modelos e Comparação .................................. 35

Amortecimento Exponencial Simples ............................................................... 37

Amortecimento Exponencial Duplo (Holt) ........................................................ 38

vii

Amortecimento Exponencial Duplo com Efeito Sazonal (Holt Winters) ........... 39

Modelos de Decomposição de Séries Temporais ............................................. 40

3.8. Modelos Incrementando Variáveis Exógenas ...................................................... 42

ARMAX .............................................................................................................. 42

Regressão Linear com Erros ARMA ................................................................... 43

Modelos de Regressão Dinâmica ...................................................................... 44

Decomposição com Variáveis Exógenas ........................................................... 45

3.9. Modelos de Machine Learning ........................................................................... 45

Rede Neural ....................................................................................................... 46

Random Forest .................................................................................................. 48

Support Vector Regression (SVR) ...................................................................... 49

3.10. Medidas de Ajustamento ................................................................................... 51

4. AMOSTRA: DADOS UTILIZADOS ....................................................................... 52

4.1. Descrição dos Dados .......................................................................................... 52

Consumo de Energia Elétrica Industrial ............................................................ 52

Temperatura ..................................................................................................... 52

Tarifa Média ...................................................................................................... 53

IBCR ................................................................................................................... 54

4.2. Resumos Estatísticos, Testes de Estacionariedade e Normalidade ....................... 54

Consumo de Energia Elétrica ............................................................................ 55

IBCR ................................................................................................................... 57

Tarifas Médias ................................................................................................... 59

Temperaturas .................................................................................................... 61

Unidades consumidoras .................................................................................... 62

5. RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................... 64

5.1. Modelo 1: SARIMA ............................................................................................ 64

Região Centro-Oeste ......................................................................................... 64

Região Nordeste ................................................................................................ 67

Região Norte ..................................................................................................... 69

Região Sudeste .................................................................................................. 71

Região Sul .......................................................................................................... 73

5.2. Modelo 2: Holt-Winters ..................................................................................... 75

viii


Região Nordeste ................................................................................................ 77

Região Norte ..................................................................................................... 79

Região Sudeste .................................................................................................. 82

Região Sul: ......................................................................................................... 84

5.3. Modelo 3: Regressão Linear com Erros SARIMA .................................................. 86


Região Nordeste ................................................................................................ 88

Região Norte ..................................................................................................... 90

Região Sudeste .................................................................................................. 92

Região Sul .......................................................................................................... 94

5.4. Modelo 4: Decomposição com Variáveis Dummies ............................................. 96


Região Nordeste ................................................................................................ 98

Região Norte ................................................................................................... 100

Região Sudeste ................................................................................................ 102

Região Sul ........................................................................................................ 104

5.5. Modelo 5: Decomposição com Séries de Fourier ............................................... 106

Região Centro-Oeste ....................................................................................... 106

Região Nordeste .............................................................................................. 108

Região Norte ................................................................................................... 110

Região Sudeste ................................................................................................ 112

Região Sul ........................................................................................................ 114

5.6. Modelo 6: Random Forest ................................................................................ 116


Região Nordeste .............................................................................................. 119

Região Norte ................................................................................................... 121

Região Sudeste ................................................................................................ 123

Região Sul ........................................................................................................ 125

5.7. Modelo 7: SVR ................................................................................................. 127


Região Nordeste .............................................................................................. 129

ix

Região Norte ................................................................................................... 131

Região Sudeste ................................................................................................ 133

Região Sul ........................................................................................................ 135

5.8. Comparação entre os Modelos ......................................................................... 137


Região Nordeste .............................................................................................. 137

Região Norte ................................................................................................... 138

Região Sudeste ................................................................................................ 138

Região Sul ........................................................................................................ 139

Resumo dos Modelos ...................................................................................... 140

6. COMENTÁRIOS FINAIS ................................................................................... 142

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 144

APÊNDICE A: Testes de Normalidade .................................................................... 149

APÊNDICE B: Testes de Estacionariedade .............................................................. 174

APÊNDICE C: Código R do Sudeste ......................................................................... 223

x

Lista de Figuras

Figura 1: Representação das relações entre os segmentos do setor energético ................ 1

Figura 2: Matriz energética brasileira ............................................................................... 2

Figura 3: Participação das classes de consumidores de energia no consumo total do

Brasil, 2016 ....................................................................................................................... 4

Figura 4: Consumo de energia elétrica industrial no Brasil em GWh, 2003-2017 .......... 5

Figura 5: Consumo de energia elétrica industrial por região do Brasil, 2003-2017 ......... 6

Figura 6: Gráfico de Autocorrelação Empírica (ACF) ................................................... 24

Figura 7: Estrutura básica de uma rede neural ............................................................... 46

Figura 8: Exemplo de árvore de decisão ........................................................................ 48

Figura 9: Exemplo de vetor de suporte ........................................................................... 50

Figura 10: Forecasting do SARIMA - Centro-Oeste ...................................................... 65

Figura 11: Gráfico ACF do SARIMA - Centro-Oeste ................................................... 66

Figura 12: Teste Ljung-Box do SARIMA - Centro-Oeste ............................................. 66

Figura 13: Teste GARCH do SARIMA - Centro-Oeste ................................................. 67

Figura 14: Forecasting do SARIMA - Nordeste ............................................................. 67

Figura 15: Gráfico ACF do SARIMA - Nordeste .......................................................... 68

Figura 16: Teste Ljung-Box do SARIMA - Nordeste .................................................... 68

Figura 17: Teste GARCH do SARIMA - Nordeste ........................................................ 69

Figura 18: Forecasting do SARIMA - Norte .................................................................. 69

Figura 19: Gráfico ACF do SARIMA - Norte ................................................................ 70

Figura 20: Teste Ljung-Box do SARIMA - Norte ......................................................... 70

Figura 21: Teste GARCH do SARIMA - Norte ............................................................. 70

Figura 22: Forecasting do SARIMA - Sudeste ............................................................... 71

Figure 23: Gráfico ACF do SARIMA - Sudeste ............................................................ 72

Figura 24: Teste Ljung-Box do SARIMA - Sudeste ...................................................... 72

Figura 25: Teste GARCH do SARIMA - Sudeste .......................................................... 72

Figura 26: Forecasting do SARIMA - Sul ...................................................................... 73

Figura 27: Gráfico ACF do SARIMA - Sul ................................................................... 74

Figura 28: Teste Ljung-Box do SARIMA - Sul ............................................................. 74

Figura 29: Teste GARCH do SARIMA - Sul ................................................................. 74

xi

Figura 30: Forecasting do Holt Winters - Centro-Oeste................................................. 75

Figura 31: Gráfico ACF do Holt Winters - Centro-Oeste .............................................. 76

Figura 32: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Centro-Oeste ........................................ 76

Figura 33: Teste GARCH do Holt Winters - Centro-Oeste............................................ 76

Figura 34: Forecasting do Holt Winters - Nordeste ....................................................... 77

Figura 35: Gráfico ACF do Holt Winters - Nordeste ..................................................... 78

Figura 36: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Nordeste ............................................... 78

Figura 37: Teste GARCH do Holt Winters - Nordeste .................................................. 78

Figura 38: Forecasting do Holt Winters - Norte ............................................................. 79

Figura 39: Gráfico ACF do Holt Winters - Norte .......................................................... 80

Figura 40: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Norte .................................................... 80

Figure 41: Teste GARCH do Holt Winters - Norte ........................................................ 80

Figura 42: Gráfico ACF do quadrado dos resíduos do HW - Norte ............................... 81

Figura 43: Forecasting do Holt Winters - Sudeste ......................................................... 82

Figura 44: Gráfico ACF do Holt Winters - Sudeste ....................................................... 83

Figura 45: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Sudeste ................................................. 83

Figura 46: Teste GARCH do Holt Winters - Sudeste .................................................... 83

Figura 47: Forecasting do Holt Winters - Sul................................................................. 84

Figura 48: Gráfico ACF do Holt Winters - Sul .............................................................. 85

Figura 49: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Sul ........................................................ 85

Figura 50: Teste GARCH do Holt Winters - Sul............................................................ 85

Figura 51: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste ..................... 86

Figura 52: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste ................... 87

Figura 53: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste ............ 87

Figura 54: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste ................ 87

Figura 55: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Nordeste ............................ 88

Figure 56: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Nordeste ......................... 89

Figura 57: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Nordeste ................... 89

Figura 58: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Nordeste ....................... 89

Figura 59: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Norte ................................. 90

Figura 60: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Norte ............................... 91

xii

Figura 61: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Norte ......................... 91

Figura 62: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Norte ............................ 91

Figura 63: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Sudeste .............................. 92

Figura 64: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Sudeste ........................... 93

Figura 65: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Sudeste ..................... 93

Figura 66: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Sudeste ......................... 93

Figura 67: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Sul ..................................... 94

Figura 68: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Sul ................................... 95

Figura 69: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Sul ............................ 95

Figura 70: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Sul ................................ 95

Figura 71: Forecasting da decomposição com dummies - Centro-Oeste ....................... 96

Figura 72: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Centro-Oeste ..................... 97

Figura 73: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Centro-Oeste............... 97

Figura 74: Teste GARCH da decomposição com dummies - Centro-Oeste .................. 98

Figura 75: Forecasting da decomposição com dummies - Nordeste .............................. 98

Figura 76: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Nordeste ............................ 99

Figura 77: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Nordeste ..................... 99

Figura 78: Teste GARCH da decomposição com dummies - Nordeste ......................... 99

Figura 79: Forecasting da decomposição com dummies - Norte ................................. 100

Figura 80: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Norte ............................... 101

Figura 81: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Norte ......................... 101

Figura 82: Teste GARCH da decomposição com dummies - Norte ............................ 101

Figura 83: Forecasting da decomposição com dummies - Sudeste .............................. 102

Figura 84: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Sudeste ............................ 103

Figura 85: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Sudeste ..................... 103

Figura 86: Teste GARCH da decomposição com dummies - Sudeste ......................... 104

Figura 87: Forecasting da decomposição com dummies - Sul ..................................... 104

Figura 88: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Sul ................................... 105

Figura 89: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Sul............................. 105

Figura 90: Teste GARCH da decomposição com dummies - Sul ................................ 106

Figura 91: Forecasting da decomposição com Fourier - Centro-Oeste ........................ 107

xiii

Figura 92: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Centro-Oeste ...................... 108

Figura 93: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Centro-Oeste ............... 108

Figura 94: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Centro-Oeste ................... 108

Figura 95: Forecasting da decomposição com Fourier – Nordeste .............................. 109

Figura 96: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Nordeste............................. 110

Figura 97: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Nordeste ...................... 110

Figura 98: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Nordeste .......................... 110

Figura 99: Forecasting da decomposição com Fourier - Norte .................................... 111

Figura 100: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Norte ................................ 112

Figura 101: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Norte .......................... 112

Figura 102: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Norte ............................. 112

Figura 103: Forecasting da decomposição com Fourier - Sudeste ............................... 113

Figura 104: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Sudeste............................. 114

Figura 105: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Sudeste ...................... 114

Figura 106: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Sudeste .......................... 114

Figura 107: Forecasting da decomposição com Fourier - Sul ...................................... 115

Figura 108: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Sul .................................... 116

Figure 109: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Sul ............................. 116

Figure 110: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Sul ................................. 116

Figura 111: Forecasting do Random Forest - Centro-Oeste ......................................... 117

Figura 112: Gráfico ACF do Random Forest - Centro-Oeste ...................................... 118

Figura 113: Teste Ljung-Box do Random Forest - Centro-Oeste ................................ 118

Figura 114: Teste GARCH do Random Forest - Centro-Oeste .................................... 118

Figura 115: Forecasting do Random Forest - Nordeste ................................................ 119

Figura 116: Gráfico ACF do Random Forest - Nordeste ............................................. 120

Figura 117: Teste Ljung-Box do Random Forest - Nordeste ....................................... 120

Figura 118: Teste GARCH do Random Forest - Nordeste ........................................... 120

Figura 119: Forecasting do Random Forest - Norte ..................................................... 121

Figura 120: Gráfico ACF do Random Forest - Norte ................................................... 122

Figura 121: Teste Ljung-Box do Random Forest - Norte ............................................ 122

Figura 122: Teste GARCH do Random Forest - Norte ................................................ 122

xiv

Figura 123: Forecasting do Random Forest - Sudeste .................................................. 123

Figura 124: Gráfico ACF do Random Forest - Sudeste ............................................... 124

Figura 125: Teste Ljung-Box do Random Forest - Sudeste ......................................... 124

Figura 126: Teste GARCH do Random Forest - Sudeste ............................................. 124

Figura 127: Forecasting do Random Forest - Sul ......................................................... 125

Figura 128: Gráfico ACF do Random Forest - Sul ...................................................... 126

Figura 129: Teste Ljung-Box do Random Forest - Sul ................................................ 126

Figura 130: Teste GARCH do Random Forest - Sul .................................................... 126

Figura 131: Forecasting do SVR - Centro-Oeste.......................................................... 127

Figura 132: Gráfico ACF do SVR - Centro-Oeste ....................................................... 128

Figura 133: Teste Ljung-Box do SVR - Centro-Oeste ................................................. 128

Figura 134: Teste GARCH do SVR - Centro-Oeste..................................................... 128

Figura 135: Forecasting do SVR - Nordeste ................................................................ 129

Figura 136: Gráfico ACF do SVR - Nordeste .............................................................. 130

Figura 137: Teste Ljung-Box do SVR - Nordeste ........................................................ 130

Figura 138: Teste GARCH do SVR - Nordeste ........................................................... 130

Figura 139: Forecasting do SVR - Norte ...................................................................... 131

Figura 140: Gráfico ACF do SVR - Norte ................................................................... 132

Figura 141: Teste Ljung-Box do SVR - Norte ............................................................. 132

Figura 142: Teste GARCH do SVR - Norte ................................................................. 132

Figura 143: Forecasting do SVR - Sudeste .................................................................. 133

Figura 144: Gráfico ACF do SVR - Sudeste ................................................................ 134

Figura 145: Teste Ljung-Box do SVR - Sudeste .......................................................... 134

Figura 146: Teste GARCH do SVR - Sudeste ............................................................. 134

Figura 147: Forecasting do SVR - Sul.......................................................................... 135

Figura 148: Gráfico ACF do SVR - Sul ....................................................................... 136

Figura 149: Teste Ljung-Box do SVR - Sul ................................................................. 136

Figura 150: Teste GARCH do SVR - Sul..................................................................... 136

xv

Lista de Tabelas

Tabela 1: Resumo estatístico do consumo de energia elétrica por região ...................... 56

Tabela 2: Resumo estatístico das diferenças de ordem 1 do consumo de energia elétrica

........................................................................................................................................ 57

Tabela 3: Resumo estatístico do IBCR por região ......................................................... 58

Tabela 4: Resumo estatístico das diferenças de ordem 1 do IBCR por região ............... 58

Tabela 5: Resumo estatístico das séries de tarifas médias por região ............................ 59

Tabela 6: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 das tarifas médias por

região .............................................................................................................................. 60

Tabela 7: Resumo estatístico das séries das temperaturas médias por região ................ 61

Tabela 8: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 das temperaturas

médias ............................................................................................................................. 62

Tabela 9: Resumo estatístico das séries de unidades consumidoras por região ............. 63

Tabela 10: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 de unidades

consumidoras .................................................................................................................. 63

Tabela 11: Medidas de ajustamento do SARIMA - Centro-Oeste ................................. 65

Tabela 12: Medidas de ajustamento do SARIMA – Nordeste ....................................... 68

Tabela 13: Medidas de ajustamento do SARIMA – Norte ............................................. 69

Tabela 14: Medidas de ajustamento do SARIMA - Sudeste .......................................... 71

Tabela 15: Medidas de ajustamento do SARIMA - Sul ................................................. 73

Tabela 16: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Centro-Oeste ............................ 75

Tabela 17: Medidas de ajustamento do Holt Winters – Nordeste .................................. 77

Tabela 18: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Norte ........................................ 79

Tabela 19: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Sudeste ..................................... 82

Tabela 20: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Sul ............................................ 84

Tabela 21: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste 86

Tabela 22: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Nordeste ....... 88

Tabela 23: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Norte............. 90

Tabela 24: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Sudeste ......... 92

Tabela 25: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Sul ................ 94

Tabela 26: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Centro-Oeste .. 97

xvi

Tabela 27: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Nordeste ......... 99

Tabela 28: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Norte ............. 100

Tabela 29: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Sudeste ......... 102

Tabela 30: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Sul ................ 105

Tabela 31: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Centro-Oeste ... 107

Tabela 32: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Nordeste .......... 109

Tabela 33: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Norte................ 111

Tabela 34: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Sudeste ............ 113

Tabela 35: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Sul ................... 115

Tabela 36: Medidas de ajustamento do Random Forest - Centro-Oeste ...................... 117

Tabela 37: Medidas de ajustamento do Random Forest - Nordeste ............................. 119

Tabela 38: Medidas de ajustamento do Random Forest - Norte .................................. 121

Tabela 39: Medidas de ajustamento do Random Forest - Sudeste ............................... 123

Tabela 40: Medidas de ajustamento do Random Forest - Sul ...................................... 125

Tabela 41: Medidas de ajustamento do SVR - Centro-Oeste ....................................... 127

Tabela 42: Medidas de ajustamento do SVR - Nordeste .............................................. 129

Tabela 43: Medidas de ajustamento do SVR - Norte ................................................... 131

Tabela 44: Medidas de ajustamento do SVR - Sudeste ................................................ 133

Tabela 45: Medidas de ajustamento do SVR - Sul ....................................................... 135

Tabela 46: Comparação entre modelos - Centro-Oeste ................................................ 137

Tabela 47: Comparação entre modelos - Nordeste ....................................................... 137

Tabela 48: Comparação entre modelos - Norte ............................................................ 138

Tabela 49: Comparação entre modelos - Sudeste ......................................................... 139

Tabela 50: Comparação entre modelos - Sul ................................................................ 139

Tabela 51: Melhores modelos por região ..................................................................... 140

Tabela 52: Verificação dos pressupostos...................................................................... 140

xvii

Glossário de Siglas

ACF - Função de Autocorrelação

ADF - Augmented Dickey-Fuller

AGC - Algoritmo Genético Caótico

AR - Autoregressivo

ARMA - Processo Autoregressivo de Médias Móveis

ARIMA - Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis

ANEEL - Agência Nacional de Energia Elétrica

BDMEP - Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa

CNAE - Classificação Nacional de Atividades Econômicas

CSS - Conditional Sum of Squares

EPE - Empresa de Pesquisa Energética

HW - Holt Winters

IBCR - Índice de Atividade Econômica Regional

MA - Média Móvel

MAE - Mean Absolute Error

MAPE - Mean Absolute Percentage Error

MME – Ministério de Minas e Energia

MQC - Mínimos Quadrados Condicionais

xviii

MQO - Mínimos Quadrados Ordinários

MSE - Mean Squared Error

PACF - Função de Autocorrelação Parcial

PRESS - Predicted Residual Error Sum of Squares

PIB - Produto Interno Bruto

PIM-PF - Pesquisa Industrial Mensal de Produção Física

RF - Random Forest

RMSE - Root-Mean-Square Error

RVSQM - Regressão por Vetores de Suporte por Mínimos Quadrados

SARIMA - Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis Sazonal

SVM - Support Vector Machine

SVR - Support Vector Regression

VAR - Vetor Autoregressivo

1

1. INTRODUÇÃO

1.1. Contextualização

Aprendemos, ao longo dos anos, que é indiscutível a importância e a dependência

extrema da energia elétrica para a vida das pessoas, indústrias, empresas e demais

instituições. Nos dias atuais, a realização das atividades econômicas e o bom

funcionamento da sociedade estão estritamente ligados à produção e abastecimento de

energia elétrica. Situações catastróficas ocorrem quando há uma falha no planejamento

do setor elétrico brasileiro, seja na matriz energética, na infraestrutura ou na previsão da

oferta e demanda do consumo de energia elétrica, como por exemplo, o racionamento

de energia elétrica imposto pelo governo brasileiro durante o ano de 2001. Caso a

sociedade e as instituições públicas falhassem no racionamento de energia neste

período, ocorreria um colapso na economia brasileira devido à falta de energia elétrica

nas indústrias e comércios.

A compreensão da importância dos modelos de previsão de consumo de energia elétrica

requer uma breve explicação sobre o funcionamento do setor elétrico brasileiro. A

cadeia produtiva, em todo o mundo, é composta por sistemas de geração, distribuição,

transmissão e comercialização de energia elétrica. Ela começa na produção de energia

através de diversas fontes e termina no abastecimento ao consumidor final, segundo

uma forma de contratação estabelecida. A figura 1 ilustra essa relação entre os agentes e

consumidores de energia elétrica no Brasil.

Figura 1: Representação das relações entre os segmentos do setor energético

Fonte: ANEEL (2008)

2

A responsabilidade por transformar a energia mecânica, térmica, química e nuclear em

energia elétrica é do segmento de geração. A matriz energética brasileira é composta,

em sua grande maioria, por usinas hidrelétricas, responsável por 68,1% da energia

gerada, e termelétricas, como podemos verificar na figura a seguir. Contudo, há um

planejamento produzido pela EPE (2017) para diversificar essa matriz na expansão do

setor elétrico, com o objetivo de diminuir a dependência da produção de energia com a

fonte hidráulica, visto que recentemente sofremos com os baixos índices pluviométricos

nas usinas, acarretando em um aumento do custo de energia, devido ao acionamento das

termelétricas. Essas flutuações tarifárias alteram a dinâmica do orçamento e impactam a

demanda por energia. Cabe ressaltar que nos últimos três anos o governo, segundo o

Balanço Energético Nacional da EPE (2017), está investindo em produção de energias

renováveis, como biomassa, solar e principalmente eólica, com a finalidade de diminuir

a produção custosa e poluidora de energia termelétrica.

Figura 2: Matriz energética brasileira

Fonte: Empresa de Pesquisa Energética - EPE

O segmento de transmissão é caracterizado pela atividade de transporte e operação da

rede elétrica que conecta os geradores de energia até os centros de distribuição

localizadas próximo dos consumidores, sendo composta por 136.698 quilômetros de

linhas de transmissão, com tensão maior ou igual a 230kV, e operada por 77

3

concessionárias, segundo dados do MME (2017). É importante salientar que a imensa

extensão deste segmento no Brasil deve-se ao fato de as localizações das hidrelétricas

serem distantes dos centros consumidores.

A conexão e atendimento ao consumidor, qualquer que seja o seu porte, são realizados

por grandes empresas denominadas distribuidoras de energia elétrica, que têm como

finalidade fazer o elo entre o setor de energia elétrica e a sociedade, já que suas

instalações recebem todo o suprimento destinado ao abastecimento no país das

companhias de transmissão. O mercado de distribuição é formado por 87

concessionárias, responsáveis por abastecer mais de 82 milhões de unidades

consumidoras (ANEEL, 2017).

Cabe ressaltar um aspecto relevante da cadeia produtiva do setor elétrico: a demanda

por energia elétrica necessita estar em sintonia com a produção, devido à atual

impossibilidade de gerar um estoque de eletricidade. Segundo Andrade (2009), o

desconhecimento sobre a demanda do consumo de energia elétrica pode provocar

consequências gravíssimas à continuidade do fornecimento, no curtíssimo prazo, devido

à relação estreita existente entre demanda e oferta. No longo prazo, o desequilíbrio entre

a oferta e demanda pode levar a crises de abastecimento, impactando significativamente

a economia e o desenvolvimento do país. Portanto, são essenciais para o setor

energético o acompanhamento do cenário econômico no Brasil e das políticas para uma

melhor compreensão do comportamento da demanda.

Deste modo, é necessário o uso de modelos de previsão adequados de previsões a longo

prazo da demanda de energia, para realizar uma gestão estratégica do suprimento de

energia mais eficiente. Essa gestão é realizada pelos órgãos governamentais e agências

regulatórias em parceria com as empresas fornecedoras, distribuidoras e geradoras de

energia. Porém, previsões agregadas não são suficientes para esta gestão, havendo a

necessidade de desagregação segundo o tipo de energia e quantidade de energia

consumida pelas regiões brasileiras.

A Empresa de Pesquisa Energética (EPE) divide os consumidores de energia em 8

classes: Industrial, Residencial, Rural, Comercial, Serviço Público, Poder Público,

4

Iluminação Pública e Própria, e em subclasses de acordo com a tensão demandada, os

quais não levou-se em consideração neste estudo.

Decidiu-se estudar o consumo de energia industrial, por diversos motivos. Atualmente,

a indústria brasileira consome 35,7% da energia total do Brasil, como podemos observar

na figura 3, sendo assim é a classe consumidora que tem mais impacto no setor elétrico.

