precessÃo, nutaÇÃo e movimento do pÓlo eixo de rotação ainda varia com respeito à figura da...
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PRECESSÃO, NUTAÇÃO E MOVIMENTO DO PÓLO
Prof. Dra. DANIELE BARROCA MARRA ALVES
INTRODUÇÃO
No posicionamento por satélites os sistemas dereferência adotados são em geral globais egeocêntricos Devido ao movimento dos satélites que ocorre ao redor
do centro de massa da Terra
As estações terrestres são, em geral,representadas em um sistema fixo à Terra erotacionam com ela – sistema terrestre
INTRODUÇÃO
O movimento dos satélites é melhor descrito nosistema celeste (sistema de coordenadasequatoriais)
Definidos e realizados os dois referenciais, énecessário conhecer a relação entre eles parapoder modelar as observáveis de modo adequado
No ajustamento dos dados provenientes doposicionamento por satélite, é essencial queposições de satélites e estações terrestressejam representados no mesmo sistema dereferência
INTRODUÇÃO
A transformação do sistema celeste para oterrestre é realizada empregando uma sequênciade rotações que levam em consideração: a precessão (P)
a nutação (N)
a rotação e orientação da Terra (S), incluindo o movimento dopólo
onde e representam vetores posicionais nossistemas terrestre e celeste
cXSNPX T
TX
CX
INTRODUÇÃO – Precessão, Nutação e Movimento do Pólo
O eixo de rotação da Terra e seu plano equatorialnão estão fixos no espaço, mas rotacionam emrelação a um sistema inercial
Isso se deve a atração gravitacional da Lua, doSol e dos planetas sobre a protuberância daTerra Componente principal: precessão Secundária: nutação
Seu eixo de rotação ainda varia com respeito àfigura da TerraMovimento do pólo
OBJETIVOS
Realizar uma revisão teórica sobre osmovimentos de precessão, nutação e movimentodo pólo terrestre
Demonstrar matematicamente as causas dessesmovimentos
TORQUES SOBRE A TERRA
O movimento orbital da Terra diverje do modeloKepleriano de movimento de dois pontos de massano espaço Devido a interação gravitacional da Terra com os outros
corpos celestes do sistema solar, incluindoprincipalmente a Lua e o Sol, mas também os planetas
Como a Terra não é uma esfera homogêneaperfeita, sua rotação também é afetada pelaação gravitacional dos corpos do sistema solar
TORQUES SOBRE A TERRA
Se não existissem outros planetas (somente osistema Terra/Lua) a órbita do sistemaTerra/Lua ao redor do Sol seria essencialmenteum plano fixo no espaço. Este plano define aeclíptica
TORQUES SOBRE A TERRA
A ação gravitacional dos planetas faz com que oplano da eclíptica se comporte de uma formadinâmica, chamada precessão planetária
Se a obliquidade da eclíptica fosse nula (ou se aTerra não fosse achatada nos pólos), nãohaveriam torques causados pelo Sol, Lua eplanetas agindo sobre a Terra
TORQUES SOBRE A TERRA
Como a obliqüidade da eclíptica não é nula e a Terraé achatada nos pólos e bojuda no equador
o Sol, a Lua e os planetas causam uma precessão do equador terrestre (e portanto do pólo)
precessão luni-solar e nutação, dependendo do período de movimento
TORQUES SOBRE A TERRA – EM RESUMO
O fato do bojo equatorial formar um ângulo de23,5° com o plano orbital do Sol e da Lua (planoda eclíptica), e da Terra ser um corpo nãouniforme, o que ocasiona uma atração luni-solar,causa um torque constante que produz aprecessão luni-solar.
A precessão planetária juntamente com aprecessão luni-solar é conhecida como precessãogeral.
Precessão planetária + Precessão luni-solar = Precessão Geral
TORQUES SOBRE A TERRA – EM RESUMO
Como a atração gravitacional não é constante,pois a distância e a direção de atração dos corposmuda devido à: Elipticidade das órbitas Divergência da órbita da Lua em relação a eclíptica
Ocorre uma variação no torque, e,consequentemente, na precessão, chamadanutação, ou nutação forçada
Como a precessão e a nutação estão associadas àsmesmas fontes de erros, elas se distinguem peladuração do movimento.
