pindyck & rubinfeld, cap 15; varian, caps.10, 11 · roland saldanha página 1 16/08/2005...

Roland Saldanha Página 1 16/08/2005

EEssccoollhhaa IInntteerrtteemmppoorraall

PINDYCK & RUBINFELD, CAP 15; VARIAN, CAPS.10, 11

OBS.: ESTAS NOTAS DE AULA NÃO FORAM SUBMETIDAS A REVISÃO, TENDO

COMO ÚNICA FINALIDADE A ORIENTAÇÃO DA APRESENTAÇÃO EM CLASSE.

COMENTÁRIOS SÃO BEM VINDOS E PODEM SER ENVIADOS A

[email protected]. REPRODUÇÃO SOB QUAISQUER MEIOS

OU DISTRIBUIÇÃO PROIBIDA SEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR.


INTRODUÇÃO

Tempo e Economia:

Definição de Tempo (emprestada da Física) = Tempo é uma dimensão analítica na qual se ordenam os eventos (físicos). Uma das grandes vantagens desta dimensão analítica está na possibilidade de ordenar os eventos de forma regular, sistemática. O tempo é irreversível.

Papéis Fundamentais do Tempo em Economia

a) Os problemas econômicos são caracterizados de forma não ambígua em um

determinado instante do tempo (et coeteris paribus)

b) Os problemas econômicos são definidos para um determinado horizonte de tempo

c) Os problemas econômicos ocorrem no decorrer do tempo

• (a) e (b) ocorrem tanto em análises Estáticas como nas Dinâmicas

• (c) é típico e exclusivo de análises Dinâmicas

Modelos sobre problemas econômicos envolvendo escolhas associadas a alternativas em instantes diferentes do tempo não são necessariamente dinâmicos. Serão dinâmicos se houver o intuito de entender ou explicar as causas e determinantes das escolhas no decorrer do tempo (na minha opinião, no tempo físico). Quando as variáveis são simplesmente datadas ou quando não existe a preocupação em explicar a evolução do fenômeno econômico no tempo físico, os modelos podem ser percebidos como aplicações sofisticadas de estática. Neste caso, ao invés de se denominar um bem como x, denomina-se-o por x1 (x em t = 1, nada de essencial muda).

A Dinâmica é uma das áreas mais frágeis da teoria econômica. Não há consenso sobre os conceitos aqui apresentados. Autores importantes defendem que basta que as variáveis em análise estejam datadas (com um índice de tempo associado) para que esta seja considerada dinâmica. Outros, a maioria atualmente, acham que se num determinado instante do tempo forem consideradas as expectativas com relação ao futuro e as repercussões das ações no presente sobre o futuro, a análise assume caráter dinâmico.

Análises em tempo discreto e em tempo contínuo.


Estoques e Fluxos:

• O sistema econômico pode ser percebido como um sistema em que se usam estoques,

fontes geradoras de serviços produtivos ou de geração de utilidade, para a obtenção

de fluxos de novas fontes produtivas ou fluxos de serviços de consumo.

• Variáveis de estoque, neste sentido, são magnitudes sujeitas a mudanças freqüentes,

precisando ser associadas a um determinado instante do tempo para que possam ser

medidas sem ambigüidade. Variáveis de estoque precisam ser mensuradas em um

determinado instante do tempo. Exs. O estoque de água em uma banheira: x litros no

instante t = t0, o estoque de conhecimentos de um indivíduo, y "idéias e

conhecimentos" no instante t = t1, e assim por diante.

• Variáveis de fluxos são aquelas que indicam alguma forma de mudança (ou a ausência

de mudança) nos estoques. Como alterações ou mudanças não podem ocorrer

instantaneamente, estas variáveis são expressas como uma determinada magnitude por

intervalo de tempo. Exs. O fluxo líquido de água na banheira foi de 10 litros entre t =

t0 e t = t1, o capital disponível diminuiu em $100.000 no semestre. É comum, ainda,

expressar variáveis de fluxos como taxas de variação: x litros/segundo, y unidades de

capital/mês, etc... Deve-se ter claro, contudo, que instantaneamente, por definição,

não ocorrem mudanças, caso contrário, um determinado estoque poderia existir e não

existir ao mesmo tempo, o que denotaria ambigüidade na ordenação dos eventos no

tempo. Como ilustração perceba que um automóvel em uma fotografia aparece

parado na posição em que se encontra no instante t = t0, não obstante, tal automóvel

pode ter sido fotografado enquanto viajava a uma velocidade de 200 km/h.

• Em muitas circunstâncias o uso de uma fonte de recursos ocorre muito rapidamente,

tornando conveniente desconsiderar o processo de transformação das fontes

produtivas em fluxos de outras fontes ou em fluxos de consumo. Com efeito, uma

maçã é uma fonte de recursos produtivos, produz serviços de alimentação. Para a

maioria dos efeitos, contudo, trata-se a maçã como um simples fluxo de serviços de


consumo, abstraindo-se do processo de transformação que ocorre entre a aquisição da

maçã (estoque) e obtenção dos fluxos de serviços dela derivados.

• Em suma, é preciso perceber com cautela as aplicações econômicas em que o tempo

está envolvido, tendo claros quais dos papéis do tempo estão em uso. Mais importante

do que definir um experimento como de Estática ou de Dinâmica, uma classificação

sujeita a infindáveis discussões terminológicas, é ter claro que tipo de fenômeno se

pretende estudar: como os problemas econômicos evoluem e se transformam no

decorrer do tempo (físico) ou como os fenômenos econômicos ocorrem em uma

dimensão de ordenação analítica qualquer, sem a preocupação com a regularidade na

mensuração dos eventos ou continuidade da análise no tempo.

Escolha Intertemporal

Como em qualquer problema econômico, as decisões intertemporais podem ser percebidas como uma contraposição de desejos (fins alternativos) e possibilidades (meios escassos).

