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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEM ÁTICA

SOBRE O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS: (re)significando conceitos, propriedades e operações por meio de construções e

interpretações geométricas

Révero Campos da Silva

Belo Horizonte 2008

Révero Campos da Silva

SOBRE O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS: (re)significando conceitos, propriedades e operações por meio de construções e

interpretações geométricas Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática. Orientadora: Dra. Eliane Scheid Gazire

Belo Horizonte 2008

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Silva, Révero Campos da S586s Sobre o ensino dos números complexos: (re)significando conceitos, propriedades e operações por meio de construções e interpretações geométricas / Révero Campos da Silva . Belo Horizonte, 2008. 186f. Orientadora: Eliane Scheid Gazire Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. 1. Números complexos – Estudo e ensino. 2. Prática de ensino. 3. Aprendizagem cognitiva. 4. Desenho geométrico. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 511.6

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Dedico, com amor, ao olhar inocente e acolhedor do meu filho,

Fabrício Ribeiro Campos, que tem me ensinado sobre o tipo de

pai que quero ser e, com ternura, soube respeitar meus

momentos de distanciamento, com um sorriso de anjo.

AGRADECIMENTOS

Nesta vida, Deus utiliza algumas pessoas para nos possibilitar a superação de

dificuldades e a realização de sonhos. O esforço dedicado ao cumprimento das atividades do

mestrado e à produção dessa dissertação demandou muito trabalho, mas que se tornou mais

leve e fecundo devido à rede de colaborações estabelecida. Àquelas pessoas que, de diferentes

maneiras, contribuíram para que eu vencesse mais esta etapa em minha vida, meus

agradecimentos sinceros.

À Professora Dra. Eliane Scheid Gazire que, com muita competência, orientou este

trabalho de pesquisa, sugerindo, de forma segura, esclarecedoras leituras e que com sua

paciência e tolerância soube, sabiamente, respeitar minhas limitações, minha aprendizagem e

meu “tempo” de produção escrita. A ela reservo o meu reconhecimento, esperando ter

correspondido à confiança depositada. Obrigado por ter acreditado em mim!

Aos professores do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática,

pelo aprendizado que me foi proporcionado, por meio da convivência, da leitura, do estudo e

da reflexão.

Aos amigos-professores Luly Rodrigues e Maria José de Paula, pela leitura cuidadosa,

pelas sugestões apontadas, pelos diálogos e reflexões estabelecidos, e, sobretudo, pela

disponibilidade pessoal e acadêmica. Senti-me, verdadeiramente, acolhido e amparado. Muito

obrigado por isso!

Ao meu irmão, Marcos Paulo, não bastasse “dar conta” dos seus compromissos

pessoais, muito se doou à leitura e à correção desta pesquisa. Não se restringiu às correções

gramaticais do texto, mas se dispôs a um diálogo permanente, incentivando-me e

encorajando-me nas ocasiões de incerteza e de intensa fragilidade. Tenho profundo respeito a

esse irmão-amigo e sou grato à sua atenção, colaboração e cumplicidade nos momentos em

que eu mais precisei.

À Maria Amélia Justino, minha “fada madrinha” e colaboradora incondicional, que,

com carinho e desprendimento, não mediu esforços no cuidado com o meu filho e no

cumprimento das tarefas domésticas, permitindo que eu tivesse tempo e tranqüilidade para

progredir em meus estudos.

Aos meus amores, Vanderci e Fabrício, pela paciência com que suportaram meu mau

humor; pelas horas roubadas da companhia de vocês; pelas expectativas depositadas à

conclusão deste trabalho, traduzidas nas expressões: “ainda falta muito?”, “já concluiu mais

algum capítulo?”, “quando vai apresentar o trabalho?”.

Aos meus pais, motivo primeiro da minha existência, por terem me ensinado a viver

com dignidade e me incentivado aos estudos. A vocês que tão cedo mostraram-me o gosto

pela vida.

À minha família — meus pais, irmãos, sobrinhos e cunhados — pela compreensão das

minhas freqüentes ausências.

Ao Leandro Teófilo Glória Silva, pela tradução do resumo para o inglês.

À Ana Luisa Debortoli de Lima, pelo competente trabalho de revisão na estruturação e

na redação do texto final desta dissertação.

Meu especial agradecimento e profunda gratidão, a todas as pessoas que colaboraram

como sujeitos da pesquisa e que se renderam à troca das experiências vividas.

Sou grato a cada amigo e a cada colega, que me disse a palavra certa na hora

adequada, incentivando-me e em mim confiando, para que eu sentisse mais segurança e

atingisse, com determinação, a meta desejada.

“A pesquisa em Educação Matemática ganha sua relevância para a prática ou para as futuras pesquisas por seu poder de nos fazer parar e pensar. Ela nos equipa não com resultados que nós podemos aplicar, mas, mais do que isso, nos equipa com ferramentas para pensar sobre nosso trabalho. Ela fornece conceitos e técnicas, não receitas”.

Jeremy Kilpatrick

RESUMO

Este trabalho propôs investigar o ensino dos números complexos, na perspectiva de (re) significar a abordagem desse tópico matemático, no contexto da sala de aula, por meio de construções e interpretações geométricas. Nesse sentido, utilizou-se o desenho geométrico, como recurso para a construção, a medição, o transporte e a transformação de vetores, aqui entendidos como uma possibilidade de representação de números complexos. Foram elaboradas, ainda, atividades de aprendizagem que potencializaram o trabalho do pesquisador, no ensino desse campo numérico. Para a organização e a articulação dessas atividades de ensino-aprendizagem em uma seqüência didática, o pesquisador se ancorou no referencial teórico construído nesta pesquisa, no intuito de contextualizar o ensino dos números complexos e oportunizar ao sujeito-agente que assuma, de forma gradativa, uma postura autônoma na construção do seu conhecimento. Essas atividades de aprendizagem foram aplicadas, em modelo de minicurso, a alunos do curso de Licenciatura em Matemática, de uma instituição particular de ensino, situada na região metropolitana de Belo Horizonte. Os procedimentos metodológicos para o levantamento empírico, foram demarcados no campo da pesquisa fenomenológica-hermenêutica, onde se procurou descrever e interpretar situações, fenômenos ou problemas, por meio de análise qualitativa dos dados, valendo-se dos seguintes instrumentos para a coleta das informações: observação participante, diário de campo, protocolo de registros dos alunos, gravações em áudio e entrevistas. O resultado da análise dos dados mostra que o trabalho significativo com os números complexos, no contexto da sala de aula, se constitui em um desafio alcançável, tanto para quem ensina quanto para quem aprende. Constatou-se, também, que a realização das atividades que compõem essa seqüência didática, proporcionou um ambiente de interação social entre os atores envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, por meio dos grupos de trabalho, que simularam um ambiente de pesquisa matemática, motivada pela curiosidade e pelo desafio. Como produto desse estudo, será disponibilizado um livro paradidático, obtido a partir do substrato teórico da pesquisa, que servirá como recurso de orientação metodológica para professores e estudiosos interessados pela investigação dos números complexos.

Palavras-chave: Ensino dos números complexos; (Re)significação; Seqüência Didática; Descoberta Guiada.

ABSTRACT

This work aimed to investigate the teaching of the complex numbers, with the intention of (re)evaluating the approach of this mathematical topic in the classroom, by means of geometric constructions and interpretations. Hence, the geometric drawing was used, as a resource for the building, measuring, transportation and transformation of vectors, which are treated in this work as possible representations of complex numbers. In addition, learning activities that maximized the researcher’s work were elaborated, regarding the teaching of this numeric field. In order to establish the organization and articulation of such teaching-learning activities in a didactic sequence, the researcher was anchored in the theoretic reference developed in this research, with the objective of contextualizing the teaching of the complex numbers and providing an opportunity for the subject-agent to gradually adopt an autonomous conduct in the creation of the knowledge. These learning activities were applied, in the format of a mini-course, to students of the Licentiate course in Mathematics of a private institution, located in the metropolitan region of Belo Horizonte. The methodological procedures for the empiric analysis were established in the field of the phenomenological-hermeneutic research, in which the description and interpretation of situations, phenomena or problems were pursued, through a qualitative analysis of the data, using the following procedures for the gathering of the information: participative observation, camp diary, students registers protocol, audio recordings, and interviews. The results of the data analysis show that the meaningful work with the complex numbers in the classroom is a reachable challenge, not only for the teacher but also for the learner. It was also verified that the execution of the activities that constitute this didactic sequence provided a positive ambience for social interaction between the subjects involved in the teaching-learning process, by means of the work groups, which simulated an environment of mathematical research, motivated by curiosity and challenge. As a product of this study, a paradidactic book will be provided, having as groundwork the theoretical basis of this research, that will serve as a resource for methodological orientation for teachers and academics interested in the investigation of the complex numbers.

Keywords: Teaching of the complex numbers; (Re)Evaluation; Didactic Sequence; Guided Discovery.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................ 12

2 A HEURÍSTICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS...................................................................................... 15

2.1 A contribuição dos árabes e dos hindus para o desenvolvimento da Álgebra.......................................... 15

2.2 A disputa entre Cardano e Tartaglia pelas cúbicas.................................................................................... 18

2.3 A Fórmula de Cardano-Tartaglia ................................................................................................................ 21

2.4 A insuficiência dos números reais ................................................................................................................ 25

2.5 A crise da legitimidade dos números complexos......................................................................................... 27

2.6 Outro paradoxo secular ................................................................................................................................ 32

2.7 A componente geométrica da Crise da Legitimidade................................................................................... 33

3 O MARGEAR DAS REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS .......................................... 37

3.1 Operações com pares ordenados .................................................................................................................. 38

3.2 O conjunto C dos números complexos ......................................................................................................... 39

3.3 Forma algébrica............................................................................................................................................. 40

3.4 Plano de Argand-Gauss ................................................................................................................................41

3.5 Módulo de um número complexo................................................................................................................. 42

3.6 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo ......................................................................... 43

3.7 Conjugado: reflexão sobre o eixo real ......................................................................................................... 45

3.8 Propriedades do módulo de um número complexo .................................................................................... 46

3.9 Há ordenamento no conjunto dos números complexos? ............................................................................ 48

3.10 Soma de números complexos: compondo translações ... .......................................................................... 49

3.11 Multiplicação de um complexo por um escalar: dilatando ou contraindo? ........................................... 51

3.12 Multiplicação de complexos unitários: compondo rotações .................................................................... 52

3.13 Multiplicação de complexos: compondo rotações e dilatações ... ............................................................ 53

3.14 Eixo imaginário: uma interpretação geométrica ...................................................................................... 55

3.15 Uso do conjugado na divisão....................................................................................................................... 57

3.16 Potências de i................................................................................................................................................ 58

3.17 Potenciação na forma trigonométrica........................................................................................................ 59

3.18 Raiz aritmética............................................................................................................................................. 62

3.19 Radiciação em C: interpretação geométrica ............................................................................................. 62

3.20 Fórmula exponencial de Euler.................................................................................................................... 68

4 A CAMINHO DE UMA METODOLOGIA APLICADA............ ................................................................. 71

4.1 Situação-problema......................................................................................................................................... 71

4.2 A perspectiva do olhar investigativo............................................................................................................ 73

4.3 O legado da “seqüência didática” como proposta pedagógica .................................................................. 75

4.4 Parametrizando o caminho trilhado ............................................................................................................ 76

4.5 Contexto: a instituição, o curso de licenciatura e os sujeitos da pesquisa ................................................ 79

4.6 Os Encontros: orientações gerais ................................................................................................................. 81

4.7 Procedimentos metodológicos para a coleta de dados................................................................................ 82

4.7.1 Observação participante.............................................................................................................................. 83

4.7.2 Memória dos Encontros.............................................................................................................................. 84

4.7.3 Protocolo de registros dos alunos................................................................................................................ 86

4.7.4 Gravações em áudio..................................................................................................................................... 87

4.7.5 Entrevistas.................................................................................................................................................... 87

4.8 Atividades de pesquisa .................................................................................................................................. 88

5 TECENDO QUESTÕES E POSSIBILIDADES DE ANÁLISE................................................................. 114

5.1 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade 01..................................................... 114


5.3 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade Complementar 01 .......................... 128







5.10 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade Complementar 04 ........................ 158

5.11 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade 07................................................... 159

5.12 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade 08................................................... 164

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................................................... 172

REFERÊNCIAS ................................................................................................................................................ 177

APÊNDICE A – Questionário aplicado aos cursistas..................................................................................... 181

APÊNDICE B – Roteiro adotado para as entrevistas com os alunos............................................................ 182

ANEXO A – Plano de ensino de disciplina. ..................................................................................................... 183

ANEXO B – Folder de divulgação do minicurso. ........................................................................................... 186

12

1 INTRODUÇÃO

A razão e o interesse que me fizeram direcionar atenção para o estudo dos números

complexos, em particular sobre o seu ensino, surgem de uma experiência intrínseca à minha

formação acadêmica, na qual, em contato com esse conteúdo — de maneira superficial e

pouco expressiva — meus professores contribuíram para que eu me tornasse reticente no trato

com esse assunto.

Esse trabalho é fruto de uma experiência que adquiri ao longo de quatorze anos de

efetivo exercício do magistério, na qual tive a oportunidade de atuar, por diversos anos, no

ensino desse conteúdo.

Hoje, compreendo melhor a minha limitada atuação profissional de outrora, quando

lecionei nos ensinos fundamental e médio, por dez anos, em uma escola da rede particular de

ensino, localizada na região metropolitana de Belo Horizonte. Pois, ao ensinar números

complexos, naquelas turmas do 3º ano do ensino médio, confesso que minha prática

pedagógica não era muito diferente à dos meus professores. Naquela época, meu campo de

investigação era restrito aos livros didáticos do ensino básico.

Há onze anos trabalho, também, em uma universidade particular, nessa mesma região

supracitada, como formador de professores, no curso de Licenciatura de Matemática. O

conteúdo sobre números complexos representa uma subunidade do plano de curso de uma

disciplina, com carga horária total de 90 horas/aula, cujo desenvolvimento não é da minha

responsabilidade.

Durante todo o período que essa disciplina foi ofertada na licenciatura, optou-se,

segundo dados apresentados para essa pesquisa, por um ensino focado, exclusivamente, nos

tratamentos algébrico e trigonométrico. Esta opção parece pautar-se na real possibilidade de

cumprimento de uma ementa, “engessada” por um cronograma rígido de trabalho, e ainda, por

atender às demandas de aplicação desse conhecimento, nos diversos conteúdos que compõem

a grade curricular do Curso.

Dadas as duas realidades — tanto no trabalho que realizei no ensino médio quanto o

que é realizado na Licenciatura — percebe-se uma convergência de abordagens acerca do

tema: o ensino de números complexos é tratado de maneira pouco expressiva e significativa,

uma vez que se lida com esses números, exclusivamente, nas suas formas algébrica e

trigonométrica.

13

Incomodado com essa abordagem, destituída de significado, no ensino desse tópico

matemático, nos níveis de ensino médio e superior, propus-me a realizar esta pesquisa, com o

intuito de desvelar a situação-problema de como (re)significar o ensino e a aprendizagem dos

números complexos, no contexto da sala de aula.

Este estudo tem seus pressupostos de investigação fundamentados na fenomenologia e

no processo hermenêutico de interpretação — em que os sujeitos buscam interpretar e

compreender os significados implícitos no fenômeno, a partir de experimentações — e busca

definir os seguintes objetivos: promover uma abordagem histórica dos números complexos,

no intuito de apontar caminhos que possibilitam a (re)construção e a apreensão de certos

conceitos, além de atribuir sentido e significado a esse tópico matemático; (re)significar

conceitos, propriedades e operações no campo dos números complexos, usando o desenho

geométrico como recurso didático, em potencial, para a construção e a interpretação

geométrica de vetores; propor uma seqüência didática, que possibilite ao aprendiz entrar em

contato com os números complexos, tal como surgiram na História; e, finalmente,

desenvolver, a partir do substrato teórico da pesquisa, um material didático (livro

paradidático) que possa servir como recurso de orientação metodológica para professores e

estudantes interessados nessa investigação.

Essa pesquisa se deu numa perspectiva descritiva de situações, fenômenos ou

problemas, por meio de análise qualitativa dos dados coletados. Na apuração das

informações, advindas do campo experimental, foram utilizados os seguintes instrumentos

para a coleta de dados: observação participante, diário de campo, protocolo de registros dos

alunos, gravações em áudio e entrevistas.

Para a realização desse processo de investigação empírica, foram planejados encontros

semanais, no modelo de minicurso, em uma instituição particular de ensino, situada na região

metropolitana da capital mineira. Em sua grande maioria, inscreveram-se alunos do 4º e do 6º

períodos do curso de Licenciatura em Matemática dessa mesma instituição.

A principal contribuição deste estudo para o cenário educacional é a de possibilitar ao

professor refletir acerca da importância da organização e da articulação de atividades de

aprendizagem, no ensino de um conteúdo específico, em uma seqüência didática.

A presente pesquisa se organiza e se estrutura em seis capítulos, cabendo à

“Introdução”, o primeiro deles. No segundo capítulo, apresenta-se o referencial teórico,

marcado por quase três séculos de dedicação, de certa “comunidade científica”, no esforço de

legitimar os números complexos como campo numérico. No terceiro capítulo, organiza-se

uma estrutura didática, de modo a possibilitar a aquisição de conceitos, a diversidade de

14

representações e a (re)significação das operações aritméticas, no campo dos números

complexos. O quarto capítulo refere-se à situação-problema, à tipologia do estudo, aos

objetivos e aos procedimentos metodológicos para a coleta de dados. Já o quinto capítulo,

analisa os dados globais à luz da teoria estudada. O sexto capítulo, denominado

“Considerações Finais”, sintetiza as principais conclusões deste estudo.

Propus construir o lugar do ensino de números complexos, em meio à abordagem de

“outras linguagens”, com a razão de ser, findada na preocupação educativa — a de como

determinada linguagem pode contribuir para a formação do aluno e do educador matemático.

15

2 A HEURÍSTICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Pretende-se evidenciar, principalmente, neste capítulo, um equívoco freqüentemente

cometido por professores e livros-texto, em geral, em relação à origem dos números

complexos. Foram as equações do 3º grau e não as do 2º grau, que desencadearam todo o

campo teórico acerca desses números. As resistências, dificuldades, limitações e avanços

marcados por quase três séculos de investigação, justificam o enorme esforço de uma

comunidade científica, na tentativa de legitimação dos números complexos como campo

numérico.

Desejando-se descartar a impressão de que na Matemática tudo surge por meio da

inspiração de algumas pessoas que “inventam” os conceitos, é que serão propostos os tópicos

subseqüentes, no intuito de elucidar os fatos em questão.

Objetivando fornecer, aos leitores, uma fonte facilmente acessível de pesquisa, será

citada a obra de Garbi (1997), embora haja outras publicações, de cunho mais científico, sobre

a história dos números complexos. Uma outra publicação, também, facilmente acessível e

confiável é a obra de Lima (2004).

2.1 A contribuição dos árabes e dos hindus para o desenvolvimento da Álgebra

Al-Mamun (786-833), filho do califa árabe Harum Al-Raschid (763-809), reinou entre

813 e 833, continuou a obra do pai e determinou a pesquisa e a tradução, em língua árabe, de

todos os antigos manuscritos gregos que pudessem ser encontrados — ainda no reinado de seu

pai, os Elementos de Euclides foram traduzidos para o árabe —, pontua Garbi (1997). Ele

convidou para sua corte muitos dos melhores cientistas do mundo e entre eles estava o famoso

matemático Abu-Abdullah Muhammed Ibn-Musa Al-Khwarizmi (780-850), de quem

herdamos as palavras algarismo e álgebra.

Tendo sido solicitado por Al-Mamun que produzisse uma obra popular sobre as

equações, continua Garbi (1997), Al-Khwarizmi escreveu o livro Al-Kitab Al-jabr wa’l

Muqabalah, título que pode ser aproximadamente traduzido por “O Livro da Restauração e do

Balanceamento”. A palavra Al-jabr era empregada por ele, para designar operações em que,

por exemplo, a equação x – 3 = 6 passa a x = 9, significando uma restauração de x – 3, de

16

modo a tornar completa a incógnita x. Foi assim que nasceu a palavra Álgebra, tão empregada

posteriormente na Matemática e que está claramente relacionada aos axiomas de Euclides.

Al-Khwarizmi escrevia com grande preocupação em tornar-se compreendido por seus

leitores. Procurando simplificar a simbologia, trouxe da Índia o sistema de numeração

decimal utilizado até hoje, cujos elementos fundamentais são os algarismos de zero a nove e

seu valor em função da posição ocupada no número. A obra de Al-Khwarizmi exerceu grande

influência no Mundo da Matemática, durante a Idade Média.

Paralelamente ao que realizavam os árabes naquela época, os matemáticos hindus

também avançaram em suas pesquisas e Bhaskara Acharya (1114-1185) é o que mais

facilmente vem à nossa memória, por estar ligado à fórmula geral da solução das equações do

2º grau. A esse respeito, Garbi (1997) assinala o seguinte fato: “a Fórmula de Bhaskara não

foi descoberta pelo matemático Bhaskara. Conforme ele mesmo relatou no século XII, a

mencionada fórmula fora encontrada um século antes, pelo matemático hindu Sridhara e

publicada em uma obra que não chegou até nós.” (GARBI, 1997, p.23). Observa-se que a

denominação “Fórmula de Bhaskara“ atribuída à fórmula geral para a resolução de equações

do 2º grau, não é empregada em livros-texto de outros países, restringindo-se, apenas, às

publicações brasileiras.

A procura por uma fórmula resolutiva das equações do 2º grau fundamentou-se na

idéia de buscar uma forma de reduzir o grau da equação do 2º grau para o 1º grau por meio da

extração de raízes quadradas. Esse foi o engenhoso instrumento que os hindus utilizaram, com

sucesso, para chegar à “Fórmula de Bhaskara”: o complemento do quadrado. Os babilônios

foram os primeiros a descobrir esse método, (re)descoberto mais tarde pelos hindus.

As equações do 2º grau “são a chave para a solução de um problema clássico:

encontrar dois números, x e y, conhecendo-se sua soma S e o seu produto P.” (GARBI, 1997,

p.25). Esse enunciado pode ser representado por meio do seguinte sistema:

==+Pxy

Syx xSy −=∴

x (S-x) = P

Sx – x2 = P

x2 – Sx = – P

17

Pelo método do Complemento do quadrado, utilizado pelos hindus, tem-se:

x2 – Sx + 4

1S2 =

4

1S2 – P

4

4

2

1 22PS

Sx−=

− ⇒ 2

4

2

1 2 PSSx

−=− ⇒ x – 2

4

2

1 2 PSS

−±=

Logo, 2

42 PSSx

−±= e y = S – x = 2

42 PSS −±.

Comparando as equações ax2 + bx + c = 0 e x2 – Sx + P = 0, que são do mesmo tipo,

tem-se:

=−=

=

Pc

Sb

a 1

Portanto, a raiz x de uma equação quadrática pode ser (re)escrita assim:

acbondea

acbbx 4,

2

4 22

−=∆−±−=

Esta é a “Fórmula de Bhaskara”, que não foi descoberta por ele, mas por Sridhara,

conclui Garbi (1997).

Pelo menos duas importantes constatações decorrem dessa fórmula matemática:

1. “equações acima do 1º grau poderiam ter mais do que uma solução;

2. em alguns casos, a aplicação da fórmula conduzia a uma coisa misteriosa: a raiz

quadrada de um número negativo.” (GARBI, 1997, p.25).

Seja, por exemplo, a equação x2 + 2x + 8 = 0. Aplicando-se a “Fórmula de Bhaskara”

tem-se: x = -1 ± 7− . Mas, quanto vale 7− ? Ninguém sabia. O fato foi interpretado, na

época, como sinal de que algumas equações do 2º grau eram impossíveis; simplesmente não

tinham solução. Alguns séculos transcorreram até que se entendesse o significado das raízes

quadradas de números negativos, mas foi a “Fórmula de Bhaskara” que, no século XII,

exibiu, pela primeira vez ao mundo, essas misteriosas entidades.

18

Vencidas as equações do 2º grau, a incessante curiosidade dos matemáticos levou-os a

conjecturar sobre as formas de resolver as equações do 3º grau. Omar Khayyam (1050-1130)

foi um dos matemáticos, entre outros, que muito se dedicou à resolução de equações do 3º

grau. Em alguns casos particulares, ele obteve êxito, tendo, inclusive, encontrado formas

geométricas para resolvê-las. Entretanto, finaliza Garbi (1997), nenhuma fórmula algébrica

geral foi encontrada e as equações do 3º grau permaneceram, por alguns séculos, como um

desafio aberto aos matemáticos.

2.2 A disputa entre Cardano e Tartaglia pelas cúbicas

Garbi (1997) inicia sua exposição fazendo menção a dois ilustres matemáticos

italianos, protagonistas dessa história: Cardano e Tartaglia.

Girolamo Cardano (FIGURA 1), nascido em 1501 na cidade de Pavia, na Itália, e

falecido em Roma, em 1576, escreveu um livro que, na época, era considerado o maior

compêndio algébrico existente: Artis Magnae, sive de regulis algebraicis — comumente

abreviado como Ars Magna (A Grande Arte) — publicado em Nurenberg, na Alemanha, em

1545. Nesse livro, entre diversas outras idéias e descobertas que impulsionaram o estudo da

Álgebra, foi introduzido, com a clareza moderna, o conceito de número negativo, em analogia

aos créditos e débitos da contabilidade usual.

Figura 1: Girolamo Cardano (1501-1576) Fonte: Garbi, 1997, p.31.

19

Nicolo Fontana (FIGURA 2), nascido em 1499, na cidade de Bréscia, na Itália, e

falecido em Veneza, em 1557, ficou órfão de pai aos seis anos e foi criado com seus três

irmãos, por uma mãe devota e paupérrima. Aos 14 anos, no saque de Bréscia por tropas

francesas, refugiou-se na Catedral, mas ali mesmo foi seriamente ferido no rosto por golpes

de sabre, que lhe deixaram desfigurado e, por longo tempo, quase sem poder falar. Isto lhe

valeu o apelido de Tartaglia (que, em italiano, quer dizer gago), que posteriormente assumiu

como sobrenome. Mas o que o colocou em evidência, perante a comunidade matemática,

foram suas disputas com Cardano sobre as equações do 3º grau.

De acordo com relatos da época, continua Garbi (1997), por volta de 1510 um

matemático italiano, de nome Scipio Del Ferro (1465-1526) encontrou uma forma geral de

resolver equações do tipo x3 + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Seu

discípulo, Antonio Maria Fior, conhecendo o método, tentou adquirir notoriedade valendo-se

da descoberta do mestre. Naquela época, era freqüente o lançamento de desafios intelectuais,

que eram cercados de ritual, presididos por alguma autoridade e, geralmente, assistidos por

numerosa audiência. Alguns contratos de professores universitários eram temporários e

muitas vezes a permanência na cátedra dependia de um bom desempenho nessas disputas. Em

uma delas, Fior elegeu Tartaglia, já bastante conhecido por seu talento, como alvo.

O desafio consistia na solução de diversos problemas que um deveria propor ao outro

e Fior, naturalmente, pretendia apresentar questões, que dependessem daquele tipo de equação

do 3º grau, da qual somente ele detinha a solução. Tartaglia aceitou o desafio, mas soube que

seu oponente estava armado de um método, descoberto pelo falecido professor Scipio Del

Ferro. Além de resolver as equações do tipo x3 + px + q = 0, aos 10 de fevereiro de 1535,

Figura 2: Nicolo Tartaglia (1499-1557) Fonte: Garbi, 1997, p.32.

20

Tartaglia também achou a fórmula geral para as do tipo x3 + px2 + q = 0, que Fior não

conhecia.

O resultado do desafio foi que, enquanto Tartaglia resolveu corretamente todos os

problemas propostos por Fior, este nada conseguiu resolver dos problemas apresentados pelo

primeiro, já que implicavam a solução das equações do tipo x3 + px2 + q = 0. Fior saiu

humilhado do episódio, e hoje só é lembrado como alguém que recebe o merecido castigo, de

quem pretende adquirir fama à custa de outrem.

Aproximadamente, nessa época, Cardano estava escrevendo a Pratica Arithmeticae

Generalis, que englobava Álgebra, Aritmética e Geometria. Sabendo da descoberta de

Tartaglia em relação à solução geral para as equações do 3º grau, Cardano tenta, por diversas

vezes, convencê-lo de que revelasse suas idéias, para que pudesse publicá-la na Pratica.

Tartaglia conseguiu evitar sua aproximação e só quatro anos mais tarde houve um encontro

entre eles. Tartaglia, então, expôs seu método, fazendo Cardano jurar segredo e,

especialmente, proibindo-o de publicá-lo.

Em uma visita a Bolonha, vários anos depois, Cardano encontrou o genro de Scipio

Del Ferro e tomou conhecimento, então, da solução anterior deste último. Sentindo, talvez,

que esse conhecimento o desobrigasse de sua promessa a Tartaglia, Cardano fez publicar, em

1545, na sua obra Ars Magna, sua versão do método. Embora tenha tecido grandes elogios a

Tartaglia, acrescentou que há alguns anos, Scipio Del Ferro chegara aos mesmos resultados.

A reação de Tartaglia foi pronta e explosiva: publicou no ano seguinte o livro Quesiti

e Inventioni Diverse, no qual, além de apresentar soluções para vários problemas que lhe

foram propostos, ele descreve sua versão dos fatos e denuncia Cardano por haver traído um

sagrado juramento sobre a Bíblia.

Os estudos de Cardano, feitos com a colaboração de Ludovico Ferrari (1522-1565), o

qual obteve a solução por radicais da equação do 4º grau, conduziram a importantes avanços

na teoria das equações: o reconhecimento de raízes múltiplas em vários casos, relações entre

coeficientes e raízes, e a aceitação de raízes negativas, irracionais e imaginárias. Entretanto,

Cardano nunca enunciou, explicitamente, que uma equação qualquer do 3º grau deve ter três

raízes, uma do 4º grau, quatro raízes; e assim sucessivamente. Isso foi feito, depois, por

Bombelli, discípulo de Cardano.

Garbi (1997) finaliza seu relato pontuando que “a posteridade foi injusta para com o

sofrido Tartaglia: a fórmula que ele deduzira e que ensinara ao desleal inimigo, ao invés de

receber seu nome, é hoje conhecida como Fórmula de Cardano.” (GARBI, 1997, p.34), fato

que já havia ocorrido com a “Fórmula de Bhaskara”.

21

2.3 A Fórmula de Cardano-Tartaglia

É importante relembrar que Tartaglia havia resolvido os tipos especiais de equação do

3º grau, nas formas x3 + px + q = 0 e x3 + px2 + q = 0 e não a equação geral

ax3 + bx2 + cx + d = 0. Entretanto, Garbi (1997) esclarece que qualquer equação geral pode

ser transformada em uma dos tipos especiais, digamos x3 + px + q = 0, fazendo

x = y + m e calculando m de modo a anular o termo de 2º grau, como demonstrado a seguir:

Seja ax3 + bx2 + cx + d = 0 e x = y + m:

a(y+m)3 + b(y+m)2 + c(y+m) + d = 0

ay3 + y2(b+3am) + y(3am2+2bm+c) + (am3 + bm2 + cm + d) = 0

b + 3am = 0 ⇔ m = -b/3a

A nova equação do 3º grau, em y, será do tipo y3 + py + q = 0 e, se soubermos resolvê-

la, acharemos x que é y + m. Portanto, elucida Garbi (1997), quando Tartaglia encontrou a

solução das equações do tipo x3 + px + q = 0, ele deu uma resposta geral e não apenas

particular ao problema, o que aumenta seu mérito. A idéia de Tartaglia foi supor que a

solução procurada era composta de duas parcelas. Assim, escreveu: x = u + v.

x3 = (u+v)3

x3 = u3 + v3 + 3uv(u+v) ; como x = u + v , temos:

x3 = u3 + v3 + 3uvx , ou, x3 – 3uvx – (u3 + v3) = 0.

Mas, ao mesmo tempo:

x3 + px + q = 0, em que

+−=−=

)(

333 vuq

uvp

Logo, p3 = -27u3v3 , donde

−=+

=

qvu 33

333 /27p- vu

22

Observa-se que u3 e v3 são dois números dos quais conhecemos a soma S e o produto

P; lembrando que este é um problema clássico, que se resolve com equações do 2º grau, do

tipo t2 – St + P = 0. Vamos supor, por exemplo, que u3 e v3 sejam as raízes da equação

quadrática t2 + qt +

−27

3p = 0, na variável t.

Pela “Fórmula de Bhaskara”, tem-se:

∆ = q2+

27

4 3p

u3 = 2

∆+− q=

42

∆+− q=

32

322

+

+− pqq

v3 = 2

∆−− q=

42

∆−− q=

32

322

+

−− pqq

Como x = u + v, então:

3

32

3

32

322322

+

−−+

+

+−= pqqpqqx

Esta é a Fórmula de Cardano, que não foi descoberta por ele, mas por Tartaglia, como

conclui Garbi (1997).

O autor completa sua idéia, afirmando que a equação x3 + px + q = 0 pode, por

exemplo, ser generalizada pelo produto (x – a)(x – b)(x – c) = 0, gerando um polinômio de 3º

grau na variável x, cujas raízes, são: x = a, x = b e x = c. Propõe-se, então, responder a

seguinte pergunta: Que relação deve haver entre a, b e c, para que o desenvolvimento desse

produto conduza a uma equação do tipo x3 + px + q = 0, para a qual é válida a Fórmula de

Cardano? Comecemos (re)escrevendo essa equação em fatores do 1º grau:

(x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc

Para que inexista o termo do 2º grau, analisa Garbi (1997), é necessário e suficiente

que:

23

a + b + c = 0 ⇒ c = -(a + b). Portanto, a equação (x – a)(x – b)(x + [a + b]) = 0 tem por raízes

a, b e –(a + b), e equivale à equação [ ] 0)()( 23 =+++−+ baabxbaabx . Aplicando-se a ela,

a Fórmula de Cardano, tem-se:

3

322

3

322

3

)(

2

)(

2

)(

3

)(

2

)(

2

)(

+−+

+−+−+

+−+

+++−= baabbaabbaabbaabbaabbaabx

Garbi (1997) propõe analisar, ainda, a expressão que se encontra sob o radical

quadrático, nomeando-a de ∆, em analogia com o que se faz com equações do 2º grau:

322

3

)(

2

)(

+−+

+=∆ baabbaab.

Efetuando as operações e simplificando o polinômio, tem-se:

108

4123263124 6542332456 babbabababaa −−+++−−=∆ .

É possível mostrar que o numerador acima é igual ao produto –(a-b)2.(2a+b)2.(a+2b)2,

portanto:

108

)2()2()( 222 bababa ++−−=∆

Se a e b são números reais, ∆ nunca é positivo. Esta é uma constatação surpreendente,

conclui Garbi (1997), pois, para que achemos a e b distintos, pela Fórmula de Cardano,

teremos, obrigatoriamente, que trabalhar com raízes quadradas de números negativos, coisa

que, por muito tempo, pensou-se ser impossível.

A surpresa é ainda maior quando se recorda que nas equações do 2º grau as duas raízes

somente são reais, quando ∆ ≥ 0. Para as de 3º grau, as três raízes somente são reais quando

∆ ≤ 0. Tartaglia, portanto, encontrara uma verdadeira caixa de surpresas e os fatos indicavam,

claramente, que os números com que a Matemática vinha trabalhando, há séculos, não eram

mais suficientes para o estudo da Álgebra.

24

Percebe-se que se uma equação do 3º grau do tipo x3 + px + q = 0 tem três raízes reais

e distintas, então ∆ < 0, e isto conduz a operações com números complexos. Garbi (1997)

propõe analisar a situação em que ∆ ≥ 0:

Suponha que certa equação do 3º grau tenha uma raiz complexa do tipo a + bi,

consequentemente, a – bi também será raiz dessa mesma equação. A terceira raiz será,

obrigatoriamente, real: digamos c. Para que inexista o termo do 2º grau, é necessário que a

soma das três raízes seja zero, ou seja, que (a+bi) + (a-bi) + c = 0 ⇒ 2a + c = 0 ⇒ c = -2a.

Portanto, toda equação do 3º grau do tipo x3 + px + q = 0, que tenha raízes complexas, pode

ser assim escrita:

x3 + px + q = (x – [a+bi] ) . (x – [a-bi] ) . (x + 2a) = 0

( (x-a)2 + b2 ) . (x + 2a) = 0

x3 + x(b2 – 3a2) + 2a(a2 + b2) = 0

Assim:

[ ]27

)()(18)(81

3

3)(

32

232222322222

32babbaab

baapq ++=

−++=

+

=∆ . E isto é

sempre positivo, a menos que b = 0, o que faria com que as três raízes fossem reais, sendo

duas coincidentes.

Fica, então, provado o seguinte:

1. “Se as três raízes são reais e distintas, então ∆ < 0;

2. Se as três raízes são reais, mas pelo menos duas são iguais entre si, então ∆ = 0. Se

as três forem iguais, todas serão nulas;

3. Se uma raiz é real e duas são complexas, então ∆ > 0.” (GARBI, 1997, p.137-138).

Será que o fato de a Fórmula de Cardano, quando ∆ < 0, conduzir a números

aproximados (aproximação tão boa quanto quisermos), significa que não há soluções

algébricas, para as equações do 3º grau? É claro que não, conclui Garbi (1997). As raízes da

equação x3 – 15x – 4 = 0, por exemplo, obtidas por métodos algébricos, são exatamente

33 12121212 −−+−+ . Tal expressão, no entanto, somente é convertida em números,

com os quais se pode trabalhar na prática (4; -3,732; -0,2679), por meio de métodos

aproximados, de competência das séries infinitas — teoria aplicada aos processos de cálculos

25

matemáticos operacionalizados por máquinas calculadora — abordadas no cálculo diferencial

e integral.

