CONCEITOS PRIMITIVOSPONTO

É um elemento da Geometria que não há como

dimensionar.Os pontos são

representados por uma letra maiúscula do nosso

alfabeto.

A

RETAReta é uma linha sem comprimento e sem

largura."As relas são representadas por uma letra minúscula do

alfabeto.

r

PLANOPlano ou Superfície é

aquilo que tem somente comprimento e largura.O plano é representado

por uma letra grega minúscula.

CONCEITOS IMPORTANTES

TEOREMA

São as proposiçõesque necessitam

de demonstrações paraserem aceitas.

Os pontos quepertencem à

mesma reta sãodenominados

colineares.

POSTULADOS OU AXIOMASSão as proposições primitivas geométricas que são aceitas sem

demonstração.

Vamos conhecer alguns Postulados.

POSTULADOS

POSTULADO 1Dada uma reta r, existem infinitos pontos

pertencentes a ela e há infinitos pontos não pertencentes a ela.

Os pontos A, C e E são colineares, pois existe uma reta que passa por eles.

POSTULADO 2Dado um plano alfa, existem infinitos pontos pertencentes a ele e há infinitos pontos não

pertencentes a ele.

Os pontos A, B e C são coplanares.

POSTULADO 3Dados dois pontos distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta r que passa por esses dois

pontos.

Dois pontos distintos sempre serão colineares.Dois pontos distintos A e B determinam uma reta AB.

POSTULADO 4Se dois pontos distintos A e B pertencem a um plano

alfa, então a reta r que passa pelos pontosA e B está contida em alfa.

POSTULADO 5Dados três pontos distintos A, B e C, não

pertencentes à mesma reta (não colineares), existe um único plano alfa que passa por esses três pontos.

POSTULADO 6

Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.

POSTULADO 7

Dados uma reta r e um ponto P não pertencente à reta r, existe uma, e somente uma, reta s

paralela a r passando por P.

POSTULADO 8

Um ponto P pertencente a uma reta r divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P.

POSTULADO 9

Uma reta r contida em um plano alfa divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é r.

POSIÇÕES RELATIVAS

POSIÇÕES RELATIVASDE UM PONTO E UMA RETA

Um ponto pode pertencer ou não a uma reta.

POSIÇÕES RELATIVASDE UM PONTO E UM PLANO

Um ponto P pode pertencer ou não a um plano alfa.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETASRETAS

COPLANARES

PARALELAS

CONCORRENTES

REVERSAS

RETAS PARALELASDuas retas r e s são paralelas quando são coplanares

e não tem ponto em comum..

RETAS CONCORRENTES

Duas retas r e s distintas são concorrentes quando tem um único ponto P em comum..

RETAS CONCORRENTES

Quando duas retas concorrentes formam ângulo reto (90°), são chamadas de retas perpendiculares.

RETAS REVERSASDuas retas r e s são reversas quando não são

coplanares.

RETAS REVERSASPor duas retas reversas, é possível passar uma, e

somente uma.

Quando duas relas são reversas e formam

ângulo reto, são denominadas retas

ortogonais.

EXEMPLO DE RETAS ORTOGONAIS

No cubo ABCDEFGH, as retas r e s são ortogonais.

EXEMPLOS DE RETAS PARALELAS

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EXEMPLOS DE RETAS CONCORRENTES

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Concorrentes e não perpendiculares

Concorrentes e perpendiculares

Todos os tipos

Todos os tipos

DETERMINAÇÃO

DE UM PLANO

DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

O que define um PLANO?

TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO

três pontos A, B e C não colineares são semprecoplanares e sobre eles passa um único plano.

T.01

TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO

Duas retas r e s paralelas.

T.02

TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO

Duas retas r e s concorrentes.

T.03

TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO

Uma reta r e um ponto P fora dela.

T.04

POSIÇÕES RELATIVASENTRE DOIS

PLANO

PLANOS PARALELOSDois planos distintos, alfa e beta, que não têm ponto em comum. A intersecção dos planos é um conjunto

vazio.Exemplo

PLANOS CONCORRENTESOU SECANTES

São dois planos distintos, alfa e beta, que têm uma reta em comum.

Exemplo

POSIÇÕES RELATIVASENTRE UMA RETA

E UM PLANO

RETA PARALELA AO PLANO

Uma rela s é paralela a um plano alfa se s e alfa não têm ponto em comum.

Exemplo

RETA CONTIDA NO PLANO

Uma reta r está contida em um plano alfa quando todos os pontos da reta pertencem ao plano.

RETA CONCORRENTE APLANO

Uma reta r é concorrente a um plano a quando r alfa e apresenta apenas um ponto P em comum

ao plano.

PERPENDICULARIDADEENTRE UMA RETA

E UM PLANO

UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:

A reta t for perpendicular a duas retas concorrentes r e s do plano alfa.

UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:

A reta t for perpendicular a uma reta e ortogonal a outra, sendo r e s retas

concorrentes do alfa.

UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:

A reta t for ortogonal às retas r e s concorrentes do plano alfa.

PERPENDICULARIDADE

ENTRE DOIS PLANO

UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:

Dois planos, alfa e beta, são perpendiculares se uma reta r de alfa é perpendicular a beta.