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IntroduçãoAlgums tipos de Delineamentos Experimentais

Experimentos Interiamente ao AcasoModelos de Efeitos Fixos e Modelos de Efeitos Aleatórios

Experimentos em Blocos Casualizados

Planejamento de Experimentos

Ulisses U. dos Anjos

Departamento de EstatísticaUniversidade Federal da Paraíba

Período 2008.2

Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos




Sumário1 Introdução2 Algums tipos de Delineamentos Experimentais

Delineamento Interiamente ao AcasoDelineamento em blocos CasualizadosDelineamento em Quadrados LatinosDelineamento Fatorial

3 Experimentos Interiamente ao AcasoAnálise de VariânciaModelo para o Experimento Interiamente ao acasoAnálise de Variância versus Teste t para Diferença deMédiasVerificação dos Pressupostos da ANOVAVerificação das Diferenças entre as Médias

4 Modelos de Efeitos Fixos e Modelos de Efeitos Aleatórios5 Experimentos em Blocos Casualizados





Histórico

1a. Era - Era Agrícola - década de 20 até início da décadade 30 - Fisher

2a. Era - Era Industrial(1a. fase) - início da década de 30até final da década de 70 - George Box3a. Era - Era Industrial(2a. fase) - final da década de 70até início da década de 90 - Taguchi - PlanejamentoRobusto4a. Era - Era moderna - a partir do início da década de 90





Histórico

1a. Era - Era Agrícola - década de 20 até início da décadade 30 - Fisher2a. Era - Era Industrial(1a. fase) - início da década de 30até final da década de 70 - George Box

3a. Era - Era Industrial(2a. fase) - final da década de 70até início da década de 90 - Taguchi - PlanejamentoRobusto4a. Era - Era moderna - a partir do início da década de 90





Histórico

1a. Era - Era Agrícola - década de 20 até início da décadade 30 - Fisher2a. Era - Era Industrial(1a. fase) - início da década de 30até final da década de 70 - George Box3a. Era - Era Industrial(2a. fase) - final da década de 70até início da década de 90 - Taguchi - PlanejamentoRobusto

4a. Era - Era moderna - a partir do início da década de 90





Histórico

1a. Era - Era Agrícola - década de 20 até início da décadade 30 - Fisher2a. Era - Era Industrial(1a. fase) - início da década de 30até final da década de 70 - George Box3a. Era - Era Industrial(2a. fase) - final da década de 70até início da década de 90 - Taguchi - PlanejamentoRobusto4a. Era - Era moderna - a partir do início da década de 90





Modelo geral para um processo ou sistema





Objetivos de um experimento

Determinar que variáveis mais influenciam a respostaY (output);

Determinar qual o nível de X˜ = (X1, . . . ,Xp) de modo queY seja sempre próximo do valor desejado;Determinar o nível de X˜ de modo que a variabilidade de Yseja mínima;Determinar o nível de X˜ de modo que os efeitos dasvariáveis não controladas Z˜ = (Z1, . . . ,Zq) seja mínimo.






Determinar que variáveis mais influenciam a respostaY (output);Determinar qual o nível de X˜ = (X1, . . . ,Xp) de modo queY seja sempre próximo do valor desejado;

Determinar o nível de X˜ de modo que a variabilidade de Yseja mínima;Determinar o nível de X˜ de modo que os efeitos dasvariáveis não controladas Z˜ = (Z1, . . . ,Zq) seja mínimo.






Determinar que variáveis mais influenciam a respostaY (output);Determinar qual o nível de X˜ = (X1, . . . ,Xp) de modo queY seja sempre próximo do valor desejado;Determinar o nível de X˜ de modo que a variabilidade de Yseja mínima;

Determinar o nível de X˜ de modo que os efeitos dasvariáveis não controladas Z˜ = (Z1, . . . ,Zq) seja mínimo.






Determinar que variáveis mais influenciam a respostaY (output);Determinar qual o nível de X˜ = (X1, . . . ,Xp) de modo queY seja sempre próximo do valor desejado;Determinar o nível de X˜ de modo que a variabilidade de Yseja mínima;Determinar o nível de X˜ de modo que os efeitos dasvariáveis não controladas Z˜ = (Z1, . . . ,Zq) seja mínimo.





Exemplo

um engenheiro metalúrgico está interessado em estudar oefeito de dois processos de endurecimento de uma liga dealumínio: temperamento com óleo e temperamento comsolução salina. O objetivo do engenheiro é determinar quemeio de temperamento produz o máximo de dureza para essaliga em particular. Neste caso, tem-se que:

input = as peças de alumínio antes de receber otratamento;output = a dureza da liga depois de receber o tratamento;X˜ =(temperamento com óleo,temperamento com soluçãosalina);Z˜ = todos os fatores que não podem ser controladosdurante a realização do experimento;





Exemplo


input = as peças de alumínio antes de receber otratamento;

output = a dureza da liga depois de receber o tratamento;X˜ =(temperamento com óleo,temperamento com soluçãosalina);Z˜ = todos os fatores que não podem ser controladosdurante a realização do experimento;





Exemplo


input = as peças de alumínio antes de receber otratamento;output = a dureza da liga depois de receber o tratamento;

X˜ =(temperamento com óleo,temperamento com soluçãosalina);Z˜ = todos os fatores que não podem ser controladosdurante a realização do experimento;





Exemplo


input = as peças de alumínio antes de receber otratamento;output = a dureza da liga depois de receber o tratamento;X˜ =(temperamento com óleo,temperamento com soluçãosalina);

Z˜ = todos os fatores que não podem ser controladosdurante a realização do experimento;





Exemplo


input = as peças de alumínio antes de receber otratamento;output = a dureza da liga depois de receber o tratamento;X˜ =(temperamento com óleo,temperamento com soluçãosalina);Z˜ = todos os fatores que não podem ser controladosdurante a realização do experimento;





Questões a serem consideradas antes da execuçãodo Experimento

Considerando-se este simples experimento algumas questõespodem ser levantadas:

Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?

Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?

Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?

Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?

Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?

Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?







Estes dois meios de temperamento são os únicos depotencial interesse?Há outros fatores que afetam a dureza que devem serinvestigados ou controlados neste experimento?Quantos pedaços da liga devem ser submetidos a cadameio de temperamento ?Como deverão ser distribuídos os meios de temperamentonos pedaços da liga e em que ordem os dados devem sercoletados?Que método de análise de dados deve ser usado?Que diferença na média de dureza observada entre osdois meios de temperamento será consideradaimportante?





Importancia do planejamento

Em qualquer experimento, os resultados e conclusõeschegadas dependem em larga escala da maneira como osdados foram coletados. Para ilustrar este ponto, suponha que oengenheiro do experimento acima mencionado usou pedaçosda liga num aquecimento para temperamento com óleo e numsegundo aquecimento para temperamento com solução salina.Nesta condição, quando as médias de dureza sãocomparadas, o engenheiro não será capaz de responderquanto da diferença observada é resultado do meio detemperamento (solução salina e óleo) e quanto é inerente adiferenças entre os aquecimentos.





Importancia do planejamento

Um especialista em delineamento de experimento diria que osefeitos do temperamento e aquecimento foram confundidos,isto é, os efeitos dos dois fatores não podem ser separados damaneira que o experimento foi executado. Assim, o método decoleta dos dados afetou negativamente as conclusões quepoderiam ter sido chegadas com o experimento.