2.4 A insuficiência dos números reais

Uma das principais causas da insuficiência aritmética no campo dos números reais, de

acordo com Ripoll, Ripoll e Silveira, “reside em sua incapacidade de nos permitir operar, de

forma adequada, com números negativos.” (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.210). Ao

nível das operações algébricas, essa insuficiência se manifesta no cálculo, por exemplo, da

1− (ou qualquer raiz quadrada de número negativo), uma vez que o quadrado de qualquer

número real, não nulo, é sempre positivo. Hellmich (1992) relata em seu texto que:

[...] talvez, a mais antiga menção a uma raiz quadrada de um número negativo, seja a

expressão 14481− , a qual aparece na obra Stereometrica, de Heron de Alexandria (c.50 d.C); o próximo registro é a tentativa de Diofanto em resolver a equação

336x2 + 24 = 172x, cuja solução aparece a quantidade 20161849− . (HELLMICH, 1992, p.61).

Se passarmos ao nível das operações envolvendo números transcendentes, os números

reais nos permitem determinar, por exemplo, o valor numérico de π2 e log 2, entretanto, são

incapazes de gerar valor numérico para ( )π2− e log (-2).

A tensão pelo reconhecimento dos números complexos, como entidade numérica,

ainda se fazia presente entre os matemáticos do século XVIII. Apesar de Euler aventurar-se,

em seus trabalhos, a operar com esses números, eles mostravam-se sem significado, como se

fossem algo distante da realidade. Neste sentido, Carmo, Morgado e Wagner (1992)

reproduzem em seu texto a seguinte declaração de Euler:

Como todos os números concebíveis são ou maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica então claro que as raízes quadradas de números negativos não podem ser incluídas entre os números possíveis [números reais]. E esta circunstância nos conduz ao conceito de tais números, os quais, por sua própria natureza, são impossíveis, e que são geralmente chamados de números imaginários, pois existem somente na imaginação. (CARMO; MORGADO; WAGNER, 1992, p.112).

O primeiro passo no sentido de resolver essas insuficiências aritméticas no campo dos

números reais, foi dado por Raphael Bombelli (1526-157?), em 1572, que teve, em suas

26

próprias palavras, a “idéia louca” de tratar 1− e as expressões mais gerais a+b1− , onde a

e b são números reais, como se fossem números. Essas expressões, salientam Ripoll, Ripoll e

Silveira (2006), são o que chamamos de números complexos.

A legitimação dos números complexos, como campo numérico, demorou quase

trezentos anos, após Bombelli, para ser concluída. Isto significa que, a partir daí, a

comunidade científica da época convenceu-se de que os números complexos eram capazes de

enfrentar, adequadamente, todas as insuficiências aritméticas apresentadas no campo real,

inclusive de darem respostas a cálculos, como ...2078795763,011

=−−

, que até há alguns

séculos eram totalmente impensáveis.

Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) afirmam, ainda, que esse novo sistema numérico

também “resolve” a insuficiência algébrica no campo dos números reais. Isto quer dizer que

questões básicas da teoria dos polinômios e das equações polinomiais, passam a ter respostas

no campo dos números complexos: verificar, por exemplo, se as relações entre raízes e

coeficientes continuavam a valer para equações polinomiais de qualquer grau e, ainda, a

possibilidade de se fatorar, em termos de fatores reais de 1º e/ou 2º graus, qualquer polinômio

de coeficientes reais.

Outra insuficiência algébrica é evidenciada ao procurar por raízes reais, na solução do

problema proposto por Cardano, em seu livro Ars Magna: “Divida 10 em duas partes de modo

que o produto de uma pela outra seja 40”. Este problema se reduz a resolver a equação

x2 – 10x + 40 = 0. Usando o método usual de completar o quadrado, obtém-se (x – 5)2 = -15,

e operando com esses números, como se fossem números reais, chega-se a 155 −±=x , que

é a solução procurada. É possível constatar que tais números somam 10 e que seu produto é

40, embora, a seguir, Cardano tenha concluído que aquelas quantidades eram

“verdadeiramente sofisticadas” e que continuar trabalhando com elas seria “tão sutil quanto

inútil”.

Diante disso, parece ser possível afirmar que existem equações polinomiais de

coeficientes reais que não apresentam raízes reais. Esse fato leva grande parte dos livros

elementares a fazer a incorreção histórica ao afirmar que o campo dos números complexos foi

introduzido para sanar completamente essa insuficiência.

Na verdade, salientam Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), a introdução dos números

complexos foi historicamente motivada pelo desejo de resposta de alguns algebristas da

época, ao seguinte problema: “Dada uma equação polinomial, com coeficientes em um campo

27

numérico K, é possível obter suas raízes, que estão em K, por meio de uma fórmula que

envolva os coeficientes dessa equação?” (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.214).

No caso em que K = ℜ e a equação é quadrática, Ripoll, Ripoll e Silveira (2006)

respondem “sim” ao problema em questão, propondo que seja examinada a “Fórmula de

Bhaskara”. Contudo, a situação é outra no caso das equações cúbicas. É possível verificar que

a conhecida Fórmula de Cardano-Tartaglia, embora seja capaz de calcular, em álgebra real,

as raízes reais de muitas equações cúbicas de coeficientes reais, em certos casos — como, por

exemplo, x3 – 15x – 4 = 0, que tem somente raízes reais — ela “trava”, não permitindo

concluir o cálculo das raízes que se sabe existir (x = 4; x = 32 +− e x = 32 −− ) e serem

reais.

Entretanto, continuam Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), apesar da maneira suspeita com

que os números complexos foram recebidos na Matemática — inicialmente, foram usados de

forma envergonhada e acompanhados de nomes pejorativos, como “fictícios, sofísticos,

impossíveis, inúteis, místicos ou imaginários” —, mostraram-se capazes de resolver todas as

insuficiências aritméticas e algébricas dos números reais e se fazem presentes em

praticamente todos os grandes ramos da Matemática, como: Álgebra, Teoria dos Números,

Geometria, Trigonometria, Análise, Equações Diferenciais, Topologia etc.; e em aplicações

na Física, como: Dinâmica dos Fluidos, Eletromagnetismo, Análise e síntese de sinais físicos

e biológicos etc.

2.5 A crise da legitimidade dos números complexos

Desde os gregos, até por volta de 1630, quando René Descartes (1596-1650) e seus

seguidores introduziram a linguagem algébrica na Matemática, a noção de número real era

restrita ao que hoje chamamos de números reais positivos e eram, naquela época, utilizados

para expressar medidas de grandezas físicas ou geométricas, como esclarecem Ripoll, Ripoll e

Silveira (2006).

Uma conseqüência disso, era a obrigação de escrever todas as equações com

coeficientes positivos, o que possibilitava, para cada grau dado, a escrita de vários tipos de

equações. Por exemplo: eram considerados vários tipos de equações cúbicas (x3+ px = q,

x3 = px + q, x3 + q = px etc.), todas com os coeficientes p e q positivos. É bom lembrar, que

naquela época, não era costume concentrar os termos da equação no primeiro membro,

28

deixando apenas zero depois do sinal de igualdade; tão pouco se percebia que uma equação

sem o termo x2 é o mesmo que tê-lo com coeficiente nulo.

Uma outra conseqüência a ser observada, era que as raízes dessas equações também

pertenciam ao universo dos números reais positivos. Quando surgiram os primeiros

problemas, nos quais as raízes negativas faziam sentido real — por exemplo, ao se tratar de

débitos em questões de contabilidade — passou-se a chamar as raízes positivas de raízes

verdadeiras, e as negativas de raízes falsas.

Essa visão restrita sobre o universo dos números reais positivos veio desencadear, por

volta de 1550 e 1600, uma nova crise, na tentativa de incorporar os números complexos ao

universo dos números: a chamada crise das cúbicas irredutíveis.

De acordo com Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) alguns tipos muito particulares de

equações cúbicas já tinham sido resolvidos por métodos geométricos, por alguns matemáticos

gregos e islamitas. Desses matemáticos, quem maior sucesso obteve foi Omar Khayyam

(1050-1130) que, por volta de 1100, chegou a esboçar uma teoria geral das equações cúbicas e

mostrou haver 13 (treze) possíveis tipos de cúbicas com raízes verdadeiras (ou positivas).

Ainda segundo esses autores, um outro acontecimento importante se deu na época do

Renascimento, com a publicação, em 1494, da enciclopédia Summa, do italiano Luca Pacioli

(1445-1514). Nessa obra, ele resumiu toda a Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria

conhecida pelos europeus daquela época e, em relação às cúbicas, afirmou ser impossível

resolver equações do tipo x3+ px = q, x3 = px + q e x3 + q = px, sendo p e q números reais

positivos. A afirmação feita por Pacioli acabou funcionando como um grande desafio para os

matemáticos italianos daquela época, que passaram a concentrar esforços na resolução dessas

equações. A exemplo disso, relatou-se neste trabalho, as grandes contribuições prestadas por

Scipio Del Ferro, Tartaglia e Cardano na investigação sobre a resolução das cúbicas.

Sobre a crise das cúbicas irredutíveis, Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) afirmam que, ao

testar seus procedimentos em vários exemplos numéricos, Cardano ficou perplexo ao

descobrir que no caso da cúbica x3 = 15x + 4, em que sabia ter x = 4 como raiz verdadeira, a

regra levava ao cálculo de 33 12121212 −−+−+=x . Expressão que ele não conseguia

reduzir ou simplificar, de modo a chegar até a raiz x = 4, pois, ao tentar eliminar os radicais,

recaía noutra equação do terceiro grau.

Em 1572, Raphael Bombelli (1526-157?) mostrou em sua obra Algebra, como

“destravar” o cálculo das raízes em casos de cúbicas irredutíveis. A partir da “idéia louca” de

29

operar com expressões do tipo a+b1− , como se fossem números reais, ele resolveu o

problema dessas cúbicas, da seguinte maneira:

33 12121212 −−+−+=x

= 33 11121112 −−+−+

= ( ) ( )3 33 31212 −−+−+

= ( )12 −+ + ( )12 −−

= 4

Se por um lado Bombelli resolveu a crise das cúbicas irredutíveis, por outro lado, o

modo artificioso e algébrico com que introduziu os números complexos acabou produzindo

uma crise ainda maior, que Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) denominam de Crise da

Legitimidade.

À primeira vista, imaginou-se que as equações do 3º grau estavam vencidas pela

Fórmula de Cardano — 3

32

3

32

322322

+

−−+

+

+−= pqqpqqx —,

analogamente ao que a “Fórmula de Bhaskara” fizera com as equações do 2º grau. Mas a

ilusão durou pouco, e logo começaram a surgir dúvidas, perguntas e problemas na aplicação

do método de Tartaglia. A mais elementar dúvida que surge, naturalmente, em quem observa

a Fórmula de Cardano, é a seguinte: se a “Fórmula de Bhaskara” exibe, de maneira tão

simples, as duas raízes das equações do 2º grau, por que a Fórmula de Cardano só apresenta

uma? Onde estariam as outras duas?

Segundo Garbi (1997), Leonhard Euler (FIGURA 3) (1707-1783) elucida, de maneira

simples, o mistério secular: cada parcela que compõe x corresponde à extração de raízes

cúbicas e, portanto, tem três alternativas. Assim, são nove os valores possíveis para a soma

u + v, sendo três deles raízes legítimas (números reais) e seis raízes estranhas (ditos números

complexos, na linguagem atual).

30

Na “Fórmula de Bhaskara”, completa Garbi (1997), ambas as raízes da equação do 2º

grau aparecem, claramente, porque as duas opções, para a raiz quadrada do discriminante,

distinguem-se pelos sinas (+) e (–). Para as raízes cúbicas não há esta facilidade e é por isso

que não se consegue visualizar na Fórmula de Cardano as três soluções da equação do 3º

grau, embora elas estejam ali.

Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) também lembram que a Matemática daquela época era

fundamentada na Geometria Euclidiana e que os números complexos só poderiam ser aceitos,

como entidade numérica, se fosse possível criar uma teoria geométrica para eles. Portanto,

não bastava achar uma interpretação geométrica para as operações aritméticas com números

complexos que permitisse visualizar as soluções de equações e inequações nesse novo campo

numérico. Era necessário provar que esses números podiam ser interpretados como objetos

geométricos e que a teoria das proporções publicada na obra Elementos, de Euclides, poderia

ser estendida a eles.

Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) completam, ainda, afirmando que a primeira tentativa

de resolução da Crise da Legitimidade ocorreu cem anos depois da publicação da Algebra de

Bombelli, quando o inglês John Wallis (1616-1703) publicou, em 1673, seu livro De Algebra

Tractatus, Historicus e Practicus. Partindo do procedimento tradicional da construção da

média proporcional x, entre dois segmentos de medidas a e b, Wallis mostra que x verifica a

proporção a : x = x : b; o equivalente a resolver a equação x2 = ab, como ilustra a Figura 4:

Figura 3: Leonhard Euler (1707-1783) Fonte: Garbi, 1997, p.99.

Figura 4: Representação geométrica da média proporcional x entre os segmentos a e b. Fonte: Ripoll; Ripoll; Silveira, 2006, p.232.

31

Usando o mesmo raciocínio, Wallis interpretou de forma algébrica, a proporção

+1 : x = x : -1, afirmando que 1− é a média proporcional entre +1 e –l, e de forma

geométrica, interpretou a mesma proporção como sendo a medida de um segmento ortogonal

a dois segmentos de sentidos opostos e de “medidas” iguais a +1 e -1.

Entretanto, ele fracassou na interpretação dos números imaginários puros b 1− ou bi:

ao invés de Wallis concluir que números desse tipo podem ser interpretados como medidas de

segmentos no mesmo eixo de 1− , e, portanto, ortogonais ao eixo dos segmentos reais,

equivocadamente concluiu que eles fariam um ângulo variável com esse eixo, de acordo com

o valor de b. Como conseqüência, ele não conseguiu nem interpretar, geometricamente, a

soma de dois números complexos, tendo de interromper sua investigação.

As próximas tentativas de resolução da Crise da Legitimidade, de acordo com Ripoll,

Ripoll e Silveira (2006), surgiram cem anos depois de Wallis, por volta de 1800. Nesses mais

de duzentos anos que se passaram, desde Bombelli, essa crise acabou aumentando e se

desdobrando em duas componentes: a componente geométrica e a componente operacional.

A crise da legitimidade operacional foi formada à medida que alguns matemáticos

mais destemidos, incorporando o uso dos números complexos na base do “esqueça a tortura

mental que isto significa e vá operando”, passaram a encontrar resultados contraditórios.

Dentre esses resultados operacionais, um dos que provocou maior polêmica foi:

0 = log 1 = log 12 = log (-1)2 = 2 . log (-1),

levando a deduzir que log (-1) = 0, o que se mostrava contraditório à fórmula de Roger Cotes

(1682-1716), provada por volta de 1715: log (cos x + i sen x) = xi . Tomando x = π e

substituindo-o na fórmula de Cotes, verifica-se que log (-1) = πi é uma contradição. Estava

criada a famosa Controvérsia dos Logaritmos Negativos, elucidada décadas mais tarde por

Leonhard Euler (1707-1783).

32

2.6 Outro paradoxo secular

Onde está o erro no desenvolvimento que se segue?

-1 = i . i = 11)1).(1(1.1 ==−−=−−

Esse paradoxo, apesar de muito antigo, ressurge freqüentemente nas salas de aula, no

ensino de números, provocando um incrível interesse de investigação.

Na seqüência de igualdades acima, quatro são corretas e apenas uma é falsa. Lima

(2004) propõe analisar cada uma delas:

1. A igualdade -1 = i . i é correta. Mostra-se que a propriedade i2 = -1 é definida no

conjunto dos números complexos;

2. A igualdade i . i = 1− . 1− é correta. Como i2 = -1, é aceitável considerar que

i = 1− ;

3. A igualdade 1)1).(1( =−− é correta, pois, (-1) . (-1) = 1;

4. A igualdade 11 = , também é correta. Quando x ∈ ℜ+, a x é determinada pelo

único número não negativo — chamado raiz quadrada aritmética de x —, cujo

quadrado é igual a x;

5. A igualdade )1).(1(1.1 −−=−− é falsa, pois, sabendo que 1− não é um

número real, torna-se coerente afirmar que i . i = i2 = -1 ≠ 1 . A equivalência

baba .. = só é verificada nos casos em que ba. , a e b representam,

simultaneamente, números reais. (LIMA, 2004, p.186).

Para exemplificar a última afirmação feita por Lima (2004), Ripoll, Ripoll e Silveira

(2006) acrescentam que, por volta de 1740, ao trabalhar com radiciação de números

complexos, Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) muito se debateu sobre igualdades do tipo

63.1.2.1)3).(1).(2).(1()3).(2(6 −=−−=−−=−−= , por não enxergar

que 3.1.2.1)3).(1).(2).(1( −−≠−− . Entretanto, assinalam ser verdadeira todas as três

igualdades em 63.2.1)3).(2).(1(6 i=−=−=− , uma vez que 6− é equivalente a

26i , no conjunto dos números complexos.

33

2.7 A componente geométrica da Crise da Legitimidade

Todos esses resultados, paradoxais, reforçavam a suspeita associada à componente

geométrica da crise, onde, sempre que um novo resultado contraditório surgia, a reação não

era diferente: “Viu? Não disse que isso não tem sentido?” (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA,

2006, p.233).

A representação geométrica dos números complexos mediante pontos do plano foi

decisiva para sua aceitação. O primeiro a formular tal interpretação foi um agrimensor

norueguês, chamado Caspar Wessel (1745-1818), entretanto, o trabalho que mais contribuiu

para resolver essa crise foi publicado em Genebra, em 1806, pelo contador suíço Jean Robert

Argand (1768-1822), intitulado: Essai sur une manière de representer les quantités

imaginaires dans les constructions géométriques. Nessa obra, Argand conseguiu estender a

tradicional teoria das proporções da Geometria Euclidiana para o que ele chamou de

grandezas dirigidas — o que hoje chamamos de vetores complexos ou segmentos orientados

— onde estabelecia entre esses vetores e os números complexos, uma correspondência

biunívoca.

Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) pontuam que a extensão de Argand foi elaborada em

três etapas:

1. Ele inicia a primeira etapa interpretando os números reais, como vetores sobre o eixo horizontal, onde o sentido positivo de orientação e a unidade de medida são

dados por um vetor unitário OU (conforme figura abaixo). Os números

positivos são vistos como vetores de mesmo sentido que OU , e os negativos,

como vetores de sentido oposto a OU . A seguir, ele estende a tradicional teoria das proporções, de modo a incluir todos os números reais, inclusive os negativos. Em particular, Argand mostra que +1 : +1 = -1 : -1 e que +1 : -1 = -1 : +1. Observe que elas seguem um mesmo padrão: quando os termos extremos (a e d em a : b = c : d) têm sinais opostos, ocorre, o mesmo, com os termos médios (b e c em a : b = c : d); e quando os termos extremos têm o mesmo sinal, ocorre, o mesmo com os termos médios.

2. Na segunda etapa de seu trabalho, Argand propõe interpretar 1− como segmento orientado. De forma semelhante à idéia de Wallis, ele analisa a igualdade x2 = -1, dizendo que x é a média proporcional entre +1 e -1, ou seja,

34

+1 : x = x : -1, e observa que essa proporção não obedece ao padrão descrito no item anterior, pois, os seus extremos, +1 e -1, têm sinais opostos, enquanto os termos médios, x e x, têm o mesmo sinal. Conclui, portanto, ser impossível que x represente a medida de um segmento no eixo horizontal, dos números reais. E agora, como resolver esse impasse? A estratégia visualizada por Argand foi genial. Ele interpreta, no plano, a clássica construção euclidiana, para determinação de médias proporcionais em termos de segmentos orientados. (Analisando a figura acima) Pode-se afirmar que

OU : OI = OI : 'OU , pois essa proporcionalidade, vale tanto em termos dos comprimentos desses vetores, quanto em termos de direções — o ângulo entre

OU e OI é igual ao ângulo entre OI e 'OU . E assim, ele passa a considerar

o segmento orientado OI como a unidade imaginária i, dos números complexos.

3. Na terceira etapa de sua extensão, Argand inicia mostrando, que podem ser inseridas tantas médias proporcionais, quantas quisermos, entre as grandezas dirigidas (em conformidade com a figura acima). Essas últimas podem ser entendidas como vetores de origem em O, de comprimentos e ângulos

determinados a partir do vetor unitário horizontal OU , e podem, ainda, ser

representadas com notação binomial (a+bi) ou exponencial ).( ieθρ .

Finalmente, ele define a razão entre duas grandezas dirigidas quaisquer, OM e

ON , como sendo o quociente OM : ON entre os seus comprimentos, e

define, ainda, sua direção, como sendo o ângulo entre OM eON . (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.234-235). (grifos nossos).

O acabamento, nessas idéias, foi dado por C.V.Mourey em sua obra La vrai théorie

des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, publicada em 1828. Nela,

esclarecem Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), Mourey apresenta as idéias de Argand,

(re)escritas com maior rigor e em um estilo bastante semelhante ao que usamos hoje, na

definição geométrica da soma e do produto de números complexos; bem como no estudo das

propriedades aritméticas (associativa, distributiva, comutativa etc.) dessas operações.

Finalmente, Carl Friedrich Gauss (FIGURA 5) (1777-1855) em seu trabalho Teoria

dos Resíduos, publicado em 1831, com todo o peso de sua autoridade científica, proclama o

fim da Crise da Legitimidade dos números complexos. Nesses termos, Ripoll, Ripoll e

Silveira (2006) tornam vivas em seu texto, as palavras de Gauss, quando diz que:

Fazia muito tempo que as quantidades imaginárias estavam baseadas na ficção, não sendo plenamente aceitas na Matemática e vistas como uma coisa a ser tolerada; elas estavam longe de ter o mesmo status que as quantidades reais. Agora não há mais justificativa para tal discriminação, uma vez que a metafísica dos números imaginários está plenamente esclarecida, e que se provou que eles têm um significado tão real quanto os números negativos. (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.236).

35

É sabido que a construção de uma teoria geométrica para os números complexos, nos

moldes da tradição euclidiana, não foi a única responsável pelo término do preconceito contra

esses números, esclarecem Ripoll, Ripoll e Silveira (2006). Outros renomados matemáticos

— Niels Henrik Abel (1802-1829), Carl Jacobi (1804-1851), Augustin L. Cauchy (1789-

1857), Bernhard Riemann (1826-1866) e Martin Ohm — contribuíram com vários resultados

matemáticos, advindos da teoria construída acerca desse novo campo numérico.

A formalização completa dos números complexos, como pares ordenados de números

reais, foi desenvolvida, de forma independente, por János Bolyai (1802-1860), em um texto

intitulado Responsito, que não foi publicado por Bolyai e que só foi divulgado, em 1899, por

Paul Stäckel (1862-1919). Porém, as mesmas idéias foram publicadas pelo irlandês William

Hamilton (1788-1856), ainda em 1847, por meio da obra Theory of conjugate functions, or

algebraic couples, publicada no Trans. Irish Academy — seguida da publicação do livro

Exercises d’Analyse, no mesmo ano, de Augustin L. Cauchy (1789-1857), que tratava os

números complexos como classes de polinômios.

Enfim, por volta de 1850 não havia mais nenhuma dúvida sobre a legitimidade dos

números complexos e estava bastante clara sua relevância no estudo da Matemática.

Em particular, Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) finalizam sua exposição apresentando

um breve resumo da evolução histórica, na denominação e na notação dos números

complexos:

1. O símbolo 1− foi introduzido por Albert Girard, em 1629;

2. O costume de se escrever os números complexos na forma a + 1−b , usada por

D’Alembert — René Descartes, em 1637, chama a de “parte real” e b de “parte

imaginária” — foi abandonada em favor da atual notação a + bi. Quem usou, pela

primeira vez, o símbolo i para representar 1− foi Euler, em 1777. Entretanto,

Figura 5: Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Fonte: Garbi, 1997, p.116.

36

esse símbolo só se tornou amplamente aceito pela comunidade científica após ter

sido usado por Gauss, em 1801. Assim, uma expressão do tipo

2 + 111 − pôde ser escrita como 2 + 11i, bem como preferiu-se a notação

i . i = -1, ao invés de 1− . 1− = -1;

3. Em 1821, Cauchy introduziu os termos “conjugado” e “módulo”;

4. A denominação original “números sofísticos” foi totalmente abandonada e

substituída pela denominação atual “números complexos” — introduzida por

Gauss, em 1832. (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.237).

37

3 O MARGEAR DAS REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Pretende-se, neste capítulo, retomar as principais idéias relativas ao estudo dos

números complexos, fundamentadas em autores de textos didáticos, para os níveis de ensino

médio e superior. Para tal, torna-se necessário descrever um novo sistema de números, que a

partir de agora, será denominado conjunto C dos números complexos e deverá ser entendido

como uma extensão do sistema de números reais. Nesse novo sistema, toda equação

quadrática da forma ax2+bx+c = 0, com coeficientes reais e a não nulo, possui solução

independente do valor do discriminante ∆ = b2 – 4ac.

Ao tratar, na aritmética, um novo sistema de números como extensão de outro, é

importante elucidar que esse novo sistema apresenta as seguintes características:

1. conserva todas as propriedades algébricas do sistema antigo;

2. inclui todos os números do sistema antigo, de tal maneira, que as operações algébricas

novas e antigas, quando aplicadas aos números do sistema antigo, continuam as mesmas;

3. contém novos números do tipo que se necessita.

Nesse sentido, as regras para operar com os novos números devem ser entendidas

como conseqüência lógica das propriedades anteriormente admitidas. As propriedades

específicas desse novo sistema de números são, assim, apresentadas por Iezzi (2002):

Conjunto de propriedades C1:

1. O sistema dos Númeroscomplexos é fechado em relação às operações de adição (+)

e multiplicação ( . );

2. A adição é associativa e comutativa;

3. C possui um, e somente um, elemento neutro para a adição;

4. Cada elemento de C possui um, e somente um, oposto;

5. A multiplicação é associativa e comutativa;

6. C possui um, e somente um, elemento neutro para a multiplicação;

7. Cada elemento de C, diferente do elemento neutro da adição, possui um e somente

um, inverso;

8. A multiplicação é distributiva em relação à adição;

9. O produto entre dois elementos de C é nulo se, e somente se, pelo menos um desses

elementos for nulo.

38

cf. IEZZI, 2002, p.3-6.

Por causa das propriedades C1 e C2 enunciadas, diz-se que o conjunto C dos números

complexos é uma estrutura algébrica denominada corpo.

Para uma melhor sistematização desse conteúdo, será apresentada uma estrutura

didática, organizada de maneira a possibilitar a aquisição de conceitos, a diversidade de

representações e a (re)significação das operações aritméticas, no campo dos números

complexos. Os tópicos subseqüentes terão o propósito de desenvolver tais conhecimentos por

meio de tratamentos analíticos, cartesianos e geométricos.

3.1 Operações com pares ordenados

Seja ℜ o conjunto dos números reais que constitui a reta numérica. O produto

cartesiano ℜ x ℜ = ℜ2 = {(a,b)| a ∈ ℜ e b ∈ ℜ} é o conjunto de todos os pares ordenados

(a,b), em que a e b são números reais. Admitindo-se a noção de par ordenado como um

conceito intuitivo, Iezzi (2002) afirma que, a cada elemento a e a cada elemento b, está

associado um terceiro elemento indicado por (a,b) e denominado par ordenado, de tal modo

que (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.

Desejando-se somar dois pares ordenados (a,b) e (c,d), obtém-se um novo par

ordenado, de coordenadas (a + c, b + d), cujos primeiro e segundo elementos são,

respectivamente, a soma dos primeiros e a soma dos segundos elementos dos pares (a,b) e

(c,d) dados: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).

Conjunto de propriedades C2:

1. Todo número real pertence a C;

2. A soma de dois númerosreais em C, é igual à sua soma no sistema de

númerosreais;

3. O produto de dois númerosreais em C, é igual ao seu produto no sistema de

númerosreais;

4. O elemento neutro da adição em C, é o número 0 (zero) dos reais;

5. O elemento neutro da multiplicação em C, é o número 1 (um) dos reais.

39

O produto entre dois pares ordenados (a,b) e (c,d) é definido como sendo um novo par

ordenado, de coordenadas (ac – bd, ad + bc), cuja abscissa é determinada a partir da diferença

entre o produto dos primeiros elementos e o produto dos segundos elementos dos pares (a,b) e

(c,d) dados e cuja ordenada é representada pela soma dos produtos do primeiro elemento de

cada par dado (a,b) e (c,d), pelo segundo elemento do outro: (a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc),

afirma Iezzi (2002).

3.2 O conjunto C dos números complexos

O conjunto C dos números complexos é o conjunto C = ℜ2, formado por todos os

pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a

multiplicação, reafirma Iezzi (2002). O elemento genérico (a,b) desse conjunto será

representado pela letra z. Assim, z ∈ C ⇔ z = (a,b), sendo a, b ∈ ℜ.

Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de parte real e parte

imaginária de z, sendo indicados por ℜe(z) = a e Im(z) = b. O par (a,0) é identificado como o

número real a, onde (a,0) = a, permitindo configurar os números reais como um subconjunto

do conjunto dos números complexos. O par (0,1) será chamado unidade imaginária e

indicado por i, onde (0,1) = i. A criação da unidade i deu origem a um novo campo numérico,

chamado campo complexo, que generaliza o campo real. Em particular, tem-se que

z = (a,b) = 0 se, e somente se, a = b = 0.

As operações de adição e multiplicação entre dois números complexos z = (a,b) e

w = (c,d) foram definidas, anteriormente, como:

+==++=+=+

bc) ad bd, - (ac d)(c, . b)(a, w. z

d) b c, (a d)(c, b)(a, w z

Se z = (0, 1) = i e (-1,0) = -1 tem-se, de acordo com a definição acima, que:

(0,1)2 = (0,1).(0,1)

i 2 = (0 – 1, 0 + 0)

i 2 = (– 1, 0)

i 2 = – 1

40

Assim, Iezzi (2002) esclarece que i não é número real, pois não existe número real,

que elevado ao quadrado seja igual a um número negativo. Se existisse tal número, não seria

necessária a criação do campo numérico dos complexos.

3.3 Forma algébrica

Mostrou-se, anteriormente, que os números complexos da forma (a, 0) e (0, b), com

a, b ∈ ℜ, representam, respectivamente, pontos localizados sobre os eixos real e imaginário,

sendo (1,0) = 1 a unidade real e (0,1) = i a unidade imaginária. Como então, representar um

número complexo fora desses dois eixos? Para responder essa questão, Iezzi (2002) propõe

considerar um número complexo genérico z = (a, b), onde a, b ∈ ℜ e escrevê-lo como uma

soma de dois números complexos: um situado sobre o eixo real e o outro sobre o eixo

imaginário:

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b)

z = a. (1, 0) + b.(0, 1)

z = a . 1 + b . i

z = a + bi

Ele conclui, dizendo que a expressão z = a + bi, com a, b ∈ ℜ é denominada forma

algébrica ou forma binomial do número complexo z = (a, b).

Quando b = 0, o número complexo a + bi se reduz ao número real a; quando a = 0, o

número complexo se reduz a bi e é chamado imaginário puro. Todo número complexo da

forma (0,b) está localizado sobre o eixo imaginário (eixo y), e pode ser representado na forma

(0, b) = b . (0, 1) = bi.

Se a e b são, simultaneamente, diferentes de zero, o número complexo, que não é real,

é escrito como a soma de um número real e um número imaginário puro.

A representação do conjunto C, como extensão de ℜ, pode ser ilustrada conforme

Figura 6, a seguir:

41

ℜ = conjunto dos números reais

I = imaginário puro

C = conjunto dos números complexos

ℜ ∩ I = {0 = 0i = 0 + 0i}

3.4 Plano de Argand-Gauss

É possível representar os elementos de C, em um sistema ortogonal de eixos, idêntico

ao plano cartesiano — chamado plano complexo ou plano de Argand-Gauss — e essa

representação é feita associando os números complexos a pontos do plano cartesiano, como

esclarece Antar Neto et al. (1982).

Assim, a função f : C → ℜ2, definida por f(a + bi) = (a, b), associa o número

complexo z = a + bi ao ponto P(a,b), denominado afixo do número complexo z, como ilustra

a Figura 7.

A função f, acima, é bijetora — sobrejetora e injetora, simultaneamente — isto é, a

cada número complexo está associado um único ponto do plano ℜ2 e a cada ponto do plano

ℜ2 está associado um único número complexo. Tal associação, entre número complexo e

ponto do plano, generaliza a correspondência biunívoca entre número real e ponto da reta,

encerra Antar Neto et al. (1982).

ℜ

a = a + 0i bi = 0 + bi

I

a + bi, a ≠ 0 e b≠ 0

C

Figura 6: Representação do conjunto C dos números complexos como extensão do sistema ℜℜℜℜ dos números reais. Fonte: Iezzi, 2002, p.16.

. P

a

b z = a + bi ⇔ P(a,b) a + bi

.

0

Figura 7: Representação de z = (a,b) no plano de Argand-Gauss.

ℜ

ℜ

C

42

3.5 Módulo de um número complexo

Um número complexo z = (a,b) pode ser representado como um par ordenado ou como

um vetor, conforme ilustram as Figuras 8 e 9.

Como cada número complexo z pode ser visto como um vetor posição, é possível

calcular o seu módulo, como pondera Antar Neto et al. (1982). Geometricamente chama-se

módulo de z, e representa-o por |z|, a distância do afixo P à origem (0,0). Com isso, pode-se

afirmar que |z| ≥ 0, qualquer que seja z ∈ C e que |z| = 0 ⇔ z = 0. Aplicando o teorema de

Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa |z|, tem-se: |z|2 = a2 + b2 ⇔ |z| = 22 ba +

(FIGURA 9).

O lugar geométrico definido pelos afixos de números complexos de mesmo módulo

|z|, com |z| ≠ 0 é uma circunferência de centro na origem e raio |z|, cuja equação reduzida

pode ser expressa por a2 + b2 = |z|2, acrescentam os autores. De um modo geral, um número

complexo qualquer terá seu módulo maior, menor ou igual a 1(um), caso seu afixo esteja,

respectivamente, no exterior, no interior ou sobre a circunferência de centro na origem e raio

unitário, conforme ilustram as figuras abaixo. Os números complexos que possuem módulo

igual a 1(um) são chamados complexos unitários.

Figura 10: Representação geométrica de números complexos que possuem módulo menor que 1; {z ∈∈∈∈ C / |z| <<<< 1}.

Figura 11: Representação geométrica de números complexos que possuem módulo igual a 1; {z ∈∈∈∈ C / |z| = 1}.

Figura 12: Representação geométrica de números complexos que possuem módulo maior que 1; {z ∈∈∈∈ C / |z| >>>>1}.

. P

a

b . P

a

b

0

|z|

0 ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

Figura 8: Representação de z = (a,b) como par ordenado.

Figura 9: Representação de z = (a,b) como vetor.

43

Antar Neto et al. (1982) afirmam, ainda, que se |z – z1| indica a distância entre a

imagem de z e a imagem de z1, então, a equação |z +3| + |z - 3| = 10 tem como soluções os

números complexos z tal que a soma das distâncias da imagem de z aos pontos F1(-3,0) e

F2(3,0) é a constante 10. Observa-se que os pontos do plano, de Argand-Gauss, que

satisfazem essa condição são os pontos da elipse (FIGURA 13), de focos F1 e F2, centro na

origem e eixos maior e menor, de medidas 10 e 8, respectivamente.

3.6 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo

Define-se a forma trigonométrica ou polar de um número complexo, não nulo, por

meio de seu módulo |z| e do ângulo trigonométrico θ obtido ao girar o semi-eixo real positivo

no sentido anti-horário. Esse ângulo é chamado de argumento do número complexo z e é

representado por arg(z), conforme ilustra a Figura 14:

F1 F2

Figura 13: Lugar geométrico definido por todos os números complexos de afixo z , tais que |z +3| + |z - 3| = 10. Figura construída no software Winplot.

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

44

Analisando as projeções do ponto P (FIGURA 14), pode-se afirmar que a = |z|. cos θ e

b = |z| . sen θ, em que |z| representa a distância do ponto P à origem (0,0) e θ = arg(z), com

0 ≤ θ < 2π. Portanto, P = z = (a,b) = ( |z| cos θ , |z| sen θ) ⇒ z = |z| . (cos θ, sen θ) ⇒

z = |z| (cos θ + i sen θ) é a representação de um número complexo z, não nulo, na forma

trigonométrica, esclarecem Carmo, Morgado e Wagner (1992).

Ao escrever o número complexo z na forma algébrica, atribui-se ao ponto P a

representação cartesiana, ao passo que, quando escrito na forma trigonométrica, P é

determinado em coordenadas polares, ou seja:

z = a + bi ⇔ P = (a, b)

z = |z| (cosθ + i senθ) ⇔ P = (|z|,θ)

O argumento de um número complexo z, continuam Carmo, Morgado e Wagner

(1992), pode ser generalizado por arg(z) = arg(z) + 2kπ, sendo k um número inteiro. Por essa

razão, o argumento não é único. Geralmente usa-se o símbolo A ≅ B (mod 2π) para expressar

que A = B + 2kπ, para um certo inteiro k. Valendo-se dessa notação, pode-se registrar que

arg(z) ≅ θ (mod 2π), o que implica afirmar que o argumento de um número complexo z tem

infinitas representações (ângulos côngruos). O ângulo que pertence à primeira volta positiva é

o argumento principal de z (0º ≤ θ < 360º ou 0 ≤ θ < 2π). É possível, portanto, observar que o

número complexo z não se altera, se na forma trigonométrica z = |z| (cosθ + i senθ), o ângulo

θ for substituído por θ + 2kπ, sendo k um número inteiro.

Pode-se escrever: z = |z| [cos(θ + 2kπ) + i sen(θ + 2kπ)] e dizer que θ + 2kπ são argumentos

de z, concluem Carmo, Morgado e Wagner (1992).

)θ

.

a

b

ℜ

ℜ 0

|z| P = z

Figura 14: Representação do vetor z = (a,b), em função de |z| e do arg(z).