Sob uma perspectiva intertemporal, as possibilidades são restringidas pelos meios escassos disponíveis em instantes diferentes do tempo e pelas alternativas (quando disponíveis) de transferir poder de compra entre os diferentes instantes do tempo.

As possibilidades intertemporais são descritas pela Restrição Orçamentária Intertemporal (ROI).

Os desejos são definidos pelos mesmos axiomas da teoria do consumidor para as preferências. A única diferença é que antes as preferências eram estabelecidas sobre dois bens (ou conjuntos de bens) e, agora, passam a ser definidas para cestas de bens disponíveis em instantes diferentes do tempo.


Possibilidades Intertemporais

A primeira questão a ser analisada é a da possibilidade ou impossibilidade de se transferir recursos no tempo: existe a alternativa de se emprestar/tomar emprestado?

Genericamente, recursos ou direitos e obrigações sobre estes podem ser transferidos entre instantes do tempo através da manutenção ou troca intertemporal de ativos (estoques que não se depreciam instantaneamente ou títulos que representem direitos e obrigações). Exs. Moeda, Máquinas, Terrenos, Debêntures, Letras Financeiras, Sal, Bois,...

As escolhas intertemporais não dependem necessariamente da existência de um mercado de ativos, mesmo um indivíduo isolado numa ilha precisa decidir se colherá o coco hoje ou no futuro, se vai estocar alimentos ou não, etc...

Se há a possibilidade e o interesse de realização de trocas intertemporais (mais de um indivíduo), a existência de um mercado de ativos que as viabilize aumenta o bem estar da sociedade envolvida, pois amplia as possibilidades abertas aos indivíduos.

Ativo é a denominação genérica para um título (escrito ou não) representativo de direitos ou obrigações sobre recursos. Podem ser usados para facilitar trocas imediatas (moeda, por exemplo) ou mediatas (notas promissórias, duplicatas, empréstimos, por exemplo) de bens, serviços ou mesmo de outros ativos. Podem, ainda, ser o próprio recurso (ou os direitos e obrigações sobre ele) quando não há troca.

As taxas de juros representam a remuneração básica para as trocas intertemporais nos mercados. Como estas trocas representam obrigações ou direitos sobre o uso de recursos por um determinado período de tempo, não podem ser confundidas com preços relativos. Os preços relativos são definidos para trocas imediatas, não têm dimensão temporal (2 balões por um sorvete, 10 canetas por um caderno). As taxas de juros, a seu turno, são pagamentos ou recebimentos realizados por período de tempo, são magnitudes temporais (10% ao ano, 1 sorvete pelo uso de uma caneta por uma semana)

Ativos reais e nominais.


Possibilidades no tempo (modelo de 2 períodos - consumo) RO intertemporal

* Dotações: O agente recebe renda ou dotações nos instantes 1 e 2. Estas rendas são

reais, ou seja, representam quantidades bem definidas de bens e serviços e, por hipótese, não

podem ser estocadas de um período para o outro (perecíveis):

período 1 renda m1

período 2 renda m2

Estas rendas são a única fonte de recursos disponíveis para a aquisição das cestas de bens

de consumo, cujas quantidades são iguais a c1 e c2 nos respectivos períodos. Supõe-se, por

simplicidade, que não há mudança nos preços monetários das cestas, 121 == cc pp , e que estas

não podem ser estocadas para o consumo futuro. As rendas, no mercado de ativos, remuneram

uma taxa de juros reais igual a “r”.

Ainda por simplicidade, supõe-se que o agente não “desperdiça” renda ou não deixa

herança, vale dizer, toda sua renda será consumida.

* As possibilidades de consumo intertemporal são encontradas pela resposta à pergunta:

quantas cestas o agente poderá consumir no período 1 e período 2?

* Evidentemente, as respostas dependerão, fundamentalmente, da existência e

características dos mercados de ativos. São analisadas quatro alternativas:

1 O agente não pode emprestar nem tomar emprestado:

11 cm = e 22 cm =

2 O agente pode emprestar mas não pode tomar emprestado:

11 cm ≥ e ( )( ) 2112 1 crcmm =+−+

3 O agente pode tomar emprestado mas não emprestar:

11 cm ≤ e ( )( ) 2112 1 crcmm =+−+


4 O agente pode emprestar e tomar emprestado

( )( ) 2112 1 crcmm =+−+

* Valor Presente da Renda (= VP Riqueza) = ( )rmmW+

+=1

211

ou,

1 1 1 2 2W p m p m= +

com,

( )

1

2

11

1

p

pr

=

=+

* Valor Futuro da Renda (=VF Riqueza) = ( ) 212 1 mrmW ++=

ou,

( )11

,

2

1

22112

=+=

+=

prp

commpmpW

* Na continuação, supõe-se que o agente possa emprestar e tomar emprestado

(alternativa 4). Note que esta alternativa é aquela em que há mais possibilidades abertas ao

agente, pelo que este nunca estará pior em (4) do que nas demais e, potencialmente, tanto o

agente quanto a outra parte no empréstimo (se houver) estarão em melhor situação após a troca

do que antes da mesma.

Preferências Intertemporais


Assim como na escolha de consumo tradicional, as preferências intertemporais individuais são modeladas com base num conjunto de axiomas. Relembrando:

* Axiomas sobre as Preferências Individuais:

(a) Completude — o indivíduo consegue comparar (estabelecer relações de

preferências) entre quaisquer duas cestas de bens (intertemporais ou não).

Sejam x1 e x2 duas cestas de consumo quaisquer. Pelo axioma da completude:

21 xx (x1 é preferida a x2), ou 2 1x x (x2 é preferida a x1), ou 12 ~ xx (x1 é

indiferente a x2),

(b) Transitividade — as preferências mostram-se logicamente consistentes. Sejam x1

, x2 e x3 três cestas de consumo quaisquer.Se 21 xx e 32 xx então 31 xx

ou, se 21 ~ xx e 32 ~ xx então 31 ~ xx .

