PM/SPPolícia Militar do Estado de São Paulo

SOLDADO

As correções correspondem a disciplina de Matemática, no conteúdo do capítulo “Razões e Proporções” (páginas 15 e 16).

ERRATA

Razões e Proporções

1

MATEMÁTICACapítulo “Razões e Proporções”

Onde se lê:

2. Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que a parte da primeira corresponda aos 2/5 da parte da segunda e aos 3/4 da parte da terceira. Quanto tocará a cada uma das três pessoas?Solução Sejam x, y e z as quantias que as pessoas vão receber. Temos:

=⇒=

=⇒=

=++

(3)x 34zz

43x

(2)x 25yy

52x

(1) 101.500zyx

Substituindo: (2) e (3) em (1), vem: x + 52 x + 43 x = 101.5000

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 21.000Em (2) e (3), temos: y = 5

2 . 21.000

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

y = 52.5000

z = 43

. 21.000

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

z = 28.000

Resposta: R$ 21.000,00; R$ 52.500,00 e R$ 28.000,00.

Leia-se:

2. Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que a parte da primeira corresponda aos 2/5 da parte da segunda e aos 3/4 da parte da terceira. Quanto tocará a cada uma das três pessoas?Solução Sejam x, y e z as quantias que as pessoas vão receber. Temos:

=⇒=

=⇒=

=++

(3)x 34zz

43x

(2)x 25yy

52x

(1) 101.500zyx

Substituindo: (2) e (3) em (1), vem: x + 52 x + 43 x = 101.500

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 21.000Em (2) e (3), temos: y = 5

2 . 21.000

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

y = 52.500

z = 43

. 21.000

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

z = 28.000

Resposta: R$ 21.000,00; R$ 52.500,00 e R$ 28.000,00.

Onde se lê:

4. Uma torneira pode encher um tanque em 9 horas e outra pode encher o mesmo tanque em 12 horas. Se duas torneiras funcionassem juntas e, com elas, mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas.

Em quantas horas a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque?Solução Considerando que o tanque tenha capacidade 1, temos:

=

=

=

x1torneira terceira da vazão

121torneira segunda da vazão

91torneira primeira da vazão

Portanto: 19 = 1

12 = 1x = 14

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

1x = 118

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 18. .

Resposta: a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque em 18 horas.

Leia-se:

4. Uma torneira pode encher um tanque em 9 horas e outra pode encher o mesmo tanque em 12 horas. Se duas torneiras funcionassem juntas e, com elas, mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas. Em quantas horas a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque?Solução Considerando que o tanque tenha capacidade 1, temos:

=

=

=

x1torneira terceira da vazão

121torneira segunda da vazão

91torneira primeira da vazão

Portanto: 19 + 1

12 + 1x = 14

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

1x = 118

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 18. .

Resposta: a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque em 18 horas.

Onde se lê:

9. A soma dos quadrados de três números inteiros e po-sitivos é 676. Determine-os sabendo que estão entre si como 3 : 4 : 12.Solução Três números: x, y, z.A soma dos quadrados: x2 + y2 + z2 = 676. A proporção: x3 = y4 = 1

12.

O sistema

==

=++

12z

4y

3x

676zyx 222

Resolução do sistema:

===

⇒===k12z

)(1 4kyk3x

k12z

4y

3x

Substituindo (1) em x2 + y2 + z2 = 676, obtemos:9 k2 + 16 k2 + 144 k2 = 676169 k2 = 676k2 = 4

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

k ± 2

2

Matemática

Substituindo k =2 em (1) (pois os números devem ser inteiros e positivos), obtemos:x -3 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 6y = 4 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

y = 8z = 12 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

z = 24Resposta: os números são 6, 8 e 24

Leia-se:

9. A soma dos quadrados de três números inteiros e po-sitivos é 676. Determine-os sabendo que estão entre si como 3 : 4 : 12.Solução Três números: x, y, z.A soma dos quadrados: x2 + y2 + z2 = 676. A proporção: x3 = y4 = z

12.

O sistema

==

=++

12z

4y

3x

676zyx 222

Resolução do sistema:

===

⇒===k12z

)(1 4kyk3x

k12z

4y

3x

Substituindo (1) em x2 + y2 + z2 = 676, obtemos:9 k2 + 16 k2 + 144 k2 = 676169 k2 = 676k2 = 4

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

k ± 2Substituindo k =2 em (1) (pois os números devem ser inteiros e positivos), obtemos:x -3 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

x = 6y = 4 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

y = 8z = 12 . 2

48z ou 3160z.103z

10160

32 you 2160y.102y

10160

80 xou 5160x105x

10160

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

=⋅=⋅⇒=

z = 24Resposta: os números são 6, 8 e 24