45

3.7 Conjugado: reflexão sobre o eixo real

O conjugado de um número complexo z = |z| (cos θ, sen θ) é definido como sendo o

número complexo z (lê-se “conjugado de z”), tal que z= |z| (cos (-θ), sen (-θ)) ou

z= |z| (cos θ, -sen θ), pondera Churchill (1975). Isso significa que o ponto z é representado

pela reflexão de z em relação ao eixo real, ou ainda, os afixos de z e z são simétricos em

relação ao eixo x. Sendo z = (a, b), a forma cartesiana de seu conjugado é dada por

z = (a, -b), em conformidade com as figuras abaixo:

O autor continua sua exposição, sintetizando algumas propriedades sobre o conjugado

de números complexos, representados na forma algébrica z = a + bi:

1. O conjugado de z é z= a – bi;

2. z e z são números complexos conjugados (um é conjugado do outro);

3. z é simétrico de z em relação ao eixo real;

4. z = |z| (cos θ, -sen θ);

5. | z | = |z|;

6. z é real ⇔ z = z;

7. z possui argumento igual ao oposto do argumento de z;

8. z + z = 2 Re (z);

9. z - z = 2 . Im (z) . i;

10. z . z = |z|2;

Figura 15: Representação vetorial do número complexo z e seu conjugado. Fonte: Churchill, 1975, p.10.

Figura 16: Representação cartesiana do número complexo z e seu conjugado. Fonte: Churchill, 1975, p.7.

46

11. O conjugado da soma de dois complexos é igual à soma dos seus conjugados, ou seja,

wz+ = z + w . Pode-se provar, ainda, que a operação “aplicar conjugados” também é

distributiva em relação à subtração, à multiplicação e à divisão, isto é, wz− = z - w ,

wz. = z . w e w

z

w

z =

, para w ≠ (0,0) (CHURCHILL, 1975, p.6-8).

3.8 Propriedades do módulo de um número complexo

Iezzi (2002) apresenta as seguintes propriedades sobre o módulo de números

complexos, representados na forma algébrica z = a + bi:

1. |z|2 = z . z , pois, z. z= a2 + b2;

2. Se z ≠ (0,0), então, z -1 = 2|| z

z, pois, de (1) tem-se que z =

z

z 2||⇒ z-1 =

2|| z

z;

3. |z| = |z |, pois |z| = =+ 22 ba =−+ 22 )( ba | z |;

4. Re (z) ≤ |Re (z)| ≤ |z|, pois:

a ≥ 0 ⇒ a = |a|

a < 0 ⇒ a < |a|

Por outro lado:

a2 ≤ a2 + b2 ⇒ 2a ≤ 22 ba + ⇒ |a| ≤ |z| (* *)

De (*) e (* *) tem-se que a ≤ |a| ≤ |z|;

5. Im(z) ≤ | Im(z) | ≤ |z| : para mostrar que b ≤ |b| ≤ |z|, basta proceder de forma

análoga à (4);

Sejam z e w dois números complexos quaisquer. O autor propõe analisar, ainda, as

seguintes propriedades:

a ≤ | a | (*)

47

6. |z . w| = |z| . |w|, pois:

|z . w|2 = (z . w) . (zw) : de acordo com a propriedade (1)

|z . w|2 = z .w .z . w = z .z . w .w = |z|2 . |w|2

|z . w|2 = |z|2 . |w|2

Extraindo a raiz quadrada do resultado acima e lembrando que o módulo não pode ser

negativo, conclui-se que |z w| = |z| . |w|;

7. ||

||

w

z

w

z = , com w = x + yi e w ≠ (0,0).

Inicialmente, temos:

||

11

))((

112222

22

22 wyxyx

yx

yx

yix

yixyix

yix

iyxw=

+=

++

=+−=

−+−=

+=

Portanto, ||

||

||

1.||

1.||

1.

w

z

wz

wz

wz

w

z ==== ;

8. Desigualdade triangular: |z + w| ≤ |z| + |w|

(A) |z + w|2 = (z + w) . )( wz+ : de acordo com a propriedade (1)

= (z + w) . )( wz+

= z )( wz+ + w )( wz+

= wwzwwzzz +++

= |z|2 + 2 Re (zw) + |w|2

(B) |z + w|2 = ( |z| + |w| )2

= |z|2 + 2. |z| . |w| + |w|2

Fazendo (A) - (B), encontra-se:

|z + w|2 – (|z| + |w|)2 = 2 Re (zw) - 2|z| . |w|

= 2 ( Re (zw) - |z . w| )

De acordo com a propriedade (4) , tem-se Re (zw) - |zw| ≤ 0

48

Logo, 2( Re (zw) - |zw| ) ≤ 0 ⇒ |z + w|2 – (|z| + |w|)2 ≤ 0 ⇒ |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2

Ao extrair a raiz quadrada, não podendo o módulo ser negativo, concluí-se que:

|z + w| ≤ |z| + |w| (IEZZI, 2002, p.17-19).

3.9 Há ordenamento no conjunto dos números complexos?

Qual desses números é o maior: 3 + 4i ou 5 + i ? De acordo com Lima (2004), não é

possível estabelecer esse tipo de relação entre os números, pois o conjunto C dos números

complexos não é ordenado. Ele afirma, ainda, que um conjunto T é chamado de ordenado

quando está definida, entre seus elementos, uma relação de ordem, ou seja, uma relação

binária x < y, com as seguintes propriedades:

P1) Tricotomia: tomados quaisquer x e y em T, ou se tem x < y, ou y < x, ou x = y;

P2) Transitividade: se x < y e y < z, então x < z.

Considerando as propriedades enunciadas acima, cabe investigar a seguinte questão: o

que impede alguém de ordenar o conjunto C dos números complexos usando, por exemplo, a

“ordem do dicionário”? Esta ordem é, assim, definida por Lima (2004):

[...] dados os números complexos w = a + bi e z = c + di, escreve-se w < z quando a < c, isto é, quando a parte real de w é menor do que a de z e, naturalmente, põe-se z < w quando c < a. Entretanto, se a = c, analisa-se a parte imaginária desse número, ou seja, diz-se que w < z quando b < d e z < w, no caso de d < b. (LIMA, 2004, p.171).

A partir dessa definição, as propriedades (P1) e (P2), supracitadas, são facilmente

verificadas para a “ordem do dicionário”. Logo, ela torna o conjunto C dos números

complexos um conjunto ordenado. Entretanto, como afirmou-se anteriormente, não é possível

estabelecer uma comparação entre os números 3 + 4i e 5 + i, por se tratarem de elementos de

um conjunto não ordenado. E agora, isto não parece uma contradição?

Lima (2004) acrescenta, ainda, que um corpo ordenado é uma estrutura algébrica, na

qual se define uma relação de ordem “compatível” com as operações de adição e de

multiplicação, sendo válidas, também, as seguintes propriedades:

49

P3) “Se x < y, então x + z < y + z para todo z no corpo;

P4) Se x < y, então xz < yz para todo z > 0 no corpo.” (LIMA, 2004, p.172).

Por outro lado, a “ordem do dicionário”, definida acima, não faz de C um corpo

ordenado. Ela cumpre apenas com a propriedade (P3), ou seja, é “compatível” com a adição

de números complexos, mas não cumpre com a propriedade (P4). Para comprovar essa

afirmação, Lima esclarece que “na ‘ordem do dicionário’, os números complexos maiores do

que zero, são os que, ou têm parte real positiva, ou são da forma z = 0 + bi = bi, com b > 0.”.

(LIMA, 2004, p.172). Assim, a relação 3 + 4i < 5 + i é válida na “ordem do dicionário”, mas,

multiplicando ambos os membros dessa desigualdade pelo número complexo positivo 3 – 4i,

obtém-se 25 < 19 – 17i, contrariando a “ordem do dicionário”. Embora C seja um corpo, não

é ordenado, conclui Lima (2004), pois, em um corpo ordenado são válidas, ainda, as seguintes

proposições:

P5) “O quadrado de todo elemento não nulo é positivo”;

P6) “Tem-se x > 0 se, e somente se, -x < 0.” (LIMA, 2004, p.172-173).

De (P5) e (P6) é possível afirmar que nenhuma relação de ordem torna o conjunto C

um corpo ordenado, haja vista que i2 = -1. Se C fosse um corpo ordenado, o número -1 seria

positivo pela proposição (P5) e 1 seria negativo pela proposição (P6).

3.10 Soma de números complexos: compondo translações ...

Definiu-se a adição de dois números complexos z = (a,b) e w = (c,d) como

z + w = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). A adição, definida dessa forma, representa a composição de

duas translações no plano: uma na direção horizontal e outra de direção vertical. Adicionar

um número complexo a outro é compor as translações que um define sobre o outro, conforme

esclarecem Carmo, Morgado e Wagner (1992).

Assim, para somar os números complexos z e w (FIGURA 17), translada-se o afixo de

z, c unidade(s) na direção horizontal para a direita (+c) e d unidade(s) na direção vertical para

cima (+d), formando o paralelogramo de vértices O = (0,0), z = (a,b),

50

z + w = (a + c, b + d) e w (c,d), conforme Figura 18. A soma é representada,

geometricamente, pelo vetor diagonal de afixo no ponto (a + c, b + d).

Para cada z = (a,b) existe um complexo S = (-a, -b) = -(a, b) = -z, chamado simétrico

aditivo ou oposto de z, que somado ao complexo z = (a, b) tem como resultado N = (0, 0).

Com isso, pode-se definir a subtração ou diferença entre dois números complexos z = (a, b) e

w = (c, d), como sendo a soma de z, com o oposto de w, acrescentam Carmo, Morgado e

Wagner (1992).

Assim, z – w = z + (-w)

= (a,b) + (-c, -d)

= (a + (-c) , b + (-d))

= (a – c, b – d)

Os números complexos z e w são representados na Figura 19, respectivamente, pelos

vetores OP1 e OP2, e o número complexo z – w = z + (-w) é representado pelo vetor diferença

OP. Convém notar, que POP2P1 é um paralelogramo e que a medida do segmento OP é igual à

medida do segmento P1P2, ou seja, |z – w| é igual à medida P1P2. Portanto, o módulo da

diferença de dois números complexos representa a distância entre seus afixos.

Figura 19: Representação geométrica do vetor diferença z - w. Fonte: Carmo; Morgado; Wagner, 1992, p.70.

z

z

Figura 17: Representação geométrica dos vetores z = (a,b) e w = (c,d). Fonte: Carmo; Morgado;Wagner, 1992, p.69.

Figura 18: Representação geométrica do vetor soma z + w. Fonte: Carmo; Morgado; Wagner, 1992, p.69.

51

Para finalizar sua análise, os autores propõem retomar a Figura 18. Afirmou-se,

anteriormente, que o número complexo z + w pode ser representado, geometricamente, pelo

vetor de afixo (a + c, b + d), que corresponde a uma das diagonais do paralelogramo de

vértices O = (0,0), z = (a,b), z + w = (a + c, b + d) e w (c,d). É possível constatar, ainda, que o

número complexo z – w pode ser representado, geometricamente, pelo vetor — destacado em

vermelho — que determina a outra diagonal desse mesmo paralelogramo.

3.11 Multiplicação de um complexo por um escalar: dilatando ou contraindo?

Seja k ∈ ℜ um escalar e z = (a, b) um número complexo qualquer. Define-se o produto

kz como k . z = k (a, b) = (ka, kb), conforme ilustram as Figuras 20 e 21 a seguir:

Pela Figura 21, nota-se que, ao multiplicar um real (escalar) por um número complexo,

o novo número complexo representará uma dilatação ou contração do anterior. Ou seja, essa

multiplicação representa uma operação linear de expansão, ou uma contração uniforme no

plano, bem como composição de expansão ou contração, com rotação ou reflexão. De um

modo geral, esclarece Anton e Busby (2006), pode-se, de acordo com a Figura 22, apresentar

a seguinte generalização:

1. Se k > 1, o vetor k . z mantém a mesma direção e sentido de z, porém, tem módulo maior

(dilatação no plano);

Figura 21: Representação geométrica da dilatação do vetor z = (a,b), de k unidades. Fonte: Anton; Busby, 2006, p.26.

Figura 20: Representação geométrica do vetor z = (a,b) e do seu oposto. Fonte: Anton; Busby, 2006, p.26.

52

2. Se 0 < k < 1, o vetor k . z mantém a mesma direção e sentido de z, porém, tem módulo

menor (contração no plano);

3. Se -1 < k < 0, o vetor k . z, em relação à z, mantém a mesma direção, porém, inverte o

sentido e tem módulo menor (contração com reflexão em torno da origem, ou rotação de

180º);

4. Se k < -1, o vetor k . z, em relação à z, mantém a mesma direção, porém, inverte o sentido

e tem módulo maior (dilatação com reflexão em torno da origem, ou rotação de 180º);

5. Se k = 1, os vetores k . z e z são idênticos, portanto, mantêm o mesmo módulo, direção e

sentido;

6. Se k = - 1, os vetores k . z e z são simétricos, portanto, mantêm o mesmo módulo e

direção, invertendo o sentido (reflexão em torno da origem, ou rotação de 180º). Isso

significa que os afixos de z e seu oposto –z apresentam simetria em relação à origem.

(ANTON; BUSBY, 2006, p.289).

3.12 Multiplicação de complexos unitários: compondo rotações ...

Sejam z = (cos α, sen α) e w = (cos θ, sen θ) dois números complexos unitários

quaisquer. O produto entre os vetores z e w é definido da seguinte maneira:

Figura 22: Representação geométrica da dilatação e da contração do vetor z = (a,b), em função do escalar k. Fonte: Anton; Busby, 2006, p.289.

53

z . w = (cos α, sen α) . (cos θ, sen θ)

z . w = (cos α cosθ – sen α sen θ, cos α sen θ + sen α cos θ)

z . w = (cos (α + θ) , sen (α + θ))

Com base nessa definição, Carmo, Morgado e Wagner (1992) propõem analisar a

seguinte questão: Que transformação a multiplicação de números complexos define no plano?

Esta operação é interpretada, geometricamente, como sendo a composição de duas rotações,

como ilustra a Figura 23: se os complexos z e w definem, respectivamente, rotações α e θ,

então, o produto de z por w define uma rotação (α + θ), de modo que a partir de α gira-se

mais θ, ou a partir de θ gira-se mais α. Portanto, o produto de dois números complexos

unitários é ainda um número complexo de módulo 1 e argumento igual à soma dos

argumentos dos fatores: |z . w| = |z| . |w| = 1 e arg (z . w) = arg (z) + arg (w). Esse produto

pode ser, então, assim representado: z . w = 1 . (cos(α + θ) + i sen(α + θ)).

3.13 Multiplicação de complexos: compondo rotações e dilatações ...

Carmo, Morgado e Wagner (1992) consideram dois números complexos quaisquer,

z = |z| (cos α, sen α) e w = |w| (cos θ, sen θ). Como fazer a multiplicação entre esses

números? Se um dos números complexos for nulo, o produto z . w = (0,0). É importante

ressaltar que não se define argumento para o número complexo z = (0,0).

Figura 23: Representação geométrica do produto entre os vetores unitários z e w. Fonte: Carmo; Morgado; Wagner, 1992, p.81.

54

Se o número complexo z.w não for nulo, então |||| w

we

z

z são números complexos

unitários, na direção de z e w, respectivamente.

Como z = |z| (cos α, sen α) e w = |w| (cos θ, sen θ), temos || z

z= (cos α, sen α) e

=|| w

w(cos θ, sen θ). Da definição de multiplicação de números complexos unitários, pode-se

escrever: || z

z . =

|| w

w (cos (α + θ), sen (α + θ)) ⇒ z . w = |z| . |w| . (cos(α + θ), sen (α + θ)),

como concluem Carmo, Morgado e Wagner (1992).

Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, pode-se generalizar a fórmula

anterior, a mais de dois fatores. Assim, o produto entre os n números complexos da forma

zi = |z i | . (cos αi , sen αi ) , i = 1, 2, 3, … , n pode ser representado pela seguinte expressão

matemática: z1 . z2 ... zn = | z1|. |z2| ... |zn| . (cos (α1 + α2+ ... + αn) , sen(α1 + α2+ ... + αn)) , o

que pode ser interpretado geometricamente, a partir da Figura 24.

Pela Figura 24, é possível interpretar, geometricamente, o produto z.w, como sendo a

rotação positiva do vetor z de um ângulo de medida θ, seguida de uma homotetia1 de razão

1 A homotetia em um vetor é representada pela dilatação ou contração do seu comprimento (módulo) em uma razão de proporcionalidade k. Dizemos que houve uma dilatação no comprimento de um vetor quando k > 1, e que houve uma contração quando 0 < k < 1. (ANTON; BUSBY, 2006, p.288).

Figura 24: Representação geométrica do produto entre os vetores z e w, quaisquer. Fonte: Anton; Busby, 2006, p.579.

55

k = |w|, ou ainda, como a rotação positiva do vetor w de um ângulo de medida α, seguida de

uma homotetia de razão k = |z|.

Uma aplicação imediata dessa interpretação mencionada acima está conectada,

segundo Carmo, Morgado e Wagner (1992), às fórmulas de adição de arcos, cos(a + b) e

sen(a + b), abordadas em trigonometria.

Considerando os números complexos unitários não-nulos z = 1(cos a + i sen a) e

w = 1(cos b + i sen b), é possível escrever o produto z . w da seguinte maneira:

z . w = cos (a + b) + i sen (a + b)

1(cos a + i sen a) . 1(cos b + i sen b) = cos (a + b) + i sen (a + b)

(cos a.cos b – sen a .sen b) + i . (sen a .cos b + sen b . cos a) = cos(a + b) + i sen(a + b)

Igualando as partes reais e imaginárias, conclui-se que:

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b ;

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

3.14 Eixo imaginário: uma interpretação geométrica

Afirmou-se anteriormente que todo número complexo da forma (0, b) pode ser escrito

como b.(0, 1), onde (0, 1) é o vetor unitário que define uma rotação de 90º, pois,

(0,1) =

2,

2cos

ππsen . Esse número foi representado por i e denominado unidade

imaginária. Carneiro (2004) sugere considerar o vetor OA igual a (+d) e o vetor oposto OB

igual a (-d), como ilustra a Figura 25, a seguir:

Como passar da quantidade (+d), representada por OA, para a quantidade (-d),

representada por OB? Há duas formas: algebricamente, multiplicando-se (+d) por (-1) e,

0 A B

- d + d

Figura 25: Representação da medida algébrica dos vetores, simétricos, OA e OB.

56

geometricamente, fazendo-se girar o vetor OA de uma semi-volta, em qualquer sentido,

esclarece, ainda, Carneiro (2004).

Assim, é possível generalizar afirmando que multiplicar uma quantidade por (-1)

equivale a provocar um giro de 180º no vetor representativo dessa quantidade. Pode-se dizer

que (-1) é um operador algébrico que faz um vetor girar 180º.

Valendo-se dessa lógica de raciocínio e dos conhecimentos sobre rotação de ângulos

abordados na Trigonometria, Carneiro (2004) propõe uma outra questão: Como fazer um

vetor girar 90º?

Como mostra a Figura 26, para fazer OA girar (+π/2), levando-o a OC, torna-se

necessário multiplicá-lo por um fator λ, de maneira que, fazendo-o girar, novamente, de

(+π/2) — que é equivalente a multiplicá-lo por λ — se encontre o vetor OB.

O fator λ é, portanto, um operador algébrico que faz um vetor girar 90º. Esse fator, cujo valor

ainda é desconhecido, indica a existência de um vetor vertical, e o sinal de λ indica a

orientação desse mesmo vetor.

Qual é, então, o valor de λ? Analisando as Figuras 25 e 26, é possível verificar que, ao

fazer OA girar duas vezes 2

π, deve-se encontrar OB. Portanto, multiplicando-se +λd — que é

equivalente a OC — por +λ, deve-se encontrar (-d), ou seja:

+λ d . λ = -d

λ 2.d = -d

λ 2 = -1 ⇒ λ = 1−

Figura 26: Representação geométrica das sucessivas multiplicações do vetor horizontal OA, pela unidade imaginária.

57

Como i = (0, 1) e i2 = (0, 1) . (0, 1) = (0 -1, 0 +0) = (-1, 0) = -1, conclui-se que:

λ2 = i2 = -1

O número λ = i = 1− não pode ser calculado como número real, sendo, por isso,

chamado de imaginário. Assim, conclui Carneiro (2004) que: multiplicar o comprimento de

um vetor horizontal por i equivale a fazê-lo girar +90º, e multiplicar seu comprimento por –i,

equivale a girá-lo -90º.

3.15 Uso do conjugado na divisão

Para a análise seguinte, Churchill (1975) sugere considerar n = |n| (cos θ, sen θ), como

sendo o elemento neutro da multiplicação. Como a multiplicação representa uma composição

de rotação com dilatação, pode-se concluir que θ = 0º e |n| = 1, uma vez que o elemento

neutro não altera o resultado da multiplicação — não define nenhuma rotação — nem o

módulo do complexo que ele está multiplicando. Assim:

n = 1 . (cos 00, sen 00 ) ⇒ n = (1, 0) = (cos 00, sen 00 ).

Para se calcular o inverso multiplicativo w-1 de um número complexo w, não nulo,

pode-se valer da relação w . w-1 = n. Sendo w = |w| (cos θ, sen θ) e

w-1= |w-1| (cos α, sen α), tem-se:

w . w-1 = n

|w| (cos θ, sen θ) . |w-1| (cos α, sen α) = 1 (cos 00, sen 00)

|w| . |w-1| . (cos ( θ + α) , sen ( θ + α)) = 1 (cos 00, sen 00)

|w| . |w-1| = 1 ⇒ |w-1| =||

1

w e θ + α = 0º ⇒ α = -θ

Portanto, o inverso multiplicativo de w = |w| (cos θ, sen θ) é

w-1 = ||

1

w(cos (-θ), sen (-θ)) =

||

1

w(cos θ, - sen θ) , conclui Churchill (1975). A partir desse

resultado, é possível considerar dois complexos z = |z| (cos α, sen α) e w = |w| (cos θ, sen θ),

58

com w ≠ (0, 0), e calcular a divisão de z por w, fazendo a multiplicação de z pelo inverso

multiplicativo de w, como demonstrado a seguir:

w

z = z . w-1

Como w -1 = ||

1

w(cos(-θ), sen(-θ)) , tem-se que:

w

z= |z| (cos α, sen α) .

||

1

w(cos(-θ), sen(-θ)

w

z=

||

||

w

z(cos(α+(-θ); sen(α+(-θ))

w

z=

||

||

w

z (cos(α - θ), sen(α - θ))

Assim, o quociente w

z pode ser interpretado, geometricamente, como a rotação

negativa do vetor z de um ângulo de medida θ, seguida de uma homotetia de razão k = ||

1

w.

Pode-se, também, calcular a divisão de dois números complexos, multiplicando o numerador

e o denominador pelo conjugado do denominador, continua Churchill (1975), tomando como

base que z . z= |z|2 — propriedade (10) apresentada na seção 3.7 — é um número real

positivo. Se os números complexos estiverem na forma algébrica, é possível proceder do

mesmo modo. Dados z = a + bi e w = c + di, com z ≠ (0,0) é possível definir que:

iba

cbda

ba

dbca

biabia

biadic

z

z

z

w

z

w2222)()(

)()(.

+−+

++=

−+−+== .

3.16 Potências de i

De acordo com o que já foi apresentado, a unidade imaginária i tem a propriedade

i2 = -1, onde i2 = i .i. Assim, as potências de um complexo z, com expoente inteiro n, são

definidas do mesmo modo como se define as potências de base real:

59

z0 = 1

z1 = z

zn = z. z. z...z (n fatores) ; com n ∈ IN e n ≥ 2

z-n = nz

1 ; com n ∈ IN* e z ≠ (0,0)

Particularmente, para z = i, tem-se:

i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = -i

i4 = 1 i5 = i i6 = -1 i7 = -i

i8 = 1 i9 = i i10 = -1 i11 = -i etc.

Pode-se verificar, portanto, que só existem quatro resultados possíveis para as

potências de i: 1, i, -1 e –i, como sinaliza Lima et al. (2001). Observa-se que as potências de i,

com expoentes inteiros e consecutivos, repetem seus resultados a cada ciclo de quatro

elementos. Portanto, para se calcular uma potência in, sendo n um número inteiro qualquer,

deve-se dividir n por 4. Os possíveis valores que o resto r pode assumir nessa divisão são 0, 1,

2 ou 3. Como i4 = 1, é fácil perceber que, se n = 4q + r, q ∈ Z, tem-se:

in = i4q + r = i4q . ir = (i4)q . ir = 1q . ir = ir. Logo, in ∈ {1, i, -1, -i}.

De forma geral, Lima et al. (2001) conclui que a potência de in é igual a ir, onde r é o

resto da divisão de n por 4, conforme exemplos abaixo:

1) i100 = i0 = 1 2) i-23= (123)-1 = (i3)-1 = (-i)-1 = - ii

=1ou i-23 = i1 = i

3.17 Potenciação na forma trigonométrica

A forma algébrica facilita as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão

de números complexos, porém, não é muito prática no cálculo de potências. Iezzi (2002)

alerta-nos de que, para se calcular (a + bi)n, n inteiro e n ≥ 2, deve-se multiplicar o fator

60

a + bi por ele mesmo n vezes, ou recorrer à teoria sobre Binômio de Newton, valendo-se da

relação matemática, que fornece a expansão dessa mesma potência:

(a + bi)n =

∑

=

n

p

n

p 0

(a)n-p . (bi)p

Ambos os procedimentos geralmente são muito trabalhosos, ao passo que a

transformação trigonométrica, além de simplificar a operação de potenciação, é útil para a

radiciação.

Sendo a multiplicação de números complexos interpretada, geometricamente, como

uma composição de rotações e dilatações, a potência zn deve ser vista por meio de uma

composição de repetidas rotações e dilatações, enfatiza Iezzi (2002).

Se z = |z| (cosθ + isenθ) ≠ (0,0), então, zn é o produto de n fatores iguais a z. Portanto:

z2 = |z|. |z| [cos(θ + θ) + i sen(θ + θ)] = |z| 2 [cos(2θ) + i sen(2θ)]

z3 = |z| . |z| . |z| [cos(θ + θ + θ) + i sen(θ + θ+ θ)] = |z| 3 [cos(3θ) + i sen(3θ)]

Generalizando, para n números complexos de mesmo módulo |z| e argumento θ, tem-se:

zn = |z|. |z| …|z| . [cos(θ + θ +…+ θ) + i sen(θ + θ +…+ θ)] =

zn = |z|n (cos(nθ) + i sen(nθ))

Essa igualdade, conhecida como primeira fórmula de De Moivre2, permite que se

calcule potências de base complexa e expoente inteiro n, n ≥ 2, em função do módulo |z| e do

argumento θ , com 0 ≤ θ < 2π.

Iezzi (2002) propõe generalizar a primeira fórmula de De Moivre para qualquer n

inteiro positivo, negativo ou nulo. Inicialmente, prova que ela é válida para n ∈ N, usando o

princípio de indução finita, como feito a seguir:

2 Abraham De Moivre (1667-1754) tem seu nome ligado, também, ao desenvolvimento da Teoria das Probabilidades.

n fatores n parcelas n parcelas

61

1) Se n = 0, então

z0 = 1

z = |z|0 (cos 0 + i sen0) = 1

2) Admitindo a validade da fórmula para n = k, deverá ser provada a validade para

n = k + 1.

zk + 1 = zk . z = |z|k (cos kθ + i sen kθ) . |z| (cosθ + i senθ)

= |z|k . |z| . [cos (kθ + θ) + i sen(kθ + θ)]

= |z|k+1 . [cos (k + 1)θ + i sen(k + 1)θ]

Ele propõe, ainda, verificar essa relação para n ∈ Z. Se n < 0, então, n = -m, com

m ∈ IN. Portanto, em função de m, se aplica a fórmula:

zn = z-m = ).(cos|z|

11θθ msenimz mm +

=

= )).(cos(cos

cos.

|z|1

θθθθθθ

msenimmsenim

msenimm −+

−

= )]()[cos(|z|)(cos

cos.

|z|1

22θθ

θθθθ

msenimmsenm

msenim mm

−+−=+

− −

= n|z| [cos (nθ) + i sen (nθ)]

Considerando o número complexo, não-nulo, z = 1(cosθ + i senθ) e um número inteiro

positivo n, tem-se que zn = cos (nθ) + i sen(nθ), isto é, (cos θ + i senθ)n = cos (nθ) + i sen(nθ).

Esse resultado é útil, na trigonometria, para determinar valores de cos(nθ) e sen(nθ),

sem o uso das fórmulas de adição. Por exemplo, para calcular cos(3a), procede-se assim:

cos(3a) + i sen(3a) = (cos a + i sen a)3

= cos3 a + 3 . cos2 a . i sen a + 3 . cos a . i2 . sen2 a + i3 . sen3 a

= cos3 a – 3 . cos a . sen2 a + i (3 . cos2 a . sen a – sen3 a)

Igualando as partes reais e imaginárias, e fazendo uso da identidade trigonométrica

sen2 a + cos2 a = 1, conclui-se que:

62

cos(3a) = cos3 a – 3 . cos a . sen2 a = 4 . cos3 a – 3 . cos a ;

sen(3a) = 3 . cos2 a . sen a – sen3 a = 3 . sen a – 4 . sen3 a

3.18 Raiz aritmética

O número 3 é uma raiz quadrada de 9, pois 32 = 9. O número -3, também, é uma raiz

quadrada de 9, pois (-3)2 = 9. Assim, os números 3 e -3 são, ambos, raízes quadradas de 9,

pois (-3)2 = 32 = 9. No entanto, apenas o número real positivo 3 é a raiz quadrada aritmética

de 9 e é indicado por 9 . Em vista disso, o número real negativo -3, por ser simétrico de 3, é

representado pelo símbolo -9 . Portanto, 9 = 3; - 9 = -3; ± 9 = ± 3 e as raízes quadradas

de 9 são 3 e -3.

De um modo geral, se a ∈ ℜ+ , n ∈ IN e n ≥ 2, é possível afirmar que o número

positivo n a existe, é único e é chamado raiz enésima aritmética de a.

3.19 Radiciação em C: interpretação geométrica

Considere o número complexo z = |z| (cosθ + i senθ) não nulo. Sendo n um número

inteiro positivo, chama-se raiz enésima de z qualquer complexo

w = |w|(cosα + i senα), tal que wn = z. Assim, de acordo com a definição e utilizando a

fórmula de De Moivre, Antar Neto et al. (1982) esclarecem que:

[|w| (cosα + i senα)]n = |z| (cosθ + i senθ)

|w|n(cos nα + i sen nα) = |z| (cosθ + i senθ)

Comparando essas igualdades, deduz-se que:

|w|n = |z| ⇒ |w| = n |z| , com |w| ∈ ℜ+

cos nα = cosθ

sen nα = senθ ⇒ nα = θ + 2kπ ⇒ α =

n

θ + k

n

π2

63

Supondo 0 ≤ θ < 2π, é possível determinar valores inteiros de k, para os quais resultam

valores de α, pertencentes ao mesmo intervalo real definido para θ, como se verificou abaixo:

k = 0 ⇒ α =n

θ

k = 1 ⇒ α =n

θ+

n

π2

k = 2 ⇒ α =n

θ+ 2.

n

π2

k = n - 1⇒ α =n

θ+ (n -1) .

n

π2

Esses n valores de α não são côngruos, por estarem todos no intervalo real [0, 2π[,

portanto, dão origem a n valores distintos para w. Para k = n ⇒ α =n

θ+ n .

n

π2 ⇒ α =

n

θ+ 2π.

Esse valor é descartado por ser maior ou igual a 2π e côngruo ao valor obtido para

k = 0. Portanto, para k = 0, 1, 2, ..., n-1, os valores de w são todos diferentes, pois os arcos

n

θ+ k

n

π2 não são côngruos. Daí em diante, isto é, para k = n, n + 1, n + 2, ... os arcos passam

a ser obtidos pela segunda vez e os valores de w se repetem. Para se obter as n raízes de um

número complexo, é suficiente fazer k = 0, 1, 2, ..., n -1.

Logo, todo número complexo z, diferente de zero, admite n raízes enésimas distintas,

todas com mesmo módulo n |z| e cujos argumentos principais são os n primeiros termos de

uma progressão aritmética com primeiro termo geral igual a n

θ e razão igual a

n

π2, de acordo

com Antar Neto et al. (1982).

Simbolicamente, assumindo que z = |z| (cosθ + isenθ) ≠ (0,0) e wk é uma de suas

raízes enésimas, conclui-se que wk = n |z|

++

+n

kn

senin

kn

πθπθ 22cos , com

k ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1}. Essa igualdade é chamada segunda fórmula de De Moivre.

Outra abordagem pode ser dada ao cálculo algébrico das raízes enésimas de um

número complexo, não nulo. Seja z = (a,b) e w = (c,d) números complexos, não nulos, em que

w é a raiz enésima de z, representada aqui por wzn = , com n ∈ IN e n ≥ 2.

.

.

.

.

.

.

64

É fácil perceber que essa operação é a inversa da potenciação, ou seja, wn = z. Portanto, torna-

se mais simples calcular a raiz enésima de z usando os conhecimentos sobre a potenciação.

Veja como é possível determinar, por métodos algébricos, as duas raízes quadradas do

número z = 100i e as três raízes cúbicas do número z = -8.

1. wi =100 ⇒ w2 = 100i

|z| = 100

z = 100 (0 + i) =

+22

cos100ππ

seni = 100 (cos 90° + i sen 90°)

w2 = |w|2 (cos 2θ + i sen 2θ)

Comparando os números complexos w2 e z, tem-se:

|w|2 = 100 ⇒ |w| = 10

2θ = 90° =2

π ⇒ θ = 45° =

4

π

r = 2

360°= 180°

Agora é possível determinar as raízes quadradas w1 e w2, de 100i, sendo:

w1 = 10 (cos 45° + i sen 45°) =

+

2

2

2

210 i = i2525 +

w2 = 10 (cos 225° + i sen 225°) =

−−

2

2

2

210 i = i2525 −−

2. w=−3 8 ⇒ w3 = -8

|z| = 8

z = 8 (-1 + 0i) = ( )ππ seni+cos8 = 8 (cos 180° + i sen 180°)

w3 = |w|3 (cos 3θ + i sen 3θ)

z

z

65


|w|3 = 8 ⇒ |w| = 2

3θ = 180° = π ⇒ θ = 60° = 3

π

r = 3

360°= 120°

Agora é possível determinar as raízes cúbicas w1, w2 e w3, de -8, sendo:

w1 = 2 (cos 60° + i sen 60°) =

+

2

3

2

12 i = i31+

w2 = 2 (cos 180° + i sen 180°) = 2 (-1 + 0i) = -2

w3 = 2 (cos 300° + i sen 300°) =

−

2

3

2

12 i = i31−

Que interpretação geométrica pode ser dada aos resultados das duas atividades

apresentadas?

Na primeira atividade, Antar Neto et al. (1982) esclarecem que os afixos dos números

complexos w1 e w2, ilustrados na Figura 27, são as extremidades do diâmetro da

circunferência de centro na origem e raio 10. Os afixos dos números complexos w1, w2 e w3,

ilustrados na Figura 28, são os vértices do triângulo equilátero inscrito na circunferência de

centro na origem e raio 2.

A solução geométrica dessas atividades é conhecida como divisão ideal da

circunferência em n partes iguais, esclarecem os autores.

Figura 27: Representação geométrica

do número complexo w = i100 . Fonte: Antar Neto et al., 1982, p.67.

Figura 28: Representação geométrica

do número complexo w = 3 8− . Fonte: Antar Neto et al., 1982, p.63.

66

Uma aplicação imediata dessa interpretação que fora apresentada está ligada ao

Teorema Fundamental da Álgebra — cuja demonstração se deve inicialmente a Euler (1707-

1783) e D’Alembert (1717-1783) e, posteriormente, de forma definitiva, a Gauss (1777-

1855). Esse Teorema diz que: toda equação polinomial, cujos coeficientes são números

complexos, tem, no campo dos números complexos, pelo menos uma raiz. Gauss demonstrou,

ainda, que essas equações têm exatamente n raízes, sendo n o grau do respectivo polinômio.

Rosa (1998) propõe, por exemplo, investigar as três raízes do polinômio

P(x) = x3 – 6x + 4 que nos permitirá, além de aplicar a teoria aqui apresentada, validar a

Fórmula de Cardano-Tartaglia para a resolução de equações do 3º grau. Em seguida, propõe

confirmar as raízes desse polinômio por meio de visualização gráfica.

Pesquisando as raízes inteiras do polinômio P(x), constata-se que x = 2 é uma de suas

soluções, uma vez, que (x – 2).(x2 + 2x – 2) é uma forma equivalente de (re)escrever o

polinômio P(x). Portanto, as outras duas soluções procuradas, serão determinadas, ao se

resolver a equação quadrática x2 + 2x – 2 = 0, de raízes x1 ≅ 0,73 e

x2 ≅ -2,73. Concluí-se, assim, que o polinômio P(x) = x3 – 6x + 4 possui três raízes reais e

distintas. Usando a Fórmula de Cardano-Tartaglia, deve-se chegar à mesma conclusão.

Uma das três raízes da equação algébrica x3 + px + q = 0 pode ser determinada pela

expressão matemática 323

232

+

+−= qpqx + 3

23

232

+

−− qpq. Comparando

x3 – 6x + 4 = 0 com x3 + px + q = 0, tem-se p = -6 e q = 4. Pela Fórmula de Cardano-

Tartaglia tem-se:

I) 3 482 +−+− = 3 22 i+− = w ⇒ w3 = -2 + 2i

II) 3 482 +−−− = 3 22 i−− = v ⇒ v3 = -2 - 2i

|z| = 22

z =

+−

2

2

2

222 i ⇒ z = 22 (cos 135° + i sen 135º)

w3 = |w|3 (cos 3θ + i sen 3θ)


z

t

67

|w|3 = 22 ⇒ |w| = 2

3θ = 135° = 4

5π ⇒ θ = 45° =

4

π

r = 3

360°= 120°

Agora é possível determinar as raízes cúbicas w1, w2 e w3, de -2 + 2i:

w1 = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 1 + i

w2 = 2 (cos 165° + i sen 165°) = -1,366 + 0,366i

w3 = 2 (cos 285° + i sen 285°) = 0,366 – 1,366i

Como z e t são números complexos conjugados, tem-se:

v1 = 2 (cos 45° - i sen 45°) = 1 - i

v2 = 2 (cos 165° - i sen 165°) = -1,366 - 0,366i

v3 = 2 (cos 285° - i sen 285°) = 0,366 + 1,366i

Pela Fórmula de Cardano-Tartaglia, x = I + II, apresenta-se:

x1 = w1 + v1 = 2

x2 = w2 + v2 = -2,73

x3 = w3 + v3 = 0,73

Logo, é possível explicitar as três raízes reais do polinômio P(x) = x3 – 6x + 4. Essas

mesmas raízes, como constata Rosa (1998), podem ser identificadas, graficamente, por meio

da interseção das curvas de equação f(x) = x3 e g(x) = 6x – 4, projetadas na Figura 29, a

seguir:

68

3.20 Fórmula exponencial de Euler

Já foi mostrado como representar um número complexo nas formas cartesiana,

algébrica e trigonométrica. Deseja-se, agora, apresentar outra forma de representar um

número complexo. É conhecido do cálculo diferencial e integral, particularmente, do estudo

sobre séries infinitas de Maclaurin, que:

1. ex = n

n

xn

∑∞

=0 !

1= 1 + x + ...

!4!32

432

+++ xxx

2. cos x = n

n

n

xn

2

0 )!2(

)1(∑

∞

=

−= 1 - ...

!6!42

642

+−+ xxx

3. sen x = 12

0 )!12(

)1( +∞

=∑ +

− n

n

n

xn

= x - ...!7!5!3

753

+−+ xxx

−3 −2 −1 1 2 3

−21

−18

−15

−12

−9

−6

−3

3

6

9

x

y

Figura 29: Representação gráfica dos pontos de interseção das funções f(x) = x3 e g(x) = 6x-4. Figura construída no software Winplot.

69

De acordo com Lima (2004), as igualdades acima significam que a soma das n

primeiras parcelas, do segundo membro, das expressões (1), (2) e (3) é um valor aproximado

para ex, cos x e sen x, e que essa aproximação pode tornar-se tão precisa quanto se deseje,

desde que n seja tomado, suficientemente, grande.

O desenvolvimento em série de ex, para x ∈ ℜ, sugere a definição da exponencial ez,

em que z = x + θi é um número complexo. Basta fazer a seguinte substituição:

ez = n

n

zn∑

∞

=0 !1

= 1 + z + ...!4!32

432

+++ zzz

No caso particular em que z = θi, usando (1), (2) e (3), é possível desenvolver a

potência eθi, sendo i a unidade imaginária, assim:

...!7!6!5!4!32

1765432 θθθθθθθθ iii

ie i −−++−−+=

+−+−+

+−+−= ...

!7!5!3...

!6!421

753642 θθθθθθθθ ie i

eθi = cos θ + i sen θ

Essa identidade é conhecida como fórmula exponencial de Euler, conclui Lima

(2004). Dela, resulta que, para o número complexo z = x + θi, arbitrário, tem-se:

ez = ex + θi

= ex . eθi

= ex (cos θ + i sen θ)

Assim, ez é um número complexo de módulo ex e argumento θ ou, ainda, ez é o ponto

do plano, cuja distância à origem é ex, e o segmento que o liga à origem forma um ângulo de

medida θ radianos, como ilustra a Figura 30, a seguir:

módulo = ex argumento = θ

70

Portanto, é possível representar o número complexo z de afixo (1, - 3 ) de, pelo

menos, mais três outras formas:

1. Algébrica: z = i31− ;

2. Trigonométrica: z = 2

+3

53

5cos

ππseni ;

3. Exponencial de Euler: z = i

e 3

5

.2π

.

.ez

ex

) θ

Figura 30: Representação vetorial do número complexo ez.

ℜ

ℜ

0

71

4 A CAMINHO DE UMA METODOLOGIA APLICADA

Propõe-se, com este trabalho, (re)significar o ensino dos números complexos, no

contexto da sala de aula, por meio da organização e da articulação de atividades de

aprendizagem, em uma seqüência didática. Essas atividades de ensino têm o propósito de

articular conceitos, propriedades e operações, historicamente construídos, acerca desse campo

numérico e podem ser aplicadas em escolas de ensino médio e em cursos de formação e

capacitação de professores.

Tal seqüência didática foi concebida à luz do que representa, para Zabala (1998), uma

atividade de ensino-aprendizagem. Para o autor:

[...] é o conjunto ordenado de atividades estruturadas e articuladas para a consecução de um objetivo educacional em relação a um conteúdo concreto. Esta unidade de análise, como as seqüências didáticas, está inserida num contexto em que se deverá identificar, além dos objetos didáticos e do conteúdo objeto da seqüência, as outras variáveis metodológicas: relações interativas, organização social, materiais curriculares, etc. (ZABALA, 1998, p.78).

4.1 Situação-problema

Acumulando uma experiência de 14 (quatorze) anos no exercício do Magistério, tive a

oportunidade de atuar como professor de Matemática por 10 (dez) anos nos ensinos

fundamental e médio de uma escola da rede particular de ensino, localizada na região

metropolitana de Belo Horizonte. Há 11(onze) anos trabalho em uma universidade particular

dessa mesma região, como formador de professores, no Curso de Licenciatura em

Matemática.

Quando atuei no 3º ano do ensino médio da escola anteriormente mencionada, tive a

oportunidade de trabalhar, por diversos anos, o tópico “números complexos”. Ao longo

daqueles anos, o grupo de professores de Matemática dessa escola experimentou diferentes

autores de livros didáticos, que abordavam, em suas obras, tal conteúdo, como, por exemplo:

1. IEZZI, Gelson et al. Matemática 2° grau. v.3. São Paulo: Atual, 1990;

72

2. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática 2° grau. v.3.

São Paulo: FTD, 1992;

3. SMOLE, Kátia Cristina Stocco; KIYUKAWA, Rokusaburo. Matemática 2° grau.

v.3. São Paulo: Saraiva, 1999.

Hoje, compreendo com mais clareza a limitação da minha atuação profissional,

quando ensinava “números complexos” àquelas turmas de 3º ano do ensino médio. Naquela

época, meu campo de investigação era restrito aos livros didáticos do ensino básico. Quando

algum desses livros chegava a apresentar uma nota histórica sobre a origem dos números

complexos ou fazia alusão a alguma interpretação geométrica explorada nesse campo

numérico, apresentava-os de forma sucinta, como flashes ou curiosidades matemáticas,

relatadas, geralmente, no final do capítulo.

Na universidade em que trabalho, esse mesmo tópico matemático é ministrado na

disciplina “Fundamentos de Matemática Elementar II”, alocada na grade curricular do Curso

de Licenciatura em Matemática, no 2º período. Tal conteúdo representa uma subunidade de

um plano de curso com carga horária total de 90 horas/aula, cujo desenvolvimento não é da

minha responsabilidade.

Embora as bibliografias básicas sugeridas no plano de ensino da disciplina supracitada

façam alusão à interpretação geométrica e à abordagem histórica dos números complexos,

oportunizando aos discentes o aprofundamento de seus conhecimentos, optou-se, durante

todos esses anos de oferta da disciplina, por um ensino focado, exclusivamente, nos

tratamentos algébrico e trigonométrico.

Acredita-se que a opção por essas abordagens esteja pautada na real possibilidade de

cumprimento de uma ementa — descrita no plano de ensino da disciplina (ver ANEXO A) —

“engessada” por um cronograma rígido de trabalho, e pelas especificidades assumidas por

esse tópico matemático, nas diversas disciplinas que compõem a grade curricular do Curso.

Ou seja, os tratamentos algébrico e trigonométrico dados aos números complexos parecem ser

suficientes para atender as demandas de aplicação desse conhecimento, em diversas

disciplinas no Curso.

Estabelecendo um paralelo entre a minha prática de ensino dos números complexos

quando atuava no 3º ano do ensino médio, com o tratamento dado, ao mesmo conteúdo, na

disciplina “Fundamentos de Matemática Elementar II”, percebe-se uma convergência de

abordagens acerca do tema: nas duas realidades os números complexos são ensinados de

73

maneira pouco expressiva e/ou significativa, uma vez que se lida com tais números,

exclusivamente, nas suas formas algébrica e trigonométrica.

Sobre a pouca atenção dada ao ensino dos números complexos nos ensinos médio e

superior, Carneiro (2004) aponta que:

Os números complexos ocupam uma posição singular no ensino de Matemática. Não merecem grande atenção nos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática, por serem considerados “assunto elementar”, de nível médio. Já no ensino médio, são evitados, sendo tachados de estranhos, de compreensão difícil e, sobretudo, inúteis. De fato, que utilidade poderiam ter objetos cuja existência é motivada, logo no primeiro contato, pela capacidade que possuem de fornecer uma solução “imaginária” para uma equação que “sabemos” que não tem solução, como nos foi antes demonstrado várias vezes? Pois é assim que quase sempre aprendemos e ensinamos os números complexos. (CARNEIRO, 2004, p.15).

Incomodado com essa abordagem, destituída de significado, no ensino desse tópico

matemático, nos níveis de ensino médio e superior, propõe-se, então, por meio desta pesquisa,

responder a seguinte questão: Como (re)significar o ensino e a aprendizagem dos números

complexos, no contexto da sala de aula?

Acredita-se que por meio de um trabalho problematizador dos conhecimentos

anteriormente acumulados pelos alunos, nas experiências cotidianas da vida humana, exista

ou existam formas de aprendizagem que reflita(m) uma concepção de conhecimento de

produção coletiva, em que as experiências vividas e a produção cultural sistematizada se

entrelacem, dando significado à aprendizagem. Nessa perspectiva, professor e aluno se

tornam pesquisadores e agentes da transformação.

Para evidenciar a relevância dessa interação entre os sujeitos no processo de ensino-

aprendizagem, Freire (1997) defende a idéia de que a docência e a discência se

complementam na relação dialógica professor/aluno.

4.2 A perspectiva do olhar investigativo

No desenvolvimento das atividades de ensino que compõem a seqüência didática, será

incentivado o uso do desenho geométrico como recurso para a construção, medição,

transporte e transformação de vetores, aqui entendidos como uma possibilidade de

representação de números complexos.

74

Para a elaboração e a organização de uma seqüência didática, devem ser utilizados

alguns procedimentos que, para Zabala (1998), vêm corroborar a validação desse instrumento

de ensino-aprendizagem:

1. Determinar os conhecimentos prévios do aluno em relação aos novos conteúdos de

aprendizagem;

2. Adequar esses conteúdos ao nível de desenvolvimento do aluno, bem como propô-

los de forma que sejam significativos e funcionais;

3. Provocar um conflito cognitivo e promover a atividade mental do aluno,

necessários para que estabeleça relações entre os novos conteúdos e os

conhecimentos prévios;

4. Promover uma atitude favorável que seja motivadora em relação à aprendizagem

dos conteúdos;

5. Ajudar o aluno a adquirir habilidade relacionada à competência do aprender a

aprender, que lhe permita ter autonomia cada vez maior em sua aprendizagem;

6. Propor atividades que representem um desafio alcançável para o aluno, quer dizer,

que permitam criar interações e intervir;

7. Estimular a auto-estima em relação às aprendizagens que se propõem, ou seja, que

o aluno possa sentir que, de certo modo, aprendeu; que seu esforço valeu a pena.

(ZABALA, 1998, p.63-64).

Tem-se, ainda, com este trabalho, a pretensão de atingir os seguintes objetivos

específicos:

1. Promover uma abordagem histórica dos números complexos, como complemento

da aprendizagem, no intuito de levar o aprendiz a constatar que:

a) o que motivou o aprofundamento nesse campo numérico foram as equações

do 3º grau e não as do 2º grau;

b) foram várias as resistências, dificuldades, limitações e avanços de uma

comunidade científica, envolvida em um esforço secular, na tentativa de

legitimar os números complexos como campo numérico;

2. (Re)significar conceitos, propriedades e operações no campo dos números

complexos, usando o desenho geométrico como recurso para a construção,

medição, transporte e transformação de vetores;

75

3. Desenvolver um material didático (livro paradidático), que possa servir como

recurso de orientação metodológica a professores e estudiosos interessados pela

investigação dos números complexos.

Tais objetivos estão em consonância com os apontamentos feitos por D’Ambrosio

(1993), em relação às novas tendências para o ensino de Matemática. Segundo a autora:

Tradicionalmente a visão de Matemática na percepção da sociedade é de uma disciplina com resultados precisos e procedimentos infalíveis. Uma disciplina fria, pouco dinâmica e sem espaço para a criatividade, onde os conteúdos são vistos como fixos, prontos e acabados. Numa visão absolutista do ensino da Matemática, os alunos devem acumular conhecimentos, que são vistos como verdades incontestáveis, absolutas. Há uma necessidade de os novos professores compreenderem a Matemática como uma disciplina que tem seu avanço norteado pelo processo de investigação e resolução de problemas. Além disso, é importante que o professor entenda que a Matemática estudada deve, de alguma forma, ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar ou organizar sua realidade. (D’AMBROSIO, 1993, p.35).

4.3 O legado da “seqüência didática” como proposta pedagógica

Acredita-se que essa seqüência didática possa servir como parâmetro para o trabalho

com os números complexos, no intuito de apontar caminhos e estratégias para o seu ensino e

de evidenciar aplicações desse campo numérico em diversas áreas do conhecimento, assim

como na Matemática. Nesse sentido, espera-se que alunos e professores assumam uma

postura mais reflexiva e desafiadora em relação aos processos de construção do conhecimento

matemático, mais especificamente acerca dos números complexos.

Os recursos didáticos advindos do desenho geométrico parecem potencializar o ensino

desse tópico matemático ao permitir a construção, a manipulação e a operação com vetores;

ao facilitar a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do

raciocínio formal.

Do ponto de vista psicológico, Gregori e Gómez-Granell (2000) acreditam que o

trabalho com os números complexos, surja como uma oportunidade privilegiada para se

promover o desenvolvimento e a expansão de estruturas mentais necessárias ao

desenvolvimento intelectual. Na perspectiva da própria Matemática, o desenho geométrico

pode ser utilizado como ferramenta motivadora da aprendizagem, que servirá como subsídio

para a construção do significado de conceitos, propriedades e operações nesse campo

76

numérico. Do ponto de vista didático-epistemológico, o trabalho com esses números pode se

constituir numa oportunidade de experimentar uma situação de produção de conhecimento

matemático, em resposta a conflitos ou dificuldades surgidas em campos numéricos mais

restritos. Essas dificuldades requerem a criação de um novo campo numérico, que abrange e

amplia as possibilidades do campo anterior.

Ainda segundo essas autoras, uma abordagem dos números complexos que contemple

esse processo de gênese dos conceitos, ao invés de ver o conteúdo matemático apenas como

um produto, não só proverá o educador de elementos para compreender melhor o processo

pelo qual o aluno assimila esse conteúdo, como também permitirá ao aluno uma percepção da

intencionalidade e da dinâmica da produção do conhecimento matemático.

Sobre esse paradigma de trabalho, D’Ambrosio (1993) acrescenta que:

[...] o objetivo do ensino da Matemática é que os alunos tenham legítimas experiências matemáticas, semelhantes às dos matemáticos. [...] Infelizmente, o processo de transmissão de conhecimentos utilizado na experiência matemática da maioria dos nossos alunos, não deixa que o aluno analise a Matemática como uma área de pesquisa e investigação. Dificilmente o aluno de Matemática testemunha a ação do verdadeiro matemático no processo de fazer matemática, de pensar matematicamente. (D’AMBROSIO, 1993, p.36). (grifos nossos).

Nesse momento de investigação e de construção do conhecimento, o educador deixa

de ser o centralizador do saber e passa a integrar os grupos de trabalho. Na condição de

membro do grupo, sua contribuição está em promover, orientar e intervir nas atividades de

exploração e/ou investigação matemática, além de fomentar a discussão de estratégias na

resolução de problemas.

4.4 Parametrizando o caminho trilhado

Acredita-se que, em uma pesquisa em Educação Matemática, a metodologia que

embasa seu desenvolvimento, deve ser coerente com as visões de Educação e de

conhecimento sustentadas pelo pesquisador, o que inclui suas concepções de Matemática e de

Educação Matemática. Portanto, o que o pesquisador acredita ser a Matemática e a Educação

Matemática e seu entendimento sobre o conhecimento e de como ele é produzido (ou

transmitido, ou descoberto) são fundamentos que influenciam, diretamente, os resultados da

pesquisa.

77

Este trabalho de pesquisa tem seus pressupostos de investigação fundamentados na

fenomenologia e no processo hermenêutico de interpretação.

Essa maneira de pesquisar é denominada por Fiorentini e Lorenzato (2006) de

fenomenológico-hermenêutica, pois parte do pressuposto de que a solução dos problemas

educacionais passa, primeiramente, pela busca de interpretação e compreensão dos

significados atribuídos por aqueles que experienciam o fenômeno: os sujeitos. Isto pode

acontecer por um processo de investigação que lida e dá atenção às pessoas e às suas idéias,

procurando desvendar mecanismos e significados ocultos, atingindo, assim, a essência dos

fenômenos.

O que os fenomenologistas enfatizam é o componente subjetivo do comportamento

das pessoas pesquisadas. Tentam penetrar no mundo conceitual dos seus sujeitos, com o

objetivo de compreender como e qual o significado que constroem para os acontecimentos das

suas vidas cotidianas. Acreditam que têm à sua disposição múltiplas formas de interpretar as

experiências, em função das interações com os outros e que a realidade não é mais do que o

significado das nossas experiências, portanto, é “socialmente construída”. Não presumem que

conhecem o que as diferentes coisas significam para as pessoas que vão estudar, como

colocam Borba e Araújo (2006):

As coisas do mundo natural são concebidas como conteúdos positivos, pensáveis como distintos, por princípio dos fenômenos ou manifestações. Nessa atitude [...] o Eu e suas experiências subjetivas são assumidos como coisas em si, como parte do mundo. E o mundo é representado por imagens ou por signos. [...] Ao trabalhar com as manifestações da coisa na percepção de quem percebe, a Fenomenologia coloca em evidência a linguagem, entendida como expressão do sentir, e o discurso, entendido como articulação daquilo que faz sentido. Trabalha, desse modo, com o sentido e com o significado. (BORBA; ARAÚJO, 2006, p.111-112). (grifos nossos).

Para tanto, procurou-se, nessa pesquisa, descrever e interpretar situações, fenômenos

ou problemas, por meio de análise qualitativa dos dados coletados.

O uso de abordagens qualitativas de pesquisa não é novidade em Ciências Sociais.

Segundo Bogdan e Biklen (1994), sua origem data do século XIX, em pesquisas no campo da

Sociologia. Entretanto, para o campo da Educação Matemática, que é relativamente novo,

essas questões têm sido discutidas há pouco tempo.

Para esses autores, as pesquisas qualitativas em educação, assumem as seguintes

características:

78

1. “A fonte direta de dados é o ambiente natural (por exemplo, a sala de aula),

constituindo o investigador o instrumento principal;

2. A investigação é descritiva: privilegiam-se descrições de experiências, relatos de

observações e de compreensões ou quaisquer procedimentos que dêem conta de

dados sensíveis, de concepções, de estados mentais, de acontecimentos etc.;

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que

simplesmente pelos resultados ou produtos: privilegia-se a compreensão, e não

resultados corretos;

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva: a

introspecção e a reflexão pessoal têm papel importante nesse tipo de pesquisa. Para

compreender o comportamento, é necessário entender as definições e o processo

que está subjacente à construção destas;

5. O significado tem importância vital na abordagem qualitativa: a interpretação não é

um ato autônomo, nem é determinada por nenhuma força particular, humana ou

não. Os indivíduos interpretam com o auxílio dos outros — professores, escritores,

família, figuras da televisão e pessoas que se encontram nos seus locais de trabalho

e divertimento —, mas estes não o fazem deliberadamente. Os significados são

construídos por meio das interações.” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p.47-51).

Considerando a Educação Matemática como uma prática social, o trabalho de campo

torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos permitem compreendê-la,

para então, transformá-la. As informações, extraídas desse “campo de investigação”, levam-

nos a criar e desenvolver conhecimentos a partir da prática e nos impedem de inventar

explicações ou suposições irreais e totalmente imaginárias acerca do fenômeno estudado. São,

portanto, produzidas mediante um processo interativo de diálogo e questionamento da

realidade.

Para Bogdan e Biklen (1994), a modalidade de pesquisa naturalista ou de campo,

acontece quando os dados do estudo são coletados diretamente “em campo”, contrastando

com aqueles realizados em bibliotecas/museus ou em laboratórios/ambientes especiais,

controlados pelos investigadores. Nesta modalidade de investigação, o pesquisador freqüenta

os locais em que, naturalmente, verificam-se os fenômenos nos quais está interessado a

investigar.

Segundo Lüdke e André (1986), o desenvolvimento de qualquer pesquisa qualitativa,

exige do investigador o cumprimento de três etapas importantes:

79

Exploração: envolve a seleção e a definição do problema, bem como o local onde serão feitos os estudos, os sujeitos da pesquisa, os procedimentos, as hipóteses e o referencial teórico; Decisão: busca a utilização sistemática das estratégias selecionadas para compreender o referencial teórico estudado, incluindo-se, neste caso, entrevistas, gravações, questionários, análise documental, assim como a interação verbal, entre pesquisador e pesquisado, tentando, através desses dados, responder às questões relevantes; Descoberta: consiste na explicitação da realidade, ou seja, tenta encontrar os princípios subjacentes ao fenômeno estudado, buscando situar as várias descobertas em um contexto mais amplo. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.15-17). (grifos nossos).

Na formatação deste trabalho de pesquisa, observam-se os três elementos citados por

Lüdke e André (1986) nas etapas de elaboração de uma investigação. Quanto à etapa de

“Decisão”, utilizam-se os seguintes instrumentos para a coleta de dados: observação

participante, diário de campo, protocolo de registros dos alunos, gravações em áudio e

entrevistas.

4.5 Contexto: a instituição, o curso de licenciatura e os sujeitos da pesquisa

As atividades propostas para análise, nesta pesquisa, foram desenvolvidas em uma

universidade particular de ensino, localizada na região metropolitana de Belo Horizonte, com

alunos do curso de Licenciatura em Matemática.

Esse Núcleo Universitário está instalado nessa região desde agosto de 1995, e conta

com, aproximadamente, 500 (quinhentos) funcionários, dos quais 350 (trezentos e cinqüenta)

são docentes que prestam serviços a 10 (dez) cursos de graduação. O Núcleo oferece, ainda,

22 (vinte e dois) cursos de pós-graduação na modalidade lato sensu.

O Curso de Licenciatura em Matemática dessa instituição de ensino é ofertado no

turno da noite. Até o ano de 2006, o ingresso no Curso acontecia por meio de concurso

vestibular, que previa entradas semestrais. A partir do ano de 2007, esse concurso passou a

acontecer anualmente.

No final do ano de 2007, 21 (vinte e um) docentes prestavam serviços no Curso, que

contava, aproximadamente, com 240 (duzentos e quarenta) discentes matriculados em

disciplinas ofertadas em 7 (sete), dos 8 (oito) períodos previstos para a sua integralização. De

80

acordo com dados do Projeto Político Pedagógico do Curso de Matemática3, recentemente

reformulado, os alunos, em sua grande maioria, são oriundos de escolas públicas, com faixa

etária entre 20 e 22 anos de idade. Grande parte desses alunos são trabalhadores em tempo

integral, que custeiam, além de sua própria sobrevivência, seus estudos.

As atividades experimentais que compõem nossa pesquisa foram desenvolvidas em

modelo de minicurso, planejado e ministrado pelo próprio pesquisador. Planejou-se,

inicialmente, 6 (seis) encontros semanais com duração de 3 (três) horas cada, mais 2 (duas)

horas de atividades extra-encontro (atividades complementares), perfazendo uma carga-

horária total de 20 (vinte) horas. Essa estrutura de trabalho demandou modificações, exigindo

maior flexibilidade no cronograma, uma vez que surgiram necessidades de intervenção

pedagógica, não previstas inicialmente. Portanto, o minicurso foi, efetivamente, desenvolvido

no seguinte formato: 7 (sete) encontros semanais com duração de 3(três) horas cada, mais 4

(quatro) horas de atividades extra-encontro (atividades complementares), perfazendo uma

carga-horária total de 25 (vinte e cinco) horas. Esses encontros aconteceram aos sábados, de

9h às 12h, na sala 403 do prédio 2 da instituição de ensino pesquisada, nas seguintes datas:

03, 10, 17, 24 e 31 de março de 2007 e, ainda, 14 e 28 de abril de 2007.

Para participar do minicurso, o candidato precisou procurar o Setor de Eventos do

Núcleo Universitário, no período de 22 de fevereiro a 01 de março de 2007, para efetivar sua

inscrição. O minicurso foi divulgado entre os alunos do Curso de Licenciatura em

Matemática, por meio eletrônico (e-mail) e cartazes (ver ANEXO B) afixados nas salas de

aula.

Em sua grande maioria, inscreveram-se alunos do 4º e 6º períodos, que tinham os

horários entre 9h e 12h de sábado vagos em sua grade horária. Dos 44 (quarenta e quatro)

alunos inscritos no minicurso, apenas 34 (trinta e quatro) foram certificados, por terem

cumprido com a freqüência mínima exigida.

Todos os sujeitos da pesquisa, com exceção de um aluno, já conheciam o pesquisador,

enquanto professor da licenciatura. Essa relação anterior modificou, positivamente, o grau de

comunicação e os vínculos afetivos estabelecidos entre pesquisador e pesquisados, durante o

minicurso. Esse clima de convivência parece ter contribuído para atitudes favoráveis à

aprendizagem.

3 Projeto Político Pedagógico nº4703. (PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS. Projeto Pedagógico do Curso de Matemática. Betim, 2004. 57p.)

81

4.6 Os Encontros: orientações gerais

Iniciou-se o minicurso, intitulado “Números Complexos: uma abordagem geométrica

para o seu ensino”, justificando a sua oferta: “A proposta é experimentar, na turma, uma

seqüência didática, no intuito de avaliar seu impacto no processo ensino-aprendizagem dos

números complexos. Em busca de uma perspectiva autônoma na construção e (re)significação

desse conhecimento, serão utilizados recursos do desenho geométrico, como motivador para a

aprendizagem”. Na oportunidade, pontuou-se que os sujeitos da pesquisa deveriam assumir,

com o pesquisador, alguns compromissos e responsabilidades:

1. A pontualidade e a assiduidade nos encontros: será expedido comprovante de

participação apenas ao aluno que cumprir freqüência igual ou superior a 75%

(setenta e cinco por cento) da carga-horária total prevista. Essas horas poderão ser

contabilizadas em atividades científico-sócio-culturais, previstas no Projeto

Político Pedagógico do Curso de Matemática e necessárias à integralização do

Curso;

2. Durante o minicurso, o aluno deverá evitar consultas a livros que tratem da

temática “números complexos”. As atividades que compõem a seqüência didática

foram planejadas no modelo de descoberta guiada4, para que o aluno fosse capaz,

autonomamente, de construir o conhecimento e dar significado a ele. Se o aluno

chegasse com o conteúdo sistematizado por algum autor de livro didático, ele

poderia privar-se da oportunidade de “fazer Matemática” e de “experimentar” em

Matemática;

3. As duplas de trabalho, num primeiro momento, deverão realizar as atividades

propostas de forma autônoma, com pouca intervenção do pesquisador. É

importante que as duplas compreendam o enunciado das questões, que façam uma

análise reflexiva das atividades e que sejam capazes de definir estratégias

consensuais de resolução. Nesse momento, o pesquisador assume o papel de

fomentador/mediador/orientador no processo de construção do conhecimento, não

cabendo, portanto, uma prática pedagógica baseada, exclusivamente, na exposição

4 A descoberta guiada consiste, basicamente, na formulação do problema ou escolha da situação, pelo professor, que tem um objetivo em mente. Ele implementa sua idéia a partir de escolha própria, sem determinação de tema pelos alunos e apresenta uma condução para os alunos alcançarem o objetivo desejado. (ERNEST, 1996, p.32).

82

de conteúdos. Rompe-se, assim, com o contrato didático5 que, em geral, os alunos

mantêm com os seus professores: o professor expõe o conteúdo, apresenta modelos

de exercícios e propõe que seus alunos reproduzam atividades semelhantes;

4. A sistematização do conteúdo só será feita pelo pesquisador ao final do

cumprimento de cada atividade, após as duplas terem socializado suas

experiências, dificuldades e reflexões;

5. Entende-se por “Atividades Complementares”, as que têm por finalidade a

ampliação da aprendizagem, bem como, o aprofundamento do conceito e sua

(re)significação. Essas atividades serão propostas ao término de cada encontro para

serem realizadas, individualmente, em ambiente diferente de onde ocorreu o

minicurso e orientarão o pesquisador em possíveis intervenções pedagógicas.

6. Os cursistas deverão trazer para os encontros, os seguintes materiais

manipulativos: régua, compasso, transferidor, esquadro, papel milimetrado, lápis e

borracha.

4.7 Procedimentos metodológicos para a coleta de dados

Lüdke e André (1986) alertam sobre as características de um investigador, que busca

desenvolver uma pesquisa com qualidade. Para essas autoras:

Desde os contatos iniciais com os participantes, o observador deve-se preocupar em se fazer aceito, decidindo quão envolvido estará nas atividades e procurando não ser identificado com nenhum grupo particular. [...] Além dessas qualidades pessoais e das decisões que deve tomar quanto à forma e à situação de coleta de dados, o observador se defronta com uma difícil tarefa, que é a de selecionar e reduzir a realidade sistematicamente. Essa tarefa exigirá certamente que ele possua um arcabouço teórico a partir do qual seja capaz de reduzir o fenômeno em seus aspectos mais relevantes e que conheça as várias possibilidades metodológicas para abordar a realidade a fim de melhor compreendê-la e interpretá-la. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.17).

Sendo assim, os dados utilizados nesta pesquisa foram coletados por meio de vários

procedimentos metodológicos, quais sejam: observação participante, diário de campo,

protocolo de registros dos alunos, gravações em áudio e entrevistas.

5 A noção de contrato didático “[...] diz respeito ao estudo das regras e das condições que condicionam o funcionamento da educação escolar [...] No nível da sala de aula, ele diz respeito às obrigações mais imediatas e recíprocas que se estabelecem entre o professor e alunos”. (PAIS, 2002, p.77).

83

4.7.1 Observação participante

Lüdke e André (1986) afirmam que a observação ocupa um lugar privilegiado nas

pesquisas educacionais. Para as autoras, se a observação for associada a outros métodos de

coleta de dados, “ela possibilitará um contato pessoal e estreito do pesquisador, com o

fenômeno pesquisado.” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.26). Enfatizam, ainda, que a coleta de

dados deve acontecer quando as pessoas investigadas estão realizando, naturalmente,

atividades de interesse do pesquisador, como, por exemplo, estudando na sala de aula.

Na observação participante, o investigador “introduz-se no mundo das pessoas que

pretende estudar, tenta conhecê-las, dar-se a conhecer e ganhar a sua confiança, elaborando

um registro escrito e sistemático de tudo aquilo que ouve e observa.” (BOGDAN; BIKLEN,

1994, p.16).

Ao longo do minicurso, na medida em que acompanhava in loco as experiências, os

conflitos, as interações e as reflexões daqueles sujeitos, envolvidos em um esforço comum de

construção do conhecimento matemático acerca dos números complexos, tentava perceber

que visão de mundo eles tinham, ou seja, que significado eles atribuíam à realidade que os

cercava e às suas próprias ações. Interessava, sobretudo, perceber como recorriam aos

conhecimentos e às experiências pessoais, e como isso os auxiliavam no processo de

compreensão e interpretação do fenômeno estudado.

Na intenção de uma melhor organização dessas idéias, optou-se por elaborar uma

grade de registros — geralmente, conhecida como “Diário de Campo” —, que foi denominada

de “Memória dos Encontros”, onde foi registrado, detalhadamente, os fatos relevantes, em

cada um dos 7 (sete) encontros realizados.

84

4.7.2 Memória dos Encontros

Fiorentini e Lorenzato (2006) afirmam que, durante o trabalho de campo, o diário de

bordo é um dos instrumentos mais ricos de coleta de informações. “É nele que o pesquisador

registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios

ou retrata diálogos.” (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p.118-119).

Neste trabalho de pesquisa, esse método de coleta de dados foi associado à observação

participante, no intuito de registrar, com detalhes, os fatos relevantes ocorridos durante o

desenvolvimento do minicurso.

Tomou-se o cuidado de registrar os episódios, em um tempo bem próximo ao

acontecimento dos encontros — em um prazo máximo de três dias após a sua realização — na

tentativa de garantir uma melhor acuidade das informações. Estas informações foram

redigidas pelo próprio pesquisador, por meio de um editor de textos e armazenadas em

arquivo eletrônico.

Observa-se, no conteúdo das “Memórias dos Encontros”, a presença de uma dupla

perspectiva de análise dos registros apurados: uma descritiva e outra interpretativa.

Em alguns momentos, os apontamentos atêm-se à descrição de tarefas e atividades, de

situações, de procedimentos didáticos, do comportamento do pesquisador, do ambiente e da

dinâmica da prática empírica, evidenciando, assim, a perspectiva descritiva. Pequenos trechos

extraídos de anotações de alguns encontros podem exemplificar tais descrições:

Este encontro aconteceu de 9h às 12h, na sala 403 do prédio 2, da instituição pesquisada e, estavam presentes 34(trinta e quatro) alunos, que foram divididos em 17(dezessete) duplas. Demos início às atividades do dia, refazendo a leitura da ATIVIDADE 02, entregue no encontro anterior e propondo, a partir dela, a resolução dos exercícios de 1 a 9. [...] Algumas considerações sobre os dados apurados: 1. O item (4b) não foi compreendido por 3(três) duplas, motivo pelo qual foi

deixado em branco. Esse problema foi contornado no momento de socialização da atividade, quando o aluno expositor concluiu, que as definições, publicadas por Hamilton, para a soma e o produto de pares ordenados, eram equivalentes aos números obtidos a partir da soma e produto de números complexos tratados, durante a operação, como “expressões algébricas”;

2. Os cursistas conseguiram perceber que, para que o resultado da divisão proposta na questão 7 pudesse ser escrito na forma algébrica, o denominador deveria ser multiplicado pelo seu conjugado. Entretanto, erraram o cálculo aritmético (1-2i)(1+2i);

3. No item (8b) o erro foi induzido pela primeira operação. Conseguiram perceber que a diferença entre dois números complexos pode ser entendida como a soma do primeiro número pelo oposto do segundo. Ao aplicarem a definição de Hamilton, para a soma de números complexos, não ficaram atentos ao fato de que a segunda parcela estava escrita na forma –3i+4, cometendo, portanto, o

85

engano de somar 1 a –3i e 5i a 4. Dados os números 1+5i e 3i-4, não perceberam a necessidade de somar a parte real (1+(-4)) desses números e, posteriormente, a parte imaginária (5i+3i) desses mesmos números;

4. A questão 9 foi deixada em branco por um número significativo de duplas, em função de não terem conseguido cumprir com toda a ATIVIDADE 02 no prazo estabelecido. Apenas uma dupla conseguiu socializar a questão 9. Na oportunidade, o pesquisador apresentou outra maneira de resolução da mesma. Essa questão será devolvida aos cursistas, no próximo encontro, para ser completada;

5. Ao final da apuração da Atividade 02, constataram-se três duplas com necessidade de acompanhamento mais sistematizado. A intervenção, pontual, se justifica na dificuldade que tiveram em resolver as questões propostas.

Obs.: Foi distribuída, no final, a ATIVIDADE COMPLEMENTAR 01, para ser realizada em casa e entregue, individualmente, no próximo encontro. (Fonte: Dados da pesquisa6).

Em outros momentos, os apontamentos retratam a sala de aula como espaço

sociocultural, produzido pelos sujeitos que participam da “trama social” com seus

sentimentos, idéias, atitudes, decepções, intuições, experiências, reflexões e relações

interpessoais, numa perspectiva interpretativa desses dados. Alguns trechos extraídos do

diário de campo podem evidenciar esse caráter interpretativo dos dados:

[...] Em um segundo momento as duplas tiveram a oportunidade de socializar as atividades para o grupo, que foi gravada em áudio. Alguns colegas complementaram a exposição das duplas ou discordaram das idéias apresentadas, o que proporcionou uma discussão reflexiva e formativa, sistematizada ao final, pelo pesquisador. [...] Na oportunidade o pesquisador sensibilizou os cursistas sobre a finalidade desse tipo de atividade [complementar], bem como a necessidade de envolvimento e de cumprimento dessa tarefa. [...] foi-se (re)construindo os formulários, dando-lhes significado geométrico, representou-se um mesmo número complexo com notações diversas: algébrica, polar e exponencial – que contribuiriam para a sistematização e compreensão do conteúdo planejado para esta aula. [...] Fez-se apenas uma indagação: “Em que lugar do plano complexo, em especial, está localizado o vetor z = 3 + 3i?”. Conseguiram perceber que pertencia à bissetriz do 1º quadrante. Essa provocação iria auxiliá-los na representação, no plano complexo, do vetor z2 do item seguinte. A partir da provocação feita no item anterior, os itens seguintes foram desenvolvidos de forma autônoma pelos cursistas. [...] O ponto alto da discussão foi provocado pelo pesquisador, quando indagou a turma sobre o significado geométrico do resultado obtido no item (3). Em um primeiro momento reproduziram, na fala, a sintaxe da fórmula: “os módulos foram multiplicados e os ângulos somados”. Insistiu-se: “Nomeie o vetor 12(cos 50° + i sen 50°) de z1 e 3(cos 70° + i sen 70°) de z2. Qual o movimento geométrico aplicado sobre o vetor z1, na tentativa de sobrepô-lo ao vetor produto? (e com o pincel sobre o vetor z1, desenhado no quadro, realizou-se o movimento sugerido)”. Responderam: “rotação”. Perguntou-se: “Uma rotação positiva (anti-horária) ou negativa (horária)?”. Responderam: “positiva”. Continuou-se: “Conseguiram perceber o significado geométrico da soma dos ângulos, proposta pela fórmula?”. A partir de uma resposta positiva, voltou-se a indagar: “Então, qual seria o significado geométrico dado ao produto dos módulos?”. Os cursistas se calaram por alguns segundos. “Não sabemos”, responderam. Elucidou o pesquisador: “uma homotetia de razão 3!”. A reação foi

6 Dados coletados na pesquisa por meio do diário de campo elaborado pelo pesquisador.

86

imediata: “o que é isso?”. O pesquisador aproveitou a motivação para definir o que, então, era estranho à turma [...]. (Fonte: Dados da pesquisa).

