UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

NIELSON VELOSO MEDEIROS

SOLUÇÕES HÍBRIDAS COM USO DE TRANSFORMADAS INTEGRAI S NA ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM MANCAIS DE ESCORA CIRCULAR ES

Orientador: Prof. João Nazareno Nonato Quaresma

BELÉM – PARÁ – BRASIL DEZEMBRO

2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

NIELSON VELOSO MEDEIROS

SOLUÇÕES HÍBRIDAS COM USO DE TRANSFORMADAS INTEGRAI S NA ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM MANCAIS DE ESCORA CIRCULAR ES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química do Instituto de Tecnologia da Universidade Federal do Pará, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Química.

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Desenvolvimento de Processos

ORIENTADOR: Prof. Dr. João Nazareno Nonato Quaresma

BELÉM – PARÁ – BRASIL DEZEMBRO

2014

NIELSON VELOSO MEDEIROS SOLUÇÕES HÍBRIDAS COM USO DE TRANSFORMADAS INTEGRAI S NA ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM MANCAIS DE ESCORA CIRCULARES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química do Instituto de Tecnologia da Universidade Federal do Pará, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Química.

Área de Concentração: Desenvolvimento de Processos

DATA DA AVALIAÇÃO: _____/_____/______

CONCEITO: ______________________

BANCA EXAMINADORA

___________________________________________________ Prof. Dr. João Nazareno Nonato Quaresma

(FEQ – ITEC – UFPA – Orientador)

___________________________________________________ Prof. Dr. Clauderino da Silva Batista

(FEQ – ITEC – UFPA – Membro)

___________________________________________________ Prof. Dr. Cláudio José Cavalcante Blanco

(FAESA – ITEC – UFPA – Membro)

___________________________________________________ Prof. Dr. Jader Riso Barbosa Junior

(DEM – CT – UFSC – Membro)

Mas há outra razão que explica a elevada reputação das Matemáticas, é que elas levam às ciências naturais exatas, certa proporção de segurança que, sem elas, essas ciências não poderiam obter. “Albert Einstein”

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a minha esposa Cibele Britto, aos meus filhos Cauã e Davi Medeiros, ao meu enteado Vitor Guerreiro, aos meus pais José Adilson e Ieda de Fátima Medeiros e aos meus irmãos Thatiana e Bruno Medeiros, os quais sempre me motivaram incansável e imensuravelmente para as conquistas em minha vida.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por ter possibilitado minha existência e por está sempre presente

comigo para tornar possível a finalização de mais esta etapa da minha vida e também pela

oportunidade de ter-me colocado diante de algumas pessoas que, além de especiais, foram

fundamentais para o cumprimento deste trabalho.

Ao Professor Doutor João Nazareno Nonato Quaresma, pela capacidade de orientação

que tornou possível a realização desta dissertação; pela confiança em mim depositada a

desenvolver este trabalho e pela sua extrema paciência, orientação, apoio, dedicação e

companheirismo para alcançar os objetivos da mesma e também por ter despertado em mim o

gosto pela ciência.

Ao Professor Doutor Claudio José Cavalcante Blanco pelas valiosas contribuições dadas

para realização deste trabalho.

Aos Prof. MSc. Evaldiney Monteiro pela contribuição durante o curso.

Ao Prof. Dr. Emanuel Negrão Macêdo pela transmissão de novos conhecimentos e

experiências profissionais durante o curso.

Ao Prof. Dr. Célio Augusto de Sousa pela oportunidade de obtenção de novos

conhecimentos em sua área de atuação profissional.

Aos meus pais José Adilson Noronha de Medeiros e Ieda de Fátima Veloso Medeiros,

responsáveis pela minha criação e educação e que muito contribuíram para minha formação

pessoal e acadêmica;

Aos meus irmãos Thatiana Veloso Medeiros e Bruno Veloso Medeiros pela força e

incentivo durante a realização deste trabalho;

À minha esposa Cibele Jivatmam Guerreiro Holanda Britto, ao meu filho Cauã

Guerreiro Britto Medeiros e ao meu enteado Vitor Breno Guerreiro Silva pela extrema

paciência, força e incentivo durante a realização desta dissertação;

Aos colegas Clauderino, Carlos Célio, Cleber, Elizeu, Jean, Wanderson, Nelson,

Halene e Rui, pelas amizades, pelos auxílios e colaborações na execução deste trabalho;

À bibliotecária do LEQ/FEQ/UFPA, Sra. Maria Ivone da Costa por repassar a

normalização deste trabalho.

Ao Sr. Ribamar Montoril pela atenção, boa vontade e serviços prestados nos momentos de

urgência e necessidade.

À CAPES pela concessão da bolsa de estudos.

RESUMO

O presente trabalho explora a modelagem e solução da equação de Reynolds e simulação

do problema de lubrificação hidrodinâmica em mancais de escora circulares com sapatas de

Rayleigh e sapata fresada. A modelação matemática do problema de escoamento hidrodinâmico

em mancais com a consideração dos termos inerciais centrífugos produz uma versão modificada

da genérica Equação de Reynolds, denominada equação de Reynolds com termos inerciais. Esta

equação é solucionada pelo método da técnica de transformada integral generalizada (GITT),

onde este transforma a equação de Reynolds gerando um sistema de equações ordinárias, infinito

e não-linear para a obtenção da solução analítico-numérica do campo de pressão do filme fluido,

da carga suportada e da potência consumida pelo mancal, onde estes parâmetros de desempenho

dependem da geometria adotada para o mancal. Assim, quatro algoritmos foram originados pelo

sistema transformado, sendo que a diferença entre eles são as geometrias escolhidas para os

mancais, porém todos os códigos computacionais fez uso da forma tradicional da GITT. Em

todos os códigos foram implementados em linguagem FORTRAN 90/95 e solucionados através

da rotina BVPFD da biblioteca do IMSL (1987). A solução para a equação de Reynolds do

referido trabalho expressa por meio do potencial de transferência adimensional P(r,θ), que foi

encontrado para as diversas combinações dos coeficientes adimensionais que constituem os

termos desta equação. Foi verificada a aplicabilidade da técnica através da comparação dos

resultados provenientes do uso da GITT aos valores encontrados pelo método de volumes finitos

(MVF) nos trabalhos publicados por Blanco e Prata, 1998 e 2014. Foi verificado o

comportamento dos campos de pressão variando-se os tamanhos da série obtidos pelos códigos

computacionais. Os resultados apresentam razoáveis convergências.

Palavras-chave: Simulação; Modelagem; Escoamento; Mancal de Escora.

ABSTRACT

This paper explores the modeling and solution of the Reynolds equation and simulate the

problem of hydrodynamic lubrication in bearings of circular anchor shoes with Rayleigh and

milled pad. Mathematical modeling of the problem of hydrodynamic flow in bearings with

consideration of centrifugal inertial terms produces a modified generic equation Reynolds called

Reynolds equation with inertial terms version. This equation is solved by the generalized integral

transform technique (TTIG) method, where it transforms the Reynolds equation system for

generating a common, endless and non- linear equations for obtaining the analytical and

numerical solutions of the field of fluid film pressure, the charge and power consumed by the

bearing, where these performance parameters depend on the geometry adopted for the bearing.

Thus, four algorithms were originated by the transformed system, and the difference between

them are the geometries chosen for the bearings, but all computer codes made use of the

traditional way of TTIG. In all codes were implemented in Fortran 90/95 language and solved by

routine BVPFD of IMSL (1987) library. The solution to said Reynolds equation expressed using

the work dimensionless transfer potential P(r,θ) that was found for various combinations of

dimensionless coefficients that constitute the terms of this equation. The applicability of the

technique was verified by comparing the results from the use of GITT the values found by the

finite volume method (FVM) in a paper published by Blanco e Prata, 1998 e 2014. Behavior of

pressure fields was verified by varying the sizes of the series obtained by computer codes. The

results show reasonable convergence.

Keywords: Simulation; Modeling; Runoff; Bearing anchor.

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

A(t, y) Coeficiente da matriz no sistema (2.19)

A ij coeficiente definido na equação (4.14)

Bij coeficiente definido na equação (4.14)

Cij coeficiente definido na equação (4.14)

Dijk coeficiente definido na equação (4.14)

d(x) coeficiente da equação do termo de dissipação linear

dfr diâmetro da fresa, mm

Ei coeficiente definido na equação (4.14)

Fc força de cisalhamento, N

Fi coeficiente definido na equação (4.14)

f(x) potencial de distribuição inicial

Gij coeficiente definido na equação (4.21)

H espessura do filme de óleo lubrificante, µm

Hij coeficiente definido na equação (4.21)

h1 espessura do filme de óleo lubrificante entre o rebaixo e a parte móvel do mancal, µm

h2 Espessura do filme de óleo lubrificante entre o ressalto e a parte móvel do mancal, µm

I ijk coeficiente definido na equação (4.21)

Ji coeficiente definido na equação (4.21)

k(x) coeficiente da equação do termo de difusão

K i coeficiente definido na equação (4.21)

N número de termos das expansões

Ni norma

Np número de pontos nodais na malha

Nc número de pontos nodais na direção θ, utilizados na discretização do domínio de

solução da equação de Reynolds

Nr número de pontos nodais na direção r, utilizados na discretização do domínio de

solução da equação Reynolds; número de ressaltos do mancal de escora

O Origem do sistema cilíndrico de coordenadas rθz

P(r, θ) potencial de distribuição do campo de pressão, N/m2

P(x, t) termo-fonte na equação

Pc potência consumida pelo mancal, W

Pi pressão adimensional transformada na direção radial

R eixo polar do sistema de coordenadas rθz, relação entre as malhas

r1 raio interno do mancal, mm

r2 raio externo do mancal, mm

T variável representante do tempo

T(x, t) potencial de distribuição

u(x, t, T) vetor velocidade do termo convectivo

Vr velocidade do escoamento de óleo na direção r, m/s

Vz Velocidade do escoamento de óleo na direção z, m/s

Vθ Velocidade do escoamento de óleo na direção θ, m/s

W carga suportada pelo mancal, N

w(x) Coeficiente da equação transiente

X vetor posição no sistema

X variável independente utilizada na apresentação da regra de Leibnitz

y(t) vetor solução do sistema

Z eixo axial do sistema de coordenadas rθz

Símbolos Gregos

Α variável independente utilizada na apresentação da regra de Leibnitz para diferenciação

de integrais

α (x) coeficiente da condição de contorno

β (x) coeficiente da condição de contorno

∆ variação

ϕ (x, t) função fonte do contorno

Φ1, Φ2 limites de integração utilizados na apresentação da regra de Leibnitz para diferenciação

de integrais

µ viscosidade absoluta do óleo lubrificante, kg/MS

µi autovalores

θ eixo angular do sistema de coordenadas rθz

θ1 ângulo do rebaixo do mancal, °

θ2 ângulo do ressalto do mancal, °

νo coeficiente linear difusivo

ρ massa específica do óleo lubrificante, kg/m3

τ tensão de cisalhamento atuante no mancal, N/m2

iψ autofunções

�iψ autofunção normalizada

ω velocidade angular da parte móvel do mancal, rad/s

Índices inferiores

C cisalhante; consumida

Ext externo

Int interno

i, j, k, índices de termos na série

Abreviaturas

EDO Equação Diferencial Ordinária

EDO’S Equações Diferenciais Ordinárias

GITT Técnica da Transformada Integral Generalizada

MVF Método de Volumes Finitos

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Compressor hermético de refrigeração: (a) vista externa, (b) vista interna e (c)

partes internas, (d) elementos do mancal de escora, (e) Malhas existentes no

mancal de escora.................................................................................................. 10

Figura 1.2 Mancal de escora utilizado em compressores de refrigeradores domésticos...... 12

Figura 1.3 Representação da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular.......... 13

Figura 1.5 Representação da sapata fresada para um mancal de escora circular.................. 13

Figura 1.4 Fluxograma dos objetivos do trabalho................................................................. 14

Figura 3.1 Esquema geométrico das dimensões do mancal de escora.................................. 25

Figura 3.2 Domínio de Solução Radial e Circunferencial.................................................... 30

Figura 4.1 Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 4

ressaltos................................................................................................................ 42

Figura 4.2 Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 8

ressaltos................................................................................................................ 42

Figura 4.3 Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 16

ressaltos................................................................................................................ 43

Figura 4.4 Desenho da sapata fresada para um mancal de escora circular........................... 44

Figura 5.1 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para um

mancal com 4 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos

nodais.................................................................................................................... 53

Figura 5.2 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°) para

um mancal de 4 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais............... 54

Figura 5.3 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para um

mancal de 8 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais..................... 55

Figura 5.4 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°) para

um mancal com 8 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais............ 56

Figura 5.5 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para um

mancal de 16 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais................... 57

Figura 5.6 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°) para

um mancal de 16 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais............. 58

Figura 5.7 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para um

mancal fresado, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais............................... 59

Figura 5.8 Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°) para

um mancal fresado, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais........................ 60

Figura 5.9 Comparação dos Métodos MVF (Blanco et. al, 2014) e GITT, da distribuição

da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para um mancal de

escora com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, na posição 11,875 mm................ 60

Figura 5.10 Campo de pressão ao longo da malha XY apresentado em um intervalo de 0-

90 graus: (a) Mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos; (b) Mancal com

sapata de Rayleigh de 8 ressaltos; (c) Mancal com sapata de Rayleigh de 16

ressaltos; (d) Mancal com sapata fresada............................................................. 60

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Quadro esquemático dos procedimentos metodológicos de solução.................. 10

Tabela 5.1 Parâmetros Geométricos dos Mancais de Escora usados na simulação............. 46

Tabela 5.2 Parâmetros Operacionais dos Mancais de Escora usados na simulação............ 46

Tabela 5.3 Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 7,36 µm para um mancal com 4

ressaltos............................................................................................................... 48

Tabela 5.4 Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 9,04 µm para um mancal com 8

ressaltos............................................................................................................... 49

Tabela 5.5 Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 10,45 µm para um mancal com

16 ressaltos.......................................................................................................... 50

Tabela 5.6 Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 10,45 µm para um mancal com

16 ressaltos.......................................................................................................... 51

Tabela 5.7 Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 7,36 µm para um mancal

fresado................................................................................................................. 52

Tabela 5.8 Potência Consumida e h1 em função do número de ressaltos do mancal 61

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. ABORDAGEM GERAL DO TEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2. MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CAPÍTULO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. TRIBOLOGIA – BREVE HISTÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. SIMULAÇÕES DE ESCOAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. TÉCNICA DE TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT) . . . . 28

2.3.1. Formalidades da GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CAPÍTULO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. O PROBLEMA ESTUDADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. FORMULAÇÃO DO MODELO FÍSICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. HIPÓTESES UTILIZADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4. EQUAÇÃO DE REYNOLDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1. Equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2. Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3. Cálculo da Carga Suportada pelo Mancal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.4. Cálculo da Potência Consumida por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

CAPÍTULO 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. MÉTODO DE SOLUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1. SOLUÇÃO VIA GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. PROBLEMA AUXILIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3. DEFINIÇÃO DO PAR TRANSFORMADA-INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4. TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DA EQUAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . 43

4.5. CÁLCULO DO POTENCIAL ( ),P r θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6. ALGORITMO COMPUTACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7. GEOMETRIAS DOS MANCAIS UTILIZADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.7.1. Mancal de Escora Circular Com Sapata de Rayleigh de 4 Ressaltos . . . . . 49

4.7.2. Mancal de Escora Circular Com Sapata de Rayleigh de 8 Ressaltos . . . . . . . 49

4.7.3. Mancal de Escora Circular Com Sapata de Rayleigh de 16 Ressaltos . . . . . . 50

4.7.4. Mancal de Escora Circular Com Sapata Fresada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

CAPÍTULO 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2. O PROBLEMA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1. Análise De Convergência Para GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2. Campos de Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.3. Comparação GITT vs MVF.............................................................. 69

CAPÍTULO 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. CONCLUSÃO E SUGESTÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1. CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2. SUGESTÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

APÊNDICE A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1 – DEMONSTRAÇÃO DA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . 77

APÊNDICE B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.1 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE A ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.2 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE B ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

B.3 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE C ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.4 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE D ijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.5 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE E i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.6 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE F i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.7 – VALORES PARA h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

17

O presente capítulo apresenta uma abordagem geral e simplificada do tema,

caracteriza tanto a motivação quanto os objetivos responsáveis para a elaboração deste

trabalho, mostrando a importância da equação de Reynolds para o estudo de mancais de

escora. Ressalta também a estrutura da presente dissertação.