Figura 3: Participação das classes de consumidores de energia no consumo total do Brasil, 2016


Além disso, o setor industrial apresenta uma dinâmica de consumo complexa e muito

volátil, capaz de retrair bruscamente em épocas de crise, como por exemplo, a retração

de 10,9% de 2014 a 2017 e os 15,7% de retração na crise de 2008/2009, ilustrado na

figura 4, sendo o "termômetro" das atividades econômicas no Brasil. Em contrapartida,

o crescimento do consumo de energia elétrica residencial não parece ser tão afetado por

fatores econômicos, uma vez que houve um aumento de 6,4% desta classe consumidora,

no mesmo período de crise correspondente de janeiro de 2014 a dezembro de 2017. Isso

ocasionou um aumento de 26,7% para 28,8% na participação do consumo de energia

total e uma redução na participação do consumo industrial de 39,9% para 35,7% do

consumo total. Logo, é de suma importância realizar modelos de previsão para o setor

5

industrial, uma vez que, na retomada do crescimento econômico, o consumo de energia

elétrica industrial aumentará consideravelmente, sendo a capacidade de abastecimento

deste setor um fator economicamente limitante.

Figura 4: Consumo de energia elétrica industrial no Brasil em GWh, 2003-2017


Outros motivos para a realização deste estudo são as quantificações das influências,

sobre o consumo de energia das atividades econômicas industriais, das variáveis a

saber: a) temperatura, pois, geralmente, a demanda aumenta nos dias quentes devido à

necessidade de refrigerar e ventilar os ambientes e as máquinas nas indústrias; b) tarifa

média da energia, já que a disponibilidade de eletricidade a preços módicos é, cada vez

mais, fator decisivo para a competitividade do país; e o c) IBCR para indicar o nível de

atividade econômica brasileira, visto que quanto maior a atividade econômica do país,

mais produtos serão produzidos e mais energia será consumida.

Apesar de a energia elétrica ser o serviço mais universalizado e com maior capilaridade

de todos os segmentos da infraestrutura, ainda há dificuldades físicas, de localidade ou

econômicas para a expansão da rede elétrica. Afinal, cada região geográfica do Brasil

possui perfis bastante peculiares e diferenciados que influenciam os contornos que os

sistemas de geração, transmissão e distribuição adquirem ao longo do tempo, além de

influenciar na facilidade de acesso da população local e das indústrias à rede elétrica

6

(ANEEL, 2008). Portanto, a desagregação por regiões brasileiras foi aplicada neste

estudo, para auxiliar na tomada de decisão para a expansão pelos diversos agentes do

setor energético.

O consumo de energia elétrica industrial por região, segundo dados da EPE, está

representado na figura 5, onde podemos observar que a Região Sudeste tem uma

predominância no consumo de energia elétrica, aproximadamente 55%. Por motivos

históricos possui o maior polo industrial brasileiro, seguido pela região Sul, que superou

o consumo industrial da Região Nordeste desde janeiro de 2011.

Figura 5: Consumo de energia elétrica industrial por região do Brasil, 2003-2017


1.2. Motivação e Objetivos

A motivação para este estudo será a realização de modelos de previsões

autorregressivos, econométricos e de machine learning aplicados com sucesso na

previsão de consumo de energia elétrica em diversos países, para contribuir de alguma

forma para a retomada do crescimento econômico do Brasil. A disponibilidade de

energia é indispensável em economias industriais modernas, uma vez que a sua

indisponibilidade pode provocar uma deterioração na balança comercial, devido a um

aumento das importações de energia elétrica para suprir essa ausência. Além disso, pode

ocasionar um aumento nos preços da energia, por causa do acionamento das

7

termoelétricas, com o objetivo de suprir a demanda não atendida pelas hidrelétricas e

pelas fontes de energia renováveis – como eólica, solar e biomassa. E, em casos mais

extremos, pode ocorrer a interrupção do processo produtivo e a necessidade de

programas de racionamento. Um caso emblemático desta situação foi a crise que

ocorreu no setor elétrico em 2001 que obrigou à realização de racionamento de energia

pela população e as instituições públicas, para minimizar o impacto nas indústrias,

provocada pela escassez de chuva e a ausência de investimentos em geração e

distribuição de energia.

Para isso, será necessária a desagregação das previsões, em nível regional e a seleção do

consumo de energia industrial como variável dependente, por possuir a maior

participação no consumo total de energia elétrica do país, uma alta volatilidade e a

criticidade do abastecimento deste setor, com a finalidade de traçar futuros cenários de

longo prazo que facilite a visualização em maiores detalhes, auxiliando na tomada de

decisões dos agentes.

O objetivo deste trabalho será fazer previsões para o consumo de energia elétrica

industrial mensal por região do Brasil e identificar as que possuem os menores erros,

com o intuito de auxiliar o governo e os agentes do setor elétrico na tomada de decisão e

no planejamento da infraestrutura. Por isso, serão utilizadas as séries temporais,

compreendendo o período de janeiro de 2003 a abril de 2017, de temperatura, IBCR,

tarifa média de energia e unidades consumidoras como variáveis independentes do

modelo, para analisar como fatores climáticos e socioeconômicos impactam no

consumo de energia. Além disso, realizar-se-ão modelos utilizando somente dados

históricos da série dependente (consumo de energia elétrica industrial) e técnicas de

machine learning. Por fim, os diversos modelos elaborados serão analisados

comparativamente, através de medidas de ajustamento das previsões, a fim de indicar o

modelo mais adequado para as respectivas regiões que permitir a previsão de cenários

futuros para o consumo de energia elétrica.

8

1.3. Estrutura do Trabalho

Primeiramente, este trabalho realizará uma breve apresentação e contextualização do

setor elétrico brasileiro e da importância da realização de uma previsão acurada para

essa área. Posteriormente, o capítulo 2 apresentará uma revisão bibliográfica de

trabalhos que realizaram métodos de previsão modernos de consumo de energia elétrica

no exterior e no Brasil. No capítulo 3 será detalhada toda a metodologia utilizada no

estudo, desde conceitos básicos de séries temporais, até conceitos de estacionariedade,

autocorrelação, homocedasticidade e normalidade. Ademais, este capítulo também

elucidará os modelos de previsão, começando pelos modelos utilizando dados históricos

da série dependente, depois, modelos incrementando variáveis exógenas e, por último,

modelos de machine learning. O capítulo 4 caracterizará as séries temporais usadas,

através de resumos estatísticos e gráficos de dispersão, além disso, será neste capítulo

que os testes de normalidade, estacionariedade e as transformações das séries originais

serão realizados, a fim de atender esses dois pressupostos. Os resultados das sete

previsões para cada região serão apresentados no capítulo 5, assim como a comparação

entre os modelos para identificar a previsão ótima por região. E, por último, o capítulo 6

apresentará as considerações finais do trabalho.

9

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Em meio à crescente importância da previsão de consumo de energia elétrica e ao

avanço dos métodos de previsão, a produção acadêmica sobre o assunto tem sido

bastante extensa nos últimos anos. Muitos estudos têm sido feitos no contexto da

aplicação de novos métodos de previsão a dados reais de consumo, para fins de

comparação com outras técnicas, em termos de erro de previsão, tempo de cálculo e

facilidade de compreensão e execução. A regressão linear e os modelos univariados de

previsão de séries temporais vêm perdendo espaço para modernas técnicas de machine

learning, como redes neurais artificiais e regressão por vetores de suporte.

Ahmed et al. (1994) investigaram a influência que variáveis externas exercem sobre o

consumo de energia. Um modelo de regressão linear foi desenvolvido com dados da

Província Oriental da Arábia Saudita, com periodicidade mensal. Através do método

step-wise, foram testadas como variáveis explicativas a temperatura, a umidade e a

radiação solar - todos em média mensal -, além do tamanho da população. Apesar de o

modelo final contemplar todas as variáveis, percebeu-se que a radiação possui

influência pouco significativa sobre o consumo, ao contrário das outras três variáveis.

Foram realizadas análises gráficas sobre a normalidade dos resíduos e sobre as

diferenças entre os valores observados e os previstos, apresentando resultados

satisfatórios, porém sem entrar em detalhes quantitativos acerca da qualidade do

modelo.

Abdel-Aal e Al-Garni (1997) desenvolveram um outro estudo acerca dos mesmos

dados, dessa vez utilizando a técnica de redes abdutivas, um exemplo de aplicação de

tecnologia machine-learning. Uma vantagem deste método é a sua simplicidade, à

medida que ele não exige pressuposto praticamente algum em relação aos dados e

requer um tempo de treinamento e ajuste consideravelmente menor do que outras

técnicas de machine-learning, como redes neurais. Alguns modelos foram elaborados,

cada um considerando uma combinação diferente das seguintes variáveis

independentes: temperatura, umidade, radiação solar, população, Produto Interno Bruto

10

(PIB) e um índice temporal para captar a tendência da série de consumo energético. Os

resultados do trabalho indicam que o melhor modelo encontrado de redes abdutivas

utiliza apenas a temperatura e a umidade, enquanto a regressão linear ideal leva em

conta, além dessas duas, a radiação, a população e o PIB. Dessa forma, a técnica

estudada, além de ser de rápida implementação e de ter gerado previsões mais precisas

que a regressão linear, utilizou apenas variáveis climáticas, ignorando as variáveis

demográficas.

Abdel-Aal e Al-Garni (1997) também estudaram o consumo de energia elétrica na

Província Oriental da Arábia Saudita. A metodologia adotada, no entanto, consistiu na

análise de séries temporais univariadas. Nesse sentido, foram desenvolvidos modelos

ARIMA distintos, através da variação de seus parâmetros. Utilizou-se dados de

temperatura mensal em um intervalo de 5 anos como set de treinamento, além de 1 ano

adicional a fim de avaliar as previsões do modelo. É concluído que os modelos ARIMA

oferecem boas previsões quando comparados à regressão linear e a modelos básicos de

machine-learning, principalmente quando as análises se limitam ao curto prazo. É

ressaltado que o modelo desenvolvido apresenta erros de previsão menores que os

outros, além de demandar apenas uma série de dados históricos, enquanto os outros

modelos requerem um número consideravelmente maior.

Uma técnica que tem sido muito utilizada mais recentemente é a regressão por vetores

de suporte (RVS). Trata-se de uma outra forma de aplicação de machine-learning que

apresenta resultados de previsão melhores que as tradicionais regressões. Tais modelos

possuem três parâmetros, os quais são determinados a partir de algoritmos

evolucionários, que são baseados em mecanismos de reprodução biológica. Esses

algoritmos costumam apresentar alguns problemas, como tempo excessivo de cálculo,

convergência lenta e frequentemente a um ponto ótimo local, e não global. Nesse

contexto, Hong (2010) fez uma análise sobre um algoritmo inovador chamado de

otimização caótica por enxame de formigas. Tal método foi aplicado a um conjunto de

dados de periodicidade anual provenientes de quatro regiões de Taiwan. Ao comparar

os resultados dos modelos obtidos com outros tipos de algoritmos para determinação

dos parâmetros, conclui-se que a técnica testada pelo autor apresenta resultados

11

superiores às demais analisadas. Entretanto, é ressaltado ao final do trabalho que existe

ainda muito espaço para outros algoritmos mais complexos serem explorados e

auxiliarem a utilização da SVR.

Hong et al (2012) aplicaram um outro algoritmo caótico para otimização dos parâmetros

da RVS: o algoritmo genético caótico (AGC). Além disso, também foi utilizado um

ajuste sazonal dos dados através da estimação do índice do componente sazonal da

série. A série estudada foi composta por dados de consumo de energia da região

nordeste da China, com base mensal, entre dezembro de 2004 e abril de 2009, sendo o

set de treinamento constituído de 32 meses, e os 14 meses restantes sendo usados para

validação do modelo. Conclui-se, ao final do trabalho, que o modelo híbrido, que uniu

SVR, AGC e ajuste sazonal, obteve resultados satisfatórios, em termos de precisão das

previsões, quando comparados a outros modelos elaborados.

Uma extensão da SVR tradicional é a regressão por vetores de suporte por mínimos

quadrados (RVSMQ). Enquanto a versão original utiliza restrições de desigualdades a

serem otimizadas, a RVSQM usa a técnica dos mínimos quadrados aplicada à função de

custo (SUYKENS, 1999). Li et al (2012) utilizaram esta metodologia aliada ao

algoritmo evolutivo de moscas-da-fruta. Foi feito uma análise com dados de consumo

de energia elétrica anual da China, no período entre 1978 e 2011. A cada iteração, a

previsão de consumo de determinado ano era realizada a partir dos valores dos 3 anos

precedentes. Além do modelo em questão, outros foram também elaborados a fim de

comparação, como regressões e RVSQM utilizando outros algoritmos de otimização. O

modelo final apresentou o menor erro de previsão entre todos os analisados, porém

precisou de um tempo de convergência maior que os métodos mais básicos de

determinação de parâmetros para o RVSQM.

Fan et al (2015) aplicaram o conceito de decomposição diferencial empírica (DDE) e

auto-regressão (AR) aos modelos SVR. Primeiramente, utiliza-se a DDE para decompor

os dados em tempo-frequência: uma parte com alta frequência, e outra com os resíduos.

Em seguida, é aplicado a SVR na parte de alta frequência, determinando os parâmetros

adequados. Já em cima dos resíduos é aplicado a AR, uma vez que eles satisfazem a

condição de estacionariedade e são monótonos. Enfim, os resultados da previsão final

12

são obtidos a partir da combinação entre as duas partes analisadas até então

separadamente. Testou-se tal metodologia em dois estudos de caso: um com dados de

Nova Gales do Sul, na Austrália, e outro de Nova Iorque, Estados Unidos. Os dois

conjuntos de dados possuem características significativamente diferentes, como

tendência e variância. É concluído que, em ambas as situações, o modelo proposto

supera a RVS tradicional, tanto em termos de erros de previsão, quanto em função da

interpretabilidade, visto que as regras criadas pelo modelo são mais compreensíveis aos

olhos humanos do que nas outras técnicas mais tradicionais.

Além disso, Abosedra et al. (2009) investigaram a relação causal entre o consumo de

eletricidade do Líbano e diversas variáveis exógenas com periodicidade mensal, entre

Janeiro de 1995 e Dezembro de 2005, tais como: temperatura, humidade e o

crescimento econômico. Através do teste de causalidade de Grange, concluiu-se que há

a existência de causalidade unidirecional que decorre do consumo de eletricidade para o

crescimento econômico, indicando que os decisores políticos, nos estágios iniciais da

reconstrução do país pós-guerra, devem priorizar o desenvolvimento da infraestrutura e

o aumento da capacidade do setor elétrico do Líbano, pois esses fatores impulsionariam

o crescimento econômico.

Saab et al. (2000) desenvolveram três modelos univariados para prever o consumo de

energia elétrica mensal no Líbano pós-guerra (janeiro de 1990 a maio de 1999), mais

especificamente, o modelo autorregressivo AR(1), o autorregressivo, integrado e de

médias móveis (ARIMA) e um modelo AR(1) com um filtro passa-altas. O desempenho

das previsões foi avaliado através de quatro critérios: o erro médio percentual absoluto

(EMPA), a soma acumulada dos erros (SAE), a soma dos quadrados dos resíduos (SQR)

e o erro quadrático médio percentual (MSE), sendo que o modelo AR(1) com filtro

passa-altas foi superior em todos os critérios.

No que diz respeito às previsões de consumo de energia no Brasil, temos o trabalho de

Oliveira et al. (2010). Os autores realizaram um modelo de previsão da demanda de

longo prazo do consumo de energia residencial no Brasil utilizando séries históricas

anuais de 1980 a 2000, totalizando 21 observações, com o objetivo de quantificar as

influências da tarifa média residencial de energia elétrica, o preço de eletrodomésticos e

13

o PIB na variável endógena. As estimações das elasticidades foram realizadas através da

modelagem de um vetor autoregressivo (VAR) e de um modelo de correção de erros

vetoriais (MCEV), utilizando a forma funcional log-linear para obtê-las diretamente dos

resultados das regressões. Os modelos de previsões foram satisfatórios, devido ao fato

dos coeficientes serem significativos e não existirem indícios de que os resíduos não

sejam homocedásticos, não-autocorrelacionados ou normalmente distribuídos.

Koo et al (2014) realizaram três modelos de previsão com um horizonte de 1 dia com

dados horários para o consumo de energia elétrica na Coréia do Sul. Contudo, foi

necessária a utilização de classificadores de dados, k-média (K-M) e k vizinhos mais

próximos (K-NN), para eliminar os erros ocasionados pelos padrões de consumo que

variam de acordo com os dias da semana. Os dados classificados foram usados como

insumos para três modelos de previsão: redes neurais artificiais (RNA), suavização

exponencial simples (SES) e Group method of data handling (GMDH), sendo este

último o que obteve a melhor performance para as previsões nos Domingos, Segundas e

dias de semana, segundo o critério MAPE. Cabe ressaltar que os resultados ainda

podem ser melhorados, devido ao fato de o MAPE ser mais alto para os finais de

semana e para as Segundas-feiras em comparação aos dias de semana.

Outro caso interessante foi o modelo de previsão desenvolvido por Shen et al (2016).

Eles utilizaram os conceitos de controle de rastreamento de trajetória e a teoria da

estabilidade de Lyapunov para criar um algoritmo de previsão universal e robusto, tendo

como vantagens a não necessidade de treinamento estatístico, ausência de erro na

criação do modelo e a convergência do erro de observação ser teoricamente assegurada.

Os autores realizaram uma análise de performance desse novo modelo no curto, médio e

longo prazo, evidenciando uma melhor performance de, no mínimo, 30% em relação ao

ARMA com e sem correção de erros e a rede neural de retropropagação com e sem

correção de erros, utilizando o critério MAPE. Contudo, o modelo ainda possui erros de

aproximação, ocasionado pelo fato do algoritmo ser derivado em forma contínua e estar

implementado discretamente.

14

3. METODOLOGIA ADOTADA

3.1. Conceitos Básicos de Séries Temporais

Definição de Série Temporal

Define-se séries temporais como conjuntos de observações dos valores que uma

variável assume ao longo do tempo (GUJARATI, 2008). Um conjunto de variáveis

aleatórias {xt}, onde t é o índice de tempo, é designado como um processo estocástico.

Os valores observados destes são chamados de realizações dos processos estocásticos.

De maneira geral, porém, o termo séries temporais é com frequência utilizado para se

referir tanto ao processo quanto a uma de suas realizações (SHUMWAY & STOFFER,

2011).

Os dados referentes às séries temporais podem ser coletados a intervalos de tempos

regulares, como diariamente, mensalmente ou anualmente. Neste caso, diz-se que são

séries discretas. Quando os intervalos de tempo são tão curtos que tendem a zero, são

classificadas como séries contínuas. Alguns exemplos de séries contínuas são a medição

de tensão elétrica e o consumo de dados de internet. Como todas as séries abordadas

neste trabalho são discretas, de frequência mensal, todos os conceitos e modelos

estudados serão relativos a este tipo de série.

Componentes de uma Série Temporal

Toda série temporal pode ser decomposta em três componentes não observáveis:

tendência, sazonalidade e um componente aleatório (MORETTIN & TOLOI, 2004).

Alguns autores, como Salles (2005), incluem um quarto componente, denominado

componente cíclico.

Matematicamente, pode-se representar tal decomposição sob duas diferentes formas:

1. Modelo aditivo:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝑎𝑡 (1)

15

2. Modelo multiplicativo:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 ∗ 𝑆𝑡 ∗ 𝐶𝑡 ∗ 𝑎𝑡 (2)

Onde:

Tt (tendência): existe quando há variações de longo prazo, positivas ou

negativas, sobre a média dos valores da série. Essa variação pode ser linear,

quadrática, logarítmica, etc.

St (sazonalidade): variações que ocorrem, com um período regular e conhecido,

ao longo do tempo. Apresentam-se sob a formam de ciclos que se repetem ao longo

da série, podendo ser causados por fatores relacionados ao clima, a determinado

período de tempo ou outros fatores relacionados às estações do tempo (SALLES,

2005).

Ct (componente cíclico): são variações sobre a série com períodos não fixos e

geralmente não conhecidos, aparecendo no longo prazo.

at (componente aleatório): também chamado de componente irregular, é

relacionado às variações aleatórias da série temporal, geralmente provocadas por

eventos imprevisíveis e sem intervalos de tempo definidos (SALLES, 2005). Tal

componente costuma ser tratada como um ruído branco, cuja definição será

apresentada mais adiante. Porém, essa condição pode ser relaxada em alguns

momentos, de forma que se trate {at} apenas como um processo estacionário

(MORETTIN & TOLOI, 2004).

Definição de Ruído Branco

Um processo aleatório {at} é dito um ruído branco forte caso as realizações do processo

at sejam independentes e identicamente distribuídas. Caso E(at) = 0, o processo é

centrado, e caso Var(at) = 1, trata-se de um processo reduzido.

No entanto, a noção mais difundida de ruído branco se baseia sobre o conceito de ruído

branco fraco. No caso de um processo aleatório {at}, pode-se dizer que ele é um ruído

branco fraco caso satisfaça as seguintes condições (GOUDE, 2015):

16

E(at) =

E(at2) = 2

E(ai*aj) = 0, i j

Ao longo deste trabalho, sempre que for mencionado o termo ruído branco, subentende-

se que se trata do conceito de ruído branco fraco.

Aplicações de Séries Temporais

A análise de dados captados em diferentes instantes de tempo gera problemas para a

tradicional modelagem e inferência estatísticas (SHUMWAY & STOFFER, 2011), uma

vez que existe uma correlação óbvia entre medições referentes a instantes de tempo

adjacentes, e o tratamento convencional supõe que os dados são independentes e

identicamente distribuídos. Nesse sentido, a análise dos dados como séries temporais

ajuda a explicar os efeitos do tempo sobre as variáveis.

Os principais objetivos da análise de séries temporais são a modelagem da série -

entender de que forma os valores observados são gerados -, a previsão de valores

futuros com o máximo de assertividade, e o entendimento de uma forma ótima para

controlar um sistema (WEI, 1990).

São inúmeros os campos de aplicação do estudo de séries temporais. O campo da

economia é um dos mais relevantes, onde existem séries como o valor de ações na

Bolsa, índices de produção industrial, medidas de desemprego, etc. Outras áreas de

importância relevante são o consumo de energia elétrica, principalmente no tocante à

previsão do consumo para planejamento da oferta, e o campo da medicina, como na

avaliação dos efeitos de medicamentos sobre pacientes que sofrem de determinada

enfermidade.

3.2. Funções de Autocovariância e Autocorrelação

Dado um processo aleatório Yt, define-se como sua função de autocovariância:

𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡, 𝑌𝑡+ℎ) = 𝛾(ℎ) (3)

17

A função de autocorrelação, por sua vez, é definida como:

𝜌(ℎ) =

𝛾(ℎ)

𝛾(0)

(4)

Ambas as funções são simétricas, ou seja, (h) = (-h), e (h) = (-h). Na prática,

porém, não se conhece as funções de autocovariância e autocorrelação de um processo

aleatório. Dessa forma, faz-se necessário uma forma de estimar seus valores com base

nas observações das realizações do processo (GOUDE, 2015). Nesse contexto, a função

de autocovariância empírica pode ser definida como:

𝛾(ℎ) =

1

𝑛∑ (𝑦𝑡 − �̅�)(𝑦𝑡−ℎ − �̅�)

𝑛

𝑡=ℎ+1, ∀ ℎ ∈ (0, . . . , 𝑛 − 1)

(5)

Já a função de autocorrelação empírica pode ser calculada da seguinte maneira:

�̂�(ℎ) =

∑ (𝑦𝑡 − �̅�)(𝑦𝑡−ℎ − �̅�)𝑛𝑘=ℎ+1

∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2𝑛𝑡=1

=𝛾(ℎ)

𝛾(0),

∀ ℎ ∈ (0, . . . , 𝑛 − 1)

(6)

Os valores estimados por essa função são frequentemente plotados em um gráfico de

autocorrelação parcial, o qual é importante para a análise da adequação dos resíduos.

Além dessas funções de autocovariância e autocorrelação, caso se queira analisar as

dependências entre 3 ou mais variáveis aleatórias, faz-se necessário definir o conceito

de correlação parcial. Ela é definida como (GOUDE, 2015):

𝑟𝑋2,...,𝑋𝑘−1(𝑋1, 𝑋𝑘) = 𝜌(𝑋1 − 𝑃𝑀(𝑋2,...,𝑋𝑘−1), 𝑋𝑘 − 𝑃𝑀(𝑋2,...,𝑋𝑘−1)) (7)

No caso de um processo aleatório Yt, centrado e estacionário de ordem 2, define-se sua

função de autocorrelação parcial como (GOUDE, 2015):

𝑟(1) = 𝜌(1) (8)

𝑟(ℎ) = 𝑟𝑌2,...,𝑌ℎ(𝑌1, 𝑌ℎ+1), ∀ ℎ ≥ 2 (9)

𝑟(ℎ) = 𝑟(−ℎ) (10)

O algoritmo de Durbin nos permite, de forma recursiva, obter as autocorrelações

parciais r(k) = bk,k relacionadas a um processo Yt, estacionário de ordem 2, através da

seguinte fórmula (BOX & JENKINS, 1976):

18

𝑏𝑘,𝑗 = 𝑏𝑘−1,𝑗 − 𝑏𝑘,𝑘𝑏𝑘−1,𝑘−𝑗, ∀ 𝑗 = 1,… , 𝑘 − 1

(11)

𝑏𝑘,𝑘 =

𝛾(𝑘) − ∑ 𝛾(𝑘 − 𝑗)𝑏𝑘−1,𝑗𝑘−1𝑗=1

𝛾(0) − ∑ 𝛾(𝑗)𝑏𝑘−1,𝑗𝑘−1𝑗=1

(12)

3.3. Estacionariedade

Estacionariedade fraca

O conceito de estacionariedade fraca, ou de ordem 2, é verificada para todo processo

aleatório Yt tal que sua esperança seja constante e suas autocovariâncias sejam estáveis

ao longo do tempo (GOUDE, 2015), ou seja:

∀ 𝑡, 𝐸(𝑌𝑡) = 𝜇 (13)

∀ 𝑡, ∀ ℎ, 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡, 𝑌𝑡+ℎ) = 𝛾(ℎ) (14)

Como Var(Yt) = (0), deduz-se que um processo estacionário fraco possui variância

constante ao longo do tempo. Na prática, a forma mais simples de se estudar a

estacionariedade fraca de uma série é plotando o gráfico dos valores observados ao

longo do tempo, de forma a verificar se a esperança e a variância são constantes no

decorrer do tempo. Porém, como veremos mais adiante, existem formas estatisticamente

mais precisas para verificar a estacionariedade de segunda ordem de um processo

aleatório.