Delineamento estatístico de experimento

refere-se ao processo de planejamento de um experimento demodo que dados apropriados que possam ser analisados pormétodos estatísticos sejam tomados, resultando emconclusões válidas e objetivas.





Aplicações da técnica do delineamento deexperimentos

Desenvolvimento de processos

Melhoramento da produtividade do processo;Redução da variabilidade (resultados mais próximos dopadrão/meta requerido)Redução do tempo de desenvolvimentoRedução geral de custos







Melhoramento da produtividade do processo;

Redução da variabilidade (resultados mais próximos dopadrão/meta requerido)Redução do tempo de desenvolvimentoRedução geral de custos







Melhoramento da produtividade do processo;Redução da variabilidade (resultados mais próximos dopadrão/meta requerido)

Redução do tempo de desenvolvimentoRedução geral de custos







Melhoramento da produtividade do processo;Redução da variabilidade (resultados mais próximos dopadrão/meta requerido)Redução do tempo de desenvolvimento

Redução geral de custos







Melhoramento da produtividade do processo;Redução da variabilidade (resultados mais próximos dopadrão/meta requerido)Redução do tempo de desenvolvimentoRedução geral de custos






Desenvolvimento de produtos

Avaliação e comparação de configurações delineadasbásicas (padrão);Avaliação de materiais alternativos;Seleção e delineamento de parâmetros de modo a tornarprodutos mais robustos;Determinação de parâmetros chaves que tem impacto naperformance de produtos.







Avaliação e comparação de configurações delineadasbásicas (padrão);

Avaliação de materiais alternativos;Seleção e delineamento de parâmetros de modo a tornarprodutos mais robustos;Determinação de parâmetros chaves que tem impacto naperformance de produtos.







Avaliação e comparação de configurações delineadasbásicas (padrão);Avaliação de materiais alternativos;

Seleção e delineamento de parâmetros de modo a tornarprodutos mais robustos;Determinação de parâmetros chaves que tem impacto naperformance de produtos.







Avaliação e comparação de configurações delineadasbásicas (padrão);Avaliação de materiais alternativos;Seleção e delineamento de parâmetros de modo a tornarprodutos mais robustos;

Determinação de parâmetros chaves que tem impacto naperformance de produtos.







Avaliação e comparação de configurações delineadasbásicas (padrão);Avaliação de materiais alternativos;Seleção e delineamento de parâmetros de modo a tornarprodutos mais robustos;Determinação de parâmetros chaves que tem impacto naperformance de produtos.





Fases do Planejamento do Experimento

Reconhecimento e declaração do problema;

Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;Análise dos dados;Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;

Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;Análise dos dados;Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )

Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;Análise dos dados;Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)

Execução do experimento;Análise dos dados;Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;

Análise dos dados;Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;Análise dos dados;

Conclusões e recomendações.






Reconhecimento e declaração do problema;Escolha dos fatores e níveis;Seleção das variáveis resposta; (depende do objetivo doestudo )Escolha do delineamento experimental; (depende doobjetivo do estudo, natureza do material experimental,etc.)Execução do experimento;Análise dos dados;Conclusões e recomendações.





Termos Técnicos

Unidade experimental: é a unidade física ou biológicapara conduzir o experimento, também denominada deparcela. Ex.: uma pessoa, uma peça, etc.

Variável: é a condição ou característica medida ouobservada no experimento.Tratamento: é o elemento que está em teste noexperimento. Ex.: um método de ensino, um fertilizante,uma droga terapêutica, etc.

Qualitativo: são aqueles que possuem naturezasintrinsecamente diferentes. Ex.: comparar dois tipos dedrogas terapêuticas para dor de cabeça(Paracetamolversus Dipirona Sodica), três tipos defertilizantes(diferentes marcas), etc.Quantitativos: são aqueles que se distinguem pelaquantidade(dose) que está sendo utilizada no experimento.Nesse caso o objetivo é determinar qual a quantidade quefornece a melhor resposta.





Termos Técnicos

Unidade experimental: é a unidade física ou biológicapara conduzir o experimento, também denominada deparcela. Ex.: uma pessoa, uma peça, etc.Variável: é a condição ou característica medida ouobservada no experimento.

Tratamento: é o elemento que está em teste noexperimento. Ex.: um método de ensino, um fertilizante,uma droga terapêutica, etc.






Termos Técnicos

Unidade experimental: é a unidade física ou biológicapara conduzir o experimento, também denominada deparcela. Ex.: uma pessoa, uma peça, etc.Variável: é a condição ou característica medida ouobservada no experimento.Tratamento: é o elemento que está em teste noexperimento. Ex.: um método de ensino, um fertilizante,uma droga terapêutica, etc.






Termos Técnicos


Qualitativo: são aqueles que possuem naturezasintrinsecamente diferentes. Ex.: comparar dois tipos dedrogas terapêuticas para dor de cabeça(Paracetamolversus Dipirona Sodica), três tipos defertilizantes(diferentes marcas), etc.

Quantitativos: são aqueles que se distinguem pelaquantidade(dose) que está sendo utilizada no experimento.Nesse caso o objetivo é determinar qual a quantidade quefornece a melhor resposta.





Termos Técnicos







Termos Técnicos

Grupo controle: Em um estudo em que deseja-se estudaro efeito de um ou mais tratamentos em relação a situaçãosem nenhum tratamento, o grupo controle é o grupo deunidades experimentais que não recebe tratamento.

Exemplo: em um experimento para saber se determinadoproduto faz nascer cabelos em pessoas calvas, opesquisador deve comparar um grupo de unidades que iráreceber o produto com outro grupo que irá receberplacebo, ambos os grupo de pessoas calvas.





Termos Técnicos

Grupo controle: Em um estudo em que deseja-se estudaro efeito de um ou mais tratamentos em relação a situaçãosem nenhum tratamento, o grupo controle é o grupo deunidades experimentais que não recebe tratamento.Exemplo: em um experimento para saber se determinadoproduto faz nascer cabelos em pessoas calvas, opesquisador deve comparar um grupo de unidades que iráreceber o produto com outro grupo que irá receberplacebo, ambos os grupo de pessoas calvas.





Exigências Básicas

Repetição ou réplica: São as unidades experimentais deum mesmo grupo. O objetivo da repetição é aumentar aconfiabilidade da análise, pois ao comparar dois gruposcom várias réplicas cada ao invés de comparar doisgrupos com apenas um unidade experimental cada,iremos eliminar o efeito de outras variáveis indesejadas.

Exemplo: Para verificar o efeito de um determinadohormônio sobre o peso de ratos, um pesquisador aplicou ohormônio em um rato e deixou outro rato(o grupo controle)sem o hormônio. Ao final do experimento ele verificou orato que tomou o hormônio tinha 150g e o rato que nãotomou o hormônio tinha 120g. Baseado nesteexperimento, o pesquisador poderia concluir que ohormônio realmente tem influencia no peso, entretantoessa conclusão não seria muito confiavél pois os doisratos podem apresentar diferenças de peso por diversasoutras razões.