TORQUES SOBRE A TERRA – EM RESUMO
O movimento suave e de longo período é aprecessão.
Já o movimento de curto período é a nutação.Os períodos de nutação dependem principalmente do
movimento orbital da Lua relativo ao período orbital daTerra.
Os modelos mais recentes de nutação também contémefeitos de curto período relativo aos movimentos dosplanetas (JEKELI, 2002).
Movimento suave e de longo período: precessãoMovimento de curto período: nutação
PRECESSÃO
PRECESSÃO
Precessão planetária
As eclípticas e o equador são fictícios, pois é consideradoque eles são afetados pela precessão (não pela nutação)
é o ângulo entre as eclípticas médias em t0 e t é a longitude eclíptica devido à precessão planetária A se refere ao ângulo “acumulado” entre uma época fixa t0
e outra época t
0
0
A
A
Equador médio
em t0
Eclíptica média
em t
Eclíptica
média em t0
M
A
A
A
A
PRECESSÃO
Os ângulos e podem ser expressos comoséries temporais cujos coeficientes são baseadosna dinâmica celeste dos planetas . Geralmente, asséries são dadas por (JEKELI, 2002):
As seguintes fórmulas também podem ser usadas:
onde:
A A
3
02
2
010
3
02
2
010
cos ttcttcttcsen
ttsttsttssensen
AA
AA
322
322
0003,0003,005,00053,0001,081,46cos
0001,00006,0194,00004,0752,0197,4
TTT
TTTsen
AA
AA
36525
0ttT F
36525
Ftt
PRECESSÃO
A precessão planetária resulta em uma lentarotação da eclíptica na direção ocidental
Aproximadamente por ano, que corresponde aum movimento do equinócio de por século
A precessão planetária também causa umamudança na obliqüidade da eclíptica, ela decresceuma taxa de por século
Porém, a precessão é causada principalmente pelaatração gravitacional exercida pela Lua e pelo Sol(precessão lunisolar)
5,0
5,0
5,12
5,12
74
PRECESSÃO
Precessão luni-solar
Ocorre pois a Terra não é esférica
É achatada nos pólos e bojuda no equador
Seu diâmetro equatorial é cerca de 40 km maiordo que o diâmetro polar
O plano do equador terrestre está inclinado23° 26' 21,418" em relação ao plano da eclíptica
O plano da eclíptica está inclinado 5° 8' emrelação ao plano da órbita da Lua
PRECESSÃO
As forças diferenciais tendem não apenas aachatá-la, mas também a "endireitar" o seu eixo,alinhando-o com o eixo da eclíptica
Como a Terra está girando, o eixo da Terra nãose alinha com o eixo da eclíptica, mas precessionaem torno dele
PRECESSÃO
A atração nos bojos terrestres é expressa pelas forças F1 e F2>
A força centrífuga existe devido ao movimento da Terra aoredor do Sol
<
Eixo de rotação
Equador celeste
Plano da eclíptica
Sol
Bojo equatorial
Centro de massa do
bojo equatorial
r
F1 C1
R1
F2
C2 R2
21r
mmkF ST
22rr
mmkF ST
rC 2
1 rrC 2
2
https://www.resumoescolar.com.br/fisica/forca-centrifuga/
PRECESSÃO
As forças resultantes
e
As forças R1 e R2 aplicam um torque sobre aTerra
111 CFR 222 CFR
Eixo de rotação
Equador celeste
Plano da eclíptica
Sol
Bojo equatorial
Centro de massa do
bojo equatorial
r
F1 C1
R1
F2
C2 R2
PRECESSÃO
O torque aplicado em um corpo que rotaciona gerauma precessão que é o movimento do eixo de rotação do corpo na
direção normal ao torque
A precessão luni-solar move o eixo de rotação daTerra vagarosamente ao longo de um cone cujo eixode simetria é perpendicular ao plano da eclíptica
PRECESSÃO
Eclíptica
Equador
celeste
Eixo
precessional
Cone
precessional