1.1. ABORDAGEM GERAL DO TEMA

Os efeitos favoráveis ou não ocasionados pelo atrito são provenientes do

movimento relativo entre duas superfícies rígidas em contato através de suas

rugosidades e esforços compartilhados. No entanto, para o referido estudo considera-se

o atrito não desejável, pois este está associado à perda de energia. Portanto, a tendência

é diminuí-lo, principalmente quando se faz uso da lubrificação (substâncias utilizadas

entre duas superfícies em contato), onde esta tem a função de transformar o atrito sólido

entre as superfícies, em atrito fluido, entre uma superfície sólida e um fluido,

consequentemente o atrito fluido é menor que o atrito sólido. Com isto, há também, uma

redução na troca das peças desgastadas e substituídas.

Dentre as diversas aplicabilidades em mancais usados em máquinas industriais,

mostradas a seguir: motores de combustão interna – Indústria de transporte;

compressores em geral – Indústria de máquinas e equipamentos; turbinas hidráulicas de

eixos verticais – Indústria energética; propulsores de navios – Indústria naval; pode-se

destacar a utilidade de compressores herméticos de refrigeração doméstica e comercial.

Através destas máquinas os mancais possui extrema e fundamental importância na

conversão de energia elétrica em energia térmica. Na sociedade atual e moderna estes

sistemas de refrigeração são de imensa utilidade na qualidade de vida da população.

O aperfeiçoamento de tais sistemas têm motivado vários trabalhos tanto em

refrigeração quanto em compressores. Na presente dissertação dar-se-á ênfase ao

fenômeno de compressão, através dos mancais de escora utilizados em compressores

herméticos de refrigeração (refrigeradores, bebedouros, balcões frigoríficos, freezers,

etc.), onde este fenômeno está baseado na equação de Reynolds originada a partir das

equações de Navier-Stokes, a qual será solucionada através do método híbrido

(analítico-numérica).

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

18

1.2. MOTIVAÇÃO

Os compressores de refrigeração são equipamentos indispensáveis para a vida

atual do ser humano, os quais são diretamente responsáveis pela geração de frio nas

residências. A Figura 1.1 apresenta um compressor hermético de refrigeração em

diversas vistas.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Figura 1.1 – Compressor hermético de refrigeração: (a) vista externa, (b) vista interna e

(c) partes internas, (d) elementos do mancal de escora; (e) Malhas existentes no mancal de

escora.

O mecanismo de compressão dos compressores é geralmente composto por um

eixo, por uma biela e por um pistão que possui um pino para conexão. Estes

componentes têm movimentos relativos e por isso precisam de mancais e devido a

questões vinculadas ao custo e ao ruído opta-se pelos mancais hidrodinâmicos.

FONTE: Dissertação Couto, P. R. C., 2006

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

19

O funcionamento adequado dos compressores depende prioritariamente do

funcionamento dos mancais. A ocorrência de falhas durante o funcionamento dos

mancais compromete o desempenho da máquina ou equipamento, pois estes estão

sujeito ao atrito, uma vez que são responsáveis pela transmissão de forças.

Mancal é um suporte de apoio de eixos e rolamentos que são elementos girantes

de máquinas e são classificados em duas categorias, as quais são denominadas de

mancais de deslizamento e mancais de rolamento. Em hipótese alguma se deve afirmar

qual deste é o melhor, pois cada um tem suas qualidades particulares e nenhum destes

satisfaz isoladamente a todas as exigências. Há casos em que apenas mancais de

escorregamento podem ser usados, outros em que somente os de rolamentos constituem

uma boa solução e, finalmente, aqueles em que os dois tipos oferecem solução

satisfatória. Portanto, a decisão depende das propriedades de maior importância para

cada aplicação.

Os mancais desempenham três principais funções, são elas: suportar carga

(dinâmica e estática), fornecer rigidez e amortecimento, e controlar a posição do rotor

(Sternlicht e Lewis, 1968). O movimento relativo entre as superfícies do eixo e do

mancal gera uma pressão hidrodinâmica no filme fluido, dando ao mancal a capacidade

de suportar a carga imposta pelo eixo, podendo também produzir vibrações orbitais de

alta amplitude.

A crescente tendência de se projetarem máquinas de menor peso e com maior

potência tem levado a projetos de rotores mais rápidos e eixos mais flexíveis, os quais

apresentam maiores chances de ter problemas de vibração. Diversos estudos e testes

realizados sobre o comportamento de eixos rotativos mostraram que há uma forte

influência dos mancais no equilíbrio dinâmico das máquinas e na atenuação das

vibrações excessivas (Gunter, 1966).

Muitas pesquisas vêm sendo feitas com o intuito de atender a demanda das

Repartições Industriais na fabricação de mancais com maior capacidade de carga e

melhor estabilidade das máquinas. Entretanto, a melhor resposta para tal demanda são

os mancais hidrodinâmicos, isto é, eles apresentam baixo custo, boa capacidade de

sustentação do eixo, vida útil longa e capacidade de amortecimento.

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

20

O aprofundamento dos estudos em questão tem mostrado que os detalhes

construtivos e características de lubrificação dos mancais, tais como: perfil, folga

diametral, viscosidade do lubrificante, número de bolsas de óleo, pressão do

lubrificante, temperatura do lubrificante, a relação comprimento/diâmetro entre outros,

provocam variações no desempenho dos equipamentos de acordo com as suas condições

de trabalho.

Os mancais hidrodinâmicos são aplicáveis em turbinas, geradores, redutores e

multiplicadores de velocidade, turbo-redutores, ventiladores/ exaustores, motores,

bombas e compressores. Assim sendo, esses mancais cada vez mais exigem uma maior

precisão na coleta de dados e estudos de novos perfis que tragam soluções econômicas

para os novos limites alcançados pela indústria.

No presente trabalho dar-se-á ênfase a análise do comportamento de compressão

empregado em compressores herméticos de refrigeração, os quais utilizam os mancais

de escora. A investigação e a simulação dos fenômenos físicos envolvidos na operação

destes mancais são de extrema importância tecnológica, pois permite avaliar com maior

precisão os dados de construção (ordem de grandeza: micrometros), bem como analisar

os dados comprometidos com o desempenho dos mesmos (carga suportada e potencia

dissipada). A figura 1.1, mostra um desenho esquemático do mancal utilizado em

indústrias.

Figura 1.2 – Mancal de escora utilizado em compressores de refrigeradores domésticos

Fonte: Artigo - Blanco, C. J. C.; Prata,

A. T.; Pessoa, F. C. L. (2014).

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

21

Existe uma relação íntima entre os parâmetros de projeto e dos construtivos, pois

é devido a viscosidade do fluido e a geometria da sapata que surge o efeito

hidrodinâmico, gerando assim, o gradiente de pressão o qual permite ao mancal a

capacidade de suportar carga. O mancal de escora pode suportar mais ou menos carga e

perder mais ou menos potência dependendo do preenchimento da folga que separa a

parte móvel da parte fixa do mancal e dos parâmetros geométricos definidos pela sapata

utilizada. Os mancais de escora a ser explorado neste trabalho são ilustrados nas Figuras

1.2 e 1.3 os quais representam um mancal com geometrias tipo sapatas de Rayleigh com

quatro ressaltos e fresada. São também investigados os mancais com oito e dezesseis

ressaltos.

Figura 1.3 – Representação da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular.

Figura 1.4 – Representação da sapata fresada para um mancal de escora circular.

Fonte: Artigo - Blanco, C. J. C.; Prata,

A. T.; Pessoa, F. C. L. (2014).

Fonte: Artigo - Blanco, C. J. C.; Prata,

A. T.; Pessoa, F. C. L. (2014).

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

22

1.3. OBJETIVOS

O presente trabalho visa modelar a equação de Reynolds com termos inerciais

centrífugos, resolver de forma analítico-numérica a equação de Reynolds com aplicação

da Técnica de Transformada Integral Generalizada (GITT), sendo que a solução

analítica é na direção circunferencial com domínio de [ ]0, 2π e a solução numérica na

direção radial com domínio de [ ]1 2r , r , onde 1r é o raio interno e 2r é o raio externo do

mancal. Tal resolução tem a finalidade de verificar a aplicação da GITT como técnica

de transformação da equação de estudo e compará-la ao Método de Volumes Finitos

utilizado no trabalho de Blanco, Prata e Pessoa (2014). Para solução numérica são

consideradas as geometrias de mancais de escora investigando-se as sapatas de Rayleigh

com 4, 8 e 16 ressaltos e a sapata fresada, a qual é de mais fácil fabricação (Blanco et al.

2014) . O sistema originado pela aplicação da GITT é implementado em um código

computacional solucionado por meio da subrotina BVPFD da biblioteca do IMSL

(1987). É realizada análise de convergência na série e na malha para a distribuição de

pressão. Na Figura 1.4 é apresentado um fluxograma contendo as idéias que originaram

o referido trabalho.

Figura 1.5 – Fluxograma dos objetivos do trabalho.

Problema Físico

Equação de Reynolds com termos centrífugos

Aplicação da G.I.T.T.

Solução do Sistema de EDO'S

Desenvolvimento do Algoritmo

Simulação dos Resultados

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

23

1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO

O capítulo 1 foi desenvolvido com o intuito de apresentar as principais

motivações deste trabalho. No capítulo 2 desenvolveu-se um breve histórico sobre

tribologia e uma revisão bibliográfica em simulações de escoamentos e para aplicações

com a GITT.

O capítulo 3 apresenta a formulação física-matemática do problema e após o uso

das hipóteses simplificadoras demonstra a equação de Reynolds vinculada ao presente

estudo. No capítulo 4 é apresentado, o processo da metodologia de solução via GITT e o

algoritmo computacional.

No capítulo 5 estão descritos os resultados numéricos para a distribuição dos

campos de pressão encontrados a partir das geometrias e parâmetros considerados no

capítulo 4.

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

24

Neste capítulo, é realizado um histórico da equação de Reynolds, apresentando uma revisão

da literatura existente em mancais. Este capítulo aborda, também, os trabalhos publicados sobre as

aplicações da técnica GITT, além dos formalismos pertinentes a GITT.

2.1. TIBOLOGIA - BREVE HISTÓRICO

A palavra tribologia é proveniente das palavras grega tribos que significa atrito, e logos que

significa estudo, de maneira que a tradução resulta no “Estudo do Atrito”.

Em 1966, no Departamento de Educação e Ciência da Inglaterra, ocorrera o primeiro

aparecimento da palavra “Tribologia” que fora definida como "a ciência e tecnologia da interação de

superfícies em movimento relativo e assuntos e práticas relacionados" (JOST, 2006). Embora a

pronuncia atual seja nova, o assunto não é, incluindo os tópicos relativos ao atrito, desgaste e

lubrificação.

A tribologia une as áreas da mecânica, física, química, materiais e os conhecimentos em

lubrificação atrito e desgaste para predizer o comportamento de sistemas físicos. (WINER, 1990)

A descoberta e a formulação dos mecanismos da tribologia são atribuídas ao Russo, Nicolai

Petrov (1836-1920) e aos dois Britânicos, Beauchamp Tower (1845-1904) e Osborne Reynolds

(1842-1912). Eles observaram que o mecanismo de lubrificação não era devido à interação mecânica

de superfícies sólidas, mas sim devido ao filme de fluido que as separava, aspecto fundamental da

lubrificação hidrodinâmica, onde seus fundamentos teóricos e experimentais foram firmemente

estabelecidos num curto período de tempo (1883-1886).

A fixação do conceito de lubrificação hidrodinâmica iniciou-se com Nicolai Petrov, onde este

postulou dois pontos importantes, sendo o primeiro, que a propriedade importante do fluido com

relação ao atrito era a viscosidade e não a densidade, e o segundo que a natureza do atrito em um

mancal hidrodinâmico não é o resultado da interação entre duas superfícies sólidas, mas do atrito

viscoso do fluido entre as superfícies. Em 1883, Petrov propôs uma relação funcional entre força de

atrito e parâmetros de um mancal que é válida até os dias de hoje. Por sua vez, o engenheiro

Beauchamp Tower descobriu a relação entre a força de atrito e a capacidade de carga num mancal.

Este último era assistente de pesquisa de cientistas, tal como Fraud e Lord Rayleigh. Tower

organizou um comitê de pesquisas sobre atrito de alta velocidade em mancais de estradas de ferro.

Com isto, entre os anos 1883 e 1884, conduziu-se à descoberta da presença da pressão hidrodinâmica

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

25

em filmes de fluidos em mancais. A lubrificação hidrodinâmica é considerada uma das áreas mais

importantes da tribologia. Este tipo de lubrificação ocorre quando duas superfícies em movimento

relativo são separadas por uma película de um fluido lubrificante. Apesar da conceituação e

caracterização ter sido atribuída aos pesquisadores Petrov, Tower e Reynolds, mas foi o último quem

traduziu os resultados em linguagem matemática, desenvolvendo uma equação de derivadas parciais

(EDP), denominada equação de Reynolds, a qual se tornou a base para a grande maioria dos

desenvolvimentos nesta área, gerando um grande número de pesquisas até os dias de hoje. Esta EDP

foi obtida a partir de algumas simplificações nas equações de Navier-Stokes. (DUARTE JR., 2005)

Em 1918, Lorde Rayleigh iniciou o estudo da otimização de mancais de escora de sapatas

setoriais. Desde então surgiram vários trabalhos que objetivaram a criação de técnicas analíticas e

numéricas para a determinação da geometria que forneça parâmetros operacionais ótimos tais como

carga suportada, potência dissipada, vazão de lubrificante, etc. (BLANCO et al., 1998 e 2014)

Em 1986, Dowson e Pinkus publicaram dois artigos muito interessantes, onde o primeiro

relata as origens da teoria da lubrificação e suas dificuldades características, e o segundo sobre a

teoria em si, atingindo desde a origem até as linhas de pesquisa atuais. O trabalho relatou o estímulo

para a solução da equação diferencial proposta por Reynolds para as possíveis configurações

geométricas de mancais hidrodinâmicos. (VIEIRA, 2011)

2.2. SIMULAÇÕES EM MANCAIS

Os trabalhos mais relevantes associados à presente dissertação serão revisados a seguir:

Gross (1962) efetuou a comparação entre a sapata de Rayleigh e uma sapata híbrida, formada

por uma plano inclinado e uma sapata de Rayleigh para fluidos incompressíveis, concluindo que a

segunda possui menos capacidade de suportar carga do que a primeira.