(c) Não saciação — o indivíduo sempre prefere uma cesta de consumo com uma

quantidade maior de bens do que outra.

(d) Convexidade — o indivíduo prefere um cesta mais diversificada a outras cestas

com menor diversificação (convexidade estrita). Sejam x1 e x2 duas cestas de

consumo diferentes e quaisquer com a propriedade 21 ~ xx ou 21 xx . Pelo

axioma da convexidade estrita: ( ) 221 1 xxx αα −+ para todo ( )1,0∈α .

* Se estes axiomas são feitos, é possível construir uma função utilidade que representa

estas preferências com as seguintes propriedades:

Para todas as cestas ( ) ( ) 212121 ,, xxxuxuxx ⇔>ℜ∈ + e ( ) ( ) 2121 ~ xxxuxu ⇔= .

* Estes axiomas sobre as preferências facilitam extremamente a modelagem, permitindo a

utilização de funções utilidade que representem as preferências individuais. Para a análise de

escolhas intertemporais, as cestas xi representam combinações de cestas de consumo em

instantes (t) diferentes do tempo:

( )ncccuxu ,,,)( 21 …= para a situação em que há n períodos.


* Curvas de Indiferença: são curvas que mostram as diferentes combinações de cestas de

consumo às quais o indivíduo se mostra indiferente. Todas as combinações de cestas de

consumo sobre uma curva de indiferença geram a mesma utilidade, razão pela qual estas curvas

também são chamadas de curvas de “iso-utilidade”.

* Utilidade Marginal: A utilidade marginal de uma cesta de consumo ci, UMgci é a

variação na utilidade trazida por uma pequena alteração na quantidade consumida de ci,

mantendo-se as demais cestas de consumo inalteradas. Excluindo situações em que as cestas

contém produtos ou serviços percebidos pelo indivíduo como prejudiciais, a UMg é positiva,

pelo axioma da não saciação. Na notação matemática:

( )0

,, 21 >∂

∂=

i

nc c

cccuUmg

i

…

* Diferencial Total da Função Utilidade: Conhecido o conceito de Umg, fica simples

expressar as alterações totais na utilidade, du, derivadas de mudanças nas quantidades de cestas

de consumo, dc1, dc2, ..., dcn. Estas mudanças nas utilidades dependem (a) das mudanças nas

quantidades consumidas, e, (b) das utilidades marginais de cada cesta de consumo iniciais. Em

notação matemática: ncccc dcUmgdcUmgdcUmgdun

+++= …221.

* Propriedade da curva de indiferença: Imagine, por simplicidade, a existência de apenas

duas cestas disponíveis para a escolha: u(x) = u(c1, c2). Fixe quantidades iniciais para c1 e c2,

digamos, ( )02

01 ,cc , que gera um nível de utilidade ( )0

201

0 ,ccuu = . Se as quantidades de ( )02

01 ,cc

mudarem, o impacto sobre a utilidade é expresso por 210

21dcUmgdcUmgdu cc += . Como numa

curva de indiferença o nível de utilidade não se altera à medida que diferentes combinações de

c1 e c2 são consideradas, du0 = 0. Desta forma:

21 210 dcUmgdcUmg cc +=

ou,

21 21dcUmgdcUmg cc −=


ou,

2

1

1

2

c

c

UmgUmg

dcdc

−=

* 2

1

21 ,c

ccc Umg

UmgTMS −= é a Taxa Marginal de Substituição entre c1 e c2, representado o

número de unidades de c2 que precisam ser reduzidas (aumentadas) quando houver um

pequeno acréscimo (redução) na quantidade consumida de c1 para manter a utilidade

constante. Graficamente, a TMS é a inclinação da curva de indiferença no ponto inicialmente

considerado ( )02

01 ,cc . A TMS varia à medida em que se move sobre a curva de indiferença.

* Na análise de escolhas intertemporais, a TMS é denominada TMSI, Taxa marginal de

substituição intertemporal, sendo um indicador das preferências no tempo.

O Problema de Otimização

• No modelo simples de dois períodos (tempo discreto), o consumidor que maximizar

sua utilidade sujeito à restrição orçamentária intertemporal (ROI). Supõe-se a

existência de um mercado financeiro bem estabelecido, com taxa de juros nominais

igual a r. As escolhas do consumidor se resumem a escolher as quantidades a serem

consumidas nos períodos 1 e 2.

• Algebricamente:

( )21 ,max ccuu =

sujeito a:

( )( ) 2112 1 crcmm =+−+

• Solução Gráfica:

• Procurar a combinação ( )*2

*1 ,cc que está na curva de indiferença mais alta

compatível com a ROI.


• Este ponto é definido na tangência entre a curva de indiferença mais alta e a ROI,

ou seja, é um ponto em que (i) a inclinação da curva de indiferença intertemporal (=

TMSI) é a mesma inclinação da ROI e (ii) toda a riqueza é despendida, ou seja, a

ROI é satisfeita.