PRECESSÃO
A precessão lunisolar depende de parâmetrosgeofísicos da Terra
Não existem fórmulas analíticas disponíveis para estefim, devido à complicada forma e constituição internada Terra
Newcomb forneceu um parâmetro empírico, chamadoconstante precessional de Newcomb
com P1 = -0,00369 arcsec/século
É baseado em valores observados da precessão
Este parâmetro não é estritamente uma constante,ele depende suavemente do tempo
010 ttPPPN
PRECESSÃO
O parâmetro de Newcomb descreve o movimento doequador médio ao longo da eclíptica da seguinte forma:
sendo na época t0 e Pg = 1,92 arcsec/séculoum termo relativístico geral
P1, Pg e se referem a época fundamentalt0 = J2000,0
O ângulo acumulado na precessão lunisolar do equadorao longo da eclíptica é dado por
gN PP 0co s
84 4,2 1622 30
0
A
PRECESSÃO
Ângulos acumulados da precessão planetária elunisolar, e também da precessão geral (em longitude)
A
0
A
Eclíptica
média em t
Eclíptica
média em t0
Ap A
A
0
Equador
terrestre em t0 Equador
terrestre em t
P
movimento do equinócio vernal médio ao longo da eclíptica média – precessão lunisolar
precessão geral acumulada
movimento do equinócio vernal médio ao longo
do equador médio
– precessão planetária
PRECESSÃO
É fácil formular relações entre os vários tipos deprecessão
Basta considerar os limites dos ângulos acumuladosquando o tempo tende a zero, seja:
Att
lim0
Att
lim0
Att
pp lim0
PRECESSÃO
Utilizando a geometria da figura e as igualdades
0c o sc o s pp AAA
A
0
A
Eclíptica
média em t
Eclíptica
média em t0
Ap A
A
0
Equador
terrestre em t0 Equador
terrestre em t
P
PRECESSÃO
Aplicando a lei dos senos no triângulo esférico
AAA
A
A
A sensensensensen
sen
sen
sen
180
180
0
0
A
A
Equador médio
em t0
Eclíptica média
em t
Eclíptica
média em t0
M
M P
A
0
A
Eclíptica
média em t
Eclíptica
média em t0
Ap A
A
0
Equador
terrestre em t0 Equador
terrestre em t
P
PRECESSÃO
Como o seno de um ângulo pequeno é o próprio ânguloe
Considerando apenas o termo de primeira ordem
Fazendo algumas substituições em (fig.)
sensen 1 8 0
AAA se nse nse n
3
02
2
010 ttsttsttssenA
0
sen
sssenA
0co s p
000
0
0 cotcoscoscos
sPPpsen
sPPp gNgN
Newcomb Fórmula da precessão geralgN PP 0c o s
PRECESSÃO
Existe uma outra forma de calcular a precessão geral,sem utilizar a constante de Newcomb
A precessão geral pode ser decomposta em ascensãoreta, m, e declinação, n
0
Eclíptica
média em t
Eclíptica
média em t0
Ap
A
A
0
0
Equador
terrestre em t0 Equador
terrestre em t
P
Am
An
0
0 senn AA AAAm 0co s
PRECESSÃO
Utilizando limites
A taxa de precessão geral em longitude é dadapor:
0 senn 0co sm
00co s n senmp
PRECESSÃO
A precessão geral acumulada em declinação (n)também é designada
No lugar da ascensão reta, mA, são utilizados outrosdois elementos para facilitar a transformação
Além disso, o pólo médio, Z0, na época t0, move-sedevido à precessão geral para a posição Z, na época t
A
zm
PRECESSÃO
Elementos de precessão
A transformação da época t0 para época t é:
Z0
Z
Az
A
0
A
A
Equador
médio em t
Equador
médio em t0
00323 rPrRRzRr AAAm
PRECESSÃO
Para calcular a precessão os seguintes valores podemser usados:
322 0 0 0 0 6,00 0 0 5,00 3 3,00 0 0 5,00 6 6,00 0 2,4 7 TTTA
22 0 3 5,05 0 4,08 0 8,8 6 96 0 6,04 7 8,3 2 8 99,3 425º1 7 4 TTTA
322 0 0 1,00 0 1,00 7 2,10 0 0 1,04 9 2,07 7 8,5 0 3 8 TTTA
322 0 0 1,00 0 0 8,03 8 0,20 0 0 0 9,08 8 6,15 5 2,1 0 TTTA
322 0 0 0 0 0 6,00 0 0 0 4,01 1 1,10 0 0 0 4,02 2 2,20 9 6,5 0 2 9 TTTp A
322 0 1 7,00 0 0 3,03 0 1,00 0 0 1,03 9 6,12 1 8,2 3 0 6 TTTA
322 0 1 8,00 0 0 0 6,00 9 4,10 0 0 1,03 9 6,12 1 8,2 3 0 6 TTTz A
322 0 4 1,00 0 0 2,04 2 6,00 0 0 2,08 5 3,03 1 0,2 0 0 4 TTTA
,001,0005,00005,0005,0001,0815,46
001,00005,0815,46844,2162º23
322
32
TTT
TTTA
PRECESSÃO
O eixo de rotação da Terra completa um ciclo deprecessão em 25765 anos
Que corresponde a um movimento do equinóciode por ano na direção ocidental
A contribuição do Sol no movimento precessionalanual do equinócio é de
A contribuição da Lua é de
3,50
02
03
PRECESSÃO
Os pólos celestes não ocupam uma posição fixa nocéu
Cada pólo celeste se move lentamente em tornodo respectivo pólo da eclíptica, descrevendo umacircunferência em torno dele
Atualmente o Pólo Celeste Norte está nasproximidades da estrela Polar, na constelação daUrsa Menor
Daqui a cerca de 13000 anos ele estará nasproximidades da estrela Vega, na constelação deLira
PRECESSÃO
PRECESSÃO
Apesar do movimento de precessão ser tão lento, elefoi percebido já pelo astrônomo grego Hiparco, no ano129 a.C.
Timocharis (273 a. C.) tinha medido que a estrelaSpica estava a 8° do ponto vernal, mas Hiparco mediasomente 6°
Ele concluiu que o ponto vernal havia se movido2 graus em 144 anos
No entanto, a explicação do fenômeno de precessãofoi dada por Newton no séc. XVII
NUTAÇÃO
NUTAÇÃO
O movimento precessional discutido é resultado deum torque externo constante que age sobre a Terra
Ocorrem pequenas variações de caráter periódico notorque externo que perturbam o movimentoprecessional
Essas variações são causadas principalmente por: Elipticidade da órbita da Terra ao redor do Sol – o
torque varia com um período de 6 meses
Elipticidade da órbita da Lua ao redor da Terra – otorque varia com um período de 29 dias;
Inclinação do plano orbital da Lua em relação ao planoda eclíptica – aproximadamente 5°11’.
NUTAÇÃO
Para a precessão, é determinado o movimento dopólo médio e equinócio médio dentro de umintervalo, de t0 a t. A transformação relacionadaa precessão ocorreu de um frame médio a umoutro frame médio.
Mas, para a nutação, será determinada adiferença entre a posição média e a posiçãoverdadeira para uma época particular t(geralmente a época atual conhecida como épocada data) (JEKELI, 2002).
NUTAÇÃO
A nutação descreve a dinâmica em curtosperíodos
Será determinada a diferença entre a posiçãomédia e a posição verdadeira para uma época t
Equador
verdadeiro em t
Equador
médio em t
T
Eclíptica
média em t
NUTAÇÃO
Esse movimento é realizado por dois ângulos,
e , que descrevem respectivamente: A mudança (do médio para o verdadeiro) na inclinação
do equador com respeito a eclíptica média (nutação emobliquidade)
A mudança ( do médio para o verdadeiro) do equinócioao longo da eclíptica média (nutação em longitude)
Equador
verdadeiro em t
Equador
médio em t
T
Eclíptica
média em t
NUTAÇÃO
A nutação em longitude ocorre principalmentedevido a elipticidade das órbitas da Terra e daLua, causando um efeito precessional luni-solarnão uniforme.
A nutação em obliqüidade ocorre principalmentedevido a obliqüidade da órbita da Lua em relaçãoa eclíptica.
O efeito combinado da nutação em longitude e danutação em obliqüidade é chamado nutaçãoforçada, ou simplesmente nutação
NUTAÇÃO
No estudo do movimento de nutação não é necessáriotransformar da eclíptica média para a verdadeira
o interesse está somente na dinâmica do equadorverdadeiro (e consequentemente do pólo verdadeiro)
Modelos para os ângulos de nutação:
sendo que o ângulo representa
uma combinação linear de ângulos, ou coordenadas eclípticas,do Sol e da Lua (e seus planos orbitais) na esfera celeste
Os valores utilizados para Ci podem ser vistos emJekeli (2002)
n
i
ii AC1
cos
n
i
ii senAC1
iiiiii eDdFclblaA
NUTAÇÃO
Principais períodos de nutação
Período
(dias)
Amplitude Nome
Longitude Obliquidade
9,1 -0°0261 +0°0113 ------
13,7 -0°2037 +0°0884 Quinzenal
183 -1°2729 +0°5522 Semi-anual
365 +0°1261 0 Anual
6798 -17°2327 +9°2100 Nutação de Bradley
Período de nutação mais conhecido, de 18,6 anos, foi descoberto por Bradley em 1727
Além dos períodos de nutação da tabela, CEU (2004) também cita um período de nutação de 9,3 anos (período de rotação do perigeu lunar)
NUTAÇÃO
A nutação move o eixode giro da Terra aolongo de um coneestreito
Sua origem coincide coma origem do cone deprecessão
Seu eixo move-se aolongo do cone deprecessão Terra
Movimento
de Nutação
Movimento
de precessão
NUTAÇÃO
A próxima figura descreve o movimento do póloterrestre devido ao efeito combinado da precessãolunisolar e do termo de nutação de Bradley
O movimento total do pólo na esfera celeste ocorredevido a superposição da precessão geral e de todasas nutações
Movimento verdadeiro
do pólo
Pólo eclíptico
médio
Precessão
18,6 anos
NUTAÇÃO
A transformação realizada em relação aomovimento de nutação é dada por:
mm N rrRRRr 131
Equador
verdadeiro em t
Equador
médio em t
T
Eclíptica
média em t
NUTAÇÃO
O movimento combinado de precessão e nutaçãoé dado por:
0rN Pr
NUTAÇÃO
Em 1980 a International Astronomical Union (IAU)adotou uma teoria para nutação baseada no modelo deelasticidade da Terra
é calculado utilizando uma expansão em série com106 coeficientes
com 64 coeficientes
é a longitude eclíptica média do nodo ascendente lunar
D é o alongamento médio da Lua para o Sol
com sendo a longitude eclíptica média da Lua
222 2 7 4,02223 1 8 7,11 9 9 6,71 Fse nDFse nse n
22c o s0 9 7 7,0222c o s5 7 3 6,0c o s2 0 2 5,9 FnDF
MF M
IAU 2000
No entanto, em 2000, a IAU decidiu na sua 24ªGeneral Assembly substituir: o Modelo de Precessão de 1976 (IAU 1976 Precession
Model) a teoria de nutação de 1980 (IAU 1980 Theory of
Nutation)
Utilização do modelo de precessão e nutação de 2000(Precession-Nutation Model IAU 2000), a partir de1 de janeiro de 2003
IAU 2000
O modelo IAU 2000A contém 678 termos lunisolarese 687 termos planetários
Provê direções do pólo celeste no GeocentricCelestial Reference System (GCRS) com acurácia de0,2 mas
O modelo IAU 2000B inclui 80 termos lunisolares euma influência planetária
A diferença entre os dois modelos não é maior que1 mas depois de aproximadamente 50 anos
MOVIMENTODO POLO
MOVIMENTO DO PÓLO
Depois de eliminar, via transformação, as influências externas à Terra
seu eixo de rotação ainda varia com respeito à figura da Terra
principalmente pelas suas propriedades elásticas e interação com a atmosfera
MOVIMENTO DO PÓLO
Definição: O movimento do pólo é a rotação dopólo celeste verdadeiro (eixo de rotaçãoinstantâneo) em relação ao pólo de um sistema dereferência convencional fixo a Terra (CIO -Conventional International Origin)
xp
yp
y
Pólo instantâneo
no instante t
x
CIO
MOVIMENTO DO PÓLO
Os parâmetros de orientação da Terra não podem serdescritos por teoria determinados a partir de observações
Por um longo período, observações astronômicasforam utilizadas para esse fim inicialmente sob o auspício do International Latitude
Service (ILS)
depois pelo International Polar Motion Service (IPMS),juntamente com o BIH
Em 1 de janeiro de 1988 essas duas agências foramincorporadas ao IERS, que passou a realizar essasfunções
Atualmente, as tecnologias utilizadas são: o VLBI, SLR, GPS, LLR , etc
MOVIMENTO DO PÓLOwww.iers.org
MOVIMENTO DO PÓLO
O movimento polar afeta as coordenadas de todos ospontos terrestres
Esse movimento é causado por variações nadistribuição de massa da Terra e de sua atmosfera
Essas variações podem ocorrer devido a fenômenosmeteorológicos, geológicos e geofísicos, tais como:Movimento da atmosfera e dos oceanosMudanças na distribuição de massa da superfície
(erosão)Mudanças na crosta e nos fluidos (erupções vulcânicas,
terremotos)Movimento entre a crosta terrestre e seu interior
MOVIMENTO DO PÓLO
O fenômeno do movimento polar surge do fato de queo eixo de giro da Terra não coincide com o eixo demáximo momento de inércia (eixo de simetria)
Euler investigou esse fenômeno em 1765 e chamou denutação livre
O movimento polar foi conhecido como um conceitoteórico por mais de 100 anos, antes que pudesse serprovado através de medidas
MOVIMENTO DO PÓLO
Como foi descoberto???
Em 1884 Kuestner em Berlin detectou uma variação do eixo de rotação da Terra com uma amplitude de
aproximadamente
Isto conduziu a uma campanha observacional em 1891, onde uma série de observações astronômicas feitas simultaneamente em Berlin e Hawai foram
analisadas
Os resultados mostraram uma amplitude de em 14 meses
2,0
1 8 0
5,0
MOVIMENTO DO PÓLO
Nesse mesmo ano (1884), Chandler analisou algumasobservações antigas e chegou a conclusão de que omovimento polar é resultante de duas componentes: uma com um período anual
e outra com um período de 428 dias, posteriormentechamado de período de Chandler
Embora houvesse dúvidas no começo, estesresultados foram logo confirmados pelo experimentoBerlin-Hawai
Em 1892, Newcomb mostrou que a elasticidade daTerra é responsável pelo movimento de Chandler
MOVIMENTO DO PÓLO
A amplitude do período de Chandler é de 0,2 arcsec
Já o movimento anual, que ocorre devido aredistribuição de massas pelos processos geofísicos emeteorológicos, tem amplitude de 0,05 – 0,1 arcsec
Outros componentes do movimento polar incluem: a oscilação diurna (até agora não foi detectada,
somente predita) o chamado passeio polar, que é o movimento secular do
pólo
Durante 1900-2000, o eixo de giro da Terra se moveuaproximadamente 0,004 arcsec por ano na direção domeridiano 80° O
MOVIMENTO DO PÓLO
Movimento polar de Chandler de 1890 a 2000
MOVIMENTO DO PÓLO
https://datacenter.iers.org/eop/-/somos/5Rgv/singlePlot/223/EOPC04_14_62-NOW_IAU1980-X_Y_PLAN
MOVIMENTO DO PÓLO
Equação da conservação do momento angular, que éconveniente para descrever o movimento polar:
Onde :H é o momento angular de um corpo rígido expresso em umsistema coordenado fixo ao corpo
L são os torques externos
Além disso: é o vetor de velocidade angular
C é o tensor de inércia instantâneo ,
os termos da diagonal são chamados de momentos de inércia,fora da diagonal são chamados de produtos de inércia
Ldt
dH
CH
ZZZYZX
YZYYYX
XZXYXX
III
III
III
C
MOVIMENTO DO PÓLO
I repersenta a distribuição de massa em relação a umponto
Se o sistema coordenado fixo ao corpo é escolhido deforma que os produtos de inércia sejam zero, os eixosresultantes serão os eixos principais do corpo
Depois de algumas manipulações matemáticas:
comLHCLH
t
H
3
2
1
3
2
1
00
00
00
C
B
A
C
B
A
C
CH
MOVIMENTO DO PÓLO
e
Portanto:
Assumindo que os torques externos já foramtratados, pela precessão e nutação, tem-se:
L1 = L2 = L3 = 0
,213132
323121213132
321
321
kABjCAiBC
iBjCkAkBjAiC
CBA
kji
H
3213
2312
1321
LABC
LCAB
LBCA
MOVIMENTO DO PÓLO
Além disso, assumindo que o corpo tem simetriaequatorial : A = B
Assim:
As equações acima são EDOs lineares de primeiraordem
Resolvendo a terceira equação tem-se:
0
0
0
3
312
321
C
ACA
ACA
.3 const
MOVIMENTO DO PÓLO
Substituindo
nas duas primeiras equações:
Para solucionar, basta substituir a 1ª equação na 2ª:
Da 1ª equação:
3A
AC
0
0
0
0
0
0
12
21
132
321
132
321
A
AC
A
A
A
AC
A
A
ACA
ACA
1
21
212
MOVIMENTO DO PÓLO
Substituindo na segunda:
Solucionando:
Portanto as soluções dessa EDO são: e
A solução geral é dada por:
com c1 e c2 constantes
00 1
2
111
irrr 2222 0
ite i te
tse nctc 211 co s
MOVIMENTO DO PÓLO
Como c1 e c2 são constantes, pode-se assumir:
com a1 e a2 constantes
Assim:
Substituindo:
A solução é dada por:
211 co s aac 212 sen aac
)cos(coscos 2112211 atasenatsenata
212 atsena
212
211 )cos(
atsena
ata
frequência angular
amplitude
fase
MOVIMENTO DO PÓLO
As equações anteriores descrevem o movimentocircular do eixo de rotação da Terra
Este movimento pode ser determinado através daobservação de latitudes astronômicas
Como as observações da latitude se referem ao eixoinstantâneo de rotação, qualquer desvio entre esseeixo e o eixo de simetria será detectado nas latitudesastronômicas porque elas são fixadas a observatórios, e então a
crosta
MOVIMENTO DO PÓLO
t1 t2
P
1
2
Eixo de simetria Eixo de rotação
Observando a latitude astronômica continuamente, omovimento polar pode ser detectado
MOVIMENTO DO PÓLO
Nas equações anteriores, foi discutida a parte físicado movimento do pólo
Basta agora calcular, geometricamente, ascomponentes desse movimento, como tambémverificar qual é a matriz de rotação apropriada
Seja , e a latitude astronômica, longitude eazimute observados (instantâneos) na época t
Seja , e A os ângulos correspondentes comrespeito ao pólo terrestre convencional (CIO), deforma que:
representem as correções aos ângulos observados
t t tA
t ttAAA
MOVIMENTO DO PÓLO
Observando a figura, as coordenadas polares foramcolocadas de forma que:
Para a latitude, utilizando o triângulo F-CIO-PI
Pólo
Instantâneo (PI)
Meridiano médio
de Greenwich
Meridiano
astronômico
Círculo vertical
Observador (O)
CIO
t90
90
t
d
py px
tA
A A
alvo
F
td 1 8 0co s
MOVIMENTO DO PÓLO
Depois de algumas manipulações matemáticas:
Utilizando os valores de xp e yp:
se nse ndd tt c o sc o s
tptp se nyx c o s
Pólo
Instantâneo (PI)
Meridiano médio
de Greenwich
Meridiano
astronômico
Círculo vertical
Observador (O)
CIO
t90
90
t
d
py px
tA
A A
alvo
F
MOVIMENTO DO PÓLO
Para o azimute, usando a lei dos senos no triânguloesférico CIO-O-PI, tem-se:
Pólo
Instantâneo (PI)
Meridiano médio
de Greenwich
Meridiano
astronômico
Círculo vertical
Observador (O)
CIO
t90
90
t
d
py px
tA
A A
alvo
F
90
180
sen
sen
dsen
Asen t
MOVIMENTO DO PÓLO
Novamente depois de manipulações matemáticas,tem-se:
se cc o s tptp yse nxA
MOVIMENTO DO PÓLO
Finalmente, para a longitude, basta aplicar a lei dossenos, no triângulo QRM
CIO xp
yp
Pólo
instantâneo
A
t
t
R M
Q
tsen
sen
sen
Asen
90
MOVIMENTO DO PÓLO
Manipulando matematicamente:
Com as últimas 3 fórmulas é possível determinaras correções a latitude, longitude e azimuteastronômico
No entanto, também é possível utilizar a matrizde rotação para calcular a transformação entreos dois sistemas
ta nc o s tptp yse nx
MOVIMENTO DO PÓLO
Para realizar essa transformação, o interessadoprecisa ter a sua disposição os valores de: xp, yp
Greenwich apparent sideral time (GAST, ousimplesmente GST)
Para as coordenadas do pólo, os valores sãofornecidos no Boletim A, produzido pelo IERS,disponível em http://maia.usno.navy.mil/bulletin-a.html
O boletim B também fornece essas informações
As expressões para obtenção do valor de GAST estãodescritas em Seeber (2003)
MOVIMENTO DO PÓLO
Situação geométrica para a transformaçãoA orientação do sistema convencional fixo a Terra érepresentado por (X, Y, Z)CT
Equador
convencional
ZCT
Equador
verdadeiro
ZT
XCT
XT
YCT
YT
yP
xP
GAST
Meridiano
médio
Greenwich
)()()( 312 G A S TRyRxRS pp
A matriz que transforma o sistemainstantâneo para o sistema terrestre
convencional é dada por:
MOVIMENTO DO PÓLO
O eixo ZCT é direcionado ao pólo terrestreconvencional, e o eixo XCT ao meridiano médio deGreenwich
A posição do pólo instantâneo em relação póloconvencional é geralmente descrita pelas coordenadasdo pólo xp e yp
Além disso:
E devido aos ângulos pequenos:
100
0cos
0cos
3 GASTGASTsen
GASTsenGAST
GASTR
1
10
01
10
10
001
10
010
01
12
pp
p
p
p
p
p
p
pp
yx
y
x
y
y
x
x
yRxR
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CEU – Centro de estudos do universo. Disponível em:<http://www.centroastronomico.com.br/boletim/2003/05/index1.html>.Acesso em: 15 jun. 2004.
FILHO, K. S. O.; SARAIVA, M. F. O. Precessão do eixo da Terra. 2003.Disponível em: <http://astro.if.ufrgs.br/fordif/node8.htm>. Acesso em: 15jun. 2004.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física I:Mecânica. 6.ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2002. 277p.
JEKELI, C. Geometric Reference Systems in Geodesy. Ohio StateUniversity, 2002.
SCHWARZ, K. P.; KRYNSKI, J. Fundamental of Geodesy. 1997. 189p.IUGG Reports - The University of Calgary, Calgary.
SEEBER, G. Satellite Geodesy: Foundations, Methods, and Applications.Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2003. 589p.
SYMON, K. R. Mechanics. 3.ed. Addison-Wesley Publishing Company, 1971.639p.
Questões
1) O que é necessário corrigir para transformar de umreferencial celeste para o terrestre e vice-versa?
2) De forma geral porque ocorre precessão, nutação emovimento do pólo?
3) Como a precessão pode ser dividida? Quais as causas?
4) Que fenômeno é causado pelas variações no torquesofrido pela Terra?
5) Em relação a precessão e nutação, qual movimento é delongo e curto período?
6) Por que, além da precessão, ocorre a nutação?
7) Que tipo de fenômeno pode ocasionar o movimento dopólo?
8) Dentre os três movimentos estudados, quais podem sermodelados?
EXEMPLO PRÁTICO
Objetivo: Representar graficamente o movimentodo pólo de 2004 a 2011.
Coordenadas do pólo de 2004 a 2011
Exercício
Plotar as coordenadas do pólo para 3 anos dedados
Ilustrar xp e yp em 2 gráficos: os própriosvalores e sua representação em coordenadaspolares
Data da entrega: 30/agosto
Podem fazer em duplas ou trios
Exercício
Apresentar um breve relatório técnicoexplicando o procedimento utilizado Dados do IERS
Fórmulas Matemáticas
Onde obter os dados de xp e yp?
O boletim B apresenta os dados calculados e oboletim A os dados preditos
Qual usar?