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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Eduardo Balliana Justo
CONSTRUÇÃO DE ATIVIDADES PARA O TRABALHO NO LABORATÓRIO
DE MATEMÁTICA
Belo Horizonte 2015
Eduardo Balliana Justo
CONSTRUÇÃO DE ATIVIDADES PARA O TRABALHO NO LABORATÓRIO
DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientadora: Profª Dra Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2015
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Justo, Eduardo Balliana
J96c Construção de atividades para o trabalho no laboratório de matemática /
Eduardo Balliana Justo. Belo Horizonte, 2015.
233 f.: il.
Orientadora: Eliane Scheid Gazire
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Laboratórios de matemática. 3.
Aprendizagem por atividades. 4. Formação de professores. 5. Cachoeiro de
Itapemirim (ES). I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
III. Título.
CDU: 51:37.02
Aos meus pais: por me ensinarem a ser um cidadão ético e trabalhador.
A minha mãe: meu exemplo de professora: ética, competente e apaixonada.
A Magda: pelo incentivo, companheirismo e dedicação à família.
A minha filha Bárbara: por ter se tornado minha maior fonte de energia e
razão da minha existência.
Aos meus irmãos e cunhadas: por tornarem minha vida muito divertida.
AGRADECIMENTOS
- A todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste
trabalho.
- Agradeço a minha família pela dedicação, paciência e companheirismo nos
momentos difíceis pelos quais passei. A minha mãe, meu muito obrigado! Aos
meus irmãos, por tudo, meu muito obrigado! A minha esposa, que o tempo todo
me incentivou, ajudou e deu força (muita força), meu muito obrigado!
- A minha orientadora, Eliane Scheid Gazire, sempre muito compreensiva e
paciente, soube conduzir, mesmo à distância, de forma muito competente o
acompanhamento e orientação.
- Aos professores do grupo colaborativo/cooperativo, que não mediram
esforços para estarem presentes nas reuniões nas quais se mostraram
dispostos a discutir, relatar sem imposições na forma de pensar ou agir, em
prol do ensino de Matemática.
- Aos diretores, diretoras, pedagogos e pedagogas que abriram suas escolas e
comungaram comigo o desejo de mudança, não medindo, para isso, esforços
que foram além de suas atribuições.
- A minha coordenadora do colegiado de Matemática do Centro Universitário
São Camilo, professora Alda Maria Francisco, que me incentivou a criar o
grupo de estudo, etapa importante para a conclusão do trabalho.
- Aos meus alunos do 6o período de Matemática, que abraçaram o projeto não
esperando recompensas mensuráveis com nota ou horas de estudo, mas pelo
prazer de promover mudanças.
- Aos professores e colegas do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
da PUC Minas, mestres e companheiros de jornada.
“Educar não é transferir conhecimento,
mas criar as possibilidades para a sua
própria produção ou sua construção.”
(Paulo Freire, 2003, p.47)
RESUMO
Esse trabalho tem como objetivo estudar e criar propostas de atividades para serem desenvolvidas no laboratório de Matemática das escolas municipais de Cachoeiro de Itapemirim – ES. Para subsidiar e ratificar sua importância, foi realizada uma pesquisa nas unidades de ensino da referida cidade com o objetivo de conhecer as necessidades do professor de Matemática no seu fazer em sala de aula. Já era do conhecimento do pesquisador o fato de a maioria dos kits de laboratórios, adquiridos em 2007 e entregues a todas as escolas da Rede Municipal da cidade, estarem encaixotados ou sendo subutilizados. O não uso e a subutilização do material comprado era motivo de muito incômodo e, por isso, foi o objeto de estudo. A pesquisa realizada assumiu caráter qualitativo. Tais resultados apontaram para a necessidade não só de criar propostas de atividades de laboratório, mas também a necessidade de capacitar os professores para que pudessem ter melhor proveito do material que tinham em mãos. Para elaborar as propostas, foram convidados professores e formandos do curso de Licenciatura em Matemática que participaram de um grupo de estudo. Por meio das reuniões desse grupo foram, então, elaboradas propostas de atividades que, após serem debatidas, reelaboradas e posteriormente aplicadas aos alunos passaram a compor um caderno de atividades, produto final dessa pesquisa, com o intuito de promover uma melhor utilização dos materiais contidos nos kits de laboratório. Como consequência de todo o trabalho desenvolvido, foi criado um site pelo pesquisador a fim de ampliar a comunicação entre professores e a discussão acerca do tema, o que será possibilitado por meio da criação, concomitantemente, de um blog.
Palavras-chave: Laboratório de Ensino de Matemática. Rede municipal de
educação de Cachoeiro de Itapemirim. Atividades de Matemática. Capacitação
de professores.
ABSTRACT
This work aims to study and make proposals for activities to be developed in
Mathematics laboratory of the municipal schools of Cachoeiro de Itapemirim -
ES. To support and ratify its importance, research in educational units of that
city in order to know the Mathematics Teacher needs in their work in the
classroom was conducted. It was the researcher's knowledge the fact that most
kits laboratories, acquired in 2007 and delivered to all schools of the Municipal
Network of the city, are boxed or being underutilized. The non-use and under-
use of the material purchased was a source of great nuisance and therefore
was the object of study. The survey took qualitative. These results point to the
need not only to create lab activities proposals, but also the need to empower
teachers so that they could have better advantage of the material they had at
hand. For drawing up the proposals were invited teachers and students in
Mathematics Degree course who participated in a study group. Through the
meetings of this group were then activities of proposals drawn up that, after
being debated, reworked and then applied to students are now part of an
activity book, the final product of this research, in order to promote better use of
the materials contained in laboratory kits. As a result of all the work done, a
website was created by the researcher in order to increase the communication
between teachers and the discussion on the subject, which will be made
possible by creating concomitant of a blog.
Keywords: Mathematics Teaching Laboratory. Municipal Cachoeiro de
Itapemirim education. Math activities. Teacher training.
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1- Objeções e sugestões ao uso do LEM ........................................ 26
QUADRO 2- Vantagens e desvantagens do “Método de Laboratório” ............. 28
QUADRO 3- Material do Kit para Laboratório de Ciências e Matemática ........ 53
QUADRO 4- Resultado da primeira pergunta do questionário ......................... 59
QUADRO 5- Resultado da segunda pergunta do questionário ........................ 60
QUADRO 6- Resultado da terceira pergunta do questionário .......................... 62
QUADRO 7- Resultado da quarta pergunta do questionário ............................ 64
QUADRO 8- Resultado da quinta pergunta do questionário ............................ 66
QUADRO 9- Resultado da sexta pergunta do questionário ............................. 68
QUADRO 10- Detalhamento acerca dos encontros realizados ........................ 71
QUADRO 11- Perfil dos sujeitos da pesquisa .................................................. 74
QUADRO 12- Os acadêmicos do grupo e suas ideias sobre o Laboratório de
Matemática................................................................................ 85
QUADRO 13: Levantamento sobre a atuação dos acadêmicos ....................... 88
QUADRO 14- Atribuições individuais dos participantes do grupo .................... 91
QUADRO 15- Descrição sucinta das atividades catalogadas .......................... 95
QUADRO 16- Vantagens e desvantagens na utilização de e-mail ................. 124
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1- Laboratório construído com a verba do PMDDE ........................... 49
FIGURA 2- Parte do material sob uma das bancadas do laboratório ............... 92
FIGURA 3- Fluxograma das etapas da atividade ............................................. 94
FIGURA 4- Página de atividade com introdução ao material ......................... 100
FIGURA 5- Página com as orientações da atividade para o professor .......... 101
FIGURA 6- Roteiro de atividade para os alunos ............................................ 102
FIGURA 7- Alunos concentrados executando a atividade ............................. 105
FIGURA 8- Alunos executando a atividade no Geoplano .............................. 106
FIGURA 9- Escrita de avaliação do aluno a respeito da atividade realizada . 106
FIGURA 10- Alunos resolvendo as questões da atividade ............................. 108
FIGURA 11- Aluna prestando monitoria a uma dupla .................................... 108
FIGURA 12- Resposta de aluna ao “desafio!” ................................................ 109
FIGURA 13- Sistema de coordenadas montado no Geoplano por um aluno . 110
FIGURA 14- Declaração de um aluno a respeito da atividade ....................... 111
FIGURA 15- Declaração de um aluno acerca do material utilizado ............... 112
FIGURA 16- Aluna encaixando peça para a formação do mosaico ............... 113
FIGURA 17- Roteiro da atividade e as figuras geométricas manipuladas por um
aluno ......................................................................................... 114
FIGURA 18- Alunas trabalhando na atividade ............................................... 115
FIGURA 19- Resposta de um aluno à questão .............................................. 116
FIGURA 20- resposta de aluno ao desafio da atividade ................................ 116
FIGURA 21- Aluno executando a atividade no quadro branco ....................... 117
FIGURA 22- Aluna executando o roteiro de atividade .................................... 118
FIGURA 23- Relato de aluno sobre a atividade ............................................. 119
FIGURA 24- Relato de um aluno sobre a atividade com poliminós ................ 119
FIGURA 25- Relato do aluno de inclusão sobre a atividade .......................... 119
FIGURA 26- Relato de uma aluna a respeito da atividade ............................. 121
FIGURA 27- Alunos manuseando os poliminós ............................................. 122
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1- Com que frequência você utiliza o laboratório de Matemática? .. 60
GRÁFICO 2- Identifique o motivo que mais contribui para a subutilização do
Laboratório de Matemática .......................................................... 62
GRÁFICO 3- Em se tratando de estratégia de ensino, você considera o
Laboratório de Matemática... ....................................................... 64
GRÁFICO 4- Quantidade de sugestões de atividades com material
manipulativo no livro didático utilizado ........................................ 66
GRÁFICO 5- Assina alguma revista ou faz parte de algum grupo especializado
da disciplina? .............................................................................. 68
GRÁFICO 6- Você aplica atividades propostas por revistas específicas, caso as
assine? ........................................................................................ 70
LISTA DE SIGLAS
DT – Designação Temporária
GEP – Grupo de Estudos
IDEB – Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
LEM – Laboratório de Educação Matemática
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PDE – Plano de Desenvolvimento Escolar
PIBID – Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
PMDDE – Programa Municipal de Dinheiro Direto na Escola
RA – Reuniões de Área
SEME – Secretaria Municipal de Educação
TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 17
2 O LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA ......................................................... 22
2.1 O laboratório de Matemática: concepções ............................................ 22
2.2 Aspectos e informações acerca do uso de laboratórios de Matemática
......................................................................................................................... 27
2.3 O laboratório de Matemática como facilitador do ensino ..................... 30
2.4 O laboratório de Matemática como facilitador da aprendizagem ........ 31
2.5 O lúdico e o concreto: conceitos que estão presentes no laboratório
de Matemática ................................................................................................. 33
2.5.1 Lúdico x Concreto: o papel de cada um .............................................. 38
2.5.2 O Lúdico associado ao jogo e seu papel educativo: despertar a
curiosidade ..................................................................................................... 38
2.5.3 O concreto e a práxis pedagógica cotidiana ...................................... 40
3 PROJETO LEM: DA EXPERIÊNCIA RESTRITA A UMA UNIDADE
ESCOLAR PARA A IDEIA DE EXPANSÃO PARA TODA REDE MUNICIPAL
DE ENSINO ...................................................................................................... 43
3.1 A experiência na unidade escolar... ........................................................ 44
3.2 Para a possível expansão do projeto para o município ........................ 50
3.3 Os laboratórios da Rede Municipal de ensino da cidade de Cachoeiro
de Itapemirim: componentes e estrutura física ........................................... 52
4. O PERCURSO DA PESQUISA .................................................................... 55
4.1 O contexto – A cidade de Cachoeiro de Itapemirim e a Rede Municipal
de ensino......................................................................................................... 55
4.2 Os caminhos percorridos ........................................................................ 56
4.2.1 O questionário aplicado ........................................................................ 58
5. DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS ENCONTROS ........................................... 77
5.1. Primeiro encontro: criação do grupo de estudo .................................. 77
5.2 O segundo encontro: definição do grupo de professores
colaboradores ................................................................................................. 79
5.3 Terceiro encontro: decisão de inserir os universitários no grupo de
estudos............................................................................................................ 83
5.4. Quarto Encontro: reunião com os acadêmicos .................................... 85
5.5. Quinto encontro: a primeira reunião com professores e acadêmicos 90
5.6. Sexto encontro: organização do material ............................................. 91
5.7. Do sétimo ao décimo quinto encontro: elaboração das atividades,
refinamento das mesmas, aplicação e catalogação ................................... 93
5.8 O Caderno de Propostas de Atividades para uso do Laboratório de
Ensino de Matemática .................................................................................... 98
5.9. Atividades elaboradas e relatos ........................................................... 103
5.9.1 Atividade 01: Calculando a soma dos ângulos internos de um
polígono convexo (Geoplano) ..................................................................... 104
5.9.2 Atividade 2: Utilizando o geoplano para o estudo de áreas ............ 107
5.9.3 Atividade 3: Conhecendo e explorando o plano cartesiano com o
Geoplano ....................................................................................................... 109
5.9.4 Atividade 4: Explorando as formas geométricas ............................. 112
5.9.5 Atividade 5: Determinando o ângulo central de um polígono regular
....................................................................................................................... 114
5.9.6 Atividade 6: Explorando os Pentaminós ........................................... 116
5.9.7 Atividade 7: Jogando com os poliminós (Adaptado do jogo
GOLOMB) ...................................................................................................... 120
5.9.8 Atividade 8: Estudando conceitos de área e perímetro com os
pentaminós (Partes 1 e 2) ............................................................................ 121
5.10 Estratégias para divulgação do projeto ............................................. 123
5.10.1 Criação de um e-mail ........................................................................ 124
5.10.2 A criação de um Blog ........................................................................ 126
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 131
APÊNDICES .................................................................................................. 133
Apêndice A – Questionário aplicado aos professores das escolas da Rede
Municipal de Ensino de Cachoeiro de Itapemirim ..................................... 133
Apêndice B – Lista de materiais disponíveis, descrições e os conteúdos
direcionados ao item ................................................................................... 134
Apêndice C – Produto final – Caderno de possibilidades de atividades
para uso do Laboratório de Ensino de Matemática .................................. 146
17
1 INTRODUÇÃO
Quando cursava o Ensino Médio, não sabia, ao certo, para qual curso
prestaria vestibular. Depois de frustradas tentativas de passar no vestibular para
área de Biomédicas - logo percebi que esta opção estava muito mais ligada a um
histórico e/ou influência familiar do que a uma vocação - descobri-me como
estudante, foi quando depreendi maior atenção à área de Ciências Exatas.
Pensando assim, prestei vestibular para o curso de Engenharia de Agrimensura, em
Viçosa, e ali, meu coração encontrou sossego.
Durante o curso, por volta do 4o período, fui convidado para ministrar aulas de
Matemática em um cursinho pré-vestibular da cidade, naquela época. Novamente fui
tomado por uma inquietação, quando, após ministrar uma aula para quase 100
alunos, senti-me muito bem e excitado com a experiência. Naquele momento,
descobri qual era minha verdadeira vocação.
O curso de Agrimensura agradava-me muito. Contudo, estar em sala de aula,
olhando para os olhos daquela multidão de alunos, deu-me a certeza do rumo que
minha vida deveria seguir a partir daquele momento.
Assim, tomado por essa certeza, tranquei minha matrícula e voltei para minha
cidade, Cachoeiro de Itapemirim, onde, naquele mesmo ano, prestei vestibular para
o curso de Matemática, na faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Madre
Gertrudes de São José, hoje, Centro Universitário São Camilo-ES (CUSC).
Ingressei no então curso de Ciências para o 1º Grau, nos idos de 90, e
rememorando esse tempo, fica nítido o quão as aulas ministradas no curso superior,
mesmo sendo de licenciatura, assumiam um caráter muito mais conteudista do que
profissional.
Antes mesmo de me formar, as oportunidades começam a surgir, e eu, antes
indeciso, começo a trabalhar em algumas escolas da rede estadual de ensino, como
DT, professor em designação temporária. Nesse período, adquiri experiência e
segurança para enfrentar os processos seletivos das escolas privadas. Depois de
algumas bancas e entrevistas, fui admitido em uma dessas escolas da rede privada,
na qual permaneço há mais de 16 anos.
Durante esse tempo, foram inúmeros os congressos os quais participei e que
enriqueceram e aprimoraram muito minha prática em sala de aula. De cada
congresso que participava, sentia-me modificado e, ao mesmo tempo, provocado ao
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ma ser apresentado um universo de possibilidades que tornariam as aulas mais
dinâmicas e significativas. É nesse momento que percebi a importância e a
necessidade da leitura, atividades de que, até então, isentava-me como professor de
Matemática. Aos poucos, a leitura foi fluindo e criei o hábito e o gosto por ela, o que
me faz, hoje, ter a certeza de que investigar e estudar é condição para o bom
desempenho da profissão que escolhi abraçar.
Foi, então, que no ano de 1999, já ministrando aulas, ou seja, como
profissional da área de Matemática, resolvi fazer o curso de Pós-Graduação Latu
Sensu na mesma instituição onde me graduei. Foi nesse curso que reforcei a
certeza de que minha escolha fora acertada quando fui apresentado a uma nova
Matemática pelas mãos do Prof. Dr. Antônio Zupano Pereira Santos que ministrou,
no primeiro módulo, a disciplina História da Matemática. A satisfação da escolha
acertada confirma-se, logo a posteriori, pelas mãos da Prof. Drª Eliane Scheid
Gazire, que conduziu duas disciplinas que mais fizeram a diferença: Tópicos
Modernos de Geometria e Metodologia do Ensino de Matemática. Foi a partir desses
ensinamentos que entendi que ser professor de Matemática era, realmente, o que
queria.
No ano de 2007, fui aprovado em um concurso público para professor na rede
municipal de ensino, assumindo as aulas de 6o e 9o anos. Encontrei naquela escola
um grande desafio: garantir a aprendizagem em um ambiente no qual a indisciplina
e o déficit de conteúdos de base eram características normais para aquele ambiente.
Participava efetivamente das reuniões de área para buscar, com meus pares,
propostas e soluções para os problemas enfrentados em sala de aula.
Era perceptível a insatisfação da comunidade escolar com o ensino da
Matemática. Os resultados das provas governamentais indicavam que algo deveria
ser feito para melhorar o processo de ensino-aprendizagem de Matemática.
Um forte indicativo foi o resultado da Prova Brasil, aplicada em 2009, que
contribuiu para a obtenção da média 3,7, no IDEB, quando a meta estabelecida pelo
município era de 4,3.
Constatou-se, porém, que, em meio a tanto problema e à falta de estratégias
para solucioná-los, existiam laboratórios de Matemática adquiridos na gestão
municipal anterior (2004–2008), mas que estavam ainda “encaixotados”, ou seja,
sem nenhuma utilidade. A partir daí, surgiu a necessidade de estudar sobre a
importância do laboratório de Matemática para a promoção de um ensino dinâmico,
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interativo e significativo, vendo nele a possibilidade de despertar no aluno o
interesse pela Matemática e, por consequência, tornar a aula mais significativa.
Dessa forma, buscando uma alternativa para dar significado para todo
material, foi elaborado um projeto de implantação do Laboratório de Matemática na
dinâmica escolar da unidade de ensino onde era efetivo e coordenador de área.
Além da organização do espaço, ficou combinado com a equipe docente da escola
que uma entre cinco aulas do currículo de Matemática seria destinada ao uso do
LEM.
O projeto ficou isolado e restrito à unidade escolar na qual era professor até
que, em 2010, ingressei no programa de Mestrado em Ensino de Matemática da
PUC Minas fortalecendo, por meio das discussões, minhas crenças a respeito do
LEM, vislumbrando a possibilidade de ampliação do projeto.
O jovem estudante de Ensino Médio, que acreditava que seria Engenheiro
Agrimensor e que se descobriu professor de Matemática está, agora, há mais de 20
anos dedicando-se à Educação Matemática.
Nesse contexto, inserido na educação, acredito que é sempre possível
promover melhorias no ensino de Matemática. Entretanto, sei que, para isso, são
necessários muito estudo e dedicação. Por isso, ingressei no programa de
Mestrado, para buscar fazer a diferença na área que escolhi para atuar.
Hoje, homem feito, pai de família e, acima de tudo, professor de Matemática,
apresento aqui as minhas descobertas em prol do fazer pedagógico na área que
escolhi.
Para tanto, surgiram, com o decorrer do Mestrado, alguns questionamentos,
como, por exemplo: por que não criar um projeto que contemplasse a utilização
sistemática do material adquirido? Como isso poderia ser feito para abranger
todas as unidades de ensino que já possuíam o kit? O projeto exigiria grandes
investimentos? Como o kit adquirido está organizado nas escolas da rede
municipal? Existe espaço físico destinado à sua organização? Existem formas
de melhor utilização do kit pelos professores?
Assim, a fim de responder essas e outras questões que envolvem o uso do
LEM como recurso didático no ensino de Matemática foi realizada, inicialmente, uma
excursão pelas escolas para identificar aquelas que contavam com o kit e que já
haviam construído um espaço para sua organização.
20
Posteriormente, os professores dessas escolas responderam um questionário
referente ao uso do LEM, sendo que as respostas obtidas ratificaram a importância
de levar o projeto adiante.
A próxima etapa, então, foi a criação de um grupo de professores
colaboradores para elaborar propostas de atividades que empregassem o kit
adquirido pela Secretaria Municipal de Educação. Já com o grupo formado de
professores, surgiu, então, a ideia de convidar acadêmicos do último período de
Matemática no momento em que o projeto demandou mais tempo e pessoal para
prosseguir e que será discutido mais adiante. Dessa forma, com a pesquisa
realizada, foi proposta a elaboração de um produto que procurasse indicar
atividades que pudessem ser realizadas com o kit existente nessas escolas,
auxiliando o professor quanto à utilização, com maior efetividade, do material de
laboratório de Matemática adquirido por essas instituições referidas.
Assim, com a finalidade de mostrar todo o desenvolvimento dessa pesquisa,
esse trabalho ficou assim dividido:
Nessa introdução, foi feito um pequeno memorial a respeito da minha
iniciação na carreira docente até o momento que conheci as potencialidades do
LEM, além de indicar, sucintamente, o percurso da pesquisa, justificando-a, e os
questionamentos iniciais que levaram à pesquisa, indicando os objetivos propostos e
uma breve descrição do produto a que se pretendia.
No segundo capítulo, um quadro teórico foi elaborado baseado na análise de
diversas concepções a respeito da utilização de um LEM como recurso didático.
No terceiro capítulo, além de detalhar sobre a experiência de implantação do
Laboratório de Matemática na escola onde atuava, é relatado o histórico do kit como
também os materiais que o compõem, entre outras informações acerca do contexto
dessa pesquisa.
Já no quarto capítulo são apresentadas as etapas do desenvolvimento dessa
pesquisa, indicando o caminho percorrido e a formação dos grupos de
colaboradores.
Os encontros realizados para aplicação das atividades elaboradas para o
produto dessa pesquisa e para a elaboração, discussão e refinamento das propostas
foram descritos no quinto capítulo deste trabalho, a descrição do produto final desse
trabalho, assim como a descrição das estratégias para a divulgação do projeto com
21
o objetivo de desencadear a participação de todos os professores de Matemática da
rede municipal de ensino.
No sexto e último capítulo são apresentadas as considerações finais deste
trabalho, seguidas das referências bibliográficas e dos apêndices, sendo um deles o
produto final dessa pesquisa em sua versão final.
22
2 O LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA
Um dos objetivos deste trabalho é dar visibilidade para o laboratório de
Matemática como espaço de construção do conhecimento, tanto individual como
coletivo. Nesse ambiente, o professor pode dar vida própria aos recursos didático-
pedagógicos, seja enquanto propostas didáticas ou mesmo como materiais didáticos
que auxiliem na construção epistemológica dos que nele se encontrem. Esse é o
lugar do ambiente escolar que permite aos professores e alunos expandirem sua
criatividade, dinamizar o trabalho e enriquecer as atividades de ensino-
aprendizagem, tornando o processo muito mais dinâmico, prazeroso e eficaz, como
indicam os teóricos pesquisados.
2.1 O laboratório de Matemática: concepções
Entre as concepções de Laboratório de Ensino de Matemática, que neste
capítulo será designado apenas como LEM, Passos (2006) destaca que o primeiro
pensamento, ao se falar em laboratório em uma escola, é que este é um local onde
são realizadas experiências. Para a autora, a instalação de um LEM pode se dar
numa sala, num armário, ou apenas em uma caixa, dependendo dos seus objetivos
e finalidades.
Para Ewbank (1977, p.214), a expressão “Laboratório de Matemática”, é
utilizada para representar um lugar, um processo, um procedimento. É uma sala
estruturada para experimentos matemáticos e atividades práticas. O termo também
serve para caracterizar uma abordagem usada em sala de aula onde os alunos
trabalham de maneira informal, movimentam-se, discutem, escolhem seus materiais
e métodos e, geralmente, fazem e descobrem a matemática por si próprios.
Lorenzato (2006) considera que o LEM deve ser:
[...] o centro da vida matemática da escola; mais que um depósito de materiais, sala de aula, ou museu de matemática, o LEM é o lugar onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais compreensível aos alunos. [...]. É uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender. (LORENZATO, 2006, p.7).
Provavelmente, a existência deste espaço organizado na escola, pode
contribuir com uma aprendizagem significativa, uma vez que é impossível definir
23
atividades de ensino padronizadas que atendam às necessidades de todos os
alunos, tornando-se, então, necessário diversificar as estratégias e o uso de
materiais, além do livro didático.
Lorenzato (2006), buscando argumentos para defender a necessidade do uso
de materiais manipulativos e outras estratégias nas aulas de Matemática e, por
consequência, da criação de LEM nas escolas, faz referências a educadores que
destacaram a necessidade do apoio visual, bem como do visual tátil, como
facilitadores da aprendizagem.
Inicialmente, o autor faz referências à Comenius que, por volta de 1650,
escreveu que o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o
conhecimento começa pelos sentidos e só se aprende fazendo. Mais tarde, logo no
início do século XX, Dewey confirma o pensamento de Comenius, ressaltando a
importância da experiência direta como fator básico para construção do
conhecimento. Além de Comenius e Dewey, constam nessa lista os nomes de
Locke, Rousseau, Pestalozzi, Froebel, Herbart, Poincaré, Montessori, Piaget,
Vygotski, Bruner e suas principais contribuições para o ensino no que diz respeito à
importância que o material didático pode desempenhar na aprendizagem. Lorenzato
(2006) cita, ainda, as contribuições de Claparède e Freinet na defesa do uso de
jogos e brincadeiras e do cantinho temático em sala de aula e destaca, também, o
trabalho de divulgação do uso de material didático dos educadores matemáticos
Willy Servais, Caleb Gattegno, Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga,
Georges Cuisinaire, Jean-Louis Nicolet, Luigi Campadelli, Zoltan P. Dienes e dos
brasileiros Júlio César de Mello e Souza – Malba Tahan – e Manoel Jairo Bezerra.
Além disso, evidencia a percepção do matemático Arquimedes sobre a influência do
ver e do fazer na aprendizagem quando, num relato a Erastótenes, por volta do ano
250 a.C., revela como fazia descobertas matemáticas, confirmando a importância
das imagens e objetos na construção de novos conhecimentos.
Ainda discorrendo sobre o que pensam grandes educadores, em Passos
(2006) percebe-se que há uma concordância entre os estudos de Piaget, Bruner e
Dienes, no que se refere à aprendizagem com o uso de materiais didáticos nos
seguintes aspectos:
- Motivação – facilita a aquisição do conhecimento;
- Participação ativa – é mais positiva que a participação passiva;
24
- Experiência e descoberta – auxiliam a aprendizagem de um conceito
matemático.
Pensando assim, Rego & Rego (2006) defendem que o processo de ensino-
aprendizagem seja centrado no aluno e que sejam reconhecidos, identificados e
considerados seus conhecimentos anteriores como ponto inicial do trabalho
pedagógico, destacando a importância do LEM como espaço ideal de
experimentação. Destacam, também, na discussão que fazem sobre o uso do
material didático, amparados em Bezerra (1962), três funções primordiais que
convém salientar: materiais didáticos auxiliam os professores a tornar o ensino de
Matemática mais atraente e acessível; podem acabar com o medo de que a
disciplina é difícil e, finalmente, aumentam o número de interessados no estudo de
Matemática. Tais funções serão, posteriormente, detalhadas.
Perez e Turrioni (2006, p.61) também acreditam que o uso de material
concreto tem um papel relevante na aprendizagem em Matemática, pois “facilita a
observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, crítico e científico, é
fundamental para o ensino experimental e é excelente para auxiliar o aluno na
construção de seus conhecimentos”.
Ademais, o uso sistemático desse espaço pode representar uma estratégia
para conseguir melhor qualidade na aprendizagem da Matemática, no que diz
respeito à construção do conhecimento. Isso porque, mais do que obter um bom
desempenho em exercícios pré-definidos, ou a memorização de fórmulas, é
importante que se entenda que um dos objetivos centrais do ensino da Matemática é
conseguir que os alunos desenvolvam a compreensão aprofundada dos conceitos
matemáticos, já que, através dessa compreensão, os alunos serão capazes de
conseguir o pensamento matemático avançado.
O laboratório, portanto, diante do exposto, é um ambiente propício para
estimular o aluno ao gosto pela Matemática, à perseverança na busca de soluções e
à confiança em sua capacidade de aprender e fazer Matemática. Além de contribuir
para a construção de conceitos, procedimentos e habilidades matemáticas, pode
propiciar, também, a busca de relações, propriedades e regularidades, estimulando
o espírito investigativo. Por isso, deve ser esse o local da escola onde, de forma
integral, se “respire” Matemática.
Porém, para que isso ocorra efetivamente, o laboratório de Matemática deve
ser um ambiente regularmente frequentado e utilizado pelo professor
25
contemporâneo, de quem se exige que busque, cada vez mais, maneiras que
facilitem a aplicação e o desenvolvimento de conteúdos, com o objetivo de garantir
ao aluno a aprendizagem, a partir do desenvolvimento de sua capacidade de
pensar, avalizar, conjeturar, tomar decisões e resolver questões-problemas.
Pensando assim, o laboratório de Matemática pode ser uma opção de
trabalho, quando visto como um espaço dedicado à construção do conhecimento,
uma vez que pode elencar habilidades fundamentais e necessárias para a
aprendizagem matemática, além de proporcionar o uso de material manipulativo.
Nesse sentido, Lorenzato se posiciona afirmando que:
O laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica porque, mais do que nunca, o ensino da Matemática se apresenta com necessidades especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades. (LORENZATO, 2006, p.6).
Portanto, o Laboratório de Matemática deixa de ser somente instrumento que
oferece ao aluno novas formas de criar, manipular, levantar questionamentos e
hipóteses, construir, desenvolver instrumentos matemáticos que possam ser
facilitadores e potencializadores de sua aprendizagem, mas, ainda, ser um espaço
para o professor pesquisar, refletir e criar estratégias que tornem o seu fazer em
sala um processo prazeroso e significativo.
Deve-se entender, portanto, que o laboratório deve ser um lugar diferenciado,
onde a aprendizagem acontece – sobretudo, a partir da manipulação de materiais
concretos.
Porém, diante do exposto, torna-se necessário atentar os docentes para o
fato de que o uso desse espaço deve ser antecipado de um planejamento que
preveja, de forma clara, os objetivos a serem alcançados e o material que será
usado para tal. Fazendo assim, será evitada ou diminuída a possibilidade de
frustrações ocasionadas pelo desenvolvimento das atividades sem significado.
Nesse sentido, Serrazina (1990), ao analisar a utilização de materiais
didáticos no ensino da Matemática, observa que deve haver um cuidado especial
quando se pretende fazer uso desses recursos, e que, nesse aspecto, o professor
tem um papel fundamental. Ou seja, além de um criterioso planejamento, é
importante saber que todo material manipulável deve ser usado como ferramenta
que possa auxiliar o professor e o aluno no processo de ensino-aprendizagem. Isso
26
porque o material manipulável não carrega com ele o conhecimento, mas é a partir
dele que o conhecimento será elaborado no decorrer das relações que ele ajuda a
estabelecer.
Agindo assim, o professor pode promover para o seu aluno, experiências
pessoais bem sucedidas, levando-o a desenvolver o gosto pela descoberta, a
coragem de enfrentar desafios e vencê-los, desenvolvendo conhecimentos na
direção de uma ação autônoma.
Dentro dessa perspectiva, o professor se vê desafiado a elaborar questões
adequadas que possam ser elucidadas a partir da manipulação do material e que
exijam a exploração de conceitos e propriedades implícitas no material manipulativo:
necessidades que devem fazer parte dessa etapa.
Diante do exposto, torna-se inegável a importância do uso desse espaço
destinado à Matemática, como também algumas objeções quanto ao seu uso, como,
por exemplo, a necessidade de um planejamento prévio bem elaborado, o que
demanda tempo e conhecimento profundo dos conteúdos que serão trabalhados.
Lorenzato (2006, p.12) discute tais problemas com relação à utilização do LEM,
sendo que, para cada um deles, o autor preocupa-se em apresentar sugestões que
procuram amenizar os efeitos negativos, a fim de evitar frustrações no
desenvolvimento do trabalho, como mostra o quadro 1:
Quadro 1- Objeções e sugestões ao uso do LEM
OBJEÇÕES SUGESTÕES
I. O material do LEM é caro. I. É importante a participação do
aluno e professor na conservação
do material.
II. Exigência de uma boa
formação do professor.
II. Todo método de ensino exige
boa formação.
III. Possibilidade do uso pelo
uso.
III. A boa utilização depende do
professor.
IV. Inviável utilização em
classes numerosas
IV. Dividir a turma em subgrupos
ou utilizar materiais de observação
coletiva.
(Continua)
27
OBJEÇÕES SUGESTÕES
V. Exigência de mais tempo do
professor.
V. Pode facilitar a aprendizagem
de um conteúdo e propiciar um
ganho de tempo.
VI. Maior dificuldade em
lecionar utilizando o LEM.
VI. Incentivar a mudança de
comportamento dos alunos.
VII. Poder induzir o aluno a
aceitar propriedades
matemáticas observadas pelos
materiais manipuláveis.
VII. Até 13 ou 14 anos
facilita. Após isso, deve-se
trabalhar com sofismas, paradoxos
e falácias para desenvolver o
raciocínio lógico-dedutivo.
Fonte: LORENZATO, 2006, p.12.
2.2 Aspectos e informações acerca do uso de laboratórios de Matemática
Como já foi relatado, ao longo da história, muitos educadores defendiam a
importância do apoio visual ou visual tátil como facilitador para a aprendizagem, ou
seja, a necessidade de o ensino de Matemática praticar a transição do concreto para
o abstrato, pois a possibilidade de verificar visual ou manualmente uma proposição
Matemática torna-se uma eficiente estratégia de ensino.
Para Lorenzato (2006), o LEM se torna importante quando se entende que o
ensino de Matemática necessita, a priori, partir do concreto para um primeiro contato
e formulação de hipóteses sobre a teoria que se deseja ensinar até alcançar a
possibilidade de formulações abstratas, que emergem na forma de definições,
teoremas, corolários ou postulados.