• A inclinação da ROI é dada por ( )rcc

+−=∂∂

11

2 (derive a ROI em relação a c1)

• Na escolha ótima, as duas condições abaixo são satisfeitas:

(i) ( )rUmgUmg

c

c +−=−⇔= 1ROI da InclinaçãoTMSI2

1

*

*

(ii) ( )( ) 2*

1*

12 1 crcmm =+−+

• Solução Algébrica:

• Construir o lagrangeano (LG) para incorporar a restrição no problema de

otimização, o lambda (l) é uma variável instrumental, que representa o “preço-

sombra” do consumo em termos de utilidade:

( ) ( )( ) rcmmcccuLG +−−−+= 1, 112221 λ

• Procurar as combinações ( )*2

*1 ,cc que maximizam o LG, forçando que as derivadas

desta função em relação a c1, c2 e l, sejam iguais a zero:

( ) 0111

=++∂∂

=∂∂ r

cu

cLG λ (1)

022

=+∂∂

=∂∂ λ

cu

cLG

(2)

( )( ) 011122 =+−−−=∂∂ rcmmcLGλ

(3)

• Isole -l em (1) e (2) e, a seguir, iguale as expressões:

( ) λ−=+ r

UMgc1

1 (1’)

λ−=2c

UMg (2’)


( ) ( )rUMgUMg

UMgr

UMg

c

cc

c +=⇔=+

11

2

1

2

1 (4)

• A combinação ( )*2

*1 ,cc que satisfizerem (4) e (3) é a escolha ótima de consumo

intertemporal.

Mudanças nas Taxas de Juros – Equação de Slutsky

• Alterações nas taxas de juros implicam mudanças na ROI. Como sempre existirá a

possibilidade de consumir exatamente a renda disponível a cada período 11 cm = e

22 cm = , independente da taxa de juros, o que ocorre graficamente com uma alteração

em r é uma rotação da ROI sobre o ponto de dotação (m1, m2).

• Supondo que as cestas de consumo, c, sejam iguais e “normais”, ou seja , que

percebam um aumento na demanda quando a renda aumenta, e uma redução na

demanda quando a renda caia, os efeitos sobre a demanda por c1 associados a uma

elevação nas taxas de juros podem ser decompostos em três:

(a) Efeito substituição;

(b) Efeito renda tradicional;

(c) Efeito dotação.

• O Efeito Substituição é simples, uma elevação nas taxas de juros faz com que, tudo

mais constante, o consumo presente fique relativamente mais caro do que o consumo

futuro (cada unidade consumida hoje passa a reapresentar uma perda de consumo

futuro maior). Desta forma, pelo efeito substituição a demanda por c1 deve cair quando

r aumenta, ou:

0

constante real renda1

1 <pc

∂∂

• O Efeito Renda Tradicional representa o impacto sobre a renda real associado a uma

elevação das taxas de juros supondo uma renda nominal constante. Suponha que o


indivíduo recebe uma renda nominal fixa, relaxando a hipótese de que m1 e m2 sejam

definidos em unidades de bens e serviços. Se este for o caso, a elevação no preço do

consumo presente implica uma redução no poder de compra do consumidor, que

implicará uma diminuição na demanda por bens normais. De fato, observe a ROI,

supondo que W2 é constante e definida em termos monetários, se a taxa de juros

aumentar, o consumidor perde poder de compra e, portanto, tende a consumir menos

em ambos os períodos. Para calcular a magnitude deste efeito, note que a variação em

W2 quando a taxa de juros varia é igual a c1.

212 )1( crcW ++=

11

2 cpW

=∂∂

• Como o poder de compra cai, o sinal adequado para esta derivada é negativo:

• Finalmente, para obter o impacto desta variação na renda real (poder de compra) sobre

o consumo, é preciso compor a magnitude da variação na renda real pelo impacto

desta variação sobre o consumo no primeiro período, conforme exposto na derivada

abaixo:

• O Efeito Dotação decorre do fato do indivíduo receber a renda em termos reais, bens e

serviços, em vez de receber valores nominais. Se a taxa de juros aumenta, as

possibilidades de consumo serão aumentadas, sua renda real aumenta, pois cada

unidade de renda recebida no período inicial traz maiores possibilidades de consumo

no futuro.

212 )1( mrmW ++=

01cte nominalrenda1

2 <−=∂∂

cpW

02

11

cte nominalrenda2

1

1

2 <∂∂

−=∂∂

∂ ∂

Wcc

Wc

pW


11

2 mpW

=∂∂

02

11

cte real renda2

1

1

2 >∂∂

=∂∂

∂∂

Wc

mWc

pW

• Há, como se percebe, uma ambigüidade sobre os efeitos de uma elevação nas taxas de

juros sobre o consumo no período 1. Pelo efeito substituição c1 diminui, pelo efeito

renda tradicional, também diminui, mas pelo efeito dotação, c1 tende a aumentar.

Qual o efeito final? Usando a notação do Varian, W2 = m, a expressão completa da

decomposição dos efeitos, conhecida como equação de Slutsky é:

( )mc

mcpc

pc

1

111

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂

−−=

• A chave para a resposta está no termo entre parênteses. Para uma elevação na taxa de

juros:

(1) Se o agente for um devedor (c1 > m1), a elevação na taxa de juros fará o consumo no

período 1 cair, inequivocamente; Desta forma, ele diminuirá seus empréstimos e

eventualmente passará a ser um credor;

(2) Se o agente for um credor no primeiro período (m1 > c1), ele poderá reduzir, aumentar

ou manter seu consumo no período 1. Mostra-se abaixo, entretanto, que ele não

passará a ser um devedor.

• Para uma redução na taxa de juros:

(3) Se o agente for um devedor (c1 > m1), a redução na taxa de juros fará o consumo no

período 1 ficar constante, aumentar ou diminuir; Mostra-se abaixo, entretanto, que ele

não passará a ser um credor;


(4) Se o agente for um credor no primeiro período (m1 > c1), ele aumentará,

inequivocamente, seu consumo no período 1. Desta forma, ele diminuirá os

empréstimos que concede e eventualmente passará a ser um devedor;

• Tenha certeza de ter entendido isto, pergunta típica de prova: A

elevação nas taxas de juros necessariamente traz redução na

demanda agregada? Explique e exiba seu raciocínio graficamente.

• E se houvesse uma redução de preços?

• Quando uma variação na taxa de juros pode transformar um credor num devedor, ou

vice-versa?

• Dissemos acima que um credor, diante de uma elevação nas taxas de juros, jamais

passará à posição de devedor. O mesmo ocorre com um devedor, diante de uma

redução nas taxas de juros: ele nunca passará a credor. Por que isto ocorre?