Repetição ou réplica: São as unidades experimentais deum mesmo grupo. O objetivo da repetição é aumentar aconfiabilidade da análise, pois ao comparar dois gruposcom várias réplicas cada ao invés de comparar doisgrupos com apenas um unidade experimental cada,iremos eliminar o efeito de outras variáveis indesejadas.Exemplo: Para verificar o efeito de um determinadohormônio sobre o peso de ratos, um pesquisador aplicou ohormônio em um rato e deixou outro rato(o grupo controle)sem o hormônio. Ao final do experimento ele verificou orato que tomou o hormônio tinha 150g e o rato que nãotomou o hormônio tinha 120g. Baseado nesteexperimento, o pesquisador poderia concluir que ohormônio realmente tem influencia no peso, entretantoessa conclusão não seria muito confiavél pois os doisratos podem apresentar diferenças de peso por diversasoutras razões.






Casualização ou randomização: é o processo dedesignar os tratamentos às unidades experimentais porprocesso aleatório. O objetivo é criar grupos o maishomogênios possíveis.

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de umadubo sobre o crescimento de uma planta. Suponha que oexperimento irá ser executado em uma estufa em quecada unidade experimental é um vaso. Assim, umaprimeira situação seria colocar os vasos com o adubo naprimeira metade da estufa e na outra metade colocar osvasos sem o adubo.Problema: O experimento executado desta maneira estáerrado, pois o pesquisador não poderar afirmar se asdiferenças encontradas é explicada unicamente peloadubo ou pela melhor posição das plantas em relação aluz e à ventilação.Solução: Alaeatorizar a posição de cada vaso, destemodo, se de fato existir certas posições que favoreçam ocrescimento este fator terá seu efeito bastante reduzidocom a aleatorização das posições.






Casualização ou randomização: é o processo dedesignar os tratamentos às unidades experimentais porprocesso aleatório. O objetivo é criar grupos o maishomogênios possíveis.Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de umadubo sobre o crescimento de uma planta. Suponha que oexperimento irá ser executado em uma estufa em quecada unidade experimental é um vaso. Assim, umaprimeira situação seria colocar os vasos com o adubo naprimeira metade da estufa e na outra metade colocar osvasos sem o adubo.

Problema: O experimento executado desta maneira estáerrado, pois o pesquisador não poderar afirmar se asdiferenças encontradas é explicada unicamente peloadubo ou pela melhor posição das plantas em relação aluz e à ventilação.Solução: Alaeatorizar a posição de cada vaso, destemodo, se de fato existir certas posições que favoreçam ocrescimento este fator terá seu efeito bastante reduzidocom a aleatorização das posições.






Casualização ou randomização: é o processo dedesignar os tratamentos às unidades experimentais porprocesso aleatório. O objetivo é criar grupos o maishomogênios possíveis.Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de umadubo sobre o crescimento de uma planta. Suponha que oexperimento irá ser executado em uma estufa em quecada unidade experimental é um vaso. Assim, umaprimeira situação seria colocar os vasos com o adubo naprimeira metade da estufa e na outra metade colocar osvasos sem o adubo.Problema: O experimento executado desta maneira estáerrado, pois o pesquisador não poderar afirmar se asdiferenças encontradas é explicada unicamente peloadubo ou pela melhor posição das plantas em relação aluz e à ventilação.

Solução: Alaeatorizar a posição de cada vaso, destemodo, se de fato existir certas posições que favoreçam ocrescimento este fator terá seu efeito bastante reduzidocom a aleatorização das posições.






Casualização ou randomização: é o processo dedesignar os tratamentos às unidades experimentais porprocesso aleatório. O objetivo é criar grupos o maishomogênios possíveis.Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de umadubo sobre o crescimento de uma planta. Suponha que oexperimento irá ser executado em uma estufa em quecada unidade experimental é um vaso. Assim, umaprimeira situação seria colocar os vasos com o adubo naprimeira metade da estufa e na outra metade colocar osvasos sem o adubo.Problema: O experimento executado desta maneira estáerrado, pois o pesquisador não poderar afirmar se asdiferenças encontradas é explicada unicamente peloadubo ou pela melhor posição das plantas em relação aluz e à ventilação.Solução: Alaeatorizar a posição de cada vaso, destemodo, se de fato existir certas posições que favoreçam ocrescimento este fator terá seu efeito bastante reduzidocom a aleatorização das posições.






Experimentação cega: é a experimentação em que opesquisador executa as medições sem saber a que grupopertence a unidade experimental. O objetivo destaestratégia é evitar qualquer tendência(vício por parte dopesquisador).

Experimentação duplamente cega: ocorre quando asunidades experimentais são pessoas, neste caso aestratégia para eliminar vícios no experimento seria nãoinformar ao pesquisador e nem a pessoa participante doexperimento a que grupo pertence.Experimentação triplamente cega: nesta situação nemo pesquisador, nem a pessoa participante do experimentoe nem a pessoa que irá analisar os dados sabem a quegrupo pertence cada unidade experimental.






Experimentação cega: é a experimentação em que opesquisador executa as medições sem saber a que grupopertence a unidade experimental. O objetivo destaestratégia é evitar qualquer tendência(vício por parte dopesquisador).Experimentação duplamente cega: ocorre quando asunidades experimentais são pessoas, neste caso aestratégia para eliminar vícios no experimento seria nãoinformar ao pesquisador e nem a pessoa participante doexperimento a que grupo pertence.

Experimentação triplamente cega: nesta situação nemo pesquisador, nem a pessoa participante do experimentoe nem a pessoa que irá analisar os dados sabem a quegrupo pertence cada unidade experimental.






Experimentação cega: é a experimentação em que opesquisador executa as medições sem saber a que grupopertence a unidade experimental. O objetivo destaestratégia é evitar qualquer tendência(vício por parte dopesquisador).Experimentação duplamente cega: ocorre quando asunidades experimentais são pessoas, neste caso aestratégia para eliminar vícios no experimento seria nãoinformar ao pesquisador e nem a pessoa participante doexperimento a que grupo pertence.Experimentação triplamente cega: nesta situação nemo pesquisador, nem a pessoa participante do experimentoe nem a pessoa que irá analisar os dados sabem a quegrupo pertence cada unidade experimental.





Planejando um experimento

Para planejar um experimento, é preciso definir:a unidade experimental;

a variável em análise e a forma como será medida;os tratamentos em comparação;a forma como os tratamentos serão designados àsunidades experimentais;o número de unidades experimentais em cada grupo.






Para planejar um experimento, é preciso definir:a unidade experimental;a variável em análise e a forma como será medida;

os tratamentos em comparação;a forma como os tratamentos serão designados àsunidades experimentais;o número de unidades experimentais em cada grupo.






Para planejar um experimento, é preciso definir:a unidade experimental;a variável em análise e a forma como será medida;os tratamentos em comparação;

a forma como os tratamentos serão designados àsunidades experimentais;o número de unidades experimentais em cada grupo.






Para planejar um experimento, é preciso definir:a unidade experimental;a variável em análise e a forma como será medida;os tratamentos em comparação;a forma como os tratamentos serão designados àsunidades experimentais;

o número de unidades experimentais em cada grupo.






Para planejar um experimento, é preciso definir:a unidade experimental;a variável em análise e a forma como será medida;os tratamentos em comparação;a forma como os tratamentos serão designados àsunidades experimentais;o número de unidades experimentais em cada grupo.






Delineamento Interiamente ao Acaso

Quando o pesquisador dispõe de unidades similares paraconduzir seu experimento, deve designar os tratamentos àsunidades por puro e simples sorteio, sem qualquer restrição.

Exemplo: Para comparar três antiflamatórios, A, B e C, sobrea inflamação produzida em ratos, um pesquisador dispunha de12 ratos similares. Deste modo, sorteou e aplicou oantiflamatório A para quatro ratos, o antiflamatório B paraquatro ratos e o aplicou o antiflamatório C para os quatro ratosrestantes.Observação: Do ponto de vista estatístico é recomendávelque todos os tratamentos tenham o mesmo número deréplicas. Se não for possível é recomendável que o grupocontrole tenha o menor número de réplicas.







Quando o pesquisador dispõe de unidades similares paraconduzir seu experimento, deve designar os tratamentos àsunidades por puro e simples sorteio, sem qualquer restrição.Exemplo: Para comparar três antiflamatórios, A, B e C, sobrea inflamação produzida em ratos, um pesquisador dispunha de12 ratos similares. Deste modo, sorteou e aplicou oantiflamatório A para quatro ratos, o antiflamatório B paraquatro ratos e o aplicou o antiflamatório C para os quatro ratosrestantes.

Observação: Do ponto de vista estatístico é recomendávelque todos os tratamentos tenham o mesmo número deréplicas. Se não for possível é recomendável que o grupocontrole tenha o menor número de réplicas.







Quando o pesquisador dispõe de unidades similares paraconduzir seu experimento, deve designar os tratamentos àsunidades por puro e simples sorteio, sem qualquer restrição.Exemplo: Para comparar três antiflamatórios, A, B e C, sobrea inflamação produzida em ratos, um pesquisador dispunha de12 ratos similares. Deste modo, sorteou e aplicou oantiflamatório A para quatro ratos, o antiflamatório B paraquatro ratos e o aplicou o antiflamatório C para os quatro ratosrestantes.Observação: Do ponto de vista estatístico é recomendávelque todos os tratamentos tenham o mesmo número deréplicas. Se não for possível é recomendável que o grupocontrole tenha o menor número de réplicas.






Unidades similares

Similaridade não significa igualdade.

Duas unidade são simlares se repondem de forma similaraos tratamentos. Por exemplo, em testes de ganho depeso em animais, basta que os animais sejam da mesmaraça, mesmo sexo, mesma idade e que tenham no iníciodo experimento pesos aproximados.






Unidades similares

Similaridade não significa igualdade.Duas unidade são simlares se repondem de forma similaraos tratamentos. Por exemplo, em testes de ganho depeso em animais, basta que os animais sejam da mesmaraça, mesmo sexo, mesma idade e que tenham no iníciodo experimento pesos aproximados.






Delineamento em blocos Casualizados

Quando o pesquisador dispõe de pequenos grupos deunidades similares, mas nenhum deles com número suficientede unidades para fazer um experimento inteiramente ao acaso,executa-se o Delineamento em blocos Casualizados. Isto éfeito designando os tratamentos de modo aleatório dentro decada bloco.

Exemplo: Para comparar o efeito de quatro rações A,B,C e D,sobre o peso de animais, o pesquisador dispunha de 12animais com pesos diferentes. Para sortear as rações opesquisador organizou os animais com pesos próximos emtrês blocos para depois sortear para sortear os tratamentos àsunidades de cada bloco.Observação: Note que no exemplo acima em cada blocoaparecem todos os tratamentos, neste caso o delineamento éem blocos completos.







Quando o pesquisador dispõe de pequenos grupos deunidades similares, mas nenhum deles com número suficientede unidades para fazer um experimento inteiramente ao acaso,executa-se o Delineamento em blocos Casualizados. Isto éfeito designando os tratamentos de modo aleatório dentro decada bloco.Exemplo: Para comparar o efeito de quatro rações A,B,C e D,sobre o peso de animais, o pesquisador dispunha de 12animais com pesos diferentes. Para sortear as rações opesquisador organizou os animais com pesos próximos emtrês blocos para depois sortear para sortear os tratamentos àsunidades de cada bloco.

Observação: Note que no exemplo acima em cada blocoaparecem todos os tratamentos, neste caso o delineamento éem blocos completos.







Quando o pesquisador dispõe de pequenos grupos deunidades similares, mas nenhum deles com número suficientede unidades para fazer um experimento inteiramente ao acaso,executa-se o Delineamento em blocos Casualizados. Isto éfeito designando os tratamentos de modo aleatório dentro decada bloco.Exemplo: Para comparar o efeito de quatro rações A,B,C e D,sobre o peso de animais, o pesquisador dispunha de 12animais com pesos diferentes. Para sortear as rações opesquisador organizou os animais com pesos próximos emtrês blocos para depois sortear para sortear os tratamentos àsunidades de cada bloco.Observação: Note que no exemplo acima em cada blocoaparecem todos os tratamentos, neste caso o delineamento éem blocos completos.Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos






Observação: Note que diferentemente do DelineamentoInteriamente ao Acaso em que a casualização é completa, noDelineamento em blocos Casualizados tem-se uma restrição.Primeiro deve-se criar os blocos e depois dentro de cada blocoé feito o sorteio.

Observação: A formação dos blocos deve ser feita de talmodo que:

dentro de cada bloco as unidades se distingam apenaspelo tratamento que recebem;haja variabilidade entre os blocos.

Observação: Se o número de unidades experimentais emcada bloco for maior que o número de tratamentos entãoutiliza-se as unidades a mais como réplicas.







Observação: Note que diferentemente do DelineamentoInteriamente ao Acaso em que a casualização é completa, noDelineamento em blocos Casualizados tem-se uma restrição.Primeiro deve-se criar os blocos e depois dentro de cada blocoé feito o sorteio.Observação: A formação dos blocos deve ser feita de talmodo que:










dentro de cada bloco as unidades se distingam apenaspelo tratamento que recebem;

haja variabilidade entre os blocos.







Delineamento em Quadrados Latinos

Este delineamento exige a construção de blocos em duasdireções. Note que neste caso teremos um arranjo quadradode p tratamentos, que são usualmente denotados por letraslatinas, daí o nome quadrados latinos. Observe que nestedelineamente tem-se duas restrições na aleatorização.

ExemploConsidere os seguintes delineamentos:

A B D C A D B E CB C A D D A C B EC D B A C B E D AD A C B B E A C D

E C D A BDelineamento 4× 4 Delineamento 5× 5






Delineamento Fatorial

Este delineamento é utilizado quando deseja-se analizar ainfluência de dois ou mais fatores e suas possíveisinterações. O tipo mais simples de um experimento fatorialé o 2× 2, em que temos dois fatores e dois níveis;

De um modo geral temos os chamados fatoriaisk1 × · · · kq, em que q é número de fatores e pi é o númerode níveis do i-ésimo fator;Quando o número de níveis é igual para todos os fatores,isto é, k1 = · · · = kq = k , tem-se os chamados fatorias kq.







Este delineamento é utilizado quando deseja-se analizar ainfluência de dois ou mais fatores e suas possíveisinterações. O tipo mais simples de um experimento fatorialé o 2× 2, em que temos dois fatores e dois níveis;De um modo geral temos os chamados fatoriaisk1 × · · · kq, em que q é número de fatores e pi é o númerode níveis do i-ésimo fator;

Quando o número de níveis é igual para todos os fatores,isto é, k1 = · · · = kq = k , tem-se os chamados fatorias kq.







Este delineamento é utilizado quando deseja-se analizar ainfluência de dois ou mais fatores e suas possíveisinterações. O tipo mais simples de um experimento fatorialé o 2× 2, em que temos dois fatores e dois níveis;De um modo geral temos os chamados fatoriaisk1 × · · · kq, em que q é número de fatores e pi é o númerode níveis do i-ésimo fator;Quando o número de níveis é igual para todos os fatores,isto é, k1 = · · · = kq = k , tem-se os chamados fatorias kq.





Análise de VariânciaModelo para o Experimento Interiamente ao acasoAnálise de Variância versus Teste t para Diferença de MédiasVerificação dos Pressupostos da ANOVAVerificação das Diferenças entre as Médias










Experimentos Interiamente ao Acaso

Nos experimentos inteiramente ao acaso os tratamentos sãodesignados às unidades experimentais, por sorteio, semnenhuma restrição.

ExemploPara comparar a produtividade de quatro variedades de milho,um agrônomo dispunha de 20 unidades experimentais(locaisaonde o milho iria ser plantado) similares em relação aosdiversos fatores que afetam a produtividade. Nestas condições,sorteou-se, sem nenhuma restrição, 5 unidades experimentaispara cada uma das quatro variedades de milho. Neste caso,temos um fator(a variedade de milho) com quatro níveis. Osdados obtido encontram-se abaixo:






Exemplo

TratamentoA B C D25 31 22 3326 25 26 2920 28 28 3123 27 25 3421 24 29 28

Dados Exemplo






Tabela da ANOVA

Causas de variação GL SQ QM F calculado

Tratamentos k-1 SQTr QMTr Fcal =QMTrQMR

Resíduo n-k SQR QMRTotal n-1 SQT






Tabela da ANOVA

em que:SQTr é a soma de quadrados de tratamentos,

SQTr =k∑

i=1

r∑j=1

(Y i. − Y ..

)2

SQT é a soma de quadrados totais,

SQT =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − Y ..

)2

SQR é a soma de quadrados resíduos,

SQR =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − Y i.

)2






Tabela da ANOVA

Y .. =

∑ki=1∑r

j=1 Yij

k × r

Y i. =

∑rj=1 Yij

r

QMTr =SQTrk − 1

e QMR =SQR

k(r − 1)=

SQRkr − k

=SQRn − k

.






Análise de variância

Procedimento: Comparar a variação devida aos tratamentoscom a variação devida ao acaso.

Modelo: Yij = µ+ τi + εij , i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , r ,

em que:

Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental(variável resposta);µ é o parâmetro comum a todos os tratamentos,denominado média geral;τi é o efeito do i-ésimo tratamento;εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental. Esta componente incorpora todasas outras fontes de variabilidade não consideradas noexperimento;









em que:Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental(variável resposta);

µ é o parâmetro comum a todos os tratamentos,denominado média geral;τi é o efeito do i-ésimo tratamento;εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental. Esta componente incorpora todasas outras fontes de variabilidade não consideradas noexperimento;









em que:Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental(variável resposta);µ é o parâmetro comum a todos os tratamentos,denominado média geral;

τi é o efeito do i-ésimo tratamento;εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental. Esta componente incorpora todasas outras fontes de variabilidade não consideradas noexperimento;









em que:Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental(variável resposta);µ é o parâmetro comum a todos os tratamentos,denominado média geral;τi é o efeito do i-ésimo tratamento;

εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental. Esta componente incorpora todasas outras fontes de variabilidade não consideradas noexperimento;









em que:Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental(variável resposta);µ é o parâmetro comum a todos os tratamentos,denominado média geral;τi é o efeito do i-ésimo tratamento;εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésimaunidade experimental. Esta componente incorpora todasas outras fontes de variabilidade não consideradas noexperimento;






Modelo Alternativo

Modelo: Yij = µi + εij ,

em que µi é a média do i-ésimo tratamento.






Pressupostos da Análise de Variância

Os efeitos prinicipais devem ser aditivos, isto ésatisfeito considerando o modelo como uma soma de cadaum dos efeitos. Quando essa suposição não é satisfeita,pode-se utilizar uma transformação na variável resposta;

Os erros devem ter distribuição ε˜∼ N(

0˜, σ2In)

, em que,

0˜ =

00...0

e In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

isto implica que, os erros serão independentes com adistribuição marginal εij ∼ N(0, σ2). Nesse caso como avariância é igual para todos os erros dizemos que os errospossuem homocedasticidade.






Pressupostos da Análise de Variância

Os efeitos prinicipais devem ser aditivos, isto ésatisfeito considerando o modelo como uma soma de cadaum dos efeitos. Quando essa suposição não é satisfeita,pode-se utilizar uma transformação na variável resposta;Os erros devem ter distribuição ε˜∼ N

(0˜, σ2In

), em que,

0˜ =

00...0

e In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

isto implica que, os erros serão independentes com adistribuição marginal εij ∼ N(0, σ2). Nesse caso como avariância é igual para todos os erros dizemos que os errospossuem homocedasticidade.Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos





Estimativa dos parâmetros

Utilizando o método dos mínimos quadrados, tem-se que,

L(µ, τ1, . . . , τk ) =k∑

i=1

r∑j=1

ε2ij =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − µ− τi)2

Tomando a derivadas parciais de L em relação a cada um dosparâmetros tem-se,

∂L(µ, τ1, . . . , τk )

∂µ= −2

k∑i=1

r∑j=1

(Yij − µ− τi)

∂L(µ, τ1, . . . , τk )

∂τi= −2

r∑j=1

(Yij − µ− τi)







Igualando a zero, tem-se que:

−2k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − µ̂− τ̂i) = 0

−2r∑

j=1

(Yij − µ̂− τ̂i) = 0, i = 1, . . . , k

Assim,

krY .. − kr µ̂− r τ̂1 − . . .− r τ̂k = 0

rY 1. − r µ̂− r τ̂1 = 0...

rY k . − r µ̂− r τ̂k = 0Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos






Note agora que se somarmos as k últimas equaçõesobteremos a 1a. equação, logo o conjunto de equaçõesnormais não são linearmente independente. Portanto, nãoexiste solução unica para os parâmetros a serem estimados.

Solução: Esta problema pode ser contornado, fazendo

k∑i=1

τ̂i = 0

Isto implicará que o efeito médio dos tratamentos é zero.Nestas condições, segue que:

µ̂ = Y .. e τ̂i = µ̂− Y i..







Note agora que se somarmos as k últimas equaçõesobteremos a 1a. equação, logo o conjunto de equaçõesnormais não são linearmente independente. Portanto, nãoexiste solução unica para os parâmetros a serem estimados.Solução: Esta problema pode ser contornado, fazendo

k∑i=1

τ̂i = 0

Isto implicará que o efeito médio dos tratamentos é zero.Nestas condições, segue que:

µ̂ = Y .. e τ̂i = µ̂− Y i..






Soma dos quadrados Total-SQT

A Soma de Quadrados Total pode ser obtida como os desviosde todas as observações em relação a média geral estimada µ̂,assim

SQT =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − µ̂)2 =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − Y ..)2 =

k∑i=1

r∑j=1

Y 2ij − C

em que C é conhecida como fator de correção da soma dosquadrados,

C =

(∑ki=1∑r

j=1 Yij

)2

kr.






Soma dos quadrados dos tratamentos

A Soma de Quadrados dos Tratamentos pode ser obtida comoos desvios de cada efeito dos tratamentos em relação a médiados tratamentos estimada. Como neste caso considerou-seque a média dos tratamentos deve ser zero, tem-se que,

SQTr =k∑

i=1

r∑j=1

τ̂2i =

k∑i=1

r∑j=1

(µ̂− Y i.)2

=k∑

i=1

r∑j=1

(Y i. − Y ..)2 =

k∑i=1

r∑j=1

Y2i. − C

= rk∑

i=1

Y2i. − C =

1r

k∑i=1

r∑j=1

Yij

2

− C






Soma dos quadrados dos Resíduos

A Soma dos quadrados dos Resíduos é a diferença entre SQTe SQTr, assim,

SQR = SQT − SQTr =

k∑i=1

r∑j=1

Y 2ij − C

− k∑

i=1

r∑j=1

Y2i. − C

=

k∑i=1

r∑j=1

(Yij − Y i.

)2






Estatística do Teste

A estatística do teste é dada por,

Fcal =SQTrk−1SQRn−k

∼ Fk−1,n−k

em que k é o número de tratamentos, n=kr é o tamanho daamostra. Assim, para um nível de significância α, seFcal > Fα,k−1,n−k rejeita-se a hipótese H0.






Caso com dois tratamentos

A estatística do teste é dada por,

Fcal =SQTrk−1SQRn−k

=r(

Y 1. − Y ..

)2+ r(

Y 2. − Y ..

)2

P2i=1

Prj=1

(Yij−Y 1.

)2

n−2







Outra maneira de fazer é usando o teste da diferença demédias com variâncias iguais para amostras independentes.Assim,

tcal =Y 1 − Y 2√(1n1

+ 1n2

)S2

p

=Y 1. − Y 2.√(1

r + 1r

)S2

p

=

√r2

(Y 1. − Y 2.

)√S2

p

em que,

S2p =

(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S2

2n1 + n2 − 2

=(r − 1)S2

1 + (r − 1)S22

2(r − 1)=

S21 + S2

22







Deste modo,

tcal =

√r2

(Y 1. − Y 2.

)√S2

p

=

(Y 1. − Y 2.

)√S2

1+S22

2

=

(Y 1. − Y 2.

)√√√√ Prj=1

(Y1j−Y 1.

)2

r−1 +

Prj=1

(Y2j−Y 2.

)2

r−12

=

(Y 1. − Y 2.

)√P2i=1

Prj=1

(Y1j−Y 1.

)2

n−2







Assim,

t2cal =

(Y 1. − Y 2.

)2

P2i=1

Prj=1

(Y1j−Y 1.

)2

n−2

=

(Y 1. − Y 2.

)2

SQRn−2

.

Agora note que

r(

Y 1. − Y ..

)2+ r(

Y 2. − Y ..

)2=(Y 1. − Y 2.

)2.

Portanto, t2cal = Fcal .






Análise dos Resíduos

Os resíduos estimados são dados por,

ε̂ij = Yij − Y i.

Deve-se verificar os seguintes pressupostos:

a presença de dados discrepantes;se os erros são independentes;se a variância é constante;se a distribuição dos erros é normal.









Deve-se verificar os seguintes pressupostos:a presença de dados discrepantes;

se os erros são independentes;se a variância é constante;se a distribuição dos erros é normal.









Deve-se verificar os seguintes pressupostos:a presença de dados discrepantes;se os erros são independentes;

se a variância é constante;se a distribuição dos erros é normal.









Deve-se verificar os seguintes pressupostos:a presença de dados discrepantes;se os erros são independentes;se a variância é constante;

se a distribuição dos erros é normal.









Deve-se verificar os seguintes pressupostos:a presença de dados discrepantes;se os erros são independentes;se a variância é constante;se a distribuição dos erros é normal.






Dados Discrepantes

Estimar os resíduos padronizados:

zi =ε̂ij√

QMRSe a normalidade dos dados é satisfeita então em média99,73% dos pontos devem cair entre −3 e 3. Deste modopontos fora desse intervlo devem ser considerados suspeitos.

Recomendação: Fazer a análise com os dados discrepantes esem os dados discrepantes. Se as análises chegarem amesma conclusão é razoável manter os dados discrepantescaso contrário, convém reavaliar os pressupostos do modelo etalvez seja necessário utilizar outro procedimento de análise,por exemplo um procedimento não paramétrico,Kruskall-Wallis. (Fazer leitura das páginas 116 a 118 e fazer oexemplo 3-12 no R)






Dados Discrepantes

Estimar os resíduos padronizados:

zi =ε̂ij√

QMRSe a normalidade dos dados é satisfeita então em média99,73% dos pontos devem cair entre −3 e 3. Deste modopontos fora desse intervlo devem ser considerados suspeitos.Recomendação: Fazer a análise com os dados discrepantes esem os dados discrepantes. Se as análises chegarem amesma conclusão é razoável manter os dados discrepantescaso contrário, convém reavaliar os pressupostos do modelo etalvez seja necessário utilizar outro procedimento de análise,por exemplo um procedimento não paramétrico,Kruskall-Wallis. (Fazer leitura das páginas 116 a 118 e fazer oexemplo 3-12 no R)







Normalidade: Pode-se fazer o gráfico “q-qplot” dosresíduos pardronizados. Pode-se também aplicar testespara verificar a normalidade, por exemplo Shapiro-Wilks.

Independencia: Fazer o gráfico dos resíduospardronizados. Pode-se aplicar o teste de Durbin-Watson.Heterocedasticidade: Uma regra empírica é a razãoentre a maior variância e a menor não exceder a 3.Pode-se tambem fazer testes, por exemplo:Hartley(deve-se ter um número igual de réplicas em cadatratamento), Bartlett(pode-se ter número diferentes deréplicas, entretanto é sensível a não normalidade dosdados).







Normalidade: Pode-se fazer o gráfico “q-qplot” dosresíduos pardronizados. Pode-se também aplicar testespara verificar a normalidade, por exemplo Shapiro-Wilks.Independencia: Fazer o gráfico dos resíduospardronizados. Pode-se aplicar o teste de Durbin-Watson.

Heterocedasticidade: Uma regra empírica é a razãoentre a maior variância e a menor não exceder a 3.Pode-se tambem fazer testes, por exemplo:Hartley(deve-se ter um número igual de réplicas em cadatratamento), Bartlett(pode-se ter número diferentes deréplicas, entretanto é sensível a não normalidade dosdados).







Normalidade: Pode-se fazer o gráfico “q-qplot” dosresíduos pardronizados. Pode-se também aplicar testespara verificar a normalidade, por exemplo Shapiro-Wilks.Independencia: Fazer o gráfico dos resíduospardronizados. Pode-se aplicar o teste de Durbin-Watson.Heterocedasticidade: Uma regra empírica é a razãoentre a maior variância e a menor não exceder a 3.Pode-se tambem fazer testes, por exemplo:Hartley(deve-se ter um número igual de réplicas em cadatratamento), Bartlett(pode-se ter número diferentes deréplicas, entretanto é sensível a não normalidade dosdados).






Exemplo - Variâncias diferentes

RéplicasTratamentos 1 2 3 4 5 6

1 2370 1687 2592 2283 2910 30202 1282 1527 871 1025 825 9203 562 321 636 317 485 8424 173 127 132 150 129 2275 193 71 82 62 96 44

Dados Exemplo







0 500 1000 1500 2000 2500

−500

050

0

Fitted values

Resid

uals

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●●●●

●●

●●●●●

Residuals vs Fitted

2

68

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ● ●●

●●

●●●●

●

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

Theoretical Quantiles

Stan

dard

ized

resid

uals

Normal Q−Q

2

68

0 500 1000 1500 2000 2500

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted values

Stan

dard

ized

resid

uals

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●●

●

●

●

●

●●

●

●

●

Scale−Location2

68

−3−2

−10

12

Factor Level Combinations

Stan

dard

ized

resid

uals

5 4 3 2 1Tratamentos :

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●●●●

● ●

●●●●●

Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels

2

68







Shapiro-Wilk normality testW = 0,8961 p-value = 0,006742

Bartlett test of homogeneity of variancesBartlett’s K-squared = 29,586 df = 4 p-value = 5,942× 10−06

Solução: Fazer a transformação:

Y =

{Xλ−1λ se λ 6= 0

ln(X ) se λ = 0.







−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−230

−220

−210

−200

λλ

log−L

ikelih

ood

95%

λλ̂ == 0.19

Nesse caso pode-se usar a transformação Y = ln(X ).







Shapiro-Wilk normality testW = 0,9764 p-value = 0,724

Bartlett test of homogeneity of variancesBartlett’s K-squared = 5,5731 df = 4 p-value = 0,2334

ANOVACausas de variação GL SQ QM F calculado

Tratamentos 4 45,914 11,479 Fcal = 103,93Resíduo 25 2,761 0,110

Total 29 48,675 p-valor<0,00001






Comparação das Médias

Após verificar que as médias a próxima pergunta é: Quaismédias são diferentes?Os procedimentos para responder a esta pergunta podem serdividos em três grupos:

Comparação de médias duas a duas;Comparação das médias dos grupos tratados(casos) coma média do controle;Comparações multiplas.








Comparação de médias duas a duas;

Comparação das médias dos grupos tratados(casos) coma média do controle;Comparações multiplas.








Comparação de médias duas a duas;Comparação das médias dos grupos tratados(casos) coma média do controle;

Comparações multiplas.








Comparação de médias duas a duas;Comparação das médias dos grupos tratados(casos) coma média do controle;Comparações multiplas.






Contrastes

Definição

Um contraste é uma combinação linear de paramêtros daforma,

Γ =n∑

i=1

ciµi em quen∑

i=1

ci = 0.

Deste modo no exemplo anterior se desejarmos comparar o2o. e o 4o. tratamentos, teremos em termos de constrastes{

H0 :∑5

i=1 ciµi = 0H1 :

∑5i=1 ciµi 6= 0

em que c1 = c3 = c5 = 0, c2 = 1 e c4 = −1.Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos





Testes de Hipóteses usando contrastes

Se estivermos interessados em realizar um teste de hipóteseenvolvendo um determinado contraste, isto pode ser feito deduas maneiras básicas: uma usando o teste t e outra usando oteste F. O primeiro passo é escrever o contraste de interesseem termos das médias dos tratamentos, assim

C =k∑

i=1

ciYi.

A variância de um contraste é dada por,

Var(C) =k∑

i=1

Var(

ciYi.

)=

k∑i=1

c2i Var

(Yi.

)=σ2

r

k∑i=1

c2i .






Testes de Hipóteses usando contrastes

Note que σ2 é a variância do erro que de um modo geral édesconhecido, assim utilizamos sua estimativa que é dada porQMR = SQR

n−k , assim,

V̂ar(C) =QMR

r

k∑i=1

c2i

portanto a estatística do teste t é dada por,

t0 =

∑ki=1 ciYi.√

QMRr∑k

i=1 c2i

∼ tn−k

Deste modo, se |t0| > tα2 ,n−k então rejeita-se a hipótese

H0 :∑k

i=1 ciµi = 0.Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos






A outra maneira é usando o teste F da seguinte maneira.

t20 = F0 =

(∑ki=1 ciYi.

)2

QMRr∑k

i=1 c2i

Deste modo, se F0 > Fα,1,n−k então rejeita-se a hipóteseH0 :

∑ki=1 ciµi = 0.






Contrastes Ortogonais

Definição

Dois contrastes com coeficientes ci e di são ortogonais se,

k∑i=1

cidi = 0.

Para k tratamentos, o conjunto de k − 1 contrastes ortogonaisparticiona a soma dos quadrados dos tratamentos(SQTr) emk − 1 componentes independentes com um grau de liberdadecada. Deste modo, os testes feitos usando contrastesortogonais são independentes.






Construindo Contrastes Ortogonais

Existem muitas maneiras de escolher os coeficientes doscontrastes ortogonais. Usualemente, algo na natureza doexperimento irá sugerir quais as comparações deinteresse;

De um modo geral o método de contrastes é útil quandotemos comparações pré-planejadas, isto é, os contrastessão especificados antes de fazer o experimento eexaminar os dados. Este procedimento(comparaçõespré-planejada) é importante pois caso contrário oexperimentador tenderá a escolher os contrastes queapresentam a maior diferença entre as médias, aí nestecaso o erro tipo I será inflacionado.






Construindo Contrastes Ortogonais

Existem muitas maneiras de escolher os coeficientes doscontrastes ortogonais. Usualemente, algo na natureza doexperimento irá sugerir quais as comparações deinteresse;De um modo geral o método de contrastes é útil quandotemos comparações pré-planejadas, isto é, os contrastessão especificados antes de fazer o experimento eexaminar os dados. Este procedimento(comparaçõespré-planejada) é importante pois caso contrário oexperimentador tenderá a escolher os contrastes queapresentam a maior diferença entre as médias, aí nestecaso o erro tipo I será inflacionado.






Exemplo - Experimento da Resistência à Tração

Uma engenheira está interessada em saber se a porcentagemde algodão em uma fibra sintética afeta a resistência à tração.

RéplicasTratamentos 1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11

Dados Exemplo 3-1 Montgomery - pg 70






ANOVA

Note que para um contraste qualquer temos que:

F0 =

(∑ki=1 ciYi.

)2

QMRr∑k

i=1 c2i

=

rPki=1 c2

i

(∑ki=1 ciYi.

)2

QMR=

SQCi2−1SQRn−k

Logo,

SQCi =r∑k

i=1 c2i

( k∑i=1

ciYi.

)2.






ANOVA

Considere o seguinte conjunto de contrastes ortogonais:C1 = (0,0,0,1,−1), C2 = (1,0,1,−1,−1)

C3 = (1,0,−1,0,0), C4 = (−1,4,−1,−1,−1)

Causas de variação GL SQ QM Fcal

Tratamentos 4 475,76 118,94 14,76C1 : µ4 = µ5 1 291,60 291,60 36,18C2 : µ1 + µ3 = µ4 + µ5 1 31,25 31,25 3,88C3 : µ1 = µ3 1 152,10 152,10 18,87C4 : 4µ2 = µ1 + µ3 + µ4 + µ5 1 0,81 0,81 0,10Resíduo 20 161,20 8,06Total 24 636,96






Teste de Tukey

Estatística do teste:

qcal =Y max − Y min√

QMR2

(1

rmax+ 1

rmin

) ∼ qk ,n−k

Quando r1 = · · · = rk = r tem-se que, se∣∣∣Y i. − Y j.

∣∣∣ ≥ qα,k ,n−k

√QMR

rentão rejeita-se a hipótese H0.

Observação

No teste de Tukey o nível de significancia do teste éexatamente α quando o número de réplicas é igual em todosos tratamentos, caso contrário é no máximo α.






Teste de Tukey

Tratamentos Diferença Lim. Inf. Lim. Sup. P-valor2-1 5.6 0.227 10.973 0.03853-1 7.8 2.427 13.173 0.00264-1 11.8 6.427 17.173 0.00005-1 1.0 −4.373 6.373 0.97983-2 2.2 −3.173 7.573 0.73724-2 6.2 0.827 11.573 0.01895-2 −4.6 −9.973 0.773 0.11634-3 4.0 −1.373 9.373 0.21015-3 −6.8 −12.173 −1.427 0.00915-4 −10.8 −16.173 −5.427 0.0001

A diferença mínima significante é ∆ = 5,37.Ulisses U. dos Anjos Planejamento de Experimentos





Teste de Dunnett

Estatística do teste:

dcal =Y i. − Y c√

QMR(

1ri

+ 1rc

) ∼ dk−1,n−k

Quando r1 = · · · = rk = r tem-se que, se∣∣∣Y i. − Y j.

∣∣∣ ≥ dα,k−1,n−k

√2×QMR

r

então rejeita-se a hipótese H0.






Teste de Dunnett

Tratamentos Diferença5-1 1.05-2 −4.65-3 −6.85-4 −10.8

A diferença mínima significante é ∆ = 4,76.






Teste de Scheffé

Quando não se sabe a priori quais são os contrastes deinteresse, pode-se fazer uma análise exploratória dos dadosatráves do teste de Scheffé. No método proposto por Scheffé oerro tipo I é no máximo α para qualquer uma das possíveiscomparações. Deste modo, para um contraste Γj tem-se queestatística do teste é dada por

F0j =

Cj − E(Cj)√(k − 1)V̂ar(Cj)

2

=

(∑ki=1 ciYi.

)2

(k − 1)QMRr∑k

i=1 c2i

∼ Fα,k−1,n−k






Teste de Scheffé

Margem de erro do teste:

Ej =

√√√√(k − 1)Fα,k−1,n−kQMR

r

k∑i=1

c2i

Deste modo, o valor crítico do teste é Ccritj = Γj + Ej = Ej .Assim, se F0j > Fα,k−1,n−k ou |Cj | > Ej rejeita-se a hipóteseH0 : Γj =

∑ki=1 ciµi = 0

Observação

O procedimento de Scheffé pode ser usado para construirintervalos de confiança simultaneos, Cj − Ej ≤ Γj ≤ Cj + Ej , emque confiança simultanea de todos os intervalos é no mínimo,1− α.






Tamanho de Amostra

Uma abordagem consiste em selecionar um tamanho deamostra tal que, se a diferença entre quaisquer duasmédias exceder um valor especificado D a hipótese nuladeve ser rejeitada. Deste modo, pode-se provar que ovalor mínimo de Φ é dado por,

Φ2 =r × D2

2k ×QMR

Outra abordagem é escolhermos um percentual P para oaumento do desvio padrão de uma observação além doqual desejamos rejeitar a hipótese H0, isto é equivalente a,

Φ =√

r√

(1 + 0,01P)2 − 1






Experimento com Número de Réplicas Diferentes

SQTr é a soma de quadrados de tratamentos,

SQTr =k∑

i=1

ri∑j=1

(Y i. − Y ..

)2


SQT =k∑

i=1

ri∑j=1

(Yij − Y ..

)2


SQR =k∑

i=1

ri∑j=1

(Yij − Y i.

)2





Modelos de Efeitos Fixos e Modelos de EfeitosAleatórios

O modelo de ANOVA apresentado,

Yij = µ+ τi + εij comk∑

i=1

τi = 0

é um modelo de efeitos fixos, pois os níveis do fatorescolhidos para o estudo são os únicos consideradosrelevantes pelo investigador;

Em algums problemas no entanto, os níveis utilizados noestudo são selecionados aleatoriamente de umapopulação de níveis possíveis, neste caso diz-se que ofator é aleatório em vez de fixo.






O modelo de ANOVA apresentado,

Yij = µ+ τi + εij comk∑

i=1

τi = 0

é um modelo de efeitos fixos, pois os níveis do fatorescolhidos para o estudo são os únicos consideradosrelevantes pelo investigador;Em algums problemas no entanto, os níveis utilizados noestudo são selecionados aleatoriamente de umapopulação de níveis possíveis, neste caso diz-se que ofator é aleatório em vez de fixo.






No Modelo de Efeito Aleatório,

Yij = µ+ τi + εij

tem-se que τi e εij são variáveis aleatórias independentesentre si, com τi ∼ NID(0, σ2

τ ) e εij ∼ NID(0, σ2);

A condição E(τi) = 0 é similar à condição∑k

i=1 τi = 0, elaestabelece que o efeito esperado do i-esimo nível comoum desvio de µ é zero;





Exemplos

Para estudar o efeito de diferentes operadores, sobre otempo de execução de uma tarefa, em uma determinadamáquina, é selecionado um amostra de cinco operadoresde um grupo de N operadores possíveis.

Para estudar o efeito dos trilhos usados nas estradas deferro, sobre o tempo de percurso de certo tipo de ondaresultante da pressão longitudinal dos trilhos, foramselecionados aleatoriamente seis trilhos e feitas trêsmedições;





Exemplos

Para estudar o efeito de diferentes operadores, sobre otempo de execução de uma tarefa, em uma determinadamáquina, é selecionado um amostra de cinco operadoresde um grupo de N operadores possíveis.Para estudar o efeito dos trilhos usados nas estradas deferro, sobre o tempo de percurso de certo tipo de ondaresultante da pressão longitudinal dos trilhos, foramselecionados aleatoriamente seis trilhos e feitas trêsmedições;






É o planejamento adequado quando o pesquisador dispõeapenas de pequenos grupos de unidades similares.

ExemploUm agrônomo deseja comparar quatro variedades de milhocom o objetivo de verficar se possuem em média a mesmaprodutividade. O agrônomo possui uma grande área pararealizar o experimento entretanto ele sabe que o solo não éhomegênio em toda a área. Logo, um experimentointeiramente casualizado não é possível. Desta maneira, dividea área total em áreas menores homogêneas, os blocos. Assim,dentro de cada bloco ele demarca quatro parcelas, uma paracada variedade de milho que deseja comparar.






ExemploUm médico deseja comparar quatro drogas com o objetivo deverficar se possuem em média o mesmo efeito na redução desinais e sintomas da artrite. O médico dispõe de um grandegrupo de pacientes de onde poderá selecionar uma amostra.Entretanto, há uma suspeita que a idade do paciente é um fatorde variação de sinais e sintomas. Desta maneira, dividi-se ospacientes por faixa etária(estratos, os blocos). Assim, dentrode cada bloco ou estrato, sorteia-se quatro pacientes oumultiplo de quatro(réplicas) um para cada droga a comparar.





Tabela da ANOVA

SQTr é a soma de quadrados de tratamentos,

SQTr =k∑

i=1

r∑j=1

(Y i. − Y ..

)2


SQT =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − Y ..

)2


SQR =k∑

i=1

r∑j=1

(Yij − Y i.

)2





Modelo


planejamento de experimentosulisses/disciplinas/planejamento_de_experimento.pdf · experimentos...

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