planeamento e gestão de rotas de distribuição · mestrado em matemática aplicada à economia e...

Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão - Logística e Gestão de Operações 1º Ano 2º Semestre

Módulo de Logística Docente : Maria da Conceição da Fonseca

Planeamento e Gestão de Rotas de Distribuição

O transporte de mercadorias tem um papel fundamental numa rede logística moderna. É essencial transportar matérias primas dos fornecedores para as fábricas, produtos semi-acabados entre as fábricas e produtos acabados para os clientes ou retalhistas

Fornecedores internacionais

Fornecedores nacionais

Ret

alh

ista

s R

etal

his

tas

Clie

nte

s

1



Um eficiente sistema de transportes é essencial para as empresas e para as economias nacionais uma vez que permite uma maior distância entre os locais de produção e os mercados.

A possibilidade de poder existir uma grande distância entre os locais de produção e os mercados tem como consequências:

Um maior nível de competição

Economias de escala Maior flexibilidade na localização das unidades de produção

Preços mais reduzidos

2



Os sistemas de transporte são complexos e requerem consideráveis recursos humanos, financeiros e materiais. Os custos de transporte representam uma parcela muito significativa dos custos logísticos das empresas (muitas vezes um terço ou dois terços dos custos globais).

Intervenientes Expedidores

Produtores Intermediários

Empresas Transportadoras

Caminhos de Ferro Transporte Rodoviário Transporte Marítimo Transporte Aéreo

Governos

Constroem e fazem a gestão de várias infraestruturas dos transportes tais como os serviços dos caminhos de ferro, estradas, portos e aeroportos e regulam vários aspetos da indústria.

3



Transporte de Longo Curso versus Transporte de Pequeno Curso

Transporte de Longo Curso

As mercadorias são transportadas para longas distância, entre terminais ou entre fábricas e armazéns. As mercadorias são transportadas por camião, comboio ou navio ou uma combinação de alguns destes meios.

Transporte de Pequeno Curso

As mercadorias são transportadas geralmente por camião entre os pontos de recolha e entrega situados na mesma área (por exemplo entre um armazém ou um terminal e um conjunto de clientes)

4



Factores relevantes para a escolha de um serviço de transportes

Custo O custo é geralmente um dos factores mais importantes na seleção de um serviço de transportes. Custos mais relevantes:

Custos de gestão da frota Custos de transporte Custo de aluguer de veículos Custos de carga e descarga

Flexibilidade Aos locais onde os produtos podem ser recolhidos e entregues À versatilidade relativamente aos produtos que podem ser transportados À disponibilidade quanto aos horários a praticar

Tempo de transporte e variabilidade

Perdas e danos

5



Modos de transporte

Transporte Rodoviário É o modo de transporte mais utilizado na União Europeia.

Custos fixos reduzidos e custos variáveis elevados. Permite algumas economias de escala mas de magnitude reduzida. Competitivo em percurso de média e curta distância. Grande flexibilidade quanto aos locais de recolha e entrega dos produtos.

(é o único que permite um serviço ponto a ponto) Grande versatilidade quanto aos produtos que podem ser transportados. Grande flexibilidade quanto aos horários de recolha e entrega. Variabilidade baixa no tempo de transporte. Nível de perdas e danos baixo.

6



Transporte Ferroviário

Apenas permite um serviço terminal a terminal. É geralmente complementado pelo modo rodoviário. A sua utilização depende da existência de linhas de caminho de ferrro pelo que é mais intensamente usado em países com uma boa rede ferroviária

Custos fixos elevados e custos variáveis relativamente baixos. Permite economias de escala significativas com a distância e com a

quantidade transportada (competitivo para grandes distâncias e quantidades elevadas)

Limitada flexibilidade quanto aos locais de recolha e entrega dos produtos Grande versatilidade quanto aos produtos que podem ser transportados Grande flexibilidade quanto aos horários de recolha e entrega Variabilidade baixa no tempo de transporte Nível de perdas e danos elevado (É o que apresenta um maior volume de perdas e danos)

7



Transporte Marítimo

Apenas permite um serviço terminal a terminal. É geralmente complementado por outros modos de transporte. A sua utilização depende da existência de vias navegáveis.

Custos fixos elevados e custos variáveis relativamente baixos. Permite economias de escala significativas com a distância e com a

quantidade transportada (é o transporte que geralmente apresenta custos mais baixos por distância

e peso transportado) Limitada flexibilidade quanto aos locais de recolha e entrega dos produtos Grande versatilidade quanto aos produtos que podem ser transportados A disponibilidade do serviço é limitada Grande variabilidade no tempo de transporte Nível de perdas e danos baixo (deve-se em grande parte ao facto de o transporte ser usado para bens de baixo valor. No transporte de bens de elevado valor susceptíveis de serem danificados as perdas e danos são significativos)

8



Transporte Aéreo

É um serviço terminal a terminal caracterizado pela sua alta velocidade e elevado custo. Está geralmente associado a transporte de produtos de valor elevado ou situações em ocorreu um atraso na entrega do produto ao cliente.

Custos fixos e variáveis elevados. Permite economias de escala com a distância Limitada flexibilidade quanto aos locais de recolha e entrega dos produtos Limitada versatilidade quanto aos produtos que podem ser transportados e às suas dimensões A disponibilidade do serviço depende fortemente dos operadores que actuam em cada região. Boa frequência entre as principais cidades

Baixa variabilidade no tempo de transporte Reduzido volume de perdas e danos

9



Transporte por pipeline

É um serviço terminal a terminal baseado na utilização de condutas para o transporte de produtos específicos tais como gás natural, petróleo, etc.

Custos fixos elevados e custos variáveis com menor peso Permite economias de escala com o volume transportado (em geral, a construção das infra-estruturas só é economicamente viável para o transporte de quantidades elevadas) Reduzida flexibilidade quanto aos locais de recolha e entrega dos produtos (limitados à existência de terminais) Pouco versátil (não pode ser usado para a maioria dos produtos) A disponibilidade do serviço é elevada

Baixa variabilidade no tempo de transporte Baixo volume de perdas e danos

10



Serviços intermodais A maioria dos meios de transporte apenas permite um serviço terminal a terminal. Em geral, é necessário um modo adicional de transporte entre os terminais e a origem e o destino. A combinação de modos de transporte está facilitada pela utilização de contentores com medidas standard.

As combinações mais frequentes são: Modo Ferroviário com modo Rodoviário Alguns sistemas facilitam a combinação destes modos permitindo nomeadamente

que a transição dos produtos entre os modos seja feita sem tempos de mudança e custos de manuseamento. Exemplos : trailer on flat car (semi-reboque de um veículo rodoviário transportado pelo modo ferroviário), roadrailers (semi-reboques preparados para circular em estrada e linhas de caminho de ferro, podendo usar rodas de borracha ou de ferro)

Modo Rodoviário e Marítimo

Utiliza-se muitas vezes o sistema roll-on-roll-off (os veículos rodoviários são transportados juntamente com a respectiva carga em navios de grande porte.

11



Modos de transporte

Resumo

Rodoviário Transporta a maioria dos produtos manufacturados

A maior vantagem é a flexibilidade

Ferroviário

Aéreo

Marítimo

Pipeline

Transporta grandes cargas Pouca flexibilidade

Veloz e flexível para cargas leves

Custos elevados

Tipicamente usado para grandes cargas e/ou cargas de baixo valor.

Usado quando o custo de transporte é mais importante que a rapidez

Usado para transportar petróleo, gás e outros produtos químicos

12



Definição de Rotas de Distribuição

O transporte de pequeno curso está relacionado com a recolha e distribuição de mercadorias numa área relativamente pequena utilizando uma frota de camiões. Geralmente os veículos partem de um único depósito e percorrem as rotas estabelecidas muitas vezes num único turno de trabalho que pode incluir várias entregas e recolhas. Uma rota define o percurso a efectuar por um veículo para percorrer os clientes que deve servir.

Exemplos: • Distribuição de mercadorias dos armazéns para os retalhistas ou clientes finais • Recolha de lixo • Limpeza das ruas • Distribuição do correio • ...

Fábrica

Armazém Armazém

13


Módulo de Logística Docente : Maria da Conceição da Fonseca 14

A rede de estradas usada para o transporte de mercadorias é geralmente descrita por um grafo cujos arcos representam troços de estradas e os vértices cruzamentos de estradas ou depósitos e clientes. A cada arco está associado um custo.

Às vezes não é possível satisfazer a procura de todos os clientes. Nestes casos pode reduzir-se a quantidade entregue ou recolhida em cada cliente ou não servir de todo um conjunto de clientes. Nestas situações pode associar-se a cada cliente uma prioridade ou uma penalização pela parcial ou total falta de serviço.

Principais características de cada cliente:

• vértice no grafo das estradas onde se localiza

• procura , que pode ser de diferentes tipos , que deve ser entregue ou recolhida

• períodos do dia (time windows) em que a entrega ou recolha é feita

• tempo necessário para a carga e/ou descarga das mercadorias que pode depender do tipo de veículo usado

• conjunto de tipos de veículos que o podem servir.



O transporte das mercadorias é feito por uma frota de veículos cuja composição e tamanho é fixa ao pode ser adaptada de modo a satisfazer os pedidos dos clientes.

Características relacionadas com os veículos :

• depósito de partida do veículo e possibilidade de terminar o serviço num depósito diferente daquele de que partiu

• capacidade do veículo expressa como o máximo peso, ou volume, ou número de paletes que o veículo pode transportar

• possibilidade de divisão do veículo em compartimentos, cada caracterizada pela capacidade e pelo tipo de mercadorias que pode transportar

• Meios disponíveis para a carga e descarga da mercadoria

• Estradas que o veículo pode utilizar

• Custos associados à utilização do veículo

As rotas dos veículos começam e terminam em um ou mais depósitos. Cada depósito é caracterizado pelo número e tipo dos veículos a ele associados e pela quantidade de mercadorias que podem manusear. Em algumas aplicações reais os clientes já estão agrupados e afetos a determinado depósito. Assim os veículos têm que regressar ao depósito de partida.



Os condutores dos veículos devem obedecer a uma série de restrições impostas pelos sindicatos e pelas companhias (por exemplo: períodos de trabalho durante o dia; o número e a duração dos intervalos durante o serviço; duração máxima dos períodos de condução; horas extraordinárias)

As rotas devem satisfazer um conjunto de regras operacionais que dependem do tipo de mercadorias transportadas, da qualidade do nível de serviço e das características dos clientes e dos veículos

Algumas regras operacionais:

• em cada rota a carga associada ao veículo não pode exceder a sua capacidade

• os clientes de uma rota podem requerer só a entrega de mercadorias, só a recolha de mercadorias ou ambas

• os clientes podem ser servidos apenas nas suas janelas temporais (time windows) e nos períodos de trabalho dos condutores associados aos veículos que os servem



• restrições de precedência na ordem em que os clientes são visitados numa rota. Um tipo de restrições de precedência requer que determinado cliente pertença à mesma rota que um determinado subconjunto de clientes e que seja servido antes (ou depois) de todos os clientes do subconjunto (caso dos problemas de pickup and delivery em que nas rotas se faz a recolha e a entrega de mercadorias. Outro tipo de precedências impõe que clientes de diferentes tipos são servidos pela mesma rota sendo a ordem por que são visitados fixa. Tem-se neste caso o problema com backhauls, onde existe recolha e entrega nas rotas mas as dificuldades com a carga e descarga dos veículos e a dificuldade em rearranjar a carga leva a que primeiro são feitas as entregas e depois as recolhas

Algumas regras operacionais (continuação)

Fornecedor (onde se vai fazer uma recolha)

Cliente (onde se vai fazer uma entrega)

Problema com backhauls



Vários e algumas vezes conflituosos objetivos podem ser considerados nos problemas de determinação de rotas.

Objetivos mais habituais

• Minimização dos custos globais de transporte, dependentes da distância total percorrida (ou do tempo total de viagem) e dos custos fixos associados com os veículos usados (e com os correspondentes condutores)

• Minimização do número de veículos (ou condutores) necessários para servir todos os clientes

• Rotas equilibradas em termos de tempo de viagem e carga dos veículos

• Minimização das penalidades associadas com o serviço parcial dos clientes



Rotas para um único veículo O problema da definição de uma rota para um veículo designa-se de Problema do Caixeiro Viajante (TSP). Neste problema assume-se que o veículo tem capacidade suficiente para satisfazer um conjunto de clientes que deve servir partindo de um depósito e voltando ao depósito de partida no fim. Pretende determinar-se a ordem pela qual os diversos clientes são servidos pelo veículo de modo a minimizar a distância total percorrida

Exemplo Uma cooperativa de Setúbal recebe produtos hortícolas de vários agricultores da região. Todos os dias um camião parte do armazém da cooperativa e vai abastecer de produtos frescos 6 restaurantes da zona. A matriz das distâncias entre o armazém e os restaurantes é a seguinte:

0 1 2 3 4 5 6

0 - 15 10 17 23 27 22

1 15 - 17 29 32 15 21

2 10 17 - 13 17 20 13

3 17 29 13 - 17 27 16

4 23 32 17 17 - 21 20

5 27 15 20 27 21 - 19

6 22 21 13 16 20 19 -

Designe-se por 0 o armazém da cooperativa



Pretende determinar-se a ordem pela qual o camião deve fazer as entregas nos restaurantes de modo a minimizar a distância total percorrida.

Uma solução admissível

15

17

13

17

19

22

21

1

4

3

2

5 6

armazém

Distância total 15+17+13+17+21+19+22= 124

A solução deste problema é um circuito que começa no armazém, passa por todos os restaurantes e volta ao armazém



Heurísticas para o TSP

Considere-se um grafo com (n+1) vértices que representam os n clientes e o depósito de onde parte o veículo e para onde regressa depois de visitar os clientes.

Heurística do vizinho mais próximo Escolher para a solução o vértice 0 que representa o depósito.

Sendo a solução corrente, S, constituida pelos vértices escolher para a solução a cidade que minimiza (distância de a )

Depois de todos os vértices pertencerem à solução , para que esta seja um circuito adicionar o arco

1 20, , ,..., kv v v

j S

,0nv

kv jd kv

j



Heurística da inserção de menor custo Começar com o circuito onde onde representa a distância ( custo ou tempo de viagem) entre i e j Para cada cidade j não pertencente ao circuito parcial já constituído calcular qual o menor custo de inserção no circuito, isto é, calcular

Escolher para inserir no circuito o vértice a que corresponde menor custo de inserção

Quando todos os vértices pertencerem ao circuito termina. O circuito obtido corresponde à rota a efectuar pelo veículo

* * * *( , ), ( , )i j j i * *, 1,2,...min iji j i j n

d d

ijd

( , )min lj jk kl

k l circuitod d d



Exemplo Uma fábrica de laticíneos no distrito de Castelo Branco faz todos os dias a recolha de leite em 4 depósitos da zona. O camião parte da fábrica, recolhe o leite nos depósitos e volta para a fábrica. A matriz com as distâncias (em Km) entre a fábrica (designada pelo vértice 1) e os depósitos é a seguinte:

1 2 3 4 5

1 - 10 22 12 10

2 10 - 12 8 13

3 22 12 - 15 15

4 12 8 15 - 9

5 10 13 15 9 -

Determinar a rota para o camião que recolhe o leite em todos os depósitos minimizando a distância total percorrida. Obtenha soluções admissíveis utilizando as 2 heurísticas.



Heurística do vizinho mais próximo

- Escolher para a solução o vértice 1 que representa a fábrica de onde parte e onde chega o camião . Seja C={vértices na solução} A={arestas na solução} dist= distância percorrida Neste caso tem-se C={1} A={} e dist=0

- Determinar

- Determinar

*

*

11

*

tal que min min 10,22,12,10

Assim 2

C= 1,2

A= (1,2)

dist=10

jj j Cj d d

j

*

*

22

*

tal que min min 12,8,13

Assim 4

C= 1,2,4

A= (1,2), (2,4)

dist=10+8=18

jj j Cj d d

j

1 10

10 2

1

1

2

2 4 8



-Determinar

- Ainda falta inserir o vértice 3.

- todos os vértices estão na solução. Para ter um circuito adicionar o arco

*

*

44

*

tal que min min 15,9

Assim 5

C= 1,2,4,5

A= (1,2), (2,4),(4,5)

dist=18+9=27

jj j Cj d d

j

*Assim 3

C= 1,2,4,5,3

A= (1,2), (2,4),(4,5), (5,3)

dist=27+15=42

j

(3,1). Tem-se o circuito A= (1,2), (2,4),(4,5), (5,3),(3,1)

em que dist=42+22=64

10 1 2

8

4

5 9

3

10 1 2

8

4

5 9

15

3

10 1 2

8

4

5 9 15

22



Heurística de inserção de menor custo

-Calcular

-

Como há empate pode escolher-se ou . Seja e inserido entre 2 e 4, isto é substitui-se (2,4) por (2,1) e (1,4).

* *, 1,2,...

* *

min min 10,22,12,8,13,15,9 8

, (2,4)

(2,4), (4,2)

2 8 16

iji j i j nd d

i j

A

dist

2 8

4 8

21 14 24 41 12 42

1, (2,4) 1, (4,2)

21 14 24 41 12 42

3 3

21 14 24 41 12 42

5 5

Para 1,3,5

min ,

,

,

min 10 1

j arco j arco

j j

j j

j

d d d d d d

d d d d d d

d d d d d d

1 53

2 8,12 15 8,13 9 8 min 14,19,14 14j jj

3 15

2 8

4 8 12

* 1j * 5j * 1j



Tem-se -

(2,1),(1,4),(4,2)

16 14 30

A

dist

23 31 21 13 34 14 43 32 42

3, (2,1) 3, (1,4) 3, (4,2)

25 51 21 15 54 14 45 52 42

5, (2,1) 5, (1,4)

Para 3,5

min , ,

, ,

j arco j arco j arco

j arco j arco j

j

d d d d d d d d d

d d d d d d d d d

5, (4,2)

3 53 3 5 5

min 12 22 10,22 15 12,13 12 8

13 10 10,10 9 12,9 13 8

min 24,25,17,13, 7 ,14 7

arco

j jj j j j

Escolhe-se inserido entre 1 e 4, isto é substitui-se (1,4) por (1,5) e (5,4). * 5j

5

9

10

1

10

2 8

4

12



Tem-se -Falta apenas inserir o vértice 3

(2,1), (1,5), (5,4), (4,2)

30 7 37

A

dist

5

9

10

1

10

2 8

4

12 3

15

23 31 21 13 35 15 53 34 54 43 32 42

3, (2,1) 3, (1,5) 3, (5,4) 3, (4,2)

3 33

min , , ,

min 12 22 10,22 15 10,15 15 9,15 12 8

min 24,27, 21,1

j arco j arco j arco j arco

j jj

d d d d d d d d d d d d

39 19

j

Tem-se inserido entre 4 e 2, isto é substitui-se (4,2) por (4,3) e (3,2). * 3j

(2,1), (1,5), (5,4), (4,3), (3,2)

37 19 56

A

dist

Todos os vértices pertencem à solução. Esta é a solução admissível obtida pela Heurística.

5

9

10 1

10

2

4

12 3

15



Heurística 2-optimal

Heurística 2-optimal Passo 1. Determinar um circuito t, isto é , uma solução admissível para o TSP Passo 2. Determinar N2(t) Passo 3. Determinar o circuito q tal que:

- q é distinto de t - q é o circuito de custo mínimo em N2(t)

Passo 4. Se custo(q) <custo(t) Fazer t=q e volta ao Passo 2 caso contrário Termina

É uma heurística de melhoramento. Dada uma solução admissível fazem-se trocas com o objetivo de obter uma solução de melhor valor. Seja t um circuito N2(t)= {p : p é um circuito e difere de t no máximo em 2 arestas }



Exemplo

Considere o seguinte circuito, solução admissível de um problema de TSP

2 3 4 5

1 22 61 44 50

2 40 22 31

3 22 42

4 22

Considere a seguinte matriz de custos correspondente a um problema de determinação de uma rota para um único veículo (TSP). O vértice 1 representa o depósito e os restantes vértices 2,3,4,5 os 4 clientes a visitar

1 2

3

4

5

22

42 22

22

50

Custo total= 158



Retirar a aresta (1,2) e (4,3)

1 2

3

4

5

42

22

50

1 2

3

4

5

42

22

50

44

40

Custo=158- 22-22+44+40=198


1 2

3

4

5 22

22

50

Custo=158- 22-42+61+31=186

1 2

3

4

5 22

22

50

61 31




1 2

3

4

5

22

22

50

1 2

3

4

5

22

22

50 40

22

Custo=158- 22-42+40+22=156

1 2

3

4

5

22

42 22


1 2

3

4

5

22

42 22

44

31

Custo=158- 22-50+31+44=161




1 2

3

4

5

22

42 22

22

50

Custo=158- 22-50+22+61=169

1 2

3

4

5

22

42

22

22

61

Existe uma solução com custo inferior à solução dada. Vamos agora pesquisar na vizinhança N2(t) desta solução se existe uma solução melhor. Se não existir nenhuma solução melhor esta será uma solução 2-optimal. Neste caso, se pesquisarmos na vizinhança concluímos não existe uma solução com menor custo. Assim, a solução É 2-optimal.O seu custo total é 156

1 2

3

4

5

22

22

50 40

22



Rotas para múltiplos veículos

O problema de determinação de rotas considerando múltiplos veículos, designado na literatura por VRP (Vehicle Routing Problem) consiste em determinar as rotas para uma frota de veículos que servem um conjunto de clientes. A versão mais simples deste problema baseia-se nas seguintes hipóteses

Todos os clientes correspondem a entregas , a procura é determinística, conhecida e indivisível

Os veículos são idênticos e sediados num único depósito. Só existem restrições de capacidade nos veículos.

O objetivo é a minimização do custo total para servir todos os clientes.

Este problema consiste em determinar um conjunto de K circuitos, cada um correspondente a um veículo, com custo mínimo tal que:

Cada circuito começa e termina no depósito Cada cliente pertence exatamente a um circuito A soma da procura dos clientes que pertencem a um circuito não pode exceder

a capacidade do veículo



Existem várias variantes deste modelo básico para o VRP

• Podem considerar-se veículos diferentes, isto é com diferentes capacidades. • Custos fixos de utilização associados a cada veículo • A cada cliente está associado um tempo de serviço. Assim, a duração total de

cada rota (tempo de viagem + tempo de serviço) não pode exceder a duração de um turno de trabalho do motorista

VRP com time windows Neste problema, a cada cliente está associado um intervalo de tempo designado time window, durante o qual deve ter início o serviço no cliente. Em algumas variantes o cliente especifica apenas um time window enquanto que em outras a um cliente podem estar associados múltiplos time windows (por ex: um no período da manhã e outro no da tarde). O serviço prestado ao cliente deve começar no período de tempo estabelecido, e o veículo deve parar no cliente o tempo necessário para realizar o serviço. Se o veículo chega antes do início da janela temporal deve esperar até ao instante em que o serviço pode começar.

Além das restrições do modelo básico tem-se a restrição adicional: para cada cliente o serviço começa dentro da janela temporal e o veículo pára no

cliente o tempo necessário para efetuar o serviço



VRP com backhauls Neste problema o conjunto dos clientes está dividido em 2 subconjuntos. O primeiro subconjunto L contém os clientes que requerem uma determinada quantidade de produto (clientes onde se faz a entrega) o segundo subconjunto B contém os clientes onde é necessário recolher quantidades de um produto (clientes onde se faz a recolha). Neste tipo de problema existe uma restrição de precedência entre os clientes L e B. Assim, se numa rota existirem os dois tipos de cliente, todos os clientes de L devem ser servidos antes de qualquer cliente de B. Além das restrições do modelo básico tem-se : A procura total dos clientes de L e B não devem exceder separadamente a

capacidade do veículo Em cada rota todos os clientes de L ( clientes onde se faz a entrega) precedem os

clientes de B (onde se faz a recolha)



VRP com pickup and delivery Neste problema a cada cliente i estão associadas duas quantidades que representam respetivamente as quantidades de um produto a ser entregue e a ser recolhido no cliente. Em alguns casos considera-se associado a cada cliente apenas o valor . Para cada cliente i, denota o vértice que é a origem da entrega e denota o vértice que é o destino da recolha feita em i. Assume-se que em cada cliente a entrega é feita antes da recolha. Assim, a carga atual de cada veículo antes de chegar a determinado cliente é definido como a carga inicial menos todas as entregas já feitas mais todas as recolhas já efetuadas. Além das restrições do modelo básico tem-se : A carga atual do veículo ao longo do circuito tem que ser não negativa e nunca pode

exceder a capacidade do veículo. Para cada cliente i, o vértice quando é diferente do depósito deve ser visitado

pela mesma rota e antes do cliente i. Para cada cliente i, o vértice quando é diferente do depósito deve ser visitado

pela mesma rota e depois do cliente i.

e i id p

i id p iOiD

iO

iD



Determinação de Rotas ótimas para o VRP, modelo básico

Existem várias heurísticas para este problema. Uma das mais simples e que produz geralmente resultados satisfatórios é a heurística de Clarke e Wright. Nesta heurística define-se uma solução inicial em que cada veículo serve apenas um cliente, isto é a rota de cada veículo contém apenas um cliente.

Depósito

Cliente

Depois de definida a solução inicial vão sendo sucessivamente fundidas rotas até se obter a solução final. A fusão de rotas é baseada numa matriz com as poupanças obtidas.

Existem duas versões para a heurística de Clarke e Wright: a versão sequencial e a versão paralela. Na versão sequencial a junção de rotas é feita até se obter uma rota completa e só depois se passa para a construção da rota seguinte. Na versão paralela todas as rotas são construídas em simultâneo. Esta é a versão mais usada e estudos ao desempenho da heurística indicam que permite obter melhores resultados.



Solução inicial na Heurística de Clarke e Wright

Fusão de duas rotas

0

i j

Fusão da rota (0,i,0) com a rota (0,j,0). Verifica-se que a fusão destas 2 rotas leva à inclusão do arco (j , i) e à remoção dos arcos (0 , i) e (j , 0) Assim, a distância total percorrida pelo conjunto dos veículos vai ter uma redução de

Esta redução ou poupança indica o benefício de fundir as duas rotas.

0 0ji i j jip d d d



Para se proceder à junção de duas rotas pelos nodos i e j devem verificar-se as seguintes condições:

Os nodos i e j pertencem a rotas diferentes Os nodos i e j são adjacentes ao nodo que representa o depósito (nodo 0) na

respetiva rota (isto é, cada um destes nodos deve ser o primeiro a ser visitado depois do veículo sair do depósito (nodo 0) ou o último a ser visitado antes do veículo regressar ao depósito.

A rota resultante da junção deve verificar as restrições do problema

Depois de terem sido consideradas todas as poupanças positivas e se terem efetuado as junções admissíveis a heurística termina.

0

i j

0

i j



Heurística de Clarke e Wright Passo 1 . Para cada nodo correspondente a um cliente gerar a rota . A distância total a percorrer para esta solução inicial é

Passo 2. Para todos os pares de nodos calcular a poupança

Passo 3. De entre os pares ainda não considerados escolher tal que

Se ir para o Passo 4 Caso contrário Terminar. Passo 4. Sejam as rotas que incluem os nodos respetivamente. Se ; adjacentes à origem na respetiva rota; a rota

resultante da junção admissível Fazer a junção das rotas inserindo o arco e removendo os arcos A distância total percorrida da rota resultante é Voltar a Passo 3.

1,2,...,i ni

, , ; , 1,2...,i j i j i j n

0 0i

0

1

2n

i

i

C d

0 0ij i j ijp d d d

* *( , )i j

* *

,max iji j i j

p p

* *,i j

R R

* *i jR R

* * e i j* * e i j

* * 0i j

p

* *( , )i j

( ,0) e (0, )i j

* *i jC C p



42

Exemplo A cooperativa de Setúbal que recebe produtos hortícolas de vários agricultores da região e já referida anteriormente, expandiu a distribuição de produtos frescos a mais restaurantes. Para tal adquiriu mais camiões. A capacidade dos veículos não constitui uma limitação mas como precisa de fazer várias entregas durante a manhã tem que garantir que a rota de cada veículo não excede os 75 Km de forma a garantir que os veículos retornam ao armazém a tempo de efetuar a próxima ronda de distribuição. Considere-se a primeira ronda para abastecer 5 restaurantes. A matriz das distâncias, onde 0 representa o armazém, é a seguinte: Utilizando a heurística de Clarke e Wright determine as rotas para fazer a primeira ronda de distribuição.

0 15 10 17 23 27

1 17 29 32 15

2 13 17 20

3 17 27

4 21



Vamos em primeiro lugar construir as rotas constituídas por apenas um restaurante. Rotas A distância total percorrida é Vamos agora calcular as poupanças

1 01

2 02

3 03

4 04

5 05

0 1 0 com distancia total 2 30





C d

C d

C d

C d

C d

1 2 3 4 5 184C C C C C C

Armazém

1 2

3

4

5

12 10 02 12

13 10 03 13

14 10 04 14

15 10 05 15

23 20 03 23

24 20 04 24

25 20 05 25

34 30 04 3

15 10 17 8

15 17 29 3

15 23 32 6

15 27 15 27

10 17 13 14

10 23 17 16

10 27 20 17

p d d d

p d d d

p d d d

p d d d

p d d d

p d d d

p d d d

p d d d

4

35 30 05 35

45 40 05 45

17 23 17 23

17 27 27 17

23 27 21 29

p d d d

p d d d



A matriz das poupanças é

1 8 3 6 27

2 14 16 17

3 23 17

4 29

A maior poupança é . Os nodos 4 e 5 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento . Logo admissível. Assim, procede-se à junção das rotas e obtém-se uma solução em que a distância total percorrida é Voltar ao Passo 3.

45 29p

0 4 5 0

45 4 5 45 46 54 29 71 75C C C p

45 184 29 155C C p

Armazém

1 2

3

4

5



A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 1 e 5 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento . Logo admissível. Assim, procede-se à junção das rotas e obtém-se uma solução em que a distância total percorrida é Voltar ao Passo 3.

15 27p

0 4 5 1 0

451 45 1 15 71 30 27 74 75C C C p

15 155 27 128C C p

Armazém

1 2

3

4

5

A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 3 e 4 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento Logo não admissível. Assim, não se pode proceder à junção das rotas. Voltar ao Passo 3.

34 23p

0 3 4 5 1 0

3451 451 3 35 74 34 23 85 75C C C p



As maiores poupanças ainda não consideradas são Que envolvem o nodo 5 que não é adjacente à origem. Logo não podem ser consideradas. Voltar ao Passo 3.

25 3517 e 17p p

A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 2 e 4 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento Logo não admissível. Voltar ao Passo 3.

24 16p

0 2 4 5 1 0

2451 451 2 24 74 20 16 78 75C C C p

A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 2 e 3 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento Logo admissível. Assim, procede-se à junção das rotas e obtém-se uma solução em que a distância total percorrida é Voltar ao Passo 3.

23 14p

0 2 3 0

23 2 3 23 20 34 14 40 75C C C p

23 128 14 114C C p

Armazém

1 2

3

4

5



A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 1 e 2 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento Logo não admissível. Voltar ao Passo 3.

12 8p

0 4 5 1 2 3 0

45123 451 23 12 74 40 8 106 75C C C p

A maior poupança ainda não considerada é . Os nodos 1 e 4 estão na mesma rota não se pode fazer junção de rotas. Voltar ao Passo 3.

14 6p

A única poupança ainda não considerada é . Os nodos 1 e 3 estão em rotas distintas e são adjacentes à origem. A junção das duas rotas origina a rota com comprimento Logo não admissível. Voltar ao Passo 3.

13 3p

0 4 5 1 3 2 0

45132 451 32 13 74 40 3 111 75C C C p

Não existem mais poupanças para considerar. Termina. A solução admissível é Rotas e Distância total percorrida

0 2 3 0 0 4 5 1 0

114C

Armazém

1 2

3

4

5

planeamento e gestão de rotas de distribuição · mestrado em matemática aplicada à economia e...

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