• A reposta é simples e depende da utilização da Teoria da Preferência Revelada,

desenvolvida por Samuelson na década de 1960. Se observarmos as alterações nas

possibilidades do credor, quando as taxas de juros sobem, perceberemos que a

alternativa de tomar recursos emprestados após a elevação das taxas de juros já

estava disponível antes desta ocorrência. Ele poderia ter optado por isto antes, mas

não fez. Suas possibilidades agora são maiores, mas apenas para uma elevação dos

empréstimos que concederá. Desta forma, se ele optasse a passar de credor para

devedor em decorrência da elevação dos juros de mercado, estaria revelando um

comportamento irracional (faça o gráfico para comprovar isto, replique o raciocínio

para um devedor diante de uma redução nas taxas de juros, é fundamental).

Taxas de Juros Reais e Nominais:

• Inflação: Lembrar dos ìndices de Inflação, neste capítulo, c é uma cesta fixa de

bens/serviços de consumo.


• Retome a ROI, mas agora suponha que p1 e p2 podem ser diferentes e não estejam

incluindo as taxas de juros:

( )( ) 22111122 1 cprcpmpmp =+−+

• Lembre-se que ( )ppp ˆ112 += , onde dtdp

pp 1ˆ = , a forma contínua de

1

12ˆppp

p−

= , e

substitua na ROI:

( ) ( )( ) ( ) 21111121 ˆ11ˆ1 cpprcpmpmpp +=+−++

rearranjando os termos e dividindo ambos os lados por ( )pp ˆ11 + :

( ) ( )( ) 2112 ˆ11 cprcmm =

++

−+

obtém-se uma ROI muito semelhante à anterior:

( )( ) 2112 1 ccmm =+−+ ρ

com ( )( ) ( )ρ+=++ 1

ˆ11pr

• Aqui, ρ é a taxa real de juros, a taxa que representa o retorno ou custo real

(descontada dos efeitos associados à mera alteração de preços) de um empréstimo

oferecido ou contraído no primeiro período para recebimento/ pagamento no período

seguinte.

• Pelo amor de Deus, só porque usamos a letra r para representar os juros, isto não

implica que r precise significar “real”. De fato, aqui r representa juros nominais, mas

podem usar qualquer letrinha, desde que saibam o que estão fazendo!!!

Aritmética das taxas de Juros:

• Na prática, a análise das escolhas intertemporais não se refere somente a quanto

consumir em um ou outro período, dados os fluxos de renda em cada um deles. De

fato, além de optar entre consumir e poupar é necessário decidir em que ativos


poupar. Esta decisão é conhecida como decisão de composição de carteira ou de

portfolio.

• Como já vimos, o sistema econômico pode ser percebido pela ótica dos Estoques

(fontes geradoras de serviços produtivos e/ou de utilidade) e fluxos (representando o

consumo dos serviços dos estoques ou alteração nos estoques propriamente ditos). De

maneira genérica, os Estoques de recursos produtivos costumam ser denominados

Capitais, e, os próprios capitais podem ser trocados entre os indivíduos.

• Nas trocas de capitais, é necessário valorá-los, e percebe-se rapidamente que os

capitais e estoques, em si, não tem valor. O que os agentes valoram são os serviços (de

produção ou utilidade) gerados pelas fontes de recursos produtivos (capitais). [Lembre-

se das incertezas e oscilações das ações de empresas da nova economia: quanto

valerão os “serviços” que elas produzirão no futuro?]

• Ocorre que tais serviços ocorrem no decorrer do tempo, envolvem fluxos de serviços

em instantes diferentes do tempo. Para que se possa avaliá-los, e, portanto, valorar os

estoques, é necessário encontrar um denominador comum para os diferentes serviços

que podem geram a cada instante do tempo, bem como levar em consideração que

tais serviços poderão estar disponíveis em quantidades e instantes diferentes do tempo.

• Sendo a preocupação aqui entender a lógica das escolhas intertemporais, vale

simplificar a análise com a abstração do problema das escolhas em um instante do

tempo, simplesmente assumindo que as escolhas se resumem a optar entre fluxos

monetários (moeda = poder generalizado de compra) de diferentes montantes e em

diferentes distribuições no decorrer do tempo.

• Concentra-se a análise, então, nos mercados de capitais (financeiros), os mercados em

que são transacionados direitos e obrigações sobre fluxos monetários distribuídos no

tempo. Estes fluxos, então, diferem quanto (a) ao tempo em que ocorrem e (b) aos

montantes monetários devidos/esperados a cada instante do tempo.


• Imagine-se, então, dois conjuntos de fluxos de pagamentos-recebimentos distribuídos

no tempo, sendo rt a melhor taxa de juros que o indivíduo consegue obter no

instante t para receber/pagar instante t+1:

Instante fluxos

monetários

Plano Z

fluxos

monetários

Plano R

0 Z0 R0

1 Z1 R1

2 Z2 R2

3 Z3 R3

. . .

. . .

. . .

.n-1 Zn-1 Rn-1

.n Zn Rn

• Para comparar Z e R, um primeiro passo é comparar ambos os planos em termos de

seus valores em um determinado instante (comum) do tempo, digamos, em t = 0.

Assim, teríamos:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )nn

rrrZ

rrZ

rZZValor

+++++

+++

++=

111111 Z

1010

2

0

100= tem

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )nn

rrrR

rrR

rRRValor

+++++

+++

++=

111111 R

1010

2

0

100= tem

• Pela comparação dos Valores de Z e R no mesmo instante do tempo, então, pode-se

optar entre um ou outro com segurança, ao menos no que concerne aos fluxos

pecuniários (monetários) que representam. Se os agentes conseguem emprestar e tomar


emprestado livremente às taxas de desconto consideradas, o fluxo de rendas diferidas

com maior valor descontado será sempre escolhido pelo investidor. Por quê?