Maday (1968) ao fazer uso do cálculo variacional mostrou que para um mancal 1D

(unidimensional) operado a gás, a geometria que possui maior capacidade de suportar carga é aquele

com a sapata híbrida.

Chow et al. (1970) utilizaram fluidos compressíveis para resolver a equação de Reynolds 2D

(bidimensional) pelo método das diferenças finitas. Mostraram através da tentativa e erro que o

mancal de escora lubrificado a gás com uma geometria híbrida pode ter uma maior capacidade de

suportar carga do que um mancal com geometria espiralada, de acordo com o modelo e as condições

de investigação.

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

26

Rohde (1972) usando formulação variacional determinou o perfil do filme de óleo

incompressível que minimiza o coeficiente de atrito e a força de atrito para uma dada carga. Em

1974, este mostrou que um mancal com sapata de Rayleigh suporta uma carga menor do que aquele

possuidor da sapata com degrau trapezoidal.

Constantinescu et al. (1976) observaram que o efeito da força de inércia provocada pela

presença do ressalto de mancais pode ser tanto pelo aumento quanto pela queda de pressão, isto é,

dependendo das condições do escoamento na entrada do ressalto, há uma baixa pressão quando o

escoamento é acelerado, enquanto que há uma alta pressão quando o escoamento é desacelerado.

Bagci et al. (1983) solucionaram a equação da lubrificação 2D no plano cartesiano, para um

fluido incompressível, com fuga do lubrificante pela lateral de um mancal de escora. Mostraram que

uma sapata cujo perfil é uma função quadrática possui maior capacidade de suportar carga do que a

sapata de Rayleigh.

Bourgin et al. (1985) otimizaram as geometrias das sapatas de Rayleigh em termos da

capacidade de carga a suportar e da potência dissipada, após análise de alguns modelos de fluidos

não newtonianos aplicados as referidas sapatas.

Someya (1989) analisou uma das propriedades de mancais hidrodinâmicos, o desacoplamento

entre as duas direções ortogonais. E confirmou que tal desacoplamento permite que os movimentos

horizontal e vertical do rotor, não influenciam um ao outro, o que não ocorre com outros tipos de

mancal. Este fato se justifica pela capacidade de rotação das sapatas, que têm liberdade para se

ajustar às mais diferentes condições de operação de carregamento do mancal.

Kang et al. (1996) utilizaram uma solução com Método de Volumes Finitos (MVF) com

transformação de coordenadas para alinhar a malha com as descontinuidades do filme de óleo.

Anteriormente, Kogure et al. (1983) utilizaram o mesmo método para uma malha não coincidente

com a descontinuidade do filme de fluido. Desta forma, os fluxos de óleo nos Volumes de Controles

(VC) foram calculados como sendo a média dos fluxos em ambos os lados de cada descontinuidade.

Arghir et al. (2002) utilizaram o MVF para o cálculo da distribuição de pressão em mancais

do tipo axiais com descontinuidades na espessura do fluido. A abordagem consistiu numa análise 1D

para os volumes de controles. Para permissão da inclusão das descontinuidades, tiveram que

considerar a equação de Bernoulli, para analisar a variação de pressão que ocorre nas

descontinuidades de fluido.

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

27

Em 2003, Zhu e Zhang propuseram calcular os coeficientes de rigidez e amortecimento

através do método de perturbações.

Jang et al. (2006) utilizaram o Método dos Elementos Finitos (MEF) no estudo da dinâmica

de um arranjo com mancais do tipo axiais e radiais em um disco rígido de computador.

Melo (2010) considerou como hipóteses simplificadoras um fluido newtoniano, isoviscoso e

incompressível para a determinação da equação de Reynolds. Encontrou uma solução clássica

analítica desta equação a partir das simplificações efetuadas para dois casos especiais de mancais

estudados, os curtos (solução de Ocvirk), e os infinitamente longos (solução de Sommerfeld). E

utilizou o Método de Diferenças Finitas para a solução numérica da mesma equação, com a

finalidade de obter o campo de pressão no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito

rotor/mancal, o coeficiente de atrito e o ângulo de atitude do mancal.

Vieira (2011) utilizou o MVF para solucionar a equação de Reynolds em coordenadas polares

para mancais axiais submetidos à lubrificação hidrodinâmica, obtendo os valores para distribuição de

pressão, carga suportada pelo mancal e coeficientes de rigidez. Além disto, utilizou o mesmo método

para resolver o balanço de fluxo em cada volume de controle, auxiliado pela equação de Bernoulli,

com o intuito de permitir uma análise para descontinuidades do filme fluido. E os parâmetros tais

como: área plana ao fim de cada segmento do mancal, espessura do filme de óleo e viscosidade

foram otimizados para análise dos valores encontrados nos coeficientes de rigidez e amortecimentos.

Miranda (2012) simulou computacionalmente diferentes tipos de rotores compostos por eixo

flexível, discos massivos e mancais rígidos ou hidrodinâmicos, com perfis circulares ou elípticos.

Utilizou o MEF para resolver a equação de Reynolds para fluidos incompressíveis, com perturbação

linear para se calcular os coeficientes dinâmicos de força dos mancais cilíndricos e elípticos. As

equações de movimento utilizadas são integradas usando-se o Método de Newmark a fim de se obter

a resposta no tempo.

Santos et al. (2012) simularam computacionalmente mancais radiais hidrodinâmicos.

Utilizaram a GITT para resolver a equação de Reynolds e os resultados obtidos comparam com os

apresentados nas literaturas, a fim de demonstrar a consistência dos resultados finais e a capacidade

da abordagem GITT em lidar com problemas de mancais radiais.

Blanco et al. (2014) utilizaram a equação de Reynolds com a incorporação de termos inerciais

com solução através do MVF, para os modelos de mancais de escora com sapata de Rayleigh (para 4,

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

28

8 e 16 ressaltos) e sapata fresada. Neste caso, o problema de otimização foi resolvido pelo Método de

Multiplicadores de Lagrange.

Vale ressaltar aqui, que a abordagem feita por Blanco e Prata (1999) é a base para a

modelagem matemática e numérica utilizada na referida dissertação.

2.3. TÉCNICA DE TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL GENERALIZADA (GITT)

O desenvolvimento de técnicas de soluções de sistemas de equações diferenciais parciais

(EDP) que controlam problemas de convecção-difusão culminou com o surgimento da técnica de

transformação integral clássica (CITT) fundamentada na separação de variáveis e formalizada com a

publicação de Mikhailov e Özisik (1984). É aplicada na busca de solução analítica de problemas de

difusão linear. Porém, problemas não transformáveis pela CITT propiciaram o avanço gradativo das

ideias da técnica combinada aos problemas apresentados por Özisik e Murray (1974). Surgia então, a

técnica da transformação integral generalizada (GITT). A GITT foi desenvolvida para ter aplicação

estendida a classe de problemas subdivididos nas categorias:

� Problemas com equação de coeficiente variável – quando os coeficientes da equação

diferencial parcial são transientes.

� Problemas com coeficiente da condição de contorno variável – quando os coeficientes da

equação da condição de contorno são transientes.

� Problemas com contorno variáveis – quando a posição da condição de contorno varia com

o tempo, problemas com fronteira móvel, ou quando o domínio é irregular com respeito

ao sistema de coordenada considerado. Problemas de mudança de fase e de oxidação são

exemplos de fronteira móvel, escoamento de fluido e transferência de calor em dutos

irregulares.

� Problemas que envolvam dificuldades nos problemas auxiliares – atribuem dificuldades

computacionais e estão presentes na literatura, tais como:

• Problemas de Sturm-Liouville com transformada de Laplace variável;

• Problemas de Sturm-Liouville com variáveis complexas;

• Sistemas não separáveis de Sturm-Liouville;

• Problemas de autovalor não-clássico.

� Problemas não-lineares – quando o termo fonte depende do potencial a ser obtido. Sendo

aplicada a fenômenos radioativos, difusão de calor com condutividade variável,

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

29

problemas acoplados, problemas de convecção, difusão-convecção, camada limite e

equação de Navier-Stokes.

A GITT é uma metodologia de estrutura híbrida (analítico-numérica) que segundo Macêdo

(1998) tem como ideia básica relaxar a necessidade de se encontrar uma transformação integral exata

do problema. Segundo Cotta (1993) outro excelente aspecto deste método é a extensão às situações

multidimensionais, com um crescimento moderado do esforço computacional, em relação as

aplicações unidimensionais. A natureza híbrida é responsável por este comportamento, onde a parte

analítica da solução é aplicável na variável independente e a tarefa numérica é sempre reduzir, por

integração, a um sistema diferencial ordinário de uma única coordenada cujos passos básicos da

técnica são:

i) Escolher o problema auxiliar com base nos termos difusivos da formulação original, que

contenham informações a respeito da geometria e da coordenada a ser eliminada;

ii) Solucionar o problema auxiliar, obtendo as autofunções, autovalores, normas e propriedade

de ortogonolidade;

iii) Desenvolver o par transformada-inversa através da propriedade de ortogonalidade;

iv) Transformar o sistema diferencial parcial em um sistema diferencial ordinário, infinito e

acoplado;

v) Resolver numericamente o sistema diferencial ordinário, depois de truncar o sistema infinito

originado na N-ésima linha e coluna, com ordem suficiente para atingir a acurácia prescrita.

O sistema é resolvido numericamente através das subrotinas como as de pacotes comerciais

como o IMSL (1987);

vi) Utilizar a fórmula de inversão para a construção do potencial original.

2.3.1. Formalidades da GITT

Considere uma formulação geral de um problema transitente com termos convectivo-difusivo

definido na região V com condições de contorno na superfície S, onde os efeitos convectivo e

difusivo são não-lineares. Então temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,T , , , , 0

T tw u t T t LT t P t V t

t

∂+ ⋅∇ = + ∈ >

∂x

x x x x x x (2.1)

com condições inicial e de contorno dados, respectivamente, por

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

30

( ) ( ),0T f V= ∈x x x (2.2)

( ) ( ),0 , 0BT t S tφ= ∈ >x x x (2.3)

onde os operadores da equação são:

( ) ( )L k d= −∇ ∇ +x x (2.4)

( ) ( ) ( )B kα β ∂ = + ∂ x x x

n (2.5)

onde n é o vetor normal à superfície S.

Aplicando os formalismos estabelecidos pela GITT, o seguinte problema auxiliar é definido como:

( ) ( ) ( )2i i iL w Vψ µ ψ= ∈x x x x (2.6)

com condição de contorno

( ) 0iB Sψ = ∈x x (2.7)

onde ( )iψ x são autofunções correlacionadas aos autovalores ( )'i sµ .

O par transforma-inversa é definido

� ( ) ( ) � ( ) ( ) ( ),i i

V

T t w T t dv Transformadaψ= ∫ x x x (2.8)

( ) � ( ) � ( ) ( )1

, i ii

T t T t Inversaψ∞

=

=∑x x (2.9)

onde a autofunção normalizada � ( )iψ x é dada por

� ( ) ( )ii

iN

ψψ =

xx (2.10)

e a integral de normalização, é:

( )2i i

V

N dvψ= ∫ x (2.11)

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

31

A transformação integral da equação (2.1) é obtida através da aplicação do operador � ( )i

V

dvψ∫ x e

obtém-se assim:

� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) � ( )2, , , 0i

i i i i

V

dT tu t T T t dv T t g t t

dtψ µ+ ⋅∇ + = > ∫ x x x x (2.12)

com 1, 2, 3, ...i =

onde

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )� ( ),

, , ii i i

V S

T tg t P t dv T t ds

ψψ ψ

∂ ∂= + −

∂ ∂ ∫ ∫

x xx x x x

n n (2.13)

� ( ) ( ) ( ) ( )� ( )*

, , , ,i ij jj iV

u t T T t dv a t T T tψ∞

=

⋅∇ = ∑∫ x x x (2.14)

onde

( ) � ( ) ( ) � ( )*

, , , ,ij i i

V

a t T u t T t dvψ ψ = ⋅∇ ∫ x x x (2.15)

A equação (2.15) é rescrita, na forma mais compacta como:

� ( ) ( )� ( ) � ( ), 0i

ij j ij i

dT ta t T T t g t t

dt

∞

=

+ = >∑ (2.16)

Transformando a condição inicial através do operador ( )i

V

dvψ∫ x , resulta em:

� ( ) � ( ) � ( ) ( )0i i i

V

T f w f dvψ= = ∫ x x x (2.17)

onde

( ) ( ) ( )*

2 1,, , ;

0,ij ij i ij ij

se i ja t T a t T x

se i jµ δ δ

== + = ≠

(2.18)

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

32

A equação (2.16) origina um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias não-lineares

acopladas para os potenciais transformados � 'iT s. Para fins computacionais, a equação (2.16) é

truncada então na N-ésima coluna e linha, com N suficientemente grande para a convergência

desejada. O sistema truncado é escrito da seguinte forma matricial:

( ) ( ) ( ) ( )' , 0t t t t t+ = >y A y y g (2.19)

( )0 =y f (2.20)

onde

( ) � ( ) � ( ) � ( ){ }1 2' , ,...,T

Nt T t T t T t=y (2.21)

( ) ( ){ }, ,T

ijt a t T=A y (2.22)

( ) � ( ) � ( ) � ( ){ }1 2, ,...,T

Nt g t g t g t=g (2.23)

� � �{ }1 2, ,...,T

Nf f f=f (2.24)

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

33

CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

33

Este capítulo foi elaborado a partir do capítulo 2 da dissertação de mestrado de Claudio

Blanco, a qual fora registrada em 1998 com o título, “Otimização de Mancais de Escora Circulares

com Sapatas Planas”, na Universidade Federal de Santa Catarina.

3.1. O PROBLEMA ESTUDADO

Os problemas de engenharia envolvendo mancais, em específico o de escora, pertencem a

teoria da lubrificação hidrodinâmica, onde suas formulações matemáticas e físicas foram propostas,

primeiramente, por Reynolds (1886). Tal teoria pertence a Mecânica dos Fluidos, pois a equação

básica da lubrificação provem das equações de Navier-Stokes em conjunto com a equação da

conservação da massa. Para se analisar problemas de lubrificação hidrodinâmica busca-se uma

equação diferencial, cuja solução fornece o campo de pressão no filme fluido que separa as partes fixa

e móvel do mancal. Ao se integrar este campo de pressão determina-se a carga que o referido mancal

pode suportar.

A equação diferencial parcial da pressão é denominada de equação de Reynolds, que é usada

normalmente desprezando-se os termos inerciais (Pinkus e Sternlicht, 1961). No presente trabalho os

termos inerciais centrífugos serão considerados e a equação diferencial da pressão será denominada

de equação de Reynolds com termos inerciais centrífugos. (Blanco et al., 1998/2014)

3.2. FORMULAÇÃO DO MODELO FÍSICO

Figura 3.1 – Esquema geométrico das dimensões do mancal de escora.

Fonte: Artigo - Blanco, C. J. C.; Prata,

A. T.; Pessoa, F. C. L. (2014).

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

34

O esquema apresentado na Figura 3.1 faz referencia ao mancal de escora estudado destacando-

se suas partes fixa e móvel, bem como as características de suas dimensões: raio interno ��, raio

externo ��, ângulo do rebaixo ��, ângulo do ressalto �� e espessura do filme de óleo lubrificante ℎ. A

pressão interna ��� e a pressão externa �� são conhecidas. O sistema de coordenadas adotado para

análise do problema é o sistema cilíndrico (�,�,�), onde a referencia para a coordenada z é a parte

móvel do mancal que acompanha seu movimento axial, enquanto a parte fixa é a referencia para as

coordenadas � e �.

3.3. HIPÓTESES UTILIZADAS

Para obtenção da equação de Reynolds com termos inerciais e centrífugos, assume-se as

seguintes hipóteses simplificativas:

i. Desprezam-se os efeitos das forças de campo.

ii. As forças de inércia são despresíveis, exceto a centrífuga.

iii. A pressão não varia na direção da folga (�), � = �(�, �). iv. Condição de não deslizamento do óleo lubrificante nas superfícies sólidas.

v. Escoamento laminar.

vi. Fluido newtoniano.

vii. Viscosidade constante.

viii. Fluido incompressível.

ix. Regime permanente

Tais hipóteses são normalmente utilizadas em problemas desta natureza.

3.4. EQUAÇÃO DE REYNOLDS

3.4.1. Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas para densidade e viscosidade

constantes são:

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

35

Componente �:

( )

2

2 2 2

2

2 2

1 1

2

rr

r r r rr z r

r

VrV

V VV V V V P r r r rV V g

t r r r z r V V

r z

θ θ

θ

θρ ρ µθ

θ

∂∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂

(3.1)

Componente �:

( )

2

2 2

2

2 2

1 11

2r

r z

r

VrV

V V V V V V V P r r r rV V g

t r r r z r VV

r z

θθ

θ θ θ θ θ θθ

θ

θρ ρ µθ θ

θ

∂∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + + ∂ ∂

(3.2)

Componente �:

2 2 2

2 2 2

1 1z z z z z z zr z z

V VV V V V V V VPV V g r

t r r r z z r r r r zθ θρ ρ µ

θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ + + − + = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.3)

Considerando as hipóteses simplificativas relacionadas anteriormente para a geometria

apresentada na Figura 3.1, obtêm-se as seguintes expressões para as equações de Navier-Stokes nas

direções � e �, respectivamente:

2 2

2rV VP

r r zθρ µ ∂∂− = +

∂ ∂ (3.4)

2

2

10

VP

r zθµ

θ∂∂= − +

∂ ∂ (3.5)

Integrando-se as equações (3.4) e (3.5) na direção da espessura do filme de óleo (direção � conforme Figura 3.1) e usando as condições de contorno abaixo relacionadas,

1 2 0 0 rz e r r r V r e Vθ ω= ≤ ≤ → = = (3.6)

1 2 0 0 rz h e r r r V e Vθ= ≤ ≤ → = = (3.7)

Em 0z = o óleo lubrificante possui a velocidade da parte móvel do mancal, enquanto que em

z h= (parte fixa do mancal), o fluido é considerado em estado de repouso.

Portanto, obtém-se para as velocidades ��(�, �, �) e ��(�, �, �) as equações:

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

36

( )

( )2

6 5 2 4 52 2

52 4 3 3

2 2 4 32

2

12 6 5

240

1 310 10 3

2 60

46 3

12

r

Pz hz h z h z

r

P P zV z hz z hz h z

r r h

r z zz hz

h h

µ θρ ω

µ µ µ θ

ω

∂ − − + − ∂ ∂ ∂ = − + + − + − ∂ ∂ − − + −

(3.8)

( )211

2

P zV z hz r

r hθ ωµ θ

∂ = − − − ∂ (3.9)

A equação (2.8) da velocidade �� foi obtida após a substituição da equação da velocidade ��

dado em (2.9) na versão integrada da equação (2.4). (Ver demonstração no APÊNDICE A)

Considerando agora a equação da conservação da massa simplificada pelas hipóteses

apresentadas anteriormente, tem-se

( ) ( ) ( )1 10r zrV V V

r r r zθθ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

(3.10)

Integrando-se a equação (2.10) de0z = a z h= , resulta em,

( ) ( ) ( )0 0 0

1 10

h h h

r zrV dz V dz V dzr r r zθθ

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (3.11)

Aplicando a regra de Leibniz1 para diferenciação de integrais em cada uma das parcelas da

equação (2.11), tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 00

, ,0 0 , ,h h

r r r r

d drV dz rV dz rV r rV r h h

r r dr drθ θ

↓ ↓↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0 0

h h

r rrV dz rV dzr r

∂ ∂=∂ ∂∫ ∫ (3.12)

1A regra de Leibniz para diferenciação de integrais:

���� �(�, �)��

��(�)

��(�)= � ��

�� ����(�)

��(�)− �(��, �) ����� + �(��, �)

�����

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

37

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

, ,0 0 , ,h h

r

d dV dz V dz V r V r h h

d dθ θ θ θ

ω

θ θθ θ θ θ↓ ↓

↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0 0

h h

V dz V dzθ θθ θ∂ ∂=

∂ ∂∫ ∫ (3.13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 00

, ,0 0 , ,h h

z z z z

d dV dz V dz V r V r h h

z z dz dzθ θ

↓ ↓ ↓↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0 0

0h h

z zV dz V dzz z

∂ ∂= =∂ ∂∫ ∫ (3.14)

Substituindo-se as equações (3.12), (3.13) e (3.14) na equação (3.11) e, posteriormente

substituindo, as equações (3.8) e (3.9) na equação resultante, tem-se,

27 5 3 2 2 33

2 2

3 36

280 10 10

P h P h P h r h P hrh r

r r r r

ω ωρ µ ωµ θ µ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.15)

A equação (3.15) é bastante semelhante à equação de Reynolds clássica (Cameron, 1966,

Pinkus e Sternlicht, 1961), porém incluindo os efeitos inerciais centrífugos, e por isso chama-se

equação de Reynolds com termos inerciais centrífugos, isto é, no presente trabalho.

Diferentemente da equação de Reynolds clássica, a equação (3.15) é não linear devido à

existência do termo 2

P

θ∂ ∂

. A influência deste termo sobre a equação é, no entanto, pequena devido

as termos que o multiplicam, pois a espessura do filme de óleo lubrificante é da ordem de

micrômetros ( )mµ e está elevado à sétima potência; todas as variáveis constantes da equação (3.15)

estão listadas na nomenclatura. Embora a equação (3.15) seja de fácil obtenção, tudo indica que a

primeira vez que tal equação tenha sido utilizada foi em Oliveira e Prata (1992).

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

38

3.4.2. Condições de Contorno

A equação de Reynolds com termos inerciais centrífugos apresentada anteriormente é uma

equação elíptica na direção radial ( )r e axial ( )θ e, portanto, precisa de duas condições de contorno

para o raio e logicamente duas para o ângulo teta para que possa ser resolvida.

Na direção radial as condições de contorno são:

1r r= e int0 2 P Pθ π≤ ≤ → =

e (3.16)

2r r= e ext0 2 P Pθ π≤ ≤ → =

Considerar-se-á, no presente trabalho, int 0extP P= = .

Para a direção axial a condição de contorno a ser adotada é a de escoamento periódico

(Patankar et al., 1977), isto é,

( ) ( ), , 2P r P rθ θ π= + (3.17)

As referidas condições contorno são aplicadas na equação de Reynolds apresentada em (2.15),

cujo domínio de solução é apresentado na Figura 3.2. Para a direção axial considera-se a simetria

apresentada por um mancal de escora com quatro ressaltos e resolve-se apenas para um ressalto.

Um fato a ser observado é que o óleo ao escoar do ressalto para o rebaixo experimenta uma

abrupta expansão de área o que resulta em grande depressão. Esta depressão pode levar a valores bem

menores do que a pressão ambiente dando origem ao fenômeno de cavitação do filme de óleo (Santos,

1995 e Santos e Prata 1997). No entanto, neste trabalho, sempre que a pressão assumir valores

negativos a metodologia arbitrará 0 (zero) como sendo o valor da pressão.

Figura 3.2 – Domínio de Solução Radial e Circunferencial

Fonte: Dissertação - Blanco, C. J. C.

(1998).

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

39

Tal prática é muito utilizada em problemas de cavitação e corresponde ao modelo de cavitação

associado à condição de Gümbel (Santos e Prata, 1997).

3.4.3. Cálculo da Carga Suportada pelo Mancal

A carga suportada pelo mancal é o resultado da integração do campo de pressão, ao longo do

domínio de solução, advindo da solução da equação (3.15).

( )2

1

2

0

,r

r

W r P r dr dπ

θ θ= ×∫ ∫ (3.18)

3.4.4. Cálculo da Potência Consumida por Atrito

A potência consumida pelo atrito é o produto da força cisalhante no mancal pela velocidade

linear,

c c cP F v F rω= × = × × (3.19)

Por sua vez a força de cisalhamento apresentada na equação (3.19) é dada por,

2

1

2

0

r

c

r

F r dr dπ

τ θ= ×∫ ∫ (3.20)

onde a tensão de cisalhamento segue dada por,

0z

V

zθτ µ

=

∂= − ×∂

(3.21)

No presente trabalho, o cálculo da tensão de cisalhamento se dá a partir da superfície da parte

móvel do mancal. Após a derivação de Vθ dada pela equação (3.9) e substituindo z=0 na equação

resultante e retornando à equação (3.21) tem-se:

2

h P r

r h

µωτθ

∂= × +∂

(3.22)

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

40

Substituindo-se (3.22) em (3.20) e o resultado em (3.19) tem-se,

2 2

1 1

2 2 32

0 02

r r

c

r r

P rP h r dr d dr d

h

π πω θ µω θθ

∂= × × +∂∫ ∫ ∫ ∫ (3.23)

Ao solucionar-se a equação (3.23) obtém-se a potência consumida ou dissipada em mancais de

escora circulares. Convém observar que a equação acima incorpora o atrito viscoso associado ao

escoamento devido ao gradiente de pressão, bem como o atrito associado ao escoamento de Couette,

primeiro e segundo termos do lado direito, respectivamente.

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

41

Neste capítulo abordar-se-á a transformação do sistema descrito pela equação (3.15) através

da utilização da técnica de transformada integral generalizada (GITT), assim como os padrões

pertencentes ao método. O referido capítulo também descreve uma síntese do algoritmo

desenvolvido que originou o código computacional de escoamento em mancais de escora via GITT.

4.1. APLICAÇÃO DA GITT

O método de solução do problema mostrado na seção 2.3 do capítulo 2 se dá através da

técnica de transformada integral generalizada conforme as etapas descritas a seguir:

Tabela 4.1 – Quadro esquemático dos procedimentos metodológicos de solução.

ETAPA PROCEDIMENTO

Primeira

Obter um problema auxiliar que contenha o máximo de informações possível do problema original, em relação à geometria e aos operadores nas coordenadas a serem eliminadas na transformação integral.

Segunda

Solucionar o problema auxiliar com a finalidade de se obter as autofunções, autovalores e normas.

Terceira Desenvolver o par transformada-inversa

Quarta Transformar o problema com EDP em um sistema com EDO infinito.

Quinta

Obter os campos transformados, a partir do truncamento do sistema da “Etapa 4” em uma ordem suficientemente grande. O sistema de EDO’S resultante será resolvido numericamente através de rotinas da biblioteca IMSL do software FORTRAN 90.

Sexta Determinar o campo original em forma analítica, utilizando a fórmula de inversão.

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

42

4.2. PROBLEMA AUXILIAR

Para a transformação da equação (3.15) se faz necessário definir o seguinte problema auxiliar

apropriado:

Problema de Autovalor:

( ) ( )

22

2

ΨΨ 0 0

2i

i i

d

d

θ πµ θ θθ

+ = < < (4.1)

Condições de contorno:

( ) ( )Ψ 0 Ψ 2 0i i π= = (4.2)

e

5 Ψ Ψ 0

2 2i i

π π = =

(4.3)

A solução da equação (4.1) é encontrada analiticamente através de:

( ) ( )Ψi iSenθ µθ= (4.4)

e os autovalores são raízes da equação:

( ) 2 , 1, 2, 3, ...i iSen i iµθ µ⇒ = = (4.5)

( )iψ θ e iµ são respectivamente as autofunções e os autovalores.

A propriedade de ortogonalidade é satisfeita através de:

( ) ( )2

0

0; Ψ Ψ

; i ji

i jd

N i j

π

θ θ θ≠

= =∫ (4.6)

A integral de normalização é

( )2

2

0

Ψ4i iN d

π

πθ θ= = ∫ (4.7)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

43

onde iN é a norma.

4.3. DEFINIÇÃO DO PAR TRANSFORMA-INVERSA

Define-se a transformada como:

( ) � ( ) ( )2

0

, iiP r P r d

π

ψ θ θ θ= ∫ (4.8)

E a inversa como:

( ) � ( ) ( )1

, i ii

P r P rθ ψ θ∞

=

=∑ (4.9)

A autofunção normalizada é então definida como:

� ( ) ( )ii

iN

ψψ

θθ = (4.10)

4.4. TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DA EDP

A metodologia de transformação da equação (3.15) consiste em multiplicar-se a equação pela

autofunção � ( )iψ θ e em seguida integrar-se ao longo do domínio 0,2

π

em θ ,

27 5 3 2 23

2 22

30

3 3

280 10 10

6

P h P h P h rrh

r r rd

h P hr

r

π ω ωρµ θ µ θ

θ

µ ωθ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂

∫ (4.11)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

44

Ao se desenvolver as regras de derivação em r e θ e em seguida, em cada termo resultante,

aplicar-se a integral na equação (4.11), tem-se:

� ( ) ( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )

� ( ) ( ) ( ) � ( ) ( )

� ( ) � ( ) � ( ) ( )

2 22 2 23 3 5

20 0 0

222 27 7

3 40 0

2 2 23 3

20 0 0

, , ,1

, , ,3 3

14 14

,16 6

i i i

i i

i i i

P r P r P rh d h d h d

r r r r r

P r P r P rh d h d

r r r

P rdhh d d h d

d r

π π π

π π

π π π

θ θ θαψ θ θ ψ θ θ ψ θ θθ

θ θ θα αψ θ θ ψ θ θθ θ θ

θα ψ θ θ ψ θ θ ψ θ θ

θ θ θ

∂ ∂ ∂= − −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ + − ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(4.12)

Substituindo-se o potencial ( ),P r θ da equação (4.12) pela inversa citada na equação (4.9),

vem:

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) � ( ) ( )

� ( ) � ( ) ( ) � ( ) � ( )

22 23 3

21 10 0

2 25 3

21 0 0

1

1' ' '

ij ij

ij ij

j ji j i j

j j

A A

ji j i j

j

B C

d P r d P rh d h d

dr r dr

d P rh d h d

r dr r

π π

π π

ψ θ ψ θ θ ψ θ ψ θ θ

α ψ θ ψ θ θ ψ θ ψ θ θ

∞ ∞

= =

∞

=

= −

− −

∑ ∑∫ ∫

∑ ∫ ∫

14444244443 14444244443

14444244443 144442444 3

( )

� ( ) � ( ) � ( ) ( ) ( )

� ( ) � ( ) � ( ) ( ) ( )

� ( ) � ( )

1

27

31 1 0

27

41 1 0

2 23

0 0

3' '

14

3' '

14

6 6

ijk

ijk

i i

jj

ki j k j

j k

D

i j k k jj k

D

i i

E F

P r

d P rh d P r

r dr

h d P r P rr

dhh d d

d

π

π

π π

α ψ θ ψ θ ψ θ θ

α ψ θ ψ θ ψ θ θ

α ψ θ θ ψ θ θθ

∞

=

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

+

−

+ +

∑

∑∑ ∫

∑∑ ∫

∫ ∫

4

1444442444443

1444442444443

1442443 1442443

(4.13)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

45

Reescrevendo a equação (4.13) em função dos coeficientes, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 21 1 1 1

3 41 1 1 1

1 1

3 36 6

14 14

j j jij ij ij ij j

j j j j

kijk j ijk k j i i

j k j k

d P r d P r d P rA A B C P r

dr r dr r dr r

d P rD P r D P r P r E F

r dr r

α

α α α

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

= − − −

+ − + +

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑∑

(4.14)

onde os coeficientes ijA , ijB , ijC , ijkD , iE e iF são dados por:

� ( ) � ( )2

3

0

i jijA h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (4.15)

� ( ) � ( )2

5

0

'i jijB h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (4.16)

� ( ) � ( )2

3

0

' 'i jijC h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (4.17)

� ( ) � ( ) � ( )2

7

0

' 'i j kijkD h d

π

ψ θ ψ θ ψ θ θ= ∫ (4.18)

� ( )2

3

0

iiE h d

π

ψ θ θ= ∫ (4.19)

� ( )2

0

ii

dhF d

d

π

ψ θ θθ

= ∫ (4.20)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

46

Isolando-se o termo diferencial de segunda ordem do potencial, origina-se um sistema

transformado de equações diferenciais ordinária, dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 21 1

3 41 1 1 1

1 1

3 36 6

14 14

j j jij ij j

j j

kijk j ijk k j i i

j k j k

d P r d P r d P rG H P r

dr r dr r dr r

d P rI P r I P r P r J K

r dr r

α

α α α

∞ ∞

= =

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

= − − −

+ − + +

∑ ∑

∑∑ ∑∑

, , 1,2,3,... ;

1

i j k

rγ=

< <

(4.21)

onde os coeficientes ijG , ijH , ijkI , iJ e iK são dados por:

1ij ij ijG A B−= ⋅ (4.22)

1ij ij ijH A C−= ⋅ (4.23)

1ijk ij ijkI A D−= ⋅ (4.24)

i ij iJ A E= ⋅ (4.25)

i ij iK A F= ⋅ (4.26)

E para solucionar o sistema de EDO’S temos as seguintes condições de contorno:

( ) 0iP γ = (4.27)

e

( )1 0iP = (4.28)

Os coeficientes supracitados têm seus cálculos demonstrados no apêndice B.

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

47

4.5. CÁLCULO DO POTENCIAL ( ),P r θ

O cálculo do potencial ( ),P r θ é obtido através da fórmula de inversão dada por:

( ) ( ) ( )1 21

1, i i

i i

P r P rN

θ ψ θ∞

=

=∑ (4.29)

O algoritmo construído a partir da equação (4.29) foi possível utilizando-se a solução do

sistema infinito de EDO’S não lineares cujas condições de contorno são dadas pelas equações (4.27)

e (4.28). Esta solução é encontrada numericamente pelo truncamento da série de expansão em um

número finito de termos (N) suficiente para garantir soluções convergidas com uma precisão

desejada e para tanto é chamada a rotina BVPFD, com dupla precisão, da biblioteca IMSL (1987).

Esta rotina é indicada para problemas com alto grau de complexidade tal como o sistema de EDO’S

desenvolvido neste trabalho.

A rotina BVPFD resolve sistemas de EDO’S de primeira ordem, entretanto, a formulação

transformada do problema em (4.21) possui um sistema de equações de segunda ordem, o qual é

modificado para um sistema de primeira ordem equivalente. A referida rotina exige uma tolerância

absoluta específica que é imposta a todos os componentes da solução. Além disto, a BVPFD exige

também a construção de três a cinco funções por parte do usuário, as quais são chamadas pelo

programa principal. As especificações destas funções são: FCNEQN – Especificação do Sistema

Diferencial Ordinário; FCNJAC – Especificação do Jacobiano do Sistema; FCNBC – Especificação

das Condições de Contorno; FCNPEQ – Especificação das Derivadas Parciais relativas ao parâmetro

p; FCNPBC – Especificação das Condições de Contorno relativas ao parâmetro p; sendo que as duas

últimas somente são usadas para problemas parametrizados.

4.6. ALGORITMO COMPUTACIONAL

Conforme as formalidade e exigências da rotina BVPFD se fez a redefinição da equação

(4.21) com a finalidade de obtenção do sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira

ordem, exposto a seguir:

i iw P= (4.30)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

48

iNP i

d Pw

dr+ = (4.31)

onde 1,2,3,...i = e iw é o vetor solução do sistema.

Assim sendo, o sistema a ser resolvido de forma computacional é representado por:

21 1

3 41 1 1 1

1 1

3 36 6

14 14

NP NPNP i

NP i ij NP j ij jj j

NP NP NP NP

ijk NP k j ijk k j i ij k j k

dww G w H w

dr r r r

I w w I w w J Kr r

α

α α α

++ +

= =

+= = = =

= − − −

+ − + +

∑ ∑

∑∑ ∑∑ (4.32)

A outra equação do sistema de equação diferencial de primeira ordem é dada por:

iNP i

dww

dr += ; 1,2,3,...i = (4.33)

com condições de contorno:

( ) 0iw γ = (4.34)

e

( )1 0iw = (4.35)

Portanto, o sistema de segunda ordem mostrado em (4.21), tendo a série truncada por

exemplo, em NP termos, será representado por um sistema de 2*NP equações de primeira ordem não

lineares, a ser resolvido pela rotina BVPFD em dupla precisão.

4.7. GEOMETRIAS DOS MANCAIS UTILIZADOS

4.7.1. MANCAL DE ESCORA CIRCULAR COM SAPATA DE RAYLEIGH DE QUATRO

RESSALTOS

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

49

Simular-se-á um campo de pressão para a geometria apresentada na Figura 4.1, onde será

utilizado os seguintes parâmetros para as variáveis na direção radial e circunferencial,

respectivamente: 1 10,50r mµ= , 2 13,25r mµ= , 1 60θ = °e 2 30θ = ° , cuja a soma entre os ângulos

deve obedecer a condição descrita na equação (4.36).

1 2

2

nr

πθ θ+ = (4.36)

onde 1θ é o ângulo do rebaixo, 2θ o ângulo do ressalto e nr o número de ressaltos. Portanto,

1 2 2

πθ θ+ = .

Figura 4.1 – Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 4 ressaltos.

4.7.2. MANCAL DE ESCORA CIRCULAR COM SAPATA DE RAYLEIGH DE OITO

RESSALTOS

Simular-se-á um campo de pressão para a geometria apresentada na Figura 4.2, onde são

utilizados os seguintes parâmetros para as variáveis na direção radial e circunferencial,

respectivamente: 1 10,50r mµ= , 2 13,25r mµ= , 1 25θ = ° e 2 20θ = ° , cuja a soma entre os ângulos

deve obedecer a condição descrita na equação (4.36). Portanto, 1 2 4θ θ π+ = .

r1

r2

FONTE: Prata et al. (1992/1995)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

50

Figura 4.2 – Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 8 ressaltos.

4.7.3. MANCAL DE ESCORA COM SAPATA DE RAYLEIGH CIRCULAR DE DEZESSEIS

RESSALTOS

Simular-se-á um campo de pressão para a geometria apresentada na Figura 4.3, onde são

utilizados os seguintes parâmetros para as variáveis na direção radial e circunferencial,

respectivamente: 1 10,50r mµ= , 2 13,25r mµ= , 1 12,5θ = °e 2 10θ = ° , cuja a soma entre os ângulos

deve obedecer a condição descrita na equação (4.36). Portanto, 1 2 8θ θ π+ = .

Figura 4.3 – Desenho da sapata de Rayleigh para um mancal de escora circular com 16 ressaltos.

FONTE: Prata et al. (1992/1995)

r1

r2

r1

r2

FONTE: Prata et al. (1992/1995)

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO VIA GITT

51

4.7.3. MANCAL DE ESCORA CIRCULAR COM SAPATA FRESADA

Simular-se-á um campo de pressão para a geometria apresentada na Figura 4.4, onde são

utilizados os seguintes parâmetros para as variáveis na direção radial e circunferencial,

respectivamente: 1 10,50r mµ= , 2 13,25r mµ= , 1 30θ = °e 2 30θ = ° , cuja a soma entre os ângulos

deve obedecer a condição descrita na equação (4.37).

1 2

22

4

πθ θ+ = (4.37)

onde 1θ é o ângulo do rebaixo e 2θ o ângulo do ressalto. Portanto, 1 222

πθ θ+ = .

Figura 4.4 – Desenho da sapata fresada para um mancal de escora circular.

r1

d��

2

FONTE: Prata et al. (1992/1995)

CAPÍTULO 5

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

53

5.1. INTRODUÇÃO

Este capítulo é dividido em quatro partes, as quais apresentam os resultados do

código computacional cujo enfoque principal é a solução do problema de lubrificação

hidrodinâmica. Em cada uma das partes é analisado os resultados para o potencial

( ),P r θ , originados através dos códigos computacionais GITT para cada geometria das

sapatas dos mancais de escora apresentada no capítulo 4, seções 4.7.1, 4.7.2, 4.7.3 e

4.7.4, respectivamente. Os programas desses códigos foram implementados em

linguagem Fortran 90/95. As simulações foram realizadas em uma plataforma de

processador Intel® Core™ 2 Duo CPU T6500 – 2.10 GHz e 4.00 Gb de memória RAM

do Laboratório do Simulação de Processos do PPEQ/ UFPA com erro prescrito de 10-8.

5.2. O PROBLEMA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

O principal resultado encontrado a partir da solução da equação de Reynolds

com termos inerciais centrífugos é o campo de pressão que é gerado pelo efeito cunha, e

causado pela restrição exigida no escoamento ao passar do rebaixo para o ressalto do

mancal.

Todas as simulações efetuadas são com o intuito de analisar o comportamento

dos campos de pressão para mancais com geometria das sapatas com 4, 8 e 16 ressaltos,

além de também o mancal de escora com geometria de sapata fresada. Cada uma das

simulações possuem coeficientes específicos para o sistema de EDO’S, isto é,

dependendo da geometria adotada.

Os parâmetros geométricos fixos dos mancais utilizados nas simulações estão

descritos na Tabela 5.1, de acordo com o número de ressaltos do mancal. As

propriedades termofísicas do óleo lubrificante e os parâmetros de operação do mancal

estão descritos a partir da Tabela 5.2. Os referidos parâmetros e as referidas

propriedades serão os mesmos para todas as simulações deste trabalho.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

54

Tabela 5.1 – Parâmetros Geométricos dos Mancais de Escora usados na simulação

Número de Ressaltos 4 (QUATRO) 8 (OITO) 16 (DEZESSEIS)

1θ 60° 25° 12,5°

2θ 30° 20° 10°

h∆ 5 µm 5 µm 5 µm

1r 10,50 mm 10,50 mm 10,50 mm

2r 13,25 mm 13,25 mm 13,25 mm

FONTE: Adaptado da Dissertação - Blanco, 1998

Tabela 5.2 – Parâmetros Operacionais dos Mancais de Escora usados na simulação

PARÂMETROS SÍMBOLO VALORES UNIDADES

Viscosidade absoluta do lubrificante µ 32,74 10−× kgm s⋅

Massa específica do lubrificante ρ 876 3kg

m

Frequência angular da parte móvel do mancal f 60 Hz

Carga suportável pelo mancal W 12 N

FONTE: Adaptado da Dissertação - Blanco, 1998

5.2.1. Análise de Convergência para GITT

A Tabela 5.3 apresenta o potencial ( ),P r θ para 60θ = ° em um mancal de 4

ressaltos, com Np = 50, 100, 150, 160, 170, 180, 190 e 200 pontos para o código via

GITT. Utilizando-se o método de tentativa e erro, observa-se que ao considerar uma

espessura h1 = 7,36 µm, a convergência é atingida a partir de 170 pontos nodais (Np),

onde o valor da pressão encontrada é de aproximadamente 9,08 x 105 Pa avaliada na

posição radial igual a 11,875 mm.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

55

A Tabela 5.4 apresenta o potencial ( ),P r θ para 25θ = ° e 70θ = ° em um

mancal de 8 ressaltos, com Np = 50, 100, 150, 160, 170, 180, 190 e 200 pontos para o

código via GITT. Com o uso do método supracitado, observa-se que ao considerar uma

espessura h1 = 9,04 µm, a convergência é atingida a partir de 180 pontos nodais (Np)

onde o valor da pressão encontrada para 25θ = ° é de aproximadamente 4,62 x 105 Pa e

160 pontos nodais onde o valor da pressão para 70θ = ° é de aproximadamente 4,60 x

105 Pa, ambos avaliados na posição radial igual a 11,875 mm.

A Tabela 5.5 apresenta o potencial ( ),P r θ para 12,5θ = ° e 22,5θ = ° em um

mancal de 16 ressaltos, com Np = 50, 100, 150, 160, 170, 180, 190 e 200 pontos para o

código via GITT. Observa-se que ao considerar uma espessura h1 = 10,45 µm, a

convergência é atingida a partir de 150 pontos nodais, onde o valor da pressão

encontrada para 12,5θ = ° é de aproximadamente 2,75 x 105 Pa e o valor da pressão

para 22,5θ = ° é de aproximadamente 2,74 x 105 Pa, ambos avaliados na posição radial

igual a 11,875 mm.

A Tabela 5.6 apresenta o potencial ( ),P r θ para 57,5θ = ° e 80θ = ° em um

mancal de 16 ressaltos, com Np = 50, 100, 150, 160, 170, 180, 190 e 200 pontos para o

código via GITT. Observa-se que ao considerar uma espessura h1 = 10,45 µm, a

convergência é atingida a partir de 150 pontos nodais, onde o valor da pressão

encontrada para 57,5θ = ° é de aproximadamente 2,74 x 105 Pa e o valor da pressão

para 80θ = ° é de aproximadamente 2,75 x 105 Pa, ambos avaliados na posição radial

igual a 11,875 mm.

A Tabela 5.7 apresenta o potencial ( ),P r θ para 30θ = ° , com Np = 50, 100,

150, 160, 170, 180, 190 e 200 pontos para o código via GITT. Observa-se que ao

considerar uma espessura h1 = 7,36 µm, a convergência é atingida a partir de 150 pontos

nodais onde o valor da pressão encontrada é de aproximadamente 9,08 x 105 Pa

avaliado na posição radial igual a 11,875 mm.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

56

Tabela 5.3 – Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 7,36 µm para um mancal com 4 ressaltos.

Teta = 60° ; h1 = 7.36 x 10-6

r (m) \ Np 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 6.32E+05 6.40E+05 6.42E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.44E+05

0.011600 8.61E+05 8.69E+05 8.72E+05 8.72E+05 8.73E+05 8.73E+05 8.73E+05 8.73E+05

0.011875 8.96E+05 9.04E+05 9.07E+05 9.07E+05 9.08E+05 9.08E+05 9.08E+05 9.08E+05

0.012150 8.81E+05 8.90E+05 8.93E+05 8.93E+05 8.93E+05 8.94E+05 8.94E+05 8.94E+05

0.012700 6.76E+05 6.87E+05 6.91E+05 6.91E+05 6.9b1E+05 6.92E+05 6.92E+05 6.92E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

57

Tabela 5.4 – Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 9,04 µm para um mancal com 8 ressaltos

Teta = 25° ; h1 = 9.04 x 10-6

r (m) \ Np 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 3.16E+05 3.24E+05 3.26E+05 3.26E+05 3.27E+05 3.27E+05 3.27E+05 3.27E+05

0.011600 4.32E+05 4.41E+05 4.43E+05 4.43E+05 4.44E+05 4.44E+05 4.44E+05 4.44E+05

0.011875 4.49E+05 4.58E+05 4.61E+05 4.61E+05 4.61E+05 4.62E+05 4.62E+05 4.62E+05

0.012150 4.41E+05 4.51E+05 4.53E+05 4.54E+05 4.54E+05 4.54E+05 4.55E+05 4.55E+05

0.012700 3.36E+05 3.47E+05 3.50E+05 3.50E+05 3.51E+05 3.51E+05 3.51E+05 3.52E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

Teta = 70° ; h1 = 9.04 x 10-6

r \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 3.16E+05 3.23E+05 3.25E+05 3.25E+05 3.26E+05 3.26E+05 3.26E+05 3.26E+05

0.011600 4.32E+05 4.39E+05 4.41E+05 4.42E+05 4.42E+05 4.42E+05 4.42E+05 4.43E+05

0.011875 4.49E+05 4.57E+05 4.59E+05 4.60E+05 4.60E+05 4.60E+05 4.60E+05 4.61E+05

0.012150 4.41E+05 4.49E+05 4.52E+05 4.52E+05 4.53E+05 4.53E+05 4.53E+05 4.53E+05

0.012700 3.36E+05 3.46E+05 3.49E+05 3.50E+05 3.50E+05 3.50E+05 3.50E+05 3.51E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

58

Tabela 5.5 – Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 10,45 µm para um mancal com 16 ressaltos

Teta = 12.5° ; h1 = 10.45d-6

r (m) \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 1.86E+05 1.93E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.96E+05 1.96E+05 1.96E+05

0.011600 2.54E+05 2.61E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.65E+05 2.65E+05 2.65E+05

0.011875 2.64E+05 2.72E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.76E+05 2.76E+05 2.76E+05

0.012150 2.60E+05 2.68E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.72E+05 2.72E+05 2.72E+05

0.012700 1.99E+05 2.07E+05 2.10E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.12E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

Teta = 35° ; h1 = 10.45d-6

r (m) \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 1.85E+05 1.92E+05 1.94E+05 1.94E+05 1.94E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.95E+05

0.011600 2.53E+05 2.60E+05 2.63E+05 2.63E+05 2.63E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.64E+05

0.011875 2.63E+05 2.71E+05 2.74E+05 2.74E+05 2.74E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.75E+05

0.012150 2.59E+05 2.67E+05 2.70E+05 2.70E+05 2.70E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.71E+05

0.012700 1.98E+05 2.06E+05 2.09E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.11E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

59

Tabela 5.6 – Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 10,45 µm para um mancal com 16 ressaltos

Teta = 57.5° ; h1 = 10.45d-6

r (m) \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 1.85E+05 1.92E+05 1.94E+05 1.94E+05 1.94E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.95E+05

0.011600 2.53E+05 2.60E+05 2.63E+05 2.63E+05 2.63E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.64E+05

0.011875 2.63E+05 2.71E+05 2.74E+05 2.74E+05 2.74E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.75E+05

0.012150 2.59E+05 2.67E+05 2.70E+05 2.70E+05 2.70E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.71E+05

0.012700 1.98E+05 2.06E+05 2.09E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.10E+05 2.11E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

Teta = 80° ; h1 = 10.45d-6

r (m) \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 1.86E+05 1.93E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.95E+05 1.96E+05 1.96E+05 1.96E+05

0.011600 2.54E+05 2.61E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.64E+05 2.65E+05 2.65E+05 2.65E+05

0.011875 2.64E+05 2.72E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.75E+05 2.76E+05 2.76E+05 2.76E+05

0.012150 2.60E+05 2.68E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.71E+05 2.72E+05 2.72E+05 2.72E+05

0.012700 1.99E+05 2.07E+05 2.10E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.11E+05 2.12E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

60

Tabela 5.7 – Convergência do potencial ( ),P r θ com h1 = 7,36 µm para um mancal fresado

Teta = 30° ; h1 = 7.36 x 10-6 m

r (m) \ N 50 100 150 160 170 180 190 200

0.010500 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.011050 6.32E+05 6.40E+05 6.42E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.43E+05 6.43E+05

0.011600 8.62E+05 8.69E+05 8.72E+05 8.72E+05 8.72E+05 8.73E+05 8.73E+05 8.73E+05

0.011875 8.96E+05 9.04E+05 9.07E+05 9.07E+05 9.08E+05 9.08E+05 9.08E+05 9.08E+05

0.012150 8.81E+05 8.90E+05 8.93E+05 8.93E+05 8.93E+05 8.94E+05 8.94E+05 8.94E+05

0.012700 6.77E+05 6.87E+05 6.91E+05 6.91E+05 6.91E+05 6.92E+05 6.92E+05 6.92E+05

0.013250 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

61

5.2.2. Campos de Pressão

Com a definição da malha computacional mostrar-se-á agora os resultados de

campo de pressão para os mancais com 4, 8 e 16 ressaltos e também para o mancal

fresado; os parâmetros geométricos utilizados são aqueles listados na Tabela 5.1. Os

resultados são gerados a partir do código computacional GITT.

A distribuição da pressão em função da posição circunferencial ( )0 90θ° < < °

para um mancal com quatro ressaltos é apresentada na Figura 5.1 para a posição radial

em ( )1 2 2r r r= + ou equivalente a 11,875 mm. Na Figura 5.2 é apresentada a

distribuição da pressão em função da posição circunferencial para uma variação angular

de 0° a 360°. Nas duas situações considerou-se 200 pontos nodais.

0 30 60 90

���degrees����

0x105

1x105

2x105

3x105

4x105

5x105

6x105

7x105

8x105

9x105

10x105

Pre

ssão

(P

a)

Figura 5.1 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para

um mancal de 4 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

62

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

���degrees����

0x105

1x105

2x105

3x105

4x105

5x105

6x105

7x105

8x105

9x105

10x105

Pre

ssão

(P

a)

Figura 5.2 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°)

para um mancal de 4 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

63

A distribuição da pressão em função da posição circunferencial ( )0 90θ° < < °

para um mancal com oito ressaltos é apresentada na Figura 5.3 para a posição radial em

( )1 2 2r r r= + ou equivalente a 11,875 mm. Na Figura 5.4 é apresentada a distribuição

da pressão em função da posição circunferencial para uma variação angular de 0° a

360°. Nas duas situações considerou-se 200 pontos nodais.

0 30 60 90

θ(degrees)

0x105

1x105

2x105

3x105

4x105

5x105

Pre

ssão

(P

a)

Mancal - Rayleigh - 8 Ressaltos - h1 = 9,04 µmGITT (NP = 200)

Figura 5.3 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para

um mancal de 8 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

64

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

θ(degrees)

0x105

1x105

2x105

3x105

4x105

5x105

Pre

ssão

(P

a)Mancal - Rayleigh - 8 Ressaltos - h1 = 9,04 µm

GITT (NP = 200)

Figura 5.4 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°)

para um mancal de 8 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

65

A distribuição da pressão em função da posição circunferencial ( )0 90θ° < < °

para um mancal com dezesseis ressaltos é apresentada na Figura 5.5 para a posição

radial em ( )1 2 2r r r= + ou equivalente a 11,875 mm. Na Figuras 5.6 é apresentada a

distribuição da pressão em função da posição circunferencial para uma variação angular

de 0° a 360°. Nas duas situações considerou-se 200 pontos nodais.

0 30 60 90

����������������

0

1

2

3

0.5

1.5

2.5

Pre

ssão

(x

105

Pa)

Mancal Rayleigh - 16 Ressaltos - h 1 = 10.45 x 10-6

N = 200

Figura 5.5 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para

um mancal de 16 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

66

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

����������������

0

1

2

3

0.5

1.5

2.5

Pre

ssão

(x

105

Pa)

Mancal Rayleigh - 16 Ressaltos - h 1 = 10.45 x 10-6

N = 200

Figura 5.6 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°)

para um mancal de 16 ressaltos, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

67

A distribuição da pressão em função da posição circunferencial ( )0 90θ° < < °

para um mancal fresado é apresentada na Figura 5.7 para a posição radial em

( )1 2 2r r r= + ou equivalente a 11,875 mm. A Figura 5.8 é apresentada a distribuição da

pressão em função da posição circunferencial para uma variação angular de 0° a 360°,

respectivamente. Nas duas situações considerou-se 200 pontos nodais.

0 30 60 90

θ(degrees)

0x105

2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

Pre

ssão

(P

a)

Mancal Fresado - h1 = 7,36 µm

GITT (NP = 200)

Figura 5.7 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 90°) para

um mancal fresado, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

68

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

θ(degrees)

0x105

2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

Pre

ssão

(P

a)Mancal Fresado - h1 = 7,36 µm

GITT (NP = 200)

Figura 5.8 – Distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial (0° – 360°)

para um mancal fresado, na posição 11,875 mm e 200 pontos nodais.

Nas Figuras 5.1 a 5.6 observa-se, que com o aumento do número de ressaltos

para o mancal, a pressão no ponto entre o ressalto e o rebaixo diminui. Este fato ocorre

devido à existência de um maior número de regiões de restrição ao escoamento. Devido

a carga a ser suportada é a mesma e o número de picos de pressão é maior, o valor da

pressão em cada pico diminui. Este efeito está associado ao aumento de h1 e h2. Assim,

estando operando com um maior afastamento do assento, o mancal deverá consumir

uma menor potência viscosa. Este resultado é de fato verificado conforme mostrado na

Tabela 5.8. Da tabela vê-se que a potência consumida por atrito tende a diminuir com o

aumento do número de ressaltos. Esta redução na potência consumida (Pc) ocorre

devido ao aumento da espessura de filme fluido.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

69

Tabela 5.8 – Potência Consumida e h1 em função do número de ressaltos do mancal

Parâmetro \ Número de Ressaltos 4 (QUATRO) 8 (OITO) 16 (DEZESSEIS)

Potência Consumida (W) 2,73 2,08 1,70

Espessura do filme fluido (µm) 7,36 9,04 10,45

FONTE: Particular

A Figura 5.8 apresenta a distribuição de pressão em função do ângulo teta para o

mancal fresado. Esta distribuição de pressão foi avaliada na direção radial em 11,875

mm. Observa-se na referida figura que para 30θ = ° , 120θ = ° , 210θ = ° e 300θ = ° ,

existe um acentuado pico na pressão. As mudanças existentes do ressalto para o rebaixo

ocorrem nestas posições e ocasiona uma diminuição da área de escoamento, e provoca

este aumento de pressão. Nota-se um comportamento semelhante para o mancal com

quatro ressaltos, mudando apenas a posição circunferencial do pico na pressão,

conforme é mostrado nas Tabelas 5.3 e 5.7, as quais fazem referência aos mancais com

sapatas de quatro ressaltos e fresada, respectivamente.

5.2.3. Comparação GITT vs MVF

A Figura 5.9 apresenta duas curvas para efeito de comparação e validação do

método matemático utilizado neste trabalho, e para tanto, observou-se apenas a

distribuição de pressão em função do ângulo teta para o mancal de Rayleigh com sapata

de quatro ressaltos. Tal comparação se deu entre os resultados obtidos neste trabalho

(ver Figura 5.1) e os dados obtidos no trabalho de (BLANCO et al, 2014). Nos casos

dos demais mancais pressupõe-se que tem-se um analogia na característica dos

resultados.

A Figura 5.10 apresenta os campos de pressão ao longo das direções X(m) e

Y(m), seus valores foram obtidos através das seguintes expressões:

( )cosX r θ= e ( )senY r θ=

A distribuição de pressão em função de X e Y é mostrada através de uma malha

0,015m vs 0,015m, para um intervalo de 0° a 90°.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

70

0 30 60 90

θ(degrees)

0x105

2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

Pre

ssão

(P

a)Mancal Rayleigh - 4 Ressaltos

MVF (NP = 50; h1 = 2,61 µm)

GITT (NP = 200; h1 = 7,36 µm)

Figura 5.9 – Comparação dos métodos MVF (Blanco et al., 2014) e GITT da

distribuição da pressão ao longo da direção circunferencial para um mancal de escora

com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, na posição 11,875 mm.

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES

71

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.10 – Campo de pressão ao longo da malha XY apresentado em um intervalo

de 0-90 graus: (a) Mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos; (b) Mancal com sapata

de Rayleigh de 8 ressaltos; (c) Mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos; (d)

Mancal com sapata fresada.

CAPÍTULO 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

71

6. INTRODUÇÃO

Neste trabalho foi apresentada, uma formulação matemática que acrescenta à

equação de Reynolds os termos inerciais centrífugos e que por esse motivo a equação

diferencial parcial da pressão foi chamada de equação de Reynolds com termos inerciais

centrífugos. A referida equação foi utilizada para a simulação do problema de

lubrificação hidrodinâmica para mancais com sapatas circulares de quatro, oito e

dezesseis ressaltos e sapata circular fresada, isto é, sendo somente possível após a sua

solução encontrada através da metodologia da técnica de transformada GITT. Além

disto, foi apresentado os parâmetros de desempenho do mancal, carga suportada e

potência consumida, os quais são oriundos a partir da integração do potencial da pressão

calculado de forma analítico-numérica.

6.1. CONCLUSÕES

a) Há um salto na distribuição da pressão, nas regiões de mudança na interface

entre o rebaixo e o ressalto do mancal. Esse fenômeno ocorre devido a

diminuição da área de escoamento denominado de efeito cunha e é neste

momento que o mancal é dotado de suportar carga do peso do motor elétrico.

b) À medida que se propõe aumentar o número de ressaltos do mancal, a pressão

diminui no instante de mudança do rebaixo para o ressalto. Isto é devido ao fato

de existir um maior número de regiões de restrição ao escoamento. Desta forma

o mancal opera com um afastamento maior do rebaixo, e como consequência

possui uma menor potência.

c) O desempenho do mancal fresado é superior ao do mancal com quatro ressaltos.

d) O código computacional desenvolvido para resolver o problema de lubrificação

hidrodinâmica, através do método GITT com uso da rotina BVPFD, mostrou-se

bastante eficaz, porém apresentou uma demora na aquisição da convergência do

potencial.

CAPÍTULO 6

CONSIDERAÇÕES FINAIS

72

e) O Método GITT utilizado no presente trabalho obteve um resultado bastante

considerável quando comparado com o Método MVF (BLANCO et al., 2014),

pois os resultados foram tão satisfatórios quanto ao do MVF e isto pode ser

verificado na Figura 5.9 do capítulo 5. Portanto, pode-se concluir que a GITT é

um método que garante validade em resultados de problemas desta natureza.

6.2. SUGESTÕES

Outras pesquisas podem ser feitas, como por exemplo, a aplicação de um

método de otimização para o método de solução via GITT.

Sugere-se também um estudo com dados reais obtidos em equipamentos

semelhantes aos utilizados nas indústrias de fabricação de mancais. Como contrapartida

validar os dois métodos MVF e GITT ainda mais.

Sugere-se também um estudo com mancais de sapatas em menores e maiores

quantidades das quais foram utilizadas neste trabalho.

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APÊNDICE A

77

A.1 – DEMONSTRAÇÃO DA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Para se demonstrar as fórmulas para as velocidades nas direções radiais e

circunferenciais, primeiramente integraram-se as equações (3.4) e (3.5) destacadas no

Capítulo 3, Seção 3.4, sendo na direção da espessura do filme de óleo (direção �; ver

Figura 3.1). Além disso, se usou as condições de contorno dadas nas equações (3.6) e

(3.7). Desta forma rearranjando-se a equação (3.5), encontra-se:

2

2

1V P

z rθ

µ θ∂ ∂=∂ ∂

(A.1)

Aplicando-se a integral em (A.1), vem:

2

20 0

1h hV Pdz dz

z rθ

µ θ∂ ∂= ∂ ∂ ∫ ∫ (A.2)

1

0 0

1h hV Pdz z dz

z rθ

µ θ∂ ∂= + ∂ ∂∫ ∫ ð (A.3)

2

1 2

0

1

2

hP z

V zrθ µ θ

∂= + + ∂ ð ð (A.4)

Como:

( ), , 0V r hθ θ = ∴ 2

1 2

10

2

P hh

rµ θ ∂= + + ∂

ð ð (A.5)

Logo:

2

1 202

hh

= + +

ð ð (A.6)

Como:

( ), ,0V r rθ θ ω= ∴2

1 2

1 00

2

Pr

rω

µ θ ∂= + + ∂

ð ð (A.7)

APÊNDICE A

78

Logo: 2 1rP

r

ω

µ θ

= ∂ ∂

ð (A.8)

Resolvendo o sistema:

2

1 2

2

02

1

hh

rP

r

ω

µ θ

= + +

= ∂ ∂

ð ð

ð

(A.9)

Temos:

2

1012

h rh

P

r

ω

µ θ

= + + ∂ ∂

ð (A.10)

2

1 12

h rh

P

r

ω

µ θ

= − − ∂ ∂

ð (A.11)

1

112

h rPh

r

ω

µ θ

= − − ∂ ∂

ð (A.12)

Portanto:

211 12 2

P z zh z r rV

P Pr hr r

θω ω

µ θµ θ µ θ

∂ = − − + ∂ ∂∂

∂ ∂

(A.13)

( )211

2

P zV z hz r

r hθ ωµ θ

∂ = − − − ∂ (A.14)

APÊNDICE A

79

Rearranjando a equação (3.4) citada no Capítulo 3, Seção 3.4, tem-se:

2

22

1rV PV

z r r θρ

µ µ∂ ∂= −∂ ∂

(A.15)

Substituindo �� citado na equação (A.14), vem:

( )22

22

1 11

2rV P P z

z hz rz r r r h

ρ ωµ µ µ θ

∂ ∂ ∂ = − − − − ∂ ∂ ∂ (A.16)

Utilizando o produto notável 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + , temos:

( )

( )

2

2

2

2 2

2

1

21

12 1 1

2

r

Pz hz

rV P

z r r P z zz hz r r

r h h

µ θρµ µ

ω ωµ θ

∂ − ∂∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ − ⋅ − ⋅ − + − ∂

(A.17)

( )2

4 3 2 22 22

2 3 22 2 2

2

12

41

22 1

r

Pz hz h z

rV P

z r r P z z zz hz r

h h h

µ θρµ µ ω ω

µ θ

∂ − + ∂∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ − − + + − + ∂

(A.18)

Aplicando-se a integral em (A.18), vem:

( )2

4 3 2 22 22

2 3 20 0 0 2 2 2

2

12

41

22 1

h h hr

Pz hz h z

rV Pdz dz dz

z r r P z z zz hz r

h h h

µ θρµ µ ω ω

µ θ

∂ − + ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ − − + + − + ∂

∫ ∫ ∫ (A.19)

( )2

4 3 2 22 22

0

2 3 20 0 2 2 2

20 0

12

41

22 1

h

h hr

h h

Pz hz h z dz

rV Pdz dz

z r r P z z zz hz dz r dz

h h h

µ θρµ µ ω ω

µ θ

∂ − + ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ − − + + − + ∂

∫∫ ∫

∫ ∫

(A.20)

APÊNDICE A

80

( )

2 5 4 2 3

2 20

4 3 2

1

0 0 0

3 22 2

20

1 2

4 5 4 3

1 2

4 3 2

2

3 2

h

h h hr

h

P z hz h zdz

r

V P P z z hzdz z dz dz

z r r h

z zr z dz

h h

µ θ

ρ ωµ µ µ θ

ω

∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − + + ∂ ∂ ∂ + − +

∫

∫ ∫ ∫

∫

ð (A.21)

2 6 5 2 4

2 22

1 25 4 3 4 3 22 2

2

1

4 30 10 121

2

20 6 6 12 3 2

r

P z hz h z

rP zV z

r r P z z hz z z zr

h h h

µ θρµ µ ω ω

µ θ

∂ − + ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ − − + + − + ∂

ð ð (A.22)

( )

( )

( )

26 5 2 4

2 2

2 5 4 2 31 2

2 24 3 2 2

2

12 6 5

240

13 10 10

2 60

4 612

r

Pz hz h z

r

P PV z z hz h z z

r r h

rz hz h z

h

µ θρ ω

µ µ µ θω

∂ − + ∂ ∂ ∂ = − − − + + + ∂ ∂

+ − +

ð ð (A.23)

Como:

����, �, ℎ = 0 ∴

( )

( ) ( )

26 6 6

2 22

1 22 25 5 5 4 4 4

2

12 6 5

1 2400

23 10 10 4 6

60 12

Ph h h

P rh h

r r P rh h h h h h

h h

ρ µ θµ µ ω ω

µ θ

∂ − + ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ − − + + − + ∂

ð ð (A.24)

( ) ( ) ( )2 2 2

2 6 5 41 22 2 2

1 10 3 3

2 240 60 12

P P P rh h h h h

r r r h h

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ ∂ ∂ = − − + + + ∂ ∂ ∂ ð ð (A.25)

( ) ( ) ( )2 2 2

2 6 4 21 22 2

1 10 3 3

2 240 60 12

P P P rh h h h h

r r r

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ ∂ ∂ = − − + + + ∂ ∂ ∂ ð ð (A.26)

Como:

����, �, 0 = 0

APÊNDICE A

81

( )

( )

( )

26 5 2 4

2 2

2 5 4 2 31 2

2 24 3 2 2

2

120 6 0 5 0

240

10 0 30 10 0 10 0 0

2 60

0 4 0 6 012

Ph h

r

P Ph h

r r h

rh h

h

µ θρ ω

µ µ µ θω

∂ − + ∂ ∂ ∂ = − − − + + + ∂ ∂

+ − +

ð ð (A.27)

Logo: 2 0=ð

Resolvendo o sistema:

( )

( ) ( )

26

2 22

1 22 24 2

2

1

1 2400

23 3

60 12

0

Ph

P rh h

r r P rh h

ρ µ θµ µ ω ω

µ θ

∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ − + ∂

=

ð ð

ð

(A.28)

( ) ( ) ( )2 2 2

2 6 4 212 2

1 10 3 3

2 240 60 12

P P P rh h h h h

r r r

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ ∂ ∂ = − − + + ∂ ∂ ∂ ð (A.29)

( ) ( ) ( )2 2 2

2 6 4 21 2 2

1 13 3

2 240 60 12

P P P rh h h h h

r r r

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ ∂ ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ð (A.30)

( ) ( ) ( )2 2 2

5 31 2 2

1 13 3

2 240 60 12

P P P rh h h h

r r r

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ ∂ ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ð (A.31)

Portanto:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

26 5 2 4

2 22

2 25 4 2 3 4 3 2 2

2

25 3

2 2

2 2

12 6 5

1 240

23 10 10 4 6

60 12

13

1 240 602

312

r

Pz hz h z

P rV z

r r P rz hz h z z hz h z

h h

P Ph h

P rhr r r

h

ρ µ θµ µ ω ω

µ θ

ωρ µ θ µ θ

µ µ ω

∂ − + ∂ ∂ = − ∂ ∂ − − + + − + ∂

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + − + ∂ +

z

(A.32)

APÊNDICE A

82

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

26 5 2 4

2 22

2 25 4 2 3 4 3 2 2

2

2 2 25 3

2 2

12 6 5

1 240

23 10 10 4 6

60 12

1 13 3

2 240 60 12

r

Pz hz h z

P rV z

r r P rz hz h z z hz h z

h h

P P P rhz h z h z hz

r r r

ρ µ θµ µ ω ω

µ θ

ρ ω ωµ µ µ θ µ θ

∂ − + ∂ ∂ = − ∂ ∂ − − + + − + ∂

∂ ∂ ∂ + − + − + ∂ ∂ ∂

(A.33)

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

26 5 2 4

2 2

2 5 4 2 3

2 24 3 2 2

2

2 2 25 3

2 2

12 6 5

240

13 10 10

2 60

4 612

13 3

240 60 12

r

Pz hz h z

r

P PV z hz z hz h z

r r h

rz hz h z

h

P P rh z h z hz

r r

µ θρ ω

µ µ µ θω

ρ ω ωµ µ θ µ θ

∂ − − + ∂ ∂ ∂ = − + + − + ∂ ∂

− − +

∂ ∂ + − − + − − − ∂ ∂

(A.34)

( )

( )2

6 5 2 4 52 2

52 4 3 3

2 2 4 32

2

12 6 5

240

1 310 10 3

2 60

46 3

12

r

Pz hz h z h z

r

P P zV z hz z hz h z

r r h

r z zz hz

h h

µ θρ ω

µ µ µ θ

ω

∂ − − + − ∂ ∂ ∂ = − + + − + − ∂ ∂ − − + −

(A.35)

Portanto, obtém-se para as velocidades ����, �, � e ����, �, � as equações:

( )

( )2

6 5 2 4 52 2

52 4 3 3

2 2 4 32

2

12 6 5

240

1 310 10 3

2 60

46 3

12

r

Pz hz h z h z

r

P P zV z hz z hz h z

r r h

r z zz hz

h h

µ θρ ω

µ µ µ θ

ω

∂ − − + − ∂ ∂ ∂ = − + + − + − ∂ ∂ − − + −

(A.36)

( )211

2

P zV z hz r

r hθ ωµ θ

∂ = − − − ∂ (A.37)

A equação (A.36) da velocidade �� foi obtida após a substituição da equação da velocidade ��

dado em (A.14) na versão integrada da equação (3.4) do Capítulo 3.

APÊNDICE A

83

Considerando a equação da conservação da massa simplificada pelas hipóteses apresentadas

anteriormente, tem-se

( ) ( ) ( )1 10r zrV V V

r r r zθθ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

(A.38)

Integrando-se a equação (A.38) de0z = a z h= , resulta em,

( ) ( ) ( )0 0 0

1 10

h h h

r zrV dz V dz V dzr r r zθθ

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (A.39)

Aplicando a regra de Leibniz1 para diferenciação de integrais em cada uma das parcelas

da equação (A.39), tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 00

, ,0 0 , ,h h

r r r r

d drV dz rV dz rV r rV r h h

r r dr drθ θ

↓ ↓↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0 0

h h

r rrV dz rV dzr r

∂ ∂=∂ ∂∫ ∫ (A.40)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

, ,0 0 , ,h h

r

d dV dz V dz V r V r h h

d dθ θ θ θ

ω

θ θθ θ θ θ↓ ↓

↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

( ) ( )0 0

h h

V dz V dzθ θθ θ∂ ∂=

∂ ∂∫ ∫ (A.41)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 00

, ,0 0 , ,h h

z z z z

d dV dz V dz V r V r h h

z z dz dzθ θ

↓ ↓ ↓↓

∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫

1A regra de Leibniz para diferenciação de integrais:

���� ���, �

�2��

�1��= � ��

���2��

�1���� − ���1, ��

��1�� + ���2, ����2��

APÊNDICE A

84

( ) ( )0 0

0h h

z zV dz V dzz z

∂ ∂= =∂ ∂∫ ∫

(A.42)

Substituindo-se as equações (A.40), (A.41) e (A.42) na equação (A.39) e,

posteriormente substituindo, as equações (A.36) e (A.37) na equação resultante, tem-se,

( ) ( )0 0

1 10

h h

rrV dz V dzr r r θθ ∂ ∂+ = ∂ ∂ ∫ ∫ (A.43)

( )

( )

( )

26 5 2 4 5

2 2

54 3 3

0

02

2 2 4 32

2

2

0

12 6 5

240

1 32 10 10 360

46 3

12

1

21

h

h

h

Pz hz h z h z

rr P

r P zr r z hz h z dzr r h h

z hz dzr z z

z hzh h

Pz hz

r

r

µ θρ ωµ

µ µ θ

ω

µ θθ

∂ − − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − + − ∂ − − − + −

∂ −∂∂+

∂

∫∫

∫ 0

1

dzz

rh

ω

=

− −

(A.44)

( )

( )

2

0

26 5 2 4 5

2 20

54 3 3

0

2 2 4 32

20

2

12 6 5

2401

310 10 3

60

46 3

12

h

h

h

h

r Pz hz dz

r

Pz hz h z h z dz

r

r r P zz hz h z dz

h

r z zz hz dz

h h

µ

µ θ

ρ ωµ µ θ

ω

∂ − ∂

∂ − − + − ∂ ∂ ∂ ∂ + + − + − ∂

− − + −

∫

∫

∫

∫

( )2

0

0

1

210

1

h

h

Pz hz dz

r

r zr dz

h

µ θθ

ω

∂ − ∂∂ + = ∂ − −

∫

∫

(A.45)

APÊNDICE A

85

3 2

0

2 7 6 2 5 5 2

2 2

0

6 5 4 3 2

0

2 2 5 4 3 2

2

0

2 3 2

1 2 6 5

240 7 6 5 21

3 10 10 3

60 6 5 4 2

4 6 3

12 5 4 3 2

h

h

h

h

r P z hz

r

P z hz h z h z

r

r r P z z hz h z

h

r z z z hz

h h

µ

µ

ρ

θ

ωµ θ

ω

µ

∂ − ∂

∂ − − + − ∂ ∂∂ ∂

+

+ − + − ∂

−

− + −

3 2

0

2

0

1

2 3 210

2

h

h

P z hz

r

r zr z

h

µ θθ

ω

∂ − ∂ ∂ + = ∂ − −

(A.46)

3

2 7

2 2

5 2 2 3

3

2 6

1 1 3

240 14

3

60 2 12 10

1

2 61

2

r P h

r

P hr r r

P h r h

P h

r

r hr

µ

µ θρµ ω ω

µ θ

µ θθ

ω

∂ − ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ + ∂ + − − − ∂

∂ − ∂∂ +∂ − −

0

=

(A.47)

3

2 37

2 2

5 3 2 2

12

1 13 012 2280

12 3

10 10

rh P

r

h P h rh Pr r r rr

h P h r

µ

ωθ µ θρ µ θ

µ ω ωµ θ

∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + = ∂ ∂ ∂∂ + ∂ − + ∂

(A.48)

APÊNDICE A

86

3

27 5 3 2 2

2 2

3

1

12 3 3

280 10 10

1 10

12 2

Prh

r

r r h P h P h r

r

h P r h

r r r

µ ω ωρµ θ µ θ

ωθ µ θ θ

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − − + ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + − + = ∂ ∂ ∂

(A.49)

3

27 5 3 2 2

2 2

3

1

12 3 3

280 10 10

10

12 2

Prh

r

r r h P h P h r

r

h P h

r r

µ ω ωρµ θ µ θ

ωµ θ θ θ

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − − + ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∂

(A.50)

27

2 2

5 33

3 2 2

3

280

1 1

12 10 12 2

3

10

h P

r

P h P h P hrh

r r r r r

h r

µ θω ωρ

µ µ θ µ θ θ θω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+

(A.51)

Multiplicando-se a equação supracitada por �−12��, tem-se,

27 5 3 2 2 33

2 2

3 36

280 10 10

P h P h P h r h P hrh r

r r r r

ω ωρ µ ωµ θ µ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (A.52)

APÊNDICE B

87

Este apêndice apresenta o cálculo de cada coeficiente pertencente à equação

(4.14) do potencial através da aplicação da GITT, os quais devem ser calculados

analiticamente e em seguida numericamente pela subrotina DQDAG da biblioteca do

IMSL (1987), para efeito de confirmação dos resultados.

B.1 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Aij

� ( ) � ( )2

3

0

i jijA h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (B.1)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.1), vem:

( ) ( )23

0

jiij

i j

SenSenA h d

N N

π

µ θµ θθ= ∫ (B.2)

Rearranjando-se, tem-se:

( ) ( )2

3

0

1ij i j

i j

A h Sen Sen dN N

π

µ θ µ θ θ= ∫ (B.3)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1

1

23 3

0

1ij i j i j

i j

A h Sen Sen d h Sen Sen dN N

πθ

θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ = +

∫ ∫ (B.4)

APÊNDICE B

88

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2

1

1 2

1 2 1 2

3 3

0

2 23 3

2

1i j i j

ij

i j

i j i j

h Sen Sen d h Sen Sen d

AN N

h Sen Sen d h Sen Sen d

θ θ θ

θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

+

+

+ +

+

=

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(B.5)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

3 3

0

2 2 23 3

2

3 2 3 33 3

2 2 3 2

3

3 3

1

i j i j

i j i j

ij

i ji j i j

i j

h Sen Sen d h Sen Sen d

h Sen Sen d h Sen Sen d

AN N h Sen Sen d h Sen Sen d

h Sen Sen d

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

=+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )1 2

2 1 2

4 3 23

4 3

i jh Sen Sen d

πθ θ

θ θ θ

µ θ µ θ θ+

+

+

∫ ∫

(B.6)

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2

3 3

0

23

1i j i j

ij

i j

i j

h Sen Sen d h Sen Sen d

AN N

h Sen Sen d

θ θ θ

θ

π

θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ

+

+

+

=

+

∫ ∫

∫

(B.7)

APÊNDICE B

89

B.2 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Bij

� ( ) � ( )2

5

0

'i jijB h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (B.8)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.8), vem:

( ) ( )25

0

j jiij

i j

CosSenB h d

N N

π

µ µ θµ θθ= ∫ (B.9)

Rearranjando-se, tem-se:

( ) ( )2

5

0

jij i j

i j

B h Sen Cos dN N

π

µµ θ µ θ θ= ∫ (B.10)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1

1

25 5

0

jij i j i j

i j

B h Sen Cos d h Sen Cos dN N

πθ

θ

µµ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

= +

∫ ∫ (B.11)

APÊNDICE B

90

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2

1

1 2

1 2 1 2

5 5

0

2 25 5

2

i j i j

jij

i j

i j i j

h Sen Cos d h Sen Cos d

BN N

h Sen Cos d h Sen Cos d

θ θ θ

θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

+

+

+ +

+

=

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(B.12)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

5 5

0

2 2 25 5

2

3 2 3 35 5

2 2 3 2

5

3

i j i j

i j i j

jij

i ji j i j

i j

h Sen Cos d h Sen Cos d

h Sen Cos d h Sen Cos d

BN N h Sen Cos d h Sen Cos d

h Sen Cos d

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

=+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )1 2

2 1 2

4 3 25

3 4 3

i jh Sen Cos d

πθ θ

θ θ θ

µ θ µ θ θ+

+

+

∫ ∫

(B.13)

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2

5 5

0

25

i j i j

jij

i j

i j

h Sen Cos d h Sen Cos d

BN N

h Sen Cos d

θ θ θ

θ

π

θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ

µ θ µ θ θ

+

+

+

=

+

∫ ∫

∫

(B.14)

APÊNDICE B

91

B.3 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Cij

� ( ) � ( )2

3

0

' 'i jijC h d

π

ψ θ ψ θ θ= ∫ (B.15)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.15), vem:

( ) ( )23

0

j ji iij

i j

CosCosC h d

N N

π

µ µ θµ µ θθ= ∫ (B.16)

Rearranjando-se, tem-se:

( ) ( )2

3

0

i jij i j

i j

C h Cos Cos dN N

π

µ µµ θ µ θ θ= ∫ (B.17)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1

1

23 3

0

i jij i j i j

i j

C h Cos Cos d h Cos Cos dN N

πθ

θ

µ µµ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

= +

∫ ∫ (B.18)

APÊNDICE B

92

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2

1

1 2

1 2 1 2

3 3

0

2 23 3

2

i j i j

i jij

i j

i j i j

h Cos Cos d h Cos Cos d

CN N

h Cos Cos d h Cos Cos d

θ θ θ

θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

+

+

+ +

+

=

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(B.19)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

3 3

0

2 2 23 3

2

3 2 3 33 3

2 2 3 2

3

3

i j i j

i j i j

i jij

i ji j i j

i j

h Cos Cos d h Cos Cos d

h Cos Cos d h Cos Cos d

CN N h Cos Cos d h Cos Cos d

h Cos Cos d

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ θ

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+ +

=+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )1 2

1 2 1 2

4 3 23

3 4 3

i jh Cos Cos d

πθ θ

θ θ θ

µ θ µ θ θ+

+ +

+

∫ ∫

(B.20)

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2

3 3

0

23

i j i j

i jij

i j

i j

h Cos Cos d h Cos Cos d

CN N

h Cos Cos d

θ θ θ

θ

π

θ θ

µ θ µ θ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ θ

+

+

+

=

+

∫ ∫

∫

(B.21)

APÊNDICE B

93

B.4 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Dijk

� ( ) � ( ) � ( )2

7

0

' 'i j kijkD h d

π

ψ θ ψ θ ψ θ θ= ∫ (B.22)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.22), vem:

( ) ( ) ( )27

0

j ji k kijk

i j k

CosSen CosD h d

N N N

π

µ µ θµ θ µ µ θθ= ∫ (B.23)

Rearranjando-se, tem-se:

( ) ( ) ( )2

7

0

j kijk i j k

i j k

D h Sen Cos Cos dN N N

π

µ µµ θ µ θ µ θ θ= ∫ (B.24)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

7

0

27

i j k

j kijk

i j k

i j k

h Sen Cos Cos d

DN N N

h Sen Cos Cos d

θ

π

θ

µ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ µ θ θ

=

+

∫

∫

(B.25)

APÊNDICE B

94

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

1

1 2

1 2

1 2

7

0

7

27

27

2

i j k

i j k

j kijk

i j ki j k

i j k

h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

DN N N h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

θ

θ θ

θ

θ θ

θ θ

π

θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

+

+

+

+

+ = + +

∫

∫

∫

∫

(B.26)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

7

0

7

27

2 27

2

3 27

2 2

7

i j k

i j k

i j k

i j k

j kijk

i j ki j k

i j

h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

DN N N h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos

θ

θ θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θµ µ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=+

+

∫

∫

∫

∫

∫

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

3 3

3 2

4 37

3 3

27

4 3

k

i j k

i j k

d

h Sen Cos Cos d

h Sen Cos Cos d

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

π

θ θ

µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

+

+

+

+

+

+ +

∫

∫

∫ (B.27)

APÊNDICE B

95

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

1

1 2

7

0

7

27

i j k

j kijk i j k

i j k

i j k

h Sen Cos Cos d

D h Sen Cos Cos dN N N

h Sen Cos Cos d

θ

θ θ

θ

π

θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

µ µµ θ µ θ µ θ θ

µ θ µ θ µ θ θ

+

+

= + +

∫

∫

∫

(B.28)

APÊNDICE B

96

B.5 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Ei

� ( )2

3

0

iiE h d

π

ψ θ θ= ∫ (B.29)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.29), vem:

( )23

0

ii

i

SenE h d

N

π

µ θθ= ∫ (B.30)

Rearranjando-se, tem-se:

( )2

3

0

1i i

i

E h Sen dN

π

µ θ θ= ∫ (B.31)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( )1

1

23 3

0

1i i i

i

E h Sen d h Sen dN

πθ

θ

µ θ θ µ θ θ = +

∫ ∫ (B.32)

APÊNDICE B

97

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2

1 2 1 2

3 3

0

2 23 3

2

1i i

i

i

i i

h Sen d h Sen d

EN

h Sen d h Sen d

θ θ θ

θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ µ θ θ

+

+

+ +

+

=

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(B.33)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

3 3

0

2 2 23 3

2

3 2 3 33 3

2 2 3 2

4 3 23 3

3 3 4 3

1

i i

i i

i

ii i

i i

h Sen d h Sen d

h Sen d h Sen d

EN h Sen d h Sen d

h Sen d h Sen d

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ µ θ θ

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+

+ += + ++ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(B.34)

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( )

( )

1 1 2

1

1 2

3 3

0

23

1i i

i

i

i

h Sen d h Sen d

EN

h Sen d

θ θ θ

θ

π

θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ

+

+

+

=

+

∫ ∫

∫

(B.35)

APÊNDICE B

98

B.6 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE Fi

� ( )2

0

ii

dhF d

d

π

ψ θ θθ

= ∫ (B.36)

Substituindo-se a autofunção normalizada em (B.36), vem:

( )2

0

ii

i

Sen dhF d

dN

π

µ θθ

θ= ∫ (B.37)

Rearranjando-se, tem-se:

( )2

0

1i i

i

dhF Sen d

dN

π

µ θ θθ

= ∫ (B.38)

O cálculo para o coeficiente é originado a partir da geometria adotada para cada

mancal, isto é, portanto:

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 4 ressaltos, tem-se:

( ) ( )1

1

2

0

1i i i

i

dh dhF Sen d Sen d

d dN

πθ

θ

µ θ θ µ θ θθ θ

= +

∫ ∫ (B.39)

APÊNDICE B

99

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 8 ressaltos, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2

1 2 1 2

0

2 2

2

1i i

i

i

i i

dh dhSen d Sen d

d dF

N dh dhSen d Sen d

d d

θ θ θ

θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

+

+

+ +

+

=

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(B.40)

� Para o mancal com sapata de Rayleigh de 16 ressaltos, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

0

2 2 2

2

3 2 3 3

2 2 3 2

4 3

3 3 4 3

1

i i

i i

i

ii i

i i

dh dhSen d Sen d

d d

dh dhSen d Sen d

d dF

dh dhN Sen d Sen dd d

dh dhSen d Sen d

d d

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

πθ θ

θ θ θ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+

+ +

=+ +

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫2

∫

(B.41)

� Para o mancal com sapata fresada, tem-se:

( ) ( )

( )

1 1 2

1

1 2

0

2

1i i

i

i

i

dh dhSen d Sen d

d dF

N dhSen d

d

θ θ θ

θ

π

θ θ

µ θ θ µ θ θθ θ

µ θ θθ

+

+

+

=

+

∫ ∫

∫

(B.42)

APÊNDICE B

100

B.7 – VALORES PARA h:

Mancal de 4 ressaltos:

Se 10 θ θ< < então 1h β=

Se 0 2πθ< < então 2h β=

Mancal de 8 ressaltos:

Se 10 θ θ< < então 1h β=

Se 1 1 2θ θ θ θ< < + então 2h β=

Se 1 2 1 22θ θ θ θ θ+ < < + então 1h β=

Se 1 22 2πθ θ θ+ < < então 2h β=

Mancal de 16 ressaltos:

Se 10 θ θ< < então 1h β=

Se 1 1 2θ θ θ θ< < + então 2h β=

Se 1 2 1 22θ θ θ θ θ+ < < + então 1h β=

Se 1 2 1 22 2 2θ θ θ θ θ+ < < + então 2h β=

Se 1 2 1 22 2 3 2θ θ θ θ θ+ < < + então 1h β=

Se 1 2 1 23 2 3 3θ θ θ θ θ+ < < + então 2h β=

Se 1 2 1 23 3 4 3θ θ θ θ θ+ < < + então 1h β=

APÊNDICE B

101

Se 1 24 3 2πθ θ θ+ < < então 2h β=

Mancal fresado:

Se 10 θ θ< < então 1h β=

Se 1 1 2θ θ θ θ< < + então 2h β=

Se 1 2 2πθ θ θ+ < < então 1h β=