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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROBERTO CANOSSA
O PROFESSOR DE MATEMÁTICA E O TRABALHO COM MEDIDAS SEPARATRIZES
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2009
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROBERTO CANOSSA
O PROFESSOR DE MATEMÁTICA E O TRABALHO COM MEDIDAS SEPARATRIZES
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do(a) Profa. Dra
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho.
São Paulo
2009
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
A minha esposa, Maria, pelo companheirismo e pela compreensão.
A meus filhos, Hugo e Matheus, pela paciência.
A meus pais, Álvaro e Margarida, pelo amor e pelo incentivo.
AGRADECIMENTO
Primeiramente a Deus; sem Ele, nada existiria.
A minha esposa, Maria, e a meus filhos, Hugo e Matheus, pelos muitos
momentos ausentes.
À Professora Doutora Cileda que, mais do que uma professora, é uma
amiga.
À Professora Doutora Maria José, que muito contribuiu com suas
colocações.
À Professora Doutora Claudia, por suas intervenções e sugestões.
À Secretaria da Educação, pela oportunidade e pelo incentivo na realização
de minha formação acadêmica, com a concessão da bolsa.
A minha amiga Professora Maisa, pelo tempo e pela dedicação.
Aos colegas que, de alguma forma, contribuíram para o desenvolvimento
deste trabalho.
Ao professor e amigo Mario, pelas sugestões.
Aos alunos da Escola Estadual Anecondes Alves Ferreira, pela atenção e
pela colaboração.
Aos professores que participaram respondendo o questionário diagnóstico.
Ao professor Zico, pela colaboração nos textos em inglês.
Canossa, Roberto. O professor de Matemática e o trabalho com medidas separatrizes. Dissertação de Mestrado em Ensino de Matemática. São Paulo:
PUC-SP, 2009.
RESUMO
O estudo da Estatística passou, em 1997, a fazer parte do currículo da Escola
Básica, sendo necessária então a preparação dos professores de matemática
para a abordagem desse tema, uma vez que muitos deles não tiveram esse
conteúdo em sua formação inicial ou tiveram de forma superficial e tecnicista. As
pesquisas realizadas em nosso grupo apontam também para esses resultados.
Nossa motivação para a realização deste trabalho deve-se a esses resultados e à
grande dificuldade que alguns professores de matemática da rede pública do
Estado de São Paulo, especificamente na região de Diadema, têm em
desenvolver com seus alunos os conteúdos relativos a Estatística e suas
interpretações. Para isso, pretendemos responder a seguinte questão de
pesquisa: Quais as características didáticas de uma formação continuada para professores do Ensino Médio, visando o trabalho com conceitos de mediana e quartis, para que os alunos possam tomar decisões a partir da análise da variação percebida, com o auxílio do Dot-Plot e do Box-Plot? Para
tal verificação, elaboramos e aplicamos um questionário diagnóstico (apêndice 1),
realizamos oficinas de formação continuada a partir dos resultados desse
questionário e, por fim, observamos uma aula com a professora colaboradora. O
que pudemos notar é que a maioria dos professores não trabalha os conceitos de
mediana e quartis: limitam-se aos conceitos de média, variância e desvio-padrão,
inseridos apenas com fórmulas matemáticas, sem dar sentido para tais conceitos;
além disso, não têm conhecimento dos gráficos Dot-Plot e Box-Plot. A oficina
permitiu um avanço no nível de raciocínio e alfabetização estatística da
professora colaboradora, mas podemos perceber também que as duas sessões
de oficinas realizadas não foram suficientes para chegar ao nível 5 (processos de
raciocínio integrados) de raciocínio estatístico proposto por Garfield (2002).
Palavras-chave: análise exploratória de dados; variabilidade; mediana e quartis;
raciocínio estatístico.
Canossa, Roberto. The Mathematics Teacher and the work with position measures. Dissertation for Master’s Degree in Mathematics Education. São
Paulo: PUC-SP, 2009.
ABSTRACT
The study of Statistics became, in 1997, part of the curriculum of basic school,
therefore, the preparation of the mathematics teachers became necessary in order
to approach this theme, once many of the teachers either did not have this content
in his/her initial formation or had it, but in a superficial way. The surveys performed
by our group have also shown these results. These results and the great
difficulties some mathematics teachers from public schools, especially in Diadema,
have in developing, with the students, the Statistics contents and its interpretations
is our motivation to the realization of this paper. In order to do so, we intended to
answer the following question of research: What are the didactics characteristics
to a continued formation to High School teachers, aiming at working with concepts
of median and quartiles, so that students will be able to make decisions from the
analysis of the realized variation, with the help of Dot-Plot and Box-Plot? To such
verification, we have elaborated and applied a diagnose questionnaire (appendix
1), we have realized continued formation workshops from the results of these
questionnaires, and, at last, we have observed a class from a volunteer teacher.
We could notice that the majority of teachers do not work the concepts of median
and quartiles: they limit themselves to the concept of mean, variance and standard
deviation, inserted only as mathematics formulas, without giving sense to such
concepts; besides, they do not have knowledge of the graphs Dot-Plot and Box-
Plot. The workshop allowed an advancement concerning reasoning and statistical
literacy to the volunteer teacher. However, we could realize that the two sections
of workshop were not enough to get to level 5 (integrated process reasoning) of
statistical reasoning proposed by Garfield (2002).
Key-words: exploratory data analysis, variability, median and quartiles, statistical
reasoning.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................................................13
1 PROBLEMÁTICA .......................................................................................................................15
1.1 O PROBLEMA DE PESQUISA ......................................................................................................15 1.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.........................................................................................15
1.2.1 O Instrumento Diagnóstico .............................................................................................15 1.2.2 A Formação Continuada .................................................................................................16 1.2.3. A Avaliação da Formação..............................................................................................17
1.3 QUADRO TEÓRICO....................................................................................................................17 1.3.1 Raciocínio Estatístico......................................................................................................20 1.3.2 Alfabetismo Funcional.....................................................................................................23 1.3.3 Alfabetização Estatística .................................................................................................26 1.4 Algumas pesquisas na área ................................................................................................29
2 CONCEITOS ESTATÍSTICOS ELEMENTARES...................................................................39
3 PARTE EXPERIMENTAL .........................................................................................................59
3.1 ANÁLISES DO QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO.............................................................................60 3.2 OFICINA DE FORMAÇÃO CONTINUADA.....................................................................................81
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..........................................................................................................96
REFERÊNCIAS...............................................................................................................................98
APÊNDICE 1: QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO ..................................................................101
APÊNDICE 2: PRODUÇÃO DOS ALUNOS DURANTE A FORMAÇÃO ............................107
LISTA DE TABELAS TABELA 1: CLASSIFICAÇÃO DA POPULAÇÃO SEGUNDO A CONDIÇÃO DE ALFABETISMO, DE ACORDO COM OS
RESULTADOS DO INAF DE 2001 A 2007....................................................................................................25 TABELA 2: DISTRIBUIÇÃO DOS ALUNOS QUANTO AO GÊNERO...........................................................................45 TABELA 3: DISTRIBUIÇÃO DOS EMPREGADOS DO DEPARTAMENTO COMERCIAL, SEGUNDO O NÚMERO DE FILHOS.
................................................................................................................................................................50
TABELA 4: DISTRIBUIÇÃO DE 292 PROFESSORES EM CLASSES, QUANTO À IDADE, EM ANOS COMPLETOS ..........51 TABELA 5: DISTRIBUIÇÃO DOS PROFESSORES ENTREVISTADOS SEGUNDO AS FAIXAS ETÁRIAS ESTABELECIDAS62
TABELA 6: DISTRIBUIÇÃO DOS PROFESSORES, SEGUNDO O TEMPO DE MAGISTÉRIO ..........................................62 TABELA 7: NOTAS DOS ALUNOS DO GRUPO 1. ..................................................................................................71 TABELA 8: NOTAS DOS ALUNOS DO GRUPO 2. ..................................................................................................72 TABELA 9: NOTAS DOS ALUNOS DO GRUPO 3. ..................................................................................................72 TABELA 10: NOTAS DOS ALUNOS DO GRUPO 4. ................................................................................................72 TABELA 11: VARIAÇÃO DE NOTAS, ATIVIDADE 1 - QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO...........................................76 TABELA 12: IDADE (ANOS COMPLETOS)............................................................................................................78 TABELA 13: NÚMERO DE ALUNOS POR IDADE ...................................................................................................79
LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO 1: EXEMPLO DE DIAGRAMA DE SETORES ILUSTRANDO A DISTRIBUIÇÃO DOS ALUNOS SEGUNDO O
GÊNERO. ..................................................................................................................................................46 GRÁFICO 2: EXEMPLO DE DIAGRAMA DE SETORES ILUSTRANDO A DISTRIBUIÇÃO DOS ALUNOS SEGUNDO O
GÊNERO, COM AUXÍLIO DO EXCEL. ..........................................................................................................47 GRÁFICO 3: GRÁFICO DE BARRAS E COLUNAS ILUSTRANDO A DISTRIBUIÇÃO DOS ALUNOS QUANTO AO GÊNERO
................................................................................................................................................................47
GRÁFICO 4: GRÁFICO DE BARRAS E COLUNAS ILUSTRANDO A DISTRIBUIÇÃO DOS ALUNOS QUANTO AO GÊNERO,
COM AUXÍLIO DO EXCEL..........................................................................................................................48 GRÁFICO 5: DOT-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A..................................................................................49 GRÁFICO 6: DOT-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A, CONSTRUÍDO COM AUXÍLIO DO SOFTWARE FATHOM.
................................................................................................................................................................49
GRÁFICO 7: DIAGRAMA DE RAMOS-E-FOLHAS DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1ºA...............................................50 GRÁFICO 8: DISTRIBUIÇÃO DOS EMPREGADOS DO DEPARTAMENTO COMERCIAL, SEGUNDO O NÚMERO DE
FILHOS.....................................................................................................................................................51 GRÁFICO 9: DISTRIBUIÇÃO DE 292 PROFESSORES QUANTO À IDADE, EM ANOS COMPLETOS..............................52 GRÁFICO 10: POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS DA DISTRIBUIÇÃO DE 292 PROFESSORES QUANTO À IDADE, EM ANOS
COMPLETOS .............................................................................................................................................52 GRÁFICO 11: DOT-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A E OS VALORES DA MEDIANA E DOS QUARTIS. ..........56 GRÁFICO 12: DOT-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A E OS VALORES DA MEDIANA E DOS QUARTIS, COM
AUXÍLIO DO SOFTWARE FATHOM...........................................................................................................56 GRÁFICO 13: DOT-PLOT E BOX-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A............................................................57 GRÁFICO 14: BOX-PLOT DAS NOTAS DOS ALUNOS DO 1º A, CONSTRUÍDO COM AUXÍLIO DO SOFTWARE
FATHOM. ..............................................................................................................................................57 GRÁFICO 15:BOX-PLOT COM AS NOTAS DOS GRUPOS 1, 2, 3 E 4 ........................................................................74 GRÁFICO 16: BOX-PLOT IDADE (ANOS COMPLETOS) .........................................................................................78
LISTA DE FIGURAS FIGURA 1: ILUSTRAÇÃO DOS ELEMENTOS DE UMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS .....................44 FIGURA 2: CÍRCULO E ÂNGULO CENTRAL..........................................................................................................45
FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO ÂNGULO DE 120° OU 4515
DE 360° .................................................................46
FIGURA 4: ESQUEMA GRÁFICO DA MEDIANA E DOS QUARTIS ............................................................................53 FIGURA 5: RESPOSTA INCORRETA DA PARTE C, ATIVIDADE 1, DE UM DOS PROFESSORES RESPONDENTES. ........75 FIGURA 6: RESPOSTA CORRETA DA PARTE C, ATIVIDADE 1, DE UM DOS PROFESSORES RESPONDENTES. ...........75 FIGURA 7: RESPOSTA DA ATIVIDADE 2, PARTE C, ITEM (A), DIGITADA POR UM DOS PROFESSORES
RESPONDENTES........................................................................................................................................79 FIGURA 8: RESPOSTA DA ATIVIDADE 2, PARTE C, ITEM (B), DIGITADA POR UM DOS PROFESSORES
RESPONDENTES........................................................................................................................................79 FIGURA 9:RESPOSTA INCORRETA DA PARTE C, ATIVIDADE 2, ITEM (C). ............................................................80 FIGURA 10: TABELA CONSTRUÍDA PELA PROFESSORA, ENVIADA PARA NÓS POR E-MAIL. ..................................83 FIGURA 11: RESPOSTA DA QUESTÃO 2 DA FORMAÇÃO ......................................................................................83 FIGURA 12: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 A DA FORMAÇÃO. ..................................................................................84 FIGURA 13: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 B DA FORMAÇÃO ...................................................................................84 FIGURA 14:RESPOSTA DA QUESTÃO 3 C DA FORMAÇÃO. ...................................................................................85 FIGURA 15: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 D DA FORMAÇÃO. ..................................................................................86 FIGURA 16: RESPOSTA DA QUESTÃO 4 DA FORMAÇÃO. .....................................................................................86 FIGURA 17: RESPOSTA DA QUESTÃO 5 DA FORMAÇÃO. .....................................................................................87 FIGURA 18: DETERMINAÇÃO DA MEDIANA QUESTÃO 3 (A). ..............................................................................89 FIGURA 19: DETERMINAÇÃO DOS QUARTIS, QUESTÃO 3 (B). .............................................................................89 FIGURA 20: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 (C).........................................................................................................90 FIGURA 21: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 (D) E (E). ...............................................................................................90 FIGURA 22: GRÁFICO BOX-PLOT E DOT-PLOT CONSTRUÍDOS PELA PROFESSORA. .............................................91 FIGURA 23: RELATÓRIO SOBRE AS NOTAS.........................................................................................................91 FIGURA 24: JUSTIFICATIVA DO ALUNO COM RELAÇÃO À MEDIANA ...................................................................93 FIGURA 25: GRÁFICO DOT-PLOT E BOX-PLOT APRESENTADOS PELOS ALUNOS ................................................94 FIGURA 26: RESPOSTA DE UM DOS ALUNOS QUANTO À RECUPERAÇÃO .............................................................94 FIGURA 27: RESPOSTA DE OUTRO ALUNO QUANTO À RECUPERAÇÃO ................................................................95
13
Introdução
Nos últimos anos, a Estatística teve um avanço muito grande em sua
utilização nas diversas áreas, como por exemplo: em pesquisas eleitorais;
pesquisas de aceitação de produtos; controle estatístico de processo (CEP),
sendo por isso necessário um estudo mais profundo de suas principais
características, a fim de torná-la uma ferramenta de tomada de decisões das mais
eficientes.
Isso faz com que muitos pesquisadores e educadores desenvolvam
trabalhos que tornem acessíveis esses conceitos para professores, e estes
possam de maneira mais adequada contribuir para uma aprendizagem mais
significativa e possam também, de maneira geral, alfabetizar estatisticamente os
alunos. Conforme pesquisas recentes, que abordaremos mais adiante neste texto,
muitos professores já perceberam as vantagens de ensinar Estatística desde as
séries iniciais do Ensino Fundamental, o que é sugerido nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN).
Nesse sentido, a motivação para o desenvolvimento deste trabalho advém
da grande dificuldade manifestada por alguns professores da rede pública do
Estado de São Paulo, mais especificamente da região de Diadema, para trabalhar
os conceitos estatísticos e suas interpretações e análises. Quando abordam esse
assunto, em geral o fazem de forma tecnicista: limitam-se ao uso de algoritmo e a
uns poucos gráficos, sem nenhuma interpretação dos resultados obtidos. Tal fato
nos levou a desenvolver este trabalho com o objetivo de colaborar, de alguma
forma, para a formação continuada desses professores, para que possam
desenvolver com seus alunos uma abordagem que permita a sua alfabetização
estatística.
Esta dissertação está dividida em três capítulos, sendo o primeiro
destinado à apresentação do problema, desenvolvendo um quadro teórico para
fundamentar os níveis de alfabetização e raciocínio estatístico dos professores de
Matemática do Ensino Médio. Além disso, esse capítulo contém os procedimentos
metodológicos e revela estudos anteriores que se relacionam com o nosso tema.
Damos início ao segundo capítulo com uma breve definição do que é
Estatística, segundo alguns dos autores por nós pesquisados, e em seguida
14
apresentamos o que assumimos como análise exploratória de dados, de acordo
com Batanero, Estepa e Godino (1991).
Trabalhamos alguns conceitos, tais como: população, amostra, variável,
distribuição da variável; dados brutos e rol, distribuição de freqüências e medidas
resumo. Abordamos também algumas representações gráficas, como por
exemplo: setores, colunas, barras, histogramas, ramo-e-folhas, Dot-Plot e Box-
Plot, sendo estes dois últimos objetos deste trabalho. Finalmente, desenvolvemos
um breve estudo sobre os conceitos de mediana e quartis.
E, por fim, no terceiro capítulo apresentamos o questionário diagnóstico
utilizado, constituído de três partes: a primeira, para caracterizar o perfil do
professor entrevistado; a segunda, para verificar o grau de concordância no
desenvolvimento do planejamento das aulas em qualquer nível de ensino; e a
terceira parte, contendo duas atividades a serem resolvidas pelos professores.
Apresentamos também a formação desencadeada a partir de seus
resultados, que constou das discussões individuais com a professora
colaboradora e do acompanhamento de suas aulas sobre o tema.
Finalmente, nas considerações finais, apresentamos os principais
resultados que pudemos observar a partir da análise dos nossos dados coletados.
15
1 PROBLEMÁTICA
1.1 O Problema de Pesquisa
Este trabalho visa responder o seguinte problema de pesquisa:
Quais as características didáticas de uma formação continuada para
professores do Ensino Médio, visando o trabalho com conceitos de mediana e
quartis, para que os alunos possam tomar decisões a partir da análise da variação
percebida, com o auxílio do Dot-Plot e do Box-Plot?
1.2 Procedimentos Metodológicos
Para responder nossa questão de pesquisa, organizamos três fases em
nosso trabalho: aplicação de um questionário diagnóstico (apêndice 1),
elaboração de oficinas de formação continuada a partir dos resultados desse
questionário (apêndice 2) e observação de aula com a professora colaboradora,
para avaliar a evolução das concepções e das (ou “as”) práticas docentes sobre
os temas abordados.
1.2.1 O Instrumento Diagnóstico
Para a primeira fase, o grupo de pesquisa PEA-MAT1, coordenado pelo
Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, desenvolveu um projeto de pesquisa
PEA-ESTAT, para o qual utiliza um questionário que foi proposto a mais de
cinqüenta professores de escolas públicas do Estado de São Paulo (SP). Nenhum
critério de amostragem aleatória foi seguido para a aplicação, ficando a caráter do
professor a participação voluntária. Destes, apenas 20 nos enviaram o
questionário respondido, alegando falta de tempo ou não-familiarização com os
conceitos abordados.
Esse instrumento diagnóstico foi dividido em três partes:
1 Grupo cadastrado no CNPq, pertencente ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e certificado pela PUC-SP.
16
• a parte A visou fornecer dados a respeito do perfil do professor
(gênero, idade, tempo que leciona matemática, tipo de graduação,
outros cursos e cursos que estejam realizando);
• a parte B visou observar o grau de concordância a itens relativos ao
planejamento das aulas para um nível qualquer de ensino, com o
objetivo de trabalhar os conceitos de Estatística Descritiva.
• na parte C, solicitamos a resolução de duas atividades, para
levantar informações a respeito do conhecimento estatístico do
professor pesquisado, referente à utilização de medidas-resumo na
resolução de problemas.
O conjunto de atividades que formam o questionário diagnóstico foi
planejado para apresentar diversos níveis de complexidade, visando identificar o
nível de raciocínio2 (idiossincrático, verbal, transacional, procedimental e
processos de raciocínio integrados) e de alfabetização estatística3 (cultural,
funcional e científico) dos professores respondentes.
Pretendemos verificar as estratégias de resolução dos problemas
propostos e o modo como o professor irá inferir a partir dos resultados
observados, de modo que, ao término, possamos desenvolver oficinas de
formação que busquem suprir as lacunas de conhecimento observadas e que nos
auxiliarão a responder a questão de pesquisa apresentada anteriormente.
1.2.2 A Formação Continuada
Na segunda fase do trabalho elaboramos uma seqüência didática, que foi
trabalhada com uma professora voluntária. Essa professora se dispôs também a
trabalhar esse tema com seus alunos, a partir das atividades propostas na nossa
formação. Os elementos que formaram a base dessas atividades foram
levantados a partir da análise do instrumento diagnóstico.
2 Níveis propostos por Garfield (2002), que apresentaremos mais adiante neste texto. 3Níveis propostos por Shamos (1995, apud GAL, 2002), que apresentaremos mais adiante neste texto.
17
Para a formação continuada utilizamos os mesmos princípios e quadros
teóricos escolhidos para o desenvolvimento do projeto “Processo de Ensino e
Aprendizagem Envolvendo Raciocínio Estatístico e Probabilístico” (PEA-ESTAT),
atualmente em andamento no grupo PEA-MAT.
1.2.3. A Avaliação da Formação
Para verificarmos as mudanças ocorridas no professor participante deste
projeto — concepções, opiniões, conhecimentos específicos e pedagógicos —,
utilizaremos como diagnóstico uma entrevista.
1.3 Quadro Teórico
Nos referenciais para formação de professores publicados pelo MEC em
1999, tem-se que:
[...] apesar do empenho de muitos e do avanço das experiências já realizadas, há uma enorme distância – e não apenas no Brasil – entre o conhecimento e a atuação da maioria dos professores em exercício e as novas concepções de trabalho do professor que esses movimentos vêm produzindo. Trata-se, portanto, não apenas de realizar melhor a formação, mas, de realizá-la de uma maneira diferente. Tais mudanças exigem, dentre outras questões, que os professores reconstruam suas práticas e para isso, é preciso “construir pontes” entre a realidade de seu trabalho e o que se tem como meta. (BRASIL, 1999, p.16).
Tal afirmação refere-se à formação continuada de professores, que é
considerada imprescindível, no que diz respeito à atualização de seus
conhecimentos e técnicas na área específica que leciona e para desenvolver suas
competências e atitudes.
Para Showers, Joyce e Bennett (1987), os professores trazem para a
formação seus conhecimentos e habilidades; seu estilo de ensino e de
aprendizagem; suas características pessoais, tais como estágio de crescimento,
flexibilidade conceitual, senso de eficácia e conceitos pessoais, além de
percepções sobre suas necessidades e preferências por certos tipos de
desenvolvimento profissional.
Completando esse pensamento, esses autores, após uma análise de 200
estudos, mais uma revisão de literatura sobre desenvolvimento profissional do
docente, concluem que:
18
1. O que o professor pensa sobre ensinar determina o que o professor faz quando ensina. Na formação de professores, no entanto, precisa-se fazer mais do que “olhar para as ações” de ensino.
2. A maioria dos professores pode tirar informações úteis de suas classes, quando a formação inclui quatro partes:
a. Apresentação da teoria
b. Demonstração da nova estratégia
c. Prática inicial em oficinas
d. Feedback imediato de seus esforços
3. Professores estão prontos a aprender e usar novas estratégias e conceitos se receberem formação (Tanto expert como de seus pares) enquanto tentam novas idéias em suas aulas.
4. Professores competentes com auto-estima elevada geralmente aproveitam melhor as formações do que os demais colegas.
5. Flexibilidade mental (do pensamento) ajuda os professores a aprender novas habilidades e incorporá-las a seu repertório de métodos testados e verdadeiros.
6. Estilos de ensino individuais e orientações de valores nem sempre afetam as habilidades dos professores para aprender com o desenvolvimento profissional.
7. É necessário que o professor tenha um nível básico de conhecimento ou habilidades em um novo enfoque antes que possa assimilá-lo.
8. Parece não importar onde e como a formação é feita, e realmente não importa o papel do formador (administrador, professor – um igual, ou professor-orientador). O que importa é o design da formação.
9. Similarmente, os efeitos da formação não dependem da forma como professores organizam nem da forma como dirigem o programa de formação, embora a coesão social e a compreensão compartilhada facilitem a disposição dos professores para tentar novas idéias. (SHOWERS; JOYCE; BENNET, 1987, p.97, tradução nossa).
É imprescindível que se desenvolvam práticas onde os professores se
tornem facilitadores do diálogo entre os alunos, construindo e desenvolvendo o
pensamento e o raciocínio estocástico, alcançando níveis satisfatórios na
alfabetização estocástica. De acordo com Carvalho (2003, p.4):
[...] a formação inicial dedica-se pouco a procurar promover as condições para que, mais tarde, quando o professor está na sala de aula com os alunos, consiga desenvolver actividades e práticas pedagógicas que vão ao encontro das recomendações para o Ensino da Estatística.
Pacheco e Flores (1999, p.15) acrescentam:
Na prática, o que os professores pensam, fazem, escrevem, verbalizam deve-se, por um lado, a um conhecimento que é o resultado de um processo aquisitivo e, por outro, a um conhecimento que se consubstancia num discurso sobre uma prática ou um modo de ação.
19
Segundo esses autores, o professor tem como tarefa selecionar e
organizar as atividades didáticas, de acordo com a situação, acrescentando a
elaboração didática de novas atividades, conforme suas concepções,
completando as já existentes nos materiais curriculares.
Monteiro (2001, p.164) afirma que:
[...] o comportamento profissional dos professores se guia por um complexo sistema de conhecimentos, crenças, valores, teorias, princípios, que regulam a sua atividade. Claro que desta constatação importante não se deduz que exista uma total correspondência entre o sistema conceitual que os professores possuem e sua atividade na aula. Antes se verificam discrepâncias entre o que se diz e o que se faz, o que se pensa e o que se diz pensar.
Concordamos com este autor, quando ele afirma que o professor é um
construtor ativo do currículo, mudando tanto de forma enriquecedora como não.
Fazemos a hipótese de que o conhecimento didático do conteúdo seja
fundamental nesse processo de transformação curricular e no processo de
aprender a ensinar.
Marques e Praia (1991, p.17) consideram que, por ser esse processo muito
complexo, é necessário um tempo para a maturação das idéias e também das
atitudes que possibilitarão as transformações em ações realizadas por
professores. Esta complexidade fica explícita quando os autores citam Benavente
(1988, apud MARQUES e PRAIA, 1991), para quem a mudança
[...] não se processa de fora para dentro nem apenas de dentro para fora; criar condições estruturais, abrir espaços, fornecer apoios são actividades possíveis de fora para dentro; mobilizar energias, construir respostas, ensaiá-las, avaliá-las, transformar de facto as práticas institucionais, ocupando os espaços profissionais, são certamente mudanças de dentro para fora; só neste duplo movimento, nesta tensão entre estruturas e pessoas, entre fora e dentro, se gera a mudança. (BENAVENTE, 1988, apud MARQUES e PRAIA, 1991, p.17).
Ainda neste contexto, Benavente (1988, apud MARQUES e PRAIA, 1991)
chama a atenção para a dialética de responsabilidades dos envolvidos nesse
processo, uma vez que é imprescindível um campo fértil na organização escolar e
na pessoa do professor, evidenciando que o tempo é muito importante para a
efetivação dessas mudanças.
Em síntese, os textos apresentados constituem o quadro teórico do projeto
PEA-ESTAT e, por conseqüência, o deste trabalho, sendo pano de fundo para a
análise dos dados coletados.
20
1.3.1 Raciocínio Estatístico
Definiremos, em seguida, o que entendemos por raciocínio, a partir dos
estudos já feitos por outros pesquisadores.
Costa e Capovilla (1997, apud SILVA, C. B., 2007) definem raciocínio como
um processo no qual pessoas geram argumentos e aplicam seus conhecimentos
para alcançar uma meta. Walton (1990, apud SILVA, C. B., 2007) afirma que o
raciocínio vai ocorrer dentro de um discurso ou de um argumento, diferentemente
de outros autores que afirmam que discurso e argumento são sinônimos. Para o
autor, “raciocínio é a elaboração de suposições denominadas premissas (ponto
de partida) e o processo de movimentar essas premissas para uma conclusão
(ponto de chegada) por meio de regras”. (ibid., p.32).
SILVA, C. B. destaca também que nem todo raciocínio se manifesta na
forma de um argumento ou discurso, afirmando que “um indivíduo pode raciocinar
em um jogo de xadrez [...] ou o raciocínio pode ocorrer para oferecer ou entender
uma explicação.” (ibid., p.32).
Costa e Capovilla (1997, apud SILVA, C. B., 2007) afirmam que há uma
relação íntima entre o estudo sobre raciocínio e a resolução de problemas,
propondo três categorias amplas de raciocínio.
a) raciocínio dedutivo: onde se procura a compreensão de como as pessoas inferem as conseqüências das informações que são dadas, ou seja, como as pessoas avaliam a validade de argumentos lógicos; b) raciocínio indutivo: tenta descobrir como as pessoas formulam e testam hipóteses de maneira a descobrir regras gerais e c) raciocínio estatístico: compreensão de como as pessoas fazem inferências de natureza probabilística. (COSTA E CAPOVILA apud SILVA, C. B., 2007, p. 32)
Este último é o que nos interessa nesta pesquisa, uma vez que nos
preocupamos com a percepção, com a apreensão da variabilidade como
ferramenta fundamental para a construção do raciocínio estatístico.
Ainda na busca de estabelecer parâmetros para definir “raciocínio”, citamos
particularmente Garfield (2002). Para essa autora, o raciocínio estatístico é “a
forma como as pessoas raciocinam com idéias estatísticas e atribuem sentido à
informação estatística”. Ela explica que o raciocínio estatístico é organizado em
cinco níveis — nível 1: raciocínio idiossincrático; nível 2: raciocínio verbal; nível 3:
21
raciocínio transacional; nível 4: raciocínio procedimental e nível 5: processos de
raciocínio integrados.
Fazemos a hipótese de que, para obter um nível mais avançado de
raciocínio estatístico, é preciso que se criem melhores condições de ensino, para
que os alunos possam comparar conceitos, avaliar uma maneira mais adequada
de analisar uma variável num conjunto de dados, mudar de representações,
entender contra-exemplos, etc. Dessa forma, os professores devem estar
preparados para organizar tais condições. Para Garfield (2002), os professores de
Estatística limitam-se a ensinar conceitos e procedimentos, mas esperam que o
raciocínio estatístico seja desenvolvido naturalmente. Note-se que, nesse sentido,
nem sempre a variabilidade é trabalhada adequadamente.
Para analisarmos o raciocínio estatístico no que concerne às medidas-
resumo, Garfield (2002) fornece-nos uma série de pontos que devem ser
pesquisados: a compreensão dos motivos pelos quais as medidas de tendência
central, dispersão e posição nos fornecem diferentes informações sobre uma
determinada variável; a compreensão de como uma medida representa
adequadamente, ou não, uma variável; a compreensão de que a utilização de
medidas-resumo para fazer predições com a utilização de amostras grandes será
mais precisa do que com amostras pequenas; o entendimento do porquê de uma
boa medida-resumo dever conter uma medida de centro e uma medida de
variação; e ainda por que as medidas de centro e dispersão podem ser usadas
para comparar duas distribuições.
Abaixo descreveremos um modelo geral de raciocínio estatístico
desenvolvido por Garfield (2002, p.11):
Nível 1: Raciocínio idiossincrático: existe certo conhecimento de termos e símbolos estatísticos, mas sua utilização é feita sem o devido entendimento e muitas vezes de forma incorreta. Por exemplo: comparar a média com o desvio padrão, ou fazer julgamento sobre uma boa média ou desvio padrão;
Nível 2: Raciocínio verbal: Há a compreensão verbal dos conceitos, mas não ocorre a aplicação em procedimentos reais. O indivíduo escolhe ou comunica uma definição correta, mas não compreende seu significado. Por exemplo: por que a média é maior que a mediana em distribuições assimétricas positivas?
Nível 3: Raciocínio transacional: identifica corretamente uma ou mais dimensões de um conceito estatístico, mas não consegue integrá-las completamente. Por exemplo: uma amostra grande apresenta intervalo
22
de confiança mais estreito. Um desvio padrão menor conduz a um intervalo de confiança melhor. Não é capaz de relacionar estas dimensões.
Nível 4: Raciocínio procedimental: está apto a identificar corretamente as dimensões de um conceito ou processo estatístico, mas não os integra completamente ou não é capaz de entender o processo. Por exemplo: o aluno entende que correlação não implica causa-efeito, mas não pode explicar completamente o porquê.
Nível 5: Processos de raciocínio integrados: neste nível existe a compreensão completa do processo ou conceito estatístico, coordena as regras e comportamentos, utiliza suas próprias palavras para explicar um conceito. Por exemplo: explica o que um intervalo de confiança de 95% significa em termos de processo de amostras repetidas da população.
Pretendemos, baseados nesses níveis de raciocínio estatístico sobre
variabilidade, desenvolver uma proposta de formação continuada, buscando
propiciar ao professor uma evolução que vise atingir o nível 5 proposto por essa
autora.
Garfield (2002) julga necessário, para que os alunos alcancem o nível 5 do
modelo de raciocínio, que tenham uma vasta experiência com uma variedade de
atividades — textos e explicações verbais, atividades concretas envolvendo
amostragem de populações finitas, e interpretações com populações simuladas e
distribuições amostrais quando os parâmetros são variados. Tais atividades
também podem ser utilizadas na formação de professores, buscando desenvolver
os níveis de raciocínio propostos por essa autora. Segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNEF), ninguém ensina o
que não sabe. Assim, acreditamos que o professor deva estar em um nível 5 de
raciocínio, para que possa orientar seu aluno, visando que este também evolua
na construção de seu próprio raciocínio.
Garfield e Chance (2000, apud GARFIELD, 2002) apresentam-nos algumas
sugestões para técnicas de avaliação na sala de aula, visando avaliar o raciocínio
estatístico dos alunos. Essas técnicas incluem estudo de caso ou tarefa autêntica
— problemas detalhados que se baseiam em contextos reais que revelam
estratégias e interpretações dos alunos ao resolverem o problema —, mapas
conceituais, críticas de idéias estatísticas ou publicações em jornais, artigos-
minuto, itens de múltipla escolha aumentada e a avaliação do raciocínio
estatístico.
23
Dessa forma, as atividades a serem trabalhadas na avaliação buscarão
seguir estas técnicas, tais como mapas conceituais e/ou tarefa autêntica,
buscando diagnosticar os níveis de raciocínio estatístico sobre variação propostos
por Garfield (2002).
1.3.2 Alfabetismo Funcional
O significado de alfabetismo tem estado em constante mudança ao longo
das últimas décadas. Segundo o dicionário Aurélio século XXI (2001), alfabetizar
significa ensinar a ler e escrever. Em meados de 1958 a Unesco definia como
alfabetizada uma pessoa capaz de ler e escrever um enunciado simples,
relacionado com a vida cotidiana. Vinte anos depois eles sugeriram a adoção de
conceitos de alfabetismo e alfabetismo funcional: passou a ser considerada
alfabetizada funcional a pessoa capaz de utilizar a leitura, a escrita e as
habilidades matemáticas para fazer frente às demandas de um contexto social e
valer-se delas para um aperfeiçoamento ao longo da vida.
Para falarmos de alfabetismo funcional, basear-nos-emos no que está
disposto no Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (Inaf), que determina os
níveis de alfabetismo funcional da população brasileira. O objetivo desse
indicador é trazer informações sobre as habilidades e as práticas de leitura,
escrita e matemática dos brasileiros entre 15 e 64 anos de idade, de regiões
urbanas e rurais de todo o país.
Para nosso trabalho daremos atenção aos testes aplicados nos anos de
2002, 2004 e aos dados referentes ao ano de 2007, da 6ª edição, que verificou
habilidades de leitura e escrita e habilidades de Matemática em uma mesma
prova, que está disponível no site do Instituto Paulo Montenegro.
Os dados do Inaf são coletados anualmente, e os testes, a partir de 2007,
abordam temas práticos do cotidiano, como: bilhetes, notícias, instruções, textos
narrativos, gráficos, tabelas, mapas, anúncios etc. Os testes ainda vêm
acompanhados de um amplo questionário que aborda características sócio-
demográficas e as práticas do dia-a-dia dos entrevistados.
As tarefas propostas pelo Instituto Paulo Monte Negro (IPM), em diferentes
níveis de dificuldades, possibilitaram a descrição das habilidades de letramento e
24
numeramento exigidas, verificando elementos comuns nos níveis de
complexidade das tarefas. A partir daí definiram-se os quatro níveis de
alfabetização.
Analfabetismo: situadas neste nível estão as pessoas que não conseguem realizar tarefas simples que envolvam leitura de palavras e frases, ainda que uma parcela destes consiga ler números familiares (números de telefone, preços etc.).
Alfabetismo nível rudimentar: neste nível estão as pessoas que têm a capacidade de localizar uma informação explícita em textos curtos e familiares, tais como anúncios ou pequenas cartas; ler e escrever números usuais realizando operações simples, como por exemplo, manusear dinheiro para pagamento de pequenas quantias ou fazer medidas de comprimento usando a fita métrica.
Alfabetismo nível básico: são classificadas neste nível pessoas que são funcionalmente alfabetizadas, uma vez que lêem e compreendem textos de média extensão, localizam informações mesmo que seja necessário realizar pequenas inferências, lêem números na casa de milhões, resolvem problemas envolvendo seqüências simples de operações e têm noção de proporcionalidade. Mas são limitadas quando as operações envolvem maiores números de elementos, etapas ou relações.
Alfabetismo nível pleno: neste nível estão as pessoas que não mais impõem restrições para compreender e interpretar elementos usuais da sociedade letrada. Elas lêem textos mais longos, relacionando suas partes, comparam e interpretam informações, distinguem fato de opinião, realizam inferências e sínteses. Em relação à matemática, são capazes de resolver problemas que exigem maior planejamento e controle, envolvendo percentuais, proporções e cálculo de área, além de interpretar tabelas de dupla entrada, mapas e gráficos. (INSTITUTO PAULO MONTENEGRO. Disponível em: http://www.ipm.org.br. Acesso em: 27 jan. 2008).
Os níveis dispostos acima definem habilidades medidas por meio de uma
escala combinada, que inclui leitura, escrita e matemática.
Na tabela 1 é mostrada a evolução do indicador para o Total Brasil no
período de 2001 a 2007; para o período de 2001-2005 foram utilizadas médias
móveis, para assegurar a comparabilidade dos dados.
25
Tabela 1: Classificação da população segundo a condição de alfabetismo, de acordo com os resultados do Inaf de 2001 a 2007
2001- 2002 2002- 2003 2003- 2004 2004- 2005 2007 Analfabeto 12% 13% 12% 11% 7% Rudimentar 27% 26% 26% 26% 25%
Básico 34% 36% 37% 38% 40% Pleno 26% 25% 25% 26% 28%
Fonte: Instituto Paulo Montenegro http://www.ipm.org.br. Acesso em: 27 jan. 2008.
Podemos observar nos dados que o índice de brasileiros de 15 a 64 anos
classificados pelo Inaf como analfabetos absolutos vem caindo ao longo dos
anos, passando de 12%, em 2001, para 7%, em 2007. O mesmo ocorre no nível
rudimentar, passando de 27%, em 2001, para 25%, em 2007. Em relação ao nível
básico, observamos um crescimento que passou de 34%, em 2001, para 40%, em
2007. E, por fim, verificamos uma oscilação em torno de ¼ do total de brasileiros
no período de 2001 a 2005, mas já percebemos um avanço em 2007, passando
para um total de 28%.
Muitas vezes nos deparamos com alunos com dificuldades em aprender
certos conteúdos da matemática e, ao investigar o porquê de tal dificuldade,
encontramos alunos desmotivados e de alguma forma traumatizados com a
matemática. Verificar o nível de alfabetização desses alunos é importante para o
seu desenvolvimento, pois, diante dos resultados encontrados, podemos traçar
estratégias para o seu desenvolvimento, buscando elevá-los ao nível pleno da
alfabetização.
A Estatística pode ser uma ferramenta bastante eficiente para articulação
entre campos matemáticos, visando à alfabetização e ao letramento.
Acreditamos que, se o indivíduo for capaz de ler, interpretar, tratar e
comunicar os dados de uma forma segura e crítica, ele seja capaz também de
desenvolver as habilidades necessárias a fim de alcançar um nível de
alfabetização estatística equivalente ao nível pleno estabelecido pelo Inaf,
imprescindível para a formação do cidadão. Poderá também atingir os níveis mais
elevados do raciocínio estatístico, nos termos de Garfield (2002).
26
1.3.3 Alfabetização Estatística
Segundo Wallman (1993, apud SILVA, J. C., 2007, p.19):
[...] alfabetização estatística é a habilidade para entender, avaliar criticamente resultados estatísticos que fazem parte do cotidiano, juntamente com a habilidade para apreciar as contribuições que o pensamento estatístico pode fazer em decisões públicas e privadas profissionais e pessoais.
Segundo Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, apud SILVA, J. C., 2007), a
caracterização em diferentes níveis de alfabetização deveu-se ao fato de que
vários setores significativos da população, mesmo os escolarizados, não eram
capazes de realizar tarefas do dia-a-dia que exigiam a mobilização de
conhecimentos supostamente adquiridos durante a escolarização. Então,
podemos considerar que a alfabetização aqui referida é a capacidade particular e
um modo de comportamento para que se tenha a compreensão e a utilização de
informações nas atividades cotidianas, de forma similar ao que é definido pelo
Inaf. Quando pensamos cidadãos com competência em Estatística, não podemos
reduzir essa competência aos seus saberes característicos: devemos aqui
acrescentar a estes as atitudes, os valores e as capacidades.
Para o desenvolvimento de nosso trabalho, adotaremos a tradução para o
português da palavra da língua inglesa literacy, que em Portugal e para alguns
autores brasileiros tem sido traduzida como “literacia ou letramento”.
Literacy é o estado ou condição que assume aquele que aprende a ler e escrever. Implícita neste conceito está a idéia de que a escrita traz conseqüências sociais, culturais, políticas, econômicas, cognitivas, lingüísticas, quer para o grupo social em que seja introduzida, quer para o indivíduo que aprenda a usá-la. (SOARES apud SILVA, J. C., 2007, p.20)
Particularizando para o contexto estatístico, Lopes (2003, apud SILVA, J.
C., 2007, p.20), afirma:
A literacia estatística requer que a pessoa seja capaz de reconhecer e classificar dados como quantitativos e qualitativos discretos ou contínuos e saiba como o tipo de dados conduz a um tipo específico de tabela, gráfico, ou medida estatística. Precisa saber ler e interpretar tabelas e gráficos, entender as medidas de posição e dispersão, usar as idéias de aleatoriedade, chance e probabilidade para fazer julgamento sobre eventos incertos e relacionar a amostra com a população. Espera-se, ainda, que o indivíduo saiba como julgar e interpretar uma relação entre duas variáveis. Pode-se notar que isso é muito mais do que possuir competências de cálculo, é preciso adquirir hábitos para compreender a
27
leitura e a interpretação numérica necessária para o exercício pleno da cidadania com responsabilidade social na tomada de decisão.
Novamente, podemos observar que o significado apresentado pode ser
associado ao atribuído para a expressão “alfabetização funcional” utilizada pelo
Inaf. Entendemos que, para que uma pessoa possa ter as habilidades e as
competências citadas, ela precisa minimamente ter o nível pleno de alfabetização
funcional.
Shamos (1995, apud MORAIS, 2006) trabalha com uma estrutura
composta de três níveis para a caracterização da alfabetização estatística.
Devemos observar aqui que Morais (2006) adota o termo “letramento” para
traduzir “literacy”.
O primeiro, considerado básico, é o letramento cultural, referindo-se às pessoas que compreendem termos básicos usados comumente nos meios de comunicação diante de assuntos relacionados à ciência. O segundo, chamado de letramento funcional, relativo à capacidade do sujeito de conversar, ler informações, utilizando termos científicos coerentes. O terceiro e último, o letramento científico relativo aos conhecimentos científicos de esquemas conceituais primordiais ou de teorias que fundamentem a ciência aliada à compreensão dos processos científicos e investigativos mobilizados na resolução de situações-problema. Nessa fase, o indivíduo age com autonomia e segurança nas escolhas de métodos e representações estatísticas, como também na capacidade de analisar dados considerando-se a variabilidade existente. (SHAMOS, 1995, apud MORAIS, 2006, p.24).
Assim, Morais acrescenta em seu texto alguns exemplos para facilitar a
compreensão desses níveis no contexto da introdução à Estatística Descritiva.
Para essa autora, quando somos capazes de ler e reconhecer as
informações contidas em tabelas e/ou gráficos, estamos no nível cultural. Mas, se
além da capacidade de ler e interpretar as informações contidas em dados
representados em tabelas e/ou gráficos, formos capazes de organizar os dados
nessas representações, identificando e considerando as variações na sua análise,
passaremos ao nível funcional. E, por fim, se tivermos as habilidades
mencionadas anteriormente e formos capazes de fazer inferências e previsões
sobre as informações contidas em vários registros, analisando e considerando a
variabilidade existente, alcançaremos o nível científico.
Se compararmos as habilidades propostas em cada nível de alfabetização
do Inaf (2007) e por Shamos (1995, apud MORAIS, 2006), faremos a hipótese de
que a alfabetização nível rudimentar e nível básico (Inaf) poderiam ser inseridas
28
como subdivisões do nível de alfabetização cultural proposto por Shamos (1995).
Também podemos verificar que a alfabetização nível pleno, proposta pelo Inaf,
permite ao indivíduo atingir o nível funcional e científico na alfabetização
estatística. Dessa forma podemos inferir que 72% dos brasileiros entrevistados
não atingem habilidades suficientes para alcançar o nível de alfabetização
estatística no nível funcional. Analisando a formação acadêmica dos indivíduos,
podemos supor que só no ensino superior ele conseguirá atingir o nível científico
de alfabetização; portanto, deve passar pelos outros níveis durante o processo de
escolaridade básica.
Na busca de compreensão dos níveis de alfabetização estatística, Gal
(2002) sugere um modelo composto por cinco elementos cognitivos e por dois
elementos de disposição. Os cognitivos serão os responsáveis para que as
pessoas alcancem as seguintes competências: compreender, interpretar e avaliar
criticamente as informações estatísticas.
Os elementos cognitivos propostos por Gal (2002, apud SILVA, J. C., 2007)
são:
• O conhecimento procedimental, que é a forma pela qual os dados são produzidos.
• O conhecimento matemático, aquele que abrange conceitos, teorias, teoremas, métodos e técnicas matemáticas essenciais ao desenvolvimento das habilidades estatísticas.
• O conhecimento estatístico, que ressalta a importância dos dados, dos termos e das idéias básicas da estatística descritiva, além de incluir a familiaridade referente às representações tabulares e gráficas, as noções básicas de probabilidade e a compreensão das conclusões e inferências obtidas.
• O conhecimento do contexto, o principal determinante, pela familiaridade do leitor com as fontes de variação e com o erro das informações estatísticas, tornando-se fonte de medida e base de tratamento de dados.
• A habilidade crítica, que está relacionada com a capacidade crítica do sujeito que age com base nos dados, ou seja, com a capacidade de receber uma informação estatística e analisá-la criticamente. (GAL, 2007, apud SILVA, J. C., p. 22).
Há também os elementos de disposição, que são os responsáveis pela
postura ativa diante da informação estatística, que são:
• A postura crítica, ou seja, a propensão de um indivíduo adulto para um comportamento questionador diante de informações quantitativas
29
unilaterais, enviesadas ou incompletas, seja de maneira intencional ou não.
• E também as crenças e atitudes, segundo as quais o indivíduo pode ser capaz de interpretar as informações estatísticas e ter uma atitude positiva em relação às investigações estatísticas, levando-o a uma postura crítica em relação às informações. (GAL, 2002, apud SILVA, J. C., 2007, p. 23).
De acordo com o modelo proposto por esse autor, o indivíduo alfabetizado
estatisticamente deverá ser capaz de mobilizar os conhecimentos matemáticos,
estatísticos, procedimentais, críticos e do conceito, de modo que eles se reflitam
em suas decisões. Afirma ainda que a alfabetização estatística subentende um
conhecimento mínimo de conceitos e de procedimentos e, para chegarmos ao
nível funcional ou científico proposto por ele, devemos desenvolver habilidades
específicas, tais como:
1) a habilidade de a pessoa interpretar, criticar e avaliar a informação estatística, com argumentos relacionados aos dados ou aos fenômenos estocásticos que podem ser encontrados em diversos contextos; 2) a habilidade de discutir e comunicar suas reações perante tal informação estatística; 3) a compreensão do significado da mesma, bem como opiniões sobre as implicações desta informação, ou dos interesses a respeito do acesso às conclusões obtidas (GAL, 2002, apud SILVA, J. C., 2007, p.23).
Para uma reflexão crítica e para uma tomada de decisões conscientes,
concordamos com este autor que é necessário, além das habilidades do indivíduo
alfabetizado estatisticamente, o conhecimento do contexto.
1.4 Algumas pesquisas na área
Com o objetivo de identificar como esses professores mobilizam os
conhecimentos estatísticos quando confrontados com problemas que envolvam
medidas de tendência central, variabilidade e representação gráfica e qual o seu
nível de alfabetização estatística, Cardoso (2007) fez uma reaplicação do
instrumento diagnóstico utilizado por Bifi (2006). Enquanto Bifi (2006) trabalhou
com alunos de um curso de Administração, Cardoso estudou as respostas
fornecidas por professores em exercício no Ensino Médio, na rede pública do
Estado de São Paulo.
Cardoso (2007) contou com 29 professores de matemática que
responderam um questionário de forma individual e voluntária, podendo consultar
30
livros didáticos, caso fosse necessário relembrar alguma fórmula ou conceito.
Foram estipulados 150 minutos para realização das atividades, compostas de três
partes distintas: na primeira foi fornecido um banco de dados com a idade e a
renda mensal de quarenta pessoas supostamente entrevistadas. A segunda parte
era composta de duas tabelas de distribuição de freqüências, sendo a primeira
sem intervalos de classes e a segunda com intervalo de classes. A terceira parte
representava a mesma distribuição da segunda parte, mas de forma gráfica. A
idéia do autor era identificar os níveis de dificuldades relacionados às diferentes
formas de apresentação de um problema. Para auxiliar na identificação das
dificuldades que os professores apresentaram na resolução das atividades,
Cardoso (2007) construiu algumas categorias a partir das identificadas por Bifi
(2006). Com relação à média, as categorias são:
a) Os professores analisarão a média, interpretando corretamente seus resultados.
b) Os professores analisarão a média, porém interpretando seus resultados como um ponto de equilíbrio da distribuição.
c) Os professores analisarão o desvio padrão, interpretando corretamente seus resultados como medida de dispersão, fazendo associação com a média.
d) Os professores relacionarão média e desvio padrão, interpretando seus valores como indicadores de variabilidade em relação à média.
e) Os professores relacionarão a média e o desvio padrão, mas sem interpretar a variabilidade.
f) Outras categorias que podem emergir na análise dos resultados. (CARDOSO, 2007, p.20).
Com relação à mediana, existem as seguintes categorias:
a) Os professores analisarão a mediana, interpretando corretamente seus resultados como valor central de uma distribuição, de forma que existam tantos valores superiores ou iguais como inferiores ou iguais a ela;
b) Os professores analisarão os quartis, interpretando corretamente seus resultados como uma medida separatriz;
c) Os professores analisarão os quartis, que é uma medida que permite dividir a distribuição em quatro partes iguais, como indicadores de variabilidade em relação à mediana;
d) Os professores relacionarão mediana e quartis, interpretando as medidas de variabilidade. (CARDOSO, 2007, p.21).
31
Cardoso (2007) verificou que os professores não encontravam dificuldade
em resolver as questões no âmbito dos cálculos algébricos, mas não conseguiam
justificar ou dar significado para eles. Mesmo com questionamentos colocados
pelo pesquisador durante as atividades, com o intuito de dar condições aos
professores de exteriorizar os significados, estes continuavam “presos” aos
valores numéricos, acreditando que esses valores eram auto-explicativos. Diante
disso, ele pôde inferir que esses professores se classificam no nível cultural,
segundo Shamos (1995, apud MORAIS, 2006). Cardoso (2007) verificou também,
pelo fato de os professores atribuírem a qualquer banco de dados a noção de
simetria, ou seja, por julgarem que qualquer distribuição é simétrica, que em
alguns momentos eles confundiam os conceitos de média e mediana. Ele
observou também que os professores têm a necessidade de efetuar cálculos
algébricos para todos os tipos de questão, sem questionar sua validade ou seu
significado de acordo com o contexto no qual o problema foi proposto. Por
exemplo, uma das atividades pedia apenas uma análise de um gráfico
apresentado, sem necessidade de cálculos. Como conclusão, Cardoso levanta a
necessidade de uma seqüência didática para que esses professores tenham uma
formação continuada e possam, assim, atingir o nível científico de alfabetização
funcional, capacitando-se a organizar novas situações didáticas para que seus
alunos também possam evoluir nesses níveis.
Seguindo o que foi proposto por Cardoso (2007), desenvolvemos neste
trabalho uma seqüência didática que vise facilitar a evolução no nível de
raciocínio e a alfabetização estatística.
Silva, J. C. (2007) fez um estudo dos conhecimentos estatísticos
abordados nos exames oficiais (Saeb, Enem e Saresp), relacionando-os com os
conteúdos apresentados nos livros didáticos. Verificou também quais os níveis de
alfabetização encontrados nesses livros e documentos oficiais e qual o nível de
alfabetização necessário para se obter um bom desempenho nos exames oficiais.
Após analisar os conteúdos estatísticos sugeridos nos documentos oficiais
— Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM),
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN+) e Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio
(PNLEM) —, esse autor selecionou arbitrariamente duas coleções de matemática
32
dentre as aprovadas pelo PNLEM e desse material foram observadas questões
relacionadas à Estatística que mais tivessem elementos para o desenvolvimento
do trabalho para alfabetização dos alunos. O objetivo foi verificar se os conceitos
referentes ao pensamento estatístico são focados nessas atividades. As questões
foram analisadas segundo a organização praxeológica proposta por Chevallard
(1999). Foi analisada também a relação entre as tarefas e as técnicas referentes
à Estatística, identificando o conhecimento proposto por Gal (2002) e Wild e
Pfannkuch (1999), os conhecimentos matemáticos e estatísticos do contexto
envolvidos em cada uma das atividades. Além disso, buscou-se identificar se o
discurso teórico-tecnológico está fundamentado nos componentes do
conhecimento estatístico. E, por fim, foram verificados os conhecimentos
estatísticos abordados nos exames oficiais, segundo a organização praxeológica.
Ao término da análise de cada uma das coleções, Silva, J. C. (2007)
procurou identificar os níveis de alfabetização estatística propostos por Shamos
(1995, apud Morais, 2006) e a proporção destinada à Estatística nesses livros
didáticos, verificando sempre se estavam de acordo com as orientações
propostas pelos documentos oficiais.
Esse autor verificou que os documentos oficiais (PCNEM, PCN+ e PNLEM)
estão direcionados para o desenvolvimento do pensamento estatístico,
promovendo situações que levem os alunos a coletar e organizar dados,
interpretar tabelas e gráficos, formulando argumentos convincentes para tomadas
de decisões. Pôde, então, inferir que esses documentos oficiais contemplam o
nível funcional proposto por Shamos (1995, apud MORAIS, 2006), dando aos
alunos condições de acesso ao nível científico.
Pode-se observar no trabalho citado que os livros didáticos analisados não
enfatizam muito a Estatística, tendo em vista o baixo índice de exercícios
propostos, enquanto nos exames oficiais a cobrança em relação a essa área do
saber é grande, chegando, em alguns casos, a 28,6% (Enem, 2005) dos
exercícios propostos. A partir das análises dos livros didáticos, Silva, J. C. (2007)
inferiu que eles estejam classificados no nível cultural, segundo Shamos (1995,
apud MORAIS, 2006), enquanto para um bom desempenho nos exames oficiais
será necessário pelo menos estar no nível funcional.
33
Esse trabalho permitiu ao autor inferir que os livros utilizados pelos
professores não são suficientes para que possam trabalhar com seus alunos de
forma a desenvolver os níveis de alfabetização adequados às cobranças nos
exames oficiais. Portanto, faz-se necessária uma seqüência didática que
desenvolva, nos professores, condições para auxiliar seus alunos a alcançar os
níveis adequados para um bom aproveitamento nesses exames oficiais. Isso será
discutido neste trabalho, que proporá aos professores a oportunidade de uma
formação continuada, em que serão analisadas questões que os levem ao
desenvolvimento do raciocínio e da alfabetização.
O autor cita também o estudo realizado por Silva, C. B. (2007) com
professores, que relaciona o pensamento e o raciocínio estatístico sobre variação,
procurando responder qual o nível de raciocínio de variação utilizado por eles em
diferentes etapas do ciclo investigativo do pensamento estatístico, baseado no
modelo de pensamento estatístico elaborado por Wild e Pfannkuch (1999, apud
SILVA, C. B., 2007) e no modelo de raciocínio elaborado por Garfield (2002, apud
SILVA, C. B., 2007).
A metodologia utilizada por essa autora tem como base a pesquisa-ação
que é resumida como segue: a primeira parte é o planejamento, ou seja, o que vai
ser feito num primeiro encontro e um planejamento dos outros encontros a partir
dos resultados da etapa anterior; a segunda é a implementação que se resume na
produção de dados; e, por fim, a avaliação da mudança da prática e do processo
de investigação-ação.
A fase de implementação da pesquisa desenvolvida por essa autora teve
duração de quarenta e oito horas, que foram divididas em dezesseis encontros de
três horas cada um, contando com a participação de nove professores do ensino
fundamental e médio e de dois alunos do curso de licenciatura em Matemática de
uma universidade pública, tendo sido discutidos conteúdos estatísticos, tais como:
distribuição de freqüência simples e com dados agrupados, representações
gráficas, medidas de tendência central e dispersão.
Silva, C. B. (2007) observou que, com uma metodologia ativa, que consistia
na elaboração de uma pesquisa na qual os professores construíram seus bancos
de dados, houve um avanço no desenvolvimento do pensamento estatístico de
acordo com as estruturas propostas por Wild e Pfannkuch (1999, apud SILVA, C.
34
B., 2007). No entanto, esse desenvolvimento não significou também um avanço
no raciocínio estatístico desses professores, o que já havia sido verificado por Gal
(2002, apud SILVA, C. B., 2007), que afirma não ser a possibilidade de participar
em projetos (pesquisas) que permite o desenvolvimento do raciocínio sobre
variação, mas sim as situações desafiadoras que o professor vai proporcionar ao
aprendiz.
Em algumas atividades relacionadas à variabilidade, a autora observou a
facilidade em admitir a existência de variação, mas também a dificuldade de viver
e conviver com ela.
Silva, C. B. (2007) observou que, na distribuição de freqüências simples, a
utilização do termo variação auxiliou os professores na percepção da variação
entre as freqüências de uma mesma categoria, levando-os a escolher a mais
uniforme, ou seja, a que tinha menor variabilidade, sendo eles, então,
categorizados dentro do raciocínio idiossincrático. Em relação à interpretação do
desvio padrão, o raciocínio foi classificado como verbal, uma vez que os
professores tiveram muita dificuldade de compreender que desvio padrão é uma
medida de variação em torno da média.
A autora levanta o questionamento sobre a utilização de aplicativos
computacionais para estimular o desenvolvimento do raciocínio em futuras
pesquisas e também a dificuldade dos professores em trabalhar com dados
agrupados em variáveis contínuas, particularmente com distribuição de
freqüências com dados agrupados.
Uma outra pesquisa, dentro do tema aqui abordado, foi feita por Miguel e
Coutinho (2007), que desenvolvem uma reflexão didática sobre o conceito de
mediana e quartis dispostos nas propostas curriculares oficiais do Brasil e de
outros países, que estão relacionados à Análise Exploratória de Dados (AED).
Essas autoras afirmam que, para o desenvolvimento dos trabalhos em
Análise Exploratória de Dados (AED), segundo Batanero, Estepa e Godino (1991,
apud MIGUEL e COUTINHO, 2007), é necessário: possibilitar a geração de
situações de aprendizagem contextualizadas em temas que sejam de interesse
para o aluno; lançar mão de um forte apoio das representações gráficas, que
facilitam a percepção da variabilidade no conjunto de dados observados;
35
empregar, preferencialmente, as estatísticas de ordem, que aportam maior
facilidade na atribuição de significado pelo aluno da Escola Básica; utilizar
diferentes escalas para o estudo dos dados observados; não utilizar (pois não é
necessário) ferramentas matemáticas complexas.
As autoras apontam também a possibilidade de trabalhar o conceito e dar
significado a ele a partir de um mesmo algoritmo; no caso, dados não agrupados
em classe, seguindo o sugerido por Langford (2006, apud MIGUEL e COUTINHO,
2007). Langford declara ainda que existem 12 métodos diferentes para a
determinação dos quartis inferior e superior. A partir disso, pretendemos com este
nosso trabalho apresentar uma definição didática e operacional de quartis,
determinando estratégias para encontrá-los e interpretar seu significado em
qualquer situação. Ou seja, entre as maneiras possíveis para essa determinação,
vamos trabalhar em uma delas, deixando ao professor a oportunidade de
pesquisar outras formas.
Uma das formas de abordagem propostas por Miguel e Coutinho (2007)
para a mediana e quartis é a contagem; ou seja, colocam-se os elementos em
ordem e efetua-se a sua contagem; como a mediana divide os elementos em
duas partes iguais, devemos localizar o termo central dessa divisão, que pode ser
um elemento do rol ou não. Essas autoras afirmam também que se pode utilizar a
divisão do total de participantes por quatro e proceder à análise de acordo com o
resto dessa divisão. Esse procedimento será detalhado no nosso capítulo 2.
A pesquisa feita por Miguel e Coutinho (2007) contou com a participação
de 33 professores, sendo que 23 são participantes de um curso de mestrado
profissional em ensino da matemática em uma instituição particular de ensino.
De acordo com o resultado das análises dos dados obtidos, as autoras
puderam verificar que os professores concordam parcial ou plenamente com a
necessidade de trabalhar a Estatística de forma contextualizada, concordam
parcialmente em não utilizar fórmulas e com a necessidade de familiaridade com
os termos e as idéias da Estatística Descritiva. No entanto, na devolução dos
questionários observou-se que esses professores afirmam não trabalhar esses
conceitos por não conhecer e não encontrar material didático adequado para
auxiliar no preparo e no desenvolvimentos de suas aulas.
36
As disposições sobre mediana e quartis, bem como os resultados obtidos,
foram dados valiosos para amparar essa pesquisa, orientando a formulação de
seqüências didáticas que auxiliem no desenvolvimento do raciocínio estatístico
em professores da escola básica.
Cobo e Batanero (2000) apresentam uma análise conceitual e didática da
mediana — incluindo definições, métodos de cálculos e propriedades —,
justificada pela inclusão nos currículos da escola secundária da análise
exploratória de dados, da qual a mediana faz parte.
As autoras desse trabalho visam verificar as dificuldades apresentadas
pelos alunos na utilização das medidas estatísticas de ordem, que já pertenciam
ao currículo, mas não eram devidamente trabalhadas. Afirmam que existem
muitos trabalhos com relação à média aritmética, mas as outras medidas de
ordem são pouco investigadas.
A hipótese dessas autoras é que os temas abordados podem ser
excessivamente difíceis para os alunos da escola secundária, uma vez que estão
relacionados com raciocínio proporcional, idéias de ordem e distribuição, que
normalmente geram dificuldades para os alunos. Além de tudo, na análise com
detalhe desses temas, elas puderam verificar que existem várias definições,
propriedades e algoritmos de cálculos para um mesmo conceito, tal como já foi
citado em relação ao trabalho de Langford (2006, apud MIGUEL e COUTINHO,
2007).
Cobo e Batanero (2000) apresentam também uma análise detalhada do
ponto de vista matemático e didático da mediana, fundamental para identificar as
dificuldades específicas dos estudantes do ensino secundário.
Seguindo essa análise, a forma de calcular a mediana não é única e
depende do tipo de dado, da forma de representação e do número de dados.
Como existem diferentes algoritmos, elas concluem que podem encontrar valores
diferentes, tornando a interpretação dos alunos um tanto complicada.
Em dados não agrupados, elas propõem encontrar a mediana da seguinte
forma: se o número de dados for ímpar, a mediana será o termo central, supondo
os dados já ordenados; por exemplo: 1; 3; 5; 5; 7, a mediana é 5; se o número de
dados for par, a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam a
37
posição central da tabela; por exemplo: 1; 3; 4; 5; 5; 7, a mediana é 4,5; se os
dados forem representados por uma tabela de freqüências, será útil calcular a
freqüência acumulada, para achar a mediana. Também se podem utilizar
representações gráficas. Tal procedimento é também apresentado em vários
livros de Estatística, tanto para a escola básica como para o ensino superior.
Foram discutidos também, nos trabalhos de Cobo e Batanero (2000), os
dados não agrupados em intervalos, os dados agrupados em intervalos, os dados
em diagramas de folhas. Essas autoras também apresentaram algumas
propriedades relevantes da mediana: propriedades numéricas, propriedades
algébricas e propriedades estatísticas.
As propriedades numéricas são as que se deduzem quando consideramos
a mediana como um número, o valor obtido ao calcular a mediana. A mediana
está compreendida entre o valor mínimo e o valor máximo dos dados. Nunca se
pode obter um valor fora da categoria da variável. Embora essa propriedade
pareça trivial, Tormo (1993, apud COBO e BATANERO, 2000) indicou que os
alunos das séries iniciais têm algumas vezes dificuldades em reconhecer essa
propriedade para a mediana.
1. A mediana pode não coincidir com nenhum dos valores dos dados, quando ocorre o caso de indeterminação. Isso faz com que também se possa obter um número que não tenha um sentido real. Como por exemplo, obter 1,5 como número mediano de filhos por família.
2. A mediana não contempla todos os valores dos dados. É uma operação “estranha”, já que os valores concretos não influem no cálculo, sendo um único valor tomado como mediana.
3. A mediana é invariável se diminui uma observação inferior a ela ou se aumenta uma superior. É conseqüência da propriedade anterior e ocorre que podemos variar o valor de alguns dados sem que mude a mediana, o que não ocorre com a média. (COBO e BATANERO, 2000, p.6).
No que se refere às propriedades algébricas, as autoras indicam que são
as que se deduzem quando consideramos a mediana como uma operação, a
operação de calcular a mediana.
1. Não é uma operação interna em um conjunto numérico aplicado, já que podemos obter valores em outro sistema numérico diferente do dado.
2. Conserva as mudanças de origem e de escala. Ela tem que estar na mesma unidade de medida que os outros dados.
38
3. Não tem elemento neutro e nem elemento simétrico. Qualquer dado que acrescentemos ao conjunto faz variar (potencialmente ao menos) o valor da mediana.
4. Não tem a propriedade associativa. Por exemplo: Me (1,2,3) = 2; Me ((1,2),3) = 2,25.
5. É comutativa. Não se vê afetada pela ordem de operação dos dados (desde que crescente ou decrescente). (COBO e BATANERO, 2000, p.7).
Quanto às propriedades estatísticas, são as que aparecem quando se
considera a mediana como uma medida de posição central.
1. É uma medida de tendência central, embora possa não coincidir com o centro dos dados ordenados.
2. A mediana é um representante valor típico de um coletivo e proporciona informação global sobre a população.
3. Com dados estatísticos resistentes, pequenas flutuações na amostra não alteram seu valor.
4. Numa distribuição simétrica a mediana coincide com a média e a moda (em distribuições unimodais).
5. Se a distribuição é assimétrica à direita, a ordem em que aparecem é moda-mediana-média, e se é assimétrica à esquerda, a ordem é media-mediana-moda (para distribuições unimodais).
6. Se a distribuição é assimétrica, é preferível a mediana do que a média como medida de tendência central.
7. Existe mediana em distribuições nas quais os dados são ordinais.
8. É preferível a mediana em distribuições com dados agrupados em intervalos em que ao menos um é aberto. (COBO e BATANERO, 2000, p.7).
Cobo e Batanero verificaram nesse trabalho a grande dificuldade
encontrada pelos alunos no tratamento da mediana, principalmente se combinada
com os percentis, iniciando a partir desses resultados uma investigação orientada
para avaliar a dificuldade real de compreensão do tema.
Em síntese, esses trabalhos ajudarão na complementação do quadro
teórico, já delineado anteriormente no item 1.3 deste trabalho, seja para guiar a
construção de atividades a serem desenvolvidas nas oficinas, seja na análise dos
dados nelas coletados.
Um estudo mais aprofundado sobre os conceitos e as características da
mediana será apresentado no capítulo seguinte.
39
2 CONCEITOS ESTATÍSTICOS ELEMENTARES
Abordaremos neste capítulo alguns conceitos de Estatística que os
professores de Matemática precisam trabalhar, visando desenvolver a
alfabetização e o raciocínio estatístico de seus alunos.
De acordo com os PCN+, os conteúdos e as habilidades propostos para as
unidades temáticas a serem desenvolvidas no bloco “análise de dados” são:
• Estatística: descrição de dados; representações gráficas; análise de dados; médias, moda e mediana, variância e desvio padrão.
• Identificar formas adequadas para descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica, política, científico-tecnológica ou abstrata.
• Ler e interpretar dados e informações de caráter estatístico apresentados em diferentes linguagens e representações, na mídia ou em outros textos e meios de comunicação.
• Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou informações de diferentes naturezas.
• Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de natureza social, econômica, política ou científica apresentadas em textos, notícias, propagandas, censos, pesquisas e outros meios. (BRASIL, 1999, p. 42-43).
O desenvolvimento da leitura e da interpretação de dados, juntamente com
a capacidade de ler e interpretar dados dispostos em tabelas ou gráficos, bem
como o desenvolvimento de estratégias para resolução de problemas do cotidiano
e a utilização de suas próprias palavras para argumentar criticamente
informações em diversos meios são habilidades condizentes com um nível de
alfabetização (letramento científico) e com o raciocínio estatístico (processos de
raciocínio integrados).
Com o objetivo de definir e explicitar a concepção a ser adotada em nossa
pesquisa, iniciamos por um breve levantamento sobre a concepção de Estatística
encontrada em alguns livros destinados ao Ensino Superior.
Escolhemos esses livros por acreditarmos serem mais próximos do “saber
científico” do que os livros didáticos para a Escola Básica. Ou seja, eles refletem
os resultados da transposição didática, mas estão mais próximos do saber
construído pelos estatísticos e pelos cientistas.
40
Começamos por citar Pereira (1997, p.8), para quem “a estatística pode ser
considerada a tecnologia da ciência, auxiliando as pesquisas desde o seu
planejamento até a sua interpretação”.
Já em Triola (1999, p.2), encontramos a seguinte concepção: “a estatística
é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter e organizar dados,
resumi-los, analisá-los, interpretá-los e por fim extrair conclusões”.
Esses autores definem Estatística como algo além de uma técnica de
coleta e apresentação de dados, mas também como uma modelagem
(probabilidade e processos estocásticos), bem como análise indutiva (inferência:
testes e estimação) e previsão e controle (verificação).
Também Vieira (2003, p.1) define a Estatística não apenas como uma
coleção de números, embora se utilizem como base as medidas ou as
observações na forma numérica.
Já Magalhães e Lima (2005) traduzem a Estatística como um conjunto de
técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e
interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos realizados em qualquer
área do conhecimento.
Segundo Moore (1992, apud CAMPOS, 2007), a Estatística é a ciência dos
dados. Com mais precisão, o objeto da Estatística é o raciocínio com base em
dados empíricos, que não são simplesmente números, mas sim números em
contexto. Essa definição,adotada também por Campos (2007), será assumida em
nossa pesquisa.
Nessa acepção do termo “Estatística”, e visando construir situações que
propiciem efetivamente o desenvolvimento do raciocínio estatístico a partir da
apreensão da variabilidade, é importante que os dados observados sejam
efetivamente necessários para resolver o problema proposto, conforme afirma Gal
(2002). .
Importa também explicitar que os conceitos de medidas resumo, tais como
média, mediana, quartis e amplitude serão desenvolvidos dentro das atividades,
buscando identificar as possíveis dificuldades encontradas e as prováveis
interferências que serão necessárias.
41
Após coletadas todas as informações e devidamente organizado o banco
de dados, inicia-se a Análise Exploratória de Dados. De acordo com Batanero,
Estepa e Godino (1991), a análise exploratória de dados é uma filosofia que
consiste
no estudo dos dados a partir de todas as perspectivas e com todas as ferramentas possíveis, incluindo as já existentes. O propósito é extrair toda a informação possível, gerar novas hipóteses no sentido de construir conjecturas sobre as observações que dispomos. (ibid., p.2).
Esses autores afirmam que é de fundamental importância uma análise
mais detalhada para que o pesquisador possa familiarizar-se com os dados,
obtendo assim as informações necessárias a partir deles, que o auxiliarão a
responder a questão de pesquisa.
A análise exploratória era limitada tradicionalmente aos cálculos de
algumas medidas de posição e dispersão. No final da década de 1970, John
Tukey desenvolveu uma nova corrente de análise, baseando–se em técnicas
visuais: descrevem-se, quase sem realizar cálculos, algumas formas de
regularidades ou padrões nos dados, em oposição aos resumos numéricos. Neste
ponto, trabalha-se o uso de tabelas, gráficos, medidas resumo, descrevendo a
tendência dos dados que quantifiquem e exponham a sua variabilidade,
facilitando a percepção de estruturas interessantes e valores atípicos no banco de
dados.
Segundo Batanero, Estepa e Godino (1991), o trabalho com a filosofia da
analise exploratória apresenta as seguintes particularidades:
• Geração de situações de aprendizagem contextualizadas de maneira que os assuntos sejam do interesse dos alunos.
• Devem ter um forte apoio das representações gráficas, para que se possa desenvolver a percepção da variabilidade nos dados observados.
• Utilizar preferencialmente as estatísticas de ordem.
• Manusear diferentes escalas de categorização das variáveis para o estudo dos dados observados.
• Evitar ferramentas matemáticas complexas. (ibid, p.2-3).
De um ponto de vista didático, as pesquisas na área mostram que o
pensamento e o raciocínio estatístico se constroem a partir de uma
problematização feita pelo sujeito. Dessa forma, os dados são uma necessidade
42
para resolver o problema proposto. Isso reforça a concepção de Estatística como
a ciência do número em contexto, tal como apresentamos no capítulo anterior.
Iniciamos neste ponto uma descrição dos conceitos necessários para o
desenvolvimento deste trabalho, ligados à coleta, à organização e à
representação dos dados e às medidas resumo. Estas medidas são: média,
desvio-padrão, moda, mediana e quartis. Trabalharemos a variabilidade pelo
estudo da associação entre média e desvio-padrão e entre a mediana e quartis,
ou seja, pela associação entre conteúdos próprios à Estatística Descritiva,
acessíveis cognitivamente desde o final do Ensino Fundamental.
Passaremos agora a algumas definições, visando o início do
desenvolvimento do raciocínio estatístico. Primeiramente, analisaremos a
diferença entre população e amostra.
Segundo Barbeta (2003), população é o conjunto de elementos que
formam o nosso universo de estudo e que são possíveis de serem observados. Já
uma amostra é uma parcela dessa população, ou seja, um subconjunto da
população que se estuda, a fim de tirar conclusões a seu respeito. Por exemplo,
ao estudarmos as alturas dos alunos de uma determinada turma do 7º ano de
uma escola da rede pública, se tomarmos como objetivo o estudo dessa turma
específica, então ela constituirá a população. Nesse caso, qualquer agrupamento
possível com alunos dessa turma constituirá uma amostra.
No entanto, se o objetivo for estudar todos os alunos do 7º ano dessa
escola (população), uma turma específica será agora considerada uma amostra,
ainda que não aleatória.
Nesse sentido, diz-se que uma amostra é aleatória quando todos os
elementos da população têm a mesma probabilidade de serem sorteados para a
composição da amostra.
Outro conceito importante é o de variável estatística: é a característica que
se quer observar nos elementos da população. Ela pode ser qualitativa (nominal
ou ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua). A variável qualitativa nominal
descreve uma qualidade, mas sem estabelecer níveis de hierarquia. Por exemplo,
gênero (masculino ou feminino), time de futebol favorito, cidade de origem, etc. O
mesmo não ocorre com a variável qualitativa ordinal, que também descreve uma
43
qualidade, mas respeitando níveis de hierarquia. Podemos citar como exemplos
os níveis de escolaridade, a classe socioeconômica, o grau de aceitação
expresso em uma escala (concordo plenamente, concordo, discordo, discordo
plenamente), dentre outros.
Já as variáveis quantitativas indicam quantidades expressas
numericamente. As variáveis quantitativas discretas são aquelas pertencentes a
um conjunto de valores que admite uma relação biunívoca com o conjunto dos
números naturais, ou seja, é um conjunto enumerável. De maneira simplificada,
pode-se dizer que entre dois elementos consecutivos não podemos inserir
nenhum outro elemento do conjunto. Barbeta (2003) define tais variáveis como as
que podem ser listadas. As variáveis quantitativas contínuas, porém, são as que
podem assumir qualquer valor em um intervalo real, ou seja, são aquelas
quantitativas que não são discretas.
O conjunto de valores assumidos por uma variável estatística pode ser
representado por uma listagem simples, que respeite apenas a ordem de coleta.
É o que se chama “conjunto de Dados Brutos”. Se alguma ordenação é feita
(variáveis ordinais ou quantitativas), o conjunto aí representado chama-se Rol ou
série de Rol.
Uma outra forma possível de organização dos dados se faz por uma
“Distribuição de Freqüências”.
Uma distribuição de freqüências é uma função empírica que associa, a
cada valor assumido pela variável, o número de vezes que esse valor é
observado, ou seja, a freqüência absoluta desses valores. Ela pode ser
representada de diversas formas, assim como uma função matemática: tabelas,
diagramas, gráficos, etc. As freqüências também podem ser expressas em
porcentagens, ao que chamamos “freqüência relativa”, que indica as proporções
observadas no conjunto de dados estudado.
Uma tabela é uma representação numérica, segundo Vieira (2008), e nela,
de acordo com a (ABNT), devem constar o título, o cabeçalho, o corpo, os totais e
a fonte, conforme o exemplo seguinte:
44
Tabela X. Distribuição dos 189 alunos da escola YYY segundo os esportes
preferidos, 2008
Título da tabela: numerado seqüencialmente. Deve indicar ao leitor o conteúdo da tabela: o quê, onde e quando.
Número de Alunos Esportes Preferidos (fi) (%)
Futebol 54 28,57
Vôlei 78 41,27
Basquete 32 16,93
Natação 15 7,94
Outro 10 5,29
TOTAL 189 100 Fonte: Dados fictícios
Cabeçalho: descreve o conteúdo do corpo da tabela. Geralmente, na primeira coluna encontramos a variável observada e nas colunas seguintes as freqüências associadas a cada valor da variável (fi indica o número de vezes que tal valor foi observado e % indica esse número representado em porcentagem).
Corpo da Tabela: descreve cada valor assumido pela variável, assim como as respectivas freqüências (absolutas e relativas ou percentuais).
Figura 1: Ilustração dos elementos de uma Tabela de Distribuição de Freqüências
Ainda segundo as normas vigentes da ABNT, uma tabela não deve possuir
linhas verticais em sua grade, e as linhas horizontais limitam apenas o cabeçalho
e os totais.
Quanto à representação gráfica ou por diagrama, temos, para variável
qualitativa:
• Setores
• Colunas
• Barras (ou colunas horizontais)
45
O gráfico de setores é recomendado para variáveis qualitativas e sua
construção manual necessita dos conceitos de ângulos, porcentagem e
proporcionalidade.
Por exemplo: dada a tabela 2, o gráfico de setores correspondente será
construído da seguinte maneira: deve-se determinar qual a proporção do círculo
correspondente a cada uma das freqüências observadas. Essa proporção é
determinada usualmente em relação ao ângulo central do círculo.
Tabela 2: Distribuição dos alunos quanto ao gênero
Gênero Quantidade de pessoas
Masculino 15 Feminino 30
Total 45
Assim, se, no círculo completo, o ângulo central corresponde a 360°, qual
ângulo corresponderá a 4515 desse círculo?
Figura 2: Círculo e ângulo central
Uma forma de resolver o problema proposto é pelo uso de uma regra de
três simples.
ângulo freqüência 360° 45 α 15
de onde: 45
15.360=α
°= 120α
46
Ou seja:
Figura 3: Representação do ângulo de 120° ou 4515
de 360°
Dessa forma, se o gênero masculino representa 4515 do total observado
(população ou amostra), o setor circular que o representa deve corresponder a
4515 de 360°, ou seja, deve ser igual a 120°.
Como este diagrama evidencia mais as relações do tipo parte/todo, é
usual, em Estatística, representar os dados por sua freqüência relativa
(representação percentual).
Gráfico 1: Exemplo de diagrama de setores ilustrando a distribuição dos alunos segundo o gênero.
Masculino33,33%
Feminino66,67%
Podemos ainda construir esse gráfico com o auxílio de ferramentas
computacionais, como uma planilha eletrônica.
47
Gráfico 2: Exemplo de diagrama de setores ilustrando a distribuição dos alunos segundo o gênero, com auxílio do Excel.
Para o gráfico de colunas, o eixo vertical representa as freqüências
absolutas (ou relativas) e o eixo horizontal representa as categorias da variável. O
gráfico de barras ou colunas horizontais é similar, invertendo os eixos
coordenados. Esses dois gráficos evidenciam mais as relações entre as partes.
Um recurso didático para introduzir o gráfico de colunas/barras para
variável qualitativa é o uso de malha quadriculada, respeitando-se o espaço entre
duas colunas/barras.
Gráfico 3: Gráfico de barras e colunas ilustrando a distribuição dos alunos quanto ao gênero
48
No Excel temos:
15
30
0 10 20 30 40
Masculino
Feminino
Gên
ero
Quantidade
15
30
0
5
10
15
20
25
30
35
Masculino Feminino
Gê ne r o
Gráfico 4: Gráfico de barras e colunas ilustrando a distribuição dos alunos quanto ao gênero, com auxílio do Excel.
Quanto à representação gráfica ou por diagrama, para variável quantitativa,
temos:
• Dot-Plot
• Diagrama de ramos e folhas
• Colunas e barras
• Bastão
• Histograma
Para o Dot-plot, traçamos uma reta numerada e nela colocamos cada valor
representado por um ponto. Esse tipo de gráfico é muito utilizado para o estudo
da distribuição da variável, assim como para representação da mediana e dos
quartis, além de facilitar a construção do Box-plot que será apresentado mais
adiante.
Para exemplificar, utilizaremos os seguintes dados, que representam as
notas de Matemática dos alunos do 1º ano A de uma escola pública da cidade de
São Paulo.
1,0; 9,5; 8,0; 2,0; 2,0; 1,5; 1,0; 5,0; 3,5; 3,5; 7,0; 7,0; 7,0; 7,5; 7,5; 8,0; 8,5;
8,5; 9,0; 2,5; 2,5
49
Gráfico 5: Dot-plot das notas dos alunos do 1º A.
Gráfico 6: Dot-plot das notas dos alunos do 1º A, construído com auxílio do software
FATHOM.
Com auxílio dessa representação, pode-se fazer uma primeira análise,
visual, do conjunto observado, buscando responder às seguintes questões: quais
os valores extremos? Qual o intervalo de variação? Existe concentração dos
dados em algum ponto?
Já o diagrama de ramos-e-folhas, que é utilizado para representação de
distribuição de variáveis quantitativas, fornece-nos, além da distribuição gráfica,
uma visualização dos valores que estão sendo estudados.
Sua construção é simples e segue o seguinte procedimento, segundo
Batanero, Estepa e Godino (1991):
Devemos “formatar” os dados para o mesmo número de dígitos.
Ordena-se do menor para o maior valor.
Separamos, a partir da esquerda, um ou mais dígitos de cada dado, segundo o número de linhas que se quer obter, não ultrapassando 12 ou mais linhas. Cada valor é escrito um abaixo do outro, traçando uma linha à direita dos números escritos. Estes algarismos constituem o “tronco” ou “ramo”.
Para cada dado original pegamos o dígito escrito no tronco e à direita deles escrevemos os algarismos que restam. Estes algarismos formam as “folhas”. (ibid, p.4)
Para esta composição, utilizaremos o mesmo exemplo da página 48, ou
seja, o conjunto das notas de Matemática dos alunos do 1º ano A.
50
Como podemos observar, os dados já estão formatados com dois dígitos
(parte inteira e uma casa decimal); resta, então, ordená-los, obtendo o seguinte
rol:
1,0; 1,0; 1,5; 2,0; 2,0; 2,5; 2,5; 3,5; 3,5; 5,0; 7,0; 7,0; 7,0; 7,5; 7,5; 8,0; 8,0; 8,5; 8,5 9,5; 9,5
1 0 0 5
2 0 0 5 5
3 5 5
4
5 0
6
7 0 0 0 5 5
8 0 0 5 5
9 5 5
Parte inteira (ramo)
Parte decimal (folhas)
Gráfico 7: Diagrama de ramos-e-folhas das notas dos alunos do 1ºA.
Observando o gráfico 7, podemos verificar que alguns “ramos” não têm
“folhas”; isso significa que não há notas correspondentes a esses valores.
Para a variável quantitativa discreta, utilizaremos como exemplo o número
de filhos dos empregados do departamento comercial de uma empresa fictícia,
conforme tabela 3. Tabela 3: Distribuição dos empregados do departamento comercial, segundo o número de
filhos.
Número de filhos
Número de empregados
0 5 1 6 2 3 3 3 4 2 5 1
Total 20
51
A representação destes dados é feita através do gráfico de bastões.
Gráfico 8: Distribuição dos empregados do departamento comercial, segundo o número de
filhos.
Para variáveis quantitativas contínuas, utilizamos a divisão dos dados em
classes, cujas amplitudes podem ser determinadas pela observação do diagrama
de ramos e folhas, pela regra da raiz4, pela regra de Sturges5 ou outro tipo de
agrupamento que seja conveniente para o pesquisador.
Apresentamos, abaixo, um exemplo que será utilizado também para a
construção do histograma, para o qual escolhemos uma amplitude de classes
igual a 6 unidades (6 anos).
Tabela 4: Distribuição de 292 professores em classes, quanto à idade, em anos completos
idade nº pessoas
[20;26[ 25 [26;32[ 37 [32;38[ 73 [38;44[ 83 [44;50[ 42 [50;56] 20 [56;62[ 12
total 292
4 Regra da raiz: o número de classes pode ser estimado pela raiz quadrada do número de
elementos, ou seja, k n≅ . 5 Regra de Sturges: k nlog3,31 +≅
52
e
25
37
7383
42
2012
0102030405060708090
Qua
ntid
ade
de p
rofe
ssor
es
20 383226 62
Sua representação gráfica é dada por um histograma — um gráfico de
barras contíguas, adequado para representar variáveis quantitativas contínuas,
sendo suas bases proporcionais à amplitude dos intervalos das classes e as
alturas dos retângulos proporcionais à respectiva freqüência. Podem-se utilizar
tanto as freqüências absolutas (fi), como a relativa (%), no eixo vertical.
56
Gráfico 9: Distribuição de 292 professores qu
Podemos ainda representar os dado
freqüências, que tem por objetivo evidenciar
Para obter tal representação, devemos acr
distribuição e outra no final, a fim de gara
representações gráficas, ou seja, entre o histo
Essa equivalência é dada pela igualdad
determinadas seja pelo histograma (soma da
polígono (área compreendida pela curva e pe
o ponto médio das classes na abscissa
observada dessa classe, unindo esses pontos
o gráfico 10.
Gráfico 10: Polígono de freqüências da distribuição
anos complet
Idad44 50
anto à idade, em anos completos
s por meio de um polígono de
a evolução da variável observada.
escentar uma classe no início da
ntir a equivalência entre as duas
grama e o polígono de freqüências.
e entre as medidas das áreas
s áreas dos retângulos), seja pelo
lo eixo horizontal). Devemos utilizar
e, como ordenada, a freqüência
por um segmento de reta, obtendo
de 292 professores quanto à idade, em os
53
Iniciaremos agora um estudo das medidas resumo:
• Amplitude total
• Média e desvio padrão
• Mediana e quartis
• Moda
Graham (2006) assinala que as medidas resumo servem para se ter uma
idéia do comportamento da distribuição. Sendo assim, podem exprimir uma
aproximação sem perda da qualidade da análise.
Neste trabalho, o foco é o estudo da variação pela análise da mediana e
dos quartis; logo, não apresentaremos as demais medidas (média, desvio padrão
e moda). Um estudo bastante aprofundado dessas medidas foi feito em Silva, C.
B. (2007).
Trataremos agora do estudo matemático e didático da mediana e dos
quartis.
Os quartis são medidas que nos fornecem muitas informações necessárias
para tomar decisões. São valores de uma série ordenada, que a dividem em
quatro partes com o mesmo número de elementos. Existem três quartis: o
primeiro quartil (Q1) é o valor que faz com que 25 % das observações sejam
menores ou iguais a ele; o segundo quartil (Q2) é o valor que faz com que 50%
das observações sejam menores ou iguais a ele e coincide com a mediana. Por
fim o terceiro quartil (Q3) é o valor que faz com que 75 % das observações sejam
menores ou iguais a ele. Este esquema pode ser visto na figura 4.
Min Q1 Q2 = Md Q3 Max
25% 25%25%25%
Figura 4: Esquema gráfico da mediana e dos quartis
Segundo Cobo e Batanero (2000), existem diferentes definições da
mediana, usadas nos textos do ensino secundário:
1. Se supusermos ordenados do menor para o maior todos os valores de uma variável estatística, chama-se de mediana o valor de uma
54
variável, tal que existam tantos dados com valores da variável superiores ou iguais como inferiores ou iguais a ele.
2. A mediana é o valor da variável estatística que divide em duas partes iguais os indivíduos da população supostamente ordenada por valores crescentes.
3. A mediana é o valor da variável estatística, tal que a ordem do diagrama acumulativo de freqüências absolutas seja igual a n/2, sendo n o número de dados.
4. A mediana é o valor da variável estatística, tal que a ordem da representação gráfica das freqüências acumuladas seja igual a ½ (tradução nossa, p.2).
Destacaremos, a seguir, algumas maneiras de calcular a mediana,
conforme estas autoras.
Em dados não tabulados, observamos a quantidade de dados; se for ímpar, a mediana será o termo central, supondo que os dados estejam ordenados. Por exemplo, na série 1,4,6,5,8,2,3, temos, como mediana, 4. Já para o caso em que o número de dados é par, devemos fazer uma média aritmética entre os valores centrais, podendo obter como mediana um valor que não consta dos dados. Por exemplo, na série 2,5,8,7,9,4, temos, como mediana, 6.
Quando tivermos dados não agrupados em intervalos, as freqüências não acumuladas absolutas e relativas se definem num conjunto de valores discretos, que é o conjunto de valores da variável. Já as freqüências acumuladas definem-se num intervalo contínuo de valores que é o conjunto dos reais. Por isso, enquanto a representação gráfica de dados não acumulados é um gráfico discreto, agora nos encontramos com um gráfico de uma função de variável real.
Este tipo de gráfico pode não ter sido trabalhado com os alunos no tema sobre funções, trazendo com isso algumas dificuldades na sua apresentação.
Para a construção do gráfico, consideram-se constantes os valores da variável entre um valor e outro da variável estatística. Esta etapa é bastante difícil para a compreensão dos alunos.
Depois de construído o gráfico, procedemos ao cálculo da mediana. Para isso, basta saber que a freqüência acumulada que corresponde à mediana deve ser igual a n/2, ou seja, a freqüência relativa acumulada deve ser igual a ½.
Para dados agrupados em intervalos, implica trabalhar com valores aproximados, ao invés dos dados originais.
Com dados agrupados em intervalos trabalha-se com aproximações, e por isso os valores obtidos nos cálculos estatísticos, como por exemplo, a mediana, serão valores aproximados. Essa aproximação varia de acordo com a amplitude dos intervalos de classe e é uma fonte de dificuldades para os alunos, que estão acostumados a obter uma única solução.
55
É preciso também interpretar o significado das freqüências, que agora se referem a intervalos e não a valores isolados. Se os dados estão agrupados em classes, devemos calcular as freqüências acumuladas das classes, começando o processo obtendo a classe mediana. Feito isso, representamos o polígono acumulativo de freqüências e, na seqüência, determinamos gráfica e analiticamente o valor da variável cuja freqüência acumulada é n/2, sendo esse valor a mediana.
Para dados apresentados em um diagrama de ramos e folhas, devemos efetuar uma recontagem desde o ramo menor (para cima), anotando o número de folhas de cada ramo e acumulando-o aos anteriores, até que se supere o valor de n/2, sendo n o número total de dados; é nesse momento que recomeça o mesmo processo, mas do ramo maior (para baixo), até que se supere n/2, como anteriormente. A mediana será encontrada no ramo cuja contagem supera n/2 e será o termo central dos valores da distribuição. (Tradução nossa, p.3-5).
Langford (2006), em seu artigo, conta-nos que existem pelo menos 15
maneiras diferentes de determinar os valores do quartil superior e do quartil
inferior, dependendo do contexto e da ferramenta que se utiliza. Este autor
examina algumas dessas maneiras e propõe um novo método que tem rigor
estatístico e é de fácil aplicação.
Para a discussão dos métodos, Langford (2006) adotou a seguinte
definição:
A mediana é aquele número que deixa pelo menos metade dos valores de dados até aquele número, ou abaixo, e pelo menos metade dos valores de dados até aquele número, ou acima; se mais do que um tal número existir, haverá um intervalo inteiro entre eles, e a mediana é o ponto médio deste intervalo. (Tradução nossa, p.3).
Este autor descreveu e avaliou 15 métodos diferentes, que podem ser
encontrados no Journal of Statistics Education, volume 14, number 3 (2006), e
destacou o método “CDF” como o que melhor se aproxima da idéia de que o
quartil inferior “deixa 25% abaixo e 75% acima” e, analogamente, para o quartil
superior.
Após a avaliação desses métodos, Langford (2006) sugere o seguinte:
Divida o conjunto de dados em duas metades, uma superior e outra inferior. Se n é ímpar, inclua ou exclua a mediana nas metades; assim, cada metade terá um número par de elementos. Os quartis superior e inferior serão, então, as medianas das metades superiores e inferiores, respectivamente. (Tradução nossa, p.18).
É importante deixar claro que, após a escolha do método a ser utilizado,
deve-se trabalhar sempre com ele, para que não haja distorções nos resultados e
nas análises. Esse método será o empregado em nosso trabalho, pois apresenta
56
uma aparente facilidade de aplicação pelos alunos, uma vez que a divisão por
quatro é diretamente relacionada com o conceito de quartis.
Para representar essas medidas resumo, podemos utilizar o gráfico Dot-
plot, indicando o primeiro quartil (Q1); o segundo quartil (Q2), que coincide com a
mediana (Md); e o terceiro quartil (Q3), que nos fornece um resumo das notas
(notas dos alunos do 1º A, apresentadas na página 48).
Gráfico 11: Dot-plot das notas dos alunos do 1º A e os valores da mediana e dos quartis.
Gráfico 12: Dot-plot das notas dos alunos do 1º A e os valores da mediana e dos quartis,
com auxílio do software FATHOM.
Outra forma de representar essas medidas resumo é utilizar o gráfico de
caixa ou Box-plot, que necessita de cinco pontos para sua construção: mínimo,
primeiro quartil, mediana, terceiro quartil e máximo. O procedimento deve ser o
seguinte, de acordo com Batanero, Estepa e Godino (1991):
Primeiro traçamos uma linha vertical ou horizontal, de comprimento proporcional ao trajeto da variável, chamado de eixo. Devemos ter nos extremos o mínimo e o máximo da distribuição (adotaremos o mesmo exemplo apresentado no caso do diagrama de ramos-e-folhas) que, no nosso caso, será 1,0 e 9,5.
Paralelamente ao eixo devemos construir uma “caixa” retangular dom altura qualquer e largura entre o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). Deve-se notar que esta “caixa” indica graficamente o intervalo de variação de 50% dos valores centrais na observação dos dados. No nosso exemplo esses valores estão entre 2,5 e 8,0.
57
A “caixa” fica dividida em duas partes, ao traçarmos uma linha na altura da mediana que, em nosso exemplo, é 7,0; portanto, temos em cada uma das duas partes 25% dos dados observados, ou seja, 25% dos alunos têm notas entre 2,5 e 7,0 e 25% têm notas entre 7,0 e 8,0. (ibid, p.7).
Abaixo temos o gráfico 13, que ilustra o exposto acima:
Gráfico 13: Dot-plot e Box-plot das notas dos alunos do 1º A.
Gráfico 14: Box-plot das notas dos alunos do 1º A, construído com auxílio do software FATHOM.
Em nosso trabalho utilizaremos apenas os gráficos Dot-plot e Box-plot,
uma vez que mostram com mais apelo visual um resumo dos dados que serão
utilizados para uma futura análise envolvendo os conceitos de mediana e quartis.
59
3 PARTE EXPERIMENTAL
Tal como foi apresentado anteriormente neste texto, a parte experimental
de nossa pesquisa foi organizada da seguinte maneira:
Questionário diagnóstico
Análise: levantamento de dados para
Escolha de conceitos a serem abordados (cap. 2).
Construção de uma seqüência didática para formação continuada.
Estudo piloto: identificar possíveis modificações na seqüência didática.
Aplicação da seqüência com uma professora voluntária.
Observação das aulas dessa professora na abordagem dos conceitos estatísticos trabalhados na formação.
60
A primeira etapa de nossa parte experimental foi composta por um
questionário diagnóstico, que visou levantar informações sobre os níveis de
alfabetização e raciocínio estatístico dos professores pesquisados, para que
posteriormente pudéssemos construir uma seqüência didática a ser usada em
uma formação continuada.
3.1 Análises do questionário diagnóstico
A atividade proposta foi desenvolvida pelo grupo Pea-Estat da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e é organizada em três partes.
Na primeira parte buscamos a caracterização do professor pesquisado, ou
seja, a determinação do perfil do entrevistado. As características definidas são:
gênero (masculino ou feminino); idade em anos completos; tempo que lecionou
ou leciona Matemática no Ensino Fundamental e/ou Médio em anos completos,
tipo de graduação, outros cursos concluídos e outros cursos em andamento.
As questões foram apresentadas da seguinte forma:
Parte A – Perfil
A1. Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
A2. Idade (em anos completos):
A2A. ( ) 21 a 28 anos
A2B. ( ) 29 a 33 anos
A2C. ( ) 34 a 40 anos
A2D. ( ) 41 a 50 anos
A2E. ( ) mais de 50 anos
A3. Tempo que leciona ou lecionou Matemática no Ensino Fundamental
e/ou Médio (em anos completos):A3A. ( ) até 3 anos
A3B. ( ) 4 a 6 anos
A3C. ( ) 7 a 18 anos
A3D. ( ) 19 a 30 anos
A3E. ( ) 31 a 40 anos
61
A4. Tipo de graduação que você concluiu (pode assinalar mais de uma
resposta):
A4A. ( ) Licenciatura Curta em Matemática
A4B. ( ) Licenciatura Plena em Matemática
A4C. ( ) Bacharelado em Matemática
A4D. ( ) Outro curso superior (qual: ______________________)
A5. Outros cursos concluídos, além da graduação (pode assinalar mais de
uma resposta):
A5A. ( ) Aperfeiçoamento
A5B. ( ) Especialização
A5C. ( ) Mestrado
A5D. ( ) Doutorado
A5E. ( ) Outro (qual: ________________________________ )
A6. Outros cursos em andamento (pode assinalar mais de uma resposta):
A6A. ( ) Aperfeiçoamento
A6B. ( ) Especialização
A6C. ( ) Mestrado
A6D. ( ) Doutorado
A6E. ( ) Outro (qual: ________________________________ )
Dando início à análise do perfil do professor entrevistado, verificamos que,
dos 20 professores que responderam ao questionário diagnóstico, 10 são do
gênero masculino e 10 do gênero feminino. Quanto à faixa etária na qual os
professores se encontram, observamos a distribuição apresentada na Tabela 5:
62
Tabela 5: Distribuição dos professores entrevistados segundo as faixas etárias estabelecidas
Faixa etária (anos)
Número de professores
21 a 28 1 29 a 33 5 34 a 40 8 41 a 50 3
Mais de 50 3 Total 20
As faixas etárias foram estabelecidas a partir do trabalho de Sikes (1985,
apud BOLÍVAR, 2002, p.59). Podemos perceber que 13 professores têm a idade
variando entre 29 e 40 anos. Segundo a autora citada, existem duas fases
identificadas nessa faixa. Primeiramente, dos 28 aos 33 anos: período de
transição, de estabilização — tendo o professor a consciência de seu
compromisso profissional — e, paralelamente, de questionamento sobre sua
identidade, sobre seu modo de exercer a profissão no magistério. No período dos
33 aos 40 anos, o professor “baixa seu questionamento”; o envolvimento e a
ambição com seu trabalho alcançam seu ponto mais elevado, em razão de sua
autoconfiança.
Com relação ao tempo que leciona ou lecionou Matemática no Ensino
Fundamental ou Médio (em anos completos) constatamos, pela tabela 6, que
existem dois grandes grupos: até 6 anos de magistério (7 professores) e 7 anos
ou mais de magistério (13 professores).
Tabela 6: Distribuição dos professores, segundo o tempo de magistério
Tempo que leciona (Anos completos) nº professores
até 3 2 4 a 6 5 7 a 18 12 19 a 30 1
Total 20
63
Segundo Huberman (1990, apud BOLÍVAR, 2002), a faixa entre 7 e 18
anos de magistério é composta de professores que se comportam
profissionalmente pela diversificação de concepções sobre idéias pedagógicas,
transitando, por vezes, num ativismo sobre suas concepções e paralelamente ao
redelineamento de sua postura profissional. Por ser uma fase em que a rotina do
trabalho diário não traz grandes implicações nem expectativas profissionais, pode
gerar a sensação de envelhecimento no oficio. Nesta fase o professor tenta
estabelecer certo equilíbrio entre o sentido da vida e o do trabalho, vencendo a
ansiedade, o estresse, a sensação de estar “queimado”, para que consiga
perceber que o esforço valeu a pena.
Dos 20 professores respondentes, 15 cursaram Licenciatura Plena em
Matemática, e dentre eles, quatro cursaram também o Bacharelado. Um professor
cursou apenas Licenciatura Curta, um cursou apenas Bacharelado em
Matemática; um outro cursou Processamento de Dados; outro, ainda, cursou
Engenharia Mecânica; e um cursou Física.
Podemos observar que alguns dos professores respondentes estão
buscando aperfeiçoamento profissional, realizando cursos como Especialização
(um professor), Aperfeiçoamento (um professor), Mestrado (quatro professores).
Nenhum está realizando Doutorado ou outros cursos.
A segunda parte do instrumento solicita ao professor que assinale o grau
de concordância com algumas afirmações, conforme uma escala apresentada.
Esta etapa visa identificar o discurso do professor sobre o desenvolvimento de
aulas de Estatística, quando busca trabalhar os conceitos de Estatística
Descritiva. Foi adaptada de Coutinho e Miguel (2007).
O conhecimento do discurso nos será útil para inferir a postura do
professor diante da uma proposta pedagógica para o trabalho com esses
conteúdos.
Parte B
Assinale seu grau de concordância com as afirmações abaixo, segundo a
seguinte legenda:
64
Para planejar o desenvolvimento das
aulas em qualquer nível de ensino, a fim de trabalhar conceitos de Estatística
Descritiva, o professor deve:
Grau de concordância 1 – discordo totalmente 2 – discordo, mas não totalmente 3 – concordo, mas não totalmente 4 – concordo totalmente
Afirmações Grau de concordância:
B1. Possibilitar a geração de situações de aprendizagem contextualizadas em temas que sejam de interesse do aluno. 1 2 3 4
B2. Utilizar representações gráficas que, entre outros aspectos, podem facilitar a percepção da variabilidade em um conjunto de dados observados.
1 2 3 4
B3. Empregar, preferencialmente, as estatísticas de ordem (mediana, quartis, decis e percentis), que aportam maior facilidade na atribuição de significado pelo aluno.
1 2 3 4
B4. Não utilizar fórmulas que exijam manipulações matemáticas complexas, pois isso não é necessário para a aprendizagem da Estatística Descritiva.
1 2 3 4
B5. Considerar a necessidade de os alunos fazerem a coleta dos dados e a forma como esses dados podem ser produzidos.
1 2 3 4
B6. Considerar a compreensão das noções básicas de probabilidade. 1 2 3 4
B7. Considerar o estudo descritivo para a obtenção de inferências ou conclusões estatísticas. 1 2 3 4
B8. Utilizar calculadoras para agilizar o trabalho dos alunos. 1 2 3 4 B9. Utilizar softwares diversos para agilizar o trabalho dos alunos. 1 2 3 4
B10. Trabalhar simultaneamente com média, desvio padrão, mediana e quartis, juntamente com as representações gráficas e tabulares, visando à análise crítica dos dados.
1 2 3 4
As respostas dos professores indicam que 14 dos professores concordam
totalmente e 5 concordam, mas não totalmente, que devamos gerar situações de
aprendizagem contextualizadas em temas que sejam familiares aos alunos,
buscando atingir um grau maior de interesse pelos conteúdos ministrados. Neste
ponto, podemos esperar que os professores encontrem algumas dificuldades na
busca de fontes para o preparo de suas aulas, pois os livros didáticos nem
65
sempre trazem esse tipo de contextualização. No entanto, vale destacar a atitude
positiva diante da afirmação feita.
Também observamos que 13 dos professores concordam totalmente; 5
concordam, mas não totalmente; e apenas 1 discorda, mas não totalmente, que
seja necessário utilizar representações gráficas. Sete dos professores também
concordam totalmente; 10 concordam, mas não totalmente; e 2 discordam, mas
não totalmente, que devamos empregar as estatísticas de ordem (mediana,
quartis, decis e percentis). Vale ressaltar que, nos resultados observados, grande
parte dos professores não encontrou a mediana e os quartis e não conseguiu
analisar de forma correta o gráfico apresentado na atividade 2 da parte C deste
mesmo questionário.
Com relação à utilização de fórmulas matemáticas complexas, temos 5
professores que concordam totalmente; 8 que concordam, mas não totalmente; 5
discordam, mas não totalmente; e 1 discorda totalmente que elas não sejam
necessárias para a aprendizagem da Estatística Descritiva. Por sua vez, esses
mesmos professores acreditam que seja necessária a utilização de calculadoras
para agilizar os trabalhos dos alunos: 14 concordam totalmente; 4 concordam,
mas não totalmente; e um discorda, mas não totalmente), o que indica uma
predisposição para uma abordagem não tecnicista, não presa a cálculos, mas sim
aos conceitos.
Verificamos também que 17 dos professores entrevistados concordam; um
concorda, mas não totalmente; e um discorda, mas não totalmente que os alunos
devam realizar a coleta dos dados e que seja necessário que eles saibam como
produzir esses dados. Isso já é um avanço e converge para os resultados
recentes de pesquisa na área de Educação Estatística. Portanto, isso significa
que, nas oficinas que vamos desenvolver com os professores, devemos propor
situações de pesquisa que possam ser trabalhadas por eles junto com seus
alunos.
Outro dado importante é que 16 dos professores respondentes concordam
totalmente e 3 concordam, mas não totalmente, que devamos considerar a
compreensão das noções básicas de probabilidade, um tópico que consta dos
programas oficiais da rede pública para o segundo ano do Ensino Médio. Vale
dizer que neste instrumento não questionamos a posição desse conteúdo no
66
currículo, mas, contrariamente ao que consta no documento para o Ensino Médio
da rede estadual de São Paulo, as pesquisas indicam que a probabilidade deve
ser abordada desde as séries iniciais de escolaridade. Isso minimizaria a
resistência causada por alguns obstáculos e dificuldades dos alunos e atenderia à
recomendação dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental, que aconselham essa abordagem desde as séries iniciais.
Constatamos também que 11 dos professores concordam totalmente e 8
concordam, mas não totalmente, que o estudo descritivo para a obtenção de
inferências ou conclusões estatísticas deva ser considerado. Com base nos
resultados do questionário diagnóstico, observamos que uma grande maioria não
foi capaz de realizar as tarefas pedidas no item C, deixando-as em branco ou
realizando os cálculos de maneira errada e, quando os cálculos estavam corretos,
não conseguiram argumentar sobre esses resultados. Logo, se eles não
conhecem e não dominam os conceitos da Estatística Descritiva, como esperar
que conheçam e avaliem condições para o trabalho com a Estatística Inferencial?
A utilização de software é quase uma unanimidade entre os professores:
12 concordam totalmente e 7 concordam, mas não totalmente, que sua utilização
seja capaz de agilizar o trabalho dos alunos. Este resultado é coerente com
aqueles observados em relação ao uso de calculadoras e indica-nos a
predisposição dos professores para o uso de tecnologias no desenvolvimento de
suas aulas. Este ponto também deverá ser considerado no preparo das oficinas
para formação continuada.
Percebemos que os professores (19) concordam totalmente que devamos
trabalhar simultaneamente com média, desvio padrão, mediana e quartis,
juntamente com as representações gráficas e tabulares, visando à análise crítica
dos dados. Os resultados do item C deste instrumento diagnóstico revelam que se
faz necessário um instrumento que auxilie os professores no desenvolvimento das
habilidades referentes ao uso das medidas de posição, visando alcançar um nível
de raciocínio estatístico adequado para o trabalho com seus alunos.
A terceira parte é constituída pela situação-problema, que foi dividida em
duas atividades.
67
Parte C:
Atividade 1: Em uma turma com 46 alunos, um professor decide formar
vários grupos para que eles estudem as notas obtidas na prova. A idéia é discutir
as conclusões parciais, a partir de um painel de resultados feito por cada grupo.
Grupo 1, com 12 alunos, deveria analisar suas notas: 6, 9, 4, 5, 7, 8, 9, 5, 0, 3, 5, 8.
Grupo 2, com 9 alunos, deveria analisar suas notas: 3, 5, 3, 8, 2, 1, 7, 8, 2.
Grupo 3, com 15 alunos, deveria fazer o mesmo com suas notas: 5, 4, 9, 4, 9, 7, 9, 0, 0,
6, 8, 2, 7, 3, 2.
Grupo 4, com 10 alunos, também deveria realizar a mesma tarefa, tomando por base
suas notas: 2, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 9, 3, 5.
As questões propostas para cada um dos grupos foram as seguintes:
a) Se existisse um prêmio para 25% dos alunos que tiraram as maiores
notas do grupo, qual seria a menor nota a ser considerada?
b) E se fossem 50% dos alunos com as melhores notas?
c) Se é preciso encaminhar para reforço 25% dos alunos com as piores
notas, qual a maior nota a ser considerada?
Faça um gabarito a ser usado pelo professor para corrigir as atividades de
seus alunos (cada um dos grupos). Agora considere os dados abaixo, calculados
a partir das 46 notas dos alunos. Como você explicaria para seus alunos a
variação dessas notas, usando os valores indicados?
Medida Valor Média 5,282609 Desvio padrão 2,864829 Mediana 5 Primeiro quartil 3 Terceiro quartil 8 Valor máximo 10 Valor mínimo 0
68
Esperamos que os professores coloquem os valores observados em ordem
crescente para iniciar o tratamento dos dados.
Grupo 1: 0; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9
Grupo 2: 1; 2; 2; 3; 3; 5; 7; 8; 8
Grupo 3: 0; 0; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7; 7; 8; 9; 9; 9
Grupo 4: 2; 3; 3; 5; 5; 6; 8; 9; 9; 10
A primeira pergunta refere-se a verificar a menor nota que premie 25% das
maiores notas; portanto, deve-se obter o termo que separa em 75% as notas,
termo esse que é chamado de terceiro quartil (Q3); a segunda pergunta refere-se
a determinar 50% das melhores notas, que coincide com o segundo quartil (Q2)
que, por sua vez, é igual à mediana; e, por fim, pretende-se enviar para reforço os
25% dos alunos com as piores notas, ou seja, o primeiro quartil (Q1).
Portanto, responderemos as perguntas para cada grupo individualmente,
utilizando algumas estratégias diferentes que serão demonstradas a seguir.
Primeira estratégia:
Para o grupo 1: Determinar a mediana, ou seja, devemos determinar o
elemento que deixe a mesma quantidade de elementos abaixo e acima dele, o
que pode ser feito por meio de uma simples contagem.
Neste exemplo, a mediana está entre o sexto e o sétimo elemento, ou seja,
5 e 6; portanto, a média aritmética entre esses elementos nos dá a mediana.
Logo, 5,52
65=
+=md .
1º 2º 3º 4º 5º
6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º
0 3 4 5 5 5 6 7 8 8 9 9 6 elementos 6 elementos
md
No caso da determinação do primeiro quartil (Q1) e do terceiro quartil (Q3),
procedemos de maneira análoga.
Como temos seis elementos de cada lado, obtemos a mediana entre esses
elementos; portanto, para obtermos Q1, utilizamos os elementos situados na
69
terceira e na quarta posições, ou seja, 4 e 5; logo, 5,42
54=
+=Q1 ; e, para
obtermos Q3, utilizamos os elementos situados na nona e na décima posições, ou
seja, 8 e 8; portanto, Q3 = 8.
Então, se tivermos que premiar 25% dos alunos com melhores notas,
teremos como referência notas acima de 8. Já no caso de 50% dos alunos com
melhores notas, utilizaremos notas acima de 5,5 e, em caso de enviarmos 25%
dos alunos para reforço, teremos como base as notas inferiores a 4,5.
Para o grupo 2: Neste grupo, como a quantidade de elementos é ímpar (9),
ao dividirmos a quantidade de elementos por dois, teremos como termo central o
elemento que ocupa a quinta posição. Portanto, a mediana é igual a 3 (md=3).
Já para obtermos o primeiro quartil (Q1), devemos fazer a média aritmética
entre os elementos que ocupam a segunda e a terceira posições, ou seja, 2 e 2;
portanto, Q1 = 2; e, por fim, para obtermos o terceiro quartil (Q3), devemos fazer
a média aritmética entre os elementos que ocupam a sétima e a oitava posições,
ou seja, 7 e 8; portanto, 5,72
87=
+=Q3 .
1º 2º 3º 4º 5º
6º 7º 8º
9º 10º 11º 12º
0 3 4 5 5 5 6 7 8 8 9 9 6 elementos 6 elementos
Q1 md Q3
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º1 2 2 3 3 5 7 8 84 elemento md 4 elemento
1º 2º 3º 4º 5º 6º
7º 8º 9º
1 2 2 3 3 5 7 8 84 elemento 4 elemento
Q1 md Q3
Logo, se tivermos que premiar 25% dos alunos com melhor nota,
adotaremos os alunos com notas superiores a 7,5 e, se premiarmos 50% dos
alunos, utilizaremos como referência notas acima de 3; e, por fim, se tivermos que
mandar para reforço 25 % dos alunos com pior nota, adotaremos como referência
notas abaixo de 2.
70
Para o grupo 3: Este grupo é composto por 15 alunos; logo, a mediana
será o termo que ocupa a oitava posição, ou seja, md = 5.
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 0 0 2 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 9
7 elementos 7 elementos md
Para determinar o primeiro e o terceiro quartis, temos sete elementos de
cada lado; portanto, o primeiro quartil fica determinado pelo elemento que ocupa a
quarta posição, ou seja, Q1 = 2, e o terceiro quartil fica determinado pelo
elemento que ocupa a décima segunda posição, ou seja, Q3 = 8.
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 0 0 2 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 9
7 elementos 7 elementos Q1 md Q3
Para premiarmos 25% dos melhores alunos, usaremos como referência
notas superiores a 8 e, se premiarmos 50% dos melhores alunos, basear-nos-
emos em notas superiores a 5; já no caso de enviarmos para reforço 25% dos
piores alunos, utilizaremos notas inferiores a 2.
Para o grupo 4: Neste grupo, que é composto por dez alunos, a mediana
será a média aritmética entre a quinta e a sexta posições, ou seja, 5 e 6; portanto,
teremos 5,52
65=
+=md .
1º 2º 3º 4º
5º
6º 7º 8º 9º 10º
2 3 3 5 5 6 8 9 9 105 elementos 5 elementos
md
Os quartis serão determinados pelos elementos que ocupam a terceira e a
oitava posições, ou seja, Q1 = 3 e Q3 = 9.
1º 2º 3º 4º
5º
6º 7º 8º 9º 10º
2 3 3 5 5 6 8 9 9 105 elementos 5 elementos
Q1 md Q3
71
Como devemos escolher 25% das melhores notas para uma premiação,
teremos como referência valores maiores do que 9 e, para o caso de 50% das
melhores notas, teremos como referência valores maiores que 5,5. No caso de
25% dos alunos serem enviados para reforço, devemos ter como referência
valores menores que 3.
Segunda estratégia
Uma segunda estratégia é apresentada nas tabelas de distribuição de
freqüências 7, 8, 9 e 10.
Tabela 7: Notas dos alunos do Grupo 1.
Notas Quantidade Alunos(xi) Freqüência (%)
Freqüência Acumulada (%)
0 1 8,33 8,33 3 1 8,33 16,67 4 1 8,33 25,00 5 3 25,00 50,00 6 1 8,33 58,33 7 1 8,33 66,67 8 2 16,67 83,33 9 2 16,67 100,00
Total 12 100,00
Como podemos observar na tabela 7, temos que 50% dos valores são
menores ou iguais a 5 e 50% dos valores, maiores ou iguais a 6; logo, a mediana
será a média aritmética entre 5 e 6; portanto, md = 5,5. Também podemos ver
que na primeira metade temos 25% dos valores menores ou iguais a 4 e 25% dos
valores, maiores ou iguais a 5; portanto, devemos encontrar a média aritmética
entre 4 e 5, obtendo para o primeiro quartil o valor 4,5 (Q1 = 4,5). Por fim, temos
que 75 % das notas são menores ou iguais a 8; logo, o terceiro quartil é Q3 = 8.
72
Tabela 8: Notas dos alunos do Grupo 2.
Notas Quantidade Alunos(xi) Freqüência (%)
Freqüência Acumulada (%)
1 1 11,11 11,11 2 2 22,22 33,33 3 2 22,22 55,56 5 1 11,11 66,67 7 1 11,11 77,78 8 2 22,22 100,00
Total 9 100,00
Observando a tabela 8, verificamos que a mediana corresponde ao valor
md = 3; o primeiro quartil, Q1 = 2; e o terceiro quartil, Q3 = 7,0.
Tabela 9: Notas dos alunos do Grupo 3.
Notas Quantidade Alunos(xi) Freqüência (%)
Freqüência Acumulada (%)
0 2 13,33 13,33 2 2 13,33 26,67 3 1 6,67 33,33 4 2 13,33 46,67 5 1 6,67 53,33 6 1 6,67 60,00 7 2 13,33 73,33 8 1 6,67 80,00 9 3 20,00 100,00
Total 15 100,00
Neste grupo temos a mediana com valor md = 5; o primeiro quartil, Q1 = 2;
e o terceiro quartil, Q3 = 8.
Tabela 10: Notas dos alunos do Grupo 4.
Notas Quantidade Alunos(xi) Freqüência (%)
Freqüência Acumulada (%)
2 1 10,00 10,00 3 2 20,00 30,00 5 2 20,00 50,00 6 1 10,00 60,00 8 1 10,00 70,00 9 2 20,00 90,00 10 1 10,00 100,00
Total 10 100,00
73
E, por fim, o grupo 4 fornece para mediana o valor de md = 5,5; o primeiro
quartil, Q1 = 3; e o terceiro quartil, Q3 = 9.
Terceira estratégia
Uma terceira estratégia é trabalhar com o resto da divisão dos n dados por
quatro (LANGFORD, 2006); portanto, para o grupo 1, vamos ter 12 dividido por
quatro, que dará 3 e resto zero; logo, teremos três elementos em cada
subconjunto. Então, Q1 será a média aritmética entre o terceiro e o quarto
elementos, ou seja, entre 4 e 5, isto é, Q1 = 4,5; a mediana (md) é a média
aritmética entre o sexto e o sétimo elementos, ou seja, entre 5 e 6, isto é,
md = 5,5; e o quartil superior, Q3, será dado pela média aritmética entre o nono e
o décimo elementos, ou seja, entre 8 e 8; logo, Q3 = 8, supondo os dados
ordenados.
Para o grupo 2, que é composto de nove alunos, temos que 9 dividido por 4
vai dar 2 e o resto será 1; portanto, teremos dois elementos em cada um dos
quarto subconjuntos, sobrando um elemento central, que é a mediana; ou seja, a
mediana vai ocupar a quinta posição, md = 3; o Q1 será a média entre os
elementos da segunda e da terceira posições, ou seja, entre 2 e 2; portanto,
Q1 = 2; e, por fim, Q3 será a média entre os elementos que ocupam a sétima e a
oitava posições, ou seja, entre 7 e 8; portanto, Q3 = 7,5.
1º 2º 3º 4º 5º
6º 7º 8º
9º 10º 11º 12º
0 3 4 5 5 5 6 7 8 8 9 9
Q1 md Q3
1º 2º 3º 4º 5º 6º
7º 8º 9º
1 2 2 3 3 5 7 8 8
Q1 md Q3
No grupo 3, composto por 15 alunos, devemos ter 15 dividido por 4, que
resultará em 3 com resto também 3, ou seja, teremos três elementos em cada um
dos quatro subconjuntos e sobram três elementos. Um deles, o termo central,
será a mediana, que ocupa a oitava posição; portanto, md = 5. Os outros dois
74
serão os elementos centrais em cada um dos dois subconjuntos obtidos com a
divisão da mediana; logo, o quartil inferior será ocupado pela quarta posição, Q1 =
2; o quartil superior, pela décima segunda posição, ou seja, Q3 = 8.
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 0 0 2 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 9 Q1 md Q3
Por fim, o grupo 4, que é composto por dez alunos; a divisão de 10 por 4
resultará em 2 com resto 2. Portanto, teremos dois elementos em cada um dos
quatro subconjuntos; logo, a mediana será a média entre os elementos que
ocupam a quinta e a sexta posições, ou seja, entre 5 e 6; então, md = 5,5. Os dois
elementos que sobraram serão os quartis inferior e superior, ou seja, Q1 = 3 e
Q3 = 9.
1º 2º 3º 4º
5º 6º 7º 8º 9º 10º
2 3 3 5 5 6 8 9 9 10 Q1 md Q3
Graficamente, teremos:
Gráfico 15:Box-plot com as notas dos grupos 1, 2, 3 e 4
Na parte C, a atividade 1 — itens a, b, c do questionário diagnóstico — é
relacionada aos conhecimentos das medidas de posição; os professores
respondentes devem verificar, nos quatro grupos, 25% dos alunos que tiraram as
maiores notas, identificando a menor nota a ser considerada para receber um
prêmio; depois, verificar 50% dos alunos com as melhores notas; e, finalmente,
considerar, se tiverem que encaminhar para reforço 25% dos alunos, qual deveria
75
ser a maior nota a ser considerada. O que podemos observar é que oito dos
professores entrevistados não resolveram os problemas propostos e oito
resolveram de forma incorreta, por exemplo: para o grupo 1, o professor
encontrou o valor 8 para o terceiro quartil, o que está correto; para o segundo
quartil, encontrou o valor 6, mas o correto é 5,5, pois devemos fazer a média
aritmética entre os valores 5 e 6; e, por fim, para o primeiro quartil, o valor
encontrado pelo professor foi 4, mas o correto é 4,5; também neste ponto deveria
ter sido feita a média aritmética entre os valores 4 e 5. O resultado apresentado
pelo professor pode ser visto na figura 5.
Figura 5: Resposta incorreta da parte C, atividade 1, de um dos professores respondentes.
Dois professores deram resposta para apenas um dos grupos e de forma
incorreta, e dois dos professores responderam de forma correta, conforme figura
6.
Figura 6: Resposta correta da parte C, atividade 1, de um dos professores respondentes.
76
Outra questão é referente à tabela 11, que tem como objetivo verificar
como o professor deve explicar para seus alunos a variação das notas.
Tabela 11: Variação de Notas, Atividade 1 - Questionário Diagnóstico
Medida Valor Média 5,282609
Desvio padrão 2,864829 Mediana 5
Primeiro quartil 3 Terceiro quartil 8 Valor máximo 10 Valor mínimo 0
Podemos ver nesta tabela que os valores da média e da mediana são
aproximadamente iguais; logo, podemos inferir que se trata de uma distribuição
aproximadamente simétrica e, portanto, podemos utilizar tanto a variação em
torno da média quanto a variação em torno da mediana. Estas duas variações são
praticamente iguais; logo, podemos selecionar os alunos para reforço ou para
premiá-los com qualquer uma das medidas-posição.
Podemos verificar que é importante a mudança de representação
(BATANERO et al., 1991), para que os conceitos sejam adquiridos de forma que
possam auxiliar no desenvolvimento dos níveis de raciocínio e na alfabetização
estatística.
O item (d) da atividade 1 da parte C do questionário diagnóstico, teve sua
questão não respondida por 13 dos professores; um respondeu corretamente e
seis responderam de forma incorreta. Por exemplo: um dos professores
descreveu conceitualmente a média, o desvio-padrão, a mediana, o primeiro e o
terceiro quartis, ao invés de argumentar sobre a variabilidade das notas, como
proposto; e um outro respondeu de maneira incompleta, alegando apenas que os
valores giram em torno da média, levando-nos a inferir que esses professores
estejam classificados num nível de raciocínio idiossincrático, segundo Garfield
(2002). Vale também ressaltar que a definição de conceitos, ao invés de uma
análise comparativa dos valores encontrados pelo uso de algoritmos relativos, é
um procedimento bastante comum em sala de aula.
77
Atividade 2: Na tabela a seguir, os dados apresentados correspondem à
idade, expressa em número de anos completos, de alunos de uma escola de
idiomas.
(idade) no anos
no
alunos 12 34 13 200 14 152 15 117 16 30
TOTAL 533
a) Se você quiser explicar para seus alunos a variação dos dados (variação
das idades) para alunos do Ensino Médio, qual será o gráfico mais adequado?
Justifique.
0
50
100
150
200
250
12 13 14 15 16i da de s ( n. de a nos c ompl e t os)
0
50
100
150
200
250
12 13 14 15 16
idades (número de anos completos)
núm
ero
de a
luno
s
12 anos6%
13 anos37%
14 anos29%
15 anos22%
16 anos6%
b) Determine a média e o desvio padrão das idades e determine o intervalo
dado por (média - desvio padrão; média + desvio padrão).
c) Determine o intervalo definido por valor que limita superiormente os 25%
mais jovens; valor que limita inferiormente os 25% mais velhos.
d) Compare os intervalos obtidos nos itens (b) e (c) e explique: qual o que
melhor explica a variação das idades dos alunos?
Na segunda atividade trabalhamos com uma variável contínua, mas que,
pela tabela representada, recebe um tratamento de variável discreta. Portanto, o
gráfico que melhor representa esta tabela é o (i), gráfico de colunas. No entanto,
não se pode afirmar que a escolha dos outros dois gráficos seria errônea. Neste
caso, interessava-nos a justificativa dada pelo professor.
Para respondermos as questões seguintes, vamos acrescentar algumas
colunas na tabela dada, a fim de facilitar os cálculos.
78
Tabela 12: Idade (anos completos)
Colunas auxiliares (idade) nº de
anos(xi)
nº de
alunos(fi) fi * xi fr fra (xi - x )2 (xi - x )2 * fi
12 34 408 6,38 6,38 3,35 113,77 13 200 2600 37,52 43,9 0,69 137,54 14 152 2128 28,52 72,42 0,03 4,43 15 117 1755 21,95 94,37 1,37 160,36 16 30 480 5,63 100 4,71 141,36
TOTAL 533 7371 100 557,46
Seguem os cálculos e o gráfico Box-Plot para auxiliar a responder o que se
pede na questão:
X = 13,83 mo = 13
S = 1,02 md = 14 Q1 = 13 Q3 = 15
12,81 14,85 =+ )( SX
=− )( SX
Gráfico 16: Box-plot idade (anos completos)
Nesta atividade, com referência ao item (a), o professor deveria escolher,
dentre três gráficos, o que melhor representasse a variação dos dados
apresentados em uma tabela.
0
50
10
0
150
20
25
12 13 14 15 16i da de s ( n . de a nos c ompl e t os)
0
0
0
50
100
150
200
250
12 13 14 15 16
idades (número de anos completos)
núm
ero
de a
luno
s
12 anos6%
13 anos37%
14 anos29%
15 anos22%
16 anos6%
79
Cinco professores deixaram as respostas em branco; doze responderam,
mas não souberam justificar suas respostas, analisando a variável como contínua
e não como discreta; e três indicaram o gráfico certo, mas não conseguiram
justificar adequadamente sua resposta, o que pode ser visto na figura 5 digitada
pelo professor:
Figura 7: Resposta da atividade 2, parte C, item (a), digitada por um dos professores
respondentes.
No item (b), o professor deveria encontrar a média e o desvio padrão das
idades e determinar o intervalo determinado por [ X - S; X + S]. Tabela 13: Número de alunos por idade
(idade) no anos no alunos
12 34 13 200 14 152 15 117 16 30
TOTAL 533
Para realizar esta etapa, o professor deveria perceber que é viável
acrescentar outras colunas na tabela, a fim de facilitar os cálculos pedidos.
Observamos que sete professores deixaram em branco esta resposta e
oito realizaram os cálculos de maneira equivocada, como, por exemplo, não se
ativeram ao fato de que a idade de 12 anos aparece 34 vezes; portanto, o cálculo
do desvio padrão não poderia ter sido feito como demonstrado na figura 5,
digitada pelo professor:
Figura 8: Resposta da atividade 2, parte C, item (b), digitada por um dos professores
respondentes.
80
Quatro determinaram apenas a média corretamente e, por fim, apenas um
dos professores acertou o cálculo solicitado. É importante lembrar que, de acordo
com os livros didáticos e com os PCN, a média é trabalhada com os alunos desde
o 3º ciclo do Ensino Fundamental.
Para o item (c), que solicitava os intervalos definidos pelo valor que limita
superiormente os 25% mais jovens e pelo valor que limita inferiormente os 25%
mais velhos, esperávamos que o professor interpretasse essas medidas como
primeiro quartil e terceiro quartil, o que não ocorreu. Tivemos 11 das respostas
em branco, 5 delas completamente incorretas e 4 completamente corretas. Em
uma das respostas incorretas, o professor apresentou os seguintes resultados
para o limite superior: 14,13; e, para o limite inferior, 11,15, o que pode ser visto
na figura 9.
Figura 9:Resposta incorreta da parte C, atividade 2, item (c).
De uma maneira geral, observamos que os professores entrevistados não
conseguiram utilizar os algoritmos para obtenção do desvio padrão, da mediana e
dos quartis. Quando conseguiram, encontraram grandes dificuldades em
interpretar tais informações, levando-nos a considerá-los em um nível de
raciocínio idiossincrático (Garfield 2002) e em nível apenas cultural de
alfabetização estatística.
Após estes resultados e feito o estudo dos principais conceitos a serem
trabalhados (cap. 2), pretendemos trabalhar com um professor voluntário, em uma
formação continuada, visando o desenvolvimento de habilidades para a
mobilização de conhecimentos em Estatística Descritiva e raciocínio estatístico,
de uma forma contextualizada. Esta formação limitou-se aos conhecimentos de
mediana e quartis para estudo da variabilidade, embora acreditemos que a
compreensão global da variabilidade só ocorra quando o sujeito pode utilizar e
comparar as diversas medidas.
81
3.2 Oficina de Formação Continuada
Para iniciarmos a formação com a professora colaboradora, apresentamos
algumas questões.
1. Quais as características do seu aluno?
a. físicas (exemplo: idade, altura e envergadura);
b. pedagógicas.
2. Se você (professora) tivesse que fazer um relatório para apresentar
para a diretoria, com os dados da questão acima, como procederá?
3. Pensando na nota de Matemática:
a. Se quiser dividir a sala em dois grandes grupos com o mesmo
número de alunos em cada, qual será a posição do termo
“divisor”? Qual seria esse termo?
b. Se quiser dividir a sala em quatro grupos com o mesmo número
de alunos em cada, quais serão as posições “divisoras”? Quais
serão esses termos?
c. Localize na reta numerada os valores encontrados em (b),
localizando também os valores mínimo e máximo encontrados;
d. Construa um Dot-plot;
e. Localize no Dot-plot os pontos do item (b).
4. Apresente resumidamente essas informações para o coordenador de
sua escola, indicando para reforço 25% dos alunos com piores notas e
indicando para concorrer a uma bolsa os 25% com melhores notas,
expondo seus argumentos.
5. Como você (professora) prepararia uma aula, para desenvolver esses
conceitos com seus alunos?
Observando as respostas do questionário diagnóstico, podemos ver que há
necessidade de desenvolver atividades que privilegiem os conceitos de mediana,
quartis e suas interpretações, uma vez que muitos dos professores ou não
82
responderam as questões referentes a esses conceitos ou responderam de forma
errada.
Diante desse quadro, buscamos desenvolver atividades que auxiliassem o
professor na sua formação, para que trabalhe com seu aluno de uma forma
prazerosa e eficaz na construção do raciocínio e na alfabetização estatística,
engajando tanto os alunos como o professor em um problema comum a eles.
Para isso, iniciamos nossas atividades, levantando dados a respeito de
onde o aluno participa, dando opções de seu interesse. Cabe ao professor mediar
essas informações, direcionando esses dados, a fim de inserir os conteúdos
necessários para atingir seus objetivos. Batanero, Estepa e Godino (1991),
afirmam que devemos “gerar situações de aprendizagem contextualizadas, de
maneira que os assuntos sejam do interesse dos alunos.” (1991, p. 2-3).
Em consonância com essa idéia, adotamos para este trabalho o método
indicado por Langford (2006), apresentado na página 55, em que buscamos
desenvolver os conceitos de mediana e quartis sem a utilização de fórmulas
matemáticas complexas.
Aliado a esse princípio, vemos como importante apresentar de forma
resumida as conclusões a respeito de uma determinada situação, para que se
possam tomar decisões, evitando com isso utilizar bancos de dados imensos,
cheios de informações de difícil interpretação. Destacamos também a
necessidade de interpretar e explicar os valores obtidos em relação ao contexto
do problema.
No primeiro encontro com a professora, solicitamos que ela levantasse os
dados referentes à primeira questão e desenvolvesse o relatório sugerido na
segunda questão.
A professora colaboradora apresentou os dados, conforme a figura 10.
83
Figura 10: Tabela construída pela professora, enviada para nós por e-mail.
Com relação à figura 10 apresentada pela professora colaboradora,
podemos ver que ela não se preocupou com a formatação adequada, de acordo
com a ABNT; questionada sobre o fato, relatou que não teve essa preocupação,
uma vez que só a utilizaria para rascunho.
Em seguida, apresentou o seguinte relatório para questão 2:
Figura 11: Resposta da questão 2 da formação
84
Podemos observar que esta professora tem um conhecimento prévio a
respeito da Estatística de um modo geral, mas não consegue transmitir a
informação de uma maneira clara. Não explicitou como encontrou o valor 1,65
como média das alturas dos alunos, sendo que possivelmente ela tenha utilizado
um valor usual para a faixa etária dos alunos, o que também não foi explicitado
por ela no texto — apenas na tabela.
Nesta fase, questionamos a professora sobre a possibilidade de apresentar
os dados em um gráfico, mas ela não achou necessário, uma vez que estávamos
trabalhando com poucos dados. Observamos, assim, que a professora não sentiu
a necessidade de organizar os dados de forma a buscar uma melhor apreensão
das informações neles contidas.
Na terceira questão, que foi subdividia em cinco itens, foi solicitado que
dividisse a sala em dois grandes grupos com o mesmo número de alunos,
localizando a posição dessa divisão e qual o elemento divisor.
Figura 12: Resposta da questão 3 a da formação.
Como temos 28 alunos no banco de dados, a professora procedeu à
divisão por 2, ficando 14 alunos em cada grupo. Logo, o termo central estaria
entre o 14º e o 15º termos; portanto, a média aritmética entre 3 e 3. Este fato não
parece ter ficado muito claro ou não ter sido lembrado pela professora
colaboradora, uma vez que ela apenas indicou as posições, mas não definiu qual
o valor exato a ser utilizado como valor mediano.
Esse fato fica comprovado na resposta da questão (b), em que devemos
dividir a sala em quatro grupos, com o mesmo número de alunos em cada um.
Figura 13: Resposta da questão 3 b da formação
85
Aqui, mais uma vez, vemos que a professora colaboradora define a
posição dos elementos para que em cada grupo tenha sete alunos, mas não
define o elemento divisor. Para o primeiro grupo, o termo divisor está entre o
sétimo e oitavo termos, ou seja, entre 2 e 2, o que, através de uma média
aritmética entre essas notas, resulta na nota 2. Na posição central, como já foi
visto anteriormente, as notas estão entre o 14º e o 15º elementos; portanto, entre
3 e 3; através da média aritmética dessas notas, temos como elemento divisor a
nota 3. E, por fim, para o grupo com as maiores notas o que está entre a 21ª e a
22ª posições, ou seja, entre 4 e 5, e através de uma média aritmética obtemos o
valor de 4,5 como elemento divisor. Vale ressaltar que esta nota não pertence ao
conjunto dos dados.
Para o item (c), que solicitava que fossem colocados em uma reta
numerada os valores encontrados no item (b) e fossem indicados o valor mínimo
e o valor máximo, obtivemos a seguinte resposta.
Figura 14:Resposta da questão 3 c da formação.
Observamos aqui uma dificuldade da professora colaboradora em
interpretar a pergunta, uma vez que os dados apresentados por ela não se
encontram em uma reta numerada e ela tampouco respondeu ao problema
colocado. Perguntamos sobre esse fato para a professora colaboradora e ela
disse ter entendido que deveria achar o mínimo e o máximo entre os valores
encontrados na questão (b).
O item (d) pede que se construa um Dot-plot na reta numerada e, em
seguida, no item (e), que se localizem nesse Dot-plot os pontos apresentados no
item (b). A professora colaboradora nunca havia ouvido falar em Dot-plot;
portanto, foi preciso intervir e apresentar um Dot-plot e como construí-lo, para que
a tarefa solicitada fosse realizada.
Na figura 12 podemos observar o Dot-plot junto com a localização dos pontos
referentes ao item (b).
86
Figura 15: Resposta da questão 3 d da formação.
O que podemos observar aqui é uma forte insistência em construir o plano
cartesiano, mas sem explicitar uma malha para localizar os pontos. Podemos ver
também que, em relação à posição do termo divisor, a professora marcou os
termos, mas não identificou os valores solicitados; não extraiu do gráfico o que se
pediu, representando apenas a resposta já fornecida em linguagem corrente.
(língua materna).
Na questão seguinte, a professora deveria propor uma maneira de
apresentar de forma resumida essas informações para o coordenador de sua
escola; indicar para reforço 25 % dos alunos com pior rendimento; e indicar para
concorrer a uma bolsa 25 % dos alunos com melhor rendimento. Para esta
questão foi apresentada a seguinte resposta:
Figura 16: Resposta da questão 4 da formação.
87
Em primeiro lugar, a professora colaboradora não concordou em mandar
para reforço apenas 25 % dos alunos dessa sala, pois, segundo ela, ficariam de
fora 14 alunos com notas abaixo de 5, que é a média utilizada, em escolas
estaduais, como referência para aprovação. Percebemos aqui que a professora
considerou mais importante o contexto (conhecimento de contexto) do que o valor
determinado, o que é um fato bastante positivo na construção do raciocínio
estatístico. No que se refere à bolsa de estudos, ela mandaria 25 % dos que
estão no final da tabela, sendo que essas notas estão entre 5 e 8.
Para esta mesma questão, a professora colaboradora apresentou um
gráfico de colunas para representar de forma resumida o que foi exposto na
questão. Destacamos, aqui, que esse tipo de gráfico não é adequado para
destacar as porcentagens indicadas, pois teremos dificuldade em mostrar neste
gráfico os 25% de alunos que irão para reforço e os 25 % dos alunos que irão
concorrer a uma bolsa de estudos. Neste ponto, após a resolução do que foi
pedido, sugerimos à professora que refletisse sobre essa questão de uma forma
mais abrangente; por exemplo, apresentar a mesma questão para a escola toda;
como ficaria esse gráfico? Seria viável a utilização de um gráfico de colunas?
Após alguns minutos, ela pôde perceber que ficaria difícil até para desenhar o
gráfico. Portanto, deveria utilizar outra ferramenta, mas não sabia qual.
Na quinta e última questão, solicitamos que a professora colaboradora
preparasse uma aula para desenvolver esses assuntos com seus alunos. Ela
apresentou a seguinte resposta:
Figura 17: Resposta da questão 5 da formação.
88
Observamos uma relutância em mudar de paradigma, ou seja, a professora
continua solicitando apenas cálculos, pois a aula é de Matemática. Também há
uma confusão quanto ao que se pede, pois não se pode calcular o mínimo e o
máximo, mas sim determiná-los, classificando em ordem crescente ou
decrescente os valores do banco de dados.
Ela solicita, ainda, um gráfico contendo esses valores. Fica aí uma dúvida:
quais valores? A média, o mínimo e o máximo? O banco de dados todo? O aluno
certamente terá problemas para interpretar essa questão.
Após análise das respostas a essas perguntas, chegamos à conclusão de
que esta professora colaboradora se encontra no nível de raciocínio
idiossincrático, ou seja, conhece alguns termos e símbolos estatísticos, mas usa-
os sem compreendê-los e, muitas vezes, de forma incorreta.
No segundo encontro, foram comentadas com a professora colaboradora
as intervenções sobre as dificuldades apresentadas acima e também a forma de
como representar resumidamente o que se pedia nas questões. Neste ponto,
mostramos a vantagem de utilizar o gráfico Dot-plot para a construção do gráfico
Box-plot, que ela não conhecia, o que nos levou a trabalhar com orientações a
respeito desse gráfico. Mostramos também que não é necessário o cálculo da
média nem do desvio padrão para abordar esses assuntos e ressaltamos a
importância de montar com os alunos o banco de dados a ser trabalhado, para
tornar o assunto mais atrativo. A professora mostrou-se apreensiva em relação a
essas mudanças, mas achou interessante a não-utilização de muitos cálculos e a
apresentação deste tipo de gráfico.
Em nosso terceiro encontro, foi proposto que a professora montasse outro
banco de dados, mas com um número ímpar de dados, que ela apresentou em
ordem crescente, como segue, utilizando as notas de Matemática dos alunos do
1º ano B: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5;
5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8.
Lembrando as questões a serem respondidas, temos: a) Se quiser dividir a
sala em dois grandes grupos com o mesmo número de alunos em cada, qual será
a posição do termo “divisor”? Qual será esse termo? Obtivemos a seguinte
resposta:
89
Figura 18: Determinação da mediana questão 3 (a).
Nesta fase a professora já conseguiu encontrar o termo central; ela tinha
claro que abaixo desse termo há 20 itens e, acima, outros 20 itens, mas ainda não
fez a ligação com o conceito de que esse termo é a mediana.
Questionada sobre o que seria esse termo ou o que representaria esse
valor, ela o associou intuitivamente ao conceito de média, confusão prevista em
Batanero (2001).
Na questão (b), que propõe dividir a sala em quatro grupos com o mesmo
número de alunos cada, quais seriam as posições “divisoras”? Quais seriam
esses termos?
A professora respondente forneceu a seguinte resposta:
Figura 19: Determinação dos quartis, questão 3 (b).
Como podemos observar, a professora determinou adequadamente o
primeiro e o terceiro quartis, mas não associou o elemento da 21ª posição, a
90
mediana. Tal fato nos surpreende, já que havíamos conversado sobre esse
procedimento anteriormente.
A próxima questão refere-se à localização, na reta numerada, dos valores
encontrados em (b) e também dos valores do mínimo e máximo encontrados.
Essa representação pode ser vista na figura 20.
Figura 20: Resposta da questão 3 (c).
Podemos perceber uma mudança considerável em relação ao primeiro
encontro (figura 4), sendo que, nesta reta, os valores solicitados estão todos
representados de forma correta.
Em seguida, foi solicitado que construísse um Dot-plot na reta numerada
(d) e localizasse os pontos do item (b), o que pode ser visto na figura 21, a seguir:
Figura 21: Resposta da questão 3 (d) e (e).
Como nos mostra a figura 21, o Dot-plot foi construído adequadamente e
os valores solicitados estão todos de forma correta; há apenas uma correção a
fazer, quanto às notas de valor 4: no Dot-plot, estão apresentados apenas quatro
valores, mas na realidade temos oito valores; portanto, acreditamos ter havido
uma distração da professora quando registrou esses valores no gráfico.
91
Notamos que no primeiro encontro ela localizou os pontos correspondentes
à mediana e aos quartis, enquanto no gráfico atual ela apenas indicou o valor. Ou
seja, no Dot-plot não aparece a divisão do conjunto de dados em quatro partes
com o mesmo número de elementos.
Após confecção do gráfico Dot-plot, foi proposta a construção do gráfico
Box-plot e a elaboração de um relatório, onde a professora deveria indicar para
reforço 25 % dos alunos desta sala e 25% dos alunos para uma bolsa de estudos.
O gráfico está representado na figura 22:
Figura 22: Gráfico Box-plot e Dot-plot construídos pela professora.
Como podemos notar, a professora colaboradora utilizou o gráfico Dot-plot
como base para a construção do gráfico Box-plot, uma vez que já temos todos os
dados resumidos neste gráfico.
A figura 23 apresenta-nos parte do relatório:
Figura 23: Relatório sobre as notas
92
Ao que parece, a professora colaboradora entendeu as divisões para obter
os quartis e indicou corretamente para reforço alunos com notas menores ou
iguais a 2 e, para concorrerem a uma bolsa de estudos, alunos com notas
maiores ou iguais a 5. Mas aqui não levou em conta o contexto do problema, ou
seja, a média para aprovação.
Observando o gráfico, podemos inferir que se trata de uma sala na qual
75% dos alunos estão com notas inferiores ao mínimo exigido para aprovação, no
caso, 5; logo, é preciso buscar meios para que esses alunos consigam melhorar
seu aproveitamento. Tal análise indicaria o conhecimento do contexto, indicado
por Gal (2002).
Com o término desta atividade, foi solicitado à professora colaboradora que
preparasse para seus alunos uma aula que tratasse desses assuntos.
A aula foi apresentada a seis alunos de uma escola estadual do município
de Diadema, em São Paulo. Para iniciar os trabalhos, a professora apresentou o
seguinte banco de dados, sem solicitar aos alunos que o construíssem:
3; 1; 8; 1; 2; 4; 2; 2; 2; 3; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 3; 3; 1; 1; 2; 5; 3; 2; 5; 5; 5; 5.
Em seguida, solicitou que os alunos apresentassem um relatório, com
dados resumidos, a respeito da aprendizagem com relação a essas notas
apresentadas.
Como os alunos não entenderam como iniciar os trabalhos, a professora
colaboradora interferiu, pedindo que inicialmente colocassem os dados em ordem
crescente para facilitar as análises. Mesmo assim, tiveram dúvidas de como
classificar esses dados. A professora precisou novamente ajudá-los, mostrando
como organizar os dados, o que, segundo Gal (2002), constitui conhecimento
matemático. Na seqüência dos trabalhos, foi pedido que os alunos dividissem a
sala em dois grandes grupos, com o mesmo número em cada um deles.
Após alguns instantes, um dos alunos deu o valor do termo central, que é
3; a professora pediu que ele justificasse como havia encontrado e o que
representava esse valor. Podemos observar a resposta na figura 24.
93
Figura 24: Justificativa do aluno com relação à mediana
Podemos verificar que o aluno determinou intuitivamente a mediana, mas
ainda não conseguiu se expressar de uma maneira adequada quanto a esse
conceito, que ainda não havia sido formalizado. Assim, ele construiu
primeiramente o conhecimento procedimental, para depois construir o
conhecimento estatístico, nos termos de Gal (2002).
Dando seqüência aos trabalhos, a professora solicitou que os alunos
enviassem para recuperação 25 % dos alunos e que 25% deles fossem indicados
para concorrer a uma bolsa de estudos. Notamos aqui que a professora
reproduziu o problema trabalhado na oficina de formação, o que pode indicar que
seus conhecimentos pedagógicos do conteúdo ainda não lhe permitem criar suas
próprias situações de aprendizagem. Embora esses conhecimentos estejam em
construção — em início de construção —, podemos observar que as oficinas
seguiram os princípios enunciados por Showers, Joyce e Bennett (1987)
apresentados no nosso capitulo 1. Nesta etapa, em que vamos encontrar o
primeiro e o terceiro quartis, não houve problemas para encontrar o primeiro
quartil, uma vez que foi utilizado o mesmo procedimento anterior e o valor
encontrado foi 2, mas, para o terceiro quartil, a posição divisora trazia as notas 4
e 5, deixando os alunos com dúvidas. Neste ponto a professora precisou interferir
e sugerir que o termo central desses valores deveria ser a média aritmética entre
os dois valores, chegando ao valor 4,5.
Todos os alunos conseguiram chegar corretamente a esse valor, mas não
questionaram o fato de esse número não pertencer ao banco de dados, e a
professora também não fez nenhum comentário sobre esse fato. Deixou-se,
94
assim, escapar uma oportunidade de construir o conhecimento de contexto com
os alunos.
Para representar graficamente esses valores de forma resumida, foi
sugerida a construção do gráfico Dot-Plot, termo que nenhum aluno conhecia;
portanto, a professora necessitou realizar a construção junto com eles.
Após essa tarefa, a professora pediu que marcassem os valores do
primeiro quartil, do segundo quartil e do terceiro quartil, mas, como os alunos
estivessem com muita dificuldade, ela começou imediatamente a construção do
Box-Plot, sem que tivesse sido realizada a tarefa anterior e sem justificá-la.
A figura 25 mostra estes dois tipos de gráficos.
Figura 25: Gráfico Dot-Plot e Box-Plot apresentados pelos alunos
Com base nesses gráficos, foi solicitado aos alunos que redigissem um
relatório, indicando os alunos que deveriam ir para recuperação e justificando
suas afirmações.
As figuras 26 e 27 mostram as respostas de dois dos alunos participantes.
Figura 26: Resposta de um dos alunos quanto à recuperação
95
Figura 27: Resposta de outro aluno quanto à recuperação
Um dos alunos baseou-se nos dois gráficos para fazer o relatório e o fez de
forma inadequada, utilizando termos insuficientes para justificar. O outro aluno
insistiu na comparação com os dados brutos e não levou em consideração os
gráficos, mostrando que intuitivamente prevaleceu o contexto, e não os valores
determinados.
No fechamento da aula, a professora apenas concordou com a maioria das
explicações apresentadas pelos alunos, mas não teve tempo para abrir uma
discussão a respeito do que foi trabalhado.
Até este momento pudemos observar que a professora se encontrava
muito insegura com relação à aplicação desta atividade e ainda com grandes
dúvidas conceituais — sobre média e mediana, por exemplo —, mas esse foi um
trabalho que deixou os alunos curiosos quanto ao novo enfoque para análise de
dados.
Todas as atividades encontram-se disponíveis no apêndice 2, página 107.
96
Considerações finais
O objetivo desta pesquisa foi levantar pontos para trabalhar em oficinas de
formação de professores, no que se refere ao desenvolvimento dos níveis de
raciocínio estatístico dos professores da rede pública do Estado de São Paulo,
mais especificamente na região de Diadema.
Em alguns estudos de formação de professores, podemos observar que
existe uma lacuna entre os conhecimentos relativos à Estatística e a forma como
os professores transmitem esses conhecimentos para seus alunos. Buscando
contribuir para o preenchimento de tais lacunas, desenvolvemos nosso trabalho
utilizando como base teórica as pesquisas de Showers, Joyce e Bennett (1987),
que desenvolveram trabalhos relacionados às características profissionais dos
professores; de Garfield (2002), com seu modelo de raciocínio estatístico; e de
Gal (2002), com os elementos para o letramento. Pretendemos, com essa
seqüência de trabalho, buscar elementos para que pudéssemos responder a
nossa questão de pesquisa:
Quais as características didáticas de uma formação continuada para professores do Ensino Médio, visando o trabalho com conceitos de mediana e quartis, para que os alunos possam tomar decisões a partir da análise da variação percebida, utilizando para isso o auxílio do Dot-Plot e do Box-Plot?
Após a realização do questionário diagnóstico, observamos que muitos
professores não tinham conhecimento dos conceitos referentes a mediana e
quartis, o que pode justificar o fato de não terem conseguido responder
adequadamente o que pediam as atividades 1 e 2 da parte C. Tal fato faz com
classifiquemos os professores no nível de raciocínio idiossincrático, segundo
Garfield (2002). Para tentarmos sanar essas dificuldades encontradas pelos
professores, desenvolvemos uma seqüência didática para ser trabalhada com a
professora colaboradora, buscando aprimorar esse nível de raciocínio, tentando
atingir o nível 5 (processos de raciocínio integrado) proposto por Garfield (2002).
Com o desenvolvimento da formação da professora colaboradora,
percebemos que, apesar de possuir certo conhecimento básico de estatística, a
professora nunca havia tido contato com os gráficos Dot-Plot e Box-Plot,
chegando a relatar certa aversão em utilizar esses gráficos e insistindo em utilizar
97
o gráfico de barra e colunas. Após algumas observações a respeito dos
benefícios da utilização dos gráficos sugeridos e da familiaridade adquirida pela
professora, houve uma melhora na conscientização quanto à utilização e ao
objetivo desses gráficos.
Na observação da aula da professora colaboradora, no sentido de
desenvolver com os alunos os conceitos apresentados nas oficinas, podemos ver
que houve uma reprodução das atividades apresentadas. Isso parece revelar que
a professora ainda não se apropriou adequadamente dos conceitos de
variabilidade e representações gráficas diversas, limitando-se ao abordado
usualmente nos livros didáticos (tabelas e gráficos de colunas) e permanecendo
no nível de raciocínio verbal, segundo Garfield (2002).
De fato, pudemos observar que a professora participante ainda não se
sentia segura para o trabalho com seus alunos. Isso fez com que, em sua prática,
optasse por não discutir pontos importantes para a construção do conhecimento
dos alunos, em cada uma das dimensões anunciadas por Gal (2002). Talvez
houvesse necessidade de um maior tempo de maturação dos conceitos antes de
incorporá-los a sua prática docente, completando assim os elementos enunciados
por Showers, Joyce e Bennett (1987): a) apresentação da teoria; b) demonstração
da nova estratégia; c) confirmando Marques e Praia (1991), tempo de
amadurecimento e estabilização dos novos conhecimentos; d) prática em oficinas;
e) feedback (ver página 18).
Diante destes fatos, acreditamos que sejam necessárias outras pesquisas
e outros trabalhos com os professores, para que estes possam mudar seus
conceitos e seus procedimentos relativos ao ensino da Estatística, o que lhes
proporcionará condições para o desenvolvimento do raciocínio estatístico.
98
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VIEIRA, S. Bioestatística: tópicos avançados. Rio de Janeiro: Campus, 2003.
101
Apêndice 1: Questionário Diagnóstico
Questionário Diagnóstico
Parte A – Perfil
A1. Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
A2. Idade (em anos completos):
A2A. ( ) 21 a 28 anos
A2B. ( ) 29 a 33 anos
A2C. ( ) 34 a 40 anos
A2D. ( ) 41 a 50 anos
A2E. ( ) mais de 50 anos
A3. Tempo que leciona ou lecionou Matemática no Ensino Fundamental
e/ou Médio (em anos completos):A3A. ( ) até 3 anos
A3B. ( ) 4 a 6 anos
A3C. ( ) 7 a 18 anos
A3D. ( ) 19 a 30 anos
A3E. ( ) 31 a 40 anos
A4. Tipo de graduação que você concluiu (pode assinalar mais de uma
resposta):
A4A. ( ) Licenciatura Curta em Matemática
A4B. ( ) Licenciatura Plena em Matemática
A4C. ( ) Bacharelado em Matemática
A4D. ( ) Outro curso superior (qual: ______________________)
A5. Outros cursos concluídos, além da graduação (pode assinalar mais de
uma resposta):
A5A. ( ) Aperfeiçoamento
A5B. ( ) Especialização
102
A5C. ( ) Mestrado
A5D. ( ) Doutorado
A5E. ( ) Outro (qual: ________________________________ )
A6. Outros cursos em andamento (pode assinalar mais de uma resposta):
A6A. ( ) Aperfeiçoamento
A6B. ( ) Especialização
A6C. ( ) Mestrado
A6D. ( ) Doutorado
A6E. ( ) Outro (qual: ________________________________ )
Parte B
Assinale seu grau de concordância com as afirmações abaixo, segundo a
seguinte legenda:
Grau de concordância 1 – discordo totalmente 2 – discordo, mas não totalmente 3 – concordo, mas não totalmente 4 – concordo totalmente
Para planejar o desenvolvimento das aulas em qualquer nível de ensino,
para que tenham objetivo de trabalhar conceitos de Estatística Descritiva, o
professor deve:
103
Afirmações Grau de concordância:
B1. Possibilitar a geração de situações de aprendizagem contextualizadas em temas que sejam de interesse do aluno. 1 2 3 4
B2. Utilizar representações gráficas que, entre outros aspectos, podem facilitar a percepção da variabilidade em um conjunto de dados observados.
1 2 3 4
B3. Empregar, preferencialmente, as estatísticas de ordem (mediana, quartis, decis e percentis), que aportam maior facilidade na atribuição de significado pelo aluno.
1 2 3 4
B4. Não utilizar fórmulas que exijam manipulações matemáticas complexas, pois isso não é necessário para a aprendizagem da Estatística Descritiva.
1 2 3 4
B5. Considerar a necessidade dos alunos fazerem a coleta dos dados e como estes dados podem ser produzidos. 1 2 3 4
B6. Considerar a compreensão das noções básicas de probabilidade. 1 2 3 4
B7. Considerar o estudo descritivo para a obtenção de inferências ou conclusões estatísticas. 1 2 3 4
B8. Utilizar calculadoras para agilizar o trabalho dos alunos. 1 2 3 4 B9. Utilizar softwares diversos para agilizar o trabalho dos alunos. 1 2 3 4
B10. Trabalhar simultaneamente com média, desvio-padrão, mediana e quartis, juntamente com as representações gráficas e tabulares, visando a análise crítica dos dados.
1 2 3 4
Parte C: como você resolveria esses problemas?
Atividade 1: Em uma turma com 46 alunos, um professor decide formar
vários grupos para que eles estudem as notas obtidas na prova. A idéia é discutir
as conclusões parciais, a partir de um painel de resultados feito por cada grupo.
Grupo 1, com 12 alunos, deveria analisar suas notas: 6, 9, 4, 5, 7, 8, 9, 5, 0, 3, 5, 8.
Grupo 2, com 9 alunos, deveria analisar suas notas: 3, 5, 3, 8, 2, 1, 7, 8, 2.
Grupo 3, com 15 alunos: 5, 4, 9, 4, 9, 7, 9, 0, 0, 6, 8, 2, 7, 3, 2.
Grupo 4, com 10 alunos: 2, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 9, 3, 5.
As questões propostas para cada um dos grupos foram às seguintes.
a) Se existisse um prêmio para 25% dos alunos que tiraram as maiores
notas do grupo, qual seria a menor nota a ser considerada?
b) E se fossem 50% dos alunos com as melhores notas?
104
c) Se é preciso encaminhar para reforço 25% dos alunos com as piores
notas, qual a maior nota a ser considerada?
Faça um gabarito a ser usado pelo professor para corrigir as atividades de
seus alunos (cada um dos grupos). Agora considere os dados abaixo, calculados
a partir das 46 notas dos alunos. Como você explicaria para seus alunos a
variação dessas notas, usando os valores indicados?
Medida Valor Média 5,282609 Desvio-padrão 2,864829 Mediana 5 Primeiro Quartil 3 Terceiro Quartil 8 Valor Máximo 10 Valor Mínimo 0
Atividade 2: Na tabela a seguir, os dados apresentados correspondem à
idade, expressa em número de anos completos, de alunos de uma escola de
idiomas.
(idade) no anos noalunos
12 34 13 200 14 152 15 117 16 30
TOTAL 533
a) Se você quiser explicar para seus alunos a variação dos dados (variação
das idades) para alunos do Ensino Médio, qual seria o gráfico mais adequado?
Justifique.
0
50
100
150
200
250
12 13 14 15 16i da de s ( n. de a nos c ompl e t os)
0
50
100
150
200
250
12 13 14 15 16
idades (número de anos completos)
núm
ero
de a
luno
s
12 anos6%
13 anos37%
14 anos29%
15 anos22%
16 anos6%
105
b) Determine a média e o desvio-padrão das idades e determine o intervalo
dado por (média - desvio-padrão; média + desvio-padrão).
c) Determine o intervalo definido por [valor que limita superiormente os
25% mais jovens; valor que limita inferiormente os 25% mais velhos].
d) Compare os intervalos obtidos nos itens (b) e (c) e explique: qual o que
melhor explica a variação das idades dos alunos?
107
Apêndice 2: Produção dos alunos durante a formação
Atividades da observação da aula da professora colaboradora.
108
109
110
111