4.7.3 Protocolo de registros dos alunos

O propósito de uma análise documental é fazer inferências sobre os valores, os

sentimentos, as intenções e a ideologia das fontes ou dos autores dos documentos. Esse tipo

de análise é apropriado, dentre outras situações, “quando o interesse do pesquisador é estudar

o problema a partir da própria expressão dos indivíduos, ou seja, quando a linguagem dos

sujeitos é crucial para a investigação.” (HOLSTI apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.39). Nesse

sentido, são válidas todas as formas de produção do sujeito, em forma escrita, tais como:

textos argumentativos, atividades de aprendizagem, dissertações etc.

Sobre as vantagens do uso de documentos na pesquisa educacional, Lüdke e André

(1986) destacam que:

Os documentos constituem uma fonte poderosa de onde podem ser retiradas evidências que fundamentem afirmações e declarações do pesquisador. Representam ainda uma fonte “natural” de informação. Não são apenas uma fonte de informação contextualizada, mas surgem num determinado contexto e fornecem informações sobre esse mesmo contexto. [...] resumem as vantagens do uso de documentos dizendo que uma fonte tão repleta de informações sobre a natureza do contexto nunca deve ser ignorada, quaisquer que sejam os outros métodos de investigação escolhidos. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.39).

Durante o minicurso, decidiu-se pela utilização de dois tipos de produção dos sujeitos

sob a forma escrita: o protocolo de resolução das atividades de ensino que compunham a

seqüência didática (ver seção 4.8) e a produção de um texto argumentativo construído a partir

de questionário (ver APÊNDICE A) aplicado aos cursistas.

Essas duas produções escritas contribuíram para a análise dos resultados apresentados

nesta pesquisa. A primeira — protocolo das atividades de ensino — tinha como objetivo

perceber ou esclarecer como os alunos realizaram as atividades, durante o minicurso,

entendendo sua forma de interagir e pensar. A segunda — texto argumentativo — objetivava

responder algumas questões norteadoras suscitadas nas discussões e reflexões promovidas nos

encontros, a partir da análise histórica dos números complexos e da concepção construtivista

para o seu ensino. Nesse texto, o cursista argumenta, ainda, sobre a relevância do minicurso

para a sua formação acadêmica, com vista à sua atuação profissional.

87

4.7.4 Gravações em áudio

Uma importante fonte de dados e informações é o registro dos diálogos dos alunos,

sejam aqueles provenientes da interação entre as duplas, ou os advindos da socialização das

atividades experimentais, perante o grande grupo.

Para essa coleta de dados, foi utilizado, durante todos os encontros, um gravador do

tipo MP3 player, que registrava todos os sons emitidos durante a realização das atividades

experimentais.

Algumas das informações contidas nessas gravações são ricas em episódios e/ou

fenômenos e fornecem dados sobre as relações estabelecidas entre as duplas de alunos e, entre

eles e o pesquisador.

Este instrumento de áudio foi utilizado, ainda, para registrar as 6 (seis) entrevistas

realizadas ao longo deste trabalho de pesquisa.

4.7.5 Entrevistas

Trata-se de uma conversa a dois — pesquisador e depoente — com interesses bem

definidos, ou seja, a entrevista “é uma comunicação bilateral e significa o ‘ato de perceber

realizado entre duas pessoas’.” (RICHARDSON et al. apud FIORENTINI; LORENZATO,

2006, p.120).

Para Bogdan e Biklen, uma entrevista “é utilizada para recolher dados descritivos na

linguagem do próprio sujeito, permitindo ao investigador intuir uma idéia sobre a maneira

como os sujeitos interpretam os aspectos do mundo.” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p.134).

Foram, então, realizadas entrevistas semi-estruturadas (ver APÊNDICE B) com 5

(cinco) alunos que participaram do minicurso, escolhidos aleatoriamente e, também, com 1

(uma) professora do Curso de Licenciatura em Matemática da instituição pesquisada, que

ensina “números complexos”.

Inicialmente, não se previu, neste estudo, a realização de entrevistas. A necessidade de

utilização desse procedimento metodológico surgiu da demanda do pesquisador pela

complementação das informações ou esclarecimento de situações e fatos oriundos do campo

experimental, que subsidiaram a construção do quinto capítulo deste trabalho de pesquisa.

88

O agendamento das 6 (seis) entrevistas aconteceu, exclusivamente, por meio

telefônico, respeitando a disponibilidade de cada depoente e aconteceram no mês de março de

2008.

As entrevistas com os alunos tiveram por finalidade:

1. Investigar a formação do sujeito pesquisado quanto ao ensino em nível médio: que

tipo de escola freqüentou e em que curso se formou? E saber, ainda, se o tópico

números complexos foi abordado no ensino médio e, em caso afirmativo, que

descrevesse como isso ocorreu;

2. Investigar a formação do sujeito pesquisado quanto ao ensino em nível superior:

foi abordado o tópico números complexos antes desse minicurso? Em caso

afirmativo, em qual disciplina isso ocorreu? Descrever como esse tópico foi

trabalhado e mencionar a bibliografia utilizada. Em quais outras disciplinas do

Curso foi necessário utilizar o conhecimento sobre números complexos?;

3. Conhecer, por meio de relatos detalhados, os pontos fortes e os pontos de maior

atenção em relação ao minicurso ofertado;

4. Fornecer subsídios que permitissem avaliar o impacto da seqüência didática,

aplicada no minicurso, na aprendizagem dos sujeitos pesquisados.

A entrevista com a professora se deu com o objetivo de desvelar sua percepção acerca

dos propósitos de se ensinar “números complexos” nos níveis básico e superior de ensino,

além de corroborar os relatos dos sujeitos dessa pesquisa.

Essas entrevistas foram gravadas em áudio, e ainda que conduzida sistematicamente

pelo pesquisador, foi compartilhada e discutida com cada depoente, numa perspectiva de co-

participação.

4.8 Atividades de pesquisa

As atividades de ensino-aprendizagem que compõem a seqüência didática foram

preparadas, antecipadamente, pelo pesquisador e aplicadas, como já dito, por ele próprio, nos

meses de março e abril de 2007, em modelo de minicurso. Tais atividades tinham por

finalidade (re)significar conceitos, propriedades e operações no campo dos “números

complexos”, por meio de construções e interpretações geométricas.

89

As atividades complementares eram entregues ao final de cada encontro e tinham o

propósito da ampliação da aprendizagem, aprofundamento e (re)significação de conceitos

trabalhados nos encontros. Deveriam ser desenvolvidas em casa, individualmente, e, quando

necessário, eram discutidas no início do encontro seguinte, com a participação dos cursistas

na sua resolução, no intuito de esclarecer dúvidas ou de servir como ponto de partida para a

discussão do dia.

Um outro ponto de observação é com relação ao intervalo de uma semana, entre dois

encontros consecutivos. Por entender que esse intervalo é longo, a “Atividade Complementar”

possibilitaria ao cursista reavivar o conteúdo para o encontro seguinte.

Na perspectiva em que o minicurso se desenvolveu, fortaleceu-se a idéia de que o

pesquisador deve ser o mediador no desenvolvimento cognitivo dos sujeitos pesquisados; e

que é das interações entre os sujeitos, e deles com o pesquisador, que são atribuídos sentidos

e/ou significados às experiências vividas, por meio da interpretação dos fenômenos.

Para isso, os encontros foram planejados com base na seguinte metodologia:

geralmente, o pesquisador começava o minicurso, retomando o conteúdo abordado no

encontro anterior, por meio das atividades complementares. Em seguida, entregava, para cada

elemento das duplas de trabalho7, uma cópia da atividade a ser desenvolvida naquele dia. Tal

atividade era proposta no modelo de descoberta guiada.

Nesse momento, era importante que as duplas compreendessem o enunciado das

questões, que fizessem uma análise reflexiva das atividades e que fossem capazes de definir

estratégias consensuais de resolução, assumindo uma postura autônoma na construção do

conhecimento. Ao pesquisador cabia o papel de fomentador/mediador/orientador nesse

processo de construção do saber, não restringindo sua intervenção à exposição de conteúdos,

mas instigando os sujeitos a encontrarem respostas para os conflitos cognitivos que ali

afloravam. Em alguns momentos, quando o pesquisador encontrava-se ocupado, assessorando

alguma dupla, as outras duplas se ajudavam, mutuamente, no ambiente da sala de aula. Para

esse processo de construção coletiva, eram reservados, em média, 100 (cem) minutos do

encontro.

Em seguida, as duplas socializavam suas experiências, dificuldades e reflexões. Na

maioria das vezes, faziam isso oralmente. Em outros momentos, preferiam registrar suas

7 Em conformidade com Zabala (1998), optou-se, neste trabalho de pesquisa, pela organização da sala de aula em “duplas flexíveis de trabalho”, com a finalidade de desenvolver uma tarefa específica. Defende-se o “trabalho em equipe” como meio para promover a socialização e a cooperação, para poder atender aos diferentes níveis e ritmos de aprendizagem, para resolver problemas de dinâmica grupal, para tornar possível a aprendizagem entre iguais etc. (ZABALA, 1998, p.112).

90

idéias no quadro de giz, por entenderem que facilitava a exposição e a compreensão das

atividades. Em geral, alguns colegas complementavam a exposição das duplas, ou

discordavam das idéias apresentadas, o que promovia uma discussão reflexiva e formativa,

mediada pelo pesquisador. A sistematização do conteúdo só era feita pelo pesquisador ao final

das apresentações ou, por vezes, quando nenhuma das duplas conseguia resolver alguma

atividade. Sobre a importância da comunicação de idéias, nas aulas de Matemática, Gregori e

Gómez-Granell (2000) argumentam que:

[...] a Matemática é ensinada, muitas vezes, como uma linguagem que se centraliza mais na sintaxe, na forma dos enunciados matemáticos do que nas idéias que expressa. [...] Uma reorientação no ensino da Matemática que se interesse mais pelo significado implicaria considerar a linguagem como um meio essencial para formular, para expressar e para comunicar as idéias matemáticas [...] o ensino da Matemática deve introduzir elementos de contextualização, de comunicação, de uso da linguagem oral, do trabalho em grupo, etc., elementos essenciais que raramente têm guarida nas aulas de Matemática. (GREGORI; GÓMEZ-GRANELL, 2000, p.300).

É importante ressaltar, que antes de os alunos começarem as apresentações, gravadas

em áudio, o pesquisador os orientou de que nenhuma alteração escrita deveria ser feita sobre a

atividade realizada pelas duplas. Quaisquer complementos, ajustes ou discordâncias deveriam

ser suscitadas no momento da apresentação e poderiam ser registradas à parte. Ao término das

apresentações, a lista de atividades era recolhida pelo pesquisador para posterior análise de

resultados e tabulação dos dados, com o objetivo de planejar as intervenções para o encontro

seguinte, quando necessário.

Durante a realização do minicurso, os cursistas tiveram contato com diferentes

assuntos ligados ao ensino dos números complexos. Destacam-se, no Quadro 1, os principais

tópicos, objetivos e competências desenvolvidas na realização da “Atividade 01”.

91

Tópicos Objetivos Competências

• Abordagem

histórica dos

números

complexos

• Incentivar a abordagem

histórica, como proposta

metodológica, com vista à

motivação e ao complemento

da aprendizagem;

• Ampliar o desenvolvimento

conceitual dos professores,

para que assumam uma

postura mais reflexiva no

ensino dos números

complexos;

• Promover a leitura, a

interpretação e a produção de

textos matemáticos.

• Compreensão da gênese dos

conceitos e métodos, no trabalho

com os números complexos;

• Percepção da intencionalidade e

da dinâmica da produção do

conhecimento matemático;

• Habilidade em leitura e produção

de textos matemáticos;

• Exposição do processo de

resolução da situação-problema

enfrentada, demonstrando

capacidade de argumentação e de

síntese.

Quadro 1: Tópicos desenvolvidos na Atividade 01 Fonte: Dados da pesquisa

ATIVIDADE 01 – A história dos números complexos

Os números complexos desempenham um papel de grande relevância e têm inúmeras

aplicações em diferentes ramos da Matemática, como: geometria plana, geometria analítica,

trigonometria, dentre outras; nas áreas da Engenharia e da Física podemos citar: circuitos

elétricos, corrente alternada, astronomia, motores e mecânica quântica.

Em geral, os alunos têm contato com esse tópico matemático, pela primeira vez, no 3º

ano do ensino médio e sua introdução é justificada pela necessidade de resolver equações

quadráticas, com discriminante negativa.

Durante séculos, quando os matemáticos se viam nessa situação de cálculo,

simplesmente diziam: “essa equação não tem solução” e pronto. Para melhor compreender a

limitação nessa operação aritmética, basta lembrar que naquela época, nem os números

negativos e muito menos os irracionais tinham adquirido a dignidade numérica. Descartes

92

(1596-1650), em seu livro Geometria (publicado em 1637), chama as raízes negativas das

equações de raízes falsas, e aos números irracionais de números surdos. É importante

ressaltar, que antes de os números negativos serem considerados como verdadeiros números,

quase todas as regras operatórias sobre os números complexos já eram conhecidas e

praticadas. Isso pode nos parecer absurdo, uma vez que os números complexos resultam de

raízes quadradas de números negativos, porém, a razão dessa prática, por alguns matemáticos

da época, é justificada pelo descompromisso com o formalismo: o importante era chegar a um

resultado desejado e não discutir a sua compreensão. Como dizia o próprio Cardano (1501-

1576), em sua obra Ars Magna (publicada em 1545): “esqueça a tortura mental que isto

significa e vá operando ...”.

Durante muito tempo, o trabalho com os números complexos se traduziu em um “nó”,

por isso eles eram usados de forma envergonhada e acompanhados de nomes pejorativos,

como, por exemplo: “fictícios”, “impossíveis”, “místicos” ou “imaginários”.

Cardano, em um dos capítulos de sua obra, considera o problema de dividir um

segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40. Se chamarmos de x o

comprimento de uma das partes, a outra terá comprimento 10 – x e esse problema poderá ser

traduzido pela equação x.(10 – x) = 40 , cujas soluções são 155 −±=x . O autor reconhece

que o problema não tem solução, mas a título de curiosidade, observa-se que trabalhando com

essas expressões como se fossem números e somando ou multiplicando 5 + 15− por

5 – 15− obtém-se, respectivamente 10 e 40 (sempre que possível, usava-se as mesmas

propriedades dos números reais, em relação à adição, à subtração, à multiplicação etc.). Por

conseguinte, ele chama essas expressões de raízes sofísticas da equação e diz que elas são

“ tão sutis quanto inúteis”.

Historicamente, a necessidade de se estudar os números complexos se justifica pela

dedicação de um grupo de algebristas italianos – Tartaglia (1500?-1557) e Cardano – no

início do século XVI, na tentativa de chegarem a uma fórmula que relacionasse os

coeficientes de um polinômio de 3º grau, com suas raízes – objetivo da “Fórmula de

Bhaskara” aplicada à equação de 2º grau.

Raphael Bombelli (1526-1572?) era um admirador da obra Ars Magna de Cardano,

mas achava que seu estilo de exposição não era claro. Decidiu, então, publicar um livro –

l’Algebra – expondo os mesmos assuntos, de forma tal, que um principiante pudesse estudá-

los sem necessidade de nenhuma outra referência. Em particular, ele considera a equação

93

x3 – 15x = 4. Ao aplicar a Fórmula de Cardano8 para o cálculo de uma raiz, Bombelli obtém:

3 1212 −+=x + 3 1212 −− . Seguindo Cardano, ele também chama essa expressão de

sofística, pois acreditava que a equação não devia ter solução, pois 121− não é um número

real. No entanto, ele percebe que x = 4 é, de fato, uma raiz da equação proposta. Assim, pela

primeira vez, deparamo-nos com uma situação em que, apesar de termos radicais de números

negativos, existe verdadeiramente uma solução da equação proposta.

Bombelli concebe, então, a possibilidade de que exista uma expressão da forma

a + b− que possa ser considerada como raiz cúbica de 2 + 121− , ou seja,

(a + b− )3 = 2 + 121− . Assim, ele obtém que 1212123 −+=−+ e que

x = 2 + 1− + 2 – 1− = 4 é uma solução da equação dada.

Esse sucesso levantou a suspeita de que talvez esses números existissem mesmo. A

sua utilidade já começava a ser percebida. Mas será que poderia ser atribuído algum

significado a eles?

A primeira tentativa de legitimação dos números complexos via interpretação

geométrica, é devida a John Wallis (1616-1703), contemporâneo de Newton e professor na

Universidade de Oxford. Mas essa interpretação não teve uma grande repercussão entre seus

contemporâneos, nem posteriormente. Só no final do século XVIII e início do século XIX,

que um topógrafo norueguês Caspar Wessel (1745-1818) e um matemático suíço, chamado

Jean Robert Argand (1786-1822), compreenderam o significado da representação dos

números complexos no plano: são pontos (ou vetores) do plano, que se somam por meio da

composição de translações e que se multiplicam pela composição de rotações e dilatações. É

por isso que os complexos aparecem, inevitavelmente, em muitos problemas que envolvem

rotação, círculo, funções trigonométricas, movimentos periódicos etc.

Mas essas (re)descobertas só foram legitimadas e passaram a ter repercussão na

comunidade científica, quando foram apadrinhadas pela grande autoridade daquele que, em

vida, era reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friederich

Gauss (1777-1855). Foi ele quem outorgou aos números complexos o direito de cidadania,

não só explorando a identificação do conjunto dos números complexos com o plano, mas,

principalmente, usando os números complexos para obter diversos resultados sobre geometria

8 Uma das raízes da equação algébrica x3 + px + q = 0 pode ser determinada, segundo Cardano, pela expressão:

3

23

232

+

+−= qpqx + 3

23

232

+

−− qpq

94

plana e sobre os números reais; e até mesmo sobre os números inteiros. Atribui-se a Gauss, a

idéia de substituir o símbolo a + bi por um par ordenado de números reais (a,b),

possibilitando, a partir daí, a visualização no plano cartesiano dos números ditos

“imaginários”.

Foi com a ajuda dos números complexos que Gauss decidiu quais eram os polígonos

regulares, construtíveis com régua e compasso, ou que números inteiros podiam ser escritos

como soma de dois quadrados. Parece que, para os matemáticos daquele período, os entes

geométricos tinham um tipo de realidade que faltava aos objetos da aritmética: credibilidade.

Foi utilizando o plano complexo que Gauss fez sua demonstração sobre o Teorema

Fundamental da Álgebra: toda equação polinomial, cujos coeficientes são números

complexos, tem, no campo dos números complexos, pelo menos uma raiz. Ele demonstrou,

ainda, que essas equações têm exatamente n raízes, sendo n o grau do respectivo polinômio.

Enfim, por volta de 1850 não havia mais nenhuma dúvida sobre a legitimidade dos

números complexos e estava bastante clara sua relevância no estudo da Matemática.

Um breve resumo da evolução histórica na notação dos números complexos:

• O símbolo 1− foi introduzido em 1629, por Albert Girard. Assim,

2 + 121− é equivalente a 2 + 111 − .

• Dada a notação a + 1−b René Descartes, em 1637, chama a de “parte real” e b de

“parte imaginária”.

• O símbolo i foi usado pela primeira vez para representar 1− por Leonhard Euler

(1707-1783), em 1777, tornando-se amplamente aceito após seu uso por Gauss, em

1801. Assim, uma expressão do tipo 2 + 111 − passou a ser escrita como 2 + 11i.

• Em 1821, Cauchy (1789-1857) introduziu os termos “conjugado” e “módulo”.

• A expressão “número complexo” foi introduzida por Gauss, em 1832.

95

Com base no relato histórico sobre a gênese dos números complexos, apresentado

acima, o grupo deverá, a partir de (re)visitações ao texto e reflexões motivadas pela temática

em questão, elaborar uma síntese no intuito de responder às seguintes questões:

1) O texto retrata uma situação, vivenciada por um homem daquela época, que evidencia a

Matemática como ciência da natureza, que propõe dar respostas às necessidades reais do

homem. Transcreva, do texto, o trecho que confirma essa função da Matemática e mostre

como chegar às soluções apresentadas.

2) a) Por que Cardano e, em seguida, Bombelli, afirmam que os números que representam as

raízes, solução das equações propostas por eles, são “tão sutis quanto inúteis”?

b) Que expressões pejorativas foram usadas pela comunidade científica da época, para

fazerem alusão aos números complexos?

3) Segundo a história, o que motivou alguns matemáticos a dedicarem esforços ao estudo dos

números complexos?

4) O que levou a comunidade científica a legitimar os números complexos como campo

numérico? Quanto tempo, aproximadamente, levou para isso acontecer?

Bibliografias:

BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, Eduardo. Trigonometria e números complexos. Rio de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do Professor de Matemática). EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: Unicamp, 1997. GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997. MILIES, César Polcino. A emergência dos números complexos. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 24, p.5-15, jul. 1993.

96

Os principais tópicos, objetivos e competências desenvolvidas na realização da

“Atividade 02” são destacados no Quadro 2.


• Representação

cartesiana (par

ordenado) e

algébrica de um

número complexo;

• Número complexo

conjugado e o

oposto de um

número complexo;

• Divisão de números

complexos

representados na

forma algébrica;

• Potências naturais da

unidade imaginária.

• Evidenciar o conjunto ℜ

como subconjunto de C;

• Comparar e operar (soma e

produto) números

complexos, a partir da teoria

construída por William R.

Hamilton;

• Apresentar os conceitos de

conjugado, oposto e divisão

de números complexos,

representados na forma

algébrica;

• Calcular potências naturais

da unidade imaginária.

• Percepção da

insuficiência dos números

reais;

• Capacidade de relacionar

a teoria construída por

William R. Hamilton,

com operações

envolvendo expressões

algébricas em ℜ;

• Reconhecimento de

padrões e regularidades

em comportamentos

lógico-matemáticos;

• Capacidade de trabalhar

coletivamente,

privilegiando-se a prática

reflexiva e autônoma, na

construção do

conhecimento;


resolução da situação-

problema enfrentada,

demonstrando capacidade

de argumentação e de

síntese.


97

ATIVIDADE 02

Conforme foi relatado, os números complexos, até a virada do século XVIII e início

do século XIX, eram vistos como entes misteriosos; que o norueguês Caspar Wessel (1745-

1818), o suíço Jean Robert Argand (1786-1822) e o alemão Carl Friederich Gauss (1777-

1855) descobriram, independentemente, que esses números podiam ser utilizados como

modelo aritmético para operar com vetores. Vale registrar que, para esse fim, Gauss

representava os números complexos por meio de pares ordenados, cujas componentes são

números reais, que identificam pontos em um plano, ao passo que Wessel e Argand, dois

amadores da Matemática, representavam-nos por meio de segmentos orientados (vetores).

No entanto, ainda havia uma questão formal pendente: o fato de a expressão algébrica

a + bi, de um número complexo, envolver a soma de duas quantidades a e bi, de espécies

diferentes. Alguns matemáticos, mais preocupados com o rigor conceitual, ainda se

perguntavam: Afinal, o que vem a ser essa soma híbrida? Um deles, o irlandês William

Rowan Hamilton (1805-1865), elucidaria a questão: foi numa comunicação à Academia

Irlandesa, em 1822, que Hamilton tornou pública sua construção acerca dos números

complexos. Por essa construção, o sistema dos números complexos era considerado o trio

composto do conjunto C dos pares ordenados (a,b) de números reais e das operações de

adição e multiplicação, assim definidas:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) . (c,d) = (ac-bd, ad + bc)

São válidas, ainda, as seguintes idéias:

1º) (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.

2º) O par (a,0) se identifica com o número real a e o par (0,1) se identifica com a unidade

imaginária i. Considerando que (b,0) . (0,1) = (0,b) = bi, então (a,b) = (a,0) + (0,b).

Assim, (a,b) = a + bi é um número complexo, com a,b ∈ ℜ.

Fonte: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar. v6.São Paulo: Atual, 2002.

98

Com base na publicação de Hamilton referente à definição de números complexos,

desenvolva as atividades, propostas a seguir:

1) Realize as operações abaixo:

a) (1,2) + (4,1) c) (0,4) + (0,-π) e)

− 0,3

5 . (-12,0)

b) (2,0) + (3,0) d) (0,3) . (2 , 2 ) f) (0,1) . (0,1)

2) Represente os resultados das operações sugeridas no item anterior, na forma algébrica a + bi.

3) a) Qual é o par ordenado, que na definição de Hamilton, representa a unidade imaginária

i?

b) Qual é o número real associado à potência i2? Explique.

4) Se p = a + bi e q = c + di, com a, b, c, d ∈ ℜ e i2 = -1, realize a soma p+q e o produto

p.q, como se p e q fossem “expressões algébricas” definidas em ℜ. Em seguida, compare

os resultados encontrados com a teoria apresentada por William R. Hamilton.

5) Para que valores reais de j e v é válida a relação (j + 2, 3j + v) + (j, – 4v) = (4, -3)?

6) Chama-se conjugado do número complexo z = a + bi o número z= a – bi, com a,b ∈ ℜ .

Explicite o produto zz . Que tipo de número representa esse resultado?

7) Represente o resultado da operação i

i

21

8

−−

na forma algébrica a + bi.

8) O oposto de um número complexo z = a + bi é o número -z = -a – bi, com a,b ∈ ℜ .

A diferença entre dois números complexos v e w pode ser indicada por v – w, ou

representada pela soma aritmética entre os números complexos v e o oposto de w, isto é,

v + (-w). Assim sendo, qual é o resultado da operação (1+2i) – (4+i)? E da operação

(1+5i) – (3i – 4)?

9) Valendo-se das propriedades dos números reais, qual é o valor das potências i0, i1, i2, i3, i4,

i5, i6, i7, i8, i9, i10, i11, i38, i529? Observando regularidades nos resultados dessas potências,

você seria capaz de escrever uma relação matemática que representasse o resultado da

potência in, sendo i a unidade imaginária e n ∈ IN?

99

ATIVIDADE COMPLEMENTAR 01

1) Determine, no conjunto C dos números complexos, as raízes do polinômio

P(h) = h4 – 3h2 – 4. Expresse P(h) na forma de produto de fatores do 1º grau, com

coeficientes complexos.

2) Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a,b,c,d ∈ ℜ e não nulos, que

relação existe entre a e c, se a soma z1 + z2 e o produto z1.z2 forem números reais?

3) Seja z um número complexo e z o seu conjugado. Em quais casos temos z = z?

Demonstre esse resultado.

4) Dados os números complexos z1 = (0,b) , z2 = (a-2) + ci e z3 = 5 – (2b+3c+1)i, determine

a, b e c, de modo que z1 + z2 = z3 – z2 e z1 + z3 = (5,4).

5) Explicite os números complexos, cujo quadrado seja igual a –3 + 4i.

6) Represente o número complexo z =

)1(00

3)1(0

20)1(

i

i

i

−−

−.(1 - i)17, na forma algébrica.

7) Mostre que o número complexo 1 – 3 i é inversível. Expresse esse inverso na forma

algébrica.

100


“Atividade 03”, são destacados no Quadro 3, a seguir:


• Representação

geométrica, de

um vetor, no

plano

complexo;

• Módulo de um

número

complexo.

• Localizar, no plano

complexo, os afixos de um

vetor posição;

• Calcular o módulo de um

número complexo;

• Interpretar,

geometricamente, os

vetores z e –z.;

• Representar, no plano com-

plexo, o lugar geométrico

definido pelos afixos de

vetores, não nulos, solução

de uma equação/inequação

modular.

• Conexão entre a forma de

representar, no plano complexo,

os afixos de vetores, com a

localização de pontos, no plano

cartesiano;

• Capacidade de relacionar a

fórmula que exprime a

magnitude de um vetor, com a

que determina a distância entre

dois pontos distintos, no plano

cartesiano;

• Capacidade de reconhecer o

lugar geométrico, em situações

que envolvam magnitude de

vetores;

• Habilidade em realizar isometrias

(rotação e reflexão) de vetores,

no plano;


coletivamente, privilegiando-se a

prática reflexiva e autônoma, na

construção do conhecimento;


resolução da situação-problema

enfrentada, demonstrando

capacidade de argumentação e de

síntese.


101

ATIVIDADE 03: A representação geométrica e o módulo de um número complexo

Representaremos os elementos de C em um sistema ortogonal de eixos, idêntico ao

plano cartesiano, chamado plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Essa representação é

feita associando os números complexos a pontos do plano cartesiano. Um número complexo

z = a + bi pode ser representado como um par ordenado P(a,b), chamado de afixo, ou como

um vetor orientado z = OP= P – O (FIGURA 1).

Consideremos o conjunto C dos números complexos e o conjunto ℜ2, isto é, o produto

cartesiano ℜ x ℜ e a função f : C → ℜ2 definida por f(a + bi) = (a, b).

1) Com base no que foi exposto acima, represente sobre um mesmo plano complexo, os afixos

dos seguintes números:

a) z1 = -4 + 2i b) z2 = -3i c) z3 = 5 d) z4 = 1 – i

e) –z1 f) 4z g) z4 – z2 + 1z h) z1 . z4

2) Como cada número complexo z = (a,b) pode ser visto como um vetor posição, podemos

calcular o seu módulo. Geometricamente, chamaremos de módulo de z (e escreveremos |z|)

a distância do afixo P à origem O (FIGURA 1). A partir dessa definição, veja se você é

capaz de escrever uma lei matemática que explicite o módulo |z|, em função dos afixos a e

b do número complexo z = a + bi.

3) Calcule o módulo de cada um dos números complexos mencionados no item (1).

.

a

b z = a + bi ⇔ P(a,b) a + bi

.

Im

Re 0

Figura 1

|z|

C

P

102

4) Represente, sobre um mesmo plano complexo, os vetores z = 2 – 3i, z e –z. Em seguida,

dê uma interpretação geométrica aos vetores z e –z, analisados a partir de z.

5) Qual é o lugar geométrico definido pelos afixos de números complexos z = (a,b), de

mesmo módulo |z|, com |z| ≠ 0 ?

6) Represente, graficamente, os números complexos z = (a,b), tais que 342 ≤+− iz .


1) a) Dado z = 2 + 2i, calcule a área e o perímetro do quadrilátero que tem vértices nos

afixos de z, iz, i2.z e i3.z. Em seguida, faça uma representação geométrica do problema.

b) Qual o comprimento da circunferência circunscrita a esse quadrilátero? E sua área?

2) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + yi do plano complexo, tais que

4

11Re =

z. Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar geométrico.

103




• Operações de soma e

diferença entre

números complexos;

• Propriedade

algébrica acerca do

módulo da soma de

vetores.

• Construir, sobre um mesmo

plano complexo, os vetores

z1, z2, z1+z2 e z1–z2, usando

recursos do desenho

geométrico (régua,

esquadro, compasso e papel

milimetrado) e interpretar,

geometricamente, os vetores

z1+z2 e z1–z2;

• Construir e validar a relação

matemática

2121 zzzz +≤+ ,

usando recursos do desenho

geométrico: régua e

compasso.

• Aptidão em realizar

construções geométricas,

usando recursos do

desenho geométrico;

• Reconhecimento das

propriedades de um

paralelogramo;

• Capacidade de realizar

medição, transporte e

isometrias (reflexão e

translação) em vetores;


coletivamente, privilegi-

ando-se a prática reflexi-

va e autônoma, na cons-

trução do conhecimento;






síntese.


104

ATIVIDADE 04

1) Represente, em um mesmo plano complexo, os vetores z1 = 4 + i e z2 = 1 + 2i. Em

seguida, usando o esquadro e o compasso como recursos geométricos para transladar e

transportar segmentos, trace os vetores z1+z2 e z1–z2.

2) Qual foi o quadrilátero determinado no item anterior, cujos vértices são os afixos dos

números complexos z1, z1+z2, z2 e a origem (0,0) do plano complexo? Dê uma

interpretação geométrica para os vetores z1+z2 e z1–z2 traçados anteriormente.

3) a) Há uma relação matemática que exprime o comprimento do vetor soma (z1+z2), em

função da soma dos comprimentos dos vetores z1 e z2, traçados no item (1). Utilize

recursos do desenho geométrico para ajudá-lo(a) a obter tal relação.

b) Existem vetores z1 e z2 que têm a soma dos seus comprimentos representada pelo

comprimento do vetor soma (z1+z2). Sob quais condições isto ocorre?

c) Que relação matemática pode sintetizar as comparações (a) e (b) anteriores?


1) Sob quais condições, se tem wzwz −=+ ? Interprete o resultado, geometricamente.

2) Seja z = (a,b) um número complexo:

a) Determine β para que o sistema

=−

=

βiz

z 4 tenha solução única.

b) Para o valor de β, obtido no item anterior, explicite o número complexo z solução

desse sistema.

105


“Atividade 05”, são destacados no Quadro 5.


• Representação de

números

complexos nas

formas

trigonométrica (ou

polar) e

exponencial.

• Escrever a forma

trigonométrica de um

número complexo

z = a + bi por meio de seu

módulo |z| e do ângulo

trigonométrico θ, com

0 ≤ θ < 2π;

• Estabelecer equivalências

de notação, para a

representação de um

mesmo número complexo:

forma cartesiana, algébrica,

trigonométrica e

exponencial.

• Habilidade em operar com

números complexos na

forma algébrica;

• Exploração de funções

trigonométricas (seno e

cosseno) no triângulo

retângulo e no ciclo

trigonométrico;


coletivamente,



construção do

conhecimento;




demonstrando capacidade de

argumentação e de síntese.


106

ATIVIDADE 05

1) Existe um número complexo do tipo a + bi, tal que (a+bi)3 = -2 + 2i. Explicite-o.

Definiremos a forma trigonométrica ou polar de um número complexo z = a + bi por

meio de seu módulo |z| e do ângulo trigonométrico θ, com 0 ≤ θ < 2π, obtido ao girar o semi-

eixo real positivo no sentido anti-horário (FIGURA 1). A esse ângulo, chamaremos

argumento do número complexo z e o designaremos por arg(z).

2) Analisando as projeções de z, sobre os eixos Re e Im (FIGURA 1), você seria capaz de

escrever a e b, em função do argumento θ e do módulo |z|?

3) Com base nas relações construídas no item anterior, como podemos escrever, de forma

equivalente, o número complexo z = a + bi? Esse resultado representa a forma

trigonométrica ou polar do número complexo z = (a, b).

4) Escreva os seguintes números complexos, na forma trigonométrica:

a) z = i+3 b) z = i

i

−+1

)22( 2 c) z = (i -1)10

d) z = i2

3

2

1 −− e) z = 2 - 2 3 i f) z = ( i21+ ).( i21− )

5) Uma quarta forma de representar um número complexo z = (a, b) — além das formas

cartesiana, algébrica e trigonométrica, já mencionadas — é conhecida como forma

exponencial, ou fórmula de Euler: z = ρρρρeiθθθθ , sendo ρ = |z| e θ = arg(z). Use a notação

exponencial de Euler para representar os números complexos do item anterior.

.z

|z|

)θ a

b

0

Im

Re

Figura 1

107




• Multiplicação e

divisão de

números

complexos, na

forma

trigonométrica.

• Dar significado geométrico ao

produto do vetor z = (a,b),

pela unidade imaginária i e

por i2 ;

• Construir, sobre um mesmo

plano complexo, os vetores

z1, z2, z1.z2 e 2

1

z

z, usando

recursos do desenho

geométrico (régua, compasso,

transferidor e papel

milimetrado) e interpretar,

geometricamente, os vetores

z1.z2 e 2

1

z

z;

• Determinar relações

matemáticas que explicitam o

produto e o quociente entre

números complexos,


trigonométrica.

• Habilidade em lidar com

números complexos nas

formas cartesiana,

algébrica, trigonométrica

e exponencial;

• Aptidão em realizar

construções geométricas,

usando recursos do

desenho geométrico;

• Capacidade de medir

segmentos e ângulos e

aplicar isometrias

(reflexão e rotação) e

homotetias (dilatação e

contração) em vetores;


coletivamente,



construção do

conhecimento;






síntese.


108

ATIVIDADE 06

1) a) Represente sobre um mesmo plano complexo os vetores z = 3 + 3i, z.i, z.i2, z.i3, z.i4.

b) O que significa, geometricamente, multiplicar o vetor z = (a, b) pela unidade imaginária

i? E multiplicar o vetor z = (a,b) por i2 ?

2) a) Represente sobre um mesmo plano complexo os vetores z1 = 3i, z2 = i22 + e o vetor

produto z1.z2 .

b) Escreva, na forma trigonométrica, os vetores traçados no item anterior.

c) Observe como os vetores z1, z2 e z1.z2 foram registrados no item (b). Compare as

medidas dos seus comprimentos. Em seguida, compare as medidas dos seus

argumentos. Você seria capaz de sintetizar as comparações anteriores, por meio de uma

lei matemática que permita expressar o produto entre dois números complexos, escritos

na forma trigonométrica? Utilize recursos do desenho geométrico para ajudá-lo(a) a

obter tal relação.

3) Tomando como base a expressão matemática obtida no item (2c), qual é o resultado do

produto 12(cos 50° + i sen 50°) . 3(cos 70° + i sen 70°) escrito na forma trigonométrica?

Interprete-o geometricamente.

4) Como você responderia aos itens (2b) e (2c), se a proposta fosse determinar o vetor

quociente 2

1

z

z?

5) Qual é o resultado do quociente )7070(cos3

)5050(cos12°°

°°

++

seni

seni, escrito na forma trigonométrica?


6) Escreva na forma trigonométrica, de duas maneiras distintas, o conjugado do número

complexo z =

+3

4sen

3

4cos5

ππi .

7) Dados os números complexos z = i

e 6

5

.6

π

e w = i

e4.3

π

, escreva na forma trigonométrica:

a) z.w b) w3 c) z

w d)

w

z

109


1) Considere o número complexo z = 2

+8

3

8

3cos

ππseni . Marque e identifique, no

plano complexo da figura abaixo, os afixos dos vetores z, z , z2

e z

10 . Na figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer, têm a

mesma medida.

2) Escreva os números complexos identificados no item anterior, nas formas trigonométrica e

exponencial de Euler.

Fonte: Vestibular UFMG - 1998

110




• Potenciação na

forma

trigonométrica

• Dar significado

geométrico à potenciação



trigonométrica;

• Determinar a relação

matemática (1ª fórmula de

De Moivre) que calcula a

enésima potência de um

número complexo,

representado na forma

trigonométrica.


números complexos, nas

formas cartesiana, algébrica,

trigonométrica e exponencial;

• Aptidão em realizar operação

de multiplicação entre números

complexos, na forma

trigonométrica;

• Capacidade de aplicar

isometrias (reflexão e rotação)

e homotetias (dilatação e

contração) em vetores;

• Exploração do Binômio de

Newton, como recurso para

cálculo da potência de números

complexos, na forma algébrica;


coletivamente, privilegiando-se

a prática reflexiva e autônoma,

na construção do

conhecimento;


resolução de um problema

enfrentado, demonstrando

capacidade de argumentação e

síntese.


111

ATIVIDADE 07

1) Explique como você poderia efetuar, mais facilmente, a potência 7)22( i+ .

2) Com base no processo de construção da potenciação de um número complexo

z = (a,b) experienciado no item anterior, você seria capaz de escrever uma relação

matemática que possa representar, na forma trigonométrica, a potência zn, com n ∈ IN e

n 2≥ ? Essa relação, a ser obtida, é conhecida como fórmula de De Moivre.

3) a) Usando a fórmula de De Moivre, calcule a potência (i – 1)10.

b) Escreva o resultado dessa potência nas formas algébrica, cartesiana e exponencial.

4) Determinar o menor natural n, tal que ni)3( +− seja um imaginário puro.

5) Observe a figura abaixo. Nela, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números

complexos representados geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses dados,

escreva o número complexo 5

11

.wi

z na forma algébrica.

Fonte: Vestibular UFMG - 2001

112




• Radiciação na forma

trigonométrica

• Calcular a raiz enésima

de um número complexo,

representado na forma

trigonométrica, por meio

da potenciação;

• Dar significado

geométrico à radiciação



trigonométrica;

• Aplicar a Fórmula de

Cardano-Tartaglia no

cálculo das raízes de uma

função polinomial de 3º

grau, em particular.


números complexos, nas

formas cartesiana, algébrica,

trigonométrica e

exponencial;

• Aptidão em operar potências

de números complexos, na

forma trigonométrica;

• Exploração da progressão

aritmética na determinação

das raízes enésimas de um

número complexo, na forma

trigonométrica;

• Habilidade no cálculo da

área de figuras geométricas

planas e regulares;


coletivamente,



construção do

conhecimento;




demonstrando capacidade de

argumentação e de síntese.


113

ATIVIDADE 08

1) Sejam z = (a,b) e w = (c,d) números complexos não nulos. Dizemos que w é a raiz enésima

de z e a representamos por wzn = (n ∈ IN, com n ≥ 2). É fácil perceber que essa operação

é a inversa da potenciação, ou seja, wn = z. Portanto, torna-se mais simples calcular a raiz

enésima de z usando nossos conhecimentos sobre a potenciação. É possível constatar,

ainda, que o número complexo z = (a,b) admite n raízes enésimas distintas, de mesmo

módulo, cujos argumentos estão em progressão aritmética de razão n

°360. Com base no

que foi exposto acima, determine as raízes quartas do número complexo i388−−

e interprete-as geometricamente.

2) No universo dos números complexos, quanto vale 1− ? Interprete esse resultado,

geometricamente.

3) No plano de Argand-Gauss, cada ponto representa um número complexo. Considere nesse

plano um hexágono regular com centro na origem e a unidade imaginária i, sendo um de

seus vértices.

a) Determine os outros vértices do hexágono e represente-os geometricamente.

b) Determine a área desse polígono regular.

4) Resolver, no campo dos números complexos, as equações:

a) 2u5 + 64i = 0

b) v6 – 7v3 = 8

c) x3 – 6x + 4 = 0

114

5 TECENDO QUESTÕES E POSSIBILIDADES DE ANÁLISE

Os dados coletados nesta pesquisa foram analisados com o objetivo de averiguar se a

seqüência didática, apresentada como proposta pedagógica para o ensino dos números

complexos, contribuiu para que a investigação, nesse campo numérico, acontecesse de forma

significativa, no contexto da sala de aula.

Procurando encontrar respostas para a questão proposta e, ainda, desejando verificar se

os objetivos da pesquisa foram alcançados, todo o material coletado ao longo deste estudo

(observação participante, diário de campo, protocolo de registros dos alunos, gravações em

áudio e entrevistas) foi organizado em um único documento e submetido à análise.

Segundo Lüdke e André (1986), analisar os dados qualitativos significa “trabalhar”

todo o material obtido durante a pesquisa e destacam que, nesta etapa:

[...] um ponto importante é a consideração tanto do conteúdo manifesto quanto do conteúdo latente do material. É preciso que a análise não se restrinja ao que está explícito no material, mas procure ir mais a fundo, desvelando mensagens implícitas, dimensões contraditórias e temas sistematicamente “silenciados”. [...] É preciso que o pesquisador ultrapasse a mera descrição, buscando realmente acrescentar algo à discussão já existente sobre o assunto focalizado. Para isso ele terá que fazer um esforço de abstração, ultrapassando os dados, tentando estabelecer conexões e relações que possibilitem a proposição de novas explicações e interpretações. É preciso dar o “salto”, como se diz vulgarmente, acrescentar algo ao já conhecido. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.48-49).

Neste sentido, serão analisadas as 12 (doze) atividades de ensino-aprendizagem que

compõem a seqüência didática proposta neste trabalho de pesquisa.

5.1 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade 01

O primeiro encontro aconteceu no dia 03 de março de 2007, com a presença de 44

(quarenta e quatro) alunos, organizados em 22 (vinte e duas) duplas. Nele, foi desenvolvida,

em dois momentos, a Atividade 01 intitulada “A história dos números complexos” (ver seção

4.8). Inicialmente, as duplas leram e elaboraram a síntese do texto, a partir de quatro questões

orientadoras. Posteriormente, as duplas tiveram a oportunidade de apresentar sua síntese para

o grande grupo, que foi gravada em áudio.

115

Passa-se, neste momento, a apresentar os resultados globais e a analisar cada uma das

quatro questões propostas:

Do total de duplas analisadas, 81,8% conseguiram localizar no texto, o trecho que

evidencia a Matemática como ciência natural, assim transcrita: “Cardano ... considera o

problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.”

As respostas a esse item estão organizadas no Gráfico 1 e podem ser identificadas por meio

do código (Q1a).

Na segunda parte desta questão, metade das duplas conseguiu mostrar como Cardano

concluiu que 155 −±=x era solução da equação x.(10 – x) = 40, apresentando o seguinte

desenvolvimento:

x.(10 – x) = 40 ⇒⇒⇒⇒ x2 – 10x + 40 = 0 ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆ = 100-4 (40) = -60 ⇒⇒⇒⇒ 2

15210 −±=x

∴∴∴∴ 155 −±=x

As demais duplas parecem não ter observado a ordem “mostre como chegar às

soluções apresentadas”, descrita no enunciado, motivo pelo qual acredita-se que a questão

não apareceu respondida. As respostas a esse item estão organizadas no Gráfico 1 e podem ser

identificadas por meio do código (Q1b).

Ao verificar se as soluções 5 + 15− e 5 – 15− propostas por Cardano, tornavam

verdadeira a equação x.(10 – x) = 40, os alunos deveriam utilizar as propriedades, que já

conhecem, acerca dos números reais, com relação à soma e ao produto. Além de constatarem

que tais números têm soma 10 e produto 40, teriam a oportunidade de experienciarem o

mesmo descompromisso que Cardano teve, no século XVI, com o formalismo aritmético, ao

ignorar a “tortura mental” causada por aquelas operações que envolviam um número

“estranho” e sem significado: 15− .

Ao salientar a relevância da abordagem histórica no ensino da Matemática, Zuim

(2003) afirma que:

1) O texto retrata uma situação, vivenciada por um homem daquela época, que evidencia

a Matemática como ciência da natureza, que propõe dar respostas às necessidades reais

do homem. Transcreva, do texto, o trecho que confirma essa função da Matemática e

mostre como chegar às soluções apresentadas.

116

[...] o professor deve estar atento, observando que a contextualização dos diversos assuntos dentro da História da Matemática é fundamental, para que se compreenda quais eram as necessidades e os conhecimentos de um determinado povo na época em que um determinado saber foi produzido. Podemos, deste modo, mostrar que a Matemática evolui, não é estática, mas mutável. Muitas vezes, o modo como se “fazia” Matemática em outros tempos é diferente dos métodos que são ensinados hoje nas escolas. No entanto, as técnicas de outros povos podem dar uma nova visão para o conteúdo estudado [...] (ZUIM, 2003, p.8).

Em conformidade com essa autora, para que o conteúdo matemático não seja visto

apenas como um produto, propõe-se um ensino de números complexos — ao contemplar esse

processo de gênese dos conceitos — que permita ao educador compreender o caminho

percorrido, pelo aluno, na assimilação do conteúdo estudado e que oportunize a esse aprendiz,

perceber a intencionalidade e a dinâmica na produção do conhecimento matemático.

Apenas 31,8% dos depoentes responderam corretamente, e de forma completa, ao item

(Q2a). Observe a síntese das idéias de uma das duplas:

Quadro 9: Síntese elaborada por uma das duplas, em resposta ao item (Q2a), da Atividade 01. Fonte: Dados da pesquisa.

Um outro grupo de depoentes, correspondente a 45,5%, conseguiu justificar

corretamente parte da questão. Por exemplo, enquanto relatavam, corretamente, o motivo

dessas raízes serem inúteis, não conseguiram perceber a qual sutileza os cientistas se referiam.

O inverso também ocorreu: duplas que conseguiram inferir sobre a sutileza aritmética no trato

operacional com essas raízes, mas que não souberam justificar por que foram consideradas

inúteis.

[...] consideram “sutis” as expressões que representam a solução das equações propostas,

pelo fato de aplicarem, com facilidade, as propriedades dos números reais ao operarem

(soma e produto) com tais expressões. Esses resultados, porém, são “inúteis” por não serem

reconhecidos como números.

2) a) Por que Cardano e, em seguida, Bombelli, afirmam que os números que representam

as raízes, solução das equações propostas por eles, são “tão sutis quanto inúteis”?

b) Que expressões pejorativas foram usadas pela comunidade científica da época, para

fazerem alusão aos números complexos?

117

Em contrapartida, 86,4% das duplas responderam corretamente ao item (Q2b):

“números fictícios, impossíveis, místicos, sofísticos e imaginários.”, como é retratado no

trecho transcrito da obra de Ripoll, Ripoll e Silveira (2006):

[...] a vasta maioria dos matemáticos da época, muito a contragosto, apenas tolerava o uso das grandezas imaginárias e sofísticas para estabelecer propriedades das grandezas geométricas ou números reais, e torcia para que esses inconvenientes intermediários oportunamente fossem “chutados para a lata de lixo da História.”. (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.232). (grifos nossos).

A citação dos autores ilustra bem o significado da crise histórica sobre a legitimidade

dos números complexos, ao evidenciar a insuficiência dos números reais nas operações

aritméticas e algébricas. Entre os matemáticos do século XVIII, era presente a tensão pelo

reconhecimento dos números complexos, como entidade numérica, entendendo que fossem

algo sem significado, distante da realidade.

Nesta questão, 68,2% das duplas analisadas conseguiram perceber que foram as

equações do 3º grau que motivaram alguns algebristas italianos à investigação dos números

complexos. Justificaram suas respostas, em grande maioria, da seguinte maneira: “desejavam

uma fórmula que relacionasse os coeficientes de um polinômio do 3º grau, com suas

raízes.”. Nesse sentido, para Milies (1993):

Em geral, o estudante se depara com eles [números complexos], pela primeira vez, ainda no curso secundário e sua introdução é justificada pela necessidade de resolver equações de segundo grau com discriminante negativo. Isso cria uma falsa impressão, já que, historicamente, não foram as equações de segundo grau que levaram à introdução dos números complexos. (MILIES, 1993, p.5). (grifo nosso).

Desejou-se realçar, com o posicionamento do autor, o equívoco freqüentemente

cometido por professores e livros-texto, em geral, em relação ao objeto motivador da

investigação no campo dos números complexos: a equação do 3º grau.

3) Segundo a história, o que motivou alguns matemáticos a dedicarem esforços ao estudo

dos números complexos?

118

Na primeira parte desta questão, 63,6% das duplas não conseguiram abstrair do texto a

idéia que a responde corretamente. As respostas a esse item estão organizadas no Gráfico 1 e

podem ser identificadas por meio do código (Q4a). Observe a síntese das idéias de uma das

duplas:

Quadro 10: Síntese elaborada por uma das duplas, em resposta ao item (Q4a), da Atividade 01. Fonte: Dados da pesquisa.

A respeito do empenho dedicado ao reconhecimento desse novo campo numérico,

Ripoll, Ripoll e Silveira (2006) esclarecem que:

[...] como a Matemática da época era toda fundamentada na Geometria Euclidiana, os números complexos só poderiam ser legitimamente vistos como um novo tipo de grandeza se fosse apresentada uma teoria geométrica para eles. Isso significa dizer que era preciso provar que os números complexos podiam ser interpretados como objetos geométricos [...] e que era possível estender a teoria das proporções para os mesmos. (RIPOLL; RIPOLL; SILVEIRA, 2006, p.231).

Apenas 18,2% das duplas responderam corretamente a segunda parte desta questão:

“Aproximadamente 300 anos”. As respostas a esse item estão organizadas no Gráfico 1 e

podem ser identificadas por meio do código (Q4b).

A dificuldade apresentada pelas duplas ao responderem a questão 4, parece justificar-

se no fato de que não se tratava, exclusivamente, de localizar informações no texto. Esperava-

se que, a partir do texto, os alunos fossem capazes de realizar inferências, organizando suas

idéias em um novo texto síntese.

Os resultados alcançados pelas duplas, na realização da Atividade 01, foram

categorizados no Gráfico 1, a seguir:

4) O que levou a comunidade científica a legitimar os números complexos como campo

numérico? Quanto tempo, aproximadamente, levou para isso acontecer?

“A busca por uma interpretação geométrica para os números complexos deve-se,

inicialmente, a John Wallis e, posteriormente, a Caspar Wessel e Jean Robert Argand,

mas, fora legitimada por Gauss.”

119

Gráfico 1: Resultados alcançados na realização da Atividade 01. Fonte: Dados da pesquisa.

Torna-se relevante ressaltar, que durante a socialização das respostas, alguns colegas

complementavam a exposição das duplas ou discordavam das idéias apresentadas. Isto

proporcionou uma discussão reflexiva e formativa, sistematizada ao final pelo pesquisador.

Verifica-se, por meio dos resultados apresentados, que as duplas mostraram maior

dificuldade na realização das questões (Q1b), (Q4a) e (Q4b). Neste caso, a intervenção foi

realizada pelo pesquisador no momento de socialização das informações, no grande grupo.

Sobre o longo e árduo processo de construção e de sistematização do conhecimento

matemático, Klein citado por Miguel (1993), pondera que:

Ao fazer observações históricas, acredito que deixei claro o modo como todas as idéias matemáticas surgiram lentamente e o modo como elas, quase sempre, apareceram primeiro em forma um tanto preliminar e, somente depois de longo desenvolvimento, se cristalizaram e adquiriram a forma definitiva tão familiar na apresentação sistemática. (KLEIN apud MIGUEL, 1993, p.39).

A idéia apresentada pelo autor leva-nos a descartar a impressão de que na Matemática

tudo surge por meio da inspiração de algumas pessoas que “inventam” os conceitos.

Isso nos permite inferir que a (re)construção histórica, do conhecimento matemático,

pode contribuir para uma significativa prática pedagógica no ensino da Matemática escolar,

tomando tal instrumento, como motivador para a construção desse conhecimento. Este modo

de ensinar, se conduzido de forma investigativa, problematizadora e, portanto, construtiva,

pode aproximar os estudantes da realidade histórica sobre o assunto estudado.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Q1a Q1b Q2a Q2b Q3 Q4a Q4b

Acertos

Erros

120

Nesse contexto de (re)descoberta, a história matemática contada ajuda a garantir a

dialogicidade entre os vários conceitos matemáticos, provocando a curiosidade do aluno e

possibilitando a conexão de um conjunto de atividades, aparentemente, desconexas.

Do ponto de vista didático-epistemológico, conhecer os obstáculos enfrentados pelo

homem na produção e sistematização desse conhecimento, também pode levar o professor a

uma melhor compreensão e aceitação das dificuldades enfrentadas pelos alunos, e pensar em

estratégias mais adequadas para favorecer a aprendizagem de conceitos e procedimentos

matemáticos. Geralmente, as exposições “polidas” do conteúdo matemático escolar não

conseguem mostrar os obstáculos do processo criativo, as frustrações e o longo e árduo

caminho que os matemáticos tiveram que trilhar para atingir uma estrutura considerável.

Assim, a abordagem histórica, como proposta metodológica, constitui-se em mais um

recurso que pode colaborar para a melhoria do ensino da Matemática, particularmente em

relação aos números complexos, ao apontar caminhos que possibilitam a (re)construção e a

apreensão de conceitos matemáticos, além de atribuir sentido e significado às teorias que

compõem o currículo de Matemática.


O segundo encontro aconteceu no dia 10 de março de 2007 e estavam presentes 34

(trinta e quatro) alunos, organizados em 17 (dezessete) duplas.

A Atividade 02 (ver seção 4.8) foi desenvolvida em dois momentos. Inicialmente, as

duplas resolveram as questões de 1 (um) a 9 (nove), tendo um texto histórico como suporte. A

função principal desse texto era apresentar a teoria construída por William R. Hamilton acerca

da comparação e das operações de soma e produto de números complexos, representados na

forma cartesiana. A partir da questão 6 (seis), outros conceitos foram apresentados, tais como:

conjugado, oposto e divisão de números complexos, representados na forma algébrica. A

última questão dessa atividade propunha aos sujeitos da pesquisa que, por meio da observação

de padrões e regularidades, estabelecessem uma relação matemática para o cálculo de

potências naturais da unidade imaginária.

Posteriormente, as duplas tiveram a oportunidade de apresentar sua síntese para o

grande grupo, que foi gravada em áudio.

121

Neste momento, passa-se a apresentar os resultados globais e a analisar as questões

propostas na Atividade 02:

Para resolver as questões propostas, tornava-se necessário que as duplas recorressem

ao texto apresentado e interpretassem a teoria de Hamilton, quanto à soma e ao produto de

números complexos, representados como pares ordenados (forma cartesiana). Todas as 17

(dezessete) duplas tiveram êxito na resolução dessa questão. Ressalva-se que, uma única

dupla, ao desenvolver o item (1d), cometeu dois enganos: primeiramente, considerou

0 . 2 = 2 e, posteriormente, talvez induzida pelo raciocínio utilizado na resolução dos itens

(1a), (1b) e (1c), concluiu que (0,3) . ( 2 , 2 ) = (0. 2 , 3. 2 ) = ( 2 , 3 2 ).

Nesse caso, considerou-se “engano” na resolução e não “falta de compreensão” da

teoria de Hamilton, uma vez que essa dupla conseguiu resolver corretamente o item (1f), o

qual demandava a mesma linha de raciocínio. Por esse motivo, na categorização global da

questão 1 (um), este item foi considerado “correto” e teve-se o cuidado de, no encontro

seguinte, como meio de intervenção, sinalizar o “engano” à dupla. Por conseguinte, a questão

2 (dois) foi resolvida por todas as duplas, com sucesso.

Observe, a seguir, a síntese apresentada por uma das duplas, na resolução das questões

1 (um) e 2 (dois), da Atividade 02:


a) (1,2) + (4,1) c) (0,4) + (0,-π) e)

− 0,3

5.(-12,0)

b) (2,0) + (3,0) d) (0,3) . (2 , 2 ) f) (0,1) . (0,1)

2) Represente os resultados das operações sugeridas no item anterior, na forma algébrica a + bi.

122

Quadro 11: Síntese elaborada por uma das duplas, em resposta às questões 1 e 2, da Atividade 02. Fonte: Dados da pesquisa.

Quanto à questão 3:

Todas as duplas responderam corretamente aos itens acima, identificados no Gráfico

2, pelos códigos (Q3a) e (Q3b). Observe a síntese apresentada por uma das duplas:

a) “... o par (0,1) identifica-se com a unidade imaginária i.”.

b) i2 = i . i = (0,1) . (0,1) = (-1,0) = -1, conforme resultados apurados nos itens (Q1f) e

(Q2f), anteriores.

Quadro 12: Síntese elaborada por uma das duplas, em resposta à questão 3, da Atividade 02. Fonte: Dados da pesquisa.

A dupla não registrou suas idéias na forma apresentada. Trata-se de uma opção de

síntese para facilitar a comunicação.

Sobre a unidade imaginária i, Courant e Robbins (2000) esclarecem que:

[...] introduz-se o novo símbolo i, definindo i2 = -1. Naturalmente, este objeto i, a “unidade imaginária”, nada tem a ver com o conceito de um número como um meio


a) (1,2) + (4,1) = (5, 3) d) (0,3) . ( 2 , 2 ) = (-3 2 , 3 2 )

b) (2,0) + (3,0) = (5, 0) e)

− 0,3

5.(-12,0) = (20, 0)

c) (0,4) + (0,-π) = (0, 4-π) f) (0,1) . (0,1) = (-1, 0)

2) Represente os resultados das operações sugeridas no item anterior, na forma algébrica

a + bi.

a) (5,3) = 5 + 3i d) (-3 2 , 3 2 ) = -3 2 + 3 2 i

b) (5, 0) = 5 + 0i = 5 e) (20, 0) = 20 + 0i = 20

c) (0, 4-π) = 0 + (4-π)i = (4-π)i f) (-1, 0) = -1 + 0i = -1

3) a) Qual é o par ordenado, que na definição de Hamilton, representa a unidade

imaginária i?

b) Qual é o número real associado à potência i2? Explique.

123

de contar. Trata-se puramente de um símbolo, sujeito à regra fundamental i2 = -1, e seu valor dependerá inteiramente do fato de que, com esta introdução, uma extensão realmente útil e exeqüível do sistema numérico possa ser efetuada. (COURANT; ROBBINS, 2000, p.108). (grifos nossos).

Esta foi a maneira encontrada pelos autores — não muito diferente do que, em geral, é

apresentado nos livros didáticos — para introduzirem a discussão sobre números complexos,

em sua obra. Esse tipo de abordagem faz parecer que a Matemática é “mágica” e que nunca

haverá obstáculos para a mesma, pois qualquer que seja a dificuldade, pode-se inventar algum

conceito, ou alguma operação, ou ainda uma definição que supere essa dificuldade. Emana-se

a idéia de que as coisas “caem do céu”, ou seja, alguém decidiu que era momento de “inventar

os números complexos” e simplesmente diz que i2 = -1, e que um número complexo é da

forma a+bi. É assim que, quase sempre, se ensina e se aprende números complexos.

A questão 4 (quatro) foi respondida de forma satisfatória por 88,2% das duplas

analisadas. As outras duplas deixaram essa questão em branco, devido à incompreensão do

enunciado. Observe a síntese das idéias apresentadas por uma das duplas, nesta questão:


Apenas 17,6% das duplas não responderam corretamente a quinta questão — por

cometerem erros em operações aritméticas ou algébricas —, ou deixaram-na em branco.

a) p + q = (a+bi) + (c+di) = a + bi + c + di = (a+c) + (b+d)i

b) p . q = (a+bi) . (c+di) = ac + adi + bci + bdi2 ; onde i2 = -1

= (ac-bd) + (ad+bc)i

“Resolvendo a questão pela definição de Hamilton ou algebricamente, teremos o

mesmo resultado: um deles representando um par ordenado e o outro, assemelhando-se a

uma expressão algébrica.”.

4) Se p = a + bi e q = c + di, com a,b,c,d ∈ ℜ e i2 = -1, realize a soma p+q e o produto

p.q, como se p e q fossem “expressões algébricas”, definidas em ℜ. Em seguida,

compare os resultados encontrados com a teoria apresentada por William R. Hamilton.

5) Para que valores reais de j e v é válida a relação (j + 2, 3j + v) + (j , – 4v) = (4, -3)?

124

Observe a síntese das idéias de uma das duplas:

(j+2+j, 3j+v-4v) = (4, -3)

21333

422==⇒

−=−=+

vejvj

j

Percebe-se, por meio das questões 4 (quatro) e 5 (cinco), que os elementos do conjunto

C, obedecendo às definições de igualdade, adição e multiplicação de números complexos, têm

comportamentos idênticos ao dos números reais. Por exemplo, na multiplicação entre dois

números complexos na forma algébrica, aplica-se a propriedade distributiva como se estivesse

trabalhando com expressões da forma a + bx, no conjunto dos números reais, mas lembrando

sempre que i2 = -1.

Por esse motivo, no ramo da Matemática chamado Álgebra Moderna, os conjuntos C e

ℜ são ditos isomorfos.

Das duplas analisadas, 94,1% resolveram corretamente o produto zz , mostrando que

“(a+bi) . (a-bi) = a2 – b2i2 = a2 + b2 ” , embora não fossem unânimes em concluir que o

resultado a2 + b2 obtido, representasse “um número real positivo ou nulo”, ou ainda, “um

número real não negativo”.

O sucesso na resolução da questão 6 (seis) poderia ajudar na interpretação da questão

seguinte. Para melhor compreender o objetivo da questão 7 (sete), apresenta-se a seguinte

premissa: pode-se, por exemplo, (re)escrever o número 2

75 i+ como i

2

7

2

5 + , uma vez que

todo número complexo pode ser representado na forma algébrica a + bi, com a,b ∈ ℜ e i

sendo a unidade imaginária.

Com base nessa afirmativa, pergunta-se: é possível (re)escrever o número complexo

i

i

21

8

−−

, na forma algébrica a + bi, como no exemplo anterior? Para que isso ocorra, torna-se

6) Chama-se conjugado do número complexo z = a + bi o número z= a – bi, com

a,b ∈ ℜ . Explicite o produto zz . Que tipo de número representa esse resultado?

7) Represente o resultado da operação i

i

21

8

−−

na forma algébrica a + bi.


125

necessário obter, no denominador, um número inteiro. Ou seja, recorrendo ao conceito de

equivalência de frações, deseja-se obter uma fração equivalente a i

i

21

8

−−

, com denominador

inteiro — a racionalização de denominadores de uma expressão fracionária cumpre, de forma

análoga, este mesmo objetivo. Tomando como análise a questão 6 (seis), é fácil perceber que

esta fração pode ser obtida da seguinte maneira:

“i

i

21

8

−−

. iiii

i

i32

5

1510

41

2168

21

21 +=+=+

+−+=++

”, o que responde, com sucesso, a questão 7

(sete).

Quase 53% das duplas erraram essa questão, por afirmarem que (1-2i)(1+2i) =

1 – 2i2 = 3, ou por deixarem a questão em branco.

Os resultados das operações (1+2i) – (4+i) e (1+5i) – (3i - 4) foram categorizados no

Gráfico 2, por meio dos códigos (Q8a) e (Q8b), respectivamente. Apenas 1 (uma) dupla

deixou de responder, de forma completa, a questão 8(oito). Outras 2 (duas) duplas, ao

realizarem a operação proposta no item (Q8b), somaram, erroneamente, 1 com -3i, e 5i com 4.

Não perceberam a necessidade de operar, separadamente, as partes reais dos números

complexos (1+5i) e (-3i + 4) dados, ou seja, 1 + 4 = 5 e, posteriormente, as partes imaginárias

desses mesmos números, isto é, 5i + (-3i) = 2i.

Observe a síntese apresentada por uma das duplas:

a) (1+2i) – (4+i) = (1+2i) + (-4-i) = 1 + 2i - 4 – i = -3 + i

b) (1+5i) – (3i - 4) = (1+5i) + (-3i+4) = 1 + 5i – 3i + 4 = 5 + 2i

Quadro 15: Síntese elaborada por uma das duplas, em resposta aos itens (Q8a) e (Q8b), da Atividade 02. Fonte: Dados da pesquisa.

8) O oposto de um número complexo z = a + bi é o número -z = -a – bi, com a,b ∈ ℜ .

A diferença entre dois números complexos v e w pode ser indicada por v – w, ou

representada pela soma aritmética entre os números complexos v e o oposto de w, isto é,

v + (-w). Assim sendo, qual é o resultado da operação (1+2i) – (4+i)? E da operação

(1+5i) – (3i – 4)?

126

Esta questão foi deixada em branco por 64,7% das duplas, em função de não terem

conseguido cumprir com toda a Atividade 02, no prazo estabelecido.

Os resultados analisados na questão 9 (nove) parecem indicar que a intuição

matemática9 é um importante processo na construção do conhecimento matemático. Como a

conclusão do raciocínio é alcançada com pouca ou nenhuma consciência do processo por

meio do qual aquela foi atingida, aspectos importantes da atividade deixaram de ser levados

em conta ou percebidos pela maioria dos alunos.

Acredita-se, ainda, que a investigação nas aulas de Matemática pode desenvolver

posturas favoráveis às especulações de caráter científico. Outra possibilidade é que esse tipo

de aula desloca o foco do trabalho para o aluno e retira do professor a tarefa de único

orientador do estudo. Neste sentido, Frota (2005) destaca que:

Práticas investigativas introduzidas na sala de aula de Matemática parecem ser cruciais para o desenvolvimento de uma postura especulativa e colaborativa. Nesse sentido há um deslocamento do foco da aula, do professor para o aluno. Atividades investigativas podem validar uma concepção de Matemática como algo dinâmico, o conhecimento matemático como algo em construção, o desenvolvimento de idéias e processos como sinônimos do pensar e fazer matemáticos. (FROTA, 2005, p.1-2).

Torna-se importante ressaltar que um trabalho desenvolvido numa perspectiva

investigativa possibilita ao aluno vários caminhos para se chegar à mesma conclusão.

O esquema reproduzido no Quadro 16, a seguir, exemplifica a maneira peculiar que

uma dupla encontrou para sintetizar suas conclusões:

9 Nesta atividade, a intuição matemática é evidenciada como processo didático-pedagógico que possibilita ao aluno, experimentar matemática, observar padrões e regularidades presentes no objeto matemático, elaborar e refutar conjecturas, fazer analogias e generalizar. (DAVIS; HERSH, 1995, p.366-367).

9) Valendo-se das propriedades dos números reais, qual é o valor das potências i0, i1, i2, i3,

i4, i5, i6, i7, i8, i9, i10, i11, i38, i529? Observando regularidades nos resultados dessas

potências, você seria capaz de escrever uma relação matemática que representasse o

resultado da potência in, sendo i a unidade imaginária e n ∈ IN?

127


Na oportunidade foi apresentada, pelo pesquisador, outra maneira de resolver esta

mesma questão: a partir do Quadro 16, percebe-se que, à medida que n cresce, os resultados

de in se repetem periodicamente, a cada ciclo de quatro elementos, assumindo sempre um dos

valores da seqüência: 1, i, -1, –i. Assim, para se calcular uma potência in, sendo n um número

inteiro qualquer, deve-se dividir n por 4. Os possíveis valores que o resto r pode assumir nesta

divisão são 0, 1, 2 ou 3. Como i4 = 1 é possível inferir que, para n = 4q + r, q ∈ Z, tem-se:

in = i4q + r = i4q . ir = (i4)q . ir = 1q . ir = ir. Logo, in ∈ {1, i, -1, -i}.

Generalizando, conclui-se que in = ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.




i0 = 1 i4 = 1 i8 = 1 i38 = -1

i1 = i i5 = i i9 = i i529 = i

i2 = -1 i6 = -1 i10 = -1

i3 = -i i7 = -i i11 = -i

Ao generalizar, encontramos:

( )( )

−=

−==

−−

parinteironúmeroumfornsei

ímparinteironúmeroumfornseiiii

nn

nn

n

;)1(

;.)1(.

222

2

1

2

12

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Q1 Q2 Q3a Q3b Q4 Q5 Q6 Q7 Q8a Q8b Q9

Acertos

Erros

128

Foi possível verificar, por meio dos resultados apresentados, que as duplas mostraram

maior dificuldade na realização das questões (Q7) e (Q9). Neste caso, a intervenção foi feita

pelo pesquisador no momento de socialização das informações, no grande grupo.

A partir da análise de resultados apurados na correção da Atividade 02, foi constatado

que 3 (três) duplas precisavam de um acompanhamento mais próximo. A intervenção pontual

foi planejada, levando-se em conta as dificuldades apresentadas pelas duplas na resolução das

questões propostas.

Ao final deste encontro, foi distribuída a Atividade Complementar 01, para ser

realizada em casa e entregue, individualmente, no próximo encontro.

Na oportunidade, o pesquisador sensibilizou os sujeitos da pesquisa sobre a finalidade

desse tipo de atividade, bem como a necessidade de envolvimento e de cumprimento da

tarefa. Assim como Zabala (1998), o pesquisador acredita que cada indivíduo é responsável

pela construção do seu conhecimento e que no esforço individual pela aprendizagem,

mobiliza seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo.

5.3 Resultados globais e análise das questões propostas na Atividade Complementar 01

A Atividade Complementar 01 (ver seção 4.8) foi discutida no terceiro encontro, que

aconteceu no dia 17 de março de 2007, no qual estiveram presentes 34 (trinta e quatro)

alunos.

Os alunos solicitaram intervenção na resolução das questões, pois relataram

dificuldade no entendimento e no desenvolvimento da atividade.

Desejando resgatar a auto-estima desses alunos, que se mostraram impotentes no

desenvolvimento dos problemas, e procurando intervir nas dificuldades detectadas na

execução da Atividade 01, o pesquisador acatou a solicitação de correção e socialização das 7

(sete) questões propostas.

É relevante destacar que a Atividade Complementar 01 teve como proposta retomar os

conceitos trabalhados na Atividade 02.

Propõe-se, neste momento, analisar as questões da Atividade Complementar 01:

129

Esta questão faz a conexão, no campo das equações algébricas, entre a teoria da

decomposição de um polinômio de coeficientes complexos e o Teorema Fundamental da

Álgebra (T.F.A). Ao perceber que a equação P(h) = 0 pode ser (re)escrita na forma de uma

biquadrada, torna-se fácil encontrar as 4 (quatro) raízes do polinômio P(h).

Observe a síntese apresentada por um dos alunos:

Quadro 17: Síntese elaborada por um aluno, em resposta à questão 1, da Atividade Complementar 01. Fonte: Dados da pesquisa.

O objetivo dessa questão é fazer o aluno reconhecer os subconjuntos do conjunto C,

dos números complexos: os números reais e os imaginários puros.

Reproduziu-se, na Figura 31, a representação do conjunto C, como extensão de ℜ:

P(h) = h4 – 3h2 – 4 ⇒ P(h) = (h2)2 – 3h2 – 4

Fazendo h2 = k, temos:

P(k) = k2 – 3k – 4 ⇒ ∆ = 25. Usando a “Fórmula de Bhaskara”, tem-se que k1 = 4 e k2 = -1

são as raízes do polinômio P(k).

Como h2 = k1 ou h2 = k2, tem-se que h = 24 ±=± ou, ainda, que h = i±=−± 1 , são as

4 (quatro) raízes do polinômio P(h).

Logo, P(h) = (h-2).(h+2).(h-i).(h+i)

1) Determine, no conjunto C dos números complexos, as raízes do polinômio

P(h) = h4 – 3h2 – 4. Expresse P(h) na forma de produto de fatores do 1º grau, com

coeficientes complexos.

2) Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a,b,c,d ∈ ℜ e não nulos,

que relação existe entre a e c, se a soma z1 + z2 e o produto z1.z2 forem números reais?

ℜ

a = a + 0i bi = 0 + bi I

a + bi, a ≠ 0 e b≠ 0

C

Figura 31: Representação do conjunto C dos números complexos, como extensão do sistema ℜℜℜℜ dos números reais.

C = conjunto dos números complexos

ℜ = conjunto dos números reais

I = imaginário puro

ℜ ∩ I = {0 = 0i = 0 + 0i}

130

Observe a síntese apresentada por um dos alunos:

z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i

z1.z2 = (ac-bd) + (ad+bc)i

Para que a soma e o produto representem números reais, deve-se ter:

cacdaddbbcad

db=⇒=−⇒−=⇒

=+=+

00

0


Alguns alunos observaram que para a soma z1 + z2 e o produto z1 . z2 representarem,

simultaneamente, um número real, a condição a = c seria necessária, embora não fosse

suficiente. Por exemplo: no caso em que z1 = 5 + 7i e z2 = 5 + 3i, nem a soma nem o produto

são números reais, embora a = c = 5. Torna-se obrigatório, ainda, que a parte imaginária de z1

e z2 seja representada por números opostos. Neste sentido, o enunciado da questão se mostra

inconsistente por não considerar, também, a relação entre os termos b e d.

Assim sendo, concluiu-se, que a relação procurada pela questão só seria válida, nos

casos em que z1 e z2 representassem números complexos conjugados.

Sugeriu-se, então, a seguinte alteração no enunciado da questão: “... que relação deve

existir entre os termos a,c e b,d, para que a soma z1 + z2 e o produto z1.z2 representem

números reais?”.

Apresenta-se abaixo, a síntese de um dos participantes:

A relação a + bi = a – bi é válida para qualquer a ∈ ℜ e para b = -b. O único b ∈ ℜ que

atende essa condição é b = 0. Conclui-se, com isso, que z = a + 0i representa um número

real qualquer.


3) Seja z um número complexo e z o seu conjugado. Em quais casos temos z = z?

Demonstre esse resultado.

131

Segue assim, a resposta dada por um aluno:

z1 = 0 + bi

z2 = (a-2) + ci

z3 = 5 – (2b+3c+1)i

(a-2) + (b+c)i = (5-a+2) + (-2b-3c-1-c)i

2

9

142

72=⇒

−−−=+−=−

acbcb

aa

Como 3b + 5c = -1 e z1 + z3 = 5 + 4i, tem-se que:

2

11

2

7

534i 5 b)i1-3c-(-2b 5

153=−=⇒

=−−⇒+=++−=+

beccb

cb


Análise do aluno:

O número procurado é da forma z = a + bi, com a,b ∈ ℜ*, ou seja, (a+bi)2 = -3 + 4i

a2 + 2abi – b2 = -3 + 4i

baab

ab

ba 22

42

322

=⇒=⇒

=−=−

04334 2422

=−−⇒−=− bbbb

Fazendo b2 = v, tem-se: v2 – 3v – 4 = 0 ⇒ ∆ = 25

Portanto, as raízes da equação v2 – 3v – 4 = 0, são: v1 = 4 e v2 = -1

Mas estamos procurando por um número complexo do tipo z = a + bi, com a,b ∈ ℜ*

Como b2 = v, tem-se que:

b2 = 4 ⇒ b = ± 2 e, ainda, b2 = -1 ⇒ b = ℜ∉−1

Finalizando, tem-se que: para b = 2 ⇒ a = 1 e, ainda, para b = -2 ⇒ a = -1.

Conclui-se, com isto, que z = 1 + 2i e z = -1 – 2i são os números procurados.


4) Dados os números complexos z1 = (0,b) , z2 = (a-2) + ci e z3 = 5 – (2b+3c+1)i,

determine a, b e c, de modo que z1 + z2 = z3 – z2 e z1 + z3 = (5,4).

5) Explicite os números complexos, cujo quadrado seja igual a –3 + 4i.

132

Organização das idéias de um dos alunos:

O determinante de uma matriz triangular pode ser encontrada fazendo-se o produto dos

elementos da diagonal principal, ou seja, (1-i)3. Assim, z = (1-i)3 . (1-i)17 = (1-i)20 =

= [(1-i)2]10 = (-2i)10 = (-2)10 . i10 = -1024


A síntese reproduzida no Quadro 22 foi desenvolvida no quadro de giz, por um aluno,

no momento em que socializava a questão para o grande grupo. Concluída a exposição, a

aluna – a qual chamaremos de “J” – fez a seguinte intervenção:

“Ao resolver esta questão, considerei a potência (1-i)17 como se fosse um escalar,

multiplicando-a por cada elemento da matriz original. Encontrei o número (1-i)54 = 227. i

como determinante da nova matriz, que é diferente de -1024. Onde errei?”.

Instaurou-se na sala de aula um grande impasse, pois, inicialmente, a turma validou o

raciocínio exposto no Quadro 22, mas pareciam concordar, também, com a lógica de

raciocínio apresentada pela colega, na resolução da questão, embora os resultados fossem

diferentes.

Após um momento de suspense, acompanhado de um silêncio absoluto, a intenção de

resposta emergiu da reflexão feita por um outro colega, o aluno “K”, na forma de pergunta:

“Isto que nossa colega defende ser verdadeiro, só se aplica ao produto de uma

matriz real por um escalar — que também é um número real. Será que (1-i)17 é, realmente,

um escalar? Acho que não, pois não se chegou ao mesmo resultado.”.

6) Represente o número complexo z =

)1(00

3)1(0

20)1(

i

i

i

−−

−.(1 - i)17, na forma

algébrica.

133

Na tentativa de responder a indagação feita pelo colega “K”, a turma concluiu — após

realizarem algumas contas aritméticas — que (1-i)17 era igual a 256(1-i), o que não

representava um número real. Portanto, a hipótese inicial apresentada pela aluna “J” — de que

a potência (1-i)17 era um escalar — foi refutada.

Sobre essa forma de interação, nas aulas de Matemática, D’Ambrosio (1993) defende

que:

Para atingir um ambiente de pesquisa matemática onde a curiosidade e o desafio servem de motivação intrínseca aos alunos, é necessário modificar a dinâmica da sala de aula. Grupos de trabalho tornam-se necessários e simulam a comunidade de pesquisa matemática, proporcionando um ambiente de encorajamento por parte do aluno em propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar suas próprias conclusões. Respostas “incorretas” constituem a riqueza do processo de aprendizagem e devem ser exploradas e utilizadas de maneira a gerar novo conhecimento, novas questões, novas investigações ou um refinamento das idéias existentes. (D’AMBROSIO, 1993, p.37).

Os conflitos cognitivos acima descritos surgiram como principal motivador das

reflexões suscitadas neste encontro, e parecem promover a atividade mental do aluno,

permitindo que se estabeleçam relações entre os novos conteúdos e os conhecimentos prévios.

Esta maneira de lidar com o conhecimento parece reproduzir um ambiente de trabalho

com vista à investigação matemática. Nesse sentido, para Skovsmose (2000):

[...] Chamo de “cenário para investigação” um ambiente que pode dar suporte a um trabalho de investigação. [...] um ambiente de aprendizagem que difere do paradigma do exercício. [...] que não se refere apenas às habilidades matemáticas, mas também à competência de interpretar e agir numa situação de aprendizagem a partir de “referências” que visam levar os estudantes a produzirem significados para conceitos e atividades matemáticas. (SKOVSMOSE, 2000, p.68-74).

O cenário da sala de aula, palco das reflexões motivadas por conflitos cognitivos

instaurados em especial a partir das questões 2 (dois) e 6 (seis), parece reproduzir o ambiente

de aprendizagem descrito acima por Skovsmose.

Esta questão serviu como meio de intervenção às duplas que deixaram a questão 9

(nove) da Atividade 02, em branco. Foi possível esclarecer que a relação matemática

procurada naquela questão aplica-se, exclusivamente, às potências da unidade imaginária i.

Elucidada a questão, a potência (-2i)10 foi calculada com facilidade.

7) Mostre que o número complexo 1 – 3 i é inversível. Expresse esse inverso na forma

algébrica.

134

Essa questão serviu de modelo para a intervenção realizada junto às duplas que

responderam, de forma incorreta, a questão 7 (sete) da Atividade 02. A partir do cálculo

aritmético (1- 3 i).( 1+ 3 i), proposto nesta atividade complementar, esclareceu-se o erro

cometido anteriormente.

Idéia apresentada por um dos alunos:

ii

i

i

i

ii 4

3

4

1

31

31

31

31.

31

1

31

12

+=−+=

++

−=

−


Apenas 17 (dezessete) dos 34 (trinta e quatro) alunos presentes no encontro do dia 10

de março de 2007, entregaram a Atividade Complementar 01. Todas as atividades estavam

incompletas e/ou apresentavam erros na resolução. A intervenção do pesquisador se fez

necessária para a complementação de informações, socializadas no grande grupo.

No momento seguinte, os cursistas deram encaminhamento à Atividade 03. Ao final

deste encontro, foi distribuída a Atividade Complementar 02, para ser realizada em casa e

entregue, individualmente, no encontro seguinte.


A Atividade 03 intitulada “A representação geométrica e o módulo de um número

complexo” (ver seção 4.8) foi trabalhada no quarto encontro, que aconteceu no dia 24 de

março de 2007. Estiveram presentes 30 (trinta) alunos, agrupados em 15 (quinze) duplas.

As duplas solicitaram que fossem discutidas as questões propostas nessa atividade,

pois relataram dificuldade no seu desenvolvimento.

Passa-se, neste momento, a apresentar os resultados globais e a analisar as questões


1) Com base no que foi exposto acima, represente sobre um mesmo plano complexo, os

afixos dos seguintes números:

a) z1 = -4 + 2i b) z2 = -3i c) z3 = 5 d) z4 = 1 – i

e) –z1 f) 4z g) z4 – z2 + 1z h) z1 . z4

135

Todas as duplas analisadas mostraram facilidade no desenvolvimento desta questão.

Parecem ter percebido que a forma de representar os afixos de um vetor, no plano complexo,

é idêntica à representação de pontos, no plano cartesiano.

Por esse motivo, o pesquisador pediu à turma que sugerisse um dos 8 (oito) itens

propostos (foi indicado o item 1g) para ser resolvido no quadro de giz, com o pretexto de

definir vetor como segmento de reta orientado, constituído de um módulo (comprimento ou

magnitude), uma direção (inclinação ou ângulo) e um sentido (orientação). Essa foi a primeira

atividade que explorou o número complexo como vetor.

É importante salientar que, neste trabalho, serão considerados para análise apenas os

vetores que têm uma das extremidades, na origem do plano complexo.

Em situações que envolveram a localização dos números complexos, no plano de

Argand-Gauss, sugeriu-se o uso do papel milimetrado para a representação cartesiana desses

números e definiu-se 1 (um) centímetro como unidade padrão de medida.

Exposição das idéias de um dos participantes:


136

Dos alunos analisados, 80% conseguiram perceber que a relação matemática a ser

determinada na questão 2 (dois), poderia ser obtida a partir da manipulação do Teorema de

Pitágoras. Como se tratava de uma importante relação a ser utilizada no desenvolvimento de

questões posteriores, tornou-se relevante que o pesquisador certificasse se a relação

encontrada pelas duplas estava correta. Aproveitou-se o momento, para ratificar a definição

de módulo de um número complexo.

Uma única dupla (QUADRO 25) foi capaz de relacionar a fórmula matemática, que

exprime a magnitude (módulo) de um vetor, com a que determina a distância entre dois

pontos distintos no plano cartesiano, trabalhada na geometria analítica.

Após essa intervenção, as duplas resolveram a terceira questão com sucesso.

Resposta apresentada na realização das questões 2 (dois) e 3 (três), da Atividade 03:

2) P(a,b)

O(0,0)

| z | = dP,O = 22 )()( OPOP yyxx −+− =

2222 )0()0( baba +=−+−

3) a) 52416 =+ e) 52416 =+

b) 390 =+ f) 211 =+

c) 5025 =+ g) 309 =+

d) 211 =+ h) 102364 =+


2) Como cada número complexo z = (a,b) pode ser visto como um vetor posição, podemos

calcular o seu módulo. Geometricamente, chamaremos de módulo de z (e escreveremos

|z|) a distância do afixo P à origem O, dos eixos coordenados. A partir dessa definição,

veja se você é capaz de escrever uma lei matemática que explicite o módulo |z|, em

função dos afixos a e b do número complexo z = a + bi.

3) Calcule o módulo de cada um dos números complexos mencionados no item (1).

137

Observe a representação gráfica elaborada por uma das duplas:


Os resultados apurados nesta questão, em relação à representação dos vetores z, z e

–z, no plano complexo e sua interpretação geométrica, foram categorizados no Gráfico 3, por

meio dos códigos (Q4a) e (Q4b), respectivamente.

Das duplas analisadas, 80% representaram com êxito os vetores z, z e –z no plano

complexo, embora fosse unânime a dificuldade em atribuir algum significado geométrico a

esses vetores. Isto parece evidenciar resquícios de uma prática pedagógica

predominantemente mecanicista e pouco reflexiva que, em geral, se estabelece nas salas de

aula de Matemática.

Em função da dificuldade apresentada na resolução do item (Q4b), o pesquisador

representou os vetores z, z e –z, no quadro de giz, e instigou as duplas a perceberem algumas

isometrias (rotação e reflexão) aplicadas sobre o vetor z, na intenção de que, juntos, pudessem

interpretar geometricamente os vetores z e –z. Após algumas reflexões e ponderações, o

grupo elaborou a seguinte síntese:

4) Represente, sobre um mesmo plano complexo, os vetores z = 2 – 3i, z e –z. Em

seguida, dê uma interpretação geométrica aos vetores z e –z, analisados a partir de z.

138

1. -z e z são simétricos (por reflexão) em relação à origem do plano complexo, ou

ainda, -z pode ser obtido a partir da rotação de 180°, do vetor z;

2. ze z são simétricos (por reflexão) em relação ao eixo real do plano complexo.

Resposta formulada por uma das duplas:

6) | a+bi-2+4i | ≤ 3

| (a-2) + (b+4)i | ≤ 3

(a-2)2 + (b+4)2 ≤ 9

∴ Os números z = (a,b) representados pela relação acima,

determinam pontos de um círculo de centro C(2,-4) e

raio r = 3.


Das duplas participantes, 40% mostraram dificuldades em resolver a questão 5 (cinco),

que demandava visualização10 geométrica, abstração e/ou interpretação de conceitos

trabalhados nesta pesquisa. Entretanto, era a primeira vez que o termo “lugar geométrico”

— conceito desenvolvido em geometria analítica — aparecia nas atividades pedagógicas

elaboradas.

Sobre a potencialidade das atividades matemáticas de caráter investigativo e/ou

exploratório, no ensino de Geometria, os autores Ponte, Brocardo e Oliveira (2005) salientam

que:

10 [...] do ponto de vista da Educação Matemática, a visualização inclui duas direções: a interpretação e compreensão de modelos visuais e a capacidade de traduzir em informação de imagens visuais o que é dado de forma simbólica. [...] geralmente é considerada útil, para apoiar a intuição e a formação de conceitos na aprendizagem da matemática. (DREYFUS, 1990, p.119).

5) Qual é o lugar geométrico definido pelos afixos de números complexos z = (a,b), de

mesmo módulo |z|, com |z| ≠ 0 ?

6) Represente, graficamente, os números complexos z = (a,b), tais que 342 ≤+− iz .

5) Uma circunferência de centro na origem e raio

r = | z |

139

A Geometria é particularmente propícia, desde os primeiros anos de escolaridade, a um ensino fortemente baseado na exploração de situações de natureza exploratória e investigativa. [...] a sua exploração pode contribuir para uma compreensão de fatos e relações geométricas que vai muito além da simples memorização e utilização de técnicas para resolver exercícios-tipo. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.71).

Para resolver a questão 6 (seis), o aluno precisava relembrar a equação reduzida da

circunferência — conteúdo abordado em geometria analítica — e estabelecer sua conexão

com o item 5 (cinco), no intuito de identificar o círculo, como o lugar geométrico sugerido na

atividade em questão.

Em função do grau de abstração exigido e da necessidade de recorrência a

conhecimentos prévios para a construção dos novos conteúdos de aprendizagem, 86,7% das

duplas se mostraram impotentes na resolução da questão 6 (seis). Neste caso, a intervenção

feita pelo pesquisador veio no propósito de estimular a auto-estima do sujeito em relação ao

desafio (alcançável) apresentado, permitindo que esse aluno sentisse que, de algum modo,

aprendeu, que seu esforço valeu a pena.

O pesquisador sugeriu, ao final da correção desta atividade, que registrassem, em

formulário a parte, as relações matemáticas construídas neste encontro, quais sejam: módulo

de um número complexo e as equações reduzida e geral da circunferência.




0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q1 Q2 Q3 Q4a Q4b Q5 Q6

Acertos

Erros

140


A Atividade Complementar 02 (ver seção 4.8) foi discutida no quarto encontro, que

aconteceu no dia 24 de março de 2007. Dos 30 (trinta) alunos presentes, apenas 18 (dezoito)

entregaram a atividade. Todas elas estavam incompletas e/ou apresentavam erros na

resolução. Os alunos solicitaram intervenção na resolução das questões, pois relataram


Torna-se relevante destacar que a Atividade Complementar 02, teve como proposta

retomar os tópicos trabalhados na Atividade 03.


Organização das idéias apresentadas por um aluno, no quadro a seguir:

a) z = 2+2i ⇒ i.z = i(2+2i) = -2+2i;

i2.z = -1(2+2i) = -2-2i;

i3.z = -i(2+2i) = 2-2i

AQ = l2 = 42 = 16 u.a

PQ = 4 l = 4(4) = 16 u.m

b) r = | z | = 2222 22 =+

C = 2πr = mu.24 π

A = πr2 = 8π u.a


No momento da socialização do item (1a) o pesquisador instigou a turma a refletir

sobre o significado geométrico de multiplicar certo número complexo z = (a, b), por i, e,

posteriormente, multiplicar o mesmo número z = (a,b), por i2 (o pesquisador extrapolou a

1) a) Dado z = 2 + 2i, calcule a área e o perímetro do quadrilátero que tem vértices nos

afixos de z, iz, i2.z e i3.z. Em seguida, faça uma representação geométrica do problema.

b) Qual o comprimento da circunferência, circunscrita a esse quadrilátero? E sua área?

141

ordem enunciada pela atividade). Ao reproduzir a figura do Quadro 28, no quadro de giz, o

pesquisador fixou (com durex) uma caneta preta sobre o vetor z (localizado sobre a bissetriz

dos quadrantes ímpares), outra caneta vermelha sobre o vetor i.z e uma terceira caneta azul

sobre o vetor i2z. Esta ação teve o propósito de contribuir, para que os alunos visualizassem

que a caneta vermelha era perpendicular às outras duas canetas e que, as canetas preta e azul

representavam números complexos opostos.

Os alunos, fazendo uso da linguagem matemática, concluíram que: multiplicar certo

número complexo z = (a, b) por i e, posteriormente, multiplicar o mesmo número z = (a, b)

por i2, corresponde a rotacionar de 90° e 180°, respectivamente, o vetor z, e que esse último

movimento equivale, algebricamente, multiplicar o vetor z por (-1), obtendo-se o vetor

–z, oposto de z. Esta intervenção configurou-se como ponto alto das reflexões suscitadas nesta

atividade.

Por conseguinte, as duplas não relataram dificuldade na resolução do item (1b).

Esta questão foi deixada em branco por todos os alunos, por não compreenderem a

notação

z

1Re : parte real do número complexo z-1. Uma aluna se prontificou a resolver a

atividade no quadro de giz, sob orientações do pesquisador, uma vez que não conseguiu

desenvolvê-la em casa.

Ao término da exposição, os alunos concordaram que a atividade não era difícil,

embora não tivessem, em um primeiro momento, conseguido interpretar o enunciado da

questão.

Observe a síntese elaborada, por uma aluna, no quadro de giz:

2) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + yi do plano complexo, tais que

4

11Re =

z. Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar geométrico.

142

z = x + yi

221 .

11

yx

yix

yix

yix

yixz

z +−=

−−

+== −

∴4

11Re 22 =

+=

yx

x

z

x2 + y2 = 4x

x2 – 4x + y2 = 0 ⇒ (x-2)2 + y2 = 4

∴ Os pontos z = x + yi representados pela relação

acima determinam pontos de uma circunferência

de centro C(2,0) e raio r = 2.

Quadro 29: Síntese elaborada por uma aluna, em resposta à questão 2, da Atividade Complementar 02. Fonte: Dados da pesquisa.


A Atividade 04 (ver seção 4.8) foi trabalhada no quarto encontro, que aconteceu no dia

24 de março de 2007, no qual estavam presentes 30 (trinta) alunos, agrupados em 15 (quinze)

duplas.

A seguir, os resultados advindos de um processo colaborativo, na resolução da

atividade supracitada, elaborados a partir da dialogicidade estabelecida entre pesquisador e

sujeitos pesquisados:

1) Represente, em um mesmo plano complexo, os vetores z1 = 4 + i e z2 = 1 + 2i. Em

seguida, usando o esquadro e o compasso como recursos geométricos para transladar e

transportar segmentos, trace os vetores z1+z2 e z1–z2.

2) Qual foi o quadrilátero determinado no item anterior, cujos vértices são os afixos dos

números complexos z1, z1+z2, z2 e a origem (0,0) do plano complexo? Dê uma

interpretação geométrica para os vetores z1+z2 e z1–z2, traçados anteriormente.

143

Quadro síntese da resposta apresentada por uma das duplas:


Embora o enunciado da questão sugerisse o uso de esquadro e compasso para o

traçado dos vetores z1+z2 e z1–z2, as duplas realizaram, primeiramente, a soma (e a diferença)

algébrica dos números complexos dados e, posteriormente, representaram os vetores z1, z2,

z1+z2 e z1-z2, no plano complexo. Precisou-se intervir, neste momento, dizendo que a

construção realizada pelas duplas não estava incorreta, mas o método utilizado para os

traçados não atendia a ordem do enunciado.

A (re)construção da tarefa foi conduzida pelo pesquisador a partir da seguinte questão

orientadora: qual é a condição necessária para somar dois vetores? Apenas o aluno “K” se

manifestou: “que eles sejam consecutivos”. Apontando para a representação de z1 e z2, no

plano complexo, reproduzida no quadro de giz, indagou: “Como fazer esses dois vetores

serem consecutivos?” e lembrou-se de que: “O enunciado da questão pede que se use

esquadro e compasso”.

Os alunos perceberam, a partir dessa intervenção, que bastava transladar z2 para a

extremidade orientada de z1, ou vice-versa, embora mostrassem pouca habilidade com a

manipulação do esquadro. Ao final da construção geométrica, o aluno “L” concluiu surpreso:

“Mas esta é a regra do paralelogramo”.

As duplas conseguiram perceber que z1-z2 era equivalente a z1+(-z2) — esta notação

havia sido apresentada na Atividade 02 — entretanto, não conseguiram visualizar, em um

primeiro momento, que a diferença z1–z2 representava a outra diagonal do paralelogramo,

144

construído sobre os vetores z1 e z2. Pontua-se essa intervenção como de suma importância,

pelas reflexões suscitadas na realização desta atividade.

Após essa intervenção, a resposta à questão 2 (dois) fluiu facilmente, sendo assim

sintetizada pela turma: “os vetores z1+z2 e z1–z2 representam as diagonais do paralelogramo

construído sobre os vetores z1 e z2.” .

Em função do tempo escasso — faltavam menos de 15 (quinze) minutos para o

encerramento do encontro — o pesquisador optou por uma metodologia mais direcionada e

menos autônoma, no desenvolvimento desta questão.

Aos alunos foi solicitado que traçassem um segmento de reta maior, que pudesse

“receber” os vetores z1, z2 e z1+z2, transportados do Quadro 30. Deveriam dispor esses

segmentos menores sobre o segmento maior, de tal forma que conseguissem relacionar o

comprimento dos segmentos z1 e z2, com o comprimento do segmento z1+z2.

Em pouco tempo, conseguiram perceber que o comprimento do vetor soma z1+z2 era

menor que a soma dos comprimentos dos vetores z1 e z2. Na oportunidade, o pesquisador

retomou a figura representada no Quadro 30 — que estava desenhada no quadro de giz — e

indagou: “Qual é a figura geométrica plana representada pelos afixos dos vetores z1, z1+z2 e a

origem (0,0) do plano complexo?”. Responderam: “um triângulo”. Interpelou-se: “Qual é a

condição de existência de um triângulo?”. Responderam: “cada lado tem medida menor que a

soma das medidas dos outros dois lados”. Na ocasião, o pesquisador apresentou para a turma

a seguinte síntese: “Essa relação é conhecida como desigualdade triangular”. Concluiu-se,

então, que: 2121 zzzz +<+ .

Em seguida, foi feita uma nova provocação: “Há possibilidade do módulo do vetor

soma ser igual à soma dos módulos, dos vetores parcela? O pesquisador, então, registrou no

quadro de giz: 2121 zzzz +=+ , questionando: “vocês conseguem identificar, pelo menos,

um exemplo?”. Certo murmúrio instaurou-se na sala de aula, acalorado por idéias

3) a) Há uma relação matemática que exprime o comprimento do vetor soma (z1+z2), em

função da soma dos comprimentos dos vetores z1 e z2, traçados no item (1). Utilize

recursos do desenho geométrico para ajudá-lo(a) a obter tal relação.

b) Existem vetores z1 e z2 que têm a soma dos seus comprimentos representada pelo

comprimento do vetor soma (z1+z2). Sob quais condições isto ocorre?

c) Que relação matemática pode sintetizar as comparações (a) e (b) anteriores?

145

conjecturadas “em voz alta”, oriundas das pessoas que procuravam maneiras para decifrar o

enigma. Em instantes, o aluno “W” apresentou uma solução para o desafio: “Testei 3i e 5i e

deu certo, professor.”. A partir dessa colocação, outros exemplos foram suscitados na

discussão. Alguns deles foram considerados, outros foram refutados. No intuito de encerrar a

discussão, foi perguntado: “Como se pode responder ao item (b) desta questão?”. Diante das

contribuições coletivas, concluiu-se que esses vetores deviam ter mesma direção e sentido.

Essas contribuições representaram um ponto alto de nossas reflexões. A partir delas, a

resposta ao item (c) fluiu naturalmente: 2121 zzzz +≤+ .

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), as investigações geométricas:

[...] contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. [...] pode também contribuir para concretizar situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diagramas e modelos concretos na construção conceptual em Geometria, evidenciar conexões matemáticas [...]. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.71).

Em função da quantidade de conceitos e relações matemáticas construídas até o

momento, o pesquisador planejou algumas intervenções a serem realizadas no início do

próximo encontro:

1) Reconstituir, coletivamente, a memória do quarto encontro, retomando a definição

de vetor e a interpretação geométrica do oposto e do conjugado de um número

complexo;

2) Resgatar o significado geométrico das seguintes operações: zi, zi2 e z1+z2;

3) Organizar, paulatinamente, um formulário para consultas, contendo as relações

matemáticas construídas ao longo dos encontros.

Por fim, a Atividade Complementar 03 foi entregue aos alunos para ser realizada em

casa e socializada no encontro seguinte.


A Atividade Complementar 03 (ver seção 4.8) foi discutida no quinto encontro, que

aconteceu no dia 31 de março de 2007, no qual estiveram presentes 30 (trinta) alunos. Dentre

146

esses alunos, apenas 11 (onze) realizaram a atividade, cujas questões apresentavam erros na

resolução e/ou estavam incompletas.

Os alunos solicitaram intervenção na resolução dessas questões, pois relataram


Torna-se relevante destacar que a Atividade Complementar 03 teve como proposta,

retomar os tópicos trabalhados na Atividade 04.


Mostrou-se que z1+z2 e z1–z2 representam, geometricamente, as diagonais de um

paralelogramo. A relação wzwz −=+ indica que essas diagonais têm a mesma medida.

Portanto, esse paralelogramo se particulariza em um retângulo. Nestas condições, a relação

wzwz −=+ será verificada entre quaisquer vetores, z e w, perpendiculares.

Observe o exemplo reproduzido na Figura 32, elaborado por uma aluna:

Figura 32: Representação dos vetores z e w, perpendiculares.

A questão analisada parece evidenciar a visualização como processo relevante na

construção do conhecimento matemático. Para Dreyfus (1990), esse processo matemático

permite (re)significar, por meio de imagens visuais, conceitos que se apresentam na forma

simbólica.

1) Sob quais condições, se tem wzwz −=+ ? Interprete o resultado, geometricamente.

147

Esta questão foi deixada em branco por todos os participantes do minicurso. Serão

apresentados, a seguir, os resultados advindos de um processo colaborativo, na resolução da

questão proposta, elaborados a partir da interação estabelecida entre pesquisador e cursistas.

As idéias não foram registradas na forma apresentada abaixo. Trata-se de uma opção de

síntese para facilitar a comunicação:

a) Mostrou-se que iziz −+=−+ )( se, e somente se, z e –i tiverem mesma direção e

sentido. Como z = (a,b) = a+bi, 4=z e β=− iz , tem-se:

iziz −+=−+ )(

β = 4 + 1

β = 5

b) Foi dado que 4=z . Como z e –i são vetores de mesma direção e sentido, conclui-se que

z = -4i.

Quadro 31: Síntese elaborada coletivamente, em resposta à questão 2, da Atividade Complementar 03. Fonte: Dados da pesquisa.


A Atividade 05 (ver seção 4.8) foi desenvolvida no quinto encontro, que aconteceu no

dia 31 de março de 2007. Estiveram presentes 30 (trinta) alunos, distribuídos em 15 (quinze)

duplas.



2) Seja z = (a,b) um número complexo:

a) Determine β para que o sistema

=−

=

βiz

z 4 tenha solução única.

b) Para o valor de β, obtido no item anterior, explicite o número complexo z solução

desse sistema.

148

Observe a síntese das idéias de uma das duplas:

(a+bi)3 = a3 + 3a2bi – 3ab2 – b3i = -2+2i

(a3-3ab2) + (3a2b-b3)i = -2+2i

=−

−=−

23

2332

23

bba

aba


Inicialmente, o pesquisador estipulou o prazo de 15 (quinze) minutos para a realização

desta questão. Esgotado esse tempo, ele interviu: “Quem conseguiu explicitar o número

complexo, sugerido pela questão?”. Era esperado que nenhuma dupla tivesse solucionado o

problema. Havia o desejo de que os alunos, na tentativa de uma solução por métodos

algébricos, sentissem impotentes em determinar os valores das variáveis a e b, do sistema

representado no Quadro 32, e percebessem a necessidade de um outro método de resolução.

Os cursistas, motivados por essa limitação algébrica, foram desafiados nas questões 2

(dois) e 3 (três) a representarem números complexos de outra forma. Construiu-se, por meio

dessas duas questões, a notação trigonométrica (ou polar) para representar esses números.

1) Existe um número complexo do tipo a + bi, tal que (a+bi)3 = -2 + 2i. Explicite-o.

2) Analisando as projeções de z, sobre os eixos Re e Im (FIGURA 1), você seria capaz de

escrever a e b, em função do argumento θ e do módulo |z|?

.z

|z|

)θ a

b

0

Im

Re

Figura 1

3) Com base nas relações construídas no item anterior, como podemos escrever, de forma

equivalente, o número complexo z = a + bi? Esse resultado representa a forma

trigonométrica ou polar do número complexo z = (a,b).

149

A partir do texto didático apresentado na questão 1 (um), pretendia-se que os alunos,

de forma autônoma, desenvolvessem as questões apresentadas acima. Elas foram socializadas

e desenvolvidas no quadro de giz, pelo aluno “K” e encontram-se reproduzidas no Quadro 33,

a seguir:

Quadro 33: Síntese elaborada por um aluno, em resposta às questões 2 e 3, da Atividade 05. Fonte: Dados da pesquisa.

Dando continuidade à atividade, o pesquisador resolveu junto com a turma, a questão

(4a), na intenção de resgatar alguns conceitos da trigonometria — arcos côngruos, redução de

arcos ao primeiro quadrante, análise de sinal das funções seno e cosseno no ciclo

trigonométrico, valores para o seno e o cosseno de arcos notáveis — e sistematizar o conteúdo

apresentado.

As duplas mostraram dificuldade em resolver os itens (4b) e (4c), uma vez que

precisavam recorrer aos conceitos da trigonometria enumerados anteriormente. Como forma

de intervenção, o pesquisador escolheu, aleatoriamente, um dos alunos que manifestou esta

dificuldade específica e solicitou que fosse ao quadro de giz, para que, sob suas orientações e

esclarecimentos, resolvesse a questão pendente. Esta intervenção se fez necessária, no intuito

de resgatar a auto-estima desses alunos, que se mostravam impotentes no desenvolvimento da

questão.

2) θθ senzbz

bsen .=⇒=

θθ cos.cos zaz

a =⇒=

3) z = a + bi

θθ senzizz ..cos. +=

( )θθ senizz .cos. +=

4) Escreva, os seguintes números complexos, na forma trigonométrica:

a) z = i+3 b) z = i

i

−+1

)22( 2 c) z = (i -1)10

d) z = i2

3

2

1 −− e) z = 2 - 2 3 i f) z = ( i21+ ).( i21− )

150

Os itens (4d), (4e) e (4f) não foram trabalhados no minicurso, por entender que as

reflexões oriundas da resolução dos itens anteriores, por exaustão, foram suficientes para uma

efetiva compreensão da mudança de notação de um número complexo da forma algébrica para

a forma trigonométrica.

O Quadro 34 apresenta as resoluções dos itens (4a), (4b) e (4c) elaboradas,

coletivamente, entre o pesquisador e os sujeitos pesquisados:

4a) z = i+3 ⇒ |z| = 2

( )º30º30cos22

1

2

32 seniiz +=

+=

4b) z = ii

i44

1

)22( 2

+−=−

+⇒ |z| = 24

( )º135º135cos242

2

2

224 seniiz +=

+−=

4c) z = (i -1)10 = -32i ⇒ |z| = 32

z = 32(0 – i) = 32(cos 270º + i sen 270º)

Quadro 34: Síntese elaborada coletivamente, em resposta aos itens (4a), (4b) e (4c), da Atividade 05. Fonte: Dados da pesquisa.

Os resultados dos itens subseqüentes podem ser obtidos de maneira análoga ao que foi

exposto no Quadro 34:

4d) z = i2

3

2

1 −− ⇒ |z| = 1

( )º240º240cos12

3

2

11 seniiz +=

−−=

4e) z = 2 - 2 3 i ⇒ |z| = 4

( )º300º300cos42

3

2

14 seniiz +=

−=

4f) z = ( i21+ ).( i21− ) ⇒ |z| = 3

z = 3 (1 + 0i) = 3(cos 0º + i sen 0º)

Quadro 35: Respostas aos itens (4d), (4e) e (4f), da Atividade 05. Fonte: Dados da pesquisa.

151

A questão 5(cinco) tinha como objetivo apresentar mais uma forma de representação

de um número complexo: a forma exponencial de Euler.

O Quadro 36 apresenta a síntese elaborada por uma das duplas, nessa questão:

5) a) iez°

= 302 c) iez°

= 27032 e) iez°

= 3004

b) iez°

= 13524 d) iez°

= 240 f) iez°

= 03





Ao final deste encontro, foi distribuída a Atividade 06 para ser realizada em casa e

entregue, individualmente, no próximo encontro.

5) Uma quarta forma de representar um número complexo z = (a,b) — além das formas

cartesiana, algébrica e trigonométrica, já mencionadas — é conhecida como forma

exponencial, ou fórmula de Euler: z = ρρρρeiθθθθ , sendo ρ = |z| e θ = arg(z). Use a notação

exponencial de Euler para representar os números complexos do item anterior.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

Acertos

Erros

152


O sexto encontro aconteceu no dia 14 de abril de 2007 e estavam presentes 28 (vinte e

oito) alunos, divididos em 14 (quatorze) duplas. Do total de alunos, apenas 11(onze) haviam

se dedicado à Atividade 06 (ver seção 4.8) em casa, e relataram dificuldade na resolução das

questões propostas.

Diante disso, o encontro foi iniciado com o resgate dos conceitos trabalhados,

anteriormente — interpretação geométrica das relações matemáticas já estabelecidas e a

representação de um mesmo número complexo nas formas cartesiana, algébrica,

trigonométrica e exponencial — que contribuiriam para a compreensão da atividade de

ensino, planejada para este encontro. A metodologia utilizada no desenvolvimento dessa

atividade foi, predominantemente, aula expositiva e dialógica.



Organização das idéias apresentadas por um aluno:

a) z = 3+3i

zi = -3+3i

zi2 = -3-3i (vetor oposto a z)

zi3 = 3-3i

zi4 = 3+3i

b) Multiplicar o vetor z por:

i: equivale a rotacioná-lo de 90º;

i2: equivale a rotacioná-lo de 180º;

i3: equivale a rotacioná-lo de 270º;

i4: equivale a rotacioná-lo de 360º.

Quadro 37: Síntese elaborada por um aluno, em resposta à questão 1, da Atividade 06. Fonte: Dados da pesquisa.

1) a) Represente sobre um mesmo plano complexo os vetores z = 3 + 3i, z.i, z.i2, z.i3, z.i4.

b) O que significa, geometricamente, multiplicar o vetor z = (a,b) pela unidade

imaginária i? E multiplicar o vetor z = (a,b) por i2 ?

153

Os alunos não relataram dificuldade em resolver a questão 1 (um), uma vez que a

interpretação geométrica do produto entre o vetor z e a unidade imaginária i foi discutida na

Atividade Complementar 02.

Uma primeira abordagem sobre a relação fundamental i2 = -1 foi apresentada no

Quadro 12, subsidiada pela teoria desenvolvida pelo irlandês William R. Hamilton, acerca da

soma e do produto de números complexos, na forma cartesiana. Uma abordagem geométrica

para essa mesma relação fundamental é apresentada no Quadro 37. Observe que z e zi2 são

números complexos opostos, ou seja, zi2 = (-1) . z.

Uma outra questão foi proposta à turma, para reflexão: “No plano cartesiano, onde

está localizado, em particular, o vetor z = 3 + 3i?”. Após algumas inferências e argumentações

coletivas, os alunos concluíram que o vetor z se localizava sobre a bissetriz do 1º quadrante.

Esta constatação pôde auxiliá-los na representação gráfica do vetor z2, sugerido na próxima

questão.

Síntese do resultado apresentado por um aluno:

a) b) )9090(cos31 °+°= seniz

)4545(cos22 °+°= seniz

)135135(cos6. 21 °+°= senizz

c) ])()([cos... 21212121 θθθθ +++= senizzzz

°<+≤° 3600 21 θθcom

2) a) Represente sobre um mesmo plano complexo os vetores z1 = 3i, z2 = i22 + e o

vetor produto z1.z2 .

b) Escreva, na forma trigonométrica, os vetores traçados no item anterior.

c) Observe como os vetores z1, z2 e z1.z2 foram registrados no item (b). Compare as

medidas dos seus comprimentos. Em seguida, compare as medidas dos seus

argumentos. Você seria capaz de sintetizar as comparações anteriores, através de

uma lei matemática, que permita expressar o produto entre dois números complexos,

escritos na forma trigonométrica? Utilize recursos do desenho geométrico para

ajudá-lo(a) a obter tal relação.


154

Com base na provocação feita na questão anterior, os alunos conseguiram traçar no

plano complexo, o vetor z2 de comprimento (magnitude) 2, proposto no item (2a). Os vetores

z1 e z1.z2 foram representados sem dificuldades. Os itens (2b) e (2c) seguintes foram

desenvolvidos pelos próprios alunos. O pesquisador checou na turma a relação obtida no item

(2c), sendo que ela seria utilizada no desenvolvimento da próxima questão.

A relação matemática encontrada no item (2c) permitiu que os alunos determinassem o

vetor produto, sem dificuldade — )120120(cos36 °+° seni . O ápice das discussões foi

alcançado quando o pesquisador indagou a turma sobre o significado geométrico do resultado

obtido nesta questão. Em um primeiro momento, reproduziram na fala, a sintaxe da fórmula:

“os módulos foram multiplicados e os ângulos somados”. Preocupou-se, inicialmente, em dar

significado geométrico à “soma dos ângulos” e posteriormente, ao “produto dos módulos”.

“Vamos nomear o vetor 12(cos 50° + i sen 50°) de z1 e o vetor 3(cos 70° + i sen 70°)

de z2”, ponderou o pesquisador. “Qual o movimento geométrico aplicado sobre o vetor z1 na

tentativa de sobrepô-lo ao vetor produto? (e com o pincel sobre o vetor z1, desenhado no

quadro de giz, realizou-se o movimento sugerido).”. Responderam: “rotação”. Indagou-se,

novamente: “Uma rotação positiva (anti-horária) ou negativa (horária)?”. Responderam:

“positiva”. E disse mais: “Conseguiram perceber o significado geométrico da soma dos

ângulos, indicada na fórmula?”. A partir de uma indicação positiva dos alunos, o pesquisador

continuou: “E qual significado geométrico pode ser atribuído ao ‘produto dos módulos’?”. Os

alunos se calaram por alguns segundos. “Não sabemos”, responderam. Informou o

pesquisador: “uma homotetia de centro na origem e razão 3”. A reação foi imediata: “o que é

isso?”. Aproveitou-se a motivação para definir o que parecia estranho aos alunos. “A

homotetia em um vetor é representada pela dilatação ou contração do seu comprimento,

numa razão de proporcionalidade k. Afirma-se que o comprimento de um vetor sofreu

dilatação se k > 1, e que ocorreu contração se 0 < k < 1. Se k = 1, afirma-se que o

comprimento do vetor não sofreu alterações”, ponderou o pesquisador. Sendo assim, a

interpretação geométrica sugerida pela questão 3 (três) pôde ser sintetizada da seguinte forma:

“O produto z1.z2 pode ser interpretado, geometricamente, como a rotação positiva do vetor z1

3) Tomando como base a expressão matemática obtida no item (2c), qual é o resultado do

produto 12(cos 50° + i sen 50°) . 3(cos 70° + i sen 70°) escrito na forma trigonométrica?


155

de um ângulo de 70°, seguida de uma homotetia de centro na origem e razão igual a 3”,

concluiu o pesquisador.

Exposição das idéias de um dos participantes:

4b) )9090(cos31 °+°= seniz

)4545(cos22 °+°= seniz

2

3

4

23

4

23

22

3

2

1

2

1 =⇒+=+

=z

zi

i

i

z

z

( )°+°=

+= 4545cos

2

3

2

2

2

2

2

3

2

1 seniiz

z

4c) °<−≤°−+−= 3600;])()([cos. 2121212

1

2

1 θθθθθθ comseniz

z

z

z

Quadro 39: Síntese elaborada por um aluno, em resposta aos itens (4b) e (4c), da Atividade 06. Fonte: Dados da pesquisa.

A resolução da questão 5 (cinco) foi conduzida em conformidade com a questão 3

(três), cabendo a seguinte interpretação geométrica: “O quociente

( ) ( )°+=°−+−= 340º340cos4)20()º20(cos42

1 seniseniz

zpode ser interpretado,

geometricamente, como a rotação negativa do vetor z1, de um ângulo de 70°, seguida de uma

homotetia de centro na origem e razão igual a 3

1”, esclareceu o pesquisador.

4) Como você responderia aos itens (2b) e (2c), se a proposta fosse determinar o vetor

quociente 2

1

z

z?

5) Qual é o resultado do quociente )7070(cos3

)5050(cos12°°

°°

++

seni

seni, escrito na forma

trigonométrica? Interprete-o geometricamente.

156

Sobre a importância do “fazer” e do “experimentar” em Matemática, Silva et al.

(1999) afirmam que:

[...] é importante realçar o caráter dinâmico e indutivo do processo de criação matemática. [...] Trata-se assim de um trabalho que envolve um percurso de tentativa-erro, de formulação e testagem de conjecturas, de análise de analogias, de reflexão e de crítica. [...] A Matemática não é acerca de conteúdos, é acerca do raciocínio que descobre, reúne e dá sentido a esses conteúdos; a Matemática é (em parte) um modo de pensar. (SILVA et al., 1999, p.71).

Segue abaixo, o resultado exposto por um aluno:

z = ( )°+° 240240cos5 seni

z= 5(cos 120° + i sen 120°) ou

z= 5(cos 240° – i sen 240°)


A atenção a esta questão é sinalizada pelas duas maneiras distintas de notação do

conjugado de um número complexo, representado na forma trigonométrica. Isto se justifica,

pois, para resolver o item (7d), torna-se necessário que o conjugado do número complexo

z = 6(cos 150° + i sen 150°) seja notado como z= 6(cos 210° + i sen 210°), no intuito de ser

possível a manipulação da relação obtida em (4c).

Entretanto, para solucionar a equação x3 – 6x + 4 = 0 (que tem 2 como raiz) proposta

na Atividade 08, deve-se recorrer à Fórmula de Cardano-Tartaglia:

323

232

+

+−= qpqx + 3

23

232

+

−− qpq. É possível perceber, por meio dessa

fórmula, que x representa a soma de raízes cúbicas de números complexos conjugados, uma

vez que 23

23

+

qpé sempre um número negativo. Neste caso, torna-se conveniente a

notação z = |z| (cos θ + i sen θ) e z= |z| (cos θ – i sen θ), para que a soma z + z seja um

número real.

6) Escreva na forma trigonométrica, de duas maneiras distintas, o conjugado do número

complexo z =

+3

4sen

3

4cos5

ππi .

157

Síntese elaborada por um dos cursistas:

z = 6 (cos 150° + i sen 150°)

w = 3 (cos 45° + i sen 45°)

z = 6 (cos 210° + i sen 210°)

a) z .w = 18 (cos 195° + i sen 195°);

b) w3 = w . w. w = 27(cos 135° + i sen 135°);

c) z

w=

2

1 ( cos (-105°) + i sen (-105°) ) = 2

1 (cos 255° + i sen 255°);

d) w

z= 2 (cos 165° + i sen 165°).


Esta questão foi proposta com o objetivo de perpassar toda a teoria construída neste

encontro. O item (7b) propôs abordar, ainda que de forma introdutória, o cálculo da potência

de um número complexo, escrito na forma trigonométrica, por meio do conceito de

multiplicações sucessivas. A Atividade 07 abordará, com maior aprofundamento, sobre o

cálculo da enésima potência de um número complexo.

Ao final deste encontro foram distribuídas a Atividade Complementar 04 e a Atividade

07, para serem realizadas em casa e socializadas no próximo encontro.

7) Dados os números complexos z = i

e 6

5

.6

π

e w = i

e4.3

π

, escreva na forma

trigonométrica:

a) z.w b) w3 c) z

w d)

w

z

158


A Atividade Complementar 04 (ver seção 4.8) foi discutida e socializada no sétimo

encontro, que aconteceu no dia 28 de abril de 2007, no qual estiveram presentes 26 (vinte e

seis) alunos. Ela teve como objetivo, retomar conceitos trabalhados na Atividade 06.

Os alunos relataram facilidade na resolução das 2(duas) questões propostas, o que

parece apontar que as intervenções implementadas até o encontro anterior se mostraram

fecundas e eficientes, corroborando a construção coletiva do conhecimento matemático.

Durante a socialização da atividade, pelos alunos, o pesquisador prestou sua

contribuição enfatizando e relembrando conceitos, por meio de interpretações geométricas,

que poderiam facilitar a compreensão do conteúdo a ser desenvolvido na próxima atividade.


O Quadro 42, a seguir, reproduz a análise elaborada por uma aluna:

1) Considere o número complexo z = 2

+8

3

8

3cos

ππseni . Marque e identifique, no

plano complexo da figura abaixo, os afixos dos vetores z, z , z2

e z

10 . Na figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer, têm a

mesma medida. 2) Escreva os números complexos identificados no item anterior, nas formas

trigonométrica e exponencial de Euler.

159

Quadro 42: Síntese elaborada por uma aluna, em resposta à Atividade Complementar 04. Fonte: Dados da pesquisa.


A Atividade 07 (ver seção 4.8) foi discutida e socializada no sétimo encontro, que

aconteceu no dia 28 de abril de 2007. Estiveram presentes 26 (vinte e seis) alunos,

organizados em 13 (treze) duplas.



1) w = 10 = 10 (cos 0° + i sen 0°)

z

w=

+=

−+

−8

13

8

13cos5

8

3

8

3cos5

ππππseniseni

2) z = 2

+8

3

8

3cos

ππseni ; z =

ie 8

3

.2π

z= 2

+8

13

8

13cos

ππseni ; z =

ie 8

13

.2π

z2 = 4

+4

3

4

3cos

ππseni ; z2 =

ie 4

3

.4π

z

w= 5

+8

13

8

13cos

ππseni ;

z

w =

ie 8

13

.5π

160

Análise apresentada por uma das duplas:

1) z = )22( i+ = )º45º45(cos22

2

2

22 senii +=

+

z7 = z . z . z . z . z . z . z = ( ) )315315(cos128)45.7()45.7(cos27 °+°=°+° seniseni

2) ( ) °<≤°+= 3600;)()(cos θθθ ncomnseninzznn


As duplas mostraram facilidade em resolver a questão 1 (um), pois, haviam

experienciado na questão (7b) da Atividade 06 o cálculo de potências por meio de sucessivas

multiplicações. Sendo assim, a relação matemática sugerida na questão 2 (dois) fluiu

naturalmente.

Uma outra possibilidade de resolução para a questão 1 (um), embora seja mais

trabalhosa que a apresentada no Quadro 43 é respaldada pela teoria sobre Binômio de

Newton. Como nenhuma dupla utilizou esse recurso para calcular a potência 7)22( i+ ,

apresenta-se, no quadro abaixo, o seu desenvolvimento:

1) Explique como você poderia efetuar, mais facilmente, a potência 7)22( i+ .

2) Com base no processo de construção da potenciação de um número complexo

z = (a,b) experienciado no item anterior, você seria capaz de escrever uma relação

matemática que possa representar, na forma trigonométrica, a potência zn, com n ∈ IN e

n 2≥ ? Essa relação, a ser obtida, é conhecida como fórmula de De Moivre.

161

( ) ( )pp

p

ip

i 2.27

)22(77

0

7 −

=∑

=+

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7025160722

7

7...22

2

722

1

722

0

7iiii

++

+

+

= i264264 −

É possível verificar que i264264 − e 128 (cos 315° + i sen 315°) são expressões

equivalentes.

Quadro 44: Cálculo da potência 7)22( i+ por meio do Binômio de Newton. Fonte: Dados da pesquisa.

Observe a síntese elaborada por uma das duplas pesquisadas:

a) z = -1 + i ⇒ |z| = 2

z = ( )°+°=

+− 135135cos2

2

2

2

22 senii

z10 = 10

2 (cos 1350° + i sen 1350°) = 32 (cos 270° + i sen 270°)

b) z10 = 32(0 – i) = -32i = (0, -32) = ie°27032


A resposta 32 (cos 1350° + i sen 1350°) ao item (1a) foi apontada por 84,6% das

duplas analisadas. O pesquisador precisou intervir, relembrando aos alunos que o ângulo θ

(determinado pela inclinação do vetor potência) é definido no intervalo 0° ≤ θ < 360° do ciclo

trigonométrico. Os alunos (re)escreveram, após a intervenção, a expressão acima como

32 (cos 270° + i sen 270°), em resposta à questão proposta.

3) a) Usando a fórmula de De Moivre, calcule a potência (i – 1)10.

b) Escreva o resultado dessa potência nas formas algébrica, cartesiana e exponencial.

4) Determinar o menor natural n, tal que ni)3( +− seja um imaginário puro.

162

Organização das idéias apresentadas por uma dupla:

23 =⇒+−= ziz

)150150(cos22

1

2

32 °+°=

+−= seniiz

))150()150(cos(2 nseninz nn °+°=

Para que zn seja um número imaginário puro, deve-se ter cos (150°n) = 0:

Se n = 0 ⇒ cos 0° = 1 (não serve)

n = 1 ⇒ cos 150° = 2

3− (não serve)

n = 2 ⇒ cos 300° = 2

1 (não serve)

n = 3 ⇒ cos 450° = cos 90° = 0 (ok)


Outra dupla, ao constatar que cos (150° n) é nulo em arcos côngruos a 90°+k.180°,

k ∈ IN, apresentou o seguinte raciocínio para a determinação do expoente n:

150° n = 90° + k.180°

5° n = 3° + k.6°

⇒=°

°−k

n

6

)35(k é um múltiplo de 6.

Nessas condições, o menor valor assumido por n∈ IN é 3.

Quadro 47: Síntese elaborada por outra dupla, em resposta à questão 4, da Atividade 07. Fonte: Dados da pesquisa.

5) Observe a figura abaixo. Nela, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os

números complexos representados geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando

esses dados, escreva o número complexo 5

11

.wi

z na forma algébrica.

163

Formulação da resposta dada por uma das duplas:

)6565(cos2 °+°= seniz

)134134(cos4 °+°= seniw

)355355(cos2048)715715(cos2048))65.11()65.11((cos21111 °+°=°+°=°+°= seniseniseniz

)310310(cos1024)670670(cos1024))134.5()134.5((cos455 °+°=°+°=°+°= seniseniseniw

)4040(cos1024)400400(cos1024))90310()90310((cos1024. 5 °+°=°+°=°+°+°+°= seniseniseniwi

iiseniseni

seni

wi

z22

2

2

2

22)315315(cos2

)4040(cos1024

)355355(cos2048

. 5

11

−=

−=°+°=

°+°°+°

=


Esta questão sintetiza os conceitos abordados nas Atividades 05, 06 e 07 e parece

evidenciar outro papel desempenhado pelo processo de visualização na Educação

Matemática. Dreyfus (1990) defende que a visualização combinada à intuição matemática,

contribui para a formação de conceitos matemáticos, por meio da interpretação e compreensão

de modelos visuais.


categorizados no Gráfico 5, abaixo:


0

2

4

6

8

10

12

14

Q1 Q2 Q3a Q3b Q4 Q5

Acertos

Erros

164

Os dados apontam que os sujeitos pesquisados conseguiram operar com números

complexos na forma trigonométrica, (re)significando conceitos e algoritmos operatórios, por

meio da interpretação e da visualização geométrica.

A autoconfiança demonstrada por esses alunos no desenvolvimento desta atividade e o

encorajamento frente aos desafios (alcançáveis) propostos sinalizam atitudes positivas na

aprendizagem da Matemática, particularmente, dos números complexos.


A Atividade 08 (ver seção 4.8) foi desenvolvida e socializada no sétimo encontro, que

aconteceu no dia 28 de abril de 2007. Estiveram presentes 26 (vinte e seis) alunos,

organizados em 13 (treze) duplas.

As duplas resolveram cada uma das questões, sob orientação e intervenção do

pesquisador. As questões cuja dificuldade na resolução era recorrente aos grupos, foram

resolvidas no quadro de giz, por meio de contribuições coletivas.



Inicialmente, o pesquisador sugeriu que a questão 1 (um) fosse lida pela turma e, em

seguida, que, por meio da interação pesquisador/aluno/texto, ela fosse resolvida a partir de

1) Seja z = (a, b) e w = (c, d) números complexos não nulos. Dizemos que w é a raiz

enésima de z e a representamos por wzn = (n ∈ IN, com n ≥ 2). É fácil perceber que

essa operação é a inversa da potenciação, ou seja, wn = z. Portanto, torna-se mais

simples calcular a raiz enésima de z usando nossos conhecimentos sobre a potenciação.

É possível constatar, ainda, que o número complexo z = (a, b) admite n raízes enésimas

distintas, de mesmo módulo, cujos argumentos estão em progressão aritmética de razão

n

°360. Com base no que foi exposto acima, determine as raízes quartas do número

complexo i388−− e interprete-as geometricamente.

165

conceitos sistematizados anteriormente. Ao final, esses resultados foram interpretados

geometricamente.

A síntese elaborada por uma das duplas, em resposta a essa questão, foi reproduzida

no quadro abaixo:

43421z

iwwi 388388 44 −−=⇒=−−

)240240(cos162

3

2

11616 °+°=⇒

−−=⇒= senizizz

)44(cos44 θθ seniww +=

Como w4 = z, tem-se:

)240240(cos16)44(cos4 °+°=+ seniseniw θθ

°=°=

°=⇒°==⇒=

904

360

2164

r

602404

ww

θθ

iseniw 31)6060(cos21 +=°+°=

iseniw +−=°+°= 3)150150(cos22

iseniw 31)240240(cos23 −−=°+°=

iseniw −=°+°= 3)330330(cos24

Portanto, os afixos dos números complexos w1, w2, w3 e w4 indicados na figura acima são os

vértices do quadrado inscrito na circunferência de centro na origem e raio 2.


A solução geométrica dessa questão é conhecida como divisão ideal da circunferência

em n partes iguais.

2) No universo dos números complexos, quanto vale 1− ? Interprete esse resultado,

geometricamente.

166

Embora os cursistas tivessem compreendido o desenvolvimento da questão 1 (um),

não se mostraram seguros para resolverem, de forma autônoma, a questão 2 (dois). Indicaram

um colega para desenvolver essa questão no quadro de giz, sob orientação do pesquisador.

A exposição realizada pelo aluno foi reproduzida abaixo:

{z

ww 11 2 −=⇒=−

( ) )180180(cos10111 °+°=⇒+−=⇒= senizizz


Como w2 = z, tem-se:


°=°=

°=⇒°==⇒=

1802

360

8

112

r

90012

ww

θθ

iseniw =°+°= )9090(cos11

iseniw −=°+°= )270270(cos12

Portanto, os afixos dos números complexos w1 e w2 indicados na figura acima são as

extremidades do diâmetro da circunferência de centro na origem e raio 1.


Constatou-se que, tanto o quadrado do número complexo i quanto o quadrado de –i

são iguais a -1. Porém, por conveniência de notação e facilidade na realização de operações

aritméticas, convencionou-se apenas a relação i2 = -1, como sendo a propriedade fundamental

dos números complexos. Portanto, nada impediria que (-i)2 = -1 fosse adotada como relação

fundamental.

3) No plano de Argand-Gauss, cada ponto representa um número complexo. Considere,

nesse plano, um hexágono regular com centro na origem e a unidade imaginária i,

sendo um de seus vértices.

a) Determine os outros vértices do hexágono e represente-os geometricamente.

b) Determine a área desse polígono regular.

167

A questão 3 (três) foi desenvolvida com sucesso e de forma autônoma, pelos cursistas.

Entretanto, foi necessário relembrar que a área do hexágono regular é equivalente à área de

seis triângulos eqüiláteros.

Observe o encaminhamento dado à questão, por uma das duplas analisadas:

a) °=°= 606

360r

iseniw =°+°= )9090(cos11

iseniw2

1

2

3)150150(cos12 +−=°+°=

iseniw2

1

2

3)210210(cos13 −−=°+°=

iseniw −=°+°= )270270(cos14

iseniw2

1

2

3)330330(cos15 −=°+°=

iseniseniw2

1

2

3)3030(cos1)390390(cos16 +=°+°=°+°=

b) 12 = h2 + 2

3

4

1 =⇒ h

Atri = 4

3

22

3.1

=

Ahex = au.2

33

4

3.6 =


4) Resolver, no campo dos números complexos, as equações:

a) 2u5 + 64i = 0

b) v6 – 7v3 = 8

c) x3 – 6x + 4 = 0

168

Esta questão não foi desenvolvida no minicurso, pois o tempo estava escasso (já era

quase 11h40min) e os cursistas mostravam-se exaustos. Nem por isso, o objetivo previsto para

a quarta questão deixou de ser alcançado, uma vez que, as 3 (três) questões anteriores,

desenvolvidas em sala de aula, possibilitaram aos aprendizes que explorassem o cálculo

aritmético na determinação das raízes enésimas de um número complexo, bem como, sua

interpretação geométrica.

Sendo assim, como possibilidade de aprofundamento da teoria desenvolvida na

Atividade 08, será apresentada, no quadro abaixo, a resolução da quarta questão:

a) 2u5 = -64i ⇒ {z

iu 325 −=

( ) )270270(cos3203232 °+°=⇒−=⇒= senizizz

)55(cos55 θθ seniuu +=

Como u5 = z, tem-se:

)270270(cos32)55(cos5 °+°=+ seniseniu θθ

°=°=

°=⇒°==⇒=

725

360

427

2325

r

505

uu

θθ

)5454(cos21 °+°= seniu ;

)126126(cos22 °+°= seniu ;

)198198(cos23 °+°= seniu ;

)270270(cos24 °+°= seniu ;

)342342(cos25 °+°= seniu .

b) v3 = k ⇒ k2 – 7k – 8 = 0 ⇒ k1 = -1 e k2 = 8

Portanto, {z

v 13 −= e {t

v 83 =

z = -1 + 0i = 1 (cos 180° + i sen 180°)

t = 8 + 0i = 8 (cos 0° + i sen 0°)

)33(cos33 θθ senivv +=

(cont.)

169

Fazendo v3 = z, tem-se:

)180180(cos1)33(cos3 °+°=+ seniseniv θθ

°=°=

°=⇒°==⇒=

1203

360

8

113

r

60013

vv

θθ

iseniv2

3

2

1)6060(cos11 +=°+°= ;

1)180180(cos12 −=°+°= seniv ;

iseniv2

3

2

1)300300(cos13 −=°+°=

Fazendo v3 = t, tem-se:

)00(cos8)33(cos3 °+°=+ seniseniv θθ

°=°=

°=⇒°==⇒=

1203

360

283

r

003

vv

θθ

2)00(cos24 =°+°= seniv ;

iseniv2

3

2

1)120120(cos15 +−=°+°= ;

iseniv2

3

2

1)240240(cos16 −−=°+°= .

c) x3 – 6x + 4 = 0 ⇒ x3 + px + q = 0 ⇒ p = -6 e q = 4

x =

4444 34444 21I

qpq3

23

232

+

+− +

4444 34444 21II

qpq3

23

232

+

−− (Fórmula de Cardano-Tartaglia)

I: 321z

iwwi 2222482 333 +−=⇒=+−=+−+−

II: 321t

ivvi 2222482 333 −−=⇒=−−=+−−−

(cont.)

(cont.)

170

)135135(cos222

2

2

22222 °+°=

+−=+−= seniiiz


Fazendo w3 = z, tem-se:


°=°=

°=⇒°==⇒=

1203

360

535

2223

r

413

ww

θθ

I

−=°+°=

+−=°+°=

+=°+°=

iseniw

iseniw

iseniw

366,1366,0)285285(cos2

366,0366,1)165165(cos2

1)4545(cos2

3

2

1

Como z e t são números complexos conjugados, tem-se:

II

+=°−°=

−−=°−°=

−=°−°=

iseniv

iseniv

iseniv

366,1366,0)285285(cos2

366,0366,1)165165(cos2

1)4545(cos2

3

2

1

Como x = I + II, determina-se:

x1 = w1 + v1 = 2;

x2 = w2 + v2 = -2,73;

x3 = w3 + v3 = 0,73.

Quadro 52: Resolução da questão 4, da Atividade 08. Fonte: Dados da pesquisa.

A aprendizagem, para Zabala, é “uma construção pessoal que cada indivíduo realiza

graças à ajuda que recebe de outras pessoas.” (ZABALA, 1998, p.63). Construção esta que

requer da pessoa que aprende o seu interesse e a sua dedicação, a utilização de seus

conhecimentos prévios e de sua experiência cognitiva, para que possa atribuir significado ao

objeto de estudo. Quanto ao educador, sua contribuição está em diagnosticar o nível de

conhecimento alcançado, aferindo o que já se conhece e o que é necessário saber, em propor o

(cont.)

171

novo conteúdo como um desafio alcançável, em realizar intervenções pedagógicas adequadas

aos avanços e às dificuldades manifestas, oportunizando, ao aprendiz, uma atuação autônoma

na construção do seu conhecimento. Este processo, além de contribuir para o aprendizado de

certos conteúdos, desenvolve também a competência do aprender a aprender, culminando em

um processo motivador de estímulos e fazendo que o sujeito perceba que seu esforço pela

aprendizagem, valeu a pena.

A seqüência didática aplicada pelo pesquisador foi analisada com a intenção de

evidenciar sua potencialidade no favorecimento de uma aprendizagem com maior grau de

significância. Entretanto, se combinada ao tipo de relações, vínculos afetivos e ao grau de

comunicação estabelecido, aos exemplos utilizados etc., pode oferecer mais informações

acerca dos processos cognitivos que os aprendizes seguem, permitindo, ao levar em conta a

diversidade na sala de aula, adequar a intervenção a esses acontecimentos.

172

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tomar como objeto de reflexão a educação voltada para uma ação pedagógica de

instrução e socialização é um desafio nas práticas educativas, considerando-se que o processo

de ensino-aprendizagem não significa transferir conhecimento, mas pressupõe criar

possibilidades para que o sujeito-agente seja capaz de compreender e dar significado aos

conceitos matemáticos.

Tendo a Educação Matemática como finalidade principal uma formação funcional dos

sujeitos, nos diferentes níveis de ensino, deve-se implementar, nas salas de aula, ações

pedagógicas que garantam a medida do grau da autonomia por eles alcançada e não a

repetição mecânica do conhecimento matemático.

A educação, nesse contexto, ocupa um lugar muito importante, demandando novas

formas de interação e de aquisição do conhecimento, sendo, assim, capaz de transformar o

meio existencial dos sujeitos-agentes e de despertar neles o interesse por situações-problema,

além de instigar a curiosidade, ter senso crítico, fazer escolhas éticas e ampliar a visão de

mundo — de local para global.

Acredito que a proposição de algumas práticas pedagógicas no desenvolvimento do

minicurso potencializou o trabalho com os números complexos, em uma perspectiva de um

ensino reflexivo e, portanto, mais significativo, sob os seguintes prismas:

1. A seqüência didática, como proposta pedagógica, contribuiu para que os cursistas

assumissem uma postura mais reflexiva e desafiadora, em relação aos processos de

construção do conhecimento matemático. Verificou-se, ainda, que a motivação

para a aprendizagem não decorreu, exclusivamente, da seqüência didática em si,

mas da maneira como as atividades de aprendizagem foram desenvolvidas e

articuladas, dos exemplos utilizados, do tipo de relações, dos vínculos afetivos e

do grau de comunicação estabelecidos, dentre outros fatores. O planejamento e a

elaboração criteriosa dessas atividades de ensino podem, também, ajudar o

professor a delinear, com clareza, os objetivos pedagógicos que pretende alcançar

ao considerar a diversidade na sua sala de aula.

2. Além de servir como instrumental, o desenho geométrico foi utilizado como

ferramenta motivadora para o ensino e a aprendizagem dos números complexos,

servindo de subsídio na (re)significação de conceitos, propriedades e operações,

173

nesse campo numérico, por meio de construções e interpretações geométricas. Essa

ferramenta pôde, ainda, facilitar a exploração de conjecturas e a investigação de

relações que precedeu o uso do raciocínio formal. Ao invés de ver o conteúdo

matemático apenas como um produto, esse processo de gênese dos conceitos

possibilitou ao pesquisador compreender melhor o processo pelos quais os

cursistas assimilavam o conteúdo, como também, viabilizou ao aprendiz uma

percepção da intencionalidade e da dinâmica da produção do conhecimento

matemático.

3. As exposições “polidas”, do conteúdo matemático escolar, geralmente, não

conseguem mostrar os obstáculos do processo criativo, das frustrações e do longo

e árduo caminho que os matemáticos tiveram que trilhar, para criar uma

sistematização desse conhecimento. Nesse sentido, a (re)construção histórica dessa

teoria constituiu-se em mais um recurso didático, que colaborou para a melhoria

do ensino dos números complexos, ao apontar caminhos que possibilitaram a

(re)construção e a apreensão de conceitos matemáticos, atribuindo sentido e

significado a esse tópico matemático.

4. A investigação nas aulas de Matemática desenvolveu posturas favoráveis às

especulações de caráter científico e promoveu a atividade mental do aluno,

permitindo que ele estabelecesse relações entre os novos conteúdos e os seus

conhecimentos prévios. Nesse contexto, a sala de aula se constituiu em um

ambiente natural de pesquisa — os alunos experimentaram o “construir” em

Matemática, como os matemáticos — onde o trabalho se baseou em um processo

humano e criativo de geração de idéias, de negociação de significados, de

simbolização, de refutação e de formalização, relevantes no “fazer” e no

“experimentar” matemático.

5. Houve a necessidade de mudança na organização e na dinâmica da sala de aula.

Sugeriu-se, então, atividades de discussão, potencializadas pelos processos de

comunicação e argumentação em sala de aula, como uma prática real e cotidiana

no ensino da Matemática, na medida em que sua linguagem e procedimentos eram

incorporados pelo grupo. As atividades de aprendizagem, que compunham a

seqüência didática, foram planejadas no modelo de descoberta guiada e exigiram

dos pequenos grupos de trabalho uma “dose” de autonomia na sua execução,

desafiando-os e instigando-os para a construção do conhecimento matemático.

Para isso, foi importante que os grupos de trabalho compreendessem o enunciado

174

das questões, que fizessem uma análise reflexiva das atividades e que fossem

capazes de definir estratégias consensuais de resolução. Nesse contexto de

investigação, o professor assume o papel de fomentador/mediador/orientador da

aprendizagem, valorizando os processos cognitivos — e não apenas os resultados

corretos — utilizados pelos indivíduos, na produção do conhecimento. Nessa

perspectiva, não cabe uma prática pedagógica baseada, exclusivamente, na

exposição de conteúdos. Rompe-se, assim, com o contrato didático, que, em geral,

os alunos mantêm com os seus professores: o professor expõe o conteúdo,

apresenta modelos de exercícios e propõe que seus alunos reproduzam atividades

semelhantes.

Reitero que a pergunta diretriz — Como (re)significar o ensino e a aprendizagem dos

números complexos, no contexto da sala de aula? —, que orientou os esforços dedicados à

consecução dos objetivos dessa pesquisa, pôde ser comprovada através da aplicação das

atividades experimentais e da análise dos dados, por meio de processos empíricos. Tais

processos mostraram desafiar quem procurava por experiências que dessem sentido e

significado ao trabalho com os números complexos, além de subsidiarem o “fazer”

pedagógico dos professores de Matemática, no cotidiano das salas de aula.

Constatou-se que nem todos os cursistas que freqüentaram o minicurso estudaram,

anteriormente, os números complexos. Os demais aprendizes relataram que seus professores

do ensino médio e/ou do ensino superior abordaram esse conteúdo nas aulas de Matemática

de maneira superficial e pouco expressiva, contribuindo para que se tornassem reticentes no

trato com esse conteúdo. Nesse sentido, acredita-se que a exploração geométrica — por meio

de isometrias e homotetias aplicadas sobre vetores no plano de Argand-Gauss — no ensino

dos números complexos, pode, ainda que no mundo das idéias, atribuir algum significado a

esse conteúdo matemático.

Algumas dificuldades e/ou limitações se fizeram presentes nesse processo de

investigação:

1. As atividades complementares deveriam ser desenvolvidas em casa,

individualmente, com o propósito de oportunizar aos cursistas a ampliação da

aprendizagem, aprofundamento e (re)significação de conceitos trabalhados no

minicurso. Entretanto, ao priorizarem as atividades (provas, trabalhos, pesquisas

etc.) a serem cumpridas na graduação, o tempo para dedicação às atividades do

minicurso era insuficiente.

175

2. Um outro ponto de observação é com relação ao intervalo de uma semana, entre

dois encontros consecutivos. Por entender que esse intervalo é longo e que, em

geral, as atividades complementares não eram cumpridas, passava-se,

aproximadamente, um terço do encontro discutindo questões e/ou retomando

conceitos abordados em encontros anteriores.

3. Os encontros aconteciam aos sábados, a três horas do encerramento das atividades

acadêmicas do dia. Agregado a isto, o cansaço físico, acumulado em uma semana

de trabalho, e a ocorrência de feriados nacionais, intercalados aos dois últimos

encontros, contribuíram para que o minicurso se estendesse, interferindo, assim, na

produção cognitiva dos alunos, que se mostravam exaustos.

Diante das limitações apresentadas neste trabalho de pesquisa e da reflexão sobre os

dados apurados, outra inquietação emergiu e instigou uma nova questão: Como se deu, ao

longo da história, o processo de ensino dos números complexos no Brasil? Como esse

conteúdo foi sendo apresentado, ao longo da história escolar brasileira? Acredita-se que a

análise da abordagem do conteúdo nos livros didáticos, ao longo da história, poderá apontar

concepções subjacentes na forma de apresentar o conteúdo e nas seqüências didáticas

propostas, identificando aspectos dessas abordagens que convergem ou divergem entre si.

Apontam-se, a seguir, algumas contribuições dessa pesquisa para o cenário

educacional, em particular, ao ensino e à aprendizagem dos números complexos, no contexto

da sala de aula de Matemática:

1. Disponibilização do material didático (livro paradidático) desenvolvido neste

trabalho de investigação, obtido a partir do substrato teórico da pesquisa (ver seção

4.8), podendo servir como recurso de orientação metodológica a professores e

estudiosos interessados pela investigação dos números complexos.

2. Os alunos em formação, sujeitos desta pesquisa, experimentaram, no minicurso,

uma metodologia para o ensino dos números complexos, ancorada na construção e

na interpretação geométrica de vetores — entendidos, neste estudo, como uma

possibilidade de representação de números complexos — podendo replicá-la em

suas futuras salas de aula.

Este estudo sinaliza que o conhecimento matemático deve ser acessível a todos e que o

compromisso na superação dos preconceitos e rejeições, que muitas vezes, ainda estão

presentes no ensino-aprendizado da Matemática, sugere a necessidade de um Educador

176

Matemático com a capacidade de se inserir, com sensibilidade, em diversas realidades, para

criar na dúvida e agir, com competência, na incerteza.

Nesse sentido, os resultados apontados por esta pesquisa mostram que o trabalho

significativo com os números complexos, no contexto da sala de aula, se constitui em um

desafio alcançável, tanto para quem ensina quanto para quem aprende. Apontam, ainda, que a

realização das atividades que compõem essa seqüência didática proporcionou um ambiente de

interação social entre os atores envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, por meio dos

grupos de trabalho, que simularam um ambiente de pesquisa matemática, motivada pela

curiosidade e pelo desafio.

177

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181

APÊNDICES

APÊNDICE A – Questionário aplicado aos cursistas

A partir da análise epistemológica dos números complexos e da concepção construtivista do

seu ensino, base de nossas ações, discussões e reflexões promovidas no minicurso “Números

Complexos: uma abordagem geométrica para o seu ensino”, você deverá produzir um texto

argumentativo focalizando as seguintes questões:

1. Qual a relevância desse minicurso para a sua formação?

2. Em que a metodologia utilizada no processo ensino/aprendizagem, que norteou a condução

desse minicurso, difere de outras experiências já vivenciadas por você?

3. Qual é a sua visão, enquanto aluno e como futuro professor, sobre a combinação entre

história, álgebra e geometria no ensino da Matemática, de uma forma geral?

4. Quais as cumplicidades/responsabilidades que aluno e professor devem assumir no

processo de elaboração e construção do conhecimento matemático?

5. Que sugestões você daria para melhorar o ensino dos números complexos, nos moldes que,

usualmente, são organizados e apresentados desde o ensino médio?

182

APÊNDICE B – Roteiro adotado para as entrevistas com os alunos

1. Investigar a formação do sujeito pesquisado quanto ao ensino em nível médio: que tipo de

escola freqüentou e em que curso se formou? E saber, ainda, se o tópico números

complexos foi abordado no ensino médio e, em caso afirmativo, que descrevesse como isso

ocorreu.

2. Investigar a formação do sujeito pesquisado quanto ao ensino em nível superior: foi

abordado o tópico números complexos, antes desse minicurso? Em caso afirmativo, em

qual disciplina isso ocorreu? Descrever como esse tópico foi trabalhado e mencionar a

bibliografia utilizada. Em quais outras disciplinas do Curso foi necessário utilizar o

conhecimento sobre números complexos?

3. Descreva o minicurso ofertado a uma pessoa que tivesse interesse de participação, mas que

por algum motivo, não pôde freqüentá-lo. Relate, com detalhes, os pontos fortes e os

pontos de maior atenção em relação a esse minicurso;

4. Comente sobre as atividades de ensino-aprendizagem disponibilizadas pelo pesquisador,

durante a realização do minicurso. Em que elas diferem dos exercícios que, geralmente,

são propostos em livros didáticos ou nas aulas de Matemática?

A entrevista com a professora se deu com o objetivo de desvelar sua percepção acerca

dos propósitos de se ensinar “números complexos” nos níveis básico e superior de ensino,

além de corroborar os relatos dos sujeitos dessa pesquisa.

183

ANEXOS ANEXO A – Plano de ensino de disciplina.

186

ANEXO B – Folder de divulgação do minicurso.

pontifÍcia universidade catÓlica de minas gerais … · aplicadas, em modelo de minicurso, a...

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