• Outro método para comparar estes dois fluxos seria através da Taxa Interna de Retorno

(TIR). A TIR é a taxa que faz com que o desembolso inicial (Preço de Aquisição) seja

igual ao valor presente de um fluxo de pagamentos. Para o Plano Z, a TIR seria igual à

taxa de juros que resolvesse a seguinte equação em que o Valor Z e os fluxos líquidos

Z1, Z2, ..., Zn são conhecidos.:

( ) ( ) ( )nn

rZ

rZ

rZ

Valor+

+++

++

=111

Z 221

• Perpetuidades: São ativos pouco comuns no Brasil, mas muito citados na litertura. Estas

Perpetuities ou Consols são ativos que dão direito a um fluxo de recebimentos

monetariamente igual (= R$x) e infinito, fato que simplifica bastante as “contas”.

Vejamos:

( ) ( ) ( ) ++

+++

++

= nrx

rx

rxV

111 P 2

• Coloque 1/(1+r) em evidência:

( ) ( ) ( )

+

+++

++

+= nr

xrxx

rV

1111 P

ou,

( ) [ ]VPxr

V ++

=1

1 P

ou,

( ) ( )

( ) ( )

rxVP

xr

xr

V

=

+=

+

+=

+

11

r1VPr

11

r1VP- P


• Note a relação básica, o preço do ativo (VP) guarda uma relação inversa com as

taxas de juros.

Mercados de Ativos - Aplicações

• Considere um ativo “A” que têm preço atual (t = 0) p0, e terá após um período, um

preço igual a p1. Há um segundo ativo, “B” que remunera à taxa de r % ao período.

Inexistem outras alternativas de investimento financeiro. Também não há incerteza, os

preços e as taxas de juros são conhecidos antecipadamente. Como se relacionam as

taxas de retorno para os investimentos em A e B?

• Considere, inicialmente, o ativo A. Imagine que o agente dispõe de R$ 1, o

número de unidades do ativo A que poderiam ser compradas com cada R$1 é

dado por:

0

0

11

A

A

p q

qp

=

=

• Após um período, o agente receberá por unidade de A adquirida um valor igual

a p0. Este é o Valor Futuro (VF) de cada R$ 1 aplicado em A:

11

0A A

pp q VFp

= =

• Adquirindo o ativo B, cada R$ 1 valerá, após um período:

( )1 Br VF+ =

• Agora, considere a relação entre os retornos de A e B, indicando a escolha que

o agente fará na sua aquisição:


( )

( )

( )

1

0

1

0

1

0

1 compra B

1 indiferente entre A ou B

1 compra A

prpprpprp

+ > ⇒

+ = ⇒

+ < ⇒

• Quando o retorno de B (A) é maior do que o de A (B), a opção de compra é B

(A). Se ambos os ativos estão disponíveis no mercado, uma estratégia bastante

lucrativa seria vender ativos A (B) e comprar ativos B (A), com lucros garantidos

iguais ao diferencial entre os retornos dos ativos. Esta é uma operação de

arbitragem.

• A busca destes ganhos de arbitragem, entretanto, costuma ser tentada por todos

os agentes no mercado simultaneamente. O aumento na oferta da A (B) faz seus

preços em t = 0 cair, assim como o aumento na demanda por B (A) faz seus

preços em t = 0 aumentar. Quando o preço de A em t = o cai, a primeira

desigualdade tende a se transformar em igualdade. Quando o preço de A em t

= 0 aumenta, a outra desigualdade tende à igualdade. Desta forma, encontra-se

na situação de igualdade a única situação de equilíbrio: para que ambos os

ativos estejam sendo comercializados no mercado, é necessário que seus

retornos sejam iguais, desvios eventuais ocorrendo de forma transitória. Esta é a

condição de ausência de arbitragem, que caracteriza os mercados de

ativos com regras de operação claras e alta transparência.

• A condição de (ausência de) arbitragem vale mesmo em situações em que os

retornos são incertos. Nesta situação, o retorno esperado descontado de riscos é

que deve igualar-se entre os diferentes ativos, conforme veremos mais adiante.

• Naturalmente, estão sendo comparados ativos similares, com mesma

maturidade e liquidez (facilidade de conversão em poder de compra).

• Ativos menos “líquidos” impõem restrições adicionais aos agentes, pelo

que devem oferecer taxas de retorno maiores como compensação.


• Ativos com maturação (intervalo de tempo para que sejam devidos os

rendimentos) maior também restringem as escolhas dos agentes, pelo

que devem oferecer taxas de retorno maiores como compensação.

• Usando a condição de arbitragem percebe-se, com facilidade, que o preço de

um ativo é determinado pelo valor presente dos fluxos monetários líquidos que

ele gera:

10 1

ppr

=+

• Serviços não pecuniários dos Ativos: diversos ativos geram retornos não monetários,

como uma casa própria, um automóvel, uma geladeira, etc... Para calcular o retorno e

os preços destes ativos, mesmo que não ocorram desembolsos monetários, é

necessário imputar valores implícitos para estes fluxos de serviços. Para tanto, a

solução econômica típica é utilizar a noção de custo de oportunidade: o valor que

seria recebido por período caso o ativo recebesse a melhor remuneração possível nos

mercados, por exemplo, sendo alugado. Denominando T o valor de aluguel de uma

casa similar à que você utiliza, por A, a valorização esperada para a casa no período, e

por P, o preço da casa no início do período, o retorno esperado no período para este

ativo, h, é igual a

T AhP+

=

• O que você faria com sua casa se a taxa de juros de mercado, r, fosse maior do que

h? E se fosse menor?

