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Equação Reduzida da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:
Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos
C e P utilizando a expressão matemática , de acordo com as definições da Geometria Analítica.
De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:
(x – a)² + (y – b)² = R² Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.
(𝒙 – 𝒂)² + (𝒚 – 𝒃)² = 𝑹²
(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 + 𝟗)² = 𝟔²
(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 + 𝟗)² = 𝟑𝟔 (FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).
A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.
(𝒙 – 𝒂)² + (𝒚 – 𝒃)² = 𝑹²
(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 – 𝟏)² = 𝟏²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1 A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:
(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 – 𝟏)² = 𝟏
𝒙² – 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝒚² – 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟏 = 𝟎
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0 Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola
Para reforçar a aprendizagem
Equação reduzida
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C (2, -3) e
raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Exercícios de Aprendizagem
Questão 1 (EsSA 2013). Dada a equação da circunferência é: (x-a)² + (y-b)² = r², sendo (a, b) as coordenadas do centro e r a medida do raio, identifique a equação geral da circunferência de centro (2 , 3) e raio igual a 5. a) x² + y² = 25 b) x² + y² – 4xy – 12 = 0 c) x² – 4x = -16 d) x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 e) y² – 6y = -9 Resolução A questão informa que o centro é (2, 3) e o raio é igual a 5. Temos: (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 2)² + (y – 3)² = 5² x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25 x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 – 25 = 0 x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 Resposta: D
Questão 2 (SEDUC RJ – CEPERJ 2013). Seja (x – 2)² + (y – 4)² = 8 a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área da circunferência e a área do quadrado inscrito na circunferência, nesta ordem, é: a) π/4 b) π/2 c) π d) 3π/2 e) 3π Resolução Nosso objetivo será descobrir a área da circunferência e do quadrado inscrito, para então efetuarmos a divisão. A informação mais importante que a equação reduzida da circunferência nos dá é que o raio é igual a √8. Calculando a área da circunferência:
𝐴 = 𝜋. 𝑟² = 𝜋. (√8)² = 8𝜋
Vamos descobrir a medida dos lados (x) do quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras.
(2r)² = x² + x²
(2√8)² = 2x²
4.8 = 2x²
32 = 2x²
x² = 16
x = 4
Calculando a área do quadrado: A = x² = 4² = 16 Calculando a razão entre a área da circunferência e a área do quadrado: 8π/16 = π/2 Resposta: B
EXERCÍCIOS SOBRE EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA PARA ESTUDAR
QUESTÃO 1 Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.
QUESTÃO 2 O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10).
Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.
QUESTÃO 3 (PUC-SP)
O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada
b.
QUESTÃO 4 (FEI-SP)
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
AS RESPOSTAS ABAIXO AJUDAM NO ESTUDO
RESPOSTAS Questão 1 A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r². Portanto:
A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:
(x – 3)² + (x – 6)² = 16
Questão 2
Questão 3 Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.
Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:
x² + (y – 3)² = 25 3² + (b – 3)² = 25 9 + (b – 3)² = 25 (b – 3)² = 25 – 9 (b – 3)² = 16
b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4 b = 4 + 3 ou b = –4 + 3 b = 7 ou b = –1
A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1.
Questão 4
Posição relativa entre duas circunferências
No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da
circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a
determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se
tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes,
secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso.
1. Circunferências tangentes.
a) Tangentes externas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em
comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os
centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.
dOC = r1 + r2
b) Tangentes internas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em
comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a
distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.
dOC = r1 - r2
2. Circunferências externas.
Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum.
A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências
deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.
dOC > r1 + r2
3. Circunferências secantes.
Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em
comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das
circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.
dCO < r1 + r2
4. Circunferências internas.
Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum
e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a
distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as
medidas de seus raios.
dOC < r1 - r2
5. Circunferências concêntricas.
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em
comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.
dCO = 0
Exemplo: Dadas as circunferências λ e σ, de equações:
λ: x2 + y2 = 9
σ: (x – 7)2 + y2 = 16
Verifique a posição relativa entre elas.
Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a
medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma
podemos encontrar esses valores.
Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:
Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância
entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.
Por Marcelo Rigonatto
EXERCÍCIOS SOBRE POSIÇÕES RELATIVAS
QUESTÃO 1 Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de
equação x² + y² + 6x – 8y = 0.
Ver Resposta
QUESTÃO 2 Dada a reta s representada pela equação 2x – y + 1 = 0 e a circunferência de equação
x² + y² – 2x = 0, determine a posição relativa entre elas.
Ver Resposta
QUESTÃO 3 Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é tangente à circunferência de equação
x² + y² = 9.
Ver Resposta
QUESTÃO 4 (UFBA)
Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta r, de equação x + y – 1 = 0, com a
circunferência de equação x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0.
Ver Resposta
QUESTÃO 5 (ITA-SP)
A distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência x² + y² = 400 é:
a) 16√5
b) 4√5
c) 3√3
d) 4√3
e) 5√7
Ver Resposta
QUESTÃO 6 (UFRS)
O valor de k que transforma a equação x² + y² – 8x + 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio
7 é:
a) –4
b) –8
c) 5
d 7
e) –5
Ver Resposta
RESPOSTAS Questão 1 Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do raio:
x² + y² + 6x – 8y = 0 x² + 6x + y² – 8y = 0
x² + 6x → completando o trinômio x² + 6x + 9 = (x + 3)²
y² – 8y → completando o trinômio y² – 8y + 16 = (y – 4)²
x² + 6x + y² – 8y = 0 x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9 + 16 (x + 3)² + (y – 4)² = 25
A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y – b)² = r², dessa forma:
Coordenadas do centro: (–3; 4) Medida do raio: 5
Determinando a distância entre o centro e a reta Reta r: 2x + y – 1 = 0
Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a reta é secante à circunferência.
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Questão 2 Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:
Reta: 2x – y + 1 = 0 Circunferência: x² + y² – 2x = 0
Resolvendo o sistema pelo método da substituição:
Isolando y na 1ª equação:
2x – y + 1 = 0 – y = –1 – 2x y = 1 + 2x
Substituindo y na 2ª equação:
x² + (1 + 2x)² – 2x = 0 x² + 1 + 4x + 4x² – 2x = 0 5x² + 2x + 1 = 0
∆ = b² – 4ac ∆ = 2² – 4 * 5 * 1 ∆ = 4 – 20 ∆ = –16
Quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não possuirá soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência.
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Questão 3 Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até a reta possui a mesma medida do raio.
Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3².
Distância do centro (0; 0) à reta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w:
Calculando w de acordo com d = r:
O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2.
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Questão 4
AB = medida da corda CM = distância entre centro e reta AM = metade da medida da corda → AB/2.
No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado por CA.
Centro da circunferência
x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 x² + 2x + y² + 2y = 3
Centro da circunferência
x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 x² + 2x + y² + 2y = 3 x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3 + 1 + 1 (x + 1)² + (y + 1)² = 5
Centro (–1, –1) e raio = √5. Reta: x + y – 1 = 0
A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2.
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Questão 5 Resolver o sistema de equações:
Simplificando a 1ª equação:
Substituindo x na 2ª equação:
x² + y² = 400 x² + (20 – 2x)² = 400 x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0 5x² – 80x = 0 5x * (x – 16) = 0
5x = 0 x’ = 0
x – 16 = 0 x’’ = 16
Para x = 0, temos:
y = 20 – 2x y = 20 – 2*0 y = 20
(0; 20)
Para x = 16, temos:
y = 20 – 2x y = 20 – 2 * 16 y = 20 – 32 y = – 12
(16; –12)
Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12).
Determinando a distância entre os pontos:
Resposta item a.
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Questão 6 x² + y² – 8x + 10y + k = 0
Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios)
x² – 8x + y² + 10y = –k x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25 (x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41
Temos que o raio será dado por: –k + 41 = 7² –k = 49 – 41 –k = 8 k = 8 Resposta: alternativa b.
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Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Equação1 Comentário
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os
coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações
são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² +
cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a
determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação.
Observe:
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3
Dividindo a equação por a, temos:
Realizando a igualdade entre os polinômios:
x1 + x2 + x3 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
x1 * x2 * x3 = – d/a
Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e =
0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes,
as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a
Exemplo
Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0,
considerando 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3, as raízes da equação.
Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.
x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6
x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1
EXERCÍCIOS SOBRE AS RELAÇÕES DE GIRARD PARA ESTUDAR
QUESTÃO 1 Calcule o valor de k na equação (k + 5) * x² – 10x + 3 = 0 de modo que o produto das raízes seja igual a 3/8.
Ver Resposta
QUESTÃO 2 Determine o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.
Ver Resposta
QUESTÃO 3 De acordo com a equação 4x³ + 2x² – x – 3 = 0, determine as relações de Girard envolvendo as raízes x1, x2
e x3.
Ver Resposta
QUESTÃO 4
Ver Resposta
QUESTÃO 5
Ver Resposta
QUESTÃO 6 (EEM–SP)
Dada a equação x³ – 9x² + 26x + a = 0, determine o valor do coeficiente a para que as raízes dessa equação
sejam números naturais sucessivos.
Ver Resposta
RESPOSTAS Questão 1
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Questão 2
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Questão 3
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Questão 4
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Questão 5
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Questão 6
Teorema das raízes racionaisMATEMÁTICA
Aprenda a encontrar todas as raízes reais de uma equação polinomial
Considere a equação polinomial a seguir em que todos os coeficientes an são inteiros:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0
O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número
racional p/q como raiz (com p , q e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível
por p e an é divisível por q.
Observações:
1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação polinomial tenha raízes,
mas caso elas existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação;
2º) Se an = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a equação possui apenas raízes
inteiras.
3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de a0.
Aplicação do Teorema das Raízes Racionais:
Vamos utilizar o teorema para encontrar todas as raízes da equação polinomial 2x4 +
5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.
Primeiramente, vamos identificar as possíveis raízes racionais dessa equação, isto é, as
raízes da forma p/q. De acordo com o teorema, a0 é divisível por p; dessa forma,
como a0 = 12, então os possíveis valores de p são {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}.
Analogamente, temos que an é divisível por q e an = 2, então q pode ter os seguintes
valores: {±1, ±2}. Sendo assim, dividindo os valores de p por q, obtemos os possíveis
valores p/q raízes da equação: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2 , –2, +3, –3, +4, –4, +6, –
6, +12, –12}.
Para confirmar se os valores que encontramos são realmente a raiz da equação
polinomial, vamos substituir cada valor no lugar do x da equação. Através do cálculo
algébrico, se o polinômio resultar em zero, então o número substituído é, realmente, a
raiz da equação.
2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0
Para x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Para x = – ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Para x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Para x = – 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Para x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Para x = – 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Para x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Para x = – 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Para x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Para x = – 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Para x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Para x = – 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Para x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Para x = – 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Para x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Para x = – 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Portanto, as raízes da equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 são {–
3, – 2, ½, 2}.
Através do teorema da decomposição de um polinômio, poderíamos escrever
essa equação como (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2) = 0.
Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática
Raízes complexas de uma equação polinomial
Resolva equações polinomiais que possuem raízes complexas
Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre
elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação
polinomial de grau n (n > 1, n ), então o conjugado de z é também raiz da equação. Em
toda equação polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre par
em razão do conjugado.
Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos
dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu
conjugado z é representado na forma z= a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações
com os números complexos, veja alguns exemplos:
Adição e Subtração: Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com
a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte
imaginária do outro. Considere os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di: z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i
Multiplicação: Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:
z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i Operações com Conjugados:
Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo
Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?
Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.
Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução.
Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15:
(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)] (x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)
(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)² (x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²
(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5
Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de
Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 2² – 4.1.(– 3) Δ = 4 + 12
Δ = 16
x = – b ± √Δ
2.a
x = – 2 ± √16 2.1
x = – 2 ± 4 2
x1 = – 2 + 4 2
x1 = 2 2
x1 = 1
x2 = – 2 – 4 2
x2 = – 6 2
x2 = – 3
Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0 é
S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.