Ainda sobre a importância do Laboratório de Matemática, Malba Tahan, em
sua obra “Didática da Matemática”, afirma que: “O professor de Matemática que
dispõe de um bom Laboratório poderá, com maior facilidade, motivar seus alunos
por meio de experiências e orientá-los mais tarde, com maior segurança, pelo
caminho das pesquisas abstratas” (TAHAN, 1962, p.62). Todavia, a organização do
LEM em uma escola, por si só, não garante sua utilização. Isso porque este recurso
carrega com ele algumas desvantagens e/ou restrições para seu uso. Assim sendo,
o autor apresenta algumas vantagens e desvantagens que o seu chamado “Método
(Conclusão)
28
de Laboratório” pode apresentar. Estas vantagens e desvantagens estão
representadas no Quadro 2.
Quadro 2- Vantagens e desvantagens do “Método de Laboratório”
VANTAGENS DESVANTAGENS
01. Torna o ensino vivo, eficiente e Agradável 02. Facilita a tarefa do professor 03. Permite ao professor apreciar certas tendências dos alunos 03. Leva o aluno a fazer observações e Descobertas 04. Reabilita o Ensino da Matemática 05. Leva a aprendizagem até aos alunos menos dotados 06. Permite relacionar o ensino da Matemática com o ensino de outras matérias.
01. Exige recursos materiais que as escolas não oferecem aos professores
02. Não pode ser aplicado a todos os pontos do programa
03. Leva o aluno a fugir das abstrações e procurar recursos materiais para as suas demonstrações
04. Só pode ser proporcionado a classes não numerosas
05. É dispendioso 06. Exige grande habilidade,
entusiasmo e dedicação 07. Leva o aluno a aceitar, como
rigorosas, certas demonstrações experimentais grosseiras
08. Exige muito tempo para o ensino.
Fonte: TAHAN, 1962, p.64.
Neste estudo, porém, as desvantagens 01 e 05 não existem, uma vez que as
escolas que constituem o campo de estudo já possuem todo o material necessário
para construção do LEM.
No livro “Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores”
(2006), Lorenzato organizou alguns artigos que analisam a eficiência dos objetos e
materiais manipuláveis, apresentando algumas sugestões de atividades práticas que
podem ser desenvolvidas com a utilização deste tipo de recurso. Em um artigo
próprio na obra, o autor relaciona alguns educadores que ressaltaram a importância
da utilização de objetos e imagens como facilitadores da aprendizagem reforçando
29
sobre a relevância da ação dos indivíduos sobre o objeto no processo de
aprendizagem. Lorenzato (2006) ainda justificou a importância de se realizar
atividades com materiais didáticos manipuláveis para a melhoria do aprendizado de
Matemática.
Nesse sentido, segundo o autor:
Não faltam argumentos favoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas, como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapável necessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiais didáticos de diferentes tipos. (LORENZATO, 2006, p.5).
Baseado no que foi descrito, é notória a preocupação de autores, tanto
antigos quanto contemporâneos, em estudar propostas de melhoria no ensino de
Matemática, como, também, a convergência de ideias quando consideram que a
manipulação de materiais, quando bem planejada, se caracteriza uma indispensável
estratégia para o desenvolvimento de habilidades como observação, análise,
levantamento de hipóteses, reflexão, tomada de decisão, argumentação e
organização.
Além disso, entende-se que uma aula essencialmente expositiva e
formalizada pode impedir alguns alunos de desenvolverem essas habilidades
descritas.
Dessa forma, a partir das premissas que sustentam uma nova dinâmica de
ensino, não há mais, portanto, lugar aos educadores que somente transmitem
conteúdos; é preciso, pois, pensar em professores que estejam preocupados em dar
condições para que a aprendizagem realmente aconteça. O interesse do aluno em
aprender depende das situações estimuladoras criadas pelo professor para
proporcionar o maior número possível de descobertas e desafios que estimulem a
curiosidade destes e que proporcione autonomia, autoconfiança, organização,
atenção, raciocínio lógico-dedutivo e a cooperação, no sentido de desenvolver a
socialização e aumentar as interações entre eles.
De acordo com o que foi descrito, então, o laboratório de Matemática pode e
deve facilitar a aproximação dos conteúdos estudados na escola tradicional e os
conhecimentos adquiridos no seu cotidiano. Dessa forma, a percepção dos alunos
da significação da importância da Matemática em suas vidas poderá mudar de forma
satisfatória. Pensando assim, pode-se inferir, portanto, que os LEM, em si,
30
constituem um ambiente privilegiado, que, usados adequadamente, podem
promover melhorias no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
Além das contribuições relacionadas com a assimilação de conteúdos, como
já visto, vale ainda destacar que o LEM também é capaz de promover uma melhor
relação interpessoal entre o professor e o aluno, gerando um ambiente mais salutar
dentro da sala de aula. Isso pode dinamizar ainda mais o ensino, resgatar o
sentimento de afetividade pelo professor e colegas, além de incitar a vontade de
participar: ações que tornam o estudo mais prazeroso.
2.3 O laboratório de Matemática como facilitador do ensino
Apesar de todas as vantagens elencadas anteriormente, deve-se entender,
porém, que não se pode considerar o Laboratório de Matemática como um ambiente
mágico ou considerar seu uso uma condição sine qua non para que ocorra a
aprendizagem. Isso porque existem conteúdos que não oferecem possibilidades de
serem trabalhados no LEM.
Logo, caberá ao professor analisar em quais momentos sua utilização se faz
necessária e em quais deve deixar o concreto de lado e ater-se apenas ao abstrato,
e vice-versa.
O principal objetivo do Laboratório de Ensino de Matemática é, então,
desenvolver e difundir atividades para o ensino de Matemática de modo que os
alunos aprendam a fazer na prática – sendo esse usado como apoio à resolução de
problemas - e que o uso de material concreto se constitua um recurso didático
importante na prática pedagógica do professor.
Nessa vertente, o LEM é um recurso que permite ao professor melhorar,
qualitativamente, sua atuação em sala de aula, possibilitando-o a testar novas
tecnologias de ensino, ou seja, o LEM pode ser visto como uma “oficina de
professores e alunos”, podendo transformar-se num espaço acolhedor estimulante
de trabalho sério, organizado e descontraído.
Além do papel de dar significado a alguns conteúdos e tornar seu estudo mais
descontraído, o LEM também se apresenta como uma boa estratégia de marketing
positivo para essa disciplina que ao longo da história vem sendo considerada o
“bicho papão” do currículo escolar.
31
Nesse sentido, Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra “O material didático
no ensino da Matemática”, ainda em 1962, essa função descrita acima. Para o autor
o LEM tem como principais funções:
- Auxiliar o professor a tornar o ensino da Matemática mais atraente e acessível. [...] - Acabar com o medo da Matemática que, criado por alguns professores e alimentado pelos pais e pelos que não gostam de Matemática, está aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matéria. [...] - Interessar um maior número de alunos pelo estudo dessa ciência. (BEZERRA, 1962, p.10).
Porém, conforme dito, para que isso ocorra efetivamente, faz-se mister que,
na sua prática docente, como dito, o professor, utilizando o LEM, procure buscar
soluções inovadoras que permitam superar os desafios da construção Matemática.
Sendo a escola pública no Brasil um espaço onde se convive a mais interessante
diversidade sociocultural-econômica, a situação ideal é que os professores, de
acordo com sua realidade, proponham, testem e avaliem a melhor forma para
conduzir o ensino da Matemática. Para tanto, é necessário que o professor
frequente o espaço destinado ao LEM muitas vezes, sem seus alunos, para
investigar, estudar e criar propostas que tornem o ato de ensinar prazeroso, tanto
para ele, quanto para o seu aluno.
2.4 O laboratório de Matemática como facilitador da aprendizagem
Todo professor de Matemática deve saber que cada aluno tem um modo
próprio de pensar que evolui a cada fase de sua vida. A compreensão é um
processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo em um tempo que
lhe é próprio. Considerando, porém, que as aulas práticas no ambiente de
laboratório podem despertar curiosidade e, consequentemente, o interesse do aluno
através da observação de fenômenos estudados em aulas teóricas, o LEM pode,
então, acelerar no aluno o processo de compreensão dos conteúdos.
A comunidade escolar, principalmente professores de Matemática, concorda
com a ideia de que a manipulação de materiais e o uso de jogos, quando bem
elaborados, apresentam-se como ferramentas para o desenvolvimento de
habilidades, tais como: observação, análise, exposição de hipóteses, reflexão,
discussão, argumentação e organização. Ou seja, se os alunos dispuserem de
32
materiais para manipular, as chances de se obter sucesso serão maiores, tendo em
vista as reais possibilidades de os estudantes desenvolverem ações que lhes
propiciem a construção de um saber consistente e significativo.
De acordo com Lorenzato (2006), as atividades realizadas em um LEM estão
voltadas para o desenvolvimento de conhecimentos matemáticos e a formação
ampla do aluno. Para o referido autor, este espaço pode auxiliar o aluno na:
- Ampliação de sua linguagem e promoção de uma comunicação de ideias
matemáticas; [...] - Aquisição de estratégias de resolução de problemas e de planejamento de
ações; [...] - Desenvolvimento da capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais;
[...] - Inserção no campo dos métodos de investigação científica e na notação
matemática; [...] -Estimulação de sua concentração, perseverança, raciocínio e
criatividade;[...] - Promoção do movimento de troca de ideias por meio de atividades em
grupo; [...] - Estimulação do processo de compreensão de regras, percepção espacial,
discriminação visual e a formação de conceitos. (LORENZATO, 2006, p.9).
Portanto, diante da fala do autor, pode-se inferir que o uso desse ambiente
também é positivo quando as experiências em laboratório estão situadas em um
contexto histórico-tecnológico, relacionadas ao aprendizado do conteúdo de forma
que o conhecimento empírico seja testado e argumentado, para, enfim, acontecer a
construção de ideias. Além disso, nessas aulas, os alunos têm a oportunidade de
interagir com as montagens de instrumentos específicos que, normalmente, eles não
teriam contato em um ambiente com um caráter mais informal do que o ambiente da
sala de aula (BORGES, 2002).
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), um dos princípios norteadores do
ensino de Matemática no Ensino Fundamental é a utilização dos recursos didáticos
numa perspectiva problematizadora. Sobre esta questão, diz o documento que:
[...] Os recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio, calculadora, computadores, jogos e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão. (BRASIL, 1998, p.57).
O fragmento acima deixa clara a necessidade de um planejamento prévio que
tenha em vista os objetivos que se pretende alcançar para não reduzir a estratégia
33
do uso de materiais manipulativos a uma transposição meramente qualitativa. Torna-
se necessário, para tanto, levar o aluno a um nível de compreensão em que ele seja
capaz de estabelecer semelhanças e diferenças, perceber regularidades e
singularidades e, ainda, estabelecer relações com outros campos do conhecimento
e com o seu cotidiano.
Dessa forma, é necessário tirar o foco dos objetos e colocá-lo sobre as
operações que com eles se realizam, o que significa afirmar que o aprendizado não
está no material. Ele age como vetor para promoção da aprendizagem.
É por isso que a criação de um momento específico para tais atividades torna-
se indispensável, ao ser esse um espaço onde o aluno deixa de ser um espectador
e passa a ser o sujeito do processo de aprendizagem. Para tanto, ele deverá
propiciar ao aluno a criação de objetos, conceitos e demonstrações que implicarão
em uma melhor compreensão de conteúdos matemáticos, principalmente através da
manipulação e da realização de experimentos, permitindo-lhe, também, experiências
lógicas por meio das diferentes formas de representação que possibilitam
abstrações empíricas e abstrações reflexivas, podendo evoluir para generalizações
mais complexas.
2.5 O lúdico e o concreto: conceitos que estão presentes no laboratório de
Matemática
Não raro, ouve-se que o trabalho com a Matemática é um trabalho penoso e
fazer o aluno entender a disciplina de forma utilitária é o principal foco que se
deveria ter. Nesse sentido, é comum serem citados diversos teóricos que afirmam
que o lúdico é importante no processo de construção do conhecimento lógico-
matemático. Há, no entanto, outros teóricos que afirmam, de forma categórica, que o
concreto deve ser preponderante no ensino de Matemática, para que o aluno possa
entender o porquê da matéria lecionada.
Macedo (2000) observa que o jogo é um meio de diversão que acaba
propiciando o estímulo ao raciocínio, desenvolvimento das habilidades e da
capacidade de compreensão dos conteúdos matemáticos. No entanto, faz-se
necessária a distinção entre o lúdico e o concreto, tendo em vista que, apesar de um
estar intimamente ligado ao outro, cada qual tem uma acepção.
34
Caso se tome por base o Dicionário Aurélio de Língua portuguesa, encontrar-
se-á como definição para lúdico:
Lúdico: adj. Que faz referência a jogo ou brinquedos: brincadeiras lúdicas. Que tem o divertimento acima de qualquer outro propósito. Que faz alguma coisa simplesmente pelo prazer em fazê-la. Psicanálise. Refere-se à manifestação artística ou erótica que aparece na idade infantil e acentua-se na adolescência aparecendo sob a forma de jogo. (HOLANDA, 1985, p.894).
E para concreto:
Concreto: adj. Que existe de forma material. Que exprime alguma coisa de real, de positivo: obter vantagens concretas. Que tem o sentido das realidades precisas. Gramática Diz-se de um termo que designa um ser ou um objeto que pode ser percebido pelos sentidos. Música concreta, técnica de composição que utiliza os ruídos produzidos por diversos objetos sonoros registrados em fita magnética e suscetíveis de transformação. S.m. Mistura de água, areia, cimento, pedra britada, com estrutura de vergalhão de ferro, e usada em obra de alvenaria; cimento armado. Concreto armado, o mesmo que concreto. (HOLANDA, 1985, p.824).
Entendidas as diferenças básicas, tem-se, então, que a utilização de material
concreto pode se dar de forma lúdica, o que é natural, mas que o professor pode se
utilizar de atividades lúdicas sem, para tal, fazer uso de material concreto.
Assim, enquanto os teóricos se “digladiam” entre o lúdico e o concreto, o
profissional docente, aquele que está cotidianamente em sala de aula, por vezes,
fica a se perguntar sobre o que é importante, afinal ou, até mesmo, qual a diferença
do lúdico para o concreto, já que, como visto, exercem papéis diferentes na
construção do raciocínio lógico, como visto.
O professor pode trabalhar um material concreto de forma lúdica ou não,
sendo a ludicidade um traço a ser marcado ao longo do desenvolvimento dos
conteúdos. O professor, por exemplo, pode ter acesso ao material concreto e não
conseguir executar uma atividade lúdica ou, ao contrário, pode desenvolver uma
atividade lúdica sem, para tal, estar se utilizando de um material concreto.
Ao ouvir falar da Matemática no Ensino Fundamental, a maioria dos
estudantes relaciona essa disciplina a termos como “difícil” e “complicada”. Essa
imagem tende a se perpetuar até o Ensino Médio, pois o aluno que estabelece tal
analogia normalmente carrega por toda a sua vida acadêmica os “traumas” de não
conseguir entender Matemática.
35
Assim, para uma parte significativa dos alunos, essa disciplina não passa de
um conjunto de códigos e fórmulas a serem memorizadas, ou seja, o ensino é
“tecnicista e formal”, sem objetivos claros, na acepção de não fazer sentido para o
discente, e que, na maioria das vezes, envolvem situações totalmente fora das
experiências cotidianas dos alunos que, em face disso, não estabelecem relação
entre o que se estuda e o seu dia a dia.
Outro problema enfrentado no ensino de Matemática nas escolas é que, em
sua quase totalidade, não existem aulas em Laboratórios de Matemática, por uma
variedade de causas. Dentre elas, a própria inexistência dos laboratórios na escola;
a quantidade reduzida de horas-aula disponibilizadas para o componente curricular
da disciplina em detrimento ao volume de conteúdo a ser trabalho, a falta de prática
do docente no desenvolvimento de atividades experimentais, ou as aulas são
desenvolvidas em sua totalidade baseadas em livros didáticos ou apostilas adotadas
pelas escolas, institutos e afins.
Portanto, entende-se que a busca pela realização da inclusão de novas
metodologias, tendo em vista a contextualização do ensino, em sala de aula, a fim
de proporcionar ao estudante a possibilidade de ele construir e compreender a
Matemática e os procedimentos que o auxiliem na formalização de diferentes
conceitos da disciplina parece ser uma alternativa para desmitificar ou
“descomplicar” a Matemática.
Porém, para tanto, essa tarefa deve ser construída a partir de situações
cotidianas articuladas às atividades experimentais no ensino de Matemática,
atividades estas que podem vir a possibilitar o desenvolvimento no aluno de
habilidades e competências, como a organização dos diferentes fenômenos
envolvidos em determinado assunto, a identificação, a observação, a classificação,
entre outros.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) trazem em sua redação que, ao
se problematizarem situações cotidianas articuladas aos conceitos matemáticos, tais
fatos permitem que o estudante “faça inter-relações” entre os seus vários conceitos
e, dessa forma, entre os seus diversos modos de representação, superando
obstáculos desde os mais simples até aqueles que significam “verdadeiras barreiras
epistemológicas no seu desenvolvimento”. (BRASIL, 1998, p.26).
Torna-se ainda preponderante dizer que variados têm sido os estudos sobre a
formação do professor que são impulsionados, sobretudo, pelas baixas notas
36
alcançadas no Ensino Fundamental e, posteriormente, no Ensino Médio, o que faz
reflexionar acerca das aulas e do quanto não satisfazem às demandas atuais.
Destarte, os resultados apresentados remetem para a urgência de se buscar
outras formas para ressignificar as ações pedagógicas no contexto da Matemática,
pensando na formação inicial e, principalmente, na formação continuada dos
professores de Matemática, com o intuito de contemplar, nesse processo, outras
metodologias pedagógicas que atendam às necessidades atuais.
Assim, de acordo com Lorenzato (2006), rever os caminhos percorridos e
repensar as propostas das licenciaturas pode ser importante, visto que é a partir
delas que se dá o processo formativo do profissional que atuará na docência do
Ensino Básico. Portanto, de acordo com o autor, é no processo de formação que se
tem que pensar, pois é preciso considerar as transformações sociais que emergem
com o passar do tempo e que, por decorrência, acarretam em outras demandas no
mercado de trabalho. O mundo pós-moderno exige outros conteúdos e,
naturalmente, outras metodologias. Vive-se a era da informação, da tecnologia, tem-
se, então, esse recurso como ferramenta, o que significa entender a Matemática
como uma ciência exata, porém dinâmica, que se atualiza em conformidade com as
transformações sociais, extrapolando a visão simplista e cartesiana de que essa
ciência se resume à aplicação de fórmulas e à resolução de algoritmos.
Tomando por princípio o que se circunscreve nos PCN (1998):
[...] a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios. [...] a compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais dependem da leitura crítica e interpretação de informações complexas, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de comunicação, ou seja, para exercer cidadania é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente. (BRASIL, 1998, p.27).
Em suma, é papel do educador fornecer subsídios para que os estudantes
compreendam tanto os conceitos abstratos quanto as manipulações simbólicas, que,
quase sempre, são abordadas de maneira superficial na maioria das salas de aula.
Já no que se diz respeito à elaboração de atividades vinculadas ao contexto
dos alunos, essa tarefa exige do professor pesquisa e planejamento, para que os
estudantes relacionem as informações com as especificidades de cada
conhecimento e, dessa forma, possam vir a superar a memorização inexpressiva e
37
aplicação direta de regras e fórmulas. Para tal, compete ao docente elaborar
atividades que favoreçam o desenvolvimento da imaginação e da criatividade do
aluno. Daí a importância da utilização do material concreto como um recurso que
pode contribuir, por meio de um trabalho cooperativo, na elaboração de conceitos e
na resolução de problemas (PAIS, 2006).
Sendo assim, integrar os professores ao processo de experienciação desses
materiais concretos faz-se necessário, mas de forma contínua, visando ao
movimento, de modo que a estagnação não aconteça e, o que se crê, é que isso só
é possível quando se estabelece um espaço onde ocorra diálogo e trocas de
experiências em redes de aprendizagens.
A partir das pesquisas e reflexões acerca da importância dos LEM, o que vai
se apresentar aqui é o que se pôde observar acerca da utilização de material
concreto, no caso, a partir do uso dos laboratórios de Matemática, aliando-os, ou
não, à ludicidade.
Vale ressaltar, entretanto, que apesar de o material concreto despertar o
interesse de quem aprende, ele pode não apresentar o resultado esperado pelo
educador e, consequentemente, não trazer o “sucesso” pretendido pelo docente.
Portanto, para que proporcione uma significativa aprendizagem, é condição
sine qua non que haja uma atividade mental, e não somente a manipulativa, por
parte do aluno. Assim, ao professor cabe acreditar no material como um instrumento
auxiliar do processo de ensino e aprendizagem, entendendo, porém, que o material
necessita ser corretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como
e o quando colocá-lo em cena; caso contrário, o material concreto pode se tornar
ineficaz à aprendizagem.
Para tanto, o professor deve se perguntar se o material que ele leva para sala
ou se a ida ao Laboratório de Matemática é realmente importante/relevante para a
construção daquele conhecimento, se estes recursos vão, de fato, ajudar os alunos
a avançarem no conteúdo proposto. Porém, como já exposto, não basta acreditar
que o simples uso destes materiais garanta a aprendizagem e nem que o aluno,
sozinho, irá relacionar o material com o conteúdo já visto. É preciso ancorar a teoria
com a prática, mediar o trabalho, a fim de que os alunos percebam que a
Matemática pode ser vista e relacionada com fatos reais e cotidianos.
Acredita-se, portanto, e infere-se diante do dito que a formação continuada
para os professores, principalmente para aqueles que atendem os anos iniciais, é
38
fator necessário, visto que a alfabetização matemática, quando bem construída, é o
princípio para entendimento sólido dos conceitos dessa ciência.
Vive-se em um mundo social, cultural e político, que proporciona uma gama
de conhecimentos, e é papel do professor discutir sobre esses aspectos com os
estudantes, por meio de saberes que ultrapassam a disciplina ministrada, fazendo,
assim, o uso de uma metodologia que contemple associar Matemática e realidade. A
aproximação da formação inicial com a continuada é importante, pois oportuniza aos
docentes uma reflexão sobre a própria ação pedagógica, em vista de uma melhor
qualidade de ensino.
2.5.1 Lúdico x Concreto: o papel de cada um
Em pleno século XXI, o ensino-aprendizagem de Matemática continua, em
muitas escolas, como uma transmissão de conhecimento vista de forma muito
formal, em que o professor é a célula “máter” do conhecimento, o único senhor do
conhecimento, o centro das atenções, e o aluno, um mero expectador.
Tendo por premissa a questão metodológica, muito se tem falado sobre a
questão dos jogos e brincadeiras para o ensino de Matemática, o que faz com que
se entenda, pense e repense o papel do lúdico no ensino de Matemática.
Somado à ludicidade está, pois, o concreto, visto que a adoção de jogos para
o ensino vem tornando-se um aporte para a facilitação da aprendizagem, tendo em
vista que a sua utilização pode tornar mais significativas e prazerosas as aulas
dessa disciplina, superando o caráter formalista que as envolve.
Sendo assim, tem-se claro, ainda, que, na utilização de materiais concretos
em sala de aula, o aluno centra-se em observar, relacionar, comparar hipóteses e
argumentações. Já o professor é incumbido de orientar na resolução das tarefas.
Isso pode ocorrer de forma lúdica ou não, dependendo do professor e de suas
estratégias de ensino.
2.5.2 O Lúdico associado ao jogo e seu papel educativo: despertar a
curiosidade
É sabido que os jogos e as brincadeiras pedagógicas despertam nas crianças
uma série de gostos/prazeres. O lúdico é educativo quando desperta no aluno a
39
curiosidade. Sendo assim, precisa-se aproveitar o lúdico em sala de aula como
facilitador da aprendizagem.
As regras estabelecidas pelo jogo proporcionam ao aluno o que se denomina
por “zona de desenvolvimento proximal”, ou seja, a partir de um comando ou
conceito trabalhado junto com o professor, o aluno consegue ir além.
Nesse sentido, pode-se afirmar que todo indivíduo possui um nível de
desenvolvimento real, que é sua capacidade de realizar tarefas independentes, o
que faz parte das etapas que ele já alcançou. Portanto, a “zona de desenvolvimento
proximal” é o percurso que o ser humano faz até chegar a um nível de
amadurecimento real. Para isso, existem algumas tarefas para as quais o aluno
precisa do mediador para realizá-las, mas para que, posteriormente, ele possa
conseguir fazer e evoluir. (VYGOTSKY, 2007).
Não se pode ainda esquecer que também a interação entre os alunos na
escola também interfere no desenvolvimento das mesmas. Um aluno que já tem
certo conhecimento em determinado assunto pode contribuir para o
desenvolvimento de outras, assim como o professor mediador.
Portanto, se existem algumas tarefas para as quais os alunos precisam do
auxilio do professor, como ora já foi dito, a escola, então, precisa estar atenta para o
fato de que o ensino e a aprendizagem devem ser construídos a partir do princípio
de que o aluno tem um nível de desenvolvimento real e que, em um determinado
momento, quando ela tiver contato com o conteúdo, esse percurso acontece de
acordo com a faixa etária e com o nível de conhecimento que ela tem, isto é,
acontece de acordo com seu nível de desenvolvimento potencial ou proximal.
Dessa forma, pode-se inferir que os jogos, por serem lúdicos em sua
essência, criam uma zona de desenvolvimento proximal, já que eles proporcionam
desafios, estimulando, assim, a criança às conquistas mais avançadas do que na
vida real, aprendendo também a separar objetos e significados.
As crianças mostram que, antes mesmo de dominarem a linguagem,
conseguem resolver problemas práticos, através da utilização de instrumentos para
alcançar seus objetivos. O jogo age na zona de desenvolvimento proximal gerando
uma interação entre a zona de desenvolvimento real – aprendizagens consolidadas
– e a zona de desenvolvimento potencial – aprendizagens que serão consolidadas.
Pode-se afirmar, então, que o jogo é a base para a fundamentação e efetivação do
40
desenvolvimento, mostrando saltos no processo de aprendizagem e
desenvolvimento, já que uma está ligada ao outro.
Além disso, faz-se mister enfatizar que o jogo pode resgatar ou aguçar o
desejo de aprender, fazendo-se, para tanto, necessário definir atentamente quais
serão os objetivos que irão nortear o jogo na sala de aula, tanto na dimensão afetiva
quanto na cognitiva, pois, só assim, ter-se-ão bons resultados na aprendizagem dos
alunos.
2.5.3 O concreto e a práxis pedagógica cotidiana
O mais importante no ensino-aprendizagem da Matemática é a atividade
mental a ser desenvolvida por professores e alunos e, nesse sentido, a utilização
dos materiais é, seguramente, um dos aspectos mais relevantes na práxis
pedagógica diária, pois, através de modelos concretos, permite-se à criança
construir, modificar, integrar, interagir com o mundo físico e com os seus pares. É o
que se chama de aprender a fazer fazendo, desmistificando a conotação negativa
que se atribui à Matemática.
Em se tratando de material concreto, o que se pode afirmar, até de certa
forma categoricamente, é que a função deste material é trabalhar a aprendizagem
de determinados saberes matemáticos mediados por eles, materiais manipuláveis,
desde a Educação Infantil até completar-se o ciclo do Ensino Fundamental. O
problema é que, ao chegar à segunda fase do Ensino Fundamental, leia-se do 6º ao
9º anos, esse é um hábito que se esvai.
Todavia, vale relembrar que manipular materiais não significa que a
Matemática aconteça ou seja assimilada por osmose; é importante que as atividades
sejam significativas, como já dito, para gerarem conhecimento. Os significados que o
aluno constrói são produtos da sua reinvenção e das interações com os outros
perante um conteúdo de aprendizagem.
Portanto, devido ao papel que a Matemática tem na estruturação do
pensamento, a sua função no cotidiano e a sua importância para futuras
aprendizagens, o educador deve estar atento e consciente da atenção que deve ser
dada a esta ciência em qualquer nível escolar. Para tanto, o papel do material
concreto torna-se fundamental para a promoção da aquisição de conceitos
matemáticos no processo ensino-aprendizagem e a forma como o faz, o papel dos
41
materiais, a criatividade, o interesse e a motivação que o docente coloca na sua
dinâmica serão determinantes para incutir nos alunos o gosto pela Matemática. Nas
atividades com materiais manipuláveis, os docentes devem provocar, clarificar e
ajudar a refletir, quer pela construção das tarefas e ligação aos materiais, quer pelos
diálogos sobre as questões a eles interligados, possibilitando a cooperação,
autonomia e responsabilidade dos alunos.
Por isso, os materiais não poderão ser considerados inadequados, "bons" ou
"maus", por si mesmos, pois a inadequação dependerá da tarefa pedida e da relação
desta com o conceito em causa, mas, sim, se têm algum uso pertinente ou não,
consoante ao que se deseja que eles concretizem. Para tanto, eles devem ser
convenientemente selecionados e utilizados, permitindo motivar e envolver
ativamente os alunos, respeitando diferenças, possibilitando a representação
concreta de ideias abstratas e dando oportunidade de descobrirem relações e
formularem generalizações.
Torna-se importante, então, investigar o processo de construção de
competências que se refletem no processo de ensinar e aprender, e em quê o
conhecimento do educador contribui para que o processo não ocorra de modo
mecânico e descontextualizado, mas, sim, como aprendizagem significativa. Por
isso, a simples introdução de atividades com materiais não é o que garante o eficaz
desenvolvimento infantil, como já exposto, pois os materiais não podem carregar
neles significados próprios, mas são potenciais instrumentos que desenvolvem
significados de acordo com a função da tarefa para a qual o educador os estruturou.
Assim, através de um método, de uma orientação, possibilitam-se às
crianças experiências em um processo de manipulação/ação e, posteriormente, de
representação e conceitualização, podendo provocar o desenvolvimento e a
formação de determinadas atitudes, destrezas e capacidades perceptivas,
representativas e conceituais. Dessa forma, o sucesso da utilização dos materiais
depende, por um lado, de como as tarefas são implementadas pelos educadores e,
por outro, da forma como esses docentes veem a Matemática.
Por isso, a formação inicial do educador deve proporcionar situações de
aprendizagem para que os futuros docentes contatem, construam, manipulem
materiais, de modo a descobrirem as suas potencialidades e obtenham
conhecimentos sólidos sobre a sua utilização, para que as tarefas permitam a
42
construção do saber, para, mais tarde, ao pensarem a sua prática, atuarem como
sujeitos produtores de conhecimento.
O que se deve ter por foco, aqui, é a necessidade de desmitificar o ensino-
aprendizagem da Matemática como difícil e buscar promover, tanto nos discentes
quanto nos docentes, maior aptidão para a utilização dos materiais manipulativos e o
uso correto destes, ampliar a ida ao LEM em prol da construção eficaz dos saberes
matemáticos úteis ao dia a dia dos discentes, ou seja, uma educação matemática de
qualidade, com um material concreto apelativo, enriquecedor e criativo, capaz de
desenvolver as capacidades cognitivas, sendo, entre elas, a redação, e as
atitudinais do sujeito, como, por exemplo, as questões que envolvem a ética, a
cooperação, entre outras, e que também foram observadas no decorrer do
desenvolvimento desta pesquisa.
43
3 PROJETO LEM: DA EXPERIÊNCIA RESTRITA A UMA UNIDADE ESCOLAR
PARA A IDEIA DE EXPANSÃO PARA TODA REDE MUNICIPAL DE ENSINO
O motivo inicial que gerou o desenvolvimento dessa pesquisa realizada deve-
se ao fato de perceber a dificuldade e, por vezes, o desinteresse dos professores de
Matemática em trabalhar com o material de laboratório de Matemática que havia
sido adquirido pela Secretaria de Educação de Cachoeiro do Itapemirim. Tal
desinteresse era possivelmente acarretado, não só pela desorganização pela qual
os materiais ficavam arrumados, mas, também, pela incapacidade declarada por
alguns professores em utilizar os kits de forma correta.
Ao serem feitas reuniões das quais participavam três professores de
Matemática e dois de Ciências na escola a qual o pesquisador lecionava, entre
outros assuntos sempre eram abordados os problemas dos laboratórios, que ainda
não haviam sido montados, sendo o incômodo dos professores explícito quanto à
questão. Prova disso, é que um dos professores, em uma dessas reuniões, afirmou
que: “Sabemos da existência do material, mas de nada adianta se a escola o
mantém guardado e encaixotado” (PROFESSORA DÉBORA1). Outra professora
afirmou ainda que:
Tive a oportunidade de vasculhar o material. Além de bons jogos, existe um riquíssimo material para ser trabalhado nas aulas de Matemática e Ciências. O que não encontrei foi um manual que nos dê sugestões de como utilizá-lo. O único livro que acompanha o material só faz a apresentação dos kits, mas não sugere como usá-los. (PROFESSORA GILIANE).
Ficou claro, portanto, para o grupo, que a não utilização do laboratório se
devia a dois principais fatores:
Falta de organização de todo o material;
Falta de um manual com sugestões para sua utilização;
Falta de investimento em capacitação de pessoas.
Além desses fatores, a falta de um mediador, responsável por auxiliar o
professor durante o uso do laboratório, também se constituía um problema. Isso
porque arrumar o material necessário na bancada e após seu uso ter que arrumá-lo
1 Os nomes aqui utilizados são fictícios a fim de resguardar a integridade dos participantes dessa
pesquisa.
44
demandava tempo. Período esse em que a turma ficaria sozinha, gerando, quase
sempre, bagunça.
3.1 A experiência na unidade escolar...
A partir daí, a vontade e a necessidade de desencaixotar o material e
organizá-lo fez com que fosse destinado considerável tempo durante todas as
reuniões de área, buscando uma solução para o impasse. Foi, então, pedido à
escola que destinasse uma sala já existente ou que fosse construído um espaço
para o laboratório de Ciências e Matemática.
A princípio, foi utilizada uma sala de aula para começar a trabalhar com o kit,
e embora o espaço não fosse adequado em função do tamanho, ventilação e falta
de bancadas, o kit foi desencaixotado e arrumado. Além disso, algumas propostas
de trabalho foram criadas para aquele espaço.
Porém, o que se pensava ser um processo de organização, não passou de
um processo de arrumação já que houve falta de critério para a organização do
material. Nesse sentido, de acordo com Lorenzato (2006),
O laboratório de Matemática deverá ser organizado, facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da Matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que um depósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de Matemática, o LEM é o lugar da escola onde os professores estão empenhados em tornar a Matemática mais compreensível aos alunos. (LORENZATO, 2006, p.21).
Pensando assim, o laboratório foi novamente organizado, deixando todo o
material mais acessível aos professores, sendo este separado por grupos, tendo
como critério os campos de conhecimentos matemáticos. Dessa forma, quatro
grupos foram criados:
Aritmética:
A aritmética é o ramo dentro da Matemática que trata do estudo dos números
e das operações que podem ser realizadas com eles. Além disso, a aritmética é o
ramo mais antigo e elementar da Matemática, pois é utilizada na maior parte do
mundo para as tarefas diárias mais básicas, tais como a contagem, mas também em
contextos que exigem a solução de cálculos científicos bastante complexos.