• Recursos Exauríveis: são recursos não renováveis, como o petróleo e outros minerais,

cujo valor atual depende — tempo discreto:

• pt — preço do ativo em t

• r — taxa de juros

• por arbitragem:


( )1 1t tp r p+ = +

• Determinação do preço: Demanda e Oferta, suponha uma demanda, D, constante,

e um estoque total disponível igual a S. Assim, T representa o número de períodos

restantes até o esgotamento total do estoque S:

estoque total "num. de anos restantes"fluxo anual de consumo

STD

= = =

• Seja C o preço do estoque substituto, a ser utilizado quando os estoques do bem

exaurível terminar, por arbitragem, o preço do estoque exaurível deve ser dado por:

( )

( )

0

0

1

1

T

T

p r CCpr

+ =

=+

• O que aconteceria com o preço do recurso exaurível se:

(a) novos estoques do bem exaurível fossem descobertos?

(b) Uma guerra impedisse a importação do bem exaurível dos principais países

produtores, estando disponíveis reservas importantes em território nacional.

• Recursos Exauríveis — tempo contínuo: considere, agora, o efeito de diminuir os

intervalos de composição dos juros, na verdade, fazendo-os infinitamente pequenos.

Isto seria equivalente a dividir os juros pagos num período fixo por n e multiplicar o

número de períodos, T, por n, fazendo “n” infinitamente grande. É possível mostrar,

embora isto não seja feito aqui, que a expressão se reduziria a:

lim 1nT

rT

n

r en→∞

+ =

• Com base na fórmula de apreçamento em períodos discretos e finitos, pode-se

substituir (1 + r)T por erT, obtendo a seguinte expressão:

( ) ( ) ( )rTrT

VF TVP T e VF T

e−= =


• A determinação do valor presente máximo, que determinará o T ótimo para a exaustão

dos recursos, é encontrada pela derivação de VP(T) em relação a T (Lembre-se que

kxkxde ke

dx= e que a derivada de um produto de funções (uv)�= u�v + uv�):

• Como regra geral, assim, a condição de arbitragem e a melhor utilização dos recursos

indica que a taxa de juros deve igualar-se à taxa de variação percentual (marginal) do

valor futuro de um ativo. Esta condição determina o momento ótimo para a exaustão

completa dos recursos.

( )

( )'( )( )

dVF TVF TdTr

VF T VF T= =

Demanda Por Ativos de Risco:

Ativos de risco são ativos com retornos incertos, exemplo típico as ações em bolsa. Quando se compra um destes ativos não se sabe, ao certo, qual o retorno a ser obtido.

O modelo mais conhecido para entender a decisão de escolha de ativos com risco, na verdade um modelo que procura determinar a lógica de apreçamento de ativos arriscados em mercado é o CAPM (Capital Asset Pricing Model), o modelo de precificação de ativos. Este modelo foi desenvolvido pelo Nobel em Economia William Sharp (1964) ainda que também seja atribuído a Jonh Lintner (1965).

A apresentação do Modelo será realizada em três etapas:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

rT rT

rT rT

dVP T dVF Te re VF T

dT dTdVF T

e re VF TdT

− −

− −

= − =

− =


Primeiramente, faz-se uma breve rememoração dos conceitos de valor esperado (média), variância e desvio padrão, apresentando o Enfoque Média-Variância em que se inclui o CAPM.

Em seguida, considera-se um modelo simples, com apenas dois ativos (um arriscado e outro livre de risco), para entender a escolha individual subjacente ao CAPM.

Finalmente, avalia-se o modelo de escolha individual com n ativos arriscados. Isto permitirá entender a lógica de composição de uma carteira com diversos ativos arriscados e, de forma mais ampla, o processo de formação de preços destes ativos em mercado.

Conceitos Básicos e Utilidade Média-Variância

Rememorando conceitos:

Valor Esperado (ou Média = µ ) de uma variável sω , cujo valor depende do estado da natureza s incerto, com s = 1, 2, ...., S

1

S

s ss

ωµ π ω=

=∑

11, = probabilidade de ocorrencia do estado da natureza s

S

s ssπ π

=

=∑

Variância da variável sω

( )22

1

S

s ss

ω ωσ ω µ π=

= −∑

Desvio padrão da variável sω

2ω ωσ σ=

O enfoque média-variância consiste do uso de uma função utilidade que dependa do retorno esperado e do risco. É expediente que assume que os indvíduos consigam estabelecer relações de preferências entre ativos (ou cestas de ativos) com base na média e variância (ou desvio padrão)


associados. A função utilidade para um agente avesso ao risco neste enfoque teria a seguinte forma:

( ),

com:U U0 e 0

U U

UMg UMgω ω

ωω

ω ω

σ µµ

σ µ

σ

=

∂ ∂= < = >

∂ ∂

As curvas de indiferença (CIs) para esta função utilidade são positivamente inclinadas:

0

0

0U U

dU UMg d UMg d

UMgdd UMg

ω ω

ω

ω

σ ω µ ω

µω

ω σ

σ µ

σµ

=

= + =

= − >

Num determinado ponto da CI, a Taxa Marginal de Substituição entre risco e retorno esperado é igual à tangente à CI neste ponto:

0UMg

TMSUMg

ω

ω

µ

σ

= − >

Note que no plano risco x retorno esperado, as CIs mais altas estão associadas a níveis de utilidade maiores (para um mesmo risco, retornos maiores implicam utilidade maior).

Escolha individual envolvendo dois ativos: um arriscado e outro livre de risco

Simbologia:

rf = retorno do ativo livre de risco

ms = retorno esperado do ativo arriscado no estado da natureza s

1

S

m s ss

r mπ=

=∑ = valor esperado do ativo arriscado


rx = valor esperado do retorno da carteira

x = proporção do ativos arriscado no valor total esperado da carteira

Com estas definições, o retorno esperado de uma carteira com x% de ativo arriscado e (1 — x)% de ativo livre de risco é:

( )( )

( )

1

1 1

1

1

S

x s f ssS S

x s s f ss s

r xm x r

r x m x r

π

π π

=

= =

= + −

= + −

∑

∑ ∑

( )1x m fr xr x r= + −

A variância da carteira é dada por:

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

22

1

22

1

22

1

22 2 2 2

1

1

1 1

S

x s f x ssS

x s f m f ss

S

x s m ss

S

x s m s ms

xm x r r

xm x r xr x r

xm xr

x m r x

σ π

σ π

σ π

σ π σ

=

=

=

=

= + − −

= + − − − −

= −

= − =

∑

∑

∑

∑

2 2 2 xx m

m

x x σσ σσ

= ⇒ =

Substituindo x na equação do retorno médio, obtém-se a linha orçamentária desta carteira de ativos:

( )( )

( ) ( )

1x m f m f f

x f m f

m fxx f m f f x

m m

r xr x r xr r xr

r r x r r

r rr r r r rσ σ

σ σ

= + − = + −

= + −

−= + − = +


( )

linha orçamentariacom,x f x

m f

m

r r p

r rp

σ

σ

= + ⇒

−=

A linha orçamentária indica as possibilidades de troca entre risco e retorno esperado no mercado. O “preço” do risco, “p” dá a inclinação da reta, e o retorno do ativo livre de risco dá seu intercepto.

Solução do Problema de escolha de composição de carteira

O agente deseja maximizar a utilidade sujeito à restrição orçamentária:

( )max ,sujeito a:

x x

x f x

U r

r r p

σ

σ= +

A solução gráfica é bastante simples. A escolha ótima é aquela definida pela tangência da CI mais alta com a restrição orçamentária, conforme ilustrado abaixo.

Algebricamente, a solução exige que, quando a escolha de composição de carteira seja ótima, sejam satisfeitas duas condições:


1) UMg

pUMg

ω

ω

µ

σ

− =

2) x f xr r pσ= +

Note que a possibilidade de diversificar a carteira entre ativos de risco e sem risco é extremamente útil aos agentes. No gráfico abaixo comparam-se duas carteiras diferentes, uma com o ativo arriscado x e outra com o ativo arriscado y. O ativo livre de risco tem o mesmo retorno em ambas as carteiras. Caso não exista a possibilidade de diversificar a carteira (decisão tudo ou nada), a escolha ótima do consumidor seria adquirir apenas o ativo x, pois uma carteira apenas com o ativo y estaria numa CI mais baixa (mais à direita). Com a possibilidade de compor carteiras com ativos com risco e sem risco (diversificar), permite ao agente um nível de utilidade mais alto, conforme ilustra a figura abaixo:

Avaliando o risco quando há mais de um ativo arriscado

Na presença de um único ativo arriscado, a variância da carteira é igual à variância do ativo arriscado. Quando há mais de um ativo arriscado, entretanto, tanto a variância de cada ativo na carteira e como a relação entre as variâncias dos diferentes ativos se relaciona (covariância) passam a ser importantes. Os cálculos para esta análise são bastante intrincados (por


se tratar de n ativos arriscados), por simplicidade, apenas os resultados gerais e a intuição serão apresentados.

Nesta abordagem mais geral, a variância e o retorno esperado da carteira envolvem diversos ativos arriscados e um ativo sem risco. Assim, cada ativo arriscado é avaliado individualmente em relação ao impacto que sua inclusão na carteira traz sobre a variância e o retorno da riqueza total do indivíduo. Considere um exemplo:

Imagine dois ativos, A e B, com retornos esperados dados por

rA(S1) = $ 8 , rA(S2) = $ - 4 e rA (S1) = $ - 4 e rB(S2) = $ 8

S1 e S2 são, por suposição, os dois únicos estados do mundo possíveis, e, por simplicidade, suponha que ambos tenham a mesma probabilidade de ocorrência (=50%). Assim, E(rA) = $ 2 e E (rB) = $ 2, ou seja, os retornos esperados são idênticos para ambos os ativos. Isto significa que, para cada ativo, um indivíduo avesso ao risco estaria disposto a pagar um valor inferior a $2.

Imagine, agora, que sua carteira seja composta pelos dois ativos. O valor esperado, então, seria igual a $4, e o indivíduo avesso ao risco estaria disposto a pagar os $4 pelos dois ativos, pois este retorno médio não está sujeito à incerteza.

Este exemplo mostra que a combinação de ativos com retornos negativamente correlacionados reduz o risco total da carteira, indicando que o valor de um ativo está intrinsecamente ligado à correlação de seu retorno com os retornos dos demais ativos disponíveis no mercado. A medida do risco de um ativo em relação ao risco da totalidade dos ativos em mercado é denominado o � (beta) deste ativo “i”, tendo a seguinte fórmula:

( )( )

cov ,var

i mi

m

r rr

β =


A ( )cov ,i mr r 1mede a covariância entre os retornos do ativo “i” e dos demais

ativos de mercado . Grosseiramente, trata-se de uma medida do montante do risco do ativo “i”. A ( )var mr mede o risco de mercado de todos os ativos, pelo que o �i é uma medida de risco específico ao ativo i relativa ao risco total de mercado. Um �i = 1 significa que o risco do ativo é igual ao risco médio de mercado, um aumento de 10% no retorno de “i” será acompanhado por um aumento médio na carteira de ativos de mercado na mesma proporção. Se �i > 1, o aumento (ou redução) no retorno de “i” será maior do que a o aumento (ou redução da carteira de mercado, o posto ocorrendo se �i <1.

Num mercado com vários ativos, a regra de (ausência) de arbitragem garante que os retornos, ajustados para os riscos, sejam iguais. É necessário, portanto, quantificar o valor do risco do ativo “i” para forçar a condição de arbitragem. Este valor é dado pela quantidade de risco do ativo “i” multiplicado pelo preço do risco. