UNIDADE 4 - ESTRUTURA CRISTALINA

4.1. INTRODUO

Em geral, todos os metais, grande parte dos cermicos e certos polmeros cristalizam-se quando se solidificam. Os tomos se arranjam em uma estrutura tridimensional ordenada e repetida. Estas estruturas chamam-se cristais.

Este modelo ordenado de longo alcance se origina da coordenao atmica no interior do material. Exemplo: arranjo hexagonal das molculas de gua, quer seja no gelo ou nos flocos de neve, originando sua forma caracterstica.

A clula unitria o menor volume repetido no interior de um cristal. A clula unitria normalmente, mas no necessariamente, posicionada com um tomo em cada vrtice.

O parmetro cristalino a a distncia repetida entre posies equivalentes no cristal. Ele paralelo ao eixo cristalino. Quando o cristal cbico, o parmetro cristalino a o mesmo nas trs direes coordenadas.

O vrtice da clula unitria pode ser colocado em qualquer lugar no interior do cristal. O vrtice pode localizar-se no centro do tomo, em qualquer outra posio do seu interior, ou ainda entre os tomos, desde que definindo a regularidade cristalina.

4.2. CLULAS UNITRIAS E PARMETROS CRISTALINOS

Vrias unidades estruturais que descrevem esquematicamente a estrutura cristalina.

A unidade estrutural mais simples a clula unitria.

a

a

a

A descrio das estruturas cristalinas utilizando clulas unitrias tem uma importante vantagem: TODAS as estruturas possveis reduzem-se a um pequeno nmero de geometrias bsicas de clulas unitrias.

Existem somente 7 formas das clulas unitrias que podem ser utilizadas para preencher o espao tridimensional. Estas formas definem os 7 sistemas cristalinos possveis.

Os cristais cbicos tm modelos idnticos ao longo de trs direes perpendiculares. A maioria dos metais e um grande nmero de materiais cermicos so cbicos.

Os cristais no-cbicos surgem quando o modelo repetido no o mesmo nas trs direes coordenadas, ou os ngulos entre os trs eixos cristalinos no so de 90.

4.3. SISTEMAS CRISTALINOS

Geometria geral de uma clula unitria.

Verificando os sistemas cristalinos, deve ser analisado como os tomos podem ser posicionados dentro da clula unitria.

Existem um nmero limitado de possibilidades, chamadas de Redes de Bravais. Arranjos peridicos destas redes geram as Redes de Pontos, onde os pontos tm vizinhanas idnticas no espao tridimensional.

Estas redes definem os esqueletos nos quais as estruturas cristalinas so construdas posicionando-se os tomos ou grupos de tomos perto ou nos pontos das Redes de Pontos.

4.3.1. AS REDES CRISTALINAS (REDES DE BRAVAIS)

Os cristais cbicos possuem um dos trs sequintes tipos de reticulados: CBICO SIMPLES, CBICO DE CORPO CENTRADO (CCC) E CBICO DE FACE CENTRADA (CFC).

O reticulado uma repetio nas trs dimenses do modelo desenvolvido no interior do cristal. A maioria significativa dos metais possui reticulado CCC ou CFC.

O Fator de Empacotamento Atmico (FEA) define a frao de volume da clula unitria que ocupada pelos tomos (supondo os mesmos como esferas rgidas).

4.4. RETICULADOS CBICOS

unitriacluladaVolumetomosdosVolume)FEA(AtmicoamentocotEmpadeFator

=

METAIS CBICOS DE CORPO CENTRADO (CCC)

NC = 8

Na diagonal, tem-se que

34

43222

ra

atmicoraiooronderdiagonalaaaadiagonal

metalCCC ==

=++=

O FEAmetalCCC ser:[ ] [ ][ ] 68034 3

42342

3

3

3

3

,r

r

a

rFEAmetalCCC ===

METAIS CBICOS DE FACE CENTRADA (CFC)

Na diagonal, tem-se que

NC = 12

2r4a

atmico raio o r onde r4diagonal2aaadiagonal

metalCFC

22

==

=+=

O FEAmetalCFC ser:[ ] [ ][ ] 74,02r4 3

r44

a3

r44FEA 3

3

3

3

metalCFC =

=

=

EXERCCIOS 1 a 4

Uma clula unitria hexagonal simples tem ngulos de 120no interior de sua base.

O volume da clula na Fig. 3-3.1(a) trs vezes maior que o da clula na Fig. 3-3.1(b), mas o nmero de tomos por unidade de volume o mesmo nas duas clulas.

Os metais no cristalizam na forma hexagonal simples porque o fator de empacotamento muito baixo.

4.5. CRISTAIS HEXAGONAIS

HEXAGONAL COMPACTA (HC) OU HEXAGONAL CLOSED-PACKED (HCP)

A estrutura hexagonal compacta (HC), bem mais compacta que a hexagonal simples, caracterizada pelo fato de que cada tomo em seu nvel est localizado acima ou abaixo do interstcio de trs tomos de nveis adjacentes.

Cada tomo toca trs tomos nos nveis inferior e superior ao seu plano e seis tomos em seu prprio plano. Isto resulta em NC = 12. H uma mdia de seis tomos por clula unitria.

(b)

O fator de empacotamento atmico 0,74, idntico ao CFC. Esperado devido ao NC=12.

A estrutura HC pode ser encontrada em alguns metais, tais como o magnsio.

HEXAGONAL COMPACTA (HC) OU HEXAGONAL CLOSED-PACKED (HCP)

EX. 5. Estudar os exemplos 3-3.1, 3-3.2 e 3-3.3 da seo 3-3 do Van Vlack.

EX. 6. Provar que o volume da clula na Fig. 3-3.1(a) trs vezes maior que o da clula na Fig. 3-3.1(b), mas o nmero de tomos por unidade de volume o mesmo nas duas clulas.

EX. 7. Provar que o Fator de Empacotamento Atmico da estrutura Hexagonal Compacta 0,74.

As posies nas redes cristalinas so expressas como fraes ou mltiplos das dimenses da clula unitria. As posies podem ou no representar as posies de tomos.

4.6. POSIES NA REDE CRISTALINA

Um aspecto da natureza da estrutura cristalina que uma dada posio na rede em uma dada clula unitria estruturalmente equivalente mesma posio em outra clula unitria na mesma estrutura.

Estas posies equivalentes so conectadas por translaes na rede cristalina, que consistem de mltiplos inteiros das constantes de rede ao longo de direes paralelas aos eixos cristalogrficos.

As direes cristalinas so indexadas simplesmente como um vetor (segmento) que se estende da origem at as posies de menores ndices inteiros. A direo [111], utilizando colchetes, vai desde a origem at a posio 1,1,1.

Pode-se notar que a linha que passa pelo ponto 1/2,1/2,1/2 tambm passa pelo ponto 1,1,1 e pelos pontos 2,2,2; 3,3,3; 4,4,4; etc. Esta linha define a mesma direo [111].

4.6. DIREES NA REDE CRISTALINA

A direo [111] define a diagonal da clula unitria.

As seguintes caractersticas devem ser observadas:

1) As coordenadas de um ponto so medidas em relao ao parmetro de cada eixo. Portanto, no representam os valores reais das distncias.

2) Os eixos cristalinos so usados como direes bsicas.

3) A direo [222] idntica direo [111]. Assim sendo, a combinao dos menores nmeros inteiros deve ser usada.

4) Direes tais como [112] tambm podem existir. Esta direo a de uma reta que passa pela origem e pelo centro da face superior da clula unitria.

Quando uma direo est orientada ao longo de um eixo negativo, a notao deve indicar isto apresentando uma barra sobre o inteiro ao longo desta direo negativa.

Por exemplo, a direo designa uma linha da origem at a posio 1,1,-1.

As duas direes [111] e so estruturalmente muito similares. As duas direes diferem somente na orientao espacial, definida pelo sistema de eixos cristalogrficos usado.

Em outras palavras, a direo se tornar a direo [111] se forem escolhidas outras orientaes para os eixos cristalogrficos.

Tais conjuntos de direes, que so estruturalmente equivalentes, so chamados de famlias de direes cristalogrficas e so designadas utilizando-se < >.

Por exemplo, a famlia representa as direes:

]111[

]111[

]111[

]111[],111[],111[],111[],111[],111[],111[],111[111 >=

Famlia de direes , representando todas as diagonais para clulas unitrias adjacentes em um sistema cbico.

A densidade linear de tomos ao longo de uma direo cristalina definida por

A distncia repetitiva entre posies equivalentes difere de direo para direo e de cristal para cristal.

Na direo [111] de um metal CCC, uma posio equivalente sempre reproduzida a cada translao de 2R, ou . Na direo [110] esta repetio acontece a cada . No CFC esta distncia .

As recprocas destas distncias so as densidades lineares de tomos. Na direo [110] do alumnio CFC com a = 0,405 nm, a densidade linear 1 por , ou , que resulta em 3,5x106/mm.

DENSIDADE LINEAR

unitrio oComprimenttomosdeNmeroLinear Densidade =

2/3a2a

2/a

2a )mm10x405,0/(2 6

EX. 8. Listar as posies puntuais da rede de Bravaiscbica de face centrada (CFC).

EX. 9. Quais pontos da rede esto localizados ao longo da direo [110] na clula unitria CFC.

EX. 10. Estudar os exemplos 3-5.1, 3-5.2, 3-5.3 e 3-5.4 da seo 3-5 do Van Vlack.

EX. 11. Estudar os exemplos 3-6.1, 3-6.2, 3-6.3 e 3-6.4 da seo 3-6 do Van Vlack.

Um cristal contm planos de tomos, sendo que estes planos influenciam as propriedades e o comportamento de um material.

Os planos cristalinos mais facilmente visualizados so aqueles dispostos no contorno da clula unitria.

4.7. PLANOS CRISTALINOS

Planos (010)

Planos (110)

Planos )( 111

A posio e a orientao de um plano em um cristal so determinados por trs pontos quaisquer pertencentes ao plano, desde que eles no sejam colineares.

Se cada ponto estiver situado sobre um eixo cristalino, o plano pode ser especificado dando-se as posies dos pontos ao longo dos eixos em termos das constantes da rede.

Por exemplo, se os 3 pontos tiverem coordenadas (4,0,0), (0,1,0) e (0,0,2) relativas a vetores axiais de uma dada origem,este plano pode ser especificado pelos trs nmeros 4,1,2.

Porm mais til especificar a orientao de um plano por meio de sua indexao utilizando seus ndices de Miller (hkl).

NDICES DE MILLER

Regras para determinao dos ndices de Miller:1) Encontrar as intersees do plano sobre os eixos cristalogrficos a, b e c em termos das constantes da rede. Os eixos podem ser primitivos ou no.2) Tomar os inversos destes nmeros e reduzi-los a trs nmeros inteiros de mesma razo. Normalmente os trs menores inteiros que satisfaam a esta condio. 3) O resultado colocado na forma (hkl), onde h, k e l esto relacionados aos eixos a, b e c, respectivamente.

Exemplos:- Intersees em 4, 1, 2, os inversos so 1/4, 1 e 1/2 e os trs menores inteiros que possuem a mesma razo so (142).- Intersees em , 1, tm inversos 0, 1, 0 e correspondem ao plano (010).

Como o sistema hexagonal pode ser mais convenientemente descrito por 4 eixos, como na figura 3-9 abaixo, definido um conjunto de ndices de Miller-Bravais (hkil).

Desde que somente trs eixos so necessrios para definir a geometria tridimensional de um cristal, um dos inteiros no sistema Miller-Bravais redundante.

Desde que um plano que passe por quaisquer dois eixos do plano basal da clula unitria tambm passa pelo terceiro eixo, pode-se mostrar que

Isto tambm permite que qualquer plano no sistema hexagonal possa ser representado pelos ndices de Miller-Bravais (hkil) ou pelos ndices de Miller (hkl).

NDICES DE MILLER PARA PLANOS EM CRISTAIS HEXAGONAIS

ikh =+

A densidade de tomos em um dado plano cristalino definida por

Como feito para a densidade linear, pode-se calcular a densidade planar de posies equivalentes.

DENSIDADE PLANAR ATMICA

readeUnidadetomosdeNmeroPlanar Densidade =

ESPAAMENTOS INTERPLANARES

O espaamento interplanar d entre planos de mesmos ndices pode ser encontrado atravs de (para sistemas cbicos)

onde a o parmetro da rede cristalina e h, k, l so os ndices de Miller dos planos.

Exemplos:Plano (010): d010 = aPlano (110): d110 = Plano : d =

222hkl lkh

ad++

=

2/2a3/3a)111( 111

Tambm pode-se agrupar planos cristalinos estruturalmente equivalentes como uma famlia de planos com ndices de Miller ou Miller-Bravais entre chaves, {hkl} ou {hkil}.

A figura abaixo ilustra que as faces de uma clula unitria no sistema cbico so da famlia de planos {100} com

FAMLIAS DE PLANOS CRISTALINOS

)100(),010(),001(),001(),010(),100(}100{ =

EX. 12. Calcular quantos tomos por mm2 existem no plano (100) do ferro CCC e do ferro CFC.

EX. 13. Estudar os exemplos 3-7.1, 3-7.2, 3-7.3, 3-7.4, 3-7.5, 3-7.6 e 3-7.7 da seo 3-7 do Van Vlack.

EX. 14. Estudar TODOS os Sample Problems (SP) e os Practice Problems (PP) do Captulo 3 do Shackelford.