Estacionariedade forte

Dado um processo aleatório Yt, diz-se que ele é um processo estacionário forte, ou

estritamente estacionário, se, para toda função mensurável f, f(Y1,Y2,...,Yt) e

f(Y1+h,Y2+h,...,Yt+h) sigam a mesma lei (GOUDE, 2015). Em outras palavras, no caso de

um processo estritamente estacionário, todos os seus momentos são invariantes para

todo deslocamento em relação à origem do tempo (PERRAUDIN, 2004).

19

Na prática, é muito difícil verificar a hipótese de estacionariedade forte para os

processos aleatórios, visto que ela é muito restritiva. Desta forma, prefere-se utilizar o

conceito de estacionariedade fraca, ou de ordem 2 (PERRAUDIN, 2004). Todos os

processos estritamente estacionários satisfazem as condições de estacionariedade fraca,

porém, o contrário não é verdade.

Testes de Raízes Unitárias

O teste de raiz unitária, utilizado para avaliar a estacionariedade de um processo

aleatório, tem se tornado cada vez mais popular. Seja o modelo de passeio aleatório,

descrito pela equação (15):

𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (15)

Onde at é um termo de ruído branco centrado e de variância 2. Ou seja, Y toma um

valor, no tempo t, igual ao seu próprio valor no tempo t - 1, acrescido de um choque

aleatório at. Pode-se reescrever a equação (15) da seguinte forma:

𝑌𝑡 = 𝑌0 + ∑𝑎𝑡

𝑡

(16)

Onde Y0 é o valor de Y no tempo t = 0. A partir dessa equação, encontra-se a esperança

e a variância desse processo (GUJARATI, 2008).

𝐸(Y𝑡) = 𝐸(𝑌0 + ∑𝑎𝑡

𝑡

) = 𝐸(𝑌0) + 𝐸(∑𝑎𝑡

𝑡

) = 𝑌0 + 0 = 𝑌0 (17)

𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌0 + ∑𝑎𝑡

𝑡

) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌0) + ∑𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)

𝑡

= 0 + 𝑡𝜎2 = 𝑡𝜎2 (18)

Apesar de o valor esperado do processo Yt ser constante ao longo do tempo, é fácil

notar que sua variância explode quando t aumenta, pois:

lim𝑡→∞

𝑡𝜎2 = +∞ (19)

20

Dessa maneira, o processo Yt é não estacionário. Generalizando o modelo de passeio

aleatório, podemos reescrevê-lo da seguinte forma:

𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (20)

Como já visto, caso = 1, tem-se um modelo de passeio aleatório, não estacionário. A

ideia por trás dos testes de raiz unitária reside em fazer uma regressão de Yt sobre Yt-1, a

fim de verificar, estatisticamente, se o coeficiente é igual a 1 (GUJARATI, 2008).

Neste caso, o processo seria não estacionário.

Apesar de, no caso de não existência de raiz unitária, o test t de Student possa ser

utilizado (GUJARATI, 2008), deve-se recorrer a uma outra distribuição, visto que, no

caso de raiz unitária, a distribuição de Student não é adequada. Subtraindo-se Yt-1 de

ambos os lados da equação do processo de raiz , chega-se a:

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = (𝜌 − 1)𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (21)

Introduzindo o operador de diferenciação de primeira ordem (), e substituindo-se ( -

1) por , tem-se:

∆𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (22)

Procede-se, então, da seguinte forma: após calcular as primeiras diferenças do processo

(Yt - Yt-1), faz-se uma regressão desses valores em relação a Yt-1. Caso o coeficiente

seja estatisticamente não significativo na regressão, ou seja, igual a 0, tem-se:

∆𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝑎𝑡 (23)

Ou seja, caso = 0, temos um modelo de passeio aleatório não estacionário. Por outro

lado, caso < 0, conclui-se que o processo é estacionário. Conforme já dito

anteriormente, não é possível utilizar o test t de student, que se costuma utilizar em

regressões convencionais. Nesse sentido, Dickey e Fuller (1979) demonstraram, através

de simulações de Monte Carlo, que, sob a hipótese nula de = 0, o valor estimado de

segue a estatística (tau).

21

Além do caso já discutido em que Yt é um passeio aleatório, outras duas hipóteses são

consideradas para Yt no teste de raiz unitária de Dickey-Fuller (GUJARATI, 2008):

Passeio aleatório com deslocamento:

∆𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (24)

Passeio aleatório com deslocamento em torno de uma tendência determinística:

∆𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 (25)

Para todas as situações, as hipóteses nulas e alternativa do teste são:

H0: = 0, ou seja, existe uma raiz unitária, de forma que a série é não

estacionária.

H1: < 0, ou seja, não existe raiz unitária, e a série é estacionária

Uma alternativa a esse teste tradicional é o teste Dickey-Fuller aumentado, no qual o

erro at, antes considerado não correlacionado, passa a ser considerado, por meio da

adição de valores defasados de Yt às três equações de passeio aleatório vistas

anteriormente. No caso do passeio aleatório com deslocamento em torno de uma

tendência determinística, com a adição das variáveis defasadas, chega-se à equação

generalizada (26):

∆𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑌𝑡−1 + ∑ 𝛼𝑖∆𝑌𝑡−1

𝑚

𝑖=1+ 휀𝑡

(26)

Onde t é um ruído branco. O número de lags incluídos na equação costuma ser

determinado empiricamente, de maneira que haja termos o suficiente para que t seja

serialmente não correlacionado (GUJARATI, 2008).

22

Diferenciação de Séries Temporais

Lidar com séries temporais não estacionários pode trazer inúmeros problemas, sendo a

regressão espúria, provavelmente, um dos principais. Trata-se, em outras palavras, de

uma regressão sem sentido, em que o valor do coeficiente de determinação (R2) é

superestimado, levando-nos a crer erroneamente, muitas vezes, que temos uma boa

regressão. Além disso, as estatísticas dos testes t de Student e Fisher para a significância

da regressão não seguem exatamente essas distribuições, originando frequentemente

conclusões falhas.

Nesse sentido, é recomendável, quando possível, lançar mão de métodos para tornar as

séries temporais estacionárias. Muitas transformações nos dados podem ser feitas, sendo

a diferenciação das séries o método mais utilizado para alcançar este objetivo.

A diferenciação de primeira ordem consiste em capturar as diferenças entre valores

observados do processo aleatório para um dado lag h, segundo a fórmula:

𝑌𝑡′ = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−ℎ (27)

Caso a estacionariedade não seja alcançada, mesmo após a diferenciação de ordem 1,

pode-se proceder realizando sucessivas diferenciações. Por exemplo, a diferenciação de

ordem 2, para o lag h, é calculada da seguinte forma:

𝑌𝑡′′ = 𝑌𝑡

′ − 𝑌𝑡−ℎ′ = (𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−ℎ) − (𝑌𝑡−ℎ − 𝑌𝑡−2ℎ) = 𝑌𝑡 − 2𝑌𝑡−ℎ + 𝑌𝑡−2ℎ (28)

De forma mais geral, pode-se definir o operador de diferenciação tal que, para um

dado lag h:

∆𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−ℎ (29)

E

∆𝑘𝑋𝑡 = ∆(∆𝑘−1𝑋𝑡 (30)

23

As diferenciações mais comumente utilizadas são as de lag 1. No entanto, algumas

vezes, para se alcançar a estacionariedade, se faz necessário conjugá-las com

diferenciações sazonais, por exemplo, de lag 12 no caso de séries com periodicidade

mensal, de forma a eliminar os efeitos tanto da tendência quanto da sazonalidade.

3.4. Autocorrelação

Um dos pressupostos mais importantes dos modelos MQO é a ausência de

autocorrelação nos termos dos resíduos. A inexistência de autocorrelação no processo

de resíduos at é representada através das condições (GUJARATI, 2008):

𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑖, 𝑎𝑗 | 𝑋𝑖 𝑒 𝑋𝑗) = 𝐸(𝑎𝑖𝑎𝑗) = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 (31)

𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑖, 𝑎𝑗) = 0, 𝑠𝑒 𝑋 é 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (32)

As consequências da violação dessa hipótese são facilmente mensuráveis. Por exemplo,

seja o modelo de regressão simples:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑎𝑡 (33)

Caso exista autocorrelação nos resíduos at, pode-se dizer que, para cada t, at é

determinado, em parte, por at-1. Consequentemente, Yt depende não apenas de Xt, mas

também de ut-1.

Gujarati (2008) lista várias possíveis causas para a existência de autocorrelação na série

dos erros. Ela pode ser explicada, muitas vezes, pela ausência de uma ou mais variáveis

explicativas importantes no modelo. Dessa forma, a autocorrelação pode significar que

a regressão não está boa o suficiente com as variáveis explicativas que estão inclusas no

modelo. Uma outra possível causa é a não estacionariedade da série dos erros, que pode

acontecer mesmo quando as séries Yt e Xt são estacionárias.

Caso exista autocorrelação nos resíduos e a mesma seja ignorada, são graves as

consequências para a análise do modelo. Por exemplo, a estimativa da variância dos

resíduos provavelmente será subestimada. Como consequência disso, o coeficiente de

24

determinação, R2, será superestimado. Não obstante, os testes de significância t de

Student e de Fisher ficam completamente comprometidos, não levando a resultados

confiáveis (GUJARATI, 2008).

A existência ou não de autocorrelação nos resíduos pode ser avaliada por diversas

formas. A mais simples é através do gráfico dos valores observados dos erros em função

do tempo. Caso existam padrões bem definidos, como formato de senos, ou

dependência positiva ou negativa de at em relação a valores passados, é provável que

exista autocorrelação.

Outra alternativa visual é através dos gráficos da função de autocorrelação empírica,

descrita pela equação (34):

�̂�(ℎ) =

∑ (𝑦𝑡 − �̅�)(𝑦𝑡−ℎ − �̅�)𝑛𝑘=ℎ+1

∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2𝑛𝑡=1

=𝛾(ℎ)

𝛾(0), ∀ ℎ ∈ (0, . . . , 𝑛 − 1

(34)

Figura 6: Gráfico de Autocorrelação Empírica (ACF)

Fonte: Elaboração própria

25

A figura (6) ilustra as estimativas dos valores de autocorrelação de uma série, no eixo

vertical, em função das defasagens. As linhas azuis representam os intervalos de

confiança de 95%. Para o lag 0, a função atinge, obviamente, o valor unitário. A partir

do lag 1, porém, espera-se que uma série não autocorrelacionada apresente todos os

valores dentro do intervalo de confiança. Caso existisse um pico no lag 12, por

exemplo, haveria evidência de que Yt depende, em parte, de Yt-12.

Esta análise gráfica possui um problema: a análise de cada lag de forma separada.

Existe a possibilidade de que, mesmo todas as linhas estando dentro do intervalo de

confiança, coletivamente os valores sejam grandes (SHUMWAY & STOFFER, 2011).

Uma forma simples de se testar a autocorrelação de forma coletiva é fazendo uma

regressão das séries dos erros, at, em relação a seus valores passados, ou seja:

𝑎𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑎𝑡−1+. . . +𝛽𝑛𝑎𝑡−𝑛+1 + 𝑢𝑡 (35)

Após o cálculo dos parâmetros através do MQO, analisa-se a significância dos

parâmetros, através de testes t de Student, para testar a significância de valores passados

sobre at. De forma mais geral, o teste de Fisher pode ser utilizado para confrontar as

seguintes hipóteses:

H0: 1 = 0 e 2 = 0 e ... e n = 0, ou seja, a regressão não é significativa, logo, não

há autocorrelação na série.

Ha: 1 0 ou 2 0 ou ... ou n 0, ou seja, existe correlação em relação a pelo

menos um lag, significando que existe autocorrelação.

Existe um teste estatístico mais robusto, denominado teste de Ljung-Box, que, ao invés

de ajustar uma regressão linear à série dos resíduos, encaixa um modelo ARMA(p, q)

aos dados, considerando H lags. A estatística de teste é dada pela equação (36).

(SHUMWAY & STOFFER, 2011):

𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2)∑

�̂�𝑒2(ℎ)

𝑛 − ℎ

𝐻

ℎ=1

(36)

26

Tal estatística segue a distribuição Qui-Quadrada, com h graus de liberdade. As

hipóteses do teste são:

H0: não existe autocorrelação na série dos resíduos

Ha: existe autocorrelação na série dos resíduos

O teste é unilateral pelo lado direito, ou seja, a hipótese nula é rejeitada caso:

𝑄 > 𝜒1−𝛼,ℎ2 (37)

Existem ainda outras alternativas, como o teste de Durbin-Watson. A estatística do teste

é dada por:

𝐷 =

∑ (�̂�𝑡 − �̂�𝑡−1)2𝑛

𝑡=2

∑ �̂�𝑡2𝑛

𝑡=1

(38)

As hipóteses testadas são:

H0: não existe autocorrelação na série dos resíduos

Ha: existe autocorrelação na série dos resíduos

Os critérios de decisão deste teste são baseados em valores tabelados para os limites

inferiores (Dl) e superiores (Du) da estatística de teste (GUJARATI, 2008). São eles:

Se 0 < D < Dl: rejeita-se H0

Se Dl < D < Du: zona de indecisão, o teste é inconclusivo

Se Du < D < 4 - Du: não se rejeita H0

Se 4 - Du < D < 4 - Dl: zona de indecisão, o teste é inconclusivo

Se 4 - Dl < D < 4: rejeita-se H0

Apesar de ser mundialmente utilizado, o teste de Durbin-Watson pressupõe várias

hipóteses (GUJARATI, 2008), dentre elas:

A regressão inclui o intercepto.

As variáveis explicativas não são estocásticas.

Os termos de erro ut seguem uma distribuição normal.

27

A regressão não inclui valores defasados de Yt como variáveis explicativas.

Dessa forma, o teste de Durbin-Watson possui aplicação muito restrita, principalmente

devido à hipótese de normalidade dos resíduos.

3.5. Homocedasticidade

A homocedasticidade é outro importante requisito para os resíduos da maioria dos

modelos estatísticos. Ela significa variância constante do termo do erro, ai,

independentemente do valor de Xi (GUJARATI, 2008), ou seja:

𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑖) = 𝐸[𝑎𝑖 − 𝐸(𝑎𝑖|𝑋𝑖)]2 = 𝐸(𝑎𝑖

2|𝑋𝑖) = 𝐸(𝑎𝑖2) = 𝜎2 (39)

Desde que Xi seja não estocástico. Em caso de heterocedasticidade, a variância varia de

acordo com o tempo:

𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑖|𝑋𝑖) = 𝜎𝑖2 (40)

A análise gráfica, apesar de possivelmente gerar alguns insights, não é tão simples

quanto no caso da autocorrelação. Alguns testes, nesse sentido, foram criados para se

testar a hipótese de homocedasticidade dos resíduos. Um dos mais simples é o teste de

Pesaran, que consiste em ajustar uma regressão, explicando o erro ai através dos valores

observados da série Yi (SALLES, 2005). A equação da regressão é da forma:

𝑎2 = 𝛽1 + 𝛽2�̂�2 (41)

Realiza-se os testes de significância t de Student e Fisher. Caso a regressão seja

significativa, conclui-se que há evidência de que a série dos resíduos é heterocedástica.

Caso contrário, existe evidência da homocedasticidade dos erros.

Engle (1982) desenvolveu o chamado modelo de heterocedasticidade condicional

autoregressiva (ARCH). Neste modelo, a heterocedasticidade, observada ao longo do

tempo, apresenta autocorrelação. Seja, por exemplo, a série temporal descrita pela

equação (42):

28

𝑌𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝑎𝑡 (42)

Onde at é um ruído branco centrado, escrito da seguinte forma:

𝑎𝑡 = 𝜎𝑡𝑧𝑡 (43)

Sendo zt um processo independente e identicamente distribuído, centrado e reduzido. A

variância incondicional dos resíduos é, portanto:

𝐸(𝑎𝑡𝑎𝑡+ℎ) = 0, ∀ ℎ > 0 (44)

Onde h representa o número de lags. A variância condicional dos erros, por sua vez, é

escrita como:

𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡|𝐻𝑡−1) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡|𝐻𝑡−1) = 𝐸(𝑎𝑡2|𝐻𝑡−1) = 𝜎𝑡

2 (45)

Onde Ht é um processo que designa o histórico disponível até o instante de tempo t.

Percebe-se, dessa forma, que a heterocedasticidade condicional significa autocorrelação

no processo dos erros elevado ao quadrado, at2.

O teste de Arch segue a mesma lógica do teste de autocorrelação dos resíduos por meio

de regressão. A única diferença é que, ao invés de ajustar uma regressão sobre a série

dos resíduos em si, a série considerada é a dos resíduos elevados ao quadrado, ou seja:

𝑎𝑡2 = 𝛽1 + 𝛽2𝑎𝑡−1

2 +. . . +𝛽n𝑎𝑡−𝑛+12 + 𝑢𝑡 (46)

Onde ut é um ruído branco. As hipóteses do teste são:

H0: 1 = 0 e 2 = 0 e... e n = 0, ou seja, a regressão não é significativa, logo não

há autocorrelação na série dos resíduos ao quadrado, ou seja, não existe evidência de

heterocedasticidade na série dos resíduos.

Ha: 1 0 ou 2 0 ou... ou n 0, ou seja, a regressão é significativa, logo há

autocorrelação na série dos resíduos ao quadrado, ou seja, existe evidência de

heterocedasticidade na série dos resíduos.

29

Ao longo dos anos, muitas variações foram propostas ao tradicional modelo ARCH.

Uma das mais conhecidas é o modelo de heterocedasticidade condicional autoregressiva

generalizada (GARCH), que foi desenvolvido por Engle e Bollerslev (1986).

Analogamente ao teste de Ljung-Box para a autocorrelação dos resíduos, o teste

GARCH utiliza um modelo ARMA para descrever o processo de geração da variância

condicional, sendo descrito como:

𝜎𝑡

2 = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑖𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1+ ∑ 𝛽𝑖𝜎𝑡−𝑖

2𝑞

𝑖=1

(47)

A variância condicional dos resíduos no instante de tempo t dependem, dessa maneira,

tanto dos erros passados elevados ao quadrado, tanto da própria variância condicional

em períodos anteriores. O teste GARCH segue a mesma lógica do teste ARCH, testando

a hipótese nula de não significância do modelo ARMA, que traduz a

homocedasticidade, contra a hipótese alternativa de significância do modelo, traduzindo

a ausência de homocedasticidade na série dos resíduos.

3.6. Normalidade

Embora a normalidade não seja um requisito para a maioria dos modelos de previsão,

ela consiste em uma hipótese adicional para os modelos de regressão através do método

dos mínimos quadrados ordinários. Quando os erros de uma regressão linear seguem a

distribuição gaussiana, o estimador de MQO também é considerado um estimador de

máxima verossimilhança.

Além disso, o conhecimento da distribuição que os resíduos de uma regressão seguem é

de suma importância para a realização de testes de hipóteses sobre os estimadores dos

parâmetros da regressão. Caso os resíduos sejam normais, a distribuição de

probabilidade dos estimadores de MQO também é normal, uma vez que qualquer

função linear de variáveis com distribuição normal também é normalmente distribuída

(GUJARATI, 2008).

30

Outra vantagem de os resíduos serem normais é quando se trabalha com amostras

pequenas. Neste caso, esta hipótese permite utilizar testes estatísticos tais como t de

Student, Fisher e Qui-Quadrado (GUJARATI, 2008).

Há diversos métodos para analisar a normalidade da série de resíduos. O mais simples é

a análise do histograma da variável, de maneira a comparar com o histograma de uma

variável normal. Outra alternativa gráfica são os gráficos de probabilidade normal, ou

gráficos Q-Q, nos quais se plota os valores observados dos resíduos no eixo das

abscissas e os valores esperados, no eixo vertical, caso os resíduos seguissem uma

distribuição normal. Quanto mais próximos de uma linha reta estiverem os pontos do

gráfico, mais evidência existe de que a série dos erros é normalmente distribuída.

Além das análises gráficas, há diversos testes estatísticos amplamente utilizados para

checar a normalidade. Um dos mais conhecidos é o teste de Jarque-Bera, cuja estatística

leva em conta a assimetria (S) e a curtose (K), e é calculada através da equação (48):

𝐽𝐵 = 𝑛 [

𝑆2

6+

(𝐾 − 3)2

24]

(48)

Onde:

𝑆 =

𝐸(𝑋 − 𝜇)3

𝜎3

(49)

𝐾 =

𝐸(𝑋 − 𝜇)4

[𝐸(𝑋 − 𝜇)2]2

(50)

As hipóteses nulas e alternativa do teste de Jarque-Bera são:

H0: S = 0 e K = 3, ou seja, JB = 0, significando que a distribuição seguida pelos

resíduos é normal.

Ha: S 0 ou K 3, ou seja, JB 0, significando que os resíduos não seguem

uma distribuição normal.

31

Para grandes tamanhos amostrais, a estatística JB segue a distribuição Qui-Quadrado

com 2 graus de liberdade (GUJARATI, 2008).

3.7. Modelos Utilizando Dados Históricos da Série Dependente

Nas últimas décadas, os modelos de previsão que utilizam apenas dados históricos de

uma série temporal para prever seus valores futuros se tornaram cada vez mais

populares, tomando, em parte, espaço antes ocupado por modelos tradicionais de

regressão. A principal vantagem desses métodos é a simplicidade, pelo fato de não

necessitar de outras séries se não a própria série a ser prevista. As previsões realizadas

por esses modelos fornecem, em geral, valores muito próximos aos reais,

principalmente quando se analisa o curto e médio prazos.

Processo Autoregressivo (AR)

Os processos autoregressivos (AR) são processos estacionários que verificam a seguinte

relação (GUJARATI, 2008):

𝑋𝑡 + ∑ 𝜙𝑖𝑋𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1= 𝑎𝑡, ∀ 𝑡 ∈ Ζ, 𝜙𝑖 ∈ ℝ

(51)

Onde p é chamado de ordem do processo AR, e at é um ruído branco de variância 2.

Seja L o operador de defasagem, linear e invertível, tal que:

𝐿𝑛𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−𝑛 (52)

E:

(∑ 𝑎𝑖𝐿

𝑖𝑝

𝑖=1)𝑋𝑡 = ∑ 𝑎𝑖𝑋𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1

(53)

O processo AR pode ser, então, reescrito como:

Φ(𝐿)𝑋𝑡 = 𝑎𝑡 (54)

Onde:

32

Φ(𝐿) = 1 + 𝜙1𝐿+. . . +𝜙p𝐿𝑝 (55)

A função de autocorrelação de um processo AR é a solução da seguinte relação:

1 + ∑ 𝜙𝑗𝜆

−𝑗 = 0𝑝

𝑗=1

(56)

A solução da equação acima permite concluir que a função de autocorrelação tende

exponencialmente a 0, à medida que o número de lags cresce (ver GOUDE (2015)).

Já a função de autocorrelação parcial dos processos AR é zero para lags maiores ou

iguais a p + 1, visto que a projeção de Xt sobre M(Xt-1, ..., Xt-h) é:

∑ 𝜙𝑗𝑋𝑡−𝑗

𝑝

𝑗=1

(57)

E o coeficiente de Xt-h é zero (GOUDE, 2015). Tais informações acerca das funções de

autocorrelação e autocorrelação parcial dos processos autoregressivos são muito úteis

para a adequação ou não de um modelo AR a um processo observado, e a determinação

do parâmetro p.

Processo Média Móvel (MA)

Os processos média móvel (MA) é representado através da equação (GUJARATI,

2008):

𝑌𝑡 = 𝜇 + ∑ 𝛽𝑖𝑎𝑡−𝑖

𝑞

𝑖=1

(58)

Onde é uma constante, at é um ruído branco, e q é denominado ordem do processo

MA. Neste modelo, o processo Yt depende é explicado através de uma média móvel dos

termos de erro do instante t e de momentos passados.

Mais uma vez, com o auxílio do operador de defasagem L, pode-se reescrever o

processo na forma:

𝑋𝑡 = (1 + 𝜃1𝐿+. . . +𝜃𝑞𝐿𝑞)𝑎𝑡 = Θ(𝐿)𝑎𝑡 (59)

33

A partir dessa equação, pode-se demonstrar que a função de autocorrelação de um

processo MA(q) é dada por (ver GOUDE (2015)):

{𝜌(ℎ) =

𝜃ℎ + 𝜃ℎ+1𝜃1+. . . +𝜃𝑞𝜃𝑞−ℎ

1 + 𝜃12+. . . +𝜃𝑞

2

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

, 𝑠𝑒 1 ≤ ℎ ≤ 𝑞

(60)

Em um processo MA(q), q é necessariamente não nulo. Consequentemente, de acordo

com a equação acima, (q) 0. Além disso, para lags a partir de q + 1, a função de

autocorrelação tem valores zero. Tais informações são, novamente, importantes na

análise do gráfico ACF para adequação de um modelo MA.

Processo Autoregressivo de Médias Móveis (ARMA)

Os processos autoregressivos de médias móveis (ARMA) são uma generalização dos

modelos AR e MA. Um processo estacionário pode ser representado através de um

modelo ARMA(p, q) caso satisfaça:

𝑋𝑡 + ∑ 𝜙𝑖𝑋𝑡−1 = 𝑎𝑡 + ∑ 𝜃𝑗𝑎𝑡−𝑗

𝑞

𝑗=1

𝑝

𝑖=1, ∀ 𝑡 ∈ 𝑍

(61)

Usando o operador de defasagem, reescreve-se a equação (61) como:

Φ(𝐿)𝑋𝑡 = Θ(𝐿)𝑎𝑡, ∀ 𝑡 ∈ 𝑍 (62)

A função de autocovariância de um processo ARMA(p, q) verifica a seguinte equação

(ver GOUDE (2015)):

𝛾(ℎ) + ∑ 𝜙𝑗𝛾(ℎ − 𝑗)

𝑝

𝑗=1= 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−ℎ, 𝑎𝑡 + 𝜃1𝑎𝑡−1+. . . +𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞) = 0

(63)

Para lags maiores ou iguais a q + 1, a função de autocovariância, logo também a função

de autocorrelação, tende exponencialmente a zero. É possível verificar, além disso, que

a autocorrelação parcial tende exponencialmente a zero para lags maiores ou iguais ao

máximo entre q + 1 e p.

34

Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA)

Os três modelos discutidos até aqui (AR, MA e ARMA) têm a hipótese de que o

processo é estacionário. Nesse sentido, o modelo ARIMA(p, d, q) é uma generalização

do modelo ARMA(p, q), em que a série é previamente diferenciada d vezes, a fim de

torná-la estacionária.

Seja o operador de diferenciação previamente definido. Utilizando também o

operador de defasagem L, é fácil verificar que:

∆𝑑𝑋𝑡 = (1 − 𝐿)𝑑𝑋𝑡 (64)

Dessa forma, define-se o modelo ARIMA(p, d, q) da seguinte maneira (GOUDE, 2015):

Φ(𝐿)(1 − 𝐿)𝑑𝑋𝑡 = Θ(𝐿)𝑎𝑡, ∀ 𝑡 ∈ 𝑍 (65)

Onde (1 - L)dXt representa a série diferenciada estacionária.

Processo Autoregressivo Integrado de Médias Móveis Sazonal (SARIMA)

Os modelos SARIMA é uma variação dos modelos ARIMA, em que a sazonalidade

estocástica do processo é levada em consideração. Caso se ajuste um modelo ARIMA

para uma série temporal com sazonalidade mensal, por exemplo, nota-se, nos gráficos

de autocorrelação e autocorrelação parcial, que os valores dessas funções demoram

muito tempo para decair em direção de zero. Além disso, verifica-se picos nos lags

múltiplos da sazonalidade, neste caso, 12, 24, etc. Como resultado disso, as previsões do

modelo ARIMA não ficam satisfatórias.

Box e Jenkins (1976) propuseram, endereçando essa questão, modelos multiplicativos

SARIMA (p,d,q)(P,D,Q)[s], definidos através da equação (66):

(1 − 𝐿)𝑑Φ𝑝(𝐿)(1 − 𝐿𝑠)𝐷Φ𝑃(𝐿𝑠)𝑋𝑡 = Θ𝑞(𝐿)Θ𝑄(𝐿𝑠)𝑎𝑡, ∀ 𝑡 ∈ 𝑍 (66)

Onde:

p = ordem do processo AR

d = ordem da diferenciação de lag 1

35

q = ordem do processo MA

P = ordem do processo SAR (autoregressivo sazonal)

D = ordem da diferenciação sazonal

Q = ordem do processo MAR (médias móveis sazonal)

s = periodicidade da série

Estimação dos Parâmetros dos Modelos e Comparação

Após ter sido feita a escolha do tipo de modelo e das respectivas ordens, o passo

seguinte é realizar a estimação dos coeficientes do modelo. Diferentemente das

regressões convencionais, não é possível estimar os parâmetros dos modelos MA,

ARIMA e SARIMA através do método de MQO, pois os erros passados não podem ser

especificados como variável independente neste método, uma vez que eles não são

conhecidos até que o modelo seja ajustado. Faz-se necessário o uso de métodos de

estimação não lineares.

Uma das possíveis formas de estimação dos parâmetros é através do método de

mínimos quadrados condicionais (MQC). O método, por exemplo, para o caso de

modelos AR, consiste em obter a soma condicional dos quadrados minimizando a

função (ver GOUDE (2015)):

�̂�𝑐𝑠𝑠 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝜙 ∑ (𝑋𝑡 − ∑ 𝜙𝑗𝑋𝑡−𝑗

𝑝

𝑗=1)

2𝑛

𝑡=𝑝+1

(67)

Onde css significa conditional sum of squares. Em seguida:

�̂�𝑐𝑠𝑠

2 =1

𝑛 − 𝑝∑ (𝑋𝑡 − ∑ �̂�𝑐𝑠𝑠𝑋𝑡−𝑗

𝑝

𝑗=1)

2𝑛

𝑡=𝑝+1

(68)

As equações podem ser generalizadas para modelos ARMA. Outra alternativa é

estimação através do estimador de máxima verossimilhança. A função de

verossimilhança de uma variável aleatória Xt é definida como (GUJARATI, 2008):

𝐿(𝜃; 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1; 𝜃)𝑓(𝑥2; 𝜃). . . 𝑓(𝑥𝑛; 𝜃) (69)

36

Onde f(X, ) representa a função de distribuição de probabilidade de uma variável

aleatória X, com parâmetro . Em geral, utiliza-se a função log de verossimilhança

(log(L)), por conveniência matemática. Simplificadamente, o método consiste em

diferenciar a função log(L) em relação à incógnita, de modo a encontrar o ponto de

maximização da função. Assegura-se que se trata de um ponto máximo ao diferenciar

mais uma vez a função (GUJARATI, 2008).

Em relação a um processo ARMA(p, q), a função de verossimilhança pode ser escrita

sob a forma (ver SHUMWAY & STOFFER (2011)):

𝐿(𝛽, 𝜎𝑤

2) = (2𝜋𝜎𝑤2)−𝑛/2[𝑟1(𝛽)𝑟2(𝛽). . . 𝑟𝑛(𝛽)]−1/2𝑒𝑥𝑝 [

−𝑆(𝛽)

2𝜎𝑤2

] (70)

Onde:

𝑆(𝛽) = ∑ [

(𝑥𝑡 − 𝑥𝑡𝑡−1(𝛽))2

𝑟𝑡(𝛽)]

𝑛

𝑡=1

(71)

Logo, a estimação por meio do estimador de máxima verossimilhança, para um modelo

ARMA(p, q), consiste em maximizar esta função em relação a e 𝜎𝑤2 .

Em condições apropriadas, para modelos ARMA causais e invertíveis, em condições

assintóticas (com n infinitamente grande), ambos os métodos, MQC e máxima

verossimilhança, fornecem estimadores ótimos e são equivalentes entre si.

Após ter estimado os coeficientes de um determinado modelo ARMA(p, q), por

exemplo, com p e q previamente escolhidos, pode-se escolher outros valores plausíveis

para p e q, calcular seus coeficientes da mesma forma e comparar os dois modelos a fim

de verificar qual deles fornece o melhor resultado. Essa comparação, geralmente, é feita

a partir de dois indicadores (GOUDE, 2015):

Critério de Informação de Akaike (AIC):

𝐴𝐼𝐶(𝜙, 𝜃, 𝜎2) = −2𝑙𝑜𝑔(𝐿(𝜙, 𝜃, 𝜎2)) + 2𝑘 (72)

37

Critério de Informação Bayesiano (BIC):

𝐵𝐼𝐶(𝜙, 𝜃, 𝜎2) = −2𝑙𝑜𝑔(𝐿(𝜙, 𝜃, 𝜎2)) + 𝑛𝑘 (73)

Onde L é a função de verossimilhança, e k é o número de parâmetros no modelo, ou

seja, p + q + 1, caso a constante esteja incluída, ou p + q, caso contrário. Na prática, o

melhor modelo é aquele que possui o menor valor para os dois critérios.

Amortecimento Exponencial Simples

Muitos modelos de amortecimento exponencial surgiram ao longo das últimas décadas.

A lógica por trás deles consiste em prever valores futuros de uma série temporal com

base em uma extensão de valores passados, dando importância decrescente a eles à

medida que mais longe são do tempo presente.

Seja uma série temporal estacionária Yt. Uma possibilidade bem simples de estimar seus

valores futuros seria fazer uma média simples de seus valores passados, ou seja:

�̂�𝑡+ℎ|𝑡 =

1

𝑡∑ 𝑌𝑖

𝑡

𝑖=1

(74)

Onde h é o número de passos futuros a serem previstos, e t é o número de observações

passadas a serem consideradas para o cálculo da média. Dessa forma, são dadas

importâncias equivalentes aos valores passados da série, independentemente do índice

de tempo em que foram observadas.

O modelo de amortecimento exponencial simples propõe a adoção de pesos para cada

observação, que decaem exponencialmente à medida que se avança sobre o passado. A

equação (74), uma média simples, se torna, para previsões com horizonte unitário:

�̂�𝑡+1|𝑡 = 𝛼𝑌𝑡 + 𝛼(1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 + 𝛼(1 − 𝛼)2𝑌𝑡−2+. .. (75)

Onde 0 1 é denominado parâmetro do amortecimento. A equação de previsão de

Y, em um passo t + h qualquer, é dada por: (HYNDMAN, 2014).

�̂�𝑡+ℎ|𝑡 = 𝑙𝑡 = ∑ 𝛼(1 − 𝛼)𝑗𝑌𝑡−𝑗 + (1 − 𝛼)𝑡𝑙0

𝑡−1

𝑗=0

(76)

38

As previsões para diferentes passos são constantes. Os valores de e l0 são definidos

através da minimização do erro quadrático médio (MSE):

𝑀𝑆𝐸 =

1

𝑡∑ (𝑌𝑖 − �̂�𝑖|𝑖−1)

2 =1

t∑ 𝑎𝑖

2𝑡

𝑖=1

𝑡

𝑖=1

(77)

A minimização do MSE é similar ao que se faz em modelos convencionais de regressão,

exceto pelo fato de não existir uma fórmula exata de solução, devendo-se recorrer a

métodos de otimização numérica para encontrar os valores dos parâmetros

(HYNDMAN, 2014). O mesmo método é utilizado para a determinação dos sucessivos

modelos de amortecimento exponencial apresentados a seguir.

Amortecimento Exponencial Duplo (Holt)

Holt (1957) estendeu os modelos de amortecimento exponencial tradicionais, que

pressupõem a estacionariedade da série temporal, de forma a permitir que exista

tendência na série. Modela-se a série com uma tendência linear, tornando a equação de

previsão:

�̂�𝑡+ℎ|𝑡 = 𝑙𝑡 + ℎ𝑏𝑡 (78)

Onde:

𝑙𝑡 = 𝛼𝑌𝑡 + (1 − 𝛼)(𝑙𝑡−1 + 𝑏𝑡−1) (79)

𝑏𝑡 = 𝛽(𝑙𝑡 − 𝑙𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝑏𝑡−1 (80)

Onde 0 1 é o parâmetro de amortecimento, 0 1 é o parâmetro de

amortecimento da tendência, lt é denominado nível da série no tempo t, e bt é a

tendência no tempo t.

Diferentemente do amortecimento exponencial simples, em que as previsões são

constantes para diferentes passos, as previsões deste modelo são uma função linear, com

inclinação positiva ou negativa, dependendo da tendência apresentada pela série.

39

Amortecimento Exponencial Duplo com Efeito Sazonal (Holt Winters)

Muitas séries temporais apresentam, além de tendência, um comportamento sazonal ao

longo do tempo. A fim de contemplar a sazonalidade, Holt e Winters desenvolveram um

novo modelo de amortecimento exponencial, que existe em duas formas: aditiva e

multiplicativa. O modelo aditivo tem como equação de previsão (HYNDMAN, 2014):

�̂�𝑡+ℎ|𝑡 = 𝑙𝑡 + ℎ𝑏𝑡 + 𝑠𝑡−𝑚+ℎ (81)

Onde:

𝑙𝑡 = 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑠𝑡−𝑚) + (1 − 𝛼)(𝑙𝑡−1 + 𝑏𝑡−1) (82)

𝑏𝑡 = 𝛽(𝑙𝑡 − 𝑙𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝑏𝑡−1 (83)

𝑠𝑡 = 𝛾(𝑌𝑡 − 𝑙𝑡−1 − 𝑏𝑡−1) + (1 − 𝛾)𝑠𝑡−𝑚 (84)

Onde m denota o período da sazonalidade, h é o número de passos de previsão, , e

são parâmetros de amortecimento, lt designa o nível da série no instante t, bt indica a

tendência em t, e st a sazonalidade no tempo t.

Já o modelo multiplicativo apresenta a seguinte equação de previsão:

�̂�𝑡+ℎ|𝑡 = (𝑙𝑡 + ℎ𝑏t)𝑠𝑡−𝑚+ℎ (85)

Onde:

𝑙𝑡 = 𝛼

𝑌𝑡

𝑠𝑡−𝑚+ (1 − 𝛼)(𝑙𝑡−1 + 𝑏𝑡−1)

(86)

𝑏𝑡 = 𝛽(𝑙𝑡 − 𝑙𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝑏𝑡−1 (87)

𝑠𝑡 = 𝛾

𝑌𝑡

(𝑙𝑡−1 + 𝑏𝑡−1)+ (1 − 𝛾)𝑠𝑡−𝑚

(88)

40

O modelo aditivo é recomendável quando as variações sazonais são aproximadamente

constantes ao longo do tempo, enquanto o modelo multiplicativo é ideal quando tais

variações mudam proporcionalmente em relação ao nível da série (HYNDMAN, 2014).

Modelos de Decomposição de Séries Temporais

Conforme já visto, uma série temporal pode ser decomposta em quatro componentes:

tendência (Tt), sazonalidade (St), componente aleatório (at) e componente cíclico (Ct).

Para simplificar, supõe-se que existam apenas os três primeiros componentes, de forma

que o efeito cíclico seja explicado dentro do componente sazonal. Assim, uma série Yt

pode ser escrita na forma aditiva:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝑎𝑡 (89)

A lógica dos métodos de decomposição reside em realizar estimativas de Tt e St, de tal

maneira que possamos subtrai-los da equação acima, e obter uma estimativa para o

componente aleatório at. É importante ressaltar que não é recomendável isolar um

componente sem isolar o outro, pois a especificação da sazonalidade depende da

tendência, logo métodos de estimação de St podem ser afetados caso não estimemos,

simultaneamente, Tt (MORETTIN & TOLOI, 2004).

A forma mais simples de se estimar a tendência de uma série temporal é modelando-a

através de funções polinomiais (FRANCO, 2016). Ou seja, escreve-se a tendência

através da equação:

𝑇𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡2+. . . +𝛽𝑘𝑡

𝑘 (90)

Em relação à sazonalidade, a forma mais prática para estimá-la é utilizando variáveis

dummies, variáveis binárias que indicam a presença ou ausência de determinado efeito

sazonal na série.

O número de variáveis dummies utilizado é igual ao período da série subtraído de 1,

pois, caso todas as variáveis zerem, o efeito causado assemelha-se ao efeito de uma

variável dummy em si.

41

Na prática, após definir as formas de estimação da tendência e da sazonalidade, inclui-

se tais estimativas em um modelo, como um modelo de regressão. Pode-se, por

exemplo, tentar prever futuros valores de Yt através de um processo autoregressivo,

adicionando a tendência na forma polinomial e a sazonalidade com variáveis dummy.

Um modelo autoregressivo puro requer que a série seja estacionária, ou seja, não

apresente tendência nem sazonalidade. Porém, conjugando esses três fatores, é possível

chegar a um modelo satisfatório.

Seja m o período da sazonalidade de uma série temporal Yt. Uma possível equação de

previsão de Yt é:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + ∑ 𝜙𝑖𝑌𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1+ 𝑎𝑡

(91)

Substituindo Tt e St:

𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡

2+. . . +𝛽𝑘𝑡𝑘 + 𝛿1𝐷1+. . . +𝛿𝑚−1𝐷𝑚−1 + ∑ 𝜙𝑖𝑌𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1+ 𝑎𝑡

(92)

Onde D1, ..., Dm-1 são as variáveis dummy, que valem 0 ou 1, e são fornecidas como

input para o modelo. Os coeficientes da equação podem ser estimados através do

método de MQO.

Uma outra forma de se modelar a sazonalidade de uma série é por meio de séries de

Fourier. Sob essa perspectiva, define-se a sazonalidade Zt como (ver GOUDE (2015)):

𝑆𝑡 = ∑ {𝛼𝑗𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑗𝑡) + 𝛽𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑗𝑡)}

𝑛

𝑗=0

(93)

Onde a frequência wj é definida como:

𝑤𝑗 =

2𝜋𝑗

𝑚, 𝑗 = 0, . . . , 𝑛 =

𝑚

2

(94)

Onde m é o período de sazonalidade da série, e n é um valor arbitrário que não pode

exceder m/2. Essa modelagem, portanto, define 2n funções trigonométricas para

explicar a sazonalidade de uma série temporal. Da mesma forma que foi feito com as

42

variáveis dummies, pode-se substituir essa aproximação na equação de regressão de Yt,

de forma a achar, pelos MQO, os parâmetros da regressão.

3.8. Modelos Incrementando Variáveis Exógenas

Embora os modelos apresentados na seção anterior sejam extremamente úteis para a

previsão de séries temporais, muitas vezes os valores observados da própria série e os

valores calculados de erros, por si só, não são suficientes para explicar variações na

variável dependente, principalmente em um horizonte longo.

A inclusão de variáveis exógenas ao modelo frequentemente ajuda a explicar variações

que não conseguem ser captadas pelo histórico da série. Por exemplo, caso o Brasil

entre em uma grande crise econômica, o consumo de energia elétrica industrial tende a

cair bruscamente. Caso o modelo utilize apenas o histórico do consumo e os erros de

previsão, a queda brusca demora a ser refletida nos valores previstos, gerando previsões

imprecisas. Se o modelo contemplar uma variável de atividade econômica ou industrial,

no entanto, a queda tende a ser captada muito mais rapidamente.

ARMAX

Os modelos autoregressivos de médias móveis com variáveis exógenas (ARMAX) são

uma generalização dos tradicionais modelos ARMA, nos quais são inclusas variáveis

externas para ajudar a explicar a variável dependente. Seja um processo ARMA(p, q):

𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1+. . . +𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 − 𝜃1𝑎𝑡−1−. . . −𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡 (95)

Onde at é ruído branco. O modelo ARMAX(p,q,X1,...,Xk) simplesmente adiciona

variáveis (X1, ..., Xk) ao modelo, transformando a equação precedente em:

𝑌𝑡 = 𝛽1𝑋1,𝑡+. . . +𝛽𝑘𝑋𝑘,𝑡 + 𝜙1𝑌𝑡−1+. . . +𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 − 𝜃1𝑎𝑡−1−. . . −𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎t (96)

Com o auxílio do operador de defasagem L, reescreve-se a equação (96) na seguinte

forma:

Φ(𝐿)𝑌𝑡 = 𝛽𝑋𝑡 +/Θ(𝐿)𝑎𝑡 (97)

43

Logo:

𝑌𝑡 =

𝛽

Φ(𝐿)𝑋𝑡 +

Θ(𝐿)

Φ(𝐿)𝑎𝑡

(98)

Nota-se que os coeficientes do AR se misturam tanto com o termo do erro quanto com

as variáveis exógenas. O coeficiente angular, nessa equação, não possui significado

prático (HYNDMAN, 2014).

Essa generalização dos modelos ARMA é analogamente extensível aos modelos

ARIMA e SARIMA, dando origem aos modelos ARIMAX e SARIMAX. Da mesma

forma que para os modelos sem variáveis exógenas, métodos não lineares como MQC e

estimador de máxima verossimilhança devem ser utilizados para estimação dos

parâmetros, devido à presença de erros passados como variáveis explicativas.

Regressão Linear com Erros ARMA

Devido à falta de interpretabilidade do coeficiente angular na equação de previsão dos

modelos ARMAX, muitos autores, como Hyndman (2014), preferem um outro tipo de

modelo, denominado regressão linear com erros ARMA. Eles são definidos como:

𝑌𝑡 = 𝛽𝑋𝑡 + 𝑛𝑡 (99)

𝑛𝑡 = 𝜙1𝑛𝑡−1+. . . +𝜙𝑝𝑌𝑝−1 − 𝜃1𝑎𝑡−1−. . . −𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡 (100)

Há dois termos de erro: nt é o erro do modelo de regressão de Yt, que é permitido ter

autocorrelação, e at é o erro do ARMA(p, q) ajustado a nt. O processo at é um ruído

branco, não apresentando autocorrelação, portanto.

Utilizando, novamente, o operador de defasagem L, obtém-se:

𝑌𝑡 = 𝛽𝑋𝑡 +

Θ(𝐿)

Φ(𝐿)𝑎𝑡

(101)

44

Dessa forma, o coeficiente angular toma sua forma e interpretação usuais. A

minimização da soma dos quadrados de nt, que é o procedimento em uma regressão

convencional, não é o ideal para este caso, devido à autocorrelação existente nos

resíduos. Tal procedimento levaria a regressões espúrias e testes de hipótese imprecisos.

Os coeficientes são calculados, então, através da minimização da soma dos quadrados

de at (HYNDMAN, 2014).

Analogamente, pode-se ajustar modelos ARIMA ou SARIMA às regressões, seguindo a

mesma lógica descrita. Uma maneira de verificar qual modelo ARMA, ARIMA ou

SARIMA melhor se encaixa aos resíduos da regressão e seus parâmetros (p, q, etc), é

ajustando uma regressão sobre Yt em função das variáveis exógenas e analisando os

resíduos com os gráficos de ACF e PACF, conforme explicado anteriormente.

Modelos de Regressão Dinâmica

Os dois modelos recém-descritos podem ser considerados casos particulares do que se

chama de modelos de funções de transferência, descritos através da equação

(HYNDMAN, 2014):

𝑌𝑡 =

𝛽(𝐿)

𝑣(𝐿)𝑋𝑡 +

Θ(𝐿)

Φ(𝐿)𝑎𝑡

(102)

Nessa forma mais geral, as variáveis exógenas Xt podem estar presentes de forma

defasada, obtidas através do operador de defasagem L. Em outras palavras, observações

passadas das variáveis exógenas podem contribuir para explicar o valor tomado pela

variável Y no tempo t.

O operador v(L), por sua vez, atua no sentido de conferir efeitos decrescentes das

variáveis exógenas sobre Yt, à medida que se avança sobre o passado. Tais modelos

também são chamados de modelos de regressão dinâmica (HYNDMAN, 2014).

Um caso particular de modelo de regressão dinâmica, denominado modelo

autoregressivo de defasagens distribuídas (ARDL), acontece quando se tem a seguinte

equação de previsão:

45

𝑌𝑡 = ∑ 𝜙𝑖𝑌𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1+ ∑ (∑ 𝛽𝑖𝑋𝑖,𝑡−𝑗

𝑚

𝑗=0)

𝑘

𝑖=1+ 𝑎𝑡

(103)

Onde at é ruído branco, k é o número de variáveis exógenas, e m é o número máximo de

defasagens permitidas para cada variável exógena. Como não existem termos MA,

pode-se estimar os coeficientes do modelo usando o método MQO.

Decomposição com Variáveis Exógenas

A decomposição de séries temporais em componentes de tendência, sazonalidade e

aleatoriedade pode ser complementada pela adição de variáveis exógenas. Ou seja, ao

invés de explicar um processo Yt apenas através de seus três componentes, aplica-se a

seguinte relação:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝛽1𝑋1+. . . +𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝑎𝑡 (104)

Pode-se utilizar os mesmos métodos para explicar a tendência e a sazonalidade, como

polinômios, variáveis dummies e séries de Fourier. As variáveis exógenas podem ser

incluídas, também, em formas defasadas. O método MQO pode ser utilizado para

estimação dos coeficientes da regressão.

3.9. Modelos de Machine Learning

A área de conhecimento relacionada ao machine learning (aprendizado de máquinas)

tem se tornado cada vez mais popular, nos últimos anos, no contexto de previsões de

séries temporais. Machine learning é um ramo da ciência da computação que dá às

máquinas a capacidade de aprendizado sem ter sido diretamente programada para isso.

A aplicação do machine learning à previsão tem gerado resultados melhores que os

obtidos através de modelos estatísticos tradicionais. Seu uso aumenta

consideravelmente a capacidade de exploração de relações não lineares entre dados de

entrada e de saída, de difícil compreensão para o ser humano. Outra vantagem dos

modelos que utilizam machine learning é a virtual inexistência de pressupostos sobre as

séries de dados e suas distribuições.

46

Os modelos baseados em machine learning podem ser classificados em supervisionados

e não supervisionados. No primeiro tipo, são fornecidos valores para as variáveis

explicativas e para a variável dependente, treinando o modelo de forma similar aos

utilizados nos modelos previamente citados, ou seja, comparando os valores previstos

com os reais, e usando os erros para chegar às melhores estimativas dos parâmetros. No

caso não supervisionado, apenas os valores das variáveis explicativas são fornecidos,

cabendo inteiramente à máquina descobrir relações entre os dados e propor previsões. A

maioria dos métodos são supervisionados.

Rede Neural

Redes neurais constituem um dos modelos de machine learning mais populares no

mundo. Sua estrutura é baseada no funcionamento do cérebro humano, sendo composta

por camadas de neurônios que se conectam entre si através de sinapses, as quais

transmitem sinais. Cada neurônio, ao receber um sinal, processa-o e então o transmite

adiante. Uma rede neural com apenas uma camada de neurônios oculta pode ser

ilustrada da seguinte forma:

Figura 7: Estrutura básica de uma rede neural

Fonte: https://www.otexts.org/fpp/9/3

Os neurônios da camada de input são responsáveis por receber os dados de entrada,

enquanto os neurônios das camadas ocultas transmitem-nos adiante, e os neurônios de

output sintetizam e fornecem o resultado final do sistema.

https://www.otexts.org/fpp/9/3

47

O output de um neurônio de índice i é denominado xi. Um neurônio j, localizado uma

camada à frente, recebe esse input juntamente com outros provenientes de neurônios da

mesma camada imediatamente antecedente. Por exemplo, um neurônio da camada

oculta da imagem acima, de índice j, recebe como input:

𝑧𝑗 = 𝑏𝑗 + ∑ 𝑤𝑖,𝑗𝑥𝑖

4

𝑖=1

(105)

Onde wi,j são pesos que existem para cada combinação de neurônios. Inicialmente,

assumem valores aleatórios, que são alterados com o aprendizado. A equação anterior

mostra que o valor recebido pelo neurônio j é uma combinação linear entre os outputs

x1, x2, x3 e x4, oriundos dos neurônios da camada anterior. Antes de o neurônio j ler a

combinação desses inputs, é aplicada uma função de transformação não linear, como um

sigmoide:

𝑠(𝑧) =

1

1 + 𝑒−𝑧

(106)

Essa função é aplicada com o intuito de reduzir o efeito indesejado de valores extremos,

diminuindo, dessa forma, a influência de outliers nos resultados do modelo

(HYNDMAN, 2014).

A rede neural ilustrada acima é um exemplo de rede neural feed-forward, em que

existem apenas sinapses em uma única direção, não existindo ligações recursivas entre

os neurônios. Existem muitas redes, no entanto, que apresentam propagação de sinais

também no sentido inverso, chamadas de backpropagation, ou retropropagação.

O método de aprendizado consiste, simplificadamente, em minimizar a função de custo

do modelo. Tal função pode ser, por exemplo, a média dos erros quadráticos de

previsão. O modelo é treinado diversas vezes, utilizando, em cada momento, diferentes

pontos de partida, os quais geram diferentes resultados. Ao final, são feitas médias

sobre os resultados obtidos, chegando a um único output para cada input (HYNDMAN,

2014).

48

Random Forest

Os métodos de previsão através de árvores de decisão também são muito utilizados para

previsão. Uma árvore de decisão consiste em um diagrama, em formato de árvore, que

parte de um conjunto de dados e ramifica-o em diversos subconjuntos, de acordo com

regras de decisão. A figura 8 ilustra um exemplo de uma árvore simples, referente ao

acidente do Titanic, onde sibsp representa o número de parentes que o passageiro tinha

a bordo.

Figura 8: Exemplo de árvore de decisão

Fonte: www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/introduction-to-classification-regression-trees-

cart

Nesta árvore, a variável resposta é binária, indicando se o indivíduo sobreviveu ou não

ao acidente do navio. Árvores como essa são chamadas de árvores de classificação.

Existem, também, árvores de regressão, em cuja variável dependente é contínua. As

variáveis explicativas, em ambos os casos, podem ser categóricas ou contínuas. Assim

como nas redes neurais, as ramificações e os nós da árvore são calculados através de um

processo de aprendizado supervisionado que visa a minimizar uma dada função de

custo.

Previsões utilizando árvores de decisão apresentam muitas vantagens, como a fácil

interpretabilidade de seu output (diferentemente das redes neurais, que são de difícil

http://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/introduction-to-classification-regression-trees-cart

http://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/introduction-to-classification-regression-trees-cart

49

compreensão aos olhos humanos) e a facilidade de se trabalhar com grande volume de

dados, o que viabiliza seu uso em áreas relacionadas à big data. Entretanto, um de seus

maiores problemas é o overfitting. É muito comum que, ao longo do processo de

aprendizado, se construa árvores grandes e complexas, sem a devida necessidade.

Nesse sentido, Random Forests são modelos que foram desenvolvidos para aproveitar

as vantagens das árvores de decisão, mas combatendo o problema do overfitting. Neste

modelo, constrói-se um grande número de árvores de decisão, usando sets de

treinamento escolhidos de maneira aleatória com reposição. Dessa forma, para cada

conjunto de dados aleatoriamente escolhido, calcula-se previsões para o test set a partir

da árvore gerada. A previsão final é calculada por:

𝑓 =

1

𝐵∑ 𝑓𝑏(𝑥′)

𝐵

𝑏=1

(107)

Onde B é o número de árvores construídas.

Support Vector Regression (SVR)

Support vector machine (SVM), ou máquina de vetores de suporte, é mais um método

de aprendizado supervisionado usado para a previsão. A ideia básica por trás deste

método consiste na criação de hiperplanos que separam os dados em diferentes

categorias. Para ilustrar esse conceito, um dos casos mais simples, onde a variável

resposta é binária e existem apenas duas variáveis explicativas, pode ser ilustrado na

figura 9:

50

Figura 9: Exemplo de vetor de suporte

Fonte: https://www.r-bloggers.com/machine-learning-using-support-vector-machines/

No caso de uma série temporal, o eixo horizontal poderia representar o índice de tempo,

e o vertical uma variável explicativa. Os pontos azuis e os quadrados vermelhos

representam os dois valores possíveis para a variável dependente suposta.

O método de aprendizado traça um hiperplano (neste caso, uma reta) que separe as

observações em duas categorias. A reta é calculada de forma que sua distância seja a

máxima possível entre os extremos de cada categoria, de forma que se minimize a

possibilidade de novas observações, ao serem previstas, sejam associadas ao conjunto

errado. Neste caso, a reta deve ser equidistante, portanto, das duas linhas tracejadas.

Apesar de ser majoritariamente usado para modelos de classificação, como o exemplo

citado, o método SVM pode ser também aplicado para regressões, no que se chama de

support vector regression (SVR). Resumidamente, o processo de aprendizado do SVR

visa a minimizar 1

2‖𝑤2‖, onde �⃗⃗� é o vetor de regressão, sujeito às restrições

(DRUCKER, BURGES, KAUFMAN, SMOLA, & VAPNIK, 1996):

{𝑌𝑖− < 𝑤, 𝑋𝑖 > − 𝑏 ≤ 휀< 𝑤, 𝑋𝑖 > + 𝑏 − 𝑌𝑖 ≤ 휀

(108)

51

Onde Xi é o set de treinamento, Yi são os valores reais da variável dependente, b é uma

constante, é uma constante que atua como limite superior e o operador <> indica o

produto interno. O produto interno entre w e Xi, acrescido de b, significa a previsão do

valor de Yi a partir de Xi.

3.10. Medidas de Ajustamento

O uso de indicadores de ajustamento de modelos de previsão de séries temporais é

extremamente importante para mensurar a qualidade de cada modelo e, principalmente,

ser capaz de comparar diferentes modelos. Alguns dos indicadores mais utilizados para

este propósito são (SALLES, 2005):

Erro médio absoluto (MAE):

𝑀𝐴𝐸 =

∑ |𝑌𝑖 − 𝑌�̂�|𝑛𝑖=1

𝑛

(109)

Erro absoluto médio percentual (MAPE):

𝑀𝐴𝑃𝐸 =

1

𝑛∑ |

𝑌𝑖 − �̂�𝑖

𝑌𝑖|

𝑛

𝑖=1

(110)

Erro quadrado médio (RMSE):

𝑅𝑀𝑆𝐸 = √∑(𝑌𝑖 − �̂�𝑖)

2

𝑛

𝑛

𝑖=1

(111)

Soma dos quadrados dos erros de previsão (PRESS):

𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆 = ∑ (𝑌𝑖 − �̂�𝑖−1)

2𝑛

𝑖=1

(112)

52

4. AMOSTRA: DADOS UTILIZADOS

4.1. Descrição dos Dados

Consumo de Energia Elétrica Industrial

O consumo de energia elétrica em GWh será a variável dependente dos nossos modelos

de previsão e corresponde ao volume de energia requisitado ao sistema gerador,

compreendendo as perdas de energia no sistema elétrico e o volume medido pelas

distribuidoras e/ou geradoras.

Na classe industrial enquadram-se as unidades consumidoras em que seja desenvolvida

atividade industrial, conforme definido na Classificação Nacional de Atividades

Econômicas – CNAE, assim como o transporte de matéria-prima, insumo ou produto

resultante do seu processamento, caracterizado como atividade de suporte e sem fim

econômico próprio, desde que realizado de forma integrada fisicamente à unidade

consumidora industrial.

As indústrias alimentícia, mineral, automobilística, têxtil, extrativa, metalúrgica, de

papel e celulose, borracha e plástico são responsáveis por 79,37% do consumo de

energia industrial, segundo dados da EPE. Além disso, a classe industrial é a que

consome mais energia elétrica no Brasil, aproximadamente 35,7% (EPE, 2017), sendo

de fundamental importância fazer uma previsão acurada para este setor, com o objetivo

de promover o crescimento econômico.

As séries históricas de consumo de energia industrial por região foram retiradas do

Sistema Gerenciador de Séries Temporais do Banco Central, tendo como fontes a

Eletrobrás e a Empresa de Pesquisa Energética (EPE). As séries estão definidas entre o

período de janeiro de 2003 e abril de 2017, e as previsões a serem realizadas

considerarão um horizonte de aproximadamente 2 anos.

Temperatura

Segundo Fidalgo et al. (2007) A temperatura é a mais importante das condições

climáticas que influenciam o consumo de energia elétrica, pois, geralmente, a demanda

53

aumenta nos dias quentes devido à necessidade de refrigerar e ventilar os ambientes e as

máquinas nas indústrias. Andrade e Sant'Anna (2013) mencionam que a relação entre o

consumo de energia e a temperatura apresenta um comportamento linear para regiões

caracterizadas pelo clima tropical. Cabe ressaltar, que em outros países, com invernos

mais rigorosos, há a necessidade de aquecimento dos ambientes, ficando caracterizada

uma relação em forma de U entre as variáveis (HIPPERT et al., 2001). Quantificar essa

relação é de suma importância a longo prazo para mensurar os impactos que o aumento

das temperaturas, ocasionadas pelas mudanças climáticas em escala global, podem

acarretar no consumo de energia das nossas indústrias.

A série histórica de temperaturas, em graus Celsius, foi gerada pelo Banco de Dados

Meteorológicos para Ensino e Pesquisa (BDMEP), com o objetivo de apoiar as

atividades de ensino e pesquisa e outras aplicações em recursos hídricos, meteorologia,

meio ambiente, saúde pública, etc. Os dados são disponibilizados em níveis diários e

mensais para cada estação, portanto foi necessária realizar uma agregação regional

delas, ou seja, a temperatura regional mensal utilizada neste trabalho é a média das

médias de todas as estações de uma determinada região do Brasil, compreendendo o

período entre Janeiro de 2003 e Abril de 2017, totalizando 172 observações.

Tarifa Média

Quantificar a relação entre a tarifa média industrial e o consumo de energia é essencial

para o governo brasileiro realizar suas políticas, uma vez que 29,5% do valor da tarifa,

segundo dados da ANEEL, são tributos (ICMS e PIS/COFINS), podendo ser

aumentados ou diminuídos com o objetivo de controlar o consumo de energia para

evitar apagões. Por exemplo, a crise hídrica que ocorreu entre 2013 e 2015 provocou o

acionamento massivo das termoelétricas, devido aos níveis críticos atingidos pelos

reservatórios de água. Como seu custo de geração é mais alto do que a média praticada

na matriz energética brasileira, composta por 68,1% de hidrelétricas EPE (2017), há

uma consequência inevitável: a energia do sistema fica mais cara. Contudo, houve um

congelamento das tarifas de energia elétrica, mantendo o mesmo nível de consumo.

Os dados históricos, compreendendo o período entre janeiro de 2003 a abril de 2017, da

tarifa média com impostos do consumo de energia industrial por região foram coletados

54

dos Relatórios de Consumo e Receita de Distribuição da Agência Nacional de Energia

Elétrica (ANEEL). A tarifa média regional industrial é calculada dividindo a receita

total de fornecimento pelo consumo total de energia, levando em consideração a

declaração de cada distribuidora de energia de quanto cobram pelo fornecimento de um

MWh. Esperamos que esta variável exógena influencie negativamente na variável

dependente.

IBCR

O Índice de Atividade Econômica Regional (IBCR) é um indicador mensal para as

cinco regiões geográficas do Brasil, com o intuito de ser um parâmetro do nível de

atividade econômica. O IBCR é calculado, pelo Banco Central (BACEN), com o uso de

proxies representativas do volume da produção industrial, agropecuária e do setor de

serviços. Hahn et al (2009) mencionam que os fatores econômicos influenciam bastante

nas previsões para o consumo de energia de médio e longo prazo, portanto, esperamos

que esse indicador tenha uma influência positiva no consumo de energia elétrica, uma

vez que quanto maior a atividade econômica do país, mais produtos serão produzidos e

mais energia será consumida.

As séries temporais do IBCR foram obtidas do Sistema Gerenciador de Séries

Temporais do Banco Central, compreendendo o período entre janeiro de 2003 e abril de

2017, totalizando 172 observações.

Cabe ressaltar, que outros indicadores da atividade econômica – Pesquisa Industrial

Mensal de Produção Física (PIM-PF) e o Produto Interno Bruto (PIB) – esbarram em

limitações em níveis de agregação ou temporal, em relação às outras variáveis do

estudo.

4.2. Resumos Estatísticos, Testes de Estacionariedade e Normalidade

Resumos Estatísticos foram elaborados, para cada variável exógena e endógena dos

modelos, com o objetivo de caracterizar a dispersão dos valores das séries temporais,

analisando suas médias, medianas, assimetrias, curtose, valores máximos e mínimos. Os

resultados foram obtidos através da utilização da ferramenta Análise de Dados do Excel.

55

Ademais, os pressupostos de estacionariedade e normalidade dos dados para a

realização dos modelos de previsão, também foram verificados nesta Seção, através dos

testes citados anteriormente: Jarque-Bera para testar a normalidade, caso o valor-p seja

muito baixo nós rejeitamos a hipótese nula da variável possuir uma distribuição normal,

e o teste de raiz unitária ADF para a estacionariedade, onde se analisa a hipótese nula da

variável possuir uma raiz unitária, ou seja, a série será estacionária, caso o nível

descritivo for suficientemente baixo (menor que o nível de significância de 5% aceitado

nos estudos). Os valores-p dos testes foram obtidos com o auxílio do software EViews e

podem ser observados nos anexos.

Cabe ressaltar que a presença de estacionariedade nas séries temporais é de suma

importância para a robustez dos modelos, pois, com sua ausência, regressões espúrias

podem ser produzidas, ocasionando em um coeficiente de determinação exagerado e na

ausência de relação de causa-efeito entre as variáveis utilizadas.

Uma série de transformações foram realizadas nas séries temporais com a finalidade de

obter-se a normalidade e a estacionariedade dos dados. A transformação que teve mais

êxito foi a primeira diferença definida por:

ΔZ(t) = 𝑍(𝑡) − 𝑍(𝑡 − 1) (113)

Isto indica que as séries temporais trabalhadas são integradas de primeira ordem I(1), ou

seja, a série original não é estacionária, mas se diferenciarmos uma vez ela, rejeitaremos

a hipótese nula da existência de uma raiz unitária do teste ADF.

Portanto, quando nos referirmos às séries temporais transformadas, estaremos nos

referindo à diferenciação de primeira ordem da série I(1).

Consumo de Energia Elétrica

Podemos observar na Tabela 1 que a Região Sudeste é responsável por 55,52% do

consumo de energia industrial do Brasil. Segundo Morais (2003, p. 485,486), fatores

históricos contribuíram com o desenvolvimento e a concentração da indústria na região

Sudeste, como por exemplo, a posição geográfica estratégica e a construção de ferrovias

para transportar o café entre São Paulo, interior do país e Porto de Santos. Em termos

56

percentuais, a região Centro-Oeste possui um maior desvio-padrão, aproximadamente

22,8% do valor da média.

Tabela 1: Resumo estatístico do consumo de energia elétrica por região


Todas as regiões, exceto o Centro-Oeste, possuem uma assimetria negativa, ou seja, a

distribuição tem uma “cauda” mais longa à esquerda. Ademais, a curtose negativa para

as regiões, exceto Sudeste, indica que a distribuição de consumo de energia é, em sua

grande maioria, platicúrtica, ou seja, é mais achatada que a função normal.

Além disso, podemos afirmar que as séries não são normais, uma vez que os valores-p

do teste Jarque-Bera são menores que o nível de significância de 5%, rejeitando a

hipótese nula de normalidade e também são não estacionárias, pois os valores-p do teste

ADF são maiores que o nível de significância de 5%, aceitando assim a hipótese nula de

raiz unitária.

Contudo, quando diferenciamos uma vez a série, obtemos os seguintes resultados

representados na Tabela 2.

ConsumoEnergia-CO ConsumoEnergia-NE ConsumoEnergia-N ConsumoEnergia-SE ConsumoEnergia-S

Média 584,7674 2233,1977 1087,2093 7751,7965 2378,8140

Erro padrão 10,1466 16,9364 10,6158 56,3882 21,1931

Mediana 549,5000 2278,0000 1088,5000 7825,5000 2434,5000

Modo 472,0000 1942,0000 862,0000 7596,0000 1811,0000

Desvio padrão 133,0716 222,1183 139,2248 739,5249 277,9452

Variância da amostra 17708,0509 49336,5572 19383,5349 546897,1338 77253,5441

Curtose -1,3889 -0,8046 -0,8006 0,7204 -0,6449

Assimetria 0,1845 -0,5514 -0,3892 -0,9650 -0,4817

Intervalo 519 860 567 3150 1184

Mínimo 319 1715 737 5646 1648

Máximo 838 2575 1304 8796 2832

Soma 100580 384110 187000 1333309 409156

Jarque-Bera 14,6770 13,3400 8,9900 29,4000 9,6700

p-valor (Jarque-Bera) 0,0007 0,0013 0,0111 0,0000 0,0080

p-valor (ADF) 0,2996 0,5406 0,3997 0,0880 0,2835

Número de Observações 172 172 172 172 172

57

Tabela 2: Resumo estatístico das diferenças de ordem 1 do consumo de energia elétrica


Fica evidenciado uma melhora significativa nos testes de estacionariedade e

normalidade para todas as regiões. O valor-p do teste ADF é menor que o nível de

significância de 5%, rejeitando assim a hipótese nula de raiz unitária para as séries I(1)

do consumo de energia. Entretanto, a normalidade é aceita somente para as regiões

Centro-Oeste e Norte, devido ao alto p-valor. Mesmo assim, optou-se por dar

continuidade ao estudo, levando em consideração os efeitos causados pela a violação

desse pressuposto. Cabe ressaltar, o valor negativo da média das diferenças de primeira

ordem do consumo de energia industrial do Nordeste, isto evidencia uma redução do

consumo de energia da região nos últimos 15 anos.

IBCR

Segundo a Tabela 3, a região Norte possui 144,04 em média do Índice de Atividade

Econômica Regional, sendo a maior do Brasil e as regiões com os menores índices, em

média, são a região Sudeste com 130,17 e a sul com 130,18. As curtoses são negativas

para todas as distribuições, confirmando uma função de distribuição Platicúrtica, ou

seja, mais achatada que a distribuição normal. Ademais, os valores de assimetria para a

o IBCR da região Sul e Centro-Oeste estão bem próximos de 0 indicando simetria, isto

é, a média, mediana e moda coincidem no mesmo ponto.

dif1ConsumoEnergia-CO dif1ConsumoEnergia-NE dif1ConsumoEnergia-N dif1ConsumoEnergia-SE dif1ConsumoEnergia-S

Média 2,2865 -0,9942 2,4854 10,5848 6,5380Erro padrão 2,1789 7,2384 3,7644 18,4437 9,1142Mediana 5,0000 -15,0000 5,0000 29,0000 4,0000Modo 10,0000 24,0000 29,0000 14,0000 27,0000Desvio padrão 28,4924 94,6538 49,2259 241,1832 119,1840Variância da amostra 811,8174 8959,3470 2423,1924 58169,3266 14204,8265Curtose -0,1182 0,2880 0,2008 1,4874 1,3904Assimetria -0,0877 0,4691 0,1069 -0,7799 0,0736Intervalo 142 533 257 1421 681Mínimo -70 -198 -125 -899 -319Máximo 72 335 132 522 362Soma 391 -170 425 1810 1118Jarque-Bera 0,3746 6,5886 0,5024 59,9730 12,4753p-valor (Jarque-Bera) 0,8292 0,0371 0,7779 0,0000 0,0020p-valor (ADF) 0,0000 0,0499 0,0011 0,0464 0,0223Número de Observações 171 171 171 171 171

58

Tabela 3: Resumo estatístico do IBCR por região


Nenhuma das séries do IBCR teve a hipótese nula de raiz unitária rejeitada, devido aos

altos p-valores do teste ADF e a normalidade foi aceita somente para as regiões Sul e

Centro-Oeste ao nível de significância de 5%. A tabela 4 é composta pelos resumos

estatísticos das primeiras diferenças da série do IBCR.

Tabela 4: Resumo estatístico das diferenças de ordem 1 do IBCR por região


IBCR-CO IBCR-NE IBCR-N IBCR-SE IBCR-S

Média 139,79 133,50 144,04 130,17 130,18

Erro padrão 1,85 1,41 1,79 1,31 1,41

Mediana 140,60 137,14 146,25 134,65 133,15

Modo 126,61 108,50 157,24 #N/D 105,37

Desvio padrão 24,24 18,52 23,47 17,21 18,50


Curtose -0,71 -0,99 -0,99 -1,05 -0,58

Assimetria 0,07 -0,46 -0,30 -0,42 0,08

Intervalo 99,99 69,58 90,75 62,69 82,81

Mínimo 93,74 91,54 93,08 95,51 94,92

Máximo 193,73 161,12 183,83 158,20 177,73

Soma 24044,48 22961,77 24775,10 22389,79 22390,96

Jarque-Bera 3,8630 13,1860 9,7030 12,9845 2,7624


p-valor (ADF) 0,2196 0,1226 0,1705 0,1242 0,3851


dif1IBCR-CO dif1IBCR-NE dif1IBCR-N dif1IBCR-SE dif1IBCR-S

Média 0,3643 0,3405 0,3271 0,2256 0,3073

Erro padrão 0,9354 0,4264 0,4744 0,2949 0,6580

Mediana -0,4300 0,5400 -0,0500 -0,4800 0,3400

Modo -11,9200 -11,7200 -1,4100 -1,4800 0,3400

Desvio padrão 12,2322 5,5756 6,2037 3,8562 8,6044


Curtose 0,8439 0,0750 -0,0637 0,0250 0,9736

Assimetria 0,4346 -0,0761 -0,0251 0,6497 0,3580

Intervalo 63,8500 29,6300 31,7200 18,6900 47,5800

Mínimo -29,2200 -13,2400 -16,1500 -7,7400 -22,0700

Máximo 34,6300 16,3900 15,5700 10,9500 25,5100

Soma 62,29 58,22 55,93 38,58 52,54

Jarque-Bera 9,6744 0,172527 0,08432 11,8198 9,4938


p-valor (ADF) 0,0012 0,0468 0,0000 0,0000 0,0380


59

Portanto, comprovamos que a série IBCR é I(1), uma vez que a primeira diferença das

séries históricas é estacionária (valor-p menor do que 0,05). Além disto, podemos

aceitar a normalidade para a série transformada das regiões Norte e Nordeste.

Tarifas Médias

A tabela 5 revela certas curiosidades relativas às tarifas médias por região no Brasil. Por

exemplo, a região que possui a maior tarifa industrial no Brasil é o Centro-Oeste,

R$338,00. A distribuidora que cobrou o maior valor por MWh industrial encontra-se na

região Sul, aproximadamente 640 reais. Já a tarifa de R$137,24, cobrada no Nordeste,

foi a menor do Brasil nos últimos 15 anos. A assimetria positiva para todas as regiões

evidencia uma “cauda” à esquerda para essas distribuições e a curtose positiva

caracteriza as distribuições como Leptocúrtica, ou seja, é mais afunilada e possui um

pico mais alto que a função normal.

Tabela 5: Resumo estatístico das séries de tarifas médias por região


A ausência de estacionariedade para todas as distribuições, devido ao fato de o valor-p

ser maior que o nível de significância para todas as regiões e a presença de normalidade

somente na região Nordeste, evidencia a necessidade de uma transformação para

atender os pressupostos básicos para a realização de modelos de previsão. Novamente,

Tarifa-CO Tarifa-NE Tarifa-N Tarifa-SE Tarifa-S

Média 338,00 303,89 309,76 332,22 327,63

Erro padrão 7,42 6,10 5,86 8,31 8,90

Mediana 316,72 294,21 300,35 314,89 301,44

Modo 323,07 #N/D #N/D 302,89 299,44

Desvio padrão 97,35 80,04 76,90 109,04 116,75


Curtose 0,94 0,08 1,21 0,58 0,70

Assimetria 1,09 0,40 0,96 0,94 1,09

Intervalo 483,23 348,64 407,80 458,30 501,08

Mínimo 156,39 137,24 137,86 143,02 139,40

Máximo 639,62 485,88 545,66 601,32 640,48

Soma 58136,08 52268,38 53279,12 57141,68 56352,83

Jarque-Bera 38,8716 4,5636 35,2997 26,8937 36,3008


p-valor (ADF) 0,6415 0,5774 0,7635 0,7344 0,8531


60

utilizamos a diferenciação de primeira ordem para as séries de tarifa média com

imposto, o resultado encontra-se na próxima tabela.

Tabela 6: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 das tarifas médias por região


Observamos que as tarifas médias com impostos variam positivamente ao longo do

tempo, sendo que a Região Sul possui a maior variação mensal, R$2,23, e a região

Nordeste a menor, R$1,76. Os baixos valores-p das distribuições evidenciam que as

séries de Tarifa Média com Imposto são I(1), pois rejeitamos a hipótese nula de raiz

unitária. Mas vale salientar, os altos valores dos testes de Jarque-Bera nessas

distribuições, provocados por uma grande variação esporádica nos preços devido aos

reajustes de preços realizados pela ANEEL, através de bandeiras tarifárias que indicam

se a energia custará mais ou menos em função das condições de geração de eletricidade,

como por exemplo, fatores climáticos. Fazendo com que rejeitemos com grande certeza

a normalidade dos dados. Basta observarmos os valores mínimos e máximos das

distribuições, para chegarmos a essa conclusão, uma vez que estes valores são muito

maiores que a média.

dif1Tarifa-CO dif1Tarifa-NE dif1Tarifa-N dif1Tarifa-SE dif1Tarifa-S

Média 2,00 1,76 1,92 2,20 2,23

Erro padrão 1,22 0,98 1,19 0,93 1,14

Mediana 0,37 0,95 1,16 1,53 2,06

Modo 6,56 -0,38 -5,38 2,19 -2,04

Desvio padrão 15,95 12,86 15,51 12,19 14,87


Curtose 7,01 4,53 5,27 8,51 8,70

Assimetria 0,97 -0,18 -0,34 1,40 0,32

Intervalo 148,02 101,62 122,38 112,98 150,82

Mínimo -62,64 -58,11 -63,70 -38,51 -72,52

Máximo 85,38 43,51 58,68 74,47 78,30

Soma 342,52 301,11 327,47 375,42 382,10

Jarque-Bera 353,2135 136,8379 186,9574 537,3109 507,1289


p-valor (ADF) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


61

Temperaturas

As regiões com temperaturas mais elevadas são a Nordeste e Norte, aproximadamente

26,5 graus Celsius, em contrapartida, a região Sul apresenta a menor temperatura média

do Brasil, cerca de 18,69 graus Celsius. Além disso, a Região Sul possui a maior

variabilidade de temperatura no Brasil, já que possui o maior desvio padrão e intervalo

entre as séries, isto se deve ao fato da presença de invernos mais rigorosos,

proporcionado pelo clima predominante temperado. Todas as séries possuem uma curva

de distribuição afunilada, devido aos valores negativos de curtose.

Tabela 7: Resumo estatístico das séries das temperaturas médias por região


As séries não seguem uma distribuição normal, devido ao baixo valor-p do teste de

Jarque-Bera, entretanto, rejeitamos a hipótese nula da existência de raiz unitária com o

nível de significância de 5% para as regiões Norte e Sul. O pressuposto de normalidade

novamente é rejeitado para todas as distribuições, devido aos valores-p serem menores

que 0,05, comprovando a necessidade de uma transformação para atender os

pressupostos básicos. A tabela 8 apresenta os dados do resumo estatístico para as séries

transformadas.

Temperatura-CO Temperatura-NE Temperatura-N Temperatura-SE Temperatura-S

Média 24,39 26,03 26,99 22,43 18,69

Erro padrão 0,11 0,08 0,05 0,16 0,27

Mediana 24,92 26,19 26,89 23,05 18,88

Modo #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D

Desvio padrão 1,49 1,05 0,63 2,04 3,59


Curtose -0,46 -0,64 -0,51 -0,99 -1,24

Assimetria -0,62 -0,40 0,44 -0,48 -0,20

Intervalo 6,76 4,63 2,95 8,00 13,04

Mínimo 20,88 23,55 25,78 17,91 11,23

Máximo 27,64 28,18 28,73 25,91 24,27

Soma 4195,92 4476,69 4642,05 3858,37 3214,45

Jarque-Bera 12,3375 7,6044 7,6105 13,6044 12,1183


p-valor (ADF) 0,5506 0,7198 0,0379 0,4748 0,0000


62

Tabela 8: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 das temperaturas médias


Essa foi a transformação que obteve os melhores resultados. Aceitamos com absoluta

certeza a estacionariedade dos dados e rejeitamos apenas a normalidade para a região

Centro-Oeste. Vale enfatizar que prosseguiremos o estudo mesmo com a não

normalidade dos dados da série dif1Temperatura-CO, considerando as causas da

violação desse pressuposto.

Unidades consumidoras

Podemos concluir, através da Tabela 9, a discrepância da concentração industrial nas

regiões brasileiras. A região Sudeste possui 228944,49 unidades consumidoras

industriais em média, enquanto que a região Norte tem 17 vezes menos unidades,

aproximadamente 13131. Os testes dos pressupostos de normalidade e estacionariedade

apresentaram os piores resultados nestas séries históricas de unidades consumidoras por

região, uma vez que os valores-p dos testes ADF são extremamente baixos e os valores-

p do teste Jarque-Bera apresentam valores altíssimos, rejeitando fortemente a

estacionariedade e normalidade de todas as séries.

dif1Temperatura-CO dif1Temperatura-NE dif1Temperatura-N dif1Temperatura-SE dif1Temperatura-S

Média 0,0015 -0,0033 -0,0018 -0,0064 -0,0276

Erro padrão 0,0928 0,0535 0,0345 0,1081 0,1730

Mediana -0,1552 -0,0653 0,0010 -0,0457 0,0670

Modo #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D

Desvio padrão 1,2132 0,7001 0,4512 1,4136 2,2626


Curtose 0,4679 -0,3701 -0,0474 -0,3325 -0,2367

Assimetria 0,5199 0,1930 -0,0087 -0,0963 -0,3141

Intervalo 6,4472 3,6418 2,2037 6,5139 11,2840

Mínimo -2,8367 -1,8714 -1,1502 -3,3254 -6,5650

Máximo 3,6105 1,7704 1,0535 3,1885 4,7190

Soma 0,2516 -0,5696 -0,3046 -1,0944 -4,7115

Jarque-Bera 8,8226 2,1511 0,0487 1,1715 3,2618


p-valor (ADF) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


63

Tabela 9: Resumo estatístico das séries de unidades consumidoras por região


Portanto, novamente transformaremos as séries e os resultados estão representados na

Tabela 10. Aceitamos a estacionariedade para todas as séries devido ao valor-p próximo

de 0 e rejeitamos a hipótese nula de normalidade para todas as distribuições, pois o valor-

p é menor do que nível de significância de 5%. Cabe ressaltar o alto valor positivo da

média das diferenças das Unidades Consumidoras da Região Sul, podendo assim concluir

que o polo industrial dessa Região foi a que mais cresceu nos últimos 15 anos.

Tabela 10: Resumo estatístico das séries das diferenças de ordem 1 de unidades consumidoras


UnCons-CO UnCons-NE UnCons-N UnCons-SE UnCons-S

Média 36075,51 63602,65 13130,58 228944,49 196804,92

Erro padrão 316,98 486,84 32,15 600,14 2089,11

Mediana 34022,00 65401,00 13206,00 230395,50 190965,50

Modo #N/D 62964,00 13594,00 230276,00 #N/D

Desvio padrão 4157,15 6384,87 421,62 7870,73 27398,47


Curtose -1,24 0,30 -0,24 2,24 -1,53

Assimetria 0,58 -1,23 -0,67 -1,59 0,11

Intervalo 12494 21903 1854 38304 76470

Mínimo 31067 48984 11941 205567 159182

Máximo 43561 70887 13795 243871 235652

Soma 6204988 10939656 2258460 39378453 33850446

Jarque-Bera 20,45902 42,85349 13,05003 103,9845 16,94297


p-valor (ADF) 0,9233 0,9386 0,6651 0,8928 0,7191


dif1UnCons-CO dif1UnCons-NE dif1UnCons-N dif1UnCons-SE dif1UnCons-S

Média 31,29 -88,25 -9,08 -224,00 347,98

Erro padrão 16,44 44,36 8,38 99,68 104,44

Mediana 34,00 -56,00 -8,00 -97,00 296,00

Modo -61,00 -143,00 -35,00 -61,00 708,00

Desvio padrão 215,01 580,06 109,62 1303,47 1365,67


Curtose 1,42 49,37 6,23 10,24 9,54

Assimetria -0,47 -5,74 -0,38 -2,01 1,08

Intervalo 1386 6652 922 11359 13463

Mínimo -800 -5534 -535 -7393 -5692

Máximo 586 1118 387 3966 7771

Soma 5350 -15091 -1553 -38304 59505

Jarque-Bera 18,9415 17275,34 261,4071 812,9892 639,735


p-valor (ADF) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


64

5. RESULTADOS OBTIDOS

As 172 observações das séries temporais foram divididas em dois subconjuntos: um

primeiro, contendo aproximadamente 85% dos pontos, denominado training set, sobre

cujos valores as equações de previsão foram ajustadas. O segundo, chamado de test set,

composto pelos 15% restantes das observações, é utilizado para se testar as previsões

dadas pelo modelo obtido, comparando os valores previstos com os valores reais

observados neste conjunto. Nesse sentido, todos os modelos foram ajustados com base

no training set, e tiveram sua eficiência medida sobre o test set.

5.1. Modelo 1: SARIMA

O primeiro modelo testado foi um processo autoregressivo integrado de médias móveis

sazonal SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)[s]. Para a estimação dos parâmetros do modelo, foi

utilizada a função auto.arima do R.

Para cada iteração, composta por uma diferente combinação dos parâmetros, a função

calcula os coeficientes da equação de previsão através do MQC e do método de máxima

verossimilhança. O primeiro é usado para calcular os valores de partida para cada

coeficiente, sendo o segundo utilizado após esse cálculo inicial, a fim de otimizar a

escolha dos coeficientes.

Após o cálculo das equações de cada modelo candidato, realizou-se uma comparação

entre eles, com o intuito de verificar qual deles minimiza os critérios de informação AIC

e BIC. O output da função é o modelo que minimiza esses critérios, com suas ordens, os

valores de seus coeficientes e os valores ajustados para o training set (fitted values). A

partir da equação do modelo, são realizadas previsões sobre o test set e comparadas as

diferenças entre os valores previstos e os reais.

Região Centro-Oeste

O melhor modelo SARIMA encontrado para a região Centro-Oeste foi do tipo

SARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12]. Foi feita, portanto, uma diferenciação de lag 1 a fim de

tornar o processo estacionário. A equação do modelo é dada por:

65

𝑌′𝑡 = −0,2986𝑎𝑡−1 + 0,4143𝑌′𝑡−12 + 0,2108𝑌′𝑡−24 + 𝑎𝑡 (114)

Onde at é ruído branco, e Y' é a primeira diferença da série Yt. A previsão do modelo

sobre o test set gerou o gráfico da figura 10:

Figura 10: Forecasting do SARIMA - Centro-Oeste


A linha vermelha representa os valores reais da série de consumo de energia, enquanto a

linha azul indica as previsões feitas pelo modelo para o test set. A área sombreada

escura ilustra o intervalo de confiança de 80% das previsões, enquanto a área clara

mostra o intervalo de confiança de 95%.

Os valores das medidas de ajustamento são dadas na tabela 11:

Tabela 11: Medidas de ajustamento do SARIMA - Centro-Oeste


A última etapa do processo de elaboração de modelos, de extrema importância, consiste

em analisar os resíduos do modelo em relação aos pressupostos de ausência de

66

autocorrelação e da existência de homocedasticidade. O primeiro deles pode ser

avaliado graficamente através do gráfico ACF.

Figura 11: Gráfico ACF do SARIMA - Centro-Oeste


Apesar da ocorrência de apenas uma linha que ultrapasse os limites das linhas azuis,

aparentemente pode-se dizer que a série dos erros apresenta comportamento não

autocorrelacionado. Isso é comprovado pelo teste de Ljung-Box, que fornece uma

estatística de teste 3,39, com p-valor 75,9%. Logo, não se rejeita a hipótese nula do

teste, de ausência de autocorrelação. O output do teste, executado pelo R, é mostrado na

figura 12.

Figura 12: Teste Ljung-Box do SARIMA - Centro-Oeste


A heterocedasticidade é testada por meio do teste GARCH, também através do R. O

output do teste é:

67

Figura 13: Teste GARCH do SARIMA - Centro-Oeste


O p-valor alto, de 70,97%, corrobora para a não rejeição da hipótese nula de

homocedasticidade dos termos do resíduo do SARIMA. Dessa forma, ambos os

requisitos são satisfeitos para este modelo.

Região Nordeste

O modelo SARIMA encontrado foi da ordem SARIMA(2,1,0)(1,1,1)[12], com equação

da forma:

∆𝑌𝑡 = −0,1708∆𝑌𝑡−1 − 0,2185∆𝑌𝑡−2 − 0,2483∆𝑌𝑡−12 − 0,5894𝑎𝑡−12 + 𝑎𝑡

(115)

Onde at é ruído branco, e representa o operador de diferenciação, neste caso,

indicando uma diferenciação de lag 1 seguida de outra de lag 12. O gráfico das

previsões e as medidas de ajustamento são mostrados na figura 14 e na tabela 12:

Figura 14: Forecasting do SARIMA - Nordeste

68


Tabela 12: Medidas de ajustamento do SARIMA – Nordeste


Apesar dos erros de previsão consideravelmente elevados, os pressupostos de

homocedasticidade e não autocorrelação são verificados:

Figura 15: Gráfico ACF do SARIMA - Nordeste


Figura 16: Teste Ljung-Box do SARIMA - Nordeste


69

Figura 17: Teste GARCH do SARIMA - Nordeste


Região Norte

Foi encontrado um SARIMA da ordem SARIMA(2,0,0)(0,1,1)[12], com os seguintes

coeficientes:

∆𝑌𝑡 = 0,5122∆𝑌𝑡−1 + 0,3208∆𝑌𝑡−2 − 0,6755𝑎𝑡−12 + 𝑎𝑡 (116)

Onde at é ruído branco, e representa uma diferenciação sazonal de período 12. O

forecasting produziu os resultados da figura 18 e da tabela 13.

Figura 18: Forecasting do SARIMA - Norte


Tabela 13: Medidas de ajustamento do SARIMA – Norte


70

A ausência de autocorrelação se verifica:

Figura 19: Gráfico ACF do SARIMA - Norte


Figura 20: Teste Ljung-Box do SARIMA - Norte


Entretanto, a um nível de significância de 5%, não se pode validar a hipótese nula do

teste GARCH, que diz que os resíduos são homocedásticos. Logo, o segundo

pressuposto não foi validado para este modelo.

Figura 21: Teste GARCH do SARIMA - Norte


71

Região Sudeste

Um SARIMA(3,1,0)(2,1,0)[12] foi ajustado para a série de consumo da região Sudeste,

com os coeficientes dados por:

∆𝑌𝑡 = −0,0676∆𝑌𝑡−1 + 0,0674∆𝑌𝑡−2 + 0,2216∆𝑌𝑡−3

− 0,6219∆𝑌𝑡−12 − 0,3232∆𝑌𝑡−24 + 𝑎𝑡

(117)

Onde at é resíduo branco e indica diferenciações de lag 1 e 12 de primeira ordem. As

previsões geradas são resumidas por:

Figura 22: Forecasting do SARIMA - Sudeste


Tabela 14: Medidas de ajustamento do SARIMA - Sudeste


72

Os dois requisitos em relação aos erros de previsão foram verificados com sucesso:

Figure 23: Gráfico ACF do SARIMA - Sudeste


Figura 24: Teste Ljung-Box do SARIMA - Sudeste


Figura 25: Teste GARCH do SARIMA - Sudeste


73

Região Sul

Foi ajustado um SARIMA(4,0,0)(0,1,1)[12] à série de consumo da região Sul. Os

coeficientes calculados foram:

∆𝑌𝑡 = 0,5672∆𝑌𝑡−1 + 0,3845∆𝑌𝑡−2 + 0,2420∆𝑌𝑡−3

− 0,2292∆𝑌𝑡−4 − 0,6568𝑎𝑡−12 + 𝑎𝑡

(118)

Onde at é ruído branco, e indica uma diferenciação sazonal de período 12. Os

resultados da previsão foram:

Figura 26: Forecasting do SARIMA - Sul


Tabela 15: Medidas de ajustamento do SARIMA - Sul


74

Os erros apresentam concordância aos pressupostos de homocedasticidade e não

autocorrelação:

Figura 27: Gráfico ACF do SARIMA - Sul


Figura 28: Teste Ljung-Box do SARIMA - Sul


Figura 29: Teste GARCH do SARIMA - Sul


75

5.2. Modelo 2: Holt-Winters


Os parâmetros do modelo de Holt Winters para a região Centro-Oeste, obtidos através

da minimização do erro quadrático médio, no R, foram:

𝛼 = 0,5760506 (119)

𝛽 = 0,01190022 (120)

𝛾 = 0,4777714 (121)

O gráfico com o forecasting do modelo sobre o test set está representado na figura 30.

Figura 30: Forecasting do Holt Winters - Centro-Oeste


Os valores das medidas de ajustamento são:

Tabela 16: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Centro-Oeste


76

O gráfico ACF é ilustrado na figura 31:

Figura 31: Gráfico ACF do Holt Winters - Centro-Oeste


Os testes de Ljung-Box e GARCH foram positivos, indicando a não autocorrelação e a

homocedasticidade dos resíduos. Os outputs dos testes foram:

Figura 32: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Centro-Oeste


Figura 33: Teste GARCH do Holt Winters - Centro-Oeste


77

Região Nordeste

O modelo Holt Winters foi aplicado sobre a primeira diferencial do consumo da região

Nordeste. Os parâmetros calculados para este modelo foram:

𝛼 = 0,004147727 (122)

𝛽 = 0,4161375 (123)

𝛾 = 0,3810132 (124)

O gráfico de forecasting e as medidas de ajustamento são dados por:

Figura 34: Forecasting do Holt Winters - Nordeste


Tabela 17: Medidas de ajustamento do Holt Winters – Nordeste


78

Pode-se ver que este modelo produziu erros muito menores que o SARIMA aplicado à

região Nordeste. Além disso, os pressupostos sobre os resíduos foram satisfeitos:

Figura 35: Gráfico ACF do Holt Winters - Nordeste


Figura 36: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Nordeste


Figura 37: Teste GARCH do Holt Winters - Nordeste


79

Região Norte

Para a região Norte, os parâmetros do modelo Holt Winters são:

𝛼 = 0,5068026 (125)

𝛽 = 0,01698014 (126)

𝛾 = 0,8172327 (127)

Os resultados do forecasting sobre o test set se encontram na figura 38 e na tabela 18:

Figura 38: Forecasting do Holt Winters - Norte


Tabela 18: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Norte


80

Da mesma forma que o SARIMA, o modelo Holt Winters gerou resíduos que não

apresentam autocorrelação, mas que são heterocedásticos:

Figura 39: Gráfico ACF do Holt Winters - Norte


Figura 40: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Norte


Figure 41: Teste GARCH do Holt Winters - Norte


81

A heterocedasticidade pode ser investigada através da análise do gráfico ACF do

quadrado dos resíduos. A figura 42 mostra que nos primeiros lags existe uma relação de

dependência acima dos limites de confiança, apesar de as barras diminuírem

consideravelmente após os primeiros lags.

Figura 42: Gráfico ACF do quadrado dos resíduos do HW - Norte


82

Região Sudeste

Foi aplicado um modelo Holt Winters sobre a primeira diferença da série temporal de

consumo da região Sudeste, sendo os coeficientes dados por:

𝛼 = 0,004333868 (128)

𝛽 = 0,1057074 (129)

𝛾 = 0,4429711 (130)

A previsão em cima do test set é resumida na figura 43 e na tabela 19:

Figura 43: Forecasting do Holt Winters - Sudeste


Tabela 19: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Sudeste


83

Os pressupostos dos resíduos foram satisfeitos, conforme demonstrado a seguir:

Figura 44: Gráfico ACF do Holt Winters - Sudeste


Figura 45: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Sudeste


Figura 46: Teste GARCH do Holt Winters - Sudeste


84

Região Sul:

Os parâmetros ótimos do modelo de HW aplicado à primeira diferença da série de

consumo da região Sul são:

𝛼 = 0,002135314 (131)

𝛽 = 0,8979033 (132)

𝛾 = 0,4597179 (133)

O forecasting sobre o test set originou os resultados da figura 47 e da tabela 20:

Figura 47: Forecasting do Holt Winters - Sul


Tabela 20: Medidas de ajustamento do Holt Winters - Sul


85

Nenhum dos pressupostos sobre os resíduos, no entanto, foi atendido:

Figura 48: Gráfico ACF do Holt Winters - Sul


Figura 49: Teste Ljung-Box do Holt Winters - Sul


Figura 50: Teste GARCH do Holt Winters - Sul


86

5.3. Modelo 3: Regressão Linear com Erros SARIMA


As variáveis exógenas mais significativas para este modelo foram o IBCR, o número de

unidades consumidoras e a tarifa média com imposto. Os erros oriundos dessa regressão

foram modelados com um SARIMA(2,1,0)(4,0,0)[12]. O modelo final foi definido

como:

𝑌𝑡 = −0,2188 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,009 ∗ 𝑈𝑛𝐶𝑜𝑛𝑠 − 0,1 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 + 𝑛𝑡

𝑛′𝑡 = −0,30𝑛′𝑡−1 − 0,15𝑛′𝑡−2 + 0,29𝑛′𝑡−12 + 0,09𝑛′𝑡−24

+ 0,17𝑛′𝑡−36 + 0,24𝑛′𝑡−48 + 𝑒𝑡

(134)

O gráfico do forecasting é ilustrado na figura 51:

Figura 51: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste


Foram encontradas as medidas de ajustamento:

Tabela 21: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste


87

O gráfico de ACF está representado na figura 52:

Figura 52: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste


O gráfico indica a não existência de autocorrelação, corroborada pelo teste de Ljung-

Box. Além disso, o teste GARCH atesta a homocedasticidade dos resíduos.

Figura 53: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste


Figura 54: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Centro-Oeste


88

Região Nordeste

Foram incluídas, na regressão linear do modelo, as variáveis IBCR e unidades

consumidoras. Os erros foram modelados com um SARIMA(2,1,0)(2,0,0)[12]. A

equação ficou na forma:

𝑌𝑡 = 9,439 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 − 0,01 ∗ 𝑈𝑛𝐶𝑜𝑛𝑠 + 𝑛𝑡 (135)

𝑛′𝑡 = −0,306𝑛′𝑡−1 − 0,239𝑛′𝑡−2 + 0,278𝑛′𝑡−12 + 0,435𝑛′𝑡−24

+ 𝑒𝑡

(136)

Onde nt são erros autocorrelacionados da regressão, e nt é ruído branco. O gráfico das

previsões sobre o test set e as medidas de erro seguem na figura 55 e na tabela 22.

Figura 55: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Nordeste


Tabela 22: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Nordeste


89

Trata-se do melhor modelo, até agora, para a região Nordeste. Os pressupostos também

são satisfeitos:

Figure 56: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Nordeste


Figura 57: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Nordeste


Figura 58: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Nordeste


90

Região Norte

A regressão linear é composta pelas variáveis explicativas IBCR, unidades

consumidoras e tarifa com imposto. Foi ajustado um SARIMA(4,1,0)(2,0,0)[12] aos

erros oriundos desta regressão. A equação do modelo, com os coeficientes ótimos

calculados, é:

𝑌𝑡 = 2,448 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 − 0,01 ∗ 𝑈𝑛𝐶𝑜𝑛𝑠 + 0,02 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 + 𝑛𝑡 (137)

𝑛′𝑡 = −0,460𝑛′𝑡−1 − 0,129𝑛′𝑡−2 − 0,057𝑛′𝑡−3 − 0,087𝑛′𝑡−4

+ 0,339𝑛′𝑡−12 + 0,296𝑛′𝑡−24 + 𝑒𝑡

(138)

Onde nt são erros autocorrelacionados da regressão, nt é ruído branco e n't representa a

diferenciação de ordem 1 de nt. O gráfico das previsões sobre o test set e as medidas de

erro seguem na figura 59 e na tabela 23.

Figura 59: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Norte


Tabela 23: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Norte


91

Ao contrário do SARIMA e do Holt Winters para a região Norte, este modelo atende a

todos os requisitos acerca dos resíduos:

Figura 60: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Norte


Figura 61: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Norte


Figura 62: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Norte


92

Região Sudeste

As variáveis IBCR, temperatura e tarifa foram usadas na regressão da variável

dependente consumo. Os erros dessa regressão foram ajustados com um

SARIMA(3,1,0)(3,1,0)[12]. O modelo é descrito como:

𝑌𝑡 = 18,436 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 − 3,816 ∗ 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 − 2,721 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 + 𝑛𝑡 (139)

∆𝑛𝑡 = −0,11∆𝑛𝑡−1 + 0,04∆𝑛𝑡−2 + 0,26∆𝑛𝑡−3 − 0,64∆𝑛𝑡−12

− 0,38∆𝑛𝑡−24 − 0,10∆𝑛𝑡−36 + 𝑒𝑡

(140)

Onde nt é o resíduo da regressão, et é ruído branco, e indica duas diferenciações de

ordem 1: uma de lag 1, e outra de lag 12. As previsões em cima do test set são

resumidas na figura 63 e na tabela 24:

Figura 63: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Sudeste


Tabela 24: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Sudeste


93

Verificou-se os pressupostos sobre os resíduos:

Figura 64: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Sudeste


Figura 65: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Sudeste


Figura 66: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Sudeste


94

Região Sul

Foram incluídas as variáveis exógenas IBCR e temperatura na regressão do consumo.

Os erros da regressão foram modelados por um SARIMA(3,1,0)(2,1,0)[12]. A equação

do modelo é representada por:

𝑌𝑡 = 5,254 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 5,161 ∗ 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 + 𝑛𝑡 (141)

∆𝑛𝑡 = −0,48∆𝑛𝑡−1 − 0,12∆𝑛𝑡−2 + 0,18∆𝑛𝑡−3 − 0,69∆𝑛𝑡−12

− 0,25∆𝑛𝑡−24 + 𝑒𝑡

(142)

Onde nt é o erro autocorrelacionado da regressão linear, et é ruído branco e representa

uma diferenciação de lag 1 juntamente com uma sazonal de lag 12. Chegou-se aos

resultados de previsão da figura 67 e da tabela 25:

Figura 67: Forecasting da regressão com erros SARIMA - Sul


Tabela 25: Medidas de ajustamento da regressão com erros SARIMA - Sul


95

Os dois pressupostos sobre os resíduos foram atendidos:

Figura 68: Gráfico ACF da regressão com erros SARIMA - Sul


Figura 69: Teste Ljung-Box da regressão com erros SARIMA - Sul


Figura 70: Teste GARCH da regressão com erros SARIMA - Sul


96

5.4. Modelo 4: Decomposição com Variáveis Dummies


As variáveis incluídas no modelo, além das 11 dummies, foram: tendência linear, IBCR,

unidades consumidoras, consumo defasado nos lags 1 e 12, tarifa média com imposto, e

temperatura compensada média. A equação do modelo ficou da forma:

𝑌𝑡 = 114 + 0,64𝑡 + 0,31 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,01 ∗ 𝑈𝑛𝐶𝑜𝑛𝑠 + 0,70 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 − 0,05

∗ 𝑙𝑎𝑔12 − 0,11 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 6,13 ∗ 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 + 27,4

∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦2 + 46,3 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦3 + 38,0 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦4 + 34,9



∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦11 + 22,1 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦12 + 𝑎𝑡

(143)

Onde at é resíduo branco, e a variável Dummy2, quando vale 1, todas as outras

dummies valem 0, e significa que o índice t corresponde ao mês de fevereiro. As outras

dummies funcionam de forma análoga. Quando todas as variáveis dummies zeram, o

mês analisado é o de janeiro.

A previsão sobre o test set aparece na figura 71:

Figura 71: Forecasting da decomposição com dummies - Centro-Oeste


97

As medidas de ajustamento para este modelo são resumidas na tabela 26:

Tabela 26: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Centro-Oeste


Na figura 72, o gráfico ACF:

Figura 72: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Centro-Oeste


O gráfico ACF, juntamente com os testes de Ljung-Box e GARCH, apontam para a

observância dos pressupostos.

Figura 73: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Centro-Oeste


98

Figura 74: Teste GARCH da decomposição com dummies - Centro-Oeste


Região Nordeste

As variáveis incluídas, além das dummies sazonais, são: tendência linear, IBCR, tarifa

média com imposto e consumo defasado de períodos 1 e 12. A equação de previsão é:

𝑌𝑡 = −523,6 − 3,81𝑡 + 8,79 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,77 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,05 ∗ 𝑙𝑎𝑔12 + 0,32

∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 41,6 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦2 + 148,7 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦3 − 64,4

∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦4 + 8,5 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦5 − 53,5 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦6 + 39,3


∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦10 − 66,4 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦11 − 54,2 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦12 + 𝑎𝑡

(144)

O gráfico de forecasting e as medidas de erro aparecem na figura 75 e na tabela 27.

Figura 75: Forecasting da decomposição com dummies - Nordeste


99

Tabela 27: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Nordeste


Considerando um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que os resíduos

atendem aos pressupostos do modelo:

Figura 76: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Nordeste


Figura 77: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Nordeste


Figura 78: Teste GARCH da decomposição com dummies - Nordeste


100

Região Norte

O modelo de regressão inclui as 11 variáveis dummies, tendência linear e as variáveis

exógenas: IBCR, tarifa com imposto e variáveis defasadas em 1 e 12 períodos do

consumo. Segue abaixo a equação de previsão:

𝑌𝑡 = 46,85 − 0,24𝑡 + 2,02 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,65 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 − 0,04 ∗ 𝑙𝑎𝑔12 + 0,04

∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 32,9 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦2 + 67,2 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦3 − 6,4



∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦10 − 14,2 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦11 + 8,7 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦12 + 𝑎𝑡

(145)

Onde at é ruído branco. O gráfico de forecasting e as medidas de erro aparecem na

figura 79 e na tabela 28.

Figura 79: Forecasting da decomposição com dummies - Norte


Tabela 28: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Norte

101


Mais uma vez, o pressuposto de inexistência de autocorrelação é atendido, porém existe

evidência de que os resíduos sejam heterocedásticos:

Figura 80: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Norte


Figura 81: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Norte


Figura 82: Teste GARCH da decomposição com dummies - Norte

102


Região Sudeste

Considerando as variáveis dummies e variáveis defasadas do consumo nos lags 1 e 2,

obteve-se o seguinte modelo de regressão:

𝑌𝑡 = 0,93 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,03 ∗ 𝑙𝑎𝑔2 + 488,6 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦2 + 365,8 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦3

+ 547,7 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦4 + 217,4 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦5 + 383,8

∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦6 + 301,8 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦7 + 546,9 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦8

+ 342,7 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦9 + 323,3 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦10 + 402,0

∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦11 + 54,95 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦12 + 𝑎𝑡

(146)

Onde aa é termo de resíduo branco. As previsões obtidas para este modelo foram:

Figura 83: Forecasting da decomposição com dummies - Sudeste


Tabela 29: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Sudeste


103

A um nível de significância de 5%, não existe evidência para refutar a conformidade

dos resíduos aos pressupostos:

Figura 84: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Sudeste


Figura 85: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Sudeste


104

Figura 86: Teste GARCH da decomposição com dummies - Sudeste


Região Sul

Além das variáveis dummies, foram incluídos no modelo o IBCR e as defasagens de lag

1 e 12 do consumo. Não foi incluído termo algum de tendência. A equação de previsão

é dada por:

𝑌𝑡 = −51,8 + 4,65 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,40 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,28 ∗ 𝑙𝑎𝑔2 − 265,8 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦2

+ 229,0 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦3 + 209,0 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦4 + 209,6 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦5

+ 249,5 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦6 + 253,4 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦7 + 267,7 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦8

+ 215,2 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦9 + 238,9 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦10 + 212,1

∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦11 + 162,2 ∗ 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦12 + 𝑎𝑡

(147)

Onde at é termo de ruído branco. Na figura 87 e na tabela 30, seguem os resultados da

previsão realizada:

Figura 87: Forecasting da decomposição com dummies - Sul

105


Tabela 30: Medidas de ajustamento da decomposição com dummies - Sul


Embora a série dos resíduos do modelo atenda ao requisito de não autocorrelação, não

existe evidência de que os erros sejam homocedásticos:

Figura 88: Gráfico ACF da decomposição com dummies - Sul


Figura 89: Teste Ljung-Box da decomposição com dummies - Sul


106

Figura 90: Teste GARCH da decomposição com dummies - Sul


5.5. Modelo 5: Decomposição com Séries de Fourier


O modelo de decomposição com séries de Fourier utiliza as mesmas variáveis exógenas

que a decomposição com variáveis dummies, alterando apenas a forma de explicar a

sazonalidade da série temporal. Para o caso da região Centro-Oeste, a equação de

previsão segue abaixo:

𝑌𝑡 = 147 + 0,63𝑡 + 0,30 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,01 ∗ 𝑈𝑛𝐶𝑜𝑛𝑠 + 0,70 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 − 0,05

∗ 𝑙𝑎𝑔12 − 0,11 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 6,25 ∗ 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 − 0,52

∗ 𝑐𝑜𝑠1 − 15,0 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 + 2,9 ∗ 𝑐𝑜𝑠3 − 0,8 ∗ 𝑐𝑜𝑠4 + 8,8 ∗ 𝑐𝑜𝑠5

− 0,3 ∗ 𝑐𝑜𝑠6 − 4,2 ∗ 𝑠𝑒𝑛1 − 5,3 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 − 4,0 ∗ 𝑠𝑒𝑛3 − 0,7

∗ 𝑠𝑒𝑛4 + 3,6 ∗ 𝑠𝑒𝑛5 − 4𝑒13𝑠𝑒𝑛6 + 𝑎𝑡

(148)

Tal equação, quando aplicada sobre o test set, gera previsões ilustradas na figura 91:

107

Figura 91: Forecasting da decomposição com Fourier - Centro-Oeste


As medidas de erro são dadas por:

Tabela 31: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Centro-Oeste


Por último, seguem o gráfico ACF e os testes de hipótese, atestando que os pressupostos

foram respeitados pelo modelo.

108

Figura 92: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Centro-Oeste


Figura 93: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Centro-Oeste


Figura 94: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Centro-Oeste


Região Nordeste

Juntamente com as funções periódicas de senos e cossenos e com a tendência linear,

foram inclusos no modelo as mesmas variáveis exógenas que o modelo de

decomposição com variáveis dummies, gerando a seguinte equação:

109

𝑌𝑡 = −522 − 3,73𝑡 + 8,64 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,77 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,05 ∗ 𝑙𝑎𝑔12 − 0,30

∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 16,8 ∗ 𝑐𝑜𝑠1 − 30,7 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 − 1,3 ∗ 𝑐𝑜𝑠3 + 9,0

∗ 𝑐𝑜𝑠4 + 17,1 ∗ 𝑐𝑜𝑠5 − 19,1 ∗ 𝑐𝑜𝑠6 + 15,2 ∗ 𝑠𝑒𝑛1 + 19,1

∗ 𝑠𝑒𝑛2 − 25,9 ∗ 𝑠𝑒𝑛3 + 9,2 ∗ 𝑠𝑒𝑛4 + 52,8 ∗ 𝑠𝑒𝑛5

+ 2𝑒14𝑠𝑒𝑛6 + 𝑎𝑡

(149)

Os resultados da previsão são demonstrados na figura 95 e na tabela 32.

Figura 95: Forecasting da decomposição com Fourier – Nordeste


Tabela 32: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Nordeste


Apesar de similares, os resultados são ligeiramente melhores que os da decomposição

com dummies, tornando este o melhor modelo até agora para o Nordeste. Os

pressupostos são verificados:

110

Figura 96: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Nordeste


Figura 97: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Nordeste


Figura 98: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Nordeste


Região Norte

Utilizando as mesmas variáveis exógenas que a decomposição anterior, a equação do

modelo com séries de Fourier é da forma:

111

𝑌𝑡 = 51,5 − 0,25𝑡 + 2,02 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,65 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 − 0,04 ∗ 𝑙𝑎𝑔12

+ 0,04 ∗ 𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 − 4,0 ∗ 𝑐𝑜𝑠1 − 6,8 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 + 6,0

∗ 𝑐𝑜𝑠3 + 5,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠4 + 11,7 ∗ 𝑐𝑜𝑠5 − 8,3 ∗ 𝑐𝑜𝑠6 + 5,2

∗ 𝑠𝑒𝑛1 − 3,5 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 − 12,7 ∗ 𝑠𝑒𝑛3 + 9,3 ∗ 𝑠𝑒𝑛4 + 24,4

∗ 𝑠𝑒𝑛5 − 5𝑒12𝑠𝑒𝑛6 + 𝑎𝑡

(150)

Os resultados da previsão são exibidos na figura 99 e na tabela 33:

Figura 99: Forecasting da decomposição com Fourier - Norte


Tabela 33: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Norte


O pressuposto de homocedasticidade mais uma vez é desrespeitado, apesar de haver

evidência de que os resíduos não são autocorrelacionados:

112

Figura 100: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Norte


Figura 101: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Norte


Figura 102: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Norte


Região Sudeste

Usando as mesmas variáveis explicativas que na decomposição anterior, chegou-se à

seguinte equação:

113

𝑌𝑡 = 0,99 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,01 ∗ 𝑙𝑎𝑔2 − 93,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠1 − 127,7 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 − 10,8

∗ 𝑐𝑜𝑠3 − 48,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠4 − 66,0 ∗ 𝑐𝑜𝑠5 + 46,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠6

+ 1,20 ∗ 𝑠𝑒𝑛1 − 13,2 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 − 83,8 ∗ 𝑠𝑒𝑛3 − 69,3

∗ 𝑠𝑒𝑛4 − 60,0 ∗ 𝑠𝑒𝑛5 − 6𝑒14𝑠𝑒𝑛6 + 𝑎𝑡

(151)

Onde at é termo de resíduo branco. As previsões geraram os resultados da figura 103 e

da tabela 34:

Figura 103: Forecasting da decomposição com Fourier - Sudeste


Tabela 34: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Sudeste


Embora as medidas de erro sejam similares aos da decomposição com dummies, não

pôde ser verificado o pressuposto de não existência de autocorrelação nos termos do

erro:

114

Figura 104: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Sudeste


Figura 105: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Sudeste


Figura 106: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Sudeste


Região Sul

As mesmas variáveis da decomposição com dummies foram consideradas para este

modelo, exceto as que explicam a sazonalidade da série temporal. A equação de

previsão ficou:

115

𝑌𝑡 = 158,0 + 4,48 ∗ 𝐼𝐵𝐶𝑅 + 0,41 ∗ 𝑙𝑎𝑔1 + 0,29 ∗ 𝑙𝑎𝑔2 − 47,1 ∗ 𝑐𝑜𝑠1

− 31,1 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 − 18,6 ∗ 𝑐𝑜𝑠3 + 5,4 ∗ 𝑐𝑜𝑠4 + 24,6 ∗ 𝑐𝑜𝑠5

+ 12,8 ∗ 𝑐𝑜𝑠6 − 20,0 ∗ 𝑠𝑒𝑛1 − 11,8 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 − 45,9 ∗ 𝑠𝑒𝑛3

− 37,4 ∗ 𝑠𝑒𝑛4 − 13,5 ∗ 𝑠𝑒𝑛5 − 4𝑒14𝑠𝑒𝑛6 + 𝑎𝑡

(152)

Onde at é resíduo branco. A previsão sobre o test set se encontra na figura 107:

Figura 107: Forecasting da decomposição com Fourier - Sul


Tabela 35: Medidas de ajustamento da decomposição com Fourier - Sul


Assim como na outra decomposição, o requisito de homocedasticidade não consegue

ser verificado. Há indícios, inclusive, de que existe autocorrelação na série dos erros:

116

Figura 108: Gráfico ACF da decomposição com Fourier - Sul


Figure 109: Teste Ljung-Box da decomposição com Fourier - Sul


Figure 110: Teste GARCH da decomposição com Fourier - Sul


5.6. Modelo 6: Random Forest

117


Foram consideradas significativas para o modelo as variáveis: IBCR, temperatura,

unidades consumidoras, tarifa média com imposto, e consumo defasado em 1 e em 12

períodos. Após a construção de 1000 árvores, foi feita uma média das previsões de cada

uma para o test set. As previsões e as medidas de ajustamento são dadas na figura 111 e

na tabela 36.

Figura 111: Forecasting do Random Forest - Centro-Oeste


Tabela 36: Medidas de ajustamento do Random Forest - Centro-Oeste


118

Os pressupostos acerca dos resíduos foram satisfeitos, conforme o gráfico ACF e os

testes de hipótese:

Figura 112: Gráfico ACF do Random Forest - Centro-Oeste


Figura 113: Teste Ljung-Box do Random Forest - Centro-Oeste


Figura 114: Teste GARCH do Random Forest - Centro-Oeste


119

Região Nordeste

As variáveis que entraram no modelo são: IBCR, temperatura, unidades consumidoras,

tarifa com imposto, e variáveis defasadas do consumo com lags 1, 2, 3 e 12, todas

diferenciadas de ordem 1. As médias das previsões das 1000 árvores e seus erros

seguem na figura 115 e na tabela 37, respectivamente.

Figura 115: Forecasting do Random Forest - Nordeste


Tabela 37: Medidas de ajustamento do Random Forest - Nordeste


120

As medidas de erro são bastante similares ao modelo com séries de Fourier, colocando-

o entre os melhores modelos. Os pressupostos, mais uma vez, são todos verificados:

Figura 116: Gráfico ACF do Random Forest - Nordeste


Figura 117: Teste Ljung-Box do Random Forest - Nordeste


Figura 118: Teste GARCH do Random Forest - Nordeste


121

Região Norte

O modelo Random Forest foi ajustado às primeiras diferenças das séries explicativas

IBCR, temperatura média, unidades consuimidoras e lag 1 do consumo, a fim de prever

a primeira diferença do consumo industrial. O resultado das médias das 1000 árvores

foi:

Figura 119: Forecasting do Random Forest - Norte


Tabela 38: Medidas de ajustamento do Random Forest - Norte


122

Os pressupostos acerca dos resíduos são atendidos:

Figura 120: Gráfico ACF do Random Forest - Norte


Figura 121: Teste Ljung-Box do Random Forest - Norte


Figura 122: Teste GARCH do Random Forest - Norte


123

Região Sudeste

As variáveis IBCR, temperatura, tarifa e lag 1 do consumo foram utilizadas no modelo

Random Forest para a região Sudeste, originando previsões, cujas médias são resumidas

na figura 123 e na tabela 39:

Figura 123: Forecasting do Random Forest - Sudeste


Tabela 39: Medidas de ajustamento do Random Forest - Sudeste


124

O modelo apresentou medidas de erro relativamente altas. No entanto, as condições

relativas aos resíduos foram verificadas:

Figura 124: Gráfico ACF do Random Forest - Sudeste


Figura 125: Teste Ljung-Box do Random Forest - Sudeste


Figura 126: Teste GARCH do Random Forest - Sudeste


125

Região Sul

Foi ajustado um modelo Random Forest de 1000 árvores sobre a série original de

consumo da região Sul, levando em conta as variáveis: IBCR, temperatura, unidades

consumidoras, tarifa, e lags 1, 2, 3 e 12 da variável dependente. O forecasting gerou:

Figura 127: Forecasting do Random Forest - Sul


Tabela 40: Medidas de ajustamento do Random Forest - Sul


126

Apesar de as medidas de ajustamento serem levemente piores que as obtidas nas

decomposições, este modelo atende largamente às condições sobre os resíduos:

Figura 128: Gráfico ACF do Random Forest - Sul


Figura 129: Teste Ljung-Box do Random Forest - Sul


Figura 130: Teste GARCH do Random Forest - Sul


127

5.7. Modelo 7: SVR


As variáveis incluídas foram: IBCR, temperatura, unidades consumidoras, tendência

linear, séries de Fourier e consumo defasado de lags 1 e 12. Todas as variáveis foram

usadas na forma diferenciada de primeira ordem. O gráfico de forecasting e as medidas

de ajustamento são:

Figura 131: Forecasting do SVR - Centro-Oeste


Tabela 41: Medidas de ajustamento do SVR - Centro-Oeste


128

Os pressupostos sobre os resíduos foram novamente satisfeitos a um nível de

significância de 5%, de acordo com o gráfico ACF e os testes Ljung-Box e GARCH:

Figura 132: Gráfico ACF do SVR - Centro-Oeste


Figura 133: Teste Ljung-Box do SVR - Centro-Oeste


Figura 134: Teste GARCH do SVR - Centro-Oeste


129

Região Nordeste

O modelo SVR, para a região Nordeste, levou em consideração as variáveis: tendência

linear, séries de Fourier, IBCR temperatura e unidades consumidoras, todas as variáveis

diferenciadas uma vez. Variáveis defasadas do consumo não foram consideradas

relevantes para o modelo. Os resultados da previsão foram:

Figura 135: Forecasting do SVR - Nordeste


Tabela 42: Medidas de ajustamento do SVR - Nordeste


130

Todos as medidas de ajustamento são mínimas para este modelo, dentro da região

Nordeste. As condições de homocedasticidade e não autocorrelação, por fim, também

são satisfeitas:

Figura 136: Gráfico ACF do SVR - Nordeste


Figura 137: Teste Ljung-Box do SVR - Nordeste


Figura 138: Teste GARCH do SVR - Nordeste

Fonte: Elaboração própria (2018

131

Região Norte

O modelo SVR levou em consideração as variáveis: tendência linear, variáveis

defasadas do consumo de lags 1, 3 e 12, tarifa média com imposto, IBCR temperatura e

unidades consumidoras. As previsões tiveram como resultado:

Figura 139: Forecasting do SVR - Norte


Tabela 43: Medidas de ajustamento do SVR - Norte


132

Os resíduos são homocedásticos e não apresentam autocorrelação:

Figura 140: Gráfico ACF do SVR - Norte


Figura 141: Teste Ljung-Box do SVR - Norte


Figura 142: Teste GARCH do SVR - Norte


133

Região Sudeste

Para este modelo, foram consideradas as variáveis IBCR, tarifa e defasagens de lags 1, 3

e 12 do variável consumo. Obteve-se, após o forecasting:

Figura 143: Forecasting do SVR - Sudeste


Tabela 44: Medidas de ajustamento do SVR - Sudeste


134

Os resíduos atenderam aos dois pressupostos:

Figura 144: Gráfico ACF do SVR - Sudeste


Figura 145: Teste Ljung-Box do SVR - Sudeste


Figura 146: Teste GARCH do SVR - Sudeste


135

Região Sul

O último modelo de machine learning, SVR, considerou as seguintes variáveis

explicativas: tarifa, IBCR, temperatura e variáveis defasadas de lag 1, 3 e 12 do

consumo. Os resultados da previsão seguem na figura 147 e na tabela 45:

Figura 147: Forecasting do SVR - Sul


Tabela 45: Medidas de ajustamento do SVR - Sul


136

Somando-se ao fato de as medidas de ajustamento deste modelo serem as melhores

entre todos os analisados para a região Sul, os pressupostos dos resíduos também são

verificados:

Figura 148: Gráfico ACF do SVR - Sul


Figura 149: Teste Ljung-Box do SVR - Sul


Figura 150: Teste GARCH do SVR - Sul


137

5.8. Comparação entre os Modelos


Todos os modelos ajustados para o consumo da região Centro-Oeste satisfizeram os

pressupostos de homocedasticidade e ausência de autocorrelação nos resíduos. A tabela

46 resume as medidas de ajustamento dos modelos.

Tabela 46: Comparação entre modelos - Centro-Oeste


Em verde, aparecem os mínimos valores de cada uma das medidas de erro. Pode-se

perceber que a escolha do melhor modelo fica entre a regressão com erros SARIMA e o

SVR, visto que eles se revezam entre os modelos que minimizam os valores de erro.

Região Nordeste

Apresenta-se, a seguir, o resumo dos modelos ajustados para a região Nordeste. Assim

como a região Centro-Oeste, todos os modelos atenderam aos requisitos sobre as séries

de resíduos.

Tabela 47: Comparação entre modelos - Nordeste


138

O modelo SVR desponta como o melhor modelo, sendo o que minimiza todas as

medidas de ajustamento. Além disso, os modelos de decomposição e Random Forest

apresentam medidas baixas e próximas ao SVR. A discrepância negativa fica por conta

do SARIMA, que possui MAPE de 11,32%, mais que o dobro do segundo pior modelo

(Holt Winters).

Região Norte

A tabela 48 resume os modelos para a região Norte. Todos os modelos de cujos resíduos

não atenderam a pelo menos um dos pressupostos (ausência de autocorrelação e

homocedasticidade) foram destacados em vermelho.

Tabela 48: Comparação entre modelos - Norte


Nota-se que os dois modelos que não utilizam variáveis exógenas (SARIMA e Holt

Winters) e os dois modelos de decomposição (Fourier e Dummies) não se encaixaram

aos pressupostos, mesmo após inúmeras tentativas de melhorar os modelos, como

adicionando variáveis defasadas do consumo, diferenciando as séries, entre outras

formas. O melhor modelo em todos os quesitos, porém (regressão com erros SARIMA)

atendeu aos requisitos, sendo assim, indubitavelmente, o melhor entre os modelos.

Região Sudeste

Com exceção da decomposição com séries de Fourier, todos os modelos analisados para

a região Sudeste atenderam aos pressupostos. Suas medidas de ajustamento são

resumidas da seguinte maneira:

139

Tabela 49: Comparação entre modelos - Sudeste


Os dois modelos de decomposição foram os que tiveram melhor performance em

termos de erro de previsão do test set. Entretanto, como apenas o que utiliza séries de

Fourier apresentou resíduos homocedásticos e não autocorrelacionados, pode-se assumi-

lo como melhor modelo para esta região.

Região Sul

Por último, os modelos testados nos dados de consumo da região Sul são resumidos na

tabela 50.

Tabela 50: Comparação entre modelos - Sul


O modelo de decomposição que utiliza variáveis dummies apresentou os mínimos de

todas as medidas de ajustamento. Porém, como existe evidência de que seus resíduos

são heterocedásticos, opta-se por descartar este modelo, e assumir o SVR como modelo

ótimo, pois, entre os modelos que atendem aos pressupostos, ele é o que possui menores

erros de previsão.

140

Resumo dos Modelos

Na tabela 51, encontra-se os dois melhores modelos, em termos de medida de erro, por

região. Os modelos de machine learning estão pintados em verde, enquanto os modelos

com variáveis exógenas estão destacados em cinza.

Tabela 51: Melhores modelos por região


Nota-se uma ampla predominância dos modelos de machine learning entre os melhores

modelos. O SVR, em especial, aparece como um dos melhores em 4 das 5 regiões

analisadas. Além disso, nenhum modelo que utiliza apenas a própria variável

dependente conseguiu resultados tão expressivos.

A tabela 52 exibe, por modelo e região, quais atenderam aos pressupostos de ausência

de autocorrelação e de homocedasticidade nos resíduos.

Tabela 52: Verificação dos pressupostos


Os modelos de machine learning se destacaram mais uma vez, não violando os

pressupostos em situação alguma. Isso prova, de certa forma, sua robusteza e ampla

capacidade de explicar variações não lineares nas séries de dados. A regressão com

erros SARIMA também satisfez a todos os pressupostos. Os destaques negativos foram

141

os modelos de decomposição de séries temporais (Dummies e Fourier), que foram

descartados em diversas regiões após a análise de seus resíduos.

142

6. COMENTÁRIOS FINAIS

Este trabalho se propôs a estudar o mercado de energia elétrica industrial nas cinco

regiões do Brasil. Foram elaborados sete modelos de previsão de demanda de energia

por região.

De forma geral, as séries temporais utilizadas apresentaram estacionariedade na forma

diferencial de primeira ordem. As variáveis IBCR, número de unidades consumidoras,

tarifa média com imposto e temperatura compensada média se revezaram entre as

variáveis exógenas incluídas pelos modelos, a fim de explicar a variável dependente

consumo.

Dois pressupostos acerca dos resíduos foram testados após o ajuste de cada modelo: a

ausência de autocorrelação e a homocedasticidade. A normalidade dos erros, que é

desejável na maioria dos modelos, apesar de não ser um requisito, não foi verificada em

modelo algum, sendo por isso descartada em âmbito geral.

Ao comparar as medidas de ajustamento dos modelos de cada região, constatou-se

(considerando um empate para o Centro-Oeste) que o SVR foi o melhor modelo para

três regiões: Centro-Oeste, Nordeste e Sul. A regressão com erros SARIMA foi

escolhida como melhor modelo para as regiões Centro-Oeste e Norte. Já o modelo de

decomposição com variáveis dummies foi o melhor modelo na região Sudeste.

O SARIMA e o amortecimento exponencial Holt Winters, únicos modelos que usam

apenas a própria série do consumo na equação de previsão, apresentaram resultados

quase sempre piores que os outros modelos. No entanto, isso não deve ofuscar a

qualidade desses modelos, que têm complexidade menor devido à utilização de apenas

uma série. O uso desses modelos para a previsão requer apenas o histórico do consumo

industrial, enquanto os outros modelos exigem valores observados das outras variáveis

explicativas. Dessa forma, faz-se necessário fazer uma previsão separada sobre os

valores do IBCR, por exemplo, antes de incluir esses valores nos modelos de previsão

do consumo que utilizam esta variável.

143

As melhores medidas de ajustamento obtidas pelos modelos que utilizam variáveis

exógenas mostram que essas variáveis são importantes para explicar variações no

consumo de energia. Variações bruscas na série de consumo, causando rupturas ou

mudanças de comportamento, demoram a ser refletidas nas previsões do SARIMA e do

amortecimento exponencial. A adição das variáveis exógenas, nesse contexto, ajuda a

explicar mais rapidamente essa variação, através da incorporação de novas informações

econômicas ou meteorológicas no modelo.

Os modelos de machine learning se destacaram, apesar de não terem apresentado

resultados muito superiores aos demais. O SVR foi o melhor modelo em três ocasiões, e

teve resultados muito consistentes também nas demais regiões. O Random Forest foi um

pouco mais instável, apresentando resultados ruins nas regiões Norte e Sudeste, porém

erros baixos nas outras regiões. Além disso, todos os 10 modelos de machine learning

satisfizeram os pressupostos sobre os resíduos. Juntamente com a regressão com erros

SARIMA, foram os únicos modelos que não violaram esses requisitos em região

alguma. Isso denota a extrema capacidade desse tipo de modelo em prever relações não

lineares entre as variáveis.

Uma proposta de melhoria para este trabalho consiste em propor métodos de

aprendizado dos modelos de machine learning. O problema da otimização desses

modelos, com os algoritmos caindo frequentemente em pontos mínimos locais e não

globais, tem sido muito comentada nos mais diversos artigos.

Outra proposta de melhoria seria analisar os modelos através da técnica de

bootstrapping. Ao invés de fazer uma divisão linear e estática dos dados entre um

training set e um test set, esse método propõe a realização de sucessivas divisões dos

dados, ajustando modelos sobre cada um dos training sets obtidos, e fazendo previsões

sobre cada test set. Ao final, médias de previsão são calculadas levando em conta as

diferentes etapas, de tal maneira que se chega a medidas de ajustamento mais confiáveis

para se utilizar na avaliação e comparação de modelos.

144

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149

APÊNDICE A: TESTES DE NORMALIDADE

Consumo - Sul:

Consumo - Sudeste:

150

Consumo - Norte:

Consumo - Nordeste:

151

Consumo - Centro-Oeste:

Dif1 do Consumo - Sul:

152

Dif1 do Consumo - Sudeste:

Dif1 do Consumo - Norte:

153

Dif1 do Consumo - Nordeste:

Dif1 do Consumo - Centro-Oeste:

154

IBCR - Sudeste:

IBCR - Sul:

155

IBCR - Nordeste:

IBCR - Norte:

156

IBCR - Centro-Oeste:

Dif1 do IBCR - Nordeste:

157

Dif1 do IBCR - Sudeste:

Dif1 do IBCR - Norte:

158

Dif1 do IBCR - Centro-Oeste:

Dif1 do IBCR - Sul:

159

Tarifa Média - Sudeste:

Tarifa Média - Sul:

160

Tarifa Média - Nordeste:

Tarifa Média - Norte:

161

Tarifa Média - Centro-Oeste:

Dif1 da Tarifa Média - Sul:

162

Dif1 da Tarifa Média - Sudeste:

Dif1 da Tarifa Média - Norte:

163

Dif1 da Tarifa Média - Centro-Oeste:

Dif1 da Tarifa Média - Nordeste:

164

Temperatura - Sul:

Temperatura - Nordeste:

165

Temperatura - Norte:

Temperatura - Centro-Oeste:

166

Temperatura - Sudeste:

Dif1 da Temperatura - Sul:

167

Dif1 da Temperatura - Sudeste:

Dif1 da Temperatura - Norte:

168

Dif1 da Temperatura - Nordeste:

Dif1 da Temperatura - Centro-Oeste:

169

Unidades Consumidoras - Sul:

Unidades Consumidoras - Sudeste:

170

Unidades Consumidoras - Norte:

Unidades Consumidoras - Nordeste:

171

Unidades Consumidoras - Centro-Oeste:

Dif1 das Unidades Consumidoras - Norte:

172

Dif1 das Unidades Consumidoras - Nordeste:

Dif1 das Unidades Consumidoras - Centro-Oeste:

173

Dif1 das Unidades Consumidoras - Sul:

Dif1 das Unidades Consumidoras - Sudeste:

174

APÊNDICE B: TESTES DE ESTACIONARIEDADE

Consumo de Energia Elétrica - Sudeste:

175

Consumo de Energia Elétrica - Norte:

176

Consumo de Energia Elétrica – Nordeste:

177

Consumo de Energia Elétrica - Sul:

178

Dif1 do Consumo de Energia - Sul:

179

Dif1 do Consumo de Energia - Sudeste:

180

Dif1 do Consumo de Energia - Norte:

181

Dif1 do Consumo de Energia - Nordeste:

182

Dif1 do Consumo de Energia - Centro-Oeste:

183

IBCR - Sudeste:

184

IBCR - Sul:

185

IBCR - Nordeste:

186

IBCR - Norte:

187

IBCR - Centro-Oeste:

188

Dif1 do IBCR - Nordeste:

189

Dif1 do IBCR - Sudeste:

190

Dif1 do IBCR - Norte:

191

Dif1 do IBCR - Centro-Oeste:

192

Dif1 do IBCR - Sul:

193

Tarifa Média - Sudeste:

194

Tarifa Média - Sul:

195

Tarifa Média - Nordeste:

196

Tarifa Média - Norte:

197

Tarifa Média - Centro-Oeste:

198

Dif1 da Tarifa Média - Sul:

199

Dif1 da Tarifa Média - Sudeste:

200

Dif1 da Tarifa Média - Norte:

201

Dif1 da Tarifa Média - Nordeste:

202

Dif1 da Tarifa Média - Centro-Oeste:

203

Temperatura - Sudeste:

204

Temperatura - Sul:

205

Temperatura - Nordeste:

206

Temperatura - Norte:

207

Temperatura - Centro-Oeste:

208

Dif1 da Temperatura - Sul:

209

Dif1 da Temperatura - Sudeste:

210

Dif1 da Temperatura - Norte:

211

Dif1 da Temperatura - Nordeste:

212

Dif1 da Temperatura - Centro-Oeste:

213

Unidades Consumidoras - Sul:

214

Unidades Consumidoras - Sudeste:

215

Unidades Consumidoras - Norte:

216

Unidades Consumidoras - Nordeste:

217

Unidades Consumidoras - Centro-Oeste:

218

Dif1 das Unidades Consumidoras - Sul:

219

Dif1 das Unidades Consumidoras - Sudeste:

220

Dif1 das Unidades Consumidoras - Norte:

221

Dif1 das Unidades Consumidoras - Nordeste:

222

Dif1 das Unidades Consumidoras - Centro-Oeste:

223

APÊNDICE C: CÓDIGO R DO SUDESTE

rm(list=objects());

library(zoo)

library(timeDate)

library(forecast)

library(xts)

library(dygraphs)

library(tseries)

library(matrixStats)

library(car)

library(MASS)

library(nortest)

library(e1071)

library(randomForest)

library(neural)

library(neuralnet)

library(dynlm)

library(xlsx)

library(lmtest)

library(vars)

library(kernlab)

library(caret)

library(utils)

###### FUNCOES DE ERRO #####

mape = function(y, ychap){

return(100*mean(abs(y-ychap)/abs(y)))

}

rmse = function(eps){

return(sqrt(mean(eps^2, na.rm=TRUE)))

}

224

mae = function(eps){

return(mean(abs(eps), na.rm=TRUE))

}

PRESS = function(eps){

return(sum(eps^2), na.rm=TRUE)

}

###### IMPORTACAO DOS DADOS #####

SE = read.table("Sudeste.csv", dec=",", sep=";", header=TRUE, skip=0)

SEd = read.table("Sudestedif1.csv", dec=",", sep=";", header=TRUE, skip=0)

###### INDICE t #####

SE = data.frame(SE, t=seq(1, nrow(SE)))

SEd = data.frame(SEd, t=seq(1, nrow(SEd)))

###### SERIES DE FOURIER #####

w = 2*pi/(12)

Nfourier = 6

for(i in c(1:Nfourier)){

assign(paste("cos", i, sep=""), cos(w*SE$t*i))

assign(paste("sin", i, sep=""), sin(w*SE$t*i))

}

SE = data.frame(SE, sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6, cos1, cos2, cos3, cos4, cos5, cos6)

for(i in c(1:Nfourier)){

assign(paste("cos", i, sep=""), cos(w*SEd$t*i))

assign(paste("sin", i, sep=""), sin(w*SEd$t*i))

}

SEd = data.frame(SEd, sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6, cos1, cos2, cos3, cos4, cos5,

cos6)

225

###### SERIE LAG 1 #####

lag1 = SE$Eletrobras

lag1[2:nrow(SE)] = SE$Eletrobras[1:(nrow(SE)-1)]

SE = data.frame(SE, lag1)

lag1 = SEd$Eletrobras

lag1[2:nrow(SEd)] = SEd$Eletrobras[1:(nrow(SEd)-1)]

SEd = data.frame(SEd, lag1)

###### SERIE LAG 2 #####







##### SERIE LAG 3 #####







##### SERIE LAG 12 #####







##### VARIAVEIS DUMMY #####

226

SE = data.frame(SE, model.matrix(~as.factor(SE$Month)))

for (i in c(0:10)){

colnames(SE)[ncol(SE)-i] = paste("Mes", 12-i, sep="")

}

SE = SE[-c(ncol(SE)-11)]

##### TRAINING SET E TEST SET #####

SE1 = SE[1:147,] # training set

SE2 = SE[-c(1:nrow(SE1)),] # test set

SEd1 = SEd[1:(nrow(SE1)-1),] # training set

SEd2 = SEd[-c(1:nrow(SEd1)),] # test set

###################### MODELO 1: SARIMA ######################

# Treinamento do modelo

arima1 = auto.arima(ts(SE1$Eletrobras, frequency=12), stepwise = FALSE,

approximation = FALSE, allowdrift=FALSE)

accuracy(arima1)

# Previsao sobre o test set

forecast1 = forecast(arima1, h=length(SE2$Eletrobras))

plot(forecast1)

lines(ts(SE$Eletrobras, frequency=12), col='red')

mape(as.vector(SE2$Eletrobras), as.vector(forecast1$mean))

rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(forecast1$mean))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(forecast1$mean))

sum((as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(forecast1$mean))^2)

# Autocorrelacao e normalidade dos residuos

erro = arima1$residuals

acf(erro, main='SARIMA - Autocorrelacao dos erros')

erro2 = erro^2

errolm = lm(erro[-length(erro)] ~ erro[-1])

summary(errolm)

227

Box.test(erro, lag=length(acf(erro)), type="Ljung")

# Pesaran

fitted = arima1$fitted

fitted2 = fitted^2

errolm2 = lm(erro2~fitted2)

summary(errolm2)

# Garch

Box.test(erro2, lag=length(acf(erro2)), type="Ljung")

###################### MODELO 2: HOLT WINTERS ######################


consumo = ts(SE1$Eletrobras, frequency=12)

hw1 = HoltWinters(consumo)


forecast3 = forecast(hw1, h=length(SE2$Eletrobras))

plot(forecast3)


mape(SE2$Eletrobras, forecast3$mean)

rmse(SE2$Eletrobras - forecast3$mean)

mae(SE2$Eletrobras - forecast3$mean)



erro = residuals(hw1)

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Holt Winters - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='Holt Winters - Autocorrelacao parcial dos erros')


228

plot(erro, main = 'Holt Winters - Serie dos erros')

# Pesaran

fitted = hw1$fitted[,1]

fitted2 = fitted^2


summary(errolm2)

# Garch


################ MODELO 2: HOLT WINTERS (COM DIF1) ################

# Treinamento do modelo (dif1)

consumo = ts(SEd1$Eletrobras, frequency=12)

hw1 = HoltWinters(consumo)

# Previsao sobre o test set (dif1)

forecast3 = forecast(hw1, h=length(SEd2$Eletrobras))

# Calculo da previsao sobre a serie de consumo

y = rep(SE1$Eletrobras[length(SE1$Eletrobras)], length(SE2$Eletrobras))

for (i in c(2:length(y))){

y[i] = y[i-1] + forecast3$mean[i]

}

mape(SE2$Eletrobras, y)

rmse(SE2$Eletrobras - y)

mae(SE2$Eletrobras - y)

sum((as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(y))^2)

plot(SE$Eletrobras, type='l', col='red', main='Holt-Winters', ylab='Consumo',

xlab='Tempo (meses)')

lines(y, x=c((length(SE1$Eletrobras)+1):length(SE$Eletrobras)), col='blue')

229


erro = residuals(hw1)

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Holt Winters - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='Holt Winters - Autocorrelacao parcial dos erros')


plot(erro, main = 'Holt Winters - Serie dos erros')

# Pesaran

fitted = hw1$fitted[,1]

fitted2 = fitted^2


summary(errolm2)

# Garch


######### MODELO 3: REGRESSAO LINEAR COM ERROS SARIMA #########


arima2 = auto.arima(ts(SE1$Eletrobras, frequency=12), xreg=data.frame(SE1$IBCR,

SE1$TempCompensadaMedia,

SE1$TarifaMediaComImposto))


forecast2 = forecast(arima2, h=length(SE2$Eletrobras), xreg=data.frame(SE2$IBCR,


SE2$TarifaMediaComImposto))

mape(as.vector(SE2$Eletrobras), as.vector(forecast2$mean))

rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(forecast2$mean))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(forecast2$mean))


230

plot(forecast2)



erro = arima2$residuals

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Regressao com erros SARIMA - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro)

Box.test(erro, lag=21, type="Ljung")

# Pesaran

fitted = fitted(arima2)

fitted2 = fitted^2


summary(errolm2)

# Garch


############## MODELO 4: DECOMPOSICAO COM DUMMIES

##############

lm2 = lm(Eletrobras ~

0+lag1+lag2#+lag2+lag3+lag12#+UnidadesConsumidoras#+TempCompensadaMedia

+Mes2+Mes3+Mes4+Mes5+Mes6+Mes7+Mes8+Mes9+Mes10+Mes11+Mes12,

data=SE1)

summary(lm2)

pred2 = predict(lm2, SE2)

mape(SE2$Eletrobras, pred2)

231

rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred2))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred2))

sum((as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred2))^2)

plot(ts(SE$Eletrobras), col='red', xlab='Tempo (meses)', ylab='Consumo',

main='Forecasts decomposicao com dummies')

lines(x=c((nrow(SE1)+1):(nrow(SE))), y=ts(pred2, frequency=12), type='l', col='blue')

# Autocorrelacao e estacionariedade dos residuos

erro = SE1$Eletrobras - lm2$fitted

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Decomposicao com Dummies - Autocorrelacao dos erros')


#Garch


############## MODELO 5: DECOMPOSICAO COM FOURIER ##############


lm1 = lm(Eletrobras ~

0+lag1+lag2+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5+cos6+sin1+sin2+sin3+sin4+sin5+sin6,

data=SE1)

summary(lm1)


pred1 = predict(lm1, SE2)


rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred1))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred1))

sum((as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(pred1))^2)


main='Forecasts decomposicao com Fourier')

232

lines(x=c((nrow(SE1)+1):(nrow(SE))), y=ts(pred1, frequency=12), type='l', col='blue')


erro = SE1$Eletrobras - lm1$fitted

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Decomposicao com Fourier - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='Decomposicao com Fourier - Autocorrelacao parcial dos erros')


plot(erro, type='l', main = 'Decomposicao com Fourier - Serie dos erros')

#Garch


#################### MODELO 6: RANDOM FOREST #####################

set.seed(123)


arvore = randomForest(y=SE1$Eletrobras, x=cbind(SE1$IBCR,


SE1$TarifaMediaComImposto, SE1$lag1), ntree=1000)


arvore_forecast = predict(arvore, newdata=cbind(SE2$IBCR,


SE2$TarifaMediaComImposto, SE2$lag2))

mape(SE2$Eletrobras, arvore_forecast)

rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(arvore_forecast))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(arvore_forecast))

sum((as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(arvore_forecast))^2)


main='Forecasts Random Forest')

233

lines(x=c((nrow(SE1)+1):(nrow(SE))), y=ts(arvore_forecast, frequency=12), type='l',

col='blue')


erro = SE1$Eletrobras - arvore$predicted

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Random Forest - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='Random Forest - Autocorrelacao parcial dos erros')


# Garch


############### MODELO 6: RANDOM FOREST (COM DIF1) ###############

set.seed(123)


arvore2 = randomForest(y=SEd1$Eletrobras, x=cbind(SEd1$IBCR,

SEd1$TempCompensadaMedia,

SEd1$lag1, SEd1$TarifaMediaComImposto),

ntree=1000)


arvore2_forecast = predict(arvore2, newdata=cbind(SEd2$IBCR,

SEd2$TempCompensadaMedia,

SEd2$lag1, SEd2$TarifaMediaComImposto))


y = rep(SE1$Eletrobras[length(SE1$Eletrobras)], length(SE2$Eletrobras))


y[i] = y[i-1] + arvore2_forecast[i]

}


234

rmse(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(y))

mae(as.vector(SE2$Eletrobras) - as.vector(y))



main='Forecasts Random Forest')

lines(x=c((nrow(SE1)+1):(nrow(SE))), y=ts(y, frequency=12), type='l', col='blue')


erro = SEd1$Eletrobras - arvore2$predicted

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='Random Forest - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='Random Forest - Autocorrelacao parcial dos erros')


plot(erro, type='l', main = 'Random Forest - Serie dos erros')

# Garch


################ MODELO 7: SUPPORT VECTOR MACHINE

################


set.seed(123)

svm1 = svm(Eletrobras ~

t+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5+cos6+sin1+sin2+sin3+sin4+sin5+sin6

+IBCR+TempCompensadaMedia+UnidadesConsumidoras+TarifaMediaComImposto+l

ag1+lag12

, data=SE1)

summary(svm1)


235

pred1 = predict(svm1, SE2)



erro = svm1$residuals

erro2 = erro^2


summary(errolm)

acf(erro, main='SVM - Autocorrelacao dos erros')

pacf(erro, main='SVM - Autocorrelacao parcial dos erros')


plot(erro, type='l', main = 'SVM - Serie dos erros')

svm_tune = tune(svm, Eletrobras ~

t+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5+cos6+sin1+sin2+sin3+sin4+sin5+sin6

+IBCR+TempCompensadaMedia+UnidadesConsumidoras+lag1+lag12

, data=SE1, ranges=list(epsillon=seq(0,0.1,0.01), cost=2^(2:4)))

svm2 = svm_tune$best.model

pred2 = predict(svm2, SE2)


########## MODELO 7: SUPPORT VECTOR MACHINE (COM DIF1) ##########


set.seed(123)

svm2 = svm(Eletrobras ~ lag1+lag3+lag12+TarifaMediaComImposto+IBCR,

data=SEd1)

summary(svm2)


predsvm2 = predict(svm2, SEd2)


y = rep(SE1$Eletrobras[nrow(SE1)], nrow(SE2))

236


y[i] = y[i-1] + predsvm2[i]

}





plot(SE$Eletrobras, type='l', col='red', main='Forecasts SVM', ylab='Consumo')

lines(y=y, x=c((length(SE1$Eletrobras)+1):length(SE$Eletrobras)), col='blue')



erro2 = erro^2


summary(errolm)




Box.test(erro2, lag=length(acf(erro)), type="Ljung")

############## MODELO 7: SVM USANDO A FUNCAO TUNE ##############

svm_tune = tune(svm, Eletrobras ~ lag1+lag3+lag12+TarifaMediaComImposto+IBCR,

data=SEd1, ranges=list(epsillon=seq(0,0.1,0.01), cost=2^(2:4)))

svm2 = svm_tune$best.model

pred2 = predict(svm2, SEd2)

y = rep(SE1$Eletrobras[nrow(SE1)], nrow(SE2))


y[i] = y[i-1] + pred2[i]

}




237



main='Forecasts SVM')

lines(x=c((nrow(SE1)+1):(nrow(SE))), y=ts(y, frequency=12), type='l', col='blue')



erro2 = erro^2


summary(errolm)




# Garch


previsÃo do consumo industrial de energia...

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