45
Formavam este grupo o material do kit que poderia ser utilizado em atividades
que exploravam as operações com os números e suas propriedades mais
elementares. As propostas de atividades deveriam contemplar seis operações
básicas: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.
Álgebra:
A álgebra é um dos ramos da Matemática que recorre a números, letras e
sinais (símbolos) para generalizar as diversas operações aritméticas. O termo
provém do latim algĕbra que, por sua vez, deriva de um vocábulo árabe que significa
“reunião” ou “reacomodação das partes quebradas”.
Hoje em dia, entende-se por álgebra como o ramo da Matemática que estuda
as estruturas, as relações e as quantidades. A álgebra elementar é aquela que diz
respeito às operações aritméticas (soma, subtração, multiplicação, divisão) mas que,
ao contrário da aritmética, utiliza símbolos (a, x, y...) em vez de números (1, 2, 9...).
Deste modo, foram selecionados, para esse grupo, os materiais com os quais
poderiam ser formuladas leis gerais e fazer referência a números
desconhecidos/variáveis (incógnitas), o que possibilita desenvolver equações e
análises correspondentes à sua resolução.
Geometria:
Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra)
e "métron" (medir), cujo significado, em geral, é designar propriedades relacionadas
com a posição e forma de objetos no espaço.
Este segmento da Matemática aborda as leis das figuras e as relações das
medidas das superfícies e sólidos geométricos. São utilizadas relações de medidas
como as amplitudes de ângulos, volumes de sólidos, comprimentos de linhas e
áreas das superfícies.
Constituiu este grupo o material do kit que poderia ser utilizado para elaborar
propostas de atividades que exploravam questões relacionadas com forma,
tamanho, posição relativa entre figuras ou propriedades do espaço, dividindo-se em
várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus
problemas.
46
Jogos estruturados:
Ficaram definidos como jogos estruturados aqueles que apresentavam um
manual com regras pré-definidas.
Com a experiência adquirida no trabalho que objetivava a organização, ficou
claro que tal objetivo não seria atingido em curto prazo, já que, uma vez organizado,
ele demandaria constante complementação, tanto a respeito de material como
também de sugestões de atividades.
Em uma das reuniões de área, estudando um texto de Lorenzato (2006), o
grupo concordou em criar um espaço, ainda dentro do laboratório, para acomodar,
também, além do kit:
Revistas, jornais e artigos;
Problemas desafiadores de lógica;
Questões de olimpíadas, ENEM;
Exemplares da Prova Brasil;
Textos e outros.
Outro objetivo dessas reuniões foi a criação de um grupo de estudos formado
pelos professores de Matemática da escola, por meio do qual se poderia elaborar e
discutir atividades para serem realizadas, utilizando os materiais manipuláveis
disponíveis no LEM, naquele momento já organizado. Acreditava-se que, agindo
assim, provavelmente ocorreria, de forma natural, a promoção do aprimoramento
desses conhecimentos, ao mesmo tempo em que seria enfatizada a importância do
LEM na escola.
A proposta era, então, além de oferecer aos professores a oportunidade de
aquisição de conhecimentos básicos e teóricos sobre o laboratório de ensino e
aprendizagem da Matemática, procurar estimular a utilização de materiais
manipuláveis para o enriquecimento de ambientes de aprendizagem e, ainda, a
construção de materiais de apoio para as aulas de Matemática. Porém, foi percebido
que a maioria dos professores não apresentava seus planejamentos e/ou resultados
a respeito do trabalho desenvolvido no laboratório de Matemática, o que se
constituiu como um dos entraves à pesquisa naquele momento.
Essa falta de retorno levou a equipe pedagógica a algumas conclusões, entre
as quais, a da pedagoga da instituição, que afirmou que:
47
Os professores ou não estão obtendo resultados satisfatórios ou não estão utilizando o LEM. Se não estão utilizando, mesmo após tantas discussões e consensos a respeito de tal instrumento, é porque não se sentem capazes de produzir naquele espaço. (PEDAGOGA).
A partir dessas conclusões, a equipe pedagógica, junto ao coordenador da
disciplina, realizou atendimentos individuais aos professores de todos os níveis de
ensino, por meio dos quais foi possível observar a insegurança de muitos
professores em utilizar o LEM, podendo-se inferir, com isso, que não bastava a
escola ter seu laboratório organizado, se os professores, por não terem tido em sua
formação inicial a oportunidade de vivenciar atividades com esses materiais ou por
se apresentar em estado de inércia por muito tempo, não souberem como utilizá-los.
Nesse ínterim, vale ressaltar que alguns professores conseguiram aplicar
algumas atividades. Porém, mesmo o fazendo, o LEM era subutilizado, pois, para
aqueles professores alterar seu modelo de aula, implantando de forma sistemática o
LEM, não seria uma ideia positiva. Dessa forma, ficou claro, ao verificar seus
planejamentos de aula, que as atividades propostas por eles não apresentavam
nenhuma significância para o aprendizado, indicando pistas de que os professores,
ao proporem as atividades, não levavam em conta questões como: o procedimento
facilitará o aprendizado do conteúdo proposto? Ele oferece ao aluno a possibilidade
de pensar e criar matematicamente, discutir e tirar conclusões? Tais
questionamentos, como já debatido no capítulo teórico desse trabalho, se feitos, não
só iriam impedir ou diminuir o risco de uma frustração do professor como também
não permitiriam a possibilidade de o material utilizado se transformar apenas em um
brinquedo ou em um jogo para o aluno.
Outros professores, em contrapartida, entenderam o projeto de implantação
do laboratório de Matemática e foram indicados como monitores para acompanhar o
trabalho dos outros. O objetivo não foi de denunciar erros e falhas, mas de orientar
na construção e aplicação de atividades no LEM. Esse acompanhamento e
orientação ocorreram nos dias de estudo que a Rede Municipal prevê em seu
calendário. Tal evento ocorre de forma isolada nas escolas e é de responsabilidade
da cada unidade de ensino escolher o tema e organizar seu dia de estudo. Na
escola em questão, o laboratório de Ciências e Matemática foi abordado em três
desses encontros. Nesses dias, os referidos professores monitores, munidos de
atividades que haviam sido previamente elaboradas e aplicadas (mais
48
detalhamentos no capítulo metodológico desta dissertação), apresentavam o
material para os demais professores, que, na condição de alunos, realizavam as
atividades. No final do evento, uma roda de conversa era organizada para
compartilhar as experiências.
As ideias fluíam e o interesse dos professores pelo material crescia, tanto que
a grande procura pelo espaço ficou cada vez maior e, com maior quantidade de
alunos no local, esse acabou tornando-se inviável, necessitando de um local maior e
com mais acessibilidade para o seu uso.
Concomitantemente a esse problema, a escola obteve, no ano de 2008, um
desfavorável resultado no IDEB (3,7), o que obrigou os professores a criar um Plano
de Desenvolvimento Escolar (PDE), documento no qual deveriam estar previstas
metas para o melhoramento do índice da escola, sendo, uma delas, a construção de
um espaço para funcionamento do laboratório de Ciências e Matemática. Como a
verba destinada às ações do PDE não poderiam ser aplicadas na construção do
Laboratório, a escola lançou mão da verba do programa PMDDE (Programa
Municipal de Dinheiro Direto na Escola). Com isso, foi construído, em 2009, o
espaço destinado ao laboratório de Ciências e Matemática (Figura 1) o qual
apresentou condições de acomodar, de forma organizada, todo material do kit. Para
tanto, foram construídas bancadas de granito e armários, além disso, passou a
existir um espaço reservado para projeção de slides e acomodação de uma
televisão.
Dessa forma, com o espaço devidamente organizado, a escola precisava
criar, então, um projeto que justificasse todo aquele investimento.
49
Figura 1- Laboratório construído com a verba do PMDDE
Fonte: Imagem do pesquisador
Ainda em 2009, após muita conversa e discussões nas reuniões de área,
ficou resolvido que seria realizada a inserção do laboratório na grade curricular da
escola, com o objetivo de atender à proposta de ampliar e expandir as atividades do
LEM. Porém, como não era possível mudar o currículo que era estabelecido pela
Secretaria Municipal de Educação, ficou determinado que uma das cinco aulas de
Matemática deveria ser ministrada no LEM. Todas as atividades no laboratório eram,
então, discutidas nas reuniões semanais de área, com o objetivo de planejamento
para alcançar possíveis melhoras.
Com isso, pode-se verificar que houve mudanças na prática do docente,
tendo, como consequência, uma melhor assimilação de conteúdos por parte dos
discentes envolvidos.
Por sua vez e da mesma forma, alguns professores já sentiam mudanças no
comportamento dos alunos, que se mostravam mais interessados e abertos à
aprendizagem. Tudo isso porque as aulas, antes quase sempre expositivas, deram
lugar às aulas mais práticas que, em concordância com Lorenzato (2006), quase
sempre surtem grande e satisfatório efeito. Para o autor:
Há uma diferença pedagógica entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um [material didático] MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas os resultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque, de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez que poderão, em ritmos próprios, realizar suas
50
descobertas e, mais facilmente, memorizar os resultados obtidos durante suas atividades. (LORENZATO, 2006, p.27).
Portanto, a partir da organização e implantação do LEM para uso sistemático,
constatou-se a mudança na concepção do professor em relação ao laboratório, que,
agora, se sente à vontade para discutir, solicitar e multiplicar estratégias e atividades
a serem desenvolvidas. Além disso, já conseguiam encarar o LEM como um
ambiente de constante pesquisa, no qual aprimora, retifica ou ratifica suas
estratégias.
Dessa forma, pode-se inferir que todo o esforço da equipe de professores de
Matemática e a cumplicidade entre eles resultaram em um ensino mais prazeroso e,
uma vez percebido pelos alunos, fê-los, naturalmente, exercerem seu papel no
processo de ensino e de aprendizagem.
Percebeu-se, ainda, que foi resgatada a concepção de um fazer matemático
que tem como foco central garantir ao aluno o direito de aprender bem. Porém, era
claro que, para que tal proposta se concretizasse, toda equipe deveria estar atenta a
essa garantia e, ao mesmo tempo, dever-se-ia manter unida, aceitando o fato de
que cada um é, diretamente, responsável pelo processo.
3.2 Para a possível expansão do projeto para o município
No ano de 2010, o pesquisador, a partir da participação no Mestrado,
encontrou subsídios para levar adiante o projeto, acreditando ainda mais nos
benefícios que ele poderia trazer para o ensino de Matemática no município de
Cachoeiro de Itapemirim.
A partir de discussões com colegas e professores do programa, porém, foi
percebido que organizar um projeto dessa magnitude demandava tempo, estudo e
parcerias. Assim, com a certeza de que os problemas apontados anteriormente não
se restringiam a uma ou algumas, mas abrangia todas as escolas da rede municipal,
vislumbrou-se a possibilidade de um trabalho mais amplo que provocasse mudanças
nas aulas de Matemática em toda rede de ensino.
Logo de início, então, houve os seguintes questionamentos: como, onde e por
que foram adquiridos os Kits?
Assim, com o intuito de buscar uma resposta para esses questionamentos, a
Secretaria Municipal de Educação (SEME) foi visitada e como não foi encontrado
51
nenhum documento que justificasse a compra do kit, recorreu-se a quem, na ocasião
de sua compra, era Diretora de Ensino de Matemática do Município, a qual relatou
que:
O ensino da Matemática se dava pela memorização, repetição de exercícios, utilização de fórmulas, regras e macetes. Porém, isso nos incomodava muito, porque acreditávamos que aprender é mais do que isso. Era preciso que o aluno reinventasse para descobrir a lógica matemática. (EX-DIRETORA DE ENSINO).
Durante a entrevista, a Diretora de Ensino fez referência à Demo (2001, p.
56), dizendo que o aluno leva para a vida não o que se decora, mas o que cria por si
mesmo. Ela ainda acrescentou que “somente isso tem condições de fazer parte da
atitude do aluno, enquanto que o resto, se “engole” como pacote e se expele como
estranho”. Ela ainda ressaltou que:
Estando na coordenação municipal da área, fizemos vários encontros propondo uma mudança no como ensinar a Matemática, baseada na construção do conhecimento. Entre as metodologias diversas, uma das sugestões de mudança foi a manipulação do material concreto. Em 2007, a [...] Secretária de Educação de Cachoeiro de Itapemirim, fez-nos o convite para compor uma equipe responsável em fazer uma avaliação do material, após oficinas ministradas por professores responsáveis pelos laboratórios em Curitiba. [...] Ficamos encantados com o material e indicamos a compra dos mesmos. (DIRETORA DE ENSINO).
Este depoimento da diretora de ensino à época deixa explícito que, naquele
momento, existia uma preocupação por parte da Secretaria de Educação do
município com o ensino da Matemática. A diretora de ensino também relatou que o
material chegou ao final da gestão do então Prefeito. Sendo assim, o fato de não ser
encontrado nenhum documento a respeito da aquisição do material e a inexistência
de um projeto atual que sistematizasse sua utilização na rede municipal de ensino
denuncia o fato de que não houve a preocupação imediata de dar prosseguimento
ao projeto na transição da gestão municipal naquele momento.
A falta de um projeto iniciado pela SEME era um dos problemas, que, no
início da pesquisa, juntou-se a dois outros: todo o material adquirido só trouxe um
manual que apresentava o kit. Faltavam sugestões de propostas de atividades que
orientassem o professor, que o ensinasse como manusear/utilizar o material -
quando e para quê usar os recursos. Daí a importância e a necessidade de elaborar
propostas para o seu uso significativo.
52
Visto, então, que seriam necessárias inúmeras intervenções para aplicar as
propostas que seriam elaboradas, foi necessário buscar outras escolas parceiras
para o projeto e um grupo de professores que acreditavam nele.
A apresentação das escolas parceiras, a formação do referido grupo de
colaboradores, a elaboração das propostas, os relatos de experiência e os métodos
usados para realizar as intervenções feitas serão apresentados nos capítulos
seguintes deste trabalho.
3.3 Os laboratórios da Rede Municipal de ensino da cidade de Cachoeiro de
Itapemirim: componentes e estrutura física
Como foi exposto anteriormente, devido ao resultado insatisfatório em
Matemática obtido pelo município nas avaliações governamentais e com a finalidade
de incrementar o ensino desta disciplina visando à melhoria no índice do IDEB em
2007, foi realizada, então, a compra dos laboratórios de Matemática e Ciências, com
o objetivo de contribuir com recursos que possibilitassem colocar em prática ações
educativas e pudessem permitir um fazer pedagógico descontraído, oferecendo aos
discentes participação ativa, valorizando suas experiências pessoais e, assim,
atribuindo maior significado aos conteúdos matemáticos.
Assim sendo, o kit comprado referia-se a um conjunto de materiais e
equipamentos (abaixo relacionados) acompanhados de um guia de orientação para
o seu uso e de quatro armários, denominados de “unidades de armazenamento”.
Todas as escolas da rede municipal de Ensino Fundamental II (6º a 9º anos) foram
contempladas com o kit. Porém, a verba para a construção dos laboratórios, à
época, só foi creditada na conta da escola mediante apresentação de um projeto
elaborado pela equipe técnica da unidade escolar. Com essa exigência, somente
doze das quarenta e sete unidades escolares receberam o dinheiro e puderam
construir seus laboratórios.
Os laboratórios construídos possuem, em média, 50 m2 e contam com uma
bancada de granito de dimensões 1,5 metro x 4 metros que comporta,
confortavelmente, 20 alunos. Neles, há tela para projeção de filmes ou slides,
quadro branco e ar-condicionado. Os componentes do Kit são discriminados abaixo.
53
Quadro 3- Material do Kit para Laboratório de Ciências e Matemática
MATERIAL QUANTIDADE
ÁBACO BASE 2 3
ÁBACO BASE 3 3
ÁBACO BASE 5 3
ÁBACO BASE 10 4
BALANÇA ALGÉBRICA 5
BLOCO BASE 2 1
BLOCO BASE 10 1
BLOCO DE CUBOS (60 CUBOS PINTADOS DE CORES
DIFERENTES)
1
BLOCOS LÓGICOS 5
CARTELAS DE CONVERSÃO BINÁRIO-DECIMAL 5
CAVALETE DE SUSTENTAÇÃO PARA QUADRO DE AÇO 1
COLEÇÃO DE MOEDAS DE PLÁSTICO 1
COLEÇÃO DE SINALIZAÇÃO DE TRÂNSITO 1
CONJUNTO DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM CRISTAL 1
DOMINÓ COMUM 6
DOMINÓ DE CORES 6
FORMAS GEOMÉTRICAS (LÂMINAS MAGNETIZADAS
PARA FIXAR EM QUADRO DE METAL)
1
GEOPLANO CIRCULAR - 12 DIVISÕES 6
GEOPLANO CIRCULAR – 20 DIVISÕES 6
(Continua)
54
MATERIAL QUANTIDADE
GEOPLANO CIRCULAR – 24 DIVISÕES 6
GEOPLANO RETANGULAR CONTORNO. 7
GEOPLANO RETANGULAR QUADRO PERFURADO – BASE
10.
6
GEOPLANO RETANGULAR QUADRO PERFURADO – BASE
5.
6
JOGO DA VELHA – TABULEIRO DE CHÃO- COM JALECOS
COLORIDOS.
1
JOGO DA VELHA – TABULEIRO DE MESA. 6
MATERIAL PARA CONSTRUIR ÁRVORE DE
POSSIBILIDADES.
1
PACOTES DE COLEÇÃO DE NOTAS DE REAL (CADA UM
CONTENDO 100 NOTAS)
5
PANTÓGRAFO USADO PARA AMPLIAÇÕES 1
QUADRO DE AÇO- 100cmx80cm. 2
RÉGUAS PERFURADAS. 6
RELÓGIO DE ÁGUA. 1
RELÓGIO DE SOL. 1
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM MADEIRA. 2
TRIMINÓS, TETRAMINÓS E PENTAMINÓS. 6
Fonte: Dados da pesquisa
(Conclusão)
55
4. O PERCURSO DA PESQUISA
Conhecida, então, a importância da inserção do LEM no ambiente escolar
para o uso sistemático, foi necessário, a fim de pesquisa, conhecer algumas
particularidades das escolas da Rede Municipal contempladas com o LEM, como,
também, as concepções dos professores acerca deste espaço. A importância de se
estudar as características físicas dos LEM e o que pensam os sujeitos responsáveis
por promover o aprendizado está na perspectiva de, caso seja necessário,
redirecionar o olhar dos docentes para os Laboratórios de Matemática, a partir da
discussão acerca dos seus benefícios e valores. Enfim, reconhecer o LEM como
espaço importante para um ensino voltado para a construção de uma formação de
qualidade.
4.1 O contexto – A cidade de Cachoeiro de Itapemirim e a Rede Municipal de
ensino
O município está situado no sul do estado do Espírito Santo, às margens
do rio Itapemirim, ocupando uma área de 892,9 km². Cachoeiro de Itapemirim situa-
se na zona fisiográfica Serrana do Sul, com 209.878 habitantes, segundo último
Censo (IBGE, 2010). Sua principal fonte de renda é o comércio e o setor de rochas
ornamentais, o que confere à cidade a perífrase de “Capital do Mármore e Granito
Capixabas”.
Cachoeiro, como é popularmente chamada, conta com doze escolas privadas
de Ensino Básico e oito instituições, também privadas, de ensino superior. O Ensino
Médio público é gerido pelo Governo Estadual e a Secretaria Municipal de Educação
de Cachoeiro de Itapemirim (SEME) é a responsável por cuidar dos investimentos
na área de educação básica no município. As escolas da rede municipal estão
voltadas para a Educação Infantil (creches e pré-escolas) e Ensino Fundamental (1º
ao 9º anos).
Ao todo, a prefeitura conta com 89 unidades de ensino, distribuídas pelo
município. Destas, 42 são para a Educação Infantil, 31 para o Ensino Fundamental e
16 atendem tanto a Educação Infantil quanto o Ensino Fundamental. A rede possui,
aproximadamente, 23 mil estudantes matriculados, que correspondem ao percentual
56
de 52% dos alunos de todo o Ensino Fundamental do município, sendo sua maior
parte formada por crianças e adolescentes. Para atender a toda essa demanda, a
prefeitura tem um quadro formado por 1.516 professores e pedagogos, além de
1.148 servidores que atuam no quadro administrativo.
A rede pública de ensino existente no município conta, também, com
unidades de ensino que atendem alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e
Educação Profissional mantidas pelo Governo do estado do Espírito Santo, além da
Educação de Jovens e Adultos, abrindo, em parceria com a Prefeitura, 42 salas,
com aproximadamente 700 alunos matriculados, em 2010, através do programa
“Alfabetização é um Direito”.
4.2 Os caminhos percorridos
Optou-se, para fins desse trabalho, por uma pesquisa qualitativa, por
entender que nesse tipo de abordagem busca-se aferir aspectos qualitativos de uma
questão, ou seja, seria possível, ao longo da pesquisa, compreender o que pensava
cada professor sobre a importância do LEM e a proposta de sistematizar sua
utilização.
Nesse tipo de abordagem existe a preocupação “em retratar a perspectiva
dos participantes” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.13). É importante, ainda, ressaltar que
na pesquisa qualitativa há um contato direto e interativo entre o pesquisador e o
objeto, a fim de compreender os fenômenos, segundo a perspectiva dos
participantes na situação estudada e para que, a partir daí, possa ser iniciada a
ação.
Ainda em relação à pesquisa qualitativa, especificamente em Educação
Matemática, D‟Ambrósio (2004) posiciona-se da seguinte forma:
A pesquisa qualitativa [...] é o caminho para escapar da mesmice. Lida e dá atenção às pessoas e suas ideias, procura fazer sentido de discursos e narrativas que estariam silenciosas. E a análise dos resultados permitirá propor os próximos passos. (D‟AMBRÓSIO, 2004, p.21).
Ainda com base na leitura de D‟Ambrósio (2004), percebe-se que ele vê a
pesquisa como uma prática que antecede a ação, sendo essencial para que ela
ocorra. Ação que, para ele, por sua vez, é essencial à vida.
57
Assim, o primeiro momento da pesquisa foi a elaboração e aplicação de um
questionário com questões inerentes à prática do professor, seu cotidiano na escola
e o uso do laboratório de Matemática da escola.
Além da aplicação dos questionários e da pesquisa documental e bibliográfica
sobre o tema e demonstrada no capítulo teórico dessa dissertação, foram utilizados,
ainda como instrumentos de coleta de dados, a observação direta colaborativa e/ou
participativa durante o período de aplicação das atividades em sala de aula e a
observação participante quando nas discussões durante os encontros com o grupo.
Possuindo a observação um lugar de destaque no que se refere às pesquisas
educacionais, por meio dela é possível o pesquisador recorrer aos seus
conhecimentos e à própria experiência a fim de refletir, compreender e interpretar o
fenômeno a ser estudado. Independentemente do tipo de observação realizada, ela
permite ao pesquisador uma aproximação da perspectiva do sujeito e possibilita a
obtenção de informações mesmo quando não há forma efetiva de comunicação.
(LÜDKE; ANDRÉ, 1986). Os dois métodos de observação realizados se diferem por
que, enquanto a participante, realizada durante os encontros com o grupo, “é uma
estratégia de campo que combina simultaneamente a análise documental, a
entrevista de respondentes e informantes”, a observação direta colaborativa,
realizada durante as aplicações das atividades aos alunos, “é a introspecção”, ou
seja, o pesquisador apenas acompanhou a aplicação das atividades procurando
avaliá-las como fonte de conhecimento para aquele público a que são destinadas,
servindo como mediador de todo o processo. (DENZIN, 1978, p.183, citado por
LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.57). Assim, citando Junker (1971), Lüdke e André fazem
referência aos variados tipos de observação participativa, sendo eles: o participante
total; o participante como observador, o observador como participante e o
observador total. Dessa forma, orientando-se pelo que expõem as autoras, tem-se
que a observação participante realizada durante os encontros com o grupo trata-se
de uma observação como participante, na qual, para as autoras, é quando a
identidade do pesquisador e os objetivos do estudo são revelados integralmente
desde o início e por meio da qual o pesquisador poderá ter acesso a uma enorme
quantidade de informações ao pedir a cooperação do grupo. (LÜDKE; ANDRÉ,
1986).
58
4.2.1 O questionário aplicado
Para Gil (2002), o questionário é a técnica de investigação composta por um
número mais ou menos elevado de questões por escrito apresentadas aos sujeitos
da pesquisa, cujo objetivo é o conhecimento de opiniões, crenças, sentimentos,
interesses, expectativas, situações vivenciadas, entre outros.
O questionário elaborado (APÊNDICE A) continha um texto introdutório sobre
a importância daquele sujeito para a pesquisa proposta, seguido de seis questões e
um espaço reservado para o professor, caso fosse do seu interesse, expor opiniões,
sugestões ou fazer um comentário. O período de aplicação do questionário foi entre
fevereiro e abril de 2011, abrangendo 11 unidades de Ensino Fundamental e 49
professores de Matemática, dos quais 11 eram contratados pelo regime de
designação temporária (DT) e 38 efetivos. Essas 11 unidades de ensino se
distribuem nas zonas urbana, periférica e rural do município. Cada escola recebeu
um envelope com os questionários para serem entregues aos coordenadores de
área que fariam, por sua vez, a redistribuição para os professores. Por
recomendação do pesquisador, os questionários não foram respondidos na escola
ou em grupos para que não sofressem nenhum tipo de interferência ou influência.
Responderam a esse questionário 41 professores de Matemática da rede
municipal representando 84% do total de questionários distribuídos. Embora oito
professores, 16% do total, não tenham respondido ao questionário, tem-se que o
feedback foi satisfatório, considerando que se tenha conseguido uma abrangência
de 100% das escolas da Rede Municipal de Ensino previstas, ou seja, de cada
escola, pelo menos um professor respondeu ao questionário.
As perguntas que compunham o questionário são discriminadas abaixo e, em
seguida, apresentadas em um quadro que mostra o resultado obtido em cada
escola, fazendo-se importante lembrar que, a fim de resguardar as instituições, seus
nomes foram substituídos aleatoriamente por números. Também a partir das
respostas foi elaborado um gráfico que apresenta o resultado obtido no município.
Foram as seguintes perguntas feitas no questionário:
59
1) Com que frequência você utiliza o Laboratório de Matemática da sua
instituição?
( ) Sempre ( ) Às vezes ( ) Quase nunca
Quadro 4- Resultado da primeira pergunta do questionário
ESCOLA SEMPRE ÀS VEZES QUASE NUNCA
ESCOLA 1 1 2 3
ESCOLA 2 2 1 3
ESCOLA 3 0 2 1
ESCOLA 4 0 3 0
ESCOLA 5 0 3 0
ESCOLA 6 1 0 3
ESCOLA 7 0 0 2
ESCOLA 8 0 2 0
ESCOLA 9 0 2 4
ESCOLA 10 1 1 0
ESCOLA 11 0 3 1
Total de Professores pesquisados 4 20 17
Total Relativo 9,8% 48,8% 41,4%
Fonte: Dados da pesquisa
O resultado revela, portanto, que 41,4% dos professores quase nunca usam o
Laboratório de Matemática, enquanto outros 48,8% utilizam-no somente às vezes.
Apenas 9,8% dos sujeitos afirmaram usar com frequência esses espaços nas suas
60
instituições (GRÁFICO 1). Este dado deixa perceptível a necessidade de discutir
com os professores da rede Municipal a importância do LEM no processo de ensino
e aprendizagem de Matemática, como é indicado no gráfico 1.
Gráfico 1- Com que frequência você utiliza o laboratório de Matemática?
Fonte: Dados da pesquisa
Já com relação à segunda questão: Se você não utiliza com frequência o
Laboratório de Matemática, identifique o motivo que mais contribui para a
subutilização deste ambiente.
( )Falta de material de apoio ( )Falta de treinamento de professor, o
resultado ficou assim distribuído (QUADRO 5):
Quadro 5- Resultado da segunda pergunta do questionário
ESCOLA FALTA DE MATERIAL
DE APOIO
FALTA DE
TREINAMENTO DE
PROFESSOR
ESCOLA 1 3 6
ESCOLA 2 2 4
ESCOLA 3 1 2
(Continua)
61
ESCOLA FALTA DE MATERIAL
DE APOIO
FALTA DE
TREINAMENTO DE
PROFESSOR
ESCOLA 4 1 2
ESCOLA 5 3 3
ESCOLA 6 1 3
ESCOLA 7 2 2
ESCOLA 8 1 2
ESCOLA 9 1 5
ESCOLA 10 2 2
ESCOLA 11 2 2
Total 19 33
Total Relativo 51,4% 89,2%
Fonte: Dados da pesquisa
Considerando os dados da questão anterior, tem-se que 04 (quatro)
professores afirmaram utilizar o Laboratório de Matemática e, por isso, não
responderam a essa pergunta. Dessa forma, do total de 37 (trinta e sete) sujeitos
que responderam “Às vezes” ou “Nunca” para a utilização do espaço, 51,4% deles
afirmaram como causa a falta de material de apoio, enquanto 89,2% deles
colocaram como causa a falta de treinamento dos professores para utilizá-lo.
Somando o total relativo, obtém-se como resultado 140,6%. Sendo assim, tem-se
que 40,6 % dos entrevistados atribuem a subutilização do laboratório às duas
causas apresentadas, como é demonstrado no gráfico 2.
(Conclusão)
62
Gráfico 2- Identifique o motivo que mais contribui para a subutilização do
Laboratório de Matemática
51,40%
89,20%
40,60%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
As duas opções
Falta de treinamento
Falta de material de apoio
Fonte: Dados da pesquisa
Vale ressaltar que, quando os professores afirmam como motivo da
subutilização do LEM a falta de material de apoio, provavelmente significa haver
uma falta de material que acompanhasse o kit, para um melhor aproveitamento do
material ali existente. Essa probabilidade torna-se mais concisa no decorrer das
entrevistas e em nada têm a ver com a falta de kit, já que todas as escolas
estudadas tinham esse material que encontrava-se subutilizado ou ainda
encaixotados.
Já a questão 3: Em se tratando de estratégia para o ensino da
Matemática, você considera o Laboratório de Matemática:
( ) Sem significado ( ) Pouco significativo ( ) Muito significativo
As respostas ficaram distribuídas da seguinte forma (QUADRO 6):
Quadro 6- Resultado da terceira pergunta do questionário
ESCOLA SEM
SIGNIFICADO
POUCO
SIGNIFICATIVO
MUITO
SIGNIFICATIVO
ESCOLA 1 0 1 5
ESCOLA 2 0 2 4
(Continua)
63
ESCOLA SEM
SIGNIFICADO
POUCO
SIGNIFICATIVO
MUITO
SIGNIFICATIVO
ESCOLA 3 0 1 2
ESCOLA 4 0 0 3
ESCOLA 5 0 0 3
ESCOLA 6 0 0 4
ESCOLA 7 0 1 1
ESCOLA 8 0 0 2
ESCOLA 9 0 2 4
ESCOLA 10 0 0 2
ESCOLA 11 0 1 3
Total 0 8 33
Total Relativo 0% 19,5% 80,5%
Fonte: Dados da pesquisa
Portanto, com 80,5% das respostas, fica clara a vontade dos professores em
trabalhar com o laboratório e a crença de que este ambiente pode oferecer
melhorias no seu fazer em sala de aula; porém, isso não é um indicador de que
todos eles tenham vontade de trabalhar com o material objeto dessa pesquisa.
Outros 19,5% afirmaram que o Laboratório de Matemática é pouco significativo
como estratégia de ensino da disciplina. Nenhum dos sujeitos respondeu que esse
espaço se constitui como estratégia sem significado para o ensino, como mostra o
gráfico 3.
(Conclusão)
64
Gráfico 3- Em se tratando de estratégia de ensino, você considera o
Laboratório de Matemática...
Fonte: Dados da pesquisa
A quarta questão perguntava: Acerca do livro didático adotado2, a
quantidade de sugestões de atividades com material manipulativo que
poderiam ser trabalhadas no Laboratório de Matemática, é:
( ) Quase nenhuma ( ) Algumas ( ) Muitas
O resultado é demonstrado no quadro a seguir:
Quadro 7- Resultado da quarta pergunta do questionário
ESCOLA QUASE
NENHUMA
ALGUMAS MUITAS
ESCOLA 1 2 4 1
ESCOLA 2 3 3 0
ESCOLA 3 1 2 0
ESCOLA 4 2 1 0
2 Todas as escolas da Rede Municipal de Educação utilizam o mesmo livro didático; porém, cada um
destinado a sua série específica. Isso permite entender que, portanto, pode haver, nessas respostas, a informação de que haja, para um mesmo livro didático, diferentes leituras.
(Continua)
65
ESCOLA QUASE
NENHUMA
ALGUMAS MUITAS
ESCOLA 5 3 0 0
ESCOLA 6 3 1 0
ESCOLA 7 1 0 1
ESCOLA 8 1 1 0
ESCOLA 9 2 3 1
ESCOLA 10 0 2 0
ESCOLA 11 0 2 1
Total 18 19 4
Total Relativo 43,9% 46,3% 9,8%
Fonte: Dados da pesquisa
A escassez de atividades no livro didático, denunciada por 43,9% dos
participantes da pesquisa torna explícita a demanda pelo serviço de criação de
atividades que envolvam o material adquirido pelas escolas e que provoquem o uso
do espaço do laboratório. Ainda de acordo com as respostas, tem-se que 46,3%
afirmam que os livros didáticos utilizados pela instituição possuem algumas
atividades com material manipulativo, enquanto apenas 9,8% do total de sujeitos
colocam que os livros oferecem muitas atividades nesse sentido (GRÁFICO 4).
(Conclusão)
66
Gráfico 4- Quantidade de sugestões de atividades com material manipulativo
no livro didático utilizado
Fonte: Dados da pesquisa
A questão: Você assina alguma revista específica sobre Educação
Matemática ou faz parte de algum grupo de estudo que discute assuntos desta
área de conhecimento?
( ) Sim ( ) Não, teve suas respostas assim distribuídas:
Quadro 8- Resultado da quinta pergunta do questionário
ESCOLA SIM NÃO
ESCOLA 1 5 2
ESCOLA 2 6 0
ESCOLA 3 1 2
ESCOLA 4 0 3
ESCOLA 5 3 0
ESCOLA 6 4 0
ESCOLA 7 1 1
(Continua)
67
ESCOLA SIM NÃO
ESCOLA 8 2 0
ESCOLA 9 5 1
ESCOLA 10 1 1
ESCOLA 11 2 1
Total 30 11
Total Relativo 73,1% 26,9%
Fonte: Dados da pesquisa
Como visto, pode-se afirmar que enquanto 26,9% dos professores colocam
que não fazem nem parte de um grupo nem assinam uma revista especializada,
73,1% dos sujeitos afirmaram que ou assinam uma revista especializada ou fazem
parte de um grupo de estudo da disciplina. Porém, no espaço destinado aos
comentários, seis deles consideraram as reuniões de área como grupos de estudo.
Contudo, pela experiência do pesquisador em reuniões de área, entende-se que
essas RAs não podem ser consideradas grupos de estudo, já que as escolas
destinam duas aulas semanais para os encontros de área, tempo insuficiente para
elaborar ou discutir propostas para o uso do LEM. Além disso, participam também
da reunião professores de Ciências, o que não condiz com um grupo de estudo
específico da área de Matemática e que tivesse, como função primordial, a
discussão de propostas para essa área.
Quanto à assinatura de revistas especializadas, nenhum comentário deu
pistas sobre o uso deste recurso.
(Conclusão)
68
Gráfico 5- Assina alguma revista ou faz parte de algum grupo especializado da
disciplina?
Fonte: Dados da pesquisa
A sexta pergunta do questionário foi a seguinte: Caso você assine alguma
revista específica, você aplica alguma atividade proposta por ela no
Laboratório de Matemática com seus alunos?
( ) Sim ( ) Não ( ) Não assino revista específica,
sendo essas as respostas mostradas abaixo:
Quadro 9- Resultado da sexta pergunta do questionário
ESCOLA SIM NÃO NÃO ASSINO
REVISTA ESPECÍFICA
ESCOLA 1 1 0 6
ESCOLA 2 0 2 4
ESCOLA 3 1 0 2
ESCOLA 4 2 1 0
ESCOLA 5 2 1 0
ESCOLA 6 1 0 3
(Continua)
69
ESCOLA SIM NÃO NÃO ASSINO
REVISTA ESPECÍFICA
ESCOLA 7 1 1 0
ESCOLA 8 2 0 0
ESCOLA 9 4 0 2
ESCOLA 10 1 0 1
ESCOLA 11 1 0 2
Total 16 5 20
Total Relativo 39% 12,2% 48,8%
Fonte: Dados da pesquisa
Comparando os resultados obtidos neste quadro com o resultado do quadro
anterior, têm-se, então, a certeza de que o percentual favorável do quadro anterior
se deve aos encontros promovidos pela Rede Municipal de Educação e reuniões de
área, o que pode sugerir uma falta de vontade individual de cada um dos sujeitos de
buscar novas estratégias de ensino. Entre aqueles que assinam alguma revista
especializada, 51,2% de todo grupo entrevistados, grande parte deles, 16 indivíduos
(79% do grupo de assinantes), faz uso das propostas apresentadas por elas,
enquanto 21% afirmam não aplicar atividades propostas nesses periódicos, como é
indicado no gráfico 6.
(Conclusão)
70
Gráfico 6- Você aplica atividades propostas por revistas específicas, caso as
assine?
Fonte: Dados da pesquisa
Iniciou-se, portanto, a partir da aplicação dos questionários, uma pesquisa
envolvendo as 11 unidades de ensino onde já existiam os laboratórios construídos,
tendo como objetivo conhecer a dinâmica da utilização do laboratório nessas
escolas.
Além disso, também a partir dos resultados coletados e das necessidades dos
objetivos propostos pela pesquisa implementada, tornou-se necessário estudar,
ainda, os materiais que compunham o kit do LEM, suas potencialidades, a fim de
buscar promover na comunidade matemática do município uma concepção mais
otimista acerca da inserção deste espaço no planejamento de suas aulas. Com este
objetivo, foi, então, criado um grupo de professores com a finalidade de estudar o kit
que compõe o LEM, procurando elaborar atividades que utilizassem esse material.
Para formar o referido grupo de estudo, foi enviada uma carta-convite a todos os 41
professores que responderam o questionário; porém, apenas seis professores
aceitaram participar das reuniões. Entre os motivos, a falta de tempo e/ou
disponibilidade de encontrar com o grupo e problemas pessoais. A partir daí, foram
realizados, então, 15 encontros, conforme apresentados no quadro 10:
71
Quadro 10- Detalhamento acerca dos encontros realizados
ENCONTRO LOCAL DURAÇÃO TEMA
1o Encontro
18/05/2013
Centro Universitário
São Camilo
2 horas Reunião com os
docentes para discutir
sobre a importância do
LEM e as possíveis
mudanças que seu uso
sistemático pode
produzir na atividade
docente.
2o Encontro
31/05/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
3 horas
Definição do grupo de
professores
colaboradores.
3o Encontro
01/06/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 11
2 horas Inserção dos
universitários no grupo
de estudos.
4o Encontro
14/06/2013
Centro Universitário
São Camilo.
4 horas Reunião com os
acadêmicos com o tema:
Importância do LEM e as
possíveis mudanças que
seu uso sistemático pode
produzir na atividade
docente.
5o Encontro
22/06/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
3 horas A primeira reunião com
professores e
acadêmicos para discutir
e estabelecer as
atribuições de cada
grupo.
(Continua)
72
ENCONTRO LOCAL DURAÇÃO TEMA
6o Encontro
06/07/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
4 horas Organização do material
7o encontro
03/08/2013
Centro Universitário
São Camilo
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
8o encontro
10/08/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
9o encontro
24/08/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
10o encontro
14/09/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 6
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
11o encontro
27/09/2013
Centro Universitário
São Camilo
2 horas Conversa com o grupo.
Assunto: Motivação.
(Continua)
73
ENCONTRO LOCAL DURAÇÃO TEMA
12o encontro
28/09/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 11
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
13o encontro
05/10/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 11
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
14o encontro
11/10/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 11
2 horas Apresentação de ideias,
escolha do material,
apresentação da
proposta de atividade e
relatos.
15o encontro
19/10/2013
Laboratório de
Matemática da
Escola 11
2 horas Escolha das atividades
para Caderno
Fonte: Dados da pesquisa
Vale a pena ressaltar que, a partir do segundo encontro, definiu-se o grupo de
seis professores que aderiram ao projeto. Em função do tempo demandado pela
pesquisa, foi necessário convidar, ainda, os acadêmicos do último período do curso
de licenciatura em Matemática do Centro Universitário São Camilo para participarem
do projeto. A ideia de inseri-los foi, não só alicerçada no fato de eles estarem
cursando a disciplina “Laboratório de Matemática” naquele período, mas, também,
porque muitos alunos estavam engajados no projeto PIBID.
Dessa forma, junto com as intervenções previstas pelo PIBID, eles poderiam
realizar atividades que envolviam o LEM. O desdobramento da ideia de inserir os
acadêmicos mostrou-se proveitosa a ponto de que alguns deles levaram para dentro
das escolas onde foram realizadas a pesquisa as discussões do grupo e, dotados de
(Conclusão)
74
certa autonomia, organizaram os laboratórios dessas instituições, sendo que nas
reuniões de área apresentavam sugestões de atividades. No quadro 11 é definido o
grupo, composto por 20 pessoas, que participou de forma efetiva do processo de
elaboração e aplicação das atividades, lembrando que, a fim de resguardá-los,
foram utilizados nomes fictícios para denominá-los.
Quadro 11- Perfil dos sujeitos da pesquisa
Nome Licenciado
em
Matemática
Engenharia Pós-
graduação
Efetivo Não
efetivo
Acadêmico
Ana Paula X
Alex X X X
Caroline X
Cynthia X X X
Diógenes X
Eduardo X X X
Fábio X
Juliana X
Hebert X
Kayla X
Marina X
Michel X
Paula X X X
Patrícia X
Poliana X X X
Renan X
Renata X
(Continua)
75
Nome Licenciado
em
Matemática
Engenharia Pós-
graduação
Efetivo Não
efetivo
Acadêmico
Roseana X
Samila X
Wesley X
Fonte: Dados da pesquisa
Uma vez fidelizado o grupo de professores e ocorrida a inserção dos
acadêmicos que além de outras contribuições deu fôlego à pesquisa, a partir do 6o
encontro, o grupo esteve focado, como visto, na elaboração do material, cujo
objetivo consistia, no âmbito de um grupo de estudos, de posse do kit, elaborar,
realizar e discutir propostas de atividades que utilizassem o material disponível nos
Laboratórios de Matemática da Rede Municipal de Ensino do município. De forma
mais ampla, tinha-se, como objetivo principal, enfatizar a importância do LEM na
escola e, com isso, aumentar o número de professores que acreditam neste recurso.
As reuniões implicavam, tanto em horas presenciais como não presenciais
nas quais os participantes do projeto desenvolviam com os alunos, em sala de aula,
as atividades estudadas e desenvolvidas no grupo.
Para tanto, os acadêmicos formaram grupos de, no máximo 3 componentes,
que deveriam ser orientados por um dos professores do projeto. A cada encontro,
um grupo de acadêmicos deveria escolher um material do kit e elaborar uma
proposta de atividade que seria aplicada posteriormente para o grupo maior, com os
demais participantes. Esse, por sua vez, após refiná-la, liberava a atividade para ser
aplicada nas escolas. Na reunião seguinte, a atividade aplicada nas escolas era
objeto de estudo em uma dinâmica de relato de experiências que, a partir das
impressões dos aplicadores sobre a atividade realizada, poderia sofrer ou não
modificações a depender do resultado.
Foi estabelecida uma meta de elaboração de, no mínimo, 15 atividades que,
após perpassar por todo o processo já descrito, passariam a compor um Caderno de
Atividades para ser utilizado em um programa de capacitação de professores da
Rede Municipal de Ensino de Cachoeiro de Itapemirim. As descrições dos encontros
e das observações participantes realizadas neles são feitas no capítulo seguinte,
(Conclusão)
76
assim como o detalhamento do produto final dessa pesquisa, sendo esse um
Caderno de Propostas de Atividades para o Laboratório de Ensino de Matemática,
além das observações não participantes realizadas durante as aplicações de
algumas das atividades elaboradas no decorrer dessa pesquisa.
77
5. DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS ENCONTROS
Uma vez estruturado o projeto e certo de sua importância para a comunidade
matemática do município, iniciaram-se os encontros que, num total de 15, com
duração aproximada de duas a quatro horas cada, constituíram um ambiente que,
além da discussão e reflexão sobre as práticas pedagógicas dos participantes,
caracterizaram-se, também, pelo estudo e pela pesquisa. Esses encontros
aconteceram de maio a outubro de 2013, conforme dito, e foram gravados em vídeo
e áudio. A transcrição do conteúdo gravado será exposta no decorrer desse capítulo.
5.1. Primeiro encontro: criação do grupo de estudo
Esta reunião aconteceu no dia 18 de maio de 2013, na sala 311 do bloco II,
no Centro Universitário São Camilo-ES. Estiveram presentes na reunião 18
professores, que ouviram, por cerca de uma hora, a exposição do pesquisador
acerca do projeto e a explanação dos resultados dos questionários aplicados
anteriormente. Na ocasião, referenciado por Fiorentini e Lorenzato (2006), o
pesquisador realizou uma apresentação teórica sobre a importância do Laboratório
de Matemática. Na mesma reunião, objetivando reforçar a importância da utilização
dos laboratórios e, consequentemente, da pesquisa, foi sugerida a leitura do livro “O
laboratório de Matemática na formação de professores”. Nele, Lorenzato (2006)
justifica a importância de se realizar atividades com materiais manipuláveis para a
melhoria do aprendizado de Matemática. Nesse sentido, segundo o autor:
[...] não faltam argumentos favoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas, como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isto, decorre uma inescapável necessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiais didáticos de diferentes tipos. (LORENZATO, 2006, p.5).
Durante a apresentação ministrada pelo pesquisador, não só ocorreram
discussões acerca da importância da utilização do Laboratório de Matemática, como
já dito, mas também foram levantadas algumas questões que interferiam, de forma
negativa, segundo os participantes, na utilização desse espaço.
78
A professora Patrícia3, corroborando com alguns outros professores do grupo,
atribuiu o uso pouco frequente do LEM à falta de tempo para elaborar as atividades.
Ela, que cumpre uma jornada tripla semanal, deixou tal problema evidente em seu
relato, quando disse que: “O tempo que temos para planejar na escola não é
suficiente para estudarmos o material disponível e criarmos atividades”.
(PROFESSORA PATRÍCIA).
Além da falta de tempo para planejar, também foram citados como fatores
que dificultam o desenvolvimento das atividades de laboratório: o comportamento
dos alunos, a falta de espaço adequado para o laboratório (infraestrutura), a
ausência de um mediador e a falta de apoio pedagógico para aquele tipo de
trabalho.
Naquele mesmo momento, a professora Paula, referindo-se às questões
levantadas, propôs ao grupo que a discussão fosse direcionada para uma busca de
soluções. Para a professora: “Se o professor de Matemática levar em consideração
a estrutura oferecida pela rede pública para trabalho, não despertará muito
interesse. Por isso, é preciso buscar soluções, para que não desistamos da
educação” (PROFESSORA PAULA).
Assim, à medida que iam fazendo suas colocações, alguns professores, que
na ocasião do questionário não apresentaram dúvidas a respeito da importância do
uso do LEM, talvez encorajados pelos relatos dos companheiros, começaram a dar
pistas que também enfrentavam problemas e passaram a relatar suas experiências
positivas e/ou negativas, de expor frustrações e de trocar estratégias adotadas no
seu fazer em sala de aula. O relato do professor Herbert revelou que parte dos
objetivos daquela reunião já estava sendo alcançada, pois os professores já
estavam fazendo uma análise crítica da sua prática e percebiam onde e como era
possível melhorar. Segundo ele:
Uso muito os jogos e as formas geométricas. Quanto aos jogos, nunca os utilizo para explorar um conteúdo matemático, minha intenção é distrair o aluno. Já as formas geométricas, utilizo durante a aula expositiva. Nunca criei uma atividade que exigisse a manipulação do material. (PROFESSOR HERBERT).
É importante relatar que nenhum professor foi previamente avisado de que,
na reunião, haveria espaço para discussões. O grupo tinha a informação apenas do
3 Os nomes aqui utilizados são fictícios a fim de resguardar a identidade dos envolvidos na pesquisa.
79
assunto que seria exposto e pensava que isso ocorreria no formato de palestra para
apresentação do projeto. Certamente, essa foi a causa da naturalidade e da
autenticidade que permearam as discussões. Por isso, nenhum professor foi à
reunião prevenido com respostas prontas ou discursos de autodefesa.
Prestou-se atenção a esse fato, pois, como afirma Gatti (2005):
Não se recomenda dar aos participantes informações detalhadas sobre o objeto da pesquisa. Eles devem ser informados de modo vago sobre o tema da discussão para que não venham com ideias pré-formadas ou com sua participação preparada. Saber com antecedência precisamente o que discutir – por exemplo, as questões que o moderador irá colocar, ou o roteiro – propicia a formação de opiniões prévias que podem interferir nas discussões. (GATTI, 2005, p.23).
Nesse encontro, também foram discutidos e decididos os princípios e
cuidados éticos que iriam permear todo o processo da pesquisa de campo. A
reunião durou aproximadamente 2 horas e, ao seu término, foi agendado um novo
encontro para o dia 01 de junho de 2013, no laboratório da Escola 6. Os
professores, até esse período, deveriam pensar a respeito da participação no grupo
de pesquisa e da seriedade em se manterem presentes até o final dos trabalhos. A
confirmação da presença deveria ser feita pelo e-mail do pesquisador.
5.2 O segundo encontro: definição do grupo de professores colaboradores
O segundo encontro ocorreu no laboratório da Escola 6, no dia 01 de junho de
2013, tendo iniciado às 9 horas. Algumas desistências eram esperadas, já que os
encontros foram agendados para os sábados, sendo algumas sextas-feiras
utilizadas a fim de acerto na agenda dos participantes. Até a véspera do encontro, a
presença de 10, entre os 41 professores do total foi confirmada.
Tais desistências também são previstas por Gatti (2005). Para a autora, é
comum ocorrerem ausências que devem estar no horizonte dos pesquisadores e,
por isso, não devem abalar o rumo da pesquisa. De acordo com a autora:
Realmente, as decisões sobre a composição dos grupos, a forma de convite, a motivação e a adesão dos participantes desejados constituem um trabalho bastante delicado, e os pesquisadores devem estar conscientes de que ausências de último momento são muito comuns, e que é preciso lidar com essa situação, procurando não prejudicar o atendimento dos objetivos da pesquisa, mediante rearranjos que garantam isso. (GATTI, 2005, p.23).
80
Após as referidas desistências, o grupo seguiu, apesar da confirmação da
presença de 10, mas com a presença de apenas seis professores participantes (os
outros quatro não teriam tempo para se dedicar ao trabalho a ser desenvolvido), eles
relataram suas impressões acerca do LEM. Nessa reunião, cada um dos
participantes pôde apresentar suas expectativas em relação aos encontros. A
professora Cyntia externou seu desejo de buscar formas diferenciadas de ensinar
Matemática, alegando que “através das trocas no grupo”, ela pretendia “largar o
tradicionalismo”. Para ela:
Tenho boas ideias, mas não sei como colocá-las em prática. O aluno pensa que a Matemática é chata. Mas como dar uma aula diferente? Você vai fazer um curso e quando você pergunta como dar uma aula diferente, as pessoas falam que não têm receita de bolo, cada um tem que fazer do seu jeito, cada um tem que inventar. Penso que a própria pessoa que está falando ali não sabe. (PROFESSORA CYNTIA).
A proposta desse encontro foi provocar uma discussão sobre a realidade da
escola de cada professor participante e qual era sua impressão acerca do uso do
Laboratório de Matemática nas instituições as quais pertenciam. A reunião foi
filmada e, após serem organizadas as colocações de cada professor, foi possível
criar o relatório sobre cada um daqueles participantes, descrito abaixo:
Professor Alex:
De fala calma, o professor Alex trabalha na rede municipal e na rede
particular e considera importante o uso do laboratório. Contudo, destaca que o seu
uso deve ser de forma moderada, “para não gerar confusão na cabeça do aluno”. O
professor informou que usa o laboratório com pouca frequência, e pensa ser
suficiente o que tem feito. Segundo o professor:
Na teoria é tudo muito lindo. Na prática são, em média, 20 alunos que, dificilmente, entendem que o laboratório é um lugar de estudo efetivo. No LEM, eles se envolvem com brincadeiras que não fariam dentro de sala de aula, trabalhando com o caderno e o livro. (PROFESSOR ALEX).
Abordando suas dificuldades vividas ao tentar utilizar algum tipo de
metodologia diferenciada, Alex deixa clara sua dificuldade de tirar o aluno de sala de
aula e propor um trabalho diferenciado, indicando que esse é um trabalho
complicado para o professor tradicional.
81
Professora Cynthia:
Trabalha nos três turnos dividindo seu tempo com a rede municipal e a rede
privada. É uma professora entusiasmada e crente de que pode haver mudança. Ela
não usa com frequência o LEM por se sentir insegura no momento de criar um
roteiro de atividade, mas vê no grupo uma grande possibilidade de crescimento
profissional. Diz-se apaixonada pelo que faz e vê no laboratório uma grande
possibilidade de mudança do seu fazer como docente.
A professora Cyntia, sempre que se posicionava, demonstrava muita
maturidade e um grande compromisso com a questão da Educação. Sua vontade de
promover mudanças fica evidente em seu relato, quando afirma que:
Embora já tenha seis anos como professora efetiva no município, na minha escola tem muito „dinossauro‟ que acha besteira essa história de laboratório de Matemática; preferem, portanto, o quadro e o giz. Estou muito à vontade e feliz por participar desse grupo, porque aqui eu visualizo uma possibilidade de mudança. (PROFESSORA CYNTIA)
Professor Eduardo:
Assim como seus colegas Alex e Cyntia, ele divide seu tempo com a escola
pública e privada. O professor Eduardo acredita que o laboratório seja um espaço
para construção e aprimoramento do conhecimento, mesmo sabendo das
dificuldades que são encontradas para fazer com que o laboratório deixe de ser um
anexo da escola e torne-se parte dela. O docente partilha com o grupo a ideia de
que o projeto é permanente e que este pode representar o início de uma efetiva
mudança. Segundo o professor Eduardo: “Acredito que este projeto não será a
solução para os problemas enfrentados pelo ensino de Matemática no município,
mas dará início a um grande movimento de mudança”.
Professor Hebert:
O professor Hebert foi, durante as reuniões, o mais calado. Diferentemente
dos outros cinco integrantes do grupo, ele é o único que não é licenciado em
Matemática, sendo formado em Agronomia e mestre em Hidráulica. Ele leciona em
escolas do estado no 2o e 3o anos do Ensino Médio e em cursos técnicos, além de
ser professor de Matemática no Centro Universitário São Camilo. Diz-se satisfeito
com seu trabalho como professor, demonstrando um comprometimento com a
82
profissão. Mostra-se empenhado em criar atividades “que sejam prazerosas” para
seus alunos. Sua opinião é favorável ao uso do laboratório e utiliza-o sempre que o
conteúdo permite. Não gosta de se arriscar muito, por isso é muito cauteloso na hora
de tirar o aluno da sala de aula. A respeito do uso do Laboratório de Matemática, o
professor relatou que: “Uso com boa frequência o laboratório, mas quando é
possível, prefiro levar o material para sala de aula”. Por estar habituado a trabalhar
com classes do Ensino Médio, esse professor, ao elaborar questões, fazia-o com
direcionamento ao nível de ensino ao qual já estava acostumado a lecionar.
Professora Paula:
A professora Paula parecia a menos experiente com o material do laboratório
e, provavelmente por isso, não tinha ainda uma opinião formada acerca da
importância dele no cotidiano escolar. Suas experiências com materiais
manipulativos estavam restritas às aulas da disciplina Laboratório de Matemática, do
curso de licenciatura e, devido ao pouco tempo de docência, mostrou-se muito
insegura para discutir no grupo sobre o tema proposto.
Seu relato deixa claro o pouco contato que teve com o material do LEM
disponível em sua escola, quando coloca que:
O que eu sei de laboratório de Matemática eu aprendi na faculdade. O laboratório da escola onde sou efetiva está em completo abandono. Existe o laboratório, mas ninguém usa. Os equipamentos estão guardados, e os que foram desencaixotados estão cheios de poeira. O espaço reservado para o laboratório encontra-se fechado com uma porta e um portão com cadeado e é utilizado para guardar alguns materiais da escola. Acho que muita coisa interessante pode ser feita no laboratório. Isso tornaria a criança mais interessada pelas aulas de Matemática. (PROFESSORA PAULA).
Essa fala da professora aponta para outra questão bastante importante
quando se trata do tema laboratório de Matemática: o fato de algumas escolas
possuírem o laboratório, mas seu espaço servir apenas como depósito de materiais
e nunca para a função a qual serviria, ou seja, como local de aprendizado da
disciplina.
Professora Poliana:
Professora calma e de fala mansa, demonstra muito amor pelo que faz. Ela
usa o laboratório com muita frequência e reconhece que isso se dá devido ao tempo
83
maior que tem para elaborar as atividades. Ela é adepta às “aulas diferentes” e
defende a importância da manipulação com o concreto, uma vez que acredita ser a
Matemática muito abstrata para os alunos e, por isso, acredita que, no LEM, eles
tenham uma melhor aprendizagem, pois “o concreto os ajuda muito”.
Seu relato acerca do uso do LEM deixa evidente sua segurança em trabalhar
nesse espaço. Segundo a professora:
Sei que todos aqui desejam usar com maior frequência o laboratório, mas não têm tempo para parar e elaborar seus planejamentos e propostas. Se tivessem esse tempo iriam perceber o quanto a aula se torna leve e agradável para o professor e para o aluno. Gosto do que faço e, para mim, é muito agradável e prazeroso pesquisar, estudar e criar as atividades. (PROFESSORA POLIANA).
5.3 Terceiro encontro: decisão de inserir os universitários no grupo de estudos
Desta vez, o grupo reuniu-se no dia 7 de junho de 2013, na Escola 11 a
convite do professor Alex, efetivo na referida escola. O objetivo do encontro era criar
uma agenda contemplando todas as futuras reuniões. Durante a conversa, os
horários disponíveis de cada professor estavam divergindo e, logo, os professores
que faziam parte do grupo de estudo perceberam que não seria possível a presença
de todos em todos os encontros. Isso porque cinco dos seis participantes, além de
possuírem uma carga horária extensa, também trabalhavam na rede privada, muitas
vezes aos sábados, pois esses seriam dias letivos com algum evento. Entretanto,
ficou acertado que todos estariam à disposição do projeto, mas que seria necessário
criar uma nova dinâmica de participação deles no grupo. A agenda foi, então,
escrita, fidelizando a presença de, no mínimo, cinco professores em cada encontro.
Com a decisão de os encontros ocorrerem com uma quantidade menor de
professores, tornou-se necessário envolver um maior número de pessoas no projeto.
Pensando assim, foi proposta a inserção de acadêmicos do último período de
Matemática, do Centro Universitário São Camilo. Dessa forma, uma vez aceita essa
proposta, deu-se início a uma nova fase do projeto: formar o grupo de acadêmicos.
A partir daí, o professor Eduardo, sendo membro do colegiado de Matemática
do Centro Universitário São Camilo - ES, convidou a turma de formandos para fazer
parte de um Grupo de Estudos (GEP) que teria como objeto de estudo os
84
Laboratórios de Matemática da Rede Municipal de Ensino de Cachoeiro de
Itapemirim.
Após uma entrevista com cada interessado, foi, então, formado um grupo com
14 participantes, entre eles alguns alunos que já estavam nas escolas
desenvolvendo o projeto PIBID4. O perfil acadêmico de todos os envolvidos no
processo diretamente encontra-se no capítulo metodológico dessa dissertação.
Vale ressaltar que todo esse movimento foi possível graças ao total apoio que
a instituição deu ao projeto, quando propôs considerar os encontros como horas de
estudos coletivos e, assim, foi institucionalizado o GEP - Laboratório de Matemática,
no Centro Universitário São Camilo.
O apoio importante e decisivo dado pela Instituição para formação do grupo
pôde ser constatado com a resposta dada pela coordenadora do colegiado de
Matemática em uma entrevista, quando foi perguntado a ela o que pensava sobre a
criação daquele grupo de estudos. De acordo com ela:
A criação de espaços de estudos, reflexão e discussão sobre teorias e práticas de trabalhos voltados para o processo ensino e aprendizagem da Matemática deve ser uma preocupação constante das instituições de educação para fundamentar ações, incentivando as reuniões de equipe. O estudo pretende contribuir para uma compreensão mais aprofundada das relações grupais, de forma a instrumentalizar trabalhos desenvolvidos em instituições diversas. O trabalho voltado para os grupos tem promovido a implementação de novas estratégias de ensino que, certamente, tornam o processo de ensino e de aprendizagem mais prazeroso e significativo. Ou seja, a formação dos grupos de pesquisa na Matemática tem fomentado as especialidades do conhecimento e oportunizado a produção científica e tecnológica, bem como o diálogo interdisciplinar, permitindo o avanço nas soluções de problemas que se apresentam complexos e cujas soluções nem sempre dependem de resultados provenientes de uma única especialidade do conhecimento. Portanto, a criação de grupos de pesquisa tem dado uma visão interdisciplinar, tem permitido que os acadêmicos do curso de Matemática se manifestem em seus grupos, mostrando sua capacidade pragmática e apresentem suas concepções holísticas na identificação das inúmeras soluções para o processo ensino e aprendizagem da Matemática com estudos teóricos, análise e elaboração de materiais didático-pedagógicos. (MARIA, COORDENADORA DO COLEGIADO DE MATEMÁTICA).
4Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência. O PIBID é uma iniciativa para o
aperfeiçoamento e a valorização da formação de professores para a educação básica. O programa concede bolsas a alunos de licenciatura participantes de projetos de iniciação à docência desenvolvidos por Instituições de Educação Superior (IES) em parceria com escolas de educação básica da rede pública de ensino.
85
5.4. Quarto Encontro: reunião com os acadêmicos
Com o apoio da instituição, então, e o interesse dos alunos, foi formado o
grupo que tinha como objetivos, além de estudar e discutir assuntos concernentes à
Educação Matemática, criar propostas de atividades com o material do LEM
disponível nas escolas da Rede Municipal de Ensino. Assim, no dia 14 de junho de
2013, no Centro Universitário São Camilo-ES, sala 21, Bloco I, foram realizadas
duas reuniões nos horários de 14 e de 16 horas, a fim de atender dois grupos de
acadêmicos. Na ocasião, o pesquisador apresentou o projeto e abriu espaço para
discussões com o intuito de colher informações sobre as experiências que alguns já
haviam vivido como estagiários e/ou como “Pibidianos”. As reuniões foram filmadas
e ocorreram no formato de uma roda de conversa. No quadro 12 é exposto o
pensamento de cada acadêmico a respeito do Laboratório de Matemática.
Quadro 12- Os acadêmicos do grupo e suas ideias sobre o Laboratório de
Matemática
ACADÊMICO PARECER DOS ACADÊMICOS SOBRE O LEM
Ana Paula “O laboratório de Matemática é um ambiente onde o aluno
pode colocar em prática o que aprende em sala de aula, tirar
suas dúvidas e trazer questionamentos. Assim, o aluno pode
ver a Matemática por um ângulo que, no quadro, às vezes, é
impossível”.
Patrícia “O laboratório é muito importante para o aluno e para o
professor. Para o aluno, porque ele pode visualizar o que está
aprendendo; para o professor porque o obriga a planejar,
pesquisar e construir antes de aplicar uma atividade para o
aluno. [...] na escola onde faço estágio, o espaço que era do
Laboratório de Matemática está agora sendo usado como
biblioteca”.
Michel “Acredito que o Laboratório de Matemática seja um espaço
que permita a concretização de conteúdos que, às vezes,
tornam-se abstratos, através da manipulação de objetos”.
(Continua)
86
ACADÊMICO PARECER DOS ACADÊMICOS SOBRE O LEM
Marina “O Laboratório de Matemática tem como principal objetivo
fazer com que o aluno visualize aquele conteúdo que fica
„vago‟ quando exposto no quadro ou através de slides. Penso
que o contato direto com o objeto o faça associar a Matemática
que ele estudou na sala com o seu dia a dia”.
Diógenes “A proposta do Laboratório de Matemática é tornar
significativos os conteúdos trabalhados na sala de aula. Nesse
ambiente, o aluno se sente mais à vontade para fazer
questionamentos ao professor, que tem que estar preparado
para isso. Também, o Laboratório de Matemática permite ao
professor e ao aluno saírem de suas rotinas de sala de aula.”
Wesley “O Laboratório de Matemática se torna importante quando o
professor consegue passar para o aluno o objetivo de se
trabalhar com determinado material e fazê-lo identificar uma
associação com o conteúdo estudado dentro da sala de aula.
[...] Acho importante que o professor planeje o que vai fazer
nesse espaço, para não „dar com os burros n‟água‟. Considero
o ambiente importante, porque tira o aluno de sua rotina de
sala de aula, despertando nele a curiosidade que pode ser a
porta de entrada para a aprendizagem de um determinado
conteúdo”.
Fábio “O Laboratório de Matemática é um espaço onde o professor
pode buscar ferramentas para auxiliar o aluno a entender
melhor e dar significado ao que é estudado. Assim, haverá
maior compreensão dos conteúdos.”
Renan “O Laboratório de Matemática é muito importante, porque,
muitas vezes, o aluno não entende um determinado conteúdo
quando é tratado no campo da teoria, mas se ele tocar e
manipular, ele consegue entender melhor o assunto tratado.
Lembro quando uma professora usou aqueles quadradinhos
(Continua)
87
ACADÊMICO PARECER DOS ACADÊMICOS SOBRE O LEM
(blocos lógicos) para ensinar raiz quadrada. Foi divertido
aprender daquele jeito.”
Juliana “O Laboratório de Matemática é importante porque estabelece
relação direta entre o concreto e o abstrato.”
Caroline “O laboratório é importante para todos porque concretiza os
conceitos trabalhados em sala de aula. Mas o professor tem
que ser capaz de usar o laboratório. Não dá para prender a
atenção do aluno por muito tempo com jogos. Se não for
trabalhado algum conceito matemático, o jogo pelo jogo não
prende a atenção do aluno por muito tempo e, então, acaba
virando uma bagunça. No período passado, participei de uma
oficina onde o professor utilizou material dourado para explicar
equação do segundo grau. Achei que foi muito interessante.
Lá, na escola onde faço meu estágio (rede municipal), tem um
laboratório melhor que o da São Camilo, mas ninguém o usa.
A professora de Matemática leva uns jogos para sala de aula,
sem nenhum planejamento. O laboratório está todo
desorganizado, a gente não pode nem entrar, porque o espaço
foi aproveitado para guardar material de todo tipo. Além disso,
faltam salas de aula, o que nos obriga a dar aulas de reforço
na igreja”.
Sâmila “O Laboratório de Matemática é um espaço onde pode se
aprender muito. Só de tirar o aluno daquele espaço tradicional
já causa nele um impacto que o motiva a questionar e levantar
hipóteses. Essa é a mágica da visualização e da manipulação
do material.”
Roseana “Na sala de aula, o aluno só pode ver e ouvir. No laboratório,
ele poderá tocar o material.”
Kayla “O laboratório é uma oportunidade de sair da sala e levar o
aluno para um novo ambiente. Isso já gera expectativa e
curiosidade nele. Cabe ao professor sustentar esse sentimento
(Continua) (Continua)
88
ACADÊMICO PARECER DOS ACADÊMICOS SOBRE O LEM
com propostas que desafiem o aluno. O professor pode dar a
mesma aula que daria na sala, usando o quadro do laboratório.
Se ele reservar 10 minutos no final dessa aula para trabalhar
com algum material, mesmo que seja somente para
visualização, uma aula de geometria, por exemplo, já será
diferente.”
Renata “O Laboratório de Matemática é um lugar onde o aluno pode
observar, manipular e, através da interação com os seus
colegas, aprender de forma mais significativa os conteúdo
expostos em sala de aula. Para isso dar certo, deve haver,
previamente, o empenho do professor, para pensar e montar a
atividade, sem desconfiar da capacidade do aluno em realizar
tarefas mais sofisticadas.”
Fonte: Dados da pesquisa
Os relatos dos universitários revelaram o ponto de vista de cada um acerca
do LEM. Além disso, foi possível, ainda nesse encontro, fazer um levantamento a
respeito do tempo e da forma como alguns já atuavam como docente. As
informações obtidas geraram o quadro abaixo:
Quadro 13- Levantamento sobre a atuação dos acadêmicos
ACADÊMICO TEMPO DE ENVOLVIMENTO
COM A DOCÊNCIA (ANOS)
FORMA DE
ENVOLVIMENTO
Ana Paula 0 Nenhuma
Patrícia 02 PIBID
Substituições
Michel 03 PIBID
Apoio escolar
Substituições
(Conclusão)
(Continua)
89
ACADÊMICO TEMPO DE ENVOLVIMENTO
COM A DOCÊNCIA (ANOS)
FORMA DE
ENVOLVIMENTO
Marina 0 Nenhuma
Diógenes 01 Monitoria
Apoio escolar
Substituições
Wesley 01 PIBID
Fábio 01 PIBID
Apoio escolar
Substituições
Renan 0 Nenhuma
Juliana 01 PIBID
Caroline 01 PIBID
Sâmila 01 PIBID
Roseana 02 Contratada
(escola privada)
Apoio escolar
Kayla 02 Substituições
Renata 01 Substituições
Fonte: Dados da pesquisa
Pode-se notar, portanto, diante do quadro 13, que 2 acadêmicos não
possuem nenhuma experiência com a docência, 7 deles possuem um ano de
docência, 3 informaram ter dois anos de envolvimento com a docência e um deles
afirmou estar há três anos como docente. A maioria desses envolvimentos (7 dentre
os 12 que indicaram algum envolvimento) diz respeito a atividades do PIBID e de
substituições (6 dos 12) e apenas uma delas trabalha como contratada em uma
escola particular do município.
90
5.5. Quinto encontro: a primeira reunião com professores e acadêmicos
Uma vez instituído o GEP, faltava, antes de dar início à ação, reunir
acadêmicos com professores para decidir o papel de cada grupo na execução do
projeto – e assim foi feito. O encontro entre o grupo de professores e o grupo de
acadêmicos aconteceu no Laboratório de Matemática da Escola 6, no dia 22 de
junho de 2013, no qual o pesquisador iniciou com uma dinâmica a fim de promover
descontração e entrosamento entre os dois grupos.
Logo no início, o professor Alex, que já havia lido o perfil e as colocações dos
acadêmicos, pediu a palavra e não poupou elogios ao grupo de estudantes. Disse
ele que:
Estou impressionado com a obstinação e o comprometimento do grupo. Eles se mostram capazes e bem intencionados. Espero que permaneçam assim durante todo o projeto e estendam tais sentimentos para uma vida inteira de docência, que está prestes a começar. (PROFESSOR ALEX).
Durante a fala, a aluna Patrícia mostrou-se muito entusiasmada com a
dinâmica de trabalho que estava sendo montada. Portanto, pediu a palavra também
e disse que: “Estamos realizando um trabalho de muita importância que, da forma
como está sendo desenhado, vai ficar „leve‟ e será, para nós, formandos, muito
proveitoso”.
Muitas foram as colocações dos presentes no encontro e todas convergiam
para o consenso de que o trabalho com os Laboratórios de Matemática seria
grandioso e, por isso, demandaria muito empenho, mas, em contrapartida,. poderia
ser muito significativo. Tal comunhão de ideias se deu por conta de que os
indivíduos que ali se encontravam não foram escolhidos, mas aceitaram participar
do projeto por acreditarem nele. Encerrada, então, a roda de conversa, o próximo
passo foi organizar o trabalho, discutindo as atribuições de cada grupo,
demonstradas no quadro 14:
91
Quadro 14- Atribuições individuais dos participantes do grupo
GRUPO ATRIBUIÇÕES
Professores
01. Criar novas atividades ou adaptar algumas
já conhecidas para o uso do material
disponível no kit.
02. Analisar as atividades elaboradas antes de
serem aplicadas.
03. Dar suporte na aplicação das atividades na
escola onde leciona, porém, sem fazer
intervenções no momento da aplicação.
04. Relatar, caso seja necessário, os erros e
acertos obtidos na aplicação das
atividades.
Acadêmicos
01. Criar novas atividades ou adaptar algumas
já conhecidas para o uso do material
disponível no kit.
02. Aplicar a atividade e relatar posteriormente
nas reuniões a experiência vivida.
03. Retirar o material do laboratório e arrumá-
lo após seu uso.
Fonte: Dados da pesquisa
5.6. Sexto encontro: organização do material
Esse encontro foi realizado no Laboratório de Matemática da Escola 6, no dia
6 de julho de 2013, e contou com a presença de todos os envolvidos no projeto:
professores e acadêmicos. Segundo o professor Eduardo, esse foi caracterizado
pelo momento em que se começou a “colocar a mão na massa”. O material foi
exposto nas bancadas a fim de facilitar o trabalho (FIGURA 2).
(Conclusão)
92
Figura 2- Parte do material sob uma das bancadas do laboratório
Fonte: Imagem do pesquisador
Após ser feito o levantamento do material disponível no kit, tornou-se
necessário organizá-lo em blocos, levando em consideração os conteúdos nos quais
o material poderia ser aplicado. Tais informações e detalhes a respeito dos
conteúdos contemplados por cada kit facilitaria o trabalho do professor, pois o
auxiliaria numa busca rápida do material que estivesse precisando.
O grupo, então, decidiu montar um quadro analítico que contemplasse, além
do nome do material, considerações sobre ele, quantidade disponível no laboratório
e os conteúdos em que o material poderia ser aplicado. Com o objetivo de organizar
os conteúdos envolvidos, os materiais foram, então, separados em blocos, conforme
a classificação dos PCN, quer sejam, em quatro blocos, de acordo com seu
respectivo eixo de conhecimento matemático, sendo eles:
Número e Operações – reconhecido pela sigla: NO
Espaço e Forma - reconhecido pela sigla: EF
Grandezas e Medidas - reconhecido pela sigla: GM
Tratamento da Informação - reconhecido pela sigla: TI
93
O quadro analítico contendo a lista de todo o material disponível, suas
descrições e as relações entre o material e esses eixos encontra-se no apêndice B
desse trabalho.
5.7. Do sétimo ao décimo quinto encontro: elaboração das atividades,
refinamento das mesmas, aplicação e catalogação
Como foi exposto no capítulo anterior, os professores de Matemática da Rede
Municipal responderam a um questionário no qual uma das perguntas era: “Se você
não utiliza com frequência o Laboratório de Matemática, identifique o motivo
que mais contribui para a subutilização deste ambiente”.
Vale lembrar que, para essa pergunta, 51,4% dos professores atribuíram à
falta de material de apoio e 89,2% deles atribuíram à falta de treinamento como
sendo os principais motivos que os levam a subutilizarem os Laboratórios de
Matemática.
Segundo Lorenzato (2006), o professor de Matemática tem um papel muito
importante no sucesso ou fracasso escolar do aluno. Para o autor, não basta o
professor dispor de um bom material didático para que se tenha a garantia de uma
aprendizagem significativa. Mais importante do que isso é saber utilizar
corretamente esses materiais em sala de aula (LORENZATO, 2006).
Possuir, pois, um Laboratório de Matemática composto por uma quantidade
significativa de materiais não é suficiente para a aprendizagem, caso não exista uma
proposta pedagógica que contemple seu uso. Além disso, faz-se necessário que os
professores, além de conhecerem o material, sintam-se capazes de utilizá-los de
forma que possam agregar valores ao ensino, tornando-o mais significativo e, assim,
garantir a aprendizagem.
Em relação a isso, Lorenzato (2006) também deixa claro que, por melhor que
seja o material didático, ele “nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino,
de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o MD
(material didático) não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem
significativa e não substitui o professor.” (LORENZATO, 2006, p. 18).
O professor deve, então, saber que a elaboração de uma boa atividade
utilizando elementos do LEM significa, sobretudo, colocar-se como mediador na
94
construção do conhecimento matemático e, como tal, orientar e provocar o aluno, a
fim de fazê-lo realizar uma ação reflexiva sobre o conteúdo estudado durante a
atividade experimental. Ou seja, a forma como o professor irá utilizar o material
didático pode tornar a aula leve e significativa, como, também, se a utilização se der
no formato do uso pelo uso, ser uma grande perda de tempo.
Pensando assim, foi, então, iniciado o penúltimo passo da pesquisa. Nesse
momento, os acadêmicos já separados em grupos, seriam supervisionados e
orientados pelos professores, tendo, como principal atribuição elaborar propostas de
atividades.
Uma vez elaboradas essas propostas, cada uma delas seria primeiramente
aplicada para o grupo de pesquisa, que deveria dar sugestões para aprimorá-la e, a
partir daí, ser aplicada na série correspondente ao conteúdo e na escola onde
trabalhava o professor orientador do grupo.
Após serem aplicadas, eram levadas mais uma vez para os encontros que,
após relatadas as experiências, seriam catalogadas ou descartadas, sendo esse o
último passo da pesquisa.
O esquema abaixo procura mostrar, de forma simplificada, as etapas do
processo de construção e catalogação das atividades, desde o momento em que é
gerada a ideia até quando é catalogada (FIGURA 3).
Figura 3- Fluxograma das etapas da atividade
APLICAÇÃO NAS ESCOLAS
ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES
APRESENTAÇÃO NO GRUPO PARA DISCUSSÃO E APLICAÇÃO.
1º REFINAMENTO.
RELATOS DAS EXPERIÊNCIAS.
2º REFINAMENTO.
CATALOGAÇÃO
IDEIA
Fonte: Dados da pesquisa
95
Ao todo, foram elaboradas 25 propostas de atividades e, destas, selecionadas
17, que constituíram um caderno de propostas de atividades que será entregue nas
escolas e divulgadas através de um Blog a ser elaborado posteriormente à
apresentação desse trabalho; proposta que será descrita mais adiante.
Assim, como resultado final do trabalho, foram catalogadas 17 atividades, as
quais estão explicitadas no quadro 15:
Quadro 15- Descrição sucinta das atividades catalogadas
NOME MATERIAL SUGESTÃO
DE ANO
CONTEÚDOS
ENVOLVIDOS
01
Explorando as
formas
geométricas
Coleção de
formas
geométricas
2o e 3o - Formas geométricas
02
Formar
mosaicos com
figuras
geométricas
Coleção de
formas
geométricas
6º e 7º - Formas geométricas
03
Trabalhando o
conceito de
escala a partir
da construção
de um mapa da
escola e sua
vizinhança
utilizando o
conjunto de
formas
geométricas
Coleção de
formas
geométricas
7o, 8o e 9o - Figuras Geométricas
- Razão
- Proporção
- Escala
04
Determinando o
ângulo central
de um polígono
regular
Coleção de
formas
geométricas
7º, 8º e 9º - Ângulo central de
um polígono regular
- Polígonos regulares
- Rotação
05
Explorando os
pentaminós
Poliminós 6º e 7º - Composição de
formas geométricas
(Continua)
96
NOME MATERIAL SUGESTÃO
DE ANO
CONTEÚDOS
ENVOLVIDOS
- Simetria
06
Estudando o
conceito de
áreas e
perímetros com
os pentaminós
Poliminós 6º e 7º - Medidas
- Arredondamentos
- Áreas e perímetros
07
Jogando com
poliminós
(Adaptado do
jogo GOLOMB)
Poliminós 6o e 7o - Composição de
formas geométricas
- Simetria
- Rotação
- Translação
08
Calculando a
soma dos
ângulos internos
de um polígono
convexo
Geoplano
circular
8o e 9o - Soma dos ângulos
internos de um
triângulo
- Soma dos ângulos
internos de um
polígono qualquer
- Modelagem
09
Conhecendo e
explorando o
plano cartesiano
com o geoplano
Geoplano
circular
7o, 8o e 9o - Identificação de
coordenadas de um
ponto
- gráfico de uma
função linear
10
Utilizando o
geoplano para o
estudo de áreas
Geoplano 7º, 8º e 9º - Áreas de figuras
planas
11 Fórmula de Pick Geoplano 7º, 8º e 9º - Áreas de figuras
planas
12
Construindo
figuras com
espelhos.
Refletor
Geométrico
7o, 8o e 9o - Polígonos Regulares
(Continua)
97
NOME MATERIAL SUGESTÃO
DE ANO
CONTEÚDOS
ENVOLVIDOS
13
Resolvendo
equações do 1º
Grau: incógnita
com coeficiente
unitário
Balança
algébrica
6o e 7o - Equações do 1o grau
14
Conhecendo o
Tangram
Tangram 5º e 6º - Figuras planas
15
Utilizando o
Tangram para
cálculo de área
por estimativa
Tangram 7º, 8º e 9º - Área de figuras
planas
- Fração
- Porcentagem
16
Problemas
envolvendo tiro
ao alvo
Alvo 3º e 4º - Numeração decimal
- Adição e subtração
17
Adição e
subtração com
ábaco de pinos
Ábaco de
pinos
3º, 4º e 5º - Sistema de
numeração decimal
- Adição e subtração
Fonte: Dados da pesquisa
Posteriormente, as atividades serão apresentadas individualmente com
sugestões de estratégias para sua aplicação e que compõem o caderno de
propostas de atividades para uso do LEM, produto dessa pesquisa e que se
encontra no Apêndice C deste trabalho.
Vale lembrar, porém, que para a elaboração dessas atividades não foi
necessário confeccionar o material, pois as propostas deveriam contemplar os
materiais já disponíveis nos Laboratórios de Matemática da Rede Municipal de
Ensino. Além desta exigência, foi levado em consideração o aspecto dinâmico
(Conclusão)
98
oferecido pelos materiais didáticos selecionados, dando-se preferência àqueles que
proporcionassem atividades que pudessem ser alteradas de acordo com as
necessidades, tanto de professores quanto de alunos.
Outros aspectos como a quantidade mínima de alunos necessária para
desenvolver os trabalhos, os pré-requisitos exigidos, o nível de ensino e série
escolar recomendada e o tempo para a aplicação de cada um foram determinantes
na inclusão de cada material didático coletado nesta seleção.
5.8 O Caderno de Propostas de Atividades para uso do Laboratório de Ensino
de Matemática
As atividades foram organizadas e apresentadas de acordo com o material
utilizado e que poderão ser aplicadas em diferentes séries do Ensino Fundamental.
É bom salientar que o caderno apresenta sugestões de atividades e, poderá o
professor, conhecendo sua realidade, realizar as devidas alterações aperfeiçoando-
as para sua sala de aula e, ainda, adaptar determinados materiais, caso julgue
necessário.
Este caderno de propostas de atividades é apresentado por blocos, sendo,
cada um deles destinado a um determinado material que compõe o Laboratório de
Ensino de Matemática da sua instituição. Cada bloco possui a seguinte organização:
Nome e imagem do material utilizado, com breve histórico;
Número da atividade dentro do bloco daquele material a que é
destinada;
Título da atividade;
Orientações Metodológicas. Aqui serão descritos os objetivos, pré-
requisitos, indicação de série, conteúdos abordados, metodologia,
orientações complementares para o professor acerca do material, da
atividade e do conteúdo e outras possibilidades tanto para o uso
quanto para a ampliação do conhecimento acerca do material ou da
atividade propriamente dita;
Roteiro de atividade a ser entregue aos alunos.
99
Vale lembrar, porém, que nem todas as atividades propostas possui um
roteiro para ser entregue ao aluno. Em alguns casos, o roteiro serve apenas como
direcionamento para o professor.
As figuras 4, 5 e 6 representam o esquema de parte de um bloco que diz
respeito ao material coleção de formas geométricas. Nesta representação, estão
apontadas as características das informações contidas em cada uma das células
que compõem as atividades, conforme descrito anteriormente, e seus respectivos
ícones.
100
Figura 4- Página de atividade com introdução ao material
Um pouco de história...
Breve histórico sobre o
material e/ou seus
componentes
Nome do material.
Símbolo ou
imagem do
material
101
Figura 5- Página com as orientações da atividade para o professor
Identificação da atividade
dentro do bloco
Orientações
Metodológicas
Nome da atividade
102
Figura 6- Roteiro de atividade para os alunos
Para início de conversa...
Introduz o aluno na atividade
Exercícios...
Procura ampliar o conhecimento do
aluno
Desafio! Coloca uma
situação-problema mais
ampla para o aluno
resolver
Esse ícone pede
atenção e pode ser
utilizado tanto para
professor quanto para
aluno
103
Conforme visto, nos Roteiros de Atividades, cada atividade apresenta
questões que exigem gradualmente do aluno uma análise mais aprofundada,
chegando a outras mais complexas que objetivam desafiá-lo.
5.9. Atividades elaboradas e relatos
O professor, como já visto, deve estar sempre preocupado em despertar no
aluno o espírito de investigação, além de fornecer elementos básicos para a
participação desses alunos na vida em sociedade. Hoje, a comunidade matemática
entende que uma Educação de qualidade só é alcançada pelos alunos se o
professor levá-lo a refletir sobre situações do seu cotidiano, buscando fazer com que
ele enxergue uma Matemática acessível e significativa. Se para muitos alunos o
ensino da Matemática não é atrativo, é porque o professor ainda não conseguiu
estabelecer relação entre o abstrato com algo que seja concreto para ele. Por isso,
acredita-se que trabalhar conteúdos da Matemática em sala de aula represente um
grande desafio para o professor, na medida em que exige que ele o conduza de
forma significativa e estimulante para o aluno. É necessário, então, descobrir novos
jeitos de trabalhar com a Matemática, de modo que os alunos percebam que
pensam matematicamente o tempo todo, resolvem problemas durante vários
momentos do dia e são convidados a pensar de forma lógica cotidianamente. Além
disso, mesmo que algum conteúdo não esteja relacionado diretamente com o dia a
dia do aluno, ele pode ser ensinado de uma maneira dinâmica, desafiante e
divertida.
Ancorado neste pensamento, o grupo de professores e acadêmicos elaborou
e/ ou adaptou propostas de atividades para serem desenvolvidas utilizando o kit que
compunha os Laboratórios de Matemática da Rede Municipal de Ensino da cidade
de Cachoeiro de Itapemirim.
As atividades, como já descrito, foram primeiramente testadas no grupo de
colaboradores e os possíveis erros procedimentais foram discutidos para restringir
ao máximo a possibilidade de frustrações, tanto por parte do aluno como por parte
do professor.
104
É importante ressaltar, ainda, que foi dada uma atenção especial aos
conteúdos envolvidos na atividade como também o grau de complexidade com que
eles eram trabalhados para que estivessem de acordo com o grau de
desenvolvimento dos alunos que participaram da prática.
Do total de atividades selecionadas, oito compõem este capítulo. As
atividades apresentadas serão complementadas com fotos e comentários dos
alunos que participaram da aplicação, a fim de trazer o maior número de
informações possíveis sobre a sua aplicação e a numeração aqui colocada deve-se
apenas ao fato de elas estarem sequenciadas nessa apresentação e em nada tem a
ver com a numeração no caderno de atividades proposto como produto.
5.9.1 Atividade 01: Calculando a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo (Geoplano)
A atividade foi aplicada em uma turma do 7o ano e sua criação ficou por conta
do professor Eduardo e das acadêmicas Kayla, Roseana e Ana Paula. Essa
atividade encontra-se, na íntegra, na página 180, no apêndice C desta dissertação.
A proposta foi preparar uma atividade investigativa tendo como o objetivo
favorecer a descoberta de uma fórmula para calcular a soma dos ângulos internos
de um polígono convexo.
O grupo entendeu que a prática investigativa nas aulas de Matemática leva o
aluno a se interessar pelos conteúdos matemáticos. Assim, ao propor a participação
do aluno na estruturação de respostas a partir de investigações guiadas, acredita-se
estar favorecendo sua aprendizagem.
Nesse sentido, a acadêmica Roseane posicionou-se da seguinte forma:
Quando propomos uma atividade de investigação, estamos querendo que o aluno procure conhecer e compreender o assunto para, a partir daí, formular conjecturas e/ou padronizar procedimentos. Ao contrário da memorização, quando o aluno consegue chegar sozinho na fórmula, ele dificilmente irá esquecê-la. (ROSEANE – ACADÊMICA).
Com relação à atividade propriamente dita, inicialmente foi necessário lembrar
com os alunos o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo, único conceito
prévio para o desenvolvimento da atividade. A partir daí, foi solicitado aos alunos a
construção de diferentes polígonos e quantos triângulos, a partir de um vértice,
105
poderiam ser formados em cada polígono construído.Os alunos não apresentaram
nenhuma dúvida quanto à realização dessa atividade, visto que já sabiam o conceito
de polígonos.
Na segunda etapa da atividade, na qual as duplas deveriam observar,
analisar e discutir com seu colega todas as coisas que julgassem importantes ou
mesmo interessantes para preencher as tabelas do roteiro de atividades, não foi
verificado nenhum tumulto na sala, sendo notória a motivação dos alunos, pela
alegria e concentração demonstradas, pela descoberta e sentimento de capacidade
observados pelo pesquisador, como pode ser inferido na figura 7, abaixo.
Figura 7- Alunos concentrados executando a atividade
Fonte: Imagem do pesquisador
Durante esse momento da realização da atividade, foram verificados alguns
problemas com relação aos acadêmicos que, de início, faziam muitas interferências,
não deixando que os alunos produzissem sozinhos. Porém, ao serem chamados a
atenção a respeito dessa atitude, entenderam e deixaram com que os próprios
alunos pensassem sobre o que a atividade propunha.
106
Por fim, o resultado apontava que os alunos foram capazes de resolver as
atividades propostas e, alguns estudantes encontraram certas dificuldades na
resolução das atividades, com relação, principalmente, ao rigor matemático, no
momento de expressarem suas observações e não na execução matemática da
atividade (FIGURA 8).
Figura 8- Alunos executando a atividade no Geoplano
Fonte: Imagem do pesquisador
Na última etapa ocorreu a discussão das observações com base na atividade
proposta realizada durante a investigação da soma dos ângulos internos de um
polígono junto aos alunos.
Naquele momento, o professor conduziu o debate com o objetivo de avaliar o
trabalho desenvolvido. Os comentários indicaram o sucesso obtido com a aplicação.
Segundo um dos alunos (FIGURA 9):
Figura 9- Escrita de avaliação do aluno a respeito da atividade realizada
Fonte: Dados da pesquisa
107
No encontro com o grupo maior (professores e acadêmicos), os relatos foram
analisados e julgou-se satisfatório o resultado obtido. Quanto à dificuldade
demonstrada pelos alunos em escrever e conjecturar, o professor Hebert, favorável
a este tipo de atividade, comentou que:
Nosso aluno não está acostumado a escrever nas provas de Matemática. É importante incentivarmos este tipo de atividade. A descoberta guiada não só prende mais a atenção do aluno como desenvolve sua capacidade argumentativa e investigativa. (PROFESSOR HERBERT).
5.9.2 Atividade 2: Utilizando o geoplano para o estudo de áreas
Essa atividade foi aplicada em uma escola municipal da rede para alunos do
8º ano do turno vespertino. A sala era composta por 18 alunos que foram orientados
pelo professor Eduardo e a acadêmicas Sâmela e Roseana. Essa atividade
encontra-se, na íntegra, na página 191, no apêndice C desta dissertação.
Inicialmente, os alunos foram orientados sobre a realização da tarefa e
revisaram os pré-requisitos exigidos (áreas de figuras planas) para que tudo
acontecesse da melhor forma. Foram formadas duplas que receberam o roteiro para
o desenvolvimento da atividade.
O propósito diante dessa atividade era que o aluno, por meio da observação,
análise e cálculo, respondesse a algumas questões, que, conforme já explicitado
anteriormente, apresentam um nível de dificuldade crescente e provocam no aluno,
uma necessidade da descoberta de uma forma mais prática para as soluções
seguintes. Até a metade da atividade, os alunos calculavam a área das figuras
apenas preenchendo os espaços vazios. Porém, a partir daí, eles passaram a utilizar
a fórmula de cálculo da área de um triângulo no lugar da contagem realizada
anteriormente. Essa descoberta deu a eles, segundo a observação dos aplicadores,
condições de responderem o item “exercícios...” com muita segurança.
Houve um grande envolvimento e entrega dos alunos para a realização da
atividade. Algum tumulto observado foi provocado pela ansiedade apresentada por
alguns alunos. Porém, os aplicadores consideraram essa ansiedade como um forte
indício de sentimento de capacidade para realizar a tarefa.
Essa atmosfera de investigação, análise, empenho e conclusões (FIGURA
10) fez os aplicadores remeterem a Lorenzato (2006), de acordo com o qual, a
108
metodologia de ensino empregada pelo professor é determinante para o
comportamento dos alunos.
Figura 10- Alunos resolvendo as questões da atividade
Fonte: Imagem do pesquisador
Algumas declarações durante a execução da atividade denunciaram que,
para alguns alunos, a atividade foi fácil, o que responde o fato de alguns alunos
terem terminado antes do tempo previsto. Assim, atendendo ao pedido dos alunos,
alguns se juntaram às duplas e promoveram um processo de monitoria (FIGURA
11).
Figura 11- Aluna prestando monitoria a uma dupla
Fonte: Imagem do pesquisador
109
A questão “desafio!”, considerada complexa pelos acadêmicos e professor, foi
pela resolvida pela maioria, como pode ser verificado a partir da resposta de uma
aluna, na figura 12:
Figura 12- Resposta de aluna ao “desafio!”
Fonte: Dados da pesquisa
Pode-se verificar, portanto, diante do exposto e do observado em sala de aula
que todas as duplas alcançaram satisfatoriamente o objetivo proposto. Porém, vale
ressaltar que algumas duplas tiveram alguma dificuldade para escrever a conclusão
de suas análises, assim como ocorrera na atividade descrita anteriormente.
5.9.3 Atividade 3: Conhecendo e explorando o plano cartesiano com o
Geoplano
A atividade relatada aqui foi aplicada em uma escola da rede municipal da
cidade de Cachoeiro de Itapemirim, em uma turma do 8o Ano, turno matutino. A
turma era composta por 23 alunos e isso obrigou os aplicadores a formar grupos de
três alunos para essa aplicação. Ficaram, então, encarregados da atividade, o
professor Alex e os acadêmicos Wesley e Caroline. Essa atividade encontra-se, na
íntegra, na página 185, no apêndice C desta dissertação.
O objetivo dessa atividade era, além de apresentar o plano cartesiano,
aproximar o aluno das estruturas algébricas e fazê-lo ter uma experiência concreta
da “letra” enquanto variável.
Inicialmente, os alunos foram orientados sobre a realização da tarefa e
revisaram os pré-requisitos exigidos para que tudo acontecesse da melhor forma.
110
Foram formadas, então, duplas que receberam o roteiro para o desenvolvimento da
atividade.
No primeiro item, foi solicitada a construção de um sistema de coordenadas
no Geoplano. Os alunos não apresentaram nenhuma dúvida quanto à realização
dessa atividade, visto que já conheciam o plano cartesiano através do livro e/ou por
intermédio do professor, como mostra a figura 13:
Figura 13- Sistema de coordenadas montado no Geoplano por um aluno
Fonte: Imagem do pesquisador
Algumas dúvidas apareceram foi no momento de estruturar algebricamente as
equações, havendo muita dificuldade por parte dos aplicadores em deixar que os
alunos produzissem sozinhos. Por várias vezes se viram fazendo interferências e
tiveram que recuar diante da imposição que exigia a pesquisa.
Não foi observada nem relatada nenhuma dificuldade no momento de
preencher a tabela, mas é importante destacar que foi necessário apresentar para a
turma a estrutura de uma equação do 1o grau com duas incógnitas e, junto com eles,
discutir a possibilidade de infinitas respostas. Sobre esse momento, a acadêmica
Carolina relatou que:
A turma não conhecia uma equação com duas incógnitas, mas logo entenderam que, na equação, para qualquer valor de x, sempre existiria um valor de y que tornaria verdadeira a igualdade. Assim, eles aceitaram o fato de ser uma equação com infinitas respostas. (CAROLINA – ACADÊMICA).
Ainda sobre esse momento, o professor Alex comentou:
111
Depois da explicação da Carolina, para não deixar dúvidas sobre o tema, pedi que cada aluno, individualmente, escrevesse em seu caderno dois números cuja soma seria 10. É claro que a maioria escreveu 5 e 5 mas, as outras respostas deixaram ainda mais clara a possibilidade de infinitas soluções. (PROFESSOR ALEX).
Após as discussões relatadas, não demorou muito para os alunos
entenderem que o ponto de interseção das retas tinha como valores para x e y,
valores que satisfaziam ao mesmo tempo as duas equações.
Um dos relatos que mais chamaram a atenção foi o de um aluno que,
corroborando com os autores pesquisados, vê no material manipulativo uma
estratégia que pode, não substituir os algoritmos, mas auxiliar o ensino de
Matemática (FIGURA 14). Segundo o aluno:
Figura 14- Declaração de um aluno a respeito da atividade
Fonte: Dados da pesquisa
Também possuiu relevância o comentário da professora Poliana, quando
ressaltou o fato de que o trabalho só seria válido se as coordenadas identificadas
pelas equações fossem inteiras e de valores não expressivos. Para ela:
Acho que o trabalho é muito limitado porque impossibilita o aluno de trabalhar com valores não inteiros e grandes. O plano cartesiano montado no geoplano só aceita valores inteiros (discretos) e pequenos. Mesmo assim, achei muito legal porque o resultado, a interseção das retas, salta aos olhos do aluno. (POLIANA – ACADÊMICA).
Por fim, analisando o comportamento e participação dos alunos, percebeu-se
uma aceitação de toda a turma com relação à atividade desenvolvida. Inclusive,
alguns chegaram a propor que atividades como essas deveriam acontecer mais
vezes, pois discussões e troca de ideias com os colegas “tornam a aula
extremamente mais rica e interessante”, o que pode ser notado na figura 15:
112
Figura 15- Declaração de um aluno acerca do material utilizado
Fonte: Dados da pesquisa
Certamente todas as duplas alcançaram satisfatoriamente o objetivo. Porém,
da mesma forma como aconteceu nas atividades anteriores, também nesta os
discentes tiveram alguma dificuldade para escrever as equações e suas análises.
Essa dificuldade diante da escrita pode ser interpretada pela ineficiência do ensino
da Matemática, que dificilmente coloca os alunos para ler ou escrever. Sabendo
disso, faz-se mister o professor da disciplina oferecer aos alunos momentos em sala
de aula que lhes proporcionem essa experiência.
5.9.4 Atividade 4: Explorando as formas geométricas
A atividade foi aplicada em uma escola Municipal da rede de Cachoeiro de
Itapemirim, para alunos de 6o ano vespertino, sob a orientação da professora Paula
e das acadêmicas Marina e Carolina. Essa atividade encontra-se, na íntegra, na
página 154, no apêndice C desta dissertação.
A atividade consistiu em manusear a coleção de formas geométricas
buscando o reconhecimento das mesmas e procurando descobrir particularidades
de cada uma. Segundo a professora Paula:
As experiências obtidas com a atividade desenvolvida ao longo da aula permitiram momentos prazerosos e satisfatórios. Foi possível observar as reflexões dos alunos dentro da sala, participando muito durante a aula, através de atividade e de questionamentos com base no conteúdo. Foi muito interessante também passear pela escola junto com eles e perceber como eles ficavam encantados em descobrir, nas estruturas, formas geométricas que no cotidiano passavam desapercebidas. (PROFESSORA PAULA).
No segundo momento, na mesma aula, os alunos foram levados para o
Laboratório de Matemática e, orientados pelo professor, deveriam, um de cada vez
colocar uma peça no quadro magnético para formação de um mosaico. Eles, então,
113
tiveram a oportunidade e a criatividade de formar seu próprio desenho usando as
formas geométrica, como mostra a figura 16:
Figura 16- Aluna encaixando peça para a formação do mosaico
Fonte: Imagem do pesquisador
Alguns alunos, revivendo a atividade anterior, na hora de apresentar sua peça
e colocá-la no quadro magnético, faziam uma comparação com as formas que
tinham na sala de aula e diziam qual era a figura semelhante.
Uma das alunas destacou a semelhança da janela com uma das peças da
coleção: “Professora, a janela é uma figura quadrada”.
A aula mostrou-se um sucesso, pois a atividade teve um bom resultado, as
acadêmicas observaram o interesse dos alunos no decorrer da atividade, indicando
como eles tinham a preocupação de escolher as figuras, as cores, os tamanhos e,
assim, conseguiram formar vários desenhos. Para a acadêmica Carolina: “À medida
que vão aprendendo Matemática, os alunos desenvolvem, ao mesmo tempo, o
raciocínio lógico e passam a perceber o mundo com olhares mais aguçados”.
114
5.9.5 Atividade 5: Determinando o ângulo central de um polígono regular
A atividade foi aplicada em uma turma do 9o ano e sua criação ficou por conta
do professor Herbert e das acadêmicas Kayla e Roseana. Essa atividade encontra-
se, na íntegra, na página 163, no apêndice C desta dissertação.
O objetivo dessa atividade era que os alunos, a partir de alguns experimentos,
encontrassem a fórmula para calcular o valor do ângulo central de um polígono
regular.
A atividade foi realizada no turno da manhã e contou com a participação de
34 alunos. Primeiramente, os alunos foram orientados sobre como seria realizada a
atividade. Foi solicitado a cada aluno que em momento algum ficassem preocupados
em acertar ou não, e que apenas apontassem uma solução para aqueles problemas
apresentados na atividade.
Depois de concluída a orientação, foi entregue o roteiro de atividade xerocado
para cada uma das duplas formadas (FIGURA 17).
Figura 17- Roteiro da atividade e as figuras geométricas manipuladas por um
aluno
Fonte: Imagem do pesquisador
115
Talvez pela clareza dos comandos da atividade, os alunos não encontraram
dificuldades em entender a proposta, sendo que a maioria terminou a atividade
antes do tempo. Foi perceptível o empenho dos alunos na realização da atividade.
Para a acadêmica Carolina, a atividade foi considerada simples, mas com um
grande potencial. Segundo ela: “Conseguimos, com uma só atividade, trabalhar
muitos conceitos de Geometria. A atividade é simples, mas o produto final dela foi
muito satisfatório quando percebemos a alegria dos alunos nos momentos de
descoberta”.
Durante a atividade não foi necessário fazer intervenções. As duplas
apresentaram autonomia na hora de ler e de executar os comandos (FIGURA 18).
Figura 18- Alunas trabalhando na atividade
Fonte: Imagem do pesquisador
Percebeu-se, também, um interessante confronto de ideias entre os
componentes das duplas no momento de responder ao desafio. As respostas
analisadas após a atividade denunciam um alto nível de compreensão dos alunos,
como é indicado na figura 19:
116
Figura 19- Resposta de um aluno à questão
Fonte: Dados da pesquisa
Também foi percebida uma grande capacidade de abstração para responder
à ultima questão, que pedia para calcular a medida do ângulo central sem realizar o
trabalho manipulativo. Todos os alunos responderam ao desafio corretamente, como
pode ser visto na figura 20:
Figura 20- resposta de aluno ao desafio da atividade
Fonte: Dados da pesquisa
Logo após a realização dessas tarefas, foi realizada uma plenária para que,
aquela dupla que desejasse, apresentasse à turma seu raciocínio e suas respostas.
encontradas. Muitos levantaram as mãos indicando a execução positiva ao que se
propunha na atividade. Os aplicadores, diante do exposto, consideraram satisfatório
o resultado da aplicação.
5.9.6 Atividade 6: Explorando os Pentaminós
A atividade foi aplicada em uma escola Municipal, com alunos de 6o ano
vespertino, sob a orientação da professora Cyntia e das acadêmicas Marina,
117
Carolina e Sâmila. Essa atividade encontra-se, na íntegra, na página 169, no
apêndice C desta dissertação.
A atividade consistiu em montar os poliminós a partir de quadrados, e
identificar o número máximo de triminós, tetraminós e pentaminós.
A fim de possibilitar a discussão demandada pela atividade, optou-se por
aplicar a atividade em duplas, porém cada aluno recebeu individualmente um pacote
com 15 quadrados (retirados da coleção de formas geométricas encontrada no
LEM).
Logo no início da atividade, após distribuir o roteiro, constatou-se que os
alunos consideraram a atividade muito complexa, principalmente porque era
necessário identificar poliminós iguais por rotação. O relato da acadêmica Carolina
traduz o movimento gerado na sala de aula naquele momento. Para ela:
Os alunos não entendiam que, girando um poliminó, obtêm-se o mesmo poliminó só que em uma posição diferente. Eles insistiam em considerá-los como poliminós diferentes. Como a dúvida foi da maioria da sala, o tumulto quase não deixou que terminássemos a atividade. (CAROLINA – ACADÊMICA).
Dessa forma, para sanar as dúvidas, foi necessário resolver junto com os
alunos, algumas questões no quadro. Essa estratégia deixou a turma mais segura e
a tarefa mais interessante. A partir daí, as duplas se reorganizaram e, buscar os
poliminós diferentes passou a ser uma atividade prazerosa, como é inferido a partir
da figura abaixo, e logo assumiu um caráter de disputa entre as duplas.
Figura 21- Aluno executando a atividade no quadro branco
Fonte: Imagem do pesquisador
118
Para a professora Cyntia, a proposta de disputa despertou o interesse da sala
pela atividade. Segundo a professora: “O interesse de ganhar dos adversários,
garantiu-lhes o dinamismo e o envolvimento com a atividade”.
A partir deste instante, as dúvidas quase que não existiam mais e os alunos
se mostravam mais autônomos. Para a professora, a atividade começou a atingir
seu objetivo a partir desse instante, quando os alunos começaram a produzir
sozinhos. Segundo a professora:
Foi muito legal quando eles começaram a disputar quem terminaria primeiro e acertaria a quantidade dos poliminós. As duplas conversavam o tempo todo comparando figuras para não repetir o mesmo poliminó. Tenho a certeza que esse tipo de trabalho mexeu com a cabeça do aluno. (PROFESSORA CYNTIA).
Figura 22- Aluna executando o roteiro de atividade
Fonte: Imagem do pesquisador
Alguns relatos dos alunos ratificam o pensamento da professora Cyntia,
quando expôs que a atividade exigiu diferentes habilidades. Um dos alunos afirmou
que esse tipo de atividade “aguça os sentidos”, como mostra a figura 23:
119
Figura 23- Relato de aluno sobre a atividade
Fonte: Dados da pesquisa
Outro aluno descreveu, em seu relato, exatamente o que é proposto como
objetivo da atividade, quer seja, a percepção de espaço e área pelos alunos, como é
colocado na figura 24:
Figura 24- Relato de um aluno sobre a atividade com poliminós
Fonte: Dados da pesquisa
No decorrer da atividade, chamou a atenção dos aplicadores o
comportamento de um aluno de inclusão. Esse aluno, conforme relatou sua
professora, exige constantemente, durante o período de aula, a ajuda da docente.
Porém, o aluno em questão, durante a aplicação da atividade, conseguiu, dentro de
seus limites, desenvolvê-la sozinho. O aluno relatou da seguinte forma a execução
da atividade (FIGURA 25).
Figura 25- Relato do aluno de inclusão sobre a atividade
Fonte: Dados da pesquisa
120
Ao final da atividade, então, foi proposta uma roda de conversa onde os
alunos deveriam expor seus comentários acerca da atividade desenvolvida. Pode-se
verificar, pelas declarações feitas, que, para eles a atividade foi considerada
produtiva. Já na discussão dos resultados no grupo de estudo, a professora Cyntia
destacou que:
Achamos de grande valia o trabalho realizado com os poliminós. Foi possível trabalhar com as crianças, além das formas geométricas, conceitos de aritmética, análise combinatória, percepção espacial, raciocínio lógico. Para crianças com dificuldade de atenção, percepção visual e de raciocínio lógico, usar os poliminós para trabalhar tais dificuldades pode ser uma estratégia para um trabalho lúdico e recreativo. (PROFESSORA CYNTIA).
5.9.7 Atividade 7: Jogando com os poliminós (Adaptado do jogo GOLOMB)
A atividade foi aplicada em uma escola da rede Municipal de ensino, com
alunos de 6o ano vespertino, sob a orientação da professora Cyntia e das
acadêmicas Marina, Carolina e Sâmila. Essa atividade encontra-se, na íntegra, na
página 177, no apêndice C desta dissertação.
A atividade consistiu em montar os poliminós a partir de quadrados, bem
como encontrar número máximo de figuras a partir do triminó até o pentaminó. Além
desta atividade, um jogo em dupla onde eram utilizados um tabuleiro de 8 x 8 e os
triminós e pentaminós. Cada jogador, na sua vez, escolhia uma entre as peças
disponíveis e colocava sobre o tabuleiro. O jogo terminava quando um dos
jogadores ficava impossibilitado de jogar.
Durante a realização da atividade foi possível observar que os alunos:
não sabiam que o dominó era constituído de dois quadrados;
desconheciam o pentaminó;
ficaram admirados com o número de figuras que se pode obter com os
poliminós, a partir do pentaminó;
adquiriram o conceito de simetria quando tentavam montar figuras
diferentes.
Ao final da atividade foi proposta uma roda de conversa onde os alunos
deveriam expor seus comentários acerca da atividade desenvolvida. Uma das
alunas reconheceu a atividade como muito produtiva e aprovou a experiência, como
mostra a figura 26:
121
Figura 26- Relato de uma aluna a respeito da atividade
Fonte: Dados da pesquisa
Um fato que chama a atenção nessa resposta diz respeito aos erros de língua
portuguesa, o que comprova, mais uma vez, a necessidade de atividades escritas
também em Matemática a fim de propiciar um maior desenvolvimento cognitivo dos
alunos.
5.9.8 Atividade 8: Estudando conceitos de área e perímetro com os pentaminós
(Partes 1 e 2)
Essa atividade foi desenvolvida com alunos do 9o Ano de uma escola da rede
municipal de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim e que foram orientados
pelo Professor Eduardo e pela acadêmica Renata. Essa atividade encontra-se, na
íntegra, na página 173, no apêndice C desta dissertação.
A atividade foi aplicada em duplas e, embora a sala fosse composta por 22
alunos, somente 10 participaram porque a escola estava ensaiando danças que
seriam apresentadas em uma Feira Cultural.
O número reduzido de alunos não só possibilitou desenvolver a atividade no
LEM da escola como, também, talvez por isso, percebeu-se um maior
comprometimento e interesse dos alunos no decorrer do processo.
Era sabido que a primeira parte da atividade poderia ser considerada pela
turma como infantil. Porém, os aplicadores a consideravam importante porque
promoveria a manipulação dos poliminós. A intenção de aplicá-la era somente de
apresentar os poliminós para aquele(s) aluno(s) que não o conheciam e promover a
manipulação de suas peças. Entretanto, pode-se verificar que, com o tempo, essa
atividade tornou-se muito interessante quando as duplas passaram a competir
disputando quem realizava cada tarefa em um menor tempo. (FIGURA 27).
122
Figura 27- Alunos manuseando os poliminós
Fonte: Imagem do pesquisador
A acadêmica Renata, no momento do relato para o grupo de estudo, disse
que a reação dos alunos perante a primeira atividade foi “surpreendente” e que,
mesmo não tendo sido planejada com essa intenção, foi importante iniciar o trabalho
com ela porque possibilitou que os alunos se familiarizassem com os poliminós e se
envolvessem mais com o trabalho.
As considerações da acadêmica reforçam, assim, a afirmação de Ponte,
Brocado e Oliveira (2006, p.23), quando escrevem que: “Na disciplina de
Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do
aluno é condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza
os seus recursos cognitivos e afetivos com vista atingir um objetivo”.
Assim, conforme preconizaram Ponte, Brocado e Oliveira (2006), foi
percebido que, durante a realização da atividade, os alunos adotavam diversos
caminhos e níveis de raciocínio diferentes para resolver um mesmo problema.
Talvez esteja aí a maior riqueza dessa atividade: provocar uma discussão sobre a
importância de se dar ao aluno liberdade de pensar e raciocinar, não podendo
condicioná-lo a pensar ou resolver um problema da forma como impõem alguns
professores. Assim, foi necessário fazer uma única intervenção para esclarecer os
conceitos de unidade de comprimento e área propostos pela atividade.
Na parte dos “Exercícios...”, etapa considerada como um momento onde as
duplas deveriam observar, analisar e discutir a relação entre perímetro e área de
123
uma figura e sua ampliação, a sala ficou um pouco tumultuada, pois todos queriam
falar de suas descobertas, sendo esse um momento de bastante entusiasmo,
principalmente quando vinham de alunos que não têm tanta facilidade em lidar com
o conhecimento matemático.
Esse foi o momento em que os aplicadores sentiram os alunos mais
motivados, pela alegria da descoberta e pela vontade de mostrar para o outro o que
haviam encontrado.
Vale a pena ressaltar que, em determinado momento, enquanto um
acadêmico fazia uma intervenção, alguns alunos se sentiram incomodados por não
poderem descobrir as respostas por si sós. Tanto que um dos alunos pediu: “Deixem
que a gente descubra. Não fale. Senão perde a graça”. O mesmo aluno, propôs que,
em outro momento, os alunos da turma construíssem seus próprios poliminós para
usarem mais vezes, o que foi aceito por toda a turma, que ficou novamente
entusiasmada com a possibilidade.
Analisando os resultados, pode-se afirmar que a atividade foi satisfatória. No
momento do relato para o grupo de estudo, o professor Eduardo levantou essa
questão para ser discutida, posicionando-se da seguinte maneira:
A atividade exigiu do aluno um trabalho com estimativas. Penso que desenvolver a capacidade de analisar e identificar regularidades seja muito importante para o aluno. O aluno deve ser provocado para fazer experimentações para, a partir daí, pensar e refletir sobre o resultado encontrado. Vivencio, em todos os níveis de ensino, essa dificuldade do aluno.Pode-se, então, concluir que essa atividade possibilitou ao aluno criar e desenvolver sua própria linha de raciocínio, não ficando preso ou condicionado a somente uma forma de resolução. (PROFESSOR EDUARDO).
5.10 Estratégias para divulgação do projeto
Após realizado o estudo e comprovada a eficácia de inserir o LEM no
cotidiano da escola, o grupo de professores teve a ideia de multiplicar o material
elaborado e provocar nos docentes do município a vontade de participar, mesmo
que de forma tímida, do projeto. Para tanto, foram pensadas em duas formas de
divulgação dessa pesquisa, que serão descritos a seguir.
124
5.10.1 Criação de um e-mail
Primeiramente, surgiu a ideia de criar um e-mail e distribuí-lo nas escolas.
Dessa forma, a qualquer tempo, qualquer professor poderia deixar registrada uma
prática de sucesso ou buscar nesse espaço alguma sugestão para aplicar em suas
aulas. A ideia do e-mail ou mensagem eletrônica se deve à rapidez e à praticidade
agregadas a esse tipo de tecnologia de informação. Para isso foi criado o e-mail:
laborató[email protected], mas que ainda está em fase de
efetivação, o que ocorrerá a partir da veiculação dessa pesquisa acadêmica.
Porém, sabe-se que não há somente vantagens no uso dessa ferramenta.
Paiva (2010), através do quadro 16, descreve as vantagens e desvantagens da
transmissão de mensagens eletrônicas:
Quadro 16- Vantagens e desvantagens na utilização de e-mail
VANTAGENS DESVANTAGENS
Velocidade na transmissão Dependência de provedores de
acesso.
Assíncrona Expectativa de feedback imediato.
Uma mesma mensagem pode ser
enviada para milhares de pessoas ao
mesmo tempo.
O e-mail pode ir para endereço
errado, ser copiado, alterado.
A mensagem pode ser arquivada,
impressa, reencaminhada, copiada, re-
usada.
Há excesso de mensagens
irrelevantes
As mensagens podem circular
livremente.
Mensagens indesejadas circulam
livremente.
As mensagens podem, geralmente, ser
lidas na Web ou baixadas através de
um software.
Problemas de incompatibilidade de
software podem dificultar ou
impedir a leitura.
(Continua)
125
VANTAGENS DESVANTAGENS
Arquivos em formatos diversos podem
ser anexados.
Arquivos anexados podem
bloquear a transmissão de outras
mensagens ou, ainda, conter vírus.
Arquivamento ocupa espaço em
disco, gerando lentidão da
máquina.
Facilita a colaboração, discussão, e a
criação de comunidades discursivas.
O receptor pode ser
involuntariamente incluído em
fóruns e malas diretas.
O usuário é facilmente contatado. Há certa invasão de privacidade.
Fonte: PAIVA, 2010, p.87.
Após discutidas as vantagens e desvantagens de se usar um e-mail como
ferramenta digital para multiplicar os resultados da pesquisa e os trabalhos que
ainda estão por vir., o grupo foi tomado por um certo receio quando pensou na
quantidade de informações e conteúdos que poderiam ser jogados no e-mail sem
antes passar por uma análise do grupo. Como afirmou Paiva (2010), uma das
desvantagens é a possibilidade de circular, livremente, mensagens indesejadas ou
que fujam da proposta da ferramenta. E questões políticas, acusações, julgamentos
e denúncias não faziam parte da proposta do grupo. Portanto, esse espaço deverá
ser usado como ambiente para discussão das práticas usadas para o ensino da
Matemática, mais especificamente o Laboratório de Matemática.
Entendendo essa ferramenta dessa forma, ficou resolvido que o e-mail seria
uma ferramenta intermediária, ou seja, os professores poderiam deixar comentários,
dúvidas, sugestões e deixar como arquivo alguma proposta para o uso do
laboratório, sendo que o grupo de acadêmicos e professores se encarregariam de
analisar cada proposta enviada e, após ser aprovada, ela seria postada em um Blog.
(Conclusão)
126
5.10.2 A criação de um Blog
Segundo Marcuschi (2010), blogs são gêneros emergentes que transmutam
de outros anteriores, mas por meio de leituras mais apurada do autor percebe-se
que blog é mais que uma modificação de suporte, é mais que uma das diversas
tecnologias da comunicação e informação (TIC) que são disponibilizadas por meio
da Web.
Para ele, “Os blogs são datados, comportam fotos, músicas e outros
materiais. Têm estrutura leve, textos em geral breves, descritivos e opinativos. É um
grande sistema de colagem em certos casos [...].” (MARCUSCHI, 2010, p.23).
Tal ferramenta, portanto, além de poder ser rapidamente e facilmente
atualizada, se apresenta com uma plástica moderna e dinâmica que possibilita
disponibilizar, de forma clara, organizada e de fácil acesso, as propostas de
laboratório, além de também permitir uma interação com o professor que busca ali
uma sugestão para melhoria de sua prática docente.
Para Komesu (2010):
O blog é concebido como um espaço em que o escrevente pode expressar o que quiser na atividade da (sua) escrita, com a escolha de imagens e de sons que compõem o todo do texto veiculado pela internet. A ferramenta empregada possibilita ao escrevente a rápida atualização e a manutenção dos escritos em rede, além da interatividade com o leitor das páginas pessoais. Os blogs possuem, portanto, características diferenciadas dos diários tradicionalmente escritos. Acredito que não se deve associá-los porque são acontecimentos discursivos distintos, cuja materialidade advém de “gêneros do discurso” também distintos. (KOMESU, 2010, p.7).
Para a autora, portanto, os blogs possuem características diferenciadas das
ferramentas de comunicação virtual tradicionais, pois envolvem todo o poder
persuasivo do escrevente para convencer o leitor de que o que ele posta no blog é
interessante. Portanto, com o objetivo de divulgar os resultados das pesquisas
realizadas pelo grupo e práticas de sucesso optou-se pela criação de um blog que,
assim como o e-mail, será efetivado após a aprovação dessa pesquisa. Para tanto, o
endereço Matematicacachoeiro.blogspot.com já está disponibilizado para testes
e, em breve, será utilizado para o fim a que se propõe.
127
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo do processo de construção deste trabalho foram necessárias
algumas reflexões a respeito da importância de um LEM em uma escola, além da
verificação sobre as diversas implicações da utilização deste ambiente na realização
de atividades e experiências envolvendo materiais didáticos manipuláveis,
entendendo que eles talvez pudessem melhorar o processo de ensino e
aprendizagem de Matemática.
Desde o início do trabalho, a intenção desta pesquisa era de realizar um
estudo para entender as potencialidades do LEM e motivar os professores da rede
municipal de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim sobre a necessidade de
organizá-lo em suas escolas, dando subsídios para que os professores pudessem
contemplar a utilização deste espaço no planejamento de suas aulas, o que foi feito
e que permeou todas as etapas do processo da pesquisa.
Assim, nesta perspectiva, buscou-se compreender quais são os
procedimentos necessários para organizar um LEM em uma escola, procurando
primeiramente defini-lo para, então, verificar quais as suas reais finalidades e
objetivos enquanto recurso didático.
O trabalho iniciou-se de forma isolada em uma das escolas da rede municipal
de ensino quando, sabendo da existência de todo o material que ainda estava
guardado, o pesquisador iniciou um processo de análise do material para, a partir
daí, estabelecer um método de seleção, registro e organização destes elementos
que tornasse viável a utilização daqueles recursos na realização de atividades e
práticas pedagógicas.
Permeando a pesquisa, ocorreram encontros e reuniões com professores e
formandos de Licenciatura em Matemática por meio dos quais houve muita conversa
informal que deixou claras as muitas e diferentes concepções a respeito do LEM.
Observou-se, ainda, que estas diferentes concepções eram frutos de alguns
aspectos, como, por exemplo, a formação do professor de Matemática e suas ideias
a respeito de educação, o perfil dos alunos que iriam utilizar o espaço, os objetivos
do professor ao realizar atividades no LEM e a relação da comunidade escolar com
o ensino de Matemática.
128
Em meio a tanta diversidade, a concepção de LEM correspondente com os
ideais desta pesquisa foi fundamentada nas leituras realizadas de publicações de
autores de épocas distintas, que analisaram as características e potencialidades
deste espaço, e discutiram acerca do uso de materiais didáticos no ensino de
Matemática.
A partir dessas leituras, foi constatado que, para organizar um LEM, seria
necessário realizar, inicialmente, uma seleção destes recursos e, além disso,
organizar estes primeiros elementos componentes do LEM em um sistema de
catalogação e armazenamento que contivesse as informações relevantes e
necessárias ao desenvolvimento de atividades para sua efetiva utilização
Pode-se inferir, no decorrer da pesquisa, que a seleção e organização
adequada dos materiais didáticos que serão utilizados nas atividades práticas é uma
das etapas mais importantes no processo de organização de um LEM, visto que o
conhecimento integral dos materiais didáticos, suas características e potencialidades
associados ao conhecimento do currículo é um aspecto fundamental no
desenvolvimento de atividades práticas que sejam realmente eficientes no auxílio à
compreensão dos conceitos matemáticos.
Contudo, segundo Lorenzato (2006), não basta que um LEM seja um local
repleto de materiais didáticos, objetos e equipamentos, já que a utilização eficaz
destes recursos é que justifica o trabalho realizado neste espaço. Assim, para que
os materiais manipuláveis possam ser utilizados de forma com que promovam uma
melhora significativa na qualidade do aprendizado de Matemática por parte dos
alunos, é necessário que as atividades desenvolvidas com aplicação destes, sejam
planejadas contemplando as variáveis e situações que envolvam esta prática. Ou
seja, é responsabilidade do professor desenvolver uma metodologia eficiente que
possa levar ao conhecimento do conteúdo com uma atividade prática.
Acreditando nisso, foi criado um grupo de estudos com o objetivo de elaborar,
aplicar e ajustar atividades que utilizassem o material do LEM disponível nas
escolas. O grupo era inicialmente formado por professores que logo foi reforçado
com a inserção de acadêmicos do último período do curso de licenciatura em
Matemática. As atividades elaboradas, discutidas e aplicadas pelo grupo passaram,
então, a compor um caderno de possibilidades de atividades para a utilização do
LEM e que é apresentado como produto final desse trabalho. Vale lembrar, porém,
que durante esse processo, algumas foram descartadas pelo grupo por não
129
trabalharem adequadamente o material apresentado no kit ou não estarem
adequadas ao Ensino Fundamental e, consequentemente, aos sujeitos desta
pesquisa.
Ao longo do percurso, os estudos e pesquisa realizados mostraram, ainda,
que a inserção do LEM em uma escola pode apresentar obstáculos que dificultem
ou até mesmo inviabilizem a sua realização. Entre elas, podem ser citadas, como
exemplo, a descrença de alguns professores em relação à importância e às
potencialidades do LEM e a insegurança de inserir o Laboratório de forma
sistemática em sua prática docente. Para alguns, desenvolver uma metodologia para
ensinar determinado conteúdo é muito mais complexo do que ensinar este conteúdo
de forma tradicional, ou seja, de forma expositiva.
Porém, mesmo tomados pela insegurança para elaborar propostas e produzir
nesse espaço, segundo o resultado de um questionário aplicado pelo pesquisador
em toda rede municipal de ensino, os professores acreditavam no LEM como
recurso real de melhoria do aprendizado de Matemática .
Dessa forma, tem-se, ainda que conhecer melhor as crenças e também as
angústias do professor acerca do LEM ratificou a importância da pesquisa e deixou
clara a importância e a necessidade de, como já relatado, criar propostas que
contemplassem o uso do material adquirido pela Secretaria de Educação do
município que permanecia, até o momento, guardado ou sendo subutilizado nas
escolas da Rede.
Ao procurar ampliar esse projeto para outras escolas da rede que já possuíam
o kit de Laboratório de Matemática, mas que não o utilizavam ou o subutilizavam, foi
necessário ampliar o projeto, que em algumas escolas exigiria, além do investimento
em formação de professores, a construção do espaço físico que pudesse servir, não
somente como laboratório de Matemática, mas, também, um local onde os
professores e alunos pudessem manipular todo aquele material a fim de conhecê-lo
mais a fundo.
A elaboração, aplicação e relato das atividades foram considerados pelos
professores e acadêmicos como momentos de muito crescimento e aprimoramento
de sua prática.
Os resultados obtidos nessa pesquisa reforçaram a hipótese do grupo de que
a utilização do laboratório de Matemática não é condição absoluta para que ocorra o
aprendizado, mas sim um facilitador, sendo possível, através da manipulação de
130
objetos, promover aulas mais dinâmicas e significativas, desenvolvendo o poder
criativo que existe em cada um na busca pela compreensão sobre a aplicação do
conhecimento que, muitas vezes, se limita aos muros da escola.
Para tanto, os professores de Matemática devem procurar alternativas para
aumentar a motivação para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a
organização, concentração, atenção, raciocínio lógico-dedutivo e o senso
cooperativo do aluno, desenvolvendo a socialização e aumentando as interações do
indivíduo com outras pessoas.
Porém, vale ressaltar que o interesse pelas aulas e a consequente
aprendizagem depende das situações estimuladoras criadas pelo educador para
proporcionar ao educando o maior número possível de descobertas e desafios,
estimulando, assim, a curiosidade, já que, acredita-se que o papel dos professores
não é mais o de apenas transmitir conhecimento, mas, sim, dar condições para que
a aprendizagem realmente aconteça.
Inserido neste contexto, entende-se que um laboratório de ensino pode
facilitar, de forma concreta, a aproximação dos conteúdos de Matemática ensinado
na escola formal e os conhecimentos adquiridos através do cotidiano dos alunos.
Isto pode levar a uma mudança da percepção, pelos alunos, da significação que a
Matemática tem em suas vidas.
Ademais, o laboratório de ensino propicia, dentre outras coisas, uma melhor
relação interpessoal professor-aluno, gerando um ambiente mais salutar dentro da
sala de aula, caracterizado por uma maior dinâmica do ensino, maior afetividade,
motivação, participação, maior interação social, respeito pelos colegas, etc.,
tornando mais prazeroso o estudo.
Para finalizar, ressalta-se que essa pesquisa não possui um fim em si mesma,
mas abre espaço para novos questionamentos, novos levantamentos de teses e
hipóteses acerca do tema, além da possibilidade de ampliar ainda mais o assunto
em questão, inclusive, de verificar outras formas de aprendizagem nesses espaços,
novos conhecimentos e novas possibilidades de atividades, o que mostra ser o
melhor caminho para se chegar aos verdadeiros objetivos propostos por uma
pesquisa acadêmica, quer seja, a capacidade de ampliação, cada vez maior, dos
estudos e do conhecimento acerca de algo.
131
REFERÊNCIAS
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TAHAN, Malba. Didática da Matemática. v.2. São Paulo: Ed. Saraiva, 1962.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 2007
133
APÊNDICES
Apêndice A – Questionário aplicado aos professores das escolas da Rede
Municipal de Ensino de Cachoeiro de Itapemirim
1) Com que frequência você utiliza o Laboratório de Matemática da sua
instituição?
( ) Sempre ( ) Às vezes ( ) Quase nunca
2) Se você não utiliza com frequência o Laboratório de Matemática,
identifique o motivo que mais contribui para a subutilização deste
ambiente.
( )Falta de material de apoio ( )Falta de treinamento de professor
3) Em se tratando de estratégia para o ensino da Matemática, você
considera o Laboratório de Matemática:
( ) Sem significado ( ) Pouco significativo ( ) Muito significativo
4) Acerca do livro didático adotado, a quantidade de sugestões de
atividades com material manipulativo que poderiam ser trabalhadas no
Laboratório de Matemática, é:
( ) Quase nenhuma ( ) Algumas ( ) Muitas
5) Você assina alguma revista específica sobre Educação Matemática ou
faz parte de algum grupo de estudo que discute assuntos desta área de
conhecimento?
( ) Sim ( ) Não
6) Caso você assine alguma revista específica, você aplica alguma
atividade proposta por ela no Laboratório de Matemática com seus
alunos?
( ) Sim ( ) Não ( ) Não assino revista específica
134
Apêndice B – Lista de materiais disponíveis, descrições e os conteúdos direcionados ao item
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
ÁBACO BASE 10
3 Os ábacos tem como
objetivo auxiliar em
atividades para desenvolver
os diferentes sistemas de
numeração posicional,
inclusive o decimal
- Sistemas de
numeração
posicional.
- Operações e
propriedades
---------------------
----------------------
- Contagem.
- Registro.
- Leitura de
dados
ÁBACO BASE 5
4
ÁBACO BASE 3
3
ÁBACO BASE 2 3
BALANÇA
ALGÉBRICA
5
A balança algébrica recebe
este nome porque tem como
objetivo desenvolver as
estruturas algébricas e suas
propriedades:
fechamento;
comutativa;
associativa;
existência do
elemento neutro.
Distributiva.
Pode-se usar a balança para
mostrar, de forma concreta,
as propriedades com
números naturais e
racionais.
- Operações e
suas
propriedades.
- Equivalências.
- Expressões
Algébricas.
- Simetria
- Medida de
massa.
- Registro.
- Leitura de
dados.
135
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
BLOCO BASE 10
1
A função dos blocos para
trabalhar o sistema de
numeração binário e
decimal é facilitar o
aprendizado do sistema
posicional na numeração.
- Sistema de
numeração
binário;
- Sistema de
numeração
decimal;
- Conversão de
sistemas;
- Operações e
propriedades
operatórias.
-
Paralelepípedos
retângulos;
- cubos.
- Medida de
volume.
- Contagem;
- Registro.
BLOCO BASE 2
1
TANGRAM
TRADICIONAL
8
O tangram é um material
versátil que pode ser
empregado para
desenvolver atividades no
campo dos números, no
campo das formas, no
campo das medidas e no
campo do tratamento das
informações. Este material
pode estabelecer um elo
entre a Matemática e as
artes, além de estimular a
imaginação e a criatividade.
- Números
naturais;
- Números
racionais;
- Números
irracionais.
- Figuras
geométricas;
- Congruência,
equivalência e
semelhança;
- Composição.
- Simetria,
rotação e
translação.
- Cálculo de
Perímetro e área
- Coleta de
dados;
- Registro.
136
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
BLOCOS
LÓGICOS
5 -------------------------------- ---------------- ---------------- ---------------- ----------------
FORMAS
GEOMÉTRICAS
(LÂMINAS
MAGNETIZADAS
PARA FIXAR EM
QUADRO DE
METAL)
1
As formas geométricas
estão presentes na natureza
e nas construções
humanas. Além das formas
que compõem o kit, é
possível, a partir delas,
formar novas figuras.
- Contagem;
- Sequências:
números
triangulares e
números
quadrados;
- Razão;
- Proporção
- Congruência,
semelhança e
equivalência;
- Polígonos
regulares;
- Perímetro;
- Área.
- Escala;
Proporcionalidade.
- Comparação;
- Registro.
CONJUNTO DE
SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
EM CRISTAL
1
A Exploração das formas
geométricas presentes no
cotidiano do aluno é um
exercício que tornam mais
significativos os conteúdos
matemáticos e certamente
facilitam a aprendizagem.
Explorar as formas
geométricas, classificá-las e
organizá-las a partir de suas
semelhanças e diferenças é
uma boa maneira de iniciar
o estudo da geometria.
- Números
naturais;
- Operações.
- Poliedros e
corpos de
revolução;
- Nomenclatura.
- Medidas e
unidades de
medida;
- Medida de área e
volume.
- Coleta de
dados.
137
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
GEOPLANO
CIRCULAR -
12 DIVISÕES
6
O geoplano circular é
certamente um dos
materiais mais potente do
LEM. Esse material pode
ser usado para o
desenvolvimento de
conceitos desde contagem,
passando pelos números
naturais e suas operações,
pelos números racionais e
operações, pela geometria
da construção dos
polígonos. Também podem
ser trabalhadas algumas
propriedades geométricas e
padrões.
- Operações e
propriedades;
- MMC;
- MDC.
- Poligonos;
- Polígonos
regulares
- Circunferência;
- Círculo;
- Setor circular.
- Ângulos;
- Arcos.
- Perímetro;
- Área;
- Medida de Arcos;
- Medida de
ângulos.
- Medida de tempo
- Registros
- Tabelas e
gráficos.
GEOPLANO
CIRCULAR –
20 DIVISÕES
6
GEOPLANO
CIRCULAR –
24 DIVISÕES
6
GEOPLANO
RETANGULAR
QUADRO
PERFURADO –
BASE 10.
6
Material de grande
versatilidade uma vez que
permite ao professor
desenvolver conteúdos no
campo dos números e suas
operações relacionando-os
com a geometria.
Entretanto, sua principal
aplicação é no campo da
geometria.
- Contagem;
Operações
fundamentais e
propriedades.
- Reta;
- Posição
absoluta e
relativa.
- polígonos.
- Perímetro;
- Área.
- Coleta de
dados.
- Registro de
dados;
- Montagem de
tabelas.
GEOPLANO
RETANGULAR
QUADRO
PERFURADO –
BASE 5.
6
138
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
GEOPLANO
RETANGULAR
CONTORNO.
7
Este objeto propicia as mais
variadas construções
artísticas deixando o aluno
livre para desenvolver sua
criatividade e realizar
descobertas. É muito usado
na construção de formas
geométricas com vértices
nos pinos fixos, entre
outras pode-se construir
parábolas,paralelogramos e
triângulos.
- Números
naturais;
- Sequências.
- Polígonos;
- Linhas curvas;
- Tangência
- Área
- Obter
informações
da figura.
- Tabelas;
- Gráficos.
JOGO DA VELHA
– TABULEIRO DE
CHÃO - COM
JALECOS
COLORIDOS.
1
Os alunos têm, às vezes,
mais facilidade para
aprender em situações
lúdicas. No tabuleiro com
peças humanas, o aluno
desenvolve sua percepção
espacial e sua capacidade
de localização, a partir de
pontos de referência. O jogo
da velha é eficaz, quando se
pretende desenvolver
estratégias e a habilidade
de planejar, estabelecendo
relações entre causa e
efeito.
- Contagem;
- Sequências.
- Linha reta;
- Posições
relativas e
absolutas;
- Exploração do
plano.
---------------
------------------
139
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
JOGO DA VELHA
TABULEIRO DE
MESA.
6
Os alunos têm, às vezes,
mais facilidade para
aprender em situações
lúdicas. O jogo da velha é
eficaz quando se pretende
desenvolver estratégias e a
habilidade de planejar
estabelecendo relações
entre causa e efeito.
- Contagem;
- Sequências.
- Linha reta;
- Posições
relativas e
absolutas;
- Exploração do
plano.
------------------
------------------
DOMINÓ COMUM.
6
O jogo de dominó é
interessante para qualquer
idade. O jogo em si, obriga
aos jogadores o
desenvolvimento de
estratégias.
Para as séries iniciais,a
contagem dos pontos no
final do jogo propicia
interessantes situações de
contagem e de operações.
- Quantidades;
- Operações;
- Comparações de
quantidades.
- Quadrados;
- Retângulos.
---------------------
- Registro;
- Contagem;
- Organização
da informação.
DOMINÓ DE
CORES.
As cores têm função em
Matemática. No EF I uma
dessas funções é elencada
quando se usa o dominó de
cores para identificar cores
----------------
- Translação;
- Rotação;
- Simetria
--------------------
- Contagem
140
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
6
e estabelecer diferença
entre elas. No ensino
fundamental II, este jogo
que parece infantil demais,
pode ser usado para
desenvolver a capacidade
de contagem a percepção
de possibilidades e a
habilidade de agrupar.
RELÓGIO DE
ÁGUA
1
--------------------------------
-------------------
-------------------
------------------
-----------------
RELÓGIO DE
SOL.
1
A história da astronomia e
matemática se confundem
uma vez que grandes
matemáticos foram também
grandes astrônomos. O
relógio do Sol é um
instrumento que permite
associar conceitos
matemáticos a fenômenos
naturais.
----------------------
- Sistema Solar;
- Estações do
ano;
- Órbitas e
trajetórias;
- Ângulos.
- Medida do tempo;
- Medida de
ângulo.
- Registro.
RÉGUAS
PERFURADAS
6
141
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
SETORES
CIRCULARES
PARA
TRABALHAR
FRAÇÕES.
8
O estudo das frações ainda
é realizado com o uso de
algoritmos que automatizam
as operações propiciando
ações mecânicas
desprovidas do
conhecimento dos fatos
matemáticos envolvidos.
Utilizando este kit é
possível desenvolver as
idéias de equivalência das
frações. Isto facilita a
comparação e as operações
com frações.
- Frações;
- Equivalência;
- Comparação;
- Números
decimais;
- Porcentagem.
- Círculo;
- Setores
circulares;
- Arcos e
ângulos;
- Medida de
ângulos e arcos.
- Registro;
- Tabelas.
SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
EM MADEIRA.
2
A Exploração das formas
geométricas presentes no
cotidiano do aluno é um
exercício que tornam mais
significativos os conteúdos
matemáticos e certamente
facilitam a aprendizagem.
Explorar as formas
geométricas, classificá-las e
organizá-las a partir de suas
semelhanças e diferenças é
uma boa maneira de iniciar
o estudo da geometria.
- Números
naturais;
- Operações
- Prismas e
corpos de
revolução;
- Nomeclatura.
- Medidas e
unidades de
medida;
- Medida de área e
volume.
- Coleta de
dados;
- Registros;
- Tabelas.
142
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
TRIMINÓS,
TETRAMINÓS E
PENTAMINÓS.
6
Os poliminós dão inúmeras
possibilidades para
desenvolver atividades que
contemplam a percepção
espacial, conceitos
geométricos, questões de
contagem, enfim é um
material muito potente. A
composição e
decomposição de formas
geométricas, reproduzindo
as peças aumentando suas
dimensões(ampliando),nos
permite explorar problemas
envolvendo
proporcionalidade.
Operações:
- Adição;
- Subtração;
- Multiplicação;
- Divisão.
- Simetria;
- Rotação;
- Translação.
- Perímetros;
- Áreas.
- Contagem;
-
Possibilidades.
REFLETOR
GEOMÉTRICO
5
Consiste numa associação
de espelhos planos que
promove uma associação
entre idéias matemáticas e
da física. Estimula e dá
significado ao aprendizado
de ângulos, de polígonos e,
se o professor achar
interessante, também pode
ser trabalhado o conceito
- Número de
Imagens.
- Simetria, eixo
de simetria.
- Ângulo
central;
- Polígonos
regulares;
- Poliedros
regulares.
- Medida de
ângulo.
- Registro.
143
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
de reflexão em um espelho
plano.
Ajustando o ângulo entre os
espelhos planos podemos
obter os polígonos
regulares de modo virtual.
CAVALETE DE
SUSTENTAÇÃO
PARA QUADRO
DE AÇO
1
--------------------------------
----------------
-----------------
-----------------
------------------
QUADRO DE
AÇO-
100cmx80cm.
2
--------------------------------
----------------
-----------------
-----------------
-----------------
COLEÇÃO DE
SINALIZAÇÃO DE
TRÂNSITO.
1
--------------------------------
----------------
-----------------
----------------
-----------------
PACOTES DE
COLEÇÃO DE
NOTAS DE REAL
(CADA UM
CONTENDO 100
NOTAS).
-----
Situações que envolvem
dinheiro podem ser
simuladas utilizando as
fichas com os valores do
padrão monetário brasileiro.
Explorar situações
cotidianas de pagamento e
troco ganha aspecto de
- Operações;
- Comparação.
--------------------
- Sistema
monetário
nacional.
- Organização
para facilitar a
contagem.
144
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
COLEÇÃO DE
MOEDAS DE
PLÁSTICO
------
realidade utilizando as
fichas, permitindo
substituições por valores
equivalentes, para somar,
subtrair, multiplicar ou
dividir.
COLEÇÃO DE
SINALIZAÇÃO DE
TRÂNSITO
1
A sinalização de trânsito faz
parte do cotidiano do aluno.
A sinalização dá significado
para as formas geométricas
e aos números contidos
nelas.
Explorar o papel social dos
números, empregando
atividades que levem à
identificação dos números e
seu significado na
sinalização. Pode-se
também explorar o emprego
das linhas, das formas
geométricas e das cores na
comunicação. O material é
muito interessante para um
trabalho interdisciplinar
podendo ser abordado por
professores de Geografia,
Ciências e outros.
- Papel social do
número(discussão
interessante em
qualquer série
escolar).
- Linhas
- Polígonos
- Círculos
- Medidas de
comprimento,
massa e
velocidade.
- Leitura e
interpretação
de símbolos e
sinais.
145
MATERIAL
DISPONÍVEL
Qde
CONSIDERAÇÕES
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
NO EF GM TI
PANTÓGRAFO.
1
O pantógrafo é destinado
para copiar desenhos, quer
em escala reduzida, quer
em escala ampliada.
- Números;
- Sequências de
números e
escalas;
- Razão.
- Ampliação;
- Redução.
- Medidas de
comprimento e
área.
- Registro
MATERIAL PARA
CONSTRUIR
ÁRVORE DE
POSSIBILIDADES.
1
O material pode ser
utilizado em atividades para
desenvolver os conceitos
de quantidade,
classificação, contegem,
possibilidades e
agrupamentos.
- Contagem;
- Multiplicação e
propriedades.
-------------------
--------------------
-
Possibilidades;
-
Agrupamentos;
- Registro.
Fonte: Dados da pesquisa
Apêndice C – Produto final – Caderno de possibilidades de atividades
para uso do Laboratório de Ensino de Matemática
Eduardo Balliana Justo
ATIVIDADES
PARA USO
DO
LEM
2015
147
APRESENTAÇÃO
Prezados colegas:
O Laboratório de Matemática é um recurso que permite ao professor
melhorar qualitativamente sua atuação em sala de aula e testar novas
tecnologias de ensino. Segundo Lorenzato (2006):
Há uma diferença pedagógica entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um [material didático] MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas os resultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque, de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez que poderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar os resultados obtidos durante suas atividades. (LORENZATO, 2006, p.27).
No trabalho diário em sua classe, o professor utilizando o Laboratório de
Matemática, pode buscar soluções inovadoras que permitam superar os
desafios da construção do conhecimento matemático. Sendo a sala de aula um
lugar onde convive uma interessante diversidade sócio-cultural-econômica, a
situação ideal é que os professores, conhecendo sua realidade, proponham,
testem e avaliem a melhor forma para conduzir o ensino e a aprendizagem da
matemática.
O Laboratório de Matemática tem como objetivos principais:
Instrumentalizar o professor para o ensino de matemática;
Provocar a reflexão sobre a prática do professor e sobre a
importância do planejamento no ensino de Matemática;
Contribuir com materiais que possibilitem colocar em ação
praticas educativas que envolvam os alunos, que permitam uma
participação ativa deles, valorizando experiências vivenciadas no
dia-a-dia, visando tornar mais significativos os conteúdos da
Matemática.
Diga-me que eu esqueço.
Ensina-me que eu lembro.
Envolva-me e eu aprendo.
(Confúcio)
148
Para orientar a utilização e tirar mais proveito do Laboratório de
Matemática, é que foi elaborado este Caderno de Propostas de Atividades que
tem como objetivo:
Apresentar alguns dos materiais que compõem o Laboratório de
Matemática da sua unidade de ensino;
Propor atividades e procedimentos para utilização desses
materiais.
As atividades foram organizadas e apresentadas de acordo com o
material utilizado e que poderão ser aplicadas em diferentes séries do Ensino
Fundamental. É bom salientar que o caderno apresenta sugestões de
atividades e, poderá o professor, conhecendo sua realidade, realizar as
devidas alterações aperfeiçoando-as para sua sala de aula e, ainda, adaptar
determinados materiais, caso julgue necessário.
Este caderno de propostas de atividades é apresentado por blocos,
sendo, cada um deles destinado a um determinado material que compõe o
Laboratório de Ensino de Matemática da sua instituição. Cada bloco possui a
seguinte organização:
Nome e imagem do material utilizado, com breve histórico;
Número da atividade dentro do bloco daquele material a que é
destinada;
Título da atividade;
Orientações Metodológicas. Aqui serão descritos os objetivos,
pré-requisitos, indicação de série, conteúdos abordados,
metodologia, orientações complementares para o professor
acerca do material, da atividade e do conteúdo e outras
possibilidades tanto para o uso quanto para a ampliação do
conhecimento acerca do material ou da atividade propriamente
dita;
Roteiro de atividade a ser entregue aos alunos.
Vale lembrar, porém, que nem todas as atividades propostas possui um
roteiro para ser entregue ao aluno. Em alguns casos, o roteiro serve apenas
como direcionamento para o professor.
149
As figuras a seguir representam o esquema de parte de um bloco que
diz respeito ao material coleção de formas geométricas. Nesta representação,
estão apontadas as características das informações contidas em cada uma das
células que compõem as atividades, conforme descrito anteriormente, e seus
respectivos ícones.
INTRODUÇÃO AO MATERIAL
Um pouco de história...
Breve histórico sobre o
material e/ou seus
componentes
Nome do material.
Símbolo ou
imagem do
material
150
ORIENTAÇÕES DA ATIVIDADE PARA O PROFESSOR
Identificação da atividade
dentro do bloco
Orientações
Metodológicas
Nome da atividade
151
ROTEIRO DE ATIVIDADE PARA OS ALUNOS
Para início de conversa...
Introduz o aluno na atividade
Exercícios...
Procura ampliar o conhecimento do
aluno
Desafio! Coloca uma
situação-problema mais
ampla para o aluno
resolver
Esse ícone pede
atenção e pode ser
utilizado tanto para
professor quanto para
aluno
152
Conforme visto, nos Roteiros de Atividades, cada atividade apresenta
questões que exigem gradualmente do aluno uma análise mais aprofundada,
chegando a outras mais complexas que objetivam desafiá-lo.
Senti-me-ei feliz se, de alguma forma, este caderno puder ajudar o
professor no desenvolvimento de sua prática docente. Deixo você à vontade
para aproveitar as propostas que lhe agradam, aprimorar as imperfeitas e
substituir outras por criações próprias. Agindo assim, estaremos contribuindo
decisivamente para os alunos se desenvolverem como indivíduos competentes
matematicamente, mais críticos e conscientes.
Finalmente, procurei transmitir um pouco do prazer que o ensino da
Matemática pode nos dar, propondo a inserção do Laboratório de Matemática
no planejamento do professor, objetivando seu uso sistemático.
BOM TRABALHO!
153
SUMÁRIO
COLEÇÃO DE FORMAS GEOMÉTRICAS ................................................................... 155
EXPLORANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS ........................................................................... 156
FORMAR MOSAICOS COM FIGURAS GEOMÉTRICAS ............................................................. 159
TRABALHANDO O CONCEITO DE ESCALA A PARTIR DA CONSTRUÇÃO DE UM MAPA DA
ESCOLA E SUA VIZINHANÇA UTILIZANDO O CONJUNTO DE FORMAS GEOMÉTRICAS.......... 162
DETERMINANDO O ÂNGULO CENTRAL DE UM POLÍGONO REGULAR .................................. 165
POLIMINÓS .................................................................................................... 169
EXPLORANDO OS PENTAMINÓS ............................................................................................ 171
ESTUDANDO CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO COM OS PENTAMINÓS ........................... 175
JOGANDO COM OS POLIMINÓS (ADAPTADO DO JOGO GOLOMB) ...................................... 179
GEOPLANOS .................................................................................................... 180
CALCULANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO ................ 182
CONHECENDO E EXPLORANDO O PLANO CARTESIANO COM O GEOPLANO ........................ 187
UTILIZANDO O GEOPLANO PARA O ESTUDO DE ÁREAS ........................................................ 193
FÓRMULA DE PICK ................................................................................................................. 198
REFLETOR GEOMÉTRICO ....................................................................................... 202
CONSTRUINDO POLÍGONOS COM ESPELHOS ....................................................................... 203
BALANÇA ALGÉBRICA ........................................................................................... 207
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 1O GRAU: INCÓGNITA COM COEFICIENTE UNITÁRIO ............ 209
TANGRAM .................................................................................................... 215
CONHECENDO O TANGRAM .................................................................................................. 217
UTILIZANDO O TANGRAM PARA CÁLCULO DE ÁREA POR ESTIMATIVA ................................ 219
ALVO .................................................................................................... 223
PROBLEMAS ENVOLVENDO TIRO AO ALVO .......................................................................... 224
ÁBACO DE PINOS .................................................................................................. 228
154
ADIÇÃO COM ÁBACO DE PINOS ............................................................................................ 229
155
COLEÇÃO DE FORMAS
GEOMÉTRICAS
Um pouco de história...
A Geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos,
segundo o historiador grego Heródoto (século V a.C. ). É certo que civilizações
antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, da Babilônia à
China, passando pelas civilizações Hindus.
É por isso que o termo "geometria" deriva do grego geometrein, que significa
medição da terra (geo=terra, metrein=medição).
Naquele tempo, a geometria era uma ciência empírica, uma coleção de regras
práticas para obter resultados aproximados. Mesmo assim, estes
conhecimentos foram utilizados nas construções das pirâmides e templos
Babilônios e Egípcios.
A utilização deste recurso auxilia o aluno na construção de conceitos
geométricos por meio da manipulação, observação e fazendo associação de
peças para construção de novas figuras.
Como esse material foi elaborado tendo como base o Laboratório de
Matemática da Rede Municipal de ensino, optou-se pela utilização do termo
“formas” em detrimento do termo “figuras” por essa nomenclatura estar
presente no kit de laboratório utilizado para fins de pesquisa.
156
EXPLORANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Incentivar a concentração, a participação, a criatividade e a
agilidade.
Colaborar para o reconhecimento das formas geométricas.
Pré-requisitos Não há pré-requisitos para essa atividade
Segmento Séries iniciais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Formas geométricas
Metodologia
Trabalho individual com os alunos utilizando abordagem
exploratório-investigativa
Orientações
complementares
O professor deverá distribuir aos alunos os pacotes contendo
as diferentes formas geométricas presentes no kit de
laboratório, deixando que os alunos manipulem o material.
É necessário que professor mantenha sempre exposto o
quadro magnético com as formas geométricas do “kit
professor”, para as explicações que se fizerem necessárias ao
abordar o conteúdo.
Outras
possibilidades
É possível explorar todo ambiente escolar na busca de formas
geométricas.
Caso o professor não tenha acesso às formas geométricas do
kit, elas poderão ser produzidas em diversos materiais pelo
professor ou mesmo trabalhar a construção dessas formas
pelos alunos, com recorte de papel ou trabalho com pequenas
embalagens de produtos de supermercado (caixas de
fósforos, caixa de gelatina, sabão em pó, entre outros).
O professor poderá complementar essa atividade com a
Atividade 01
157
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
leitura do livro “Clact... Clact.... Clact...”, de Liliana Lacocca e
Michele Lacocca, da Editora Ática. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=wq1HVIXvVK4.
158
Para início de conversa...
Após explorar as formas geométricas que você recebeu, identifique
aquelas que você já conhece, desenhando-as no quadro abaixo e
colocando seus nomes:
Exercício...
Você conhece bem a sua escola? Então, agora, você vai anotar no
espaço abaixo as figuras geométricas que você pode achar em vários
locais. Cite pelo menos três figuras que você conhece e onde elas estão
na sua escola.
159
FORMAR MOSAICOS COM FIGURAS GEOMÉTRICAS
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Reconhecer figuras geométricas e suas propriedades.
Desenvolver o senso estético e a criatividade.
Desenvolver a percepção espacial.
Pré-requisitos Conhecer e saber dar nome às peças que compõem o kit e
suas particularidades.
Segmento Séries Finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Formas geométricas
Metodologia Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratória
Orientações
complementares
Deixar os alunos manipularem as figuras menores (Kit do
aluno)
O professor deverá explorar o conceito de mosaico,
identificando alguns deles presentes na natureza, por
exemplo: uma colmeia. A partir daí pode ser pedido aos
alunos que identifiquem outros e tragam para serem
discutidos em sala de aula.
Outras
possibilidades
O professor pode propor a construção de mosaicos,
restringindo os tipos de formas geométricas utilizadas.
Atividade 02
160
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
Vale lembrar que o Roteiro descrito abaixo será, no caso dessa
atividade, de uso do professor, não devendo ser entregue ao aluno,
como acontece nas outras atividades desse caderno.
161
Para início de conversa...
O professor, com a ajuda dos alunos, irá construir um mosaico em maior
escala utilizando o quadro magnético e o conjunto de peças magnéticas
do “kit professor”. O professor deverá trabalhar o conceito de mosaico e
iniciar a construção limitando uma área a ser preenchida e colocando a
primeira peça.
Exercício...
A partir daí, cada aluno deverá levantar-se e encaixar uma peça no
quadro magnético, expondo alguma particularidade daquela forma
escolhida, formando um mosaico. Todas as peças deverão estar
expostas sobre a mesa e, se o aluno precisar ajustar uma peça que foi
anteriormente colocada no mosaico, deverá se justificar. É interessante
que no final seja registrado o resultado através de uma foto que deverá
ser exposta para a escola junto com as fotos das outras turmas.
Desafio!
Para a próxima aula, o aluno deverá trazer recortes de diferentes formas
geométricas de diferentes tamanhos. Na aula seguinte, com os recortes
prontos, peça-os para formar seu próprio mosaico, preenchendo uma
folha de papel A4.
162
TRABALHANDO O CONCEITO DE ESCALA A PARTIR DA CONSTRUÇÃO
DE UM MAPA DA ESCOLA E SUA VIZINHANÇA UTILIZANDO O
CONJUNTO DE FORMAS GEOMÉTRICAS
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Desenvolver o senso estético e a criatividade.
Desenvolver a percepção espacial.
Trabalhar o conceito de escala.
Pré-requisitos Conhecer as formas geométricas
Razão, proporção
Segmento Séries Finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Formas geométricas
Razão, proporção
Representação em escala.
Metodologia Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Deixar os alunos manipularem as figuras menores (Kit do
aluno)
Outras
possibilidades
O professor pode, no caso de não possuir o “kit do aluno”,
construir as formas geométricas com materiais diversos,
inclusive com recortes.
Atividade 03
163
Para início de conversa...
O mapa Abaixo representa parte de uma cidade. Reproduza sobre sua
mesa este mapa utilizando as figuras geométricas que foram entregues
a vocês.
Exercícios...
No caminho entre sua casa e a escola existem casas, prédios, praças e
outras construções. Com base nisso, desenhe, agora, o entorno da
região onde se encontra a escola, montando um mapa da mesma forma
como feito anteriormente com as suas figuras geométricas. Não se
esqueça das ruas e da sua escola também.
Criando uma escala para seu mapa.
Agora, com a trena, meça um dos muros da escola. Qual o valor
encontrado no seu comprimento, em metros?
164
Agora transforme o valor encontrado em centímetros.
Agora, meça, em centímetros, o muro correspondente no mapa que
você criou.
Agora, com os dois comprimentos expressos na mesma unidade de
medida (centímetros), escreva quantas vezes maior é o comprimento
real do muro em relação ao comprimento do mesmo muro no seu
mapa?
Um mapa encontra-se em uma escala 1: 100 quando cada uma
unidade de medida no mapa corresponde a 100 unidades da medida
real.
Desafio!
Pensando nisso, crie a escala do seu mapa, a partir dos dados já
inseridos por você nas questões anteriores. Após fazer a conversão do
valor encontrado na medida do mapa para metros, escreva em que
escala você construiu seu mapa.
165
DETERMINANDO O ÂNGULO CENTRAL DE UM POLÍGONO REGULAR
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Desenvolver a capacidade de identificar regularidades
em polígonos.
Pré-requisitos Operações básicas
Formas geométricas
Polígonos regulares
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Formas geométricas
Ângulo central de um polígono regular
Metodologia Trabalho individual utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
As ilustrações servirão como apoio para o professor
entender a atividade. Elas não deverão ser apresentadas
para o aluno.
Outras
possibilidades
O professor pode comprovar o resultado fazendo as
medições necessárias com régua e transferidor.
Atividade 04
166
Para início de conversa...
Ângulo central é o ângulo formado por duas semi-retas com origem no
centro do polígono que passam por dois vértices consecutivos. Veja a
figura:
Exercícios...
Agora, com sua coleção de formas geométricas, desenhe o molde do
octógono regular numa folha de papel. Para isso, siga o passo a passo
abaixo indicado:
a) Coloque a peça sobre a figura desenhada.
167
b) Faça uma marca no bloco e outra sobre a folha de papel.
c) Faça a rotação do bloco até que ele volte a cobrir o molde
novamente. Conte cada estágio e repita a operação até que a marca
volte à posição inicial, como é demonstrado na figura abaixo:
168
Agora responda:
a) Quantas rotações fora realizadas?
b) Repita, agora, o procedimento com o Pentágono regular. Quantas
rotações foram realizadas?
c) Escreva a relação, na sua opinião, entre a quantidade de lados do
polígono e a quantidade de rotações.
Desafio!
Considerando que uma volta completa corresponde a um ângulo de
360o, escreva como é possível determinar a medida do ângulo central
de um polígono regular quando se conhece o número de lados.
Determine, então, diante de tudo o que foi discutido, o valor do ângulo central
de um eneágono, sem realizar o passo a passo anterior.
169
POLIMINÓS
Um pouco de história...
Poliminós é o nome que se dá ao conjunto de quadrados justapostos
que têm sempre um lado em comum. Assim é possível formar:
O Monominó, com apenas um quadrado;
O tradicional dominó, com dois quadrados;
O triminó, com três quadrados;
O tetraminó, com quatro quadrados;
O pentaminó, com cinco quadrados;
O hexaminó, com seis quadrados; etc.
O primeiro registro sobre o pentaminó apareceu no livro The Cantebury
Puzzles, em 1907. Este livro foi escrito por Henry Ernest Dudeney, um
inventor inglês de quebra-cabeças. A formalização matemática do
pentaminó deve-se a Solomon Wolf Golomb, quando, em 1953, o
apresentou pela primeira vez numa palestra que proferiu no Harvard
Mathematics Club. Um ano depois, em 1954, a revista American
Mathematical Monthly apresentou um artigo de Golomb com o título
“Cheker Boards and Polyominioes”.
Somente em maio de 1959, os poliminós chegam ao conhecimento do
público em geral. Tal fato se dá por meio de um artigo publicado por
Martin Gardner na revista Scientific American. Segundo Gardner (1994,
p.150), “após tais publicações, vários pesquisadores passaram a
estudar os poliminós na tentativa de encontrar respostas para algumas
questões”, como, por exemplo: A partir do triminó, existe somente uma
forma de reagrupar os quadrados? A resposta até o presente momento
170
é não.
Existe uma fórmula para encontrar o número de figuras de um
poliminó? A resposta novamente é não. A única coisa que sabemos é
que o número de figuras aumenta muito rápido toda vez que
acrescentamos um quadrado à figura anterior. Observa-se nesta
dimensão, que os poliminós vêm desafiando vários pesquisadores há
algum tempo, e quem sabe, muitas descobertas ainda irão surgir.
Os poliminós possibilitam o estudo de questões relacionadas à
Geometria, à Aritmética, à Álgebra e à Análise Combinatória. Também
desenvolvem a percepção espacial, o raciocínio lógico, a generalização
e o senso estético. Seu emprego é eficiente na compreensão e na
exploração de conceitos de semelhança, simetria, perímetro e área. O
material favorece, ainda, o desenvolvimento dos processos de
classificação, ordenação e descoberta de padrões. A construção de
diversas formas possíveis para cada tipo de poliminó conduz o aluno
de um critério inicial de tentativas aleatórias para um critério
consistente e ordenado.
171
EXPLORANDO OS PENTAMINÓS
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Conhecer os Poliminós.
Desenvolver a percepção espacial e raciocínio lógico.
Reconhecer figuras iguais obtidas por rotação.
Desenvolver o conceito de simetria.
Pré-requisitos Não existem pré-requisitos para essa atividade
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental.
Conteúdos
abordados
Construção de poliminós.
Metodologia Trabalho em dupla utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
No item a, o professor deverá deixar que os alunos, a
princípio, esgotem todas as possibilidades de obtenção de
um certo triminó. A partir daí, o professor poderá agrupar os
triminós iguais, que para os alunos eram diferentes, por
estarem em posições diferentes. Veja o exemplo abaixo:
Nessa questão, aluno deverá perceber que só é possível
montar 2 triminós sem que haja repetição. Aproveite, então,
para mostrar que poderão existir, no decorrer do
desenvolvimento da atividade, figuras iguais por rotação.
Uma vez esclarecidas as dúvidas é que o professor permitirá
aos alunos a continuação das demais atividades.
Estipular um tempo para cada item, que dará à atividade uma
perspectiva de competição que poderá motivar os alunos.
Atividade 01
172
Outras
possibilidades
O professor pode criar outros desafios envolvendo mais de
um poliminó na construção de figuras.
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
173
Para início de conversa...
Utilizando três quadrados com 5 cm de lado do conjunto de formas
geométricas, responda: quantos triminós podem ser montados?
Utilizando quatro quadrados com 5 cm de lado do conjunto de formas
geométricas, responda: quantos tetraminós podem ser montados?
Utilizando cinco quadrados com 5 cm de lado do conjunto de formas
geométricas, responda: quantos pentaminós podem ser montados?
Exercícios...
Você criou triminós, tetraminós e pentaminós. Qual desses poliminós
permitiu uma maior variedade de possibilidades quanto à sua
montagem? Justifique.
174
Desafio!
Quantas figuras podem ser criadas juntando um dominó com um
triminó? Utilize os quadrados de formas geométricas e depois desenhe-
as abaixo.
Fique atento para que você não repita as figuras quando
colocadas em posições diferentes.
.
175
ESTUDANDO CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO COM OS PENTAMINÓS
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos Desenvolver a percepção espacial e raciocínio lógico.
Identificar a relação entre o perímetro e a área de figuras
obtidas por ampliação.
Pré-requisitos Conceito de Perímetro e área.
Razão e proporção
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental.
Conteúdos
abordados
Figuras geométricas.
Cálculo de Perímetro.
Cálculo de Área.
Metodologia Trabalho individual utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Dar uma atenção maior aos itens b e c que exploram a razão
de proporcionalidade entre figuras semelhantes.
Estipular um tempo para cada item. Isso dará à atividade
uma perspectiva de competição que poderá motivar os
alunos.
As ilustrações servirão apenas como uma referência para o
aluno. Todo o trabalho deverá ser realizado com os
pentaminós do kit do laboratório de Matemática.
Outras
possibilidades
O professor poderá criar outros desafios envolvendo mais de
um poliminó na construção de figuras.
O professor poderá iniciar a atividade revisando o conteúdo
de semelhança de triângulos.
Atividade 02
176
Para início de conversa...
Os pentaminós tratam-se do caso especifico dos poliminós formados
por cinco quadrados de lados justapostos sem a formação de
“buracos”, possibilitando, assim, a formação de um total de doze peças
diferentes. Para facilitar sua utilização, cada pentaminó está
devidamente nomeado de acordo com a letra com a qual possui maior
semelhança, como mostra a figura abaixo:
.
a) Formar um retângulo de medidas 10 x 6, em sua mesa, com todos
os pentaminós acima descritos, sem faltar ou sobrar nenhum.
b) Escolha um dos pentaminós acima e, com as peças que sobraram,
reproduza na sua mesa o pentaminó escolhido com tamanho que seja
três vezes maior que o original. Para desenvolver essa atividade,
considere o lado do quadrado menor sendo uma unidade de
comprimento e a área do quadrado menor uma unidade de área.
Depois disso, responda:
Qual o perímetro do Pentaminó escolhido?
Qual o perímetro do Pentaminó ampliado ?
177
O que aconteceu com o perímetro quando você construiu uma figura 3
vezes maior ?
Quanto mede a área do Pentaminó escolhido?
Quanto mede a área do Pentaminó ampliado?
O que aconteceu com a área quando você construiu uma figura 3
vezes maior?
Exercícios...
Repita o procedimento do item b utilizando um Tetraminó qualquer,
analise os resultados e responda: Qual a relação entre o perímetro e a
área de uma figura e sua ampliação?
178
Desafio!
Use todos os doze pentaminós para formar um retângulo 5 x 13, cujo
centro tenha um furo com a forma de qualquer um dos pentaminós e
construa-o na sua mesa.
179
JOGANDO COM OS POLIMINÓS (ADAPTADO DO JOGO GOLOMB)
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Desenvolver a percepção espacial e raciocínio lógico.
Desenvolver o senso estético e a criatividade.
Pré-requisitos Conhecer os poliminós
Segmento Séries Finais do Ensino Fundamental.
Conteúdos
abordados
Formas geométricas.
Metodologia
(regra do Jogo)
Para se jogar, é necessário, no mínimo, uma dupla e, no
máximo, três jogadores, se for utilizada somente uma malha
8 x 8.
Orientações
complementares
Os alunos deverão, numa folha de papel ofício, desenhar
uma malha quadriculada 8 x 8 onde os quadradinhos
deverão ser iguais àqueles dos poliminós para que sejam
perfeitamente sobrepostos. O professor poderá, também,
imprimir essa malha quadriculada para os alunos, caso o seu
tempo seja restrito a uma aula.
Utilizando os triminós e pentaminós, o primeiro participante
escolhe uma das peças e coloca sobre o quadriculado do
tabuleiro. O segundo participante repete a operação, não
sendo permitido sobrepor partes das peças nem ultrapassar
as bordas dos tabuleiros. Os participantes alternam as
jogadas até que um deles fique impossibilitado de jogar,
sendo esse declarado perdedor.
Outras
possibilidades
O professor também poderá utilizar uma malha maior,
construída no quadro, por exemplo, dividir a turma em dois
grupos e propor uma competição.
É possível envolver outros poliminós no jogo.
Atividade 03
180
GEOPLANOS
Um pouco de história...
Criado por Caleb Gattegno, do Institute of Education London
University, em 1961, o geoplano é originalmente constituído de um
pedaço de madeira, com aproximadamente 20cm de largura e 20cm
de altura, com pregos cravados a meia altura formando um
quadriculado. A distância de um prego até o outro é sempre a mesma,
tanto na horizontal quanto na vertical.
A partir de Gattegno, muitos outros pesquisadores em Educação
Matemática utilizam o geoplano como uma forte ferramenta para o
ensino de Geometria plana elementar, para o ensino de frações,
dentre outros.
De acordo com Sabbatiello (1967) “o Geoplano é um modelo
matemático que permite traduzir ou sugerir ideias matemáticas”.
Pensando assim, entende-se que os chamados materiais concretos
são alternativas interessantes para que alunos formulem hipóteses,
troquem ideias, façam descobertas, ou seja, enriqueçam o momento
de aprendizagem.
A mesma autora indica que “em um sentido mais extenso o geoplano
constitui um suporte concreto da representação mental, um recurso
que leva à realidade ideias abstratas” (SABBATIELLO, 1967).
O geoplano recebe o nome de quadricular quando sua malha formada
181
por quadrados. Também podemos ter um geoplano com uma malha
formada por triângulos equiláteros, o qual é chamado isométrico. Já
se a malha for formada por circunferências concêntricas, chamamos
de geoplano circular.
Pensamos que a utilização do geoplano deve se dar como uma
ferramenta auxiliar no trabalho de Matemática, a partir de situações
que de fato sejam relevantes no e para o universo dos alunos.
As atividades podem ser trabalhadas em pequenos grupos ou
individualmente. Se o professor optar por um trabalho individual,
poderá confeccionar com os alunos seus próprios geoplanos. Tal
construção, por si mesma, já proporciona experiências geométricas
importantes, como o trabalho com os conceitos de medida,
perpendicularismo e paralelismo.
182
CALCULANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
CONVEXO
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo qualquer.
Identificar a relação entre a soma dos ângulos internos e o
número de triângulos obtidos no processo de decomposição.
Explorar a ideia de uma “regra” geral para a soma dos
ângulos internos em qualquer polígono convexo.
Pré-requisitos Soma dos ângulos Internos de um triângulo
Conceito de polígono convexo
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Soma dos ângulos Internos de um polígono convexo
Metodologia Trabalho em grupo ou individual utilizando abordagem
exploratório-investigativa
Orientações
complementares
É importante que o professor discuta com seus alunos sobre
a soma dos ângulos internos de um triângulo e sobre
polígonos convexos. Para isso, deixar os alunos inicialmente
manipulem o geoplano e nele construam diferentes
polígonos. A partir dessa construção, o professor poderá
diferenciá-los entre côncavos e convexos, a fim de um maior
conhecimento de suas características pelos alunos.
Ao final da atividade é interessante propor aos alunos que
façam a verificação da fórmula construída por eles. Para
isso, deverão, utilizando a fórmula encontrada calcular a
soma dos ângulos internos de um polígono arbitrário e,
recorrendo aos procedimentos realizados durante a
Atividade 01
183
atividade, confirmar sua veracidade e, consequentemente
seu acerto ou erro, induzindo questionamentos.
Outras
possibilidades
Pode-se realizar a mesma atividade também com o geoplano
circular. Para isso, construa polígonos sobre uma
circunferência e divida-o em triângulos a partir do ponto
central. (Ver figura abaixo). Após repetir esse procedimento,
construindo diferentes polígonos, espera-se que o aluno
chegue à conclusão de que a soma dos ângulos internos é
expressa por:
S= 180 x n – 360°
Onde:
S = Soma dos ângulos internos
n = número de lados
A seguir, encontra-se o Roteiro de atividades para os alunos.
184
Para início de conversa...
A figura mostra um Geoplano retangular onde foi construído um
polígono convexo de 6 lados. Após ser escolhido um vértice (nomeado
por “T”), foram traçados segmentos até os demais formando, assim, 4
triângulos.
185
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 1800,
construa a figura acima no seu geoplano e, após explorá-la, escreva
como é possível calcular a soma dos ângulos internos do polígono a
partir da partição da figura em triângulos.
Agora, pensando em sua dedução, você deverá construir no Geoplano,
um de cada vez, diferentes polígonos convexos cuja quantidade de
lados se inicie a partir de um que possua 4 lados. Após construir o
polígono pedido, escolha um de seus vértices, como feito na figura
acima e, a partir dele, trace segmentos de reta até os demais vértices
formando triângulos.
Exercícios...
Agora, seguindo o roteiro da tabela abaixo, construa cada um dos
polígonos pedidos e preencha a tabela:
POLÍGONO -
NÚMERO DE LADOS
NÚMERO DE TRIÂNGULOS
FORMADOS A PARTIR DE
UM VÉRTICE
SOMA DOS ÂNGULOS
INTERNOS
4 LADOS
5 LADOS
6 LADOS
7 LADOS
8 LADOS
Analisando os resultados, responda:
a) Você consegue descrever alguma relação entre o número de
lados do polígono, a quantidade de triângulos obtidos e a soma dos
ângulos internos desse polígono? Descreva-a.
186
b) Agora que você identificou a relação entre o número de lados,
número de triângulos possíveis e consequentemente a soma dos
ângulos internos, preencha a tabela abaixo sem realizar a partição da
figura no geoplano.
NÚMERO DE LADOS SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
10 LADOS
15 LADOS
Desafio!
Se o polígono tiver n lados, como você pode, a partir deste dado
calcular a soma dos ângulos internos? Escreva sua resposta.
Então, a partir do que foi pensado por você, construa uma fórmula que
permita calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo.
187
CONHECENDO E EXPLORANDO O PLANO CARTESIANO COM O
GEOPLANO
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Conhecer o sistema de coordenadas cartesianas.
Reconhecer valores de abscissa e ordenada.
Identificar pontos no sistema cartesiano.
Entender o significado da solução de um sistema de
equações do 1o grau com duas incógnitas.
Resolver um sistema de equações do 1o grau pelo método
gráfico.
Pré-requisitos Equações do 1 grau com uma incógnita.
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Plano cartesiano.
Sistemas de equações do 1 grau.
Metodologia Trabalho em duplas utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
É importante que o professor discuta com seus alunos sobre
sistema de coordenadas. Para isso, é sugerido que antes da
atividade os alunos brinquem com o jogo “Batalha Naval”.
Nele, os jogadores devem localizar objetos por meio de
coordenadas que, para as linhas e colunas, são dadas,
respectivamente, por números e letras, a fim de uma maior
familiaridade com esse sistema de coordenadas.
Aprofundar o estudo de equações do 1º Grau, envolvendo
duas incógnitas, deixando claro para o aluno que a solução
desse tipo de equação não se restringe a uma raiz, mas sim
um conjunto infinito de soluções, cada uma representado por
um par ordenado.
Atividade 02
188
Outras
possibilidades
É possível, utilizando o próprio geoplano como cartela e
atribuindo para as linhas e colunas respectivamente números
e letras, brincar de batalha naval, caso não seja acessível o
jogo propriamente dito. Localizar e esconder objetos em
posições que exigem um par de referências (horizontal e
vertical) é uma boa estratégia para introduzir a ideia de
coordenadas de um ponto.
No 9o Ano, o trabalho pode se utilizar o plano cartesiano
construído sobre o geoplano para representar o gráfico de
uma função afim.
É sugerido trabalhar com valores inteiros (valores discretos).
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
189
Para início de conversa...
Utilizando o geoplano e atilhos de borracha, reproduza o sistema de
coordenadas cartesianas. O eixo vertical, você deverá chamar de “Eixo
das ordenadas” (valores de Y), enquanto que o eixo horizontal será
chamado de “Eixo das abcissas” (valores de X). Sendo assim, todos os
pinos do seu geoplano representarão pontos que serão reconhecidos
por um par de coordenadas: P= (X, Y). Vale lembrar que a interseção
dos eixos X e Y é reconhecida pelo para ordenado P= (0, 0) e que
nessa atividade a numeração se dá por números inteiros. Sabendo
disso, localize os pontos no seu geoplano: A=(2, 3); B=(-1, 5); C=(0, 6)
e D=(-3, 0).
Exercícios...
Escreva algebricamente a expressão:
A soma de dois números, x e y, inteiros e positivos resulta em 5.
_________________________________
Para você, quantos pares de números inteiros e positivos satisfazem à
relação apresentada acima?
Utilizando a tabela abaixo, escreva 3 pares de números, x e y, inteiros
e positivos, que satisfaçam à referida relação.
x y
190
Utilizando o plano cartesiano construído no geoplano e considerando
os valores de x e y sendo coordenadas de pontos, identifique cada um
dos três pontos e, utilizando atilhos de borracha, construa a reta que
passa por esses três pontos. Você consegue identificar outros pontos
sobre essa reta? O que eles possuem em comum?
Agora, escreva algebricamente a expressão:
A soma de um número x inteiro e positivo com o dobro de y
também inteiro e positivo resulta em 8.
_________________________________
Para você, quantos pares de números inteiros e positivos satisfazem à
relação apresentada acima?
a) Utilizando a tabela abaixo, escreva 3 pares de números, x e y, inteiros e
positivos, que satisfazem a referida relação.
x y
Sem retirar os atilhos de borracha da expressão anterior, no seu
geoplano, identifique, agora, cada um dos três pontos identificados por
você na tabela acima e com atilhos de borracha represente a reta que
passa por esses três pontos.
191
Você consegue identificar o ponto de intersecção das duas retas?
Escreva-o: ( , ).
Quando duas equações de 1o grau com duas incógnitas são
escritas ligadas pelo conectivo e, dizemos que há um sistema de
duas equações do 1o grau com duas incógnitas.
Você, nos itens anteriores, escreveu duas equações do 1o grau com
duas incógnitas, x e y. Assim, com suas duas equações, monte agora
um sistema.
_____________________________ e ___________________________
(Escreva aqui a equação do exercício 1) (Escreva aqui a equação do exercício 2)
Considerando que a solução de um sistema de duas equações de 1o grau
com duas incógnitas, é um par de valores que atenda as duas equações
simultaneamente. Você consegue, com as tabelas de possíveis valores que
você construiu nos itens anteriores identificar a solução do sistema acima?
Existe alguma relação entre a solução do sistema e o ponto de
intersecção das retas? Justifique sua resposta.
192
Desafio!
Resolva agora, o seguinte sistema de equações do 1o grau com duas
incógnitas, utilizando também seu geoplano. No final, represente o que
encontrou no sistema cartesiano abaixo:
2x + y = 10 e x – y = 2
x y
193
UTILIZANDO O GEOPLANO PARA O ESTUDO DE ÁREAS
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Desenvolver o cálculo por estimativa.
Construir, a partir de experimentações, a fórmula para
cálculo da área de um triângulo.
Pré-requisitos Conceito de área.
Conceito de Polígono.
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Área de figuras planas
Metodologia Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Conversar com o aluno sobre a importância do cálculo de
área por estimativa, considerando que nem sempre os
instrumentos de medida são precisos e/ou as áreas medidas
são irregulares, por exemplo.
É importante salientar que cada quadrado menor do
geoplano representa uma unidade de área. Fica a critério do
professor estabelecer qual unidade será usada (cm², m², km²
ou outras) .
Sugere-se que os problemas sejam resolvidos sem a
utilização de fórmulas.
Outras
possibilidades
É possível, no decorrer da atividade, explorar o conceito de
perímetro. Porém, se faz necessário ter a certeza de que o
aluno já domine o Teorema de Pitágoras, caso haja figuras
que utilizem segmentos diagonais.
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
Atividade 03
194
Para início de conversa...
Construa no geoplano os polígonos abaixo e estime sua área, inserindo
os valores correspondentes na tabela abaixo:
195
FIGURA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ÁREA
FIGURA 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ÁREA
Construa no geoplano os triângulos abaixo representados. Estime a
área de cada um, identificando a sua base e a sua altura. Complete a
tabela a seguir:
FIGURA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
BASE
ALTURA
ÁREA
196
Exercícios...
Agora responda:
Você consegue identificar uma relação entre a base e a altura dos
triângulos e as suas respectivas áreas? Descreva-a.
Atribuindo para a área, altura e base símbolos respectivamente iguais
a A, h e b, construa uma fórmula a partir da descrição realizada por
você.
São apresentados abaixo cinco triângulos diferentes. Compare suas
áreas, escreva a relação entre elas. Eles possuem a mesma área?
Justifique sua resposta.
197
Desafio!
Utilizando o geoplano para fazer as experimentações necessárias,
verifique se a afirmação abaixo é verdadeira.
“Dado um triângulo qualquer, se fixarmos a base e aumentarmos a
altura em 1 unidade de comprimento, a área do novo triângulo
ficará aumentada de 1 unidade de área”.
Caso a afirmação não seja verdadeira, reformule-a mantendo a
hipótese de que a base é fixa e a altura aumenta em 1 unidade.
198
FÓRMULA DE PICK
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Construir, a partir de experimentações, a fórmula para
cálculo da área de um POLÍGONO QUALQUER no geoplano
quando dele se conhece a quantidade de pontos da fronteira
e a quantidade de pontos no seu interior.
Pré-requisitos Conceito de área.
Conceito de Perímetro.
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Área de figuras planas
Metodologia Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Realizar previamente um trabalho que contemple conceitos
de área e perímetro
Outras
possibilidades
É possível aplicar a atividade em qualquer série do Ensino
Médio.
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
Atividade 04
199
Para início de conversa...
A fórmula de PICK nos permite calcular a área de um polígono
qualquer quando conhecemos a quantidade de pontos situados na
periferia da figura e a quantidade de pontos no interior dela.
Por exemplo:
A figura abaixo é um polígono constituído por 6 lados (hexágono) que
apresenta 8 pontos em sua periferia e 1 ponto interno.
Na figura tomada como exemplo fica fácil identificar que sua área vale
4 unidades, como indicado abaixo.
200
Exercícios... Deduzindo a fórmula de PICK.
Para chegar a essa regra geral, vamos lhe dar uma pequena ajuda.
São apresentadas abaixo figuras com 8 pontos na fronteira e 0, 1 e 2
pontos internos respectivamente. Calcule a área de cada uma dessas
figuras, considerando cada quadrado menor uma unidade, e anote os
resultados encontrados.
,
Pontos na fronteira 8 8 8
Pontos no interior 0 1 2
Área
Realize, agora, outros experimentos, modificando a quantidade de
pontos da periferia e internos. Procure nas análises e dados obtidos
com essas figuras, encontrar algum padrão que possa te levar a uma
generalização, ou seja, procure verificar a relação que há entre a
quantidade de pontos que a figura apresenta em sua periferia, a
quantidade de pontos no seu interior e sua área. Agora descreva suas
observações abaixo:
201
Desafio!
Representando cada uma dessas grandezas pelos símbolos: P (pontos
da periferia); p (pontos internos) e A (área), escreva a fórmula de PICK.
202
REFLETOR
GEOMÉTRICO
Um pouco de história...
Um dos mais importantes objetos mágicos a ser considerado é o espelho. Dada a sua
particularidade de refletir imagens, perfeitas ou deformadas, iluminadas ou na
penumbra, no espelho colhemos aquilo que somos, bem como tudo aquilo que
deixamos de ser. Segundo tradições esotéricas orientais e ocidentais, o espelho é
instrumento da iluminação.
Na verdade, ninguém sabe com exatidão qual a origem do espelho. Sabe-se, é claro,
que está atrelada à descoberta do vidro, a qual, segundo Plínio (23-79 d.C.), ocorreu
primeiramente entre os fenícios. Achados arqueológicos, entretanto, revelam contas de
vidro manufaturadas, fabricadas pelos egípcios antes mesmo de 3000 a.C., na
transição da idade do cobre para a do bronze. Acredita-se que os egípcios já
dominassem a técnica de soprar o vidro por volta de 1400 a.C., a partir da 18ª dinastia.
Vale lembrar, ainda, que o corpo de Ramsés II, que reinou de 1290 a 1224 a.C., foi
encontrado pelo arqueólogo Gaston Maspero, em 1886, em um cofre de vidro.
Certo também é que fenícios e egípcios fabricavam espelhos de bronze desde 2000
a.C. O espelho foi imortalizado em vários contos de fadas, ganhando maior destaque na
história de Branca de Neve, na qual a bruxa-madrasta tem o poder de invocar o gênio
do espelho, que lhe permite saber tudo o que ocorre à sua volta.
O material Refletor Geométrico proporciona, a partir das propriedades dos espelhos
planos, a obtenção dos polígonos regulares cujo numero de lados depende do ângulo
formado pelos dois espelhos.
203
CONSTRUINDO POLÍGONOS COM ESPELHOS
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Inserir o transferidor no ambiente escolar.
Definir o que são polígonos regulares.
Identificar polígonos de acordo com o número de lados
Pré-requisitos Diferentes tipos de triângulos
Conceito de ângulo e sua medição com o transferidor.
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Polígonos regulares.
Ângulo central de um polígono regular.
Metodologia Trabalho em dupla utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Algumas ilustrações são resultados obtidos na ocasião que a
atividade foi aplicada experimentalmente.
Antes de iniciar a atividade, o professor deverá ensinar e/ou
revisar com o aluno sobre a medição de ângulos com o
transferidor.
Outras
possibilidades
É possível, explorar o conceito de simetria e reversão de
imagens e número de imagens conjugadas por uma
associação de espelhos planos.
O professor poderá, ainda, montar um refletor geométrico
com a utilização de papelão dobrado ao meio como base
para os espelhos, compensado com dobradiças etc.
A seguir, roteiro para o professor da atividade proposta.
Atividade 01
204
Forneça ao aluno uma folha de ofício com o desenho de um triângulo
equilátero, conforme o modelo abaixo.
Triangulo Equilátero
Peça ao aluno que posicione os espelhos de maneira que a abertura
dos mesmos coincida com as laterais do triângulo. Veja a figura abaixo.
Peça ao aluno que observe o que acontece, e após discussão em sala de aula,
peça aos alunos para responder o roteiro de atividade, a seguir.
205
Para início de conversa...
Após executar os passos pedidos pelo seu professor e com a
discussão em sala de aula, com sua dupla, responda:
a) Que figura que se formou? Quantos triângulos há nela?
b) Diminua, então, a abertura dos espelhos. O que você observa?
Agora, utilizando seu transferidor e ainda mantendo o eixo dos
espelhos sobre o vértice do seu triângulo, crie ângulos entre os
espelhos seguindo o roteiro da tabela e preencha-a:
Ângulo entre os dois espelhos (Ângulo central do Polígono regular)
Polígono regular observado
600
450
400
Decágono
Duodecágono
206
Exercícios... Para pensar: Sabendo que uma volta completa corresponde a uma
abertura de 360o, é possível antecipar o tipo de polígono que será
gerado quando conhecemos o ângulo formado pelos espelhos? De que
forma?
Agora abra os espelhos em 35o. O que você observa? Explique o
resultado.
Desafio!
Um produtor de teatro deseja filmar uma cena com 12 dançarinos.
Porém, só dispõe de duas bailarinas e dois grandes espelhos planos.
Como ele deve proceder para que consiga atingir seu objetivo? Faça
um desenho ilustrando a sua solução e descreva o que você pensou.
207
BALANÇA ALGÉBRICA
Um pouco de história...
As balanças tiveram origem na antiga civilização egípcia, em torno de 5000
a.C. Este aparelho é destinado a determinar a massa dos corpos ou, como
se diz em linguagem comum, para "pesá-los".
Balanças existem dos mais diversos tipos, cada uma com certa
sensibilidade, capaz de assimilar pequenas variações de massa.
As balanças possuem diversas características, como:
Sensibilidade - uma das mais importantes características, diz-se que uma
balança é sensível ao miligrama quando, por exemplo, a massa de um
miligrama em um dos pratos consegue provocar o desequilíbrio, inclinando-
o para o lado.
Fidelidade - é ter o mesmo resultado sempre que medir a mesma massa.
Temos que observar que o resultado da pesagem não seja influenciado pela
posição do corpo no prato da balança.
Justeza - existe sempre equilíbrio quando se colocam massas iguais nos
dois pratos, quando temos braços iguais.
A manipulação dos elementos da balança algébrica fornece uma base
experimental para o desenvolvimento de ideias abstratas. O seu uso em
tarefas cooperativas de grupo incentiva as crianças a explorar, discutir e
fazer conjeturas. Os alunos poderão, aqui, representar fisicamente
equações e resolvê-las. A balança algébrica explora a noção de equilíbrio
físico e a sua metáfora, na resolução de equações. Metáfora que, em
208
particular, permitirá aos alunos desenvolverem estratégias para a resolução
de equações.
A balança algébrica é composta de “pesos” e pinos. As primeiras atividades
devem objetivar a compreensão do funcionamento da balança, ou seja,
onde devemos colocar pesos usando os dois braços da balança para obter
o equilíbrio.
Após o aluno ter compreendido essa ideia, ou seja, o funcionamento da
balança e as condições de equilíbrio, o professor poderá propor as outras
atividades.
209
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 1O GRAU: INCÓGNITA COM COEFICIENTE
UNITÁRIO
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Facilitar a compreensão de uma estrutura algébrica
Compreender o conceito de raiz de uma equação.
Pré-requisitos Operações básicas
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Cálculo da raiz de uma equação do 1o grau.
Metodologia Trabalho em dupla utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Numerar os pinos adotando o eixo de rotação (pino central)
como zero (0) e, partir dele, numerar de 01 a 10 para direita
e de 01 a 10 para esquerda.
Através da manipulação, faça o aluno perceber que os
corpos de cores diferentes possuem massas diferentes.
Permita que os alunos resolvam os problemas algébricos
testando hipóteses para os valores das incógnitas. Isso lhes
dará familiaridade com o comportamento da balança e suas
relações com a Matemática.
Mesmo que os alunos já obtenham as respostas corretas
com o teste de hipóteses (uma estratégia aritmética),
incentive-os a escrever equações sobre o comportamento da
balança (uma estratégia de modelagem algébrica).
Peça-os para registrarem todos os tipos de expressões
produzidas.
Cada aluno ou dupla deve ser convidado(a) para apresentar
sua equação, explicando os detalhes de como a construiu.
Atividade 01
210
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
Isso pode tomar muito tempo da aula, mas o
desenvolvimento dessa capacidade de construir argumentos
para defender ideias é muito importante.
A resposta correta não precisa ser alcançada já no primeiro
problema. Aliás, uma resposta correta não indica
necessariamente que um aluno pensou “mais corretamente”
do que outro que deu uma resposta errada. Portanto, planeje
vários problemas e muitas situações, nas quais os alunos
possam, gradualmente, exercitar sua capacidade de
construir representações matemáticas e defender seus
pontos de vista.
Antes de iniciar a parte 2 da atividade, certifique-se de que o
aluno tenha entendido a relação entre as massas dos corpos
amarelo e vermelho (3:1).
Outras
possibilidades
O professor pode estender a atividade, por meio de
interdisciplinaridade, dando um maior significado a ela,
aplicando-a no estudo de alavancas inter-fixas.
211
Parte 01
Para início de conversa...
a) Equilibre a balança colocando dois corpos de mesma cor, um de
cada lado. Existe uma única possibilidade (posição) de equilíbrio?
Investigue outras e anote a condição para que ocorra o equilíbrio.
b) Equilibre a balança utilizando três corpos de mesma cor: um de um
lado e dois do outro. Lembre-se de que é possível colocar mais de um
corpo em um mesmo gancho da balança algébrica. Investigue outras
possibilidades e anote a condição para que ocorra o equilíbrio.
c) Usando dois corpos de mesma cor, coloque um deles no pino 05 em
um dos lados da balança. Coloque outro no pino 02 do outro lado e
verifique se foi estabelecido o equilíbrio. Comente e anote suas
observações.
212
d) Agora você deverá colocar um terceiro corpo de mesma cor que os
dois anteriores e, com ele, estabelecer o equilíbrio. Você seria capaz
de explicar o porquê de isso ter acontecido?
Exercícios... Qual a relação, na sua opinião, entre o que você verificou e a equação:
X + 2 = 5
Na equação acima, o termo x, por ser desconhecido, é chamado de incógnita da
equação. Chamamos de raiz da equação o valor numérico encontrado para x.
Sabendo disso, qual é a raiz da equação que você acabou de resolver
utilizando a balança algébrica?
Agora, usando novamente a balança algébrica, calcule a raiz da
equação: x + 3 = 9. O valor da raiz da equação é: x = _______
Desafio!
Converse com sua dupla sobre as atividades desenvolvidas e crie novas
equações com suas devidas raízes.
213
Parte 02
Para início de conversa...
a) Equilibre a balança com um corpo vermelho e outro amarelo, um de
cada lado. Comente e anote suas observações.
b) Com a balança em equilíbrio, troque o corpo vermelho por corpos
amarelos. Quantos corpos amarelos devem substituir o vermelho para
manter a balança em equilíbrio? Identifique quantos corpos amarelos
equivalem a um vermelho.
c) Recoloque o corpo vermelho no lugar dos amarelos. Identifique a
posição de cada um e escreva a relação que há entre as massas dos
corpos vermelhos e amarelos e a posição que devem ocupar para
estabelecer o equilíbrio. Comente e anote suas observações.
d) Coloque um corpo vermelho no pino 02 da balança algébrica. Qual
deve ser a posição do pino amarelo para se estabelecer o equilíbrio?
214
Exercícios... Agora, perceba a seguinte igualdade:
2 x 3 = 6 x 1
Identifique o que representam os algarismos 2, 3 e 6 e 1 dessa
igualdade com as posições ocupadas e as massas dos corpos amarelo
e vermelho.
2 x 3 = 6 x 1
Desafio!
Agora, utilizando quatro corpos amarelos colocados na posição 6 de um
dos braços da balança algébrica, queremos saber a posição em que
deve ser colocado um corpo de massa vermelho para estabelecer o
equilíbrio. Adotando tal posição como incógnita (X), escreva a equação
algébrica referente ao problema e identifique sua raiz.
2x + 4 = 6
2x + 2 = 10
3x + 2 = 2x + 4
215
TANGRAM
Um pouco de história...
O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5
triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Com essas peças,
podemos formar várias figuras, utilizando todas elas sem sobrepô-las.
Não se sabe ao certo como surgiu o Tangram, apesar de haver várias
lendas sobre sua origem e o seu nascimento no mundo dos mortos.
Uma delas diz que uma pedra preciosa de toque se desfez em sete
pedaços, e com elas era possível formar várias formas, tais como
animais, plantas e pessoas. Outra diz, ainda, que um imperador
deixou um espelho quadrado cair, e este se desfez em 7 pedaços que
poderiam ser usados para formar várias figuras,de diversas formas,
jeitos e cores.
Enquanto uns afirmam que o nome Tangram vem da palavra inglesa
"tangam", de significado "misturas" ou "desconhecidos". Outros dizem
que a palavra vem da dinastia chinesa Tang, ou até do barco cantonês
"bundumocu", onde mulheres entretinham os marinheiros americanos.
Na Ásia o jogo é chamado de "300 placas".
O Tangram é considerado como parte da categoria quebra-cabeças,
mas convém analisar algumas diferenças. Enquanto os quebra-
cabeças tradicionalmente conhecidos são compostos por várias partes
que, quando coordenadas, possibilitam a construção de uma figura,
sendo que cada uma das peças ocupa sempre a mesma posição e
216
tem, portanto, um lugar definido e uma relação de vizinhança única
entre si, o Tangram difere desses aspectos quanto à estrutura, pois
possui um número reduzido de peças e um lugar variável para a
colocação de cada uma delas, dependendo da figura a ser construída.
Nesse jogo, são muitas as possibilidades de disposição espacial de
uma peça, especialmente se forem observadas as diferentes
combinações em relação às outras.
O tangram utilizado em aulas de Matemática estimula os alunos a
desenvolverem a criatividade e o raciocínio lógico, habilidades
essenciais no estudo da disciplina.
217
CONHECENDO O TANGRAM
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Identificar, nas peças do tangram, figuras da geometria
plana.
Pré-requisitos Conhecer figuras da Geometria plana
Segmento Séries iniciais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Figuras planas
Metodologia Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Estipular o tempo e sugerir uma competição pode tornar a
atividade mais atraente para o aluno.
Outras
possibilidades
Pode-se pedir para construir outra figura com as peças do
tangram, ou seja, não tem que ser necessariamente o
quadrado.
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
Atividade 01
218
Para início de conversa...
Você agora está participando de uma competição e precisará ser
rápido no pensar e agir.
Só comece cada um dos exercícios quando o seu professor autorizar. Em
cada um dos exercícios abaixo, você deverá, então, assim que terminar, avisar o
professor.
Exercícios...
a) Construa, na sua mesa, um quadrado utilizando, para isso, duas
peças do seu Tangram.
b) Agora, construa um quadrado usando três peças.
c) Com quatro peças você precisa montar um quadrado. Como você
conseguiria resolver esse problema? Monte na sua mesa o que pensou.
d) Em qual desses exercícios você encontrou maior dificuldade? Por
quê?
Desafio!
Agora, para mostrar que você é fera, monte um quadrado com todas as
cinco peças do seu Tangram.
219
UTILIZANDO O TANGRAM PARA CÁLCULO DE ÁREA POR ESTIMATIVA
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Estimar valor de área.
Representar uma parte por meio de fração.
Representar em forma percentual uma fração qualquer.
Desenvolver formas de raciocínio matemático.
Desenvolver e/ou aprimorar métodos de cálculos mentais.
Pré-requisitos Operações básicas.
Identificar e nomear polígonos.
Área de figuras.
Cálculo de porcentagem.
Segmento Séries finais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Fração
Área de Figuras planas.
Porcentagem
Metodologia Trabalho individual ou em grupo utilizando abordagem
exploratório-investigativa
Orientações
complementares
O professor deverá deixar que cada aluno desenhe sua
própria malha quadriculada. Fazendo isso, ele estará
utilizando conceitos importantes, como, por exemplo,
paralelismo, perpendicularidade e regularidade.
Outras
possibilidades
Após realizar a atividade, é possível aumentar sua
complexidade sobrepondo sobre a malha figuras quaisquer e
pedir ao aluno que estime sua área.
Atividade 02
220
Professor:
O tangram recebido por cada aluno/grupo possui lado medindo 15 cm.
Peça aos alunos que construam no papel A4 uma malha quadriculada
com lados medindo 1 cm. A distribuição, então, ficará conforme mostra
a figura abaixo:
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
221
Para início de conversa...
a) Construa a malha quadriculada em uma folha de papel A4, seguindo
as orientações do seu professor.
b) Agora, monte seu tangram sobre essa malha quadriculada produzida
por você, de modo que não sobrem peças, nem que elas se
sobreponham, nem que as peças saiam da margem de sua malha.
c) Sabendo que cada quadradinho possui área de 1cm2, preencha a
tabela com os dados das sete peças que compõe seu tangram. (você
deverá fazer estimativas para preencher a tabela, e poderá encontrar
valores fracionários).
Peça ( desenho) Área Fração Percentual
222
Exercícios... a) Some os valores das áreas referentes a cada peça. Você concorda
com o resultado encontrado? Comente sua resposta.
b) Some os valores fracionários referentes a cada peça. Você concorda
com o resultado encontrado? Comente sua resposta.
c) Some os valores percentuais referentes a cada peça. Você concorda
com o resultado? Comente sua resposta.
Desafio!
Construa, com três peças que você desejar do seu Tangram uma figura
cuja área seja correspondente a, aproximadamente, 38% da área de
sua malha quadriculada. Descreva abaixo o seu raciocínio.
223
ALVO
Um pouco de história...
O arco e flecha, também conhecido como tiro com arco, surgiu na pré-história
para uso na caça e em guerras, onde foi intensamente utilizado até a invenção
das armas de fogo. Hoje é um esporte olímpico que tem como objetivo atingir o
centro do alvo. Foi no século XVI que a prática passou a ser vista como um
esporte, com competições semelhantes às atuais. O mais antigo torneio ocorreu
na Inglaterra de 1673, em Yorkshire.
A modalidade foi introduzida nos Jogos Olímpicos modernos em 1900, sendo
disputado até 1920 (exceto em 1912), com provas muito diversas. A discrepância
entre as regras aplicadas nos diferentes países fez com que a modalidade ficasse
ausente do evento por várias décadas. A partir de 1972, em Munique, com a
adoção das regras da Federação Internacional de Tiro com Arco (FITA), o esporte
voltou aos Jogos onde continua presente até os dias atuais, apenas no individual
até 1984, passando, a partir de 1988, a incluir a disputa por equipes. Nos Jogos
Olímpicos jogam-se quatro eventos de tiro com arco, todos realizados ao ar livre,
utilizando um arco recurvo na distância de setenta metros.
A Coreia do Sul é o país com maior tradição olímpica do Arco e Flecha. Desde os
jogos de 1984, este país conquistou 16 das 26 medalhas de ouro no esporte. Em
Pequim, em 2008, os atletas sul-coreanos estabelecerem cinco novos recordes
olímpicos, um recorde mundial, e conquistaram sua sexta medalha de ouro
consecutiva na competição por equipes femininas, além da terceira consecutiva
por equipes masculinas.
Apesar de o alvo não ser um material didático matemático, entende-se que a sua
utilização poderá beneficiar o entendimento acerca do Sistema de Numeração
Decimal de forma prazerosa para o aluno.
224
PROBLEMAS ENVOLVENDO TIRO AO ALVO
Exemplo de situação-problema a ser passada aos alunos:
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal
explorando situações-problema que envolvam contagem.
Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos,
no Sistema de Numeração Decimal.
Pré-requisitos Conhecer numeração até centenas
Segmento Séries iniciais do Ensino Fundamental
Conteúdos
abordados
Sistema de Numeração Decimal
Operações de Adição e Subtração.
Metodologia
Trabalho em dupla utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Antes do início da atividade, o professor deverá realizar uma
breve explicação sobre o material a ser utilizado, utilizando o
alvo maior e o quadro magnético, presentes no material de
laboratório de Matemática.
No momento de resolver os problemas, realizar o mínimo de
intervenções e deixar que as duplas discutam suas soluções.
Outras
possibilidades
Na falta desse material didático no laboratório de
Matemática, o professor poderá produzir seu próprio alvo em
materiais diversos, como EVA, cortiça, por exemplo, ou
mesmo desenhá-lo no quadro.
A atividade pode ser desenvolvida fazendo o registro da
pontuação no ábaco.
O professor poderá iniciar a atividade discutindo primeiro o
problema com os alunos, a fim de tentar facilitar o
entendimento da questão.
O professor deverá propor outros problemas com a mesma
estrutura da apresentada no exemplo a seguir.
Atividade 01
225
Uma pessoa obteve 113 pontos acertando 5 dardos. Marque, no alvo a
seguir, as posições dos dardos para obter esta pontuação.
Espera-se que o aluno perceba que na notação do próprio número
já estão explícitas as posições das flechas: 1 flecha na casa dos
100, 1 flecha na casa dos 10 e 3 flechas na das unidades.
A seguir o Roteiro de atividades para ser trabalhado com os alunos.
226
Para início de conversa...
Uma pessoa obteve 231 pontos acertando 6 dardos. Marque no alvo a
seguir as posições dos dardos para obter essa pontuação.
Exercícios... a) Qual a maior pontuação possível de se obter acertando 3 flechas no
alvo? Justifique sua resposta.
b) Qual a menor pontuação possível de se obter acertando 3 flechas no
alvo? Justifique sua resposta.
c) Quantas são as pontuações possíveis com 5 flechas acertando o alvo ?
Liste-as.
227
d) Você consegue encontrar alguma relação entre os algarismos que
compõem esses números? Escreva-a.
Desafio!
Seria possível, acertando cinco dardos, obter 312 pontos? Justifique
sua resposta. Em caso positivo, desenhe o alvo indicando como
ficariam os dardos no alvo e, em caso negativo desenhe o alvo com a
pontuação mais próxima de 312 possível.
228
ÁBACO DE PINOS
Um pouco de história...
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com
bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes,
cada um, a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os
elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar
livremente. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500
anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se
contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal,
atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para
ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.
Como foi exposto, segundo muitos historiadores, o ábaco foi criado na
Mesopotâmia, pelo menos em sua forma primitiva mas, foram os chineses e
romanos que o aperfeiçoaram.
O instrumento seria uma tábua de argila sobre a qual se espalhava um pouco
de areia, serragem ou cal para permitir que se desenhasse sobre ela com um
bastão.
Acredita-se que daí originou-se a palavra ábaco, cuja forma em latim abacus,
viria do grego abakos. Esta era um derivado da forma genitiva abax (lit. tábua
de cálculos). Porque abax tinha também o sentido de tábua polvilhada com
terra ou pó, utilizada para fazer figuras geométricas. Alguns linguistas
especulam que tenha vindo de uma língua semítica (o púnico abak, areia, ou o
hebreu ābāq (pronunciado a-vak, areia).
229
ADIÇÃO COM ÁBACO DE PINOS
A seguir as orientações para o professor trabalhar com o ábaco de
pinos com seus alunos.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Objetivos
Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal
explorando situações-problema que envolvam contagem
através do ábaco de pinos.
Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos
no Sistema de Numeração Decimal.
Compreensão e aprendizado das operações: adição e
subtração.
Pré-requisitos Conhecer numeração até centenas
Segmento Séries iniciais do Ensino Fundamental.
Conteúdos
abordados
Sistema de Numeração Decimal
Operações de Adição e Subtração.
Metodologia
Trabalho em dupla utilizando abordagem exploratório-
investigativa
Orientações
complementares
Antes do início da atividade, o professor deverá realizar uma
breve explicação sobre o funcionamento do ábaco,
destacando o valor posicional dos algarismos.
No momento de resolver os problemas, realizar o mínimo de
intervenções e deixar que as duplas discutam suas soluções.
Outras
possibilidades
É possível trabalhar a mesma atividade utilizando tampinhas
de cores diferentes ou outro material alternativo. Fazendo
isso, o professor poderá trabalhar com um ábaco por aluno.
O professor poderá trabalhar com outros valores posicionais,
de acordo com a necessidade dos alunos, ampliando para
unidades, dezenas e centenas de milhar, por exemplo.
Atividade 01
230
Orientações para o trabalho com ábaco de pinos
Divide-se os alunos em duplas, cada dupla deverá conjecturar como
representa um número no ábaco. A única coisa que deve ser passada
para os alunos é que os PINOS representam as unidades, dezenas,
centenas e unidade de milhar, da esquerda para direita,
respectivamente.
A partir daí, o professor dita um número e os alunos têm que
representar nos seus ábacos.
O professor propõe algumas somas de duas parcelas de modo que a
soma dos algarismos de cada ordem não ultrapasse 9 unidades (isto é,
não haja reserva ou o famoso “vai um). Os alunos expõem as suas
conclusões e o professor introduz como faz a adição no ábaco.
Além disso, o professor deve chamar atenção para o fato dos
algarismos da mesma ordem ocuparem a mesma posição, isto é,
unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas.
A seguir os alunos são questionados sobre como agiriam se a soma
dos algarismos de uma ordem ultrapassasse nove unidades. Neste
momento é preciso lembrar que:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar
A partir daí, o professor deverá escrever no quadro algumas somas com
reserva e deixar que as duplas discutam a solução.
231
SUBTRAÇÃO COM ÁBACO DE PINOS
A grande questão envolvida nas técnicas da subtração são as trocas
entre ordens, pois, nos algoritmos, dez unidades são trocadas por uma
dezena, dez dezenas por uma centena e vice-versa, traduzindo a
essência do sistema de numeração decimal.
As subtrações serão propostas com um nível de dificuldade crescente.
O professor lança uma subtração, utilizando apenas uma parcela aos
alunos. Depois de um tempo estipulado, os alunos expõem as suas
conclusões e o professor introduz como faz a subtração no ábaco.
Depois que eles resolveram a atividade anterior, o professor muda o
problema inicial, com a utilização de algarismos com duas ordens,
necessitando de decomposição do número (“pegar emprestado”). E faz
as seguintes perguntas aos alunos: Como é que o problema novo
difere do primeiro? O que acontecerá quando estivermos a resolver o
segundo problema?
Neste momento, os alunos devem se lembrar que nas atividades de
adição tinham muitas unidades, e naquela situação compuseram as
unidades em dezenas. Então, o professor levanta a seguinte questão:
O que podemos fazer quando não temos unidades que chegam?
Podemos decompor uma dezena de novo em unidades e desse modo
introduzimos o conceito de decompor uma unidade de ordem superior
em 10 unidades de ordem inferior. Assim, “ao usar o conceito de
decompor uma unidade de ordem superior, o procedimento da
subtração é explicado de um modo que mostra a sua ligação com a
operação da adição. Fornece um apoio conceitua maior para a
aprendizagem da subtração e reforça a aprendizagem anterior dos
alunos.” Depois de ter discutido com os alunos sobre a subtração com
reagrupamento, o professor deverá passar no quadro algumas
operações de subtração. Utilizando o Ábaco, cada dupla deverá
resolver o Roteiro de atividades a seguir:
232
SITUAÇÕES-PROBLEMA
Utilize o ábaco para resolver as seguintes situações-problema:
01. EM UM ÔNIBUS CABEM 35 PESSOAS SENTADAS E 20 PESSOAS EM PÉ. QUANTAS
PESSOAS CABEM DENTRO DESTE ÔNIBUS?
02. LUIZA TEM 40 PAPÉIS DE CARTA E MARINA TEM 60. QUANTOS PAPÉIS DE
CARTA MARINA TEM A MAIS QUE LUIZA?
03. NADINE E NATÁLIA RESOLVERAM FAZER UMA VIAGEM PARA CONHECER ALGUMAS
CIDADES DO ESTADO DO ESPÍRITO SANTO. SAÍRAM DE CACHOEIRO E FIZERAM O
ROTEIRO A SEGUIR:
CACHOEIRO – VENDA NOVA=86 KM
VENDA NOVA – VITÓRIA= 113 KM
VITÓRIA – LINHARES= 236 KM
QUANTOS QUILÔMETROS ELAS PERCORRERAM NESSA VIAGEM?
233
REFERÊNCIAS
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação
matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3 ed.rev. Campinas, SP:
Autores Associados, 2006. 227 p.
LORENZATO, S. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos
manipuláveis. In: LORENZATO, Sérgio (Org). Laboratório de Ensino de
Matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados,
2006. p.3-38.
LORENZATO, Sérgio (Org). O laboratório de ensino de matemática na
formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
(Coleção Formação de Professores). 178p.
PEREZ, G; TURRIONI, Ana Maria Silveira. Implementando um laboratório de
educação para apoio na formação de professores Matemática. In:
LORENZATO, Sérgio (Org). Laboratório de Ensino de Matemática na
formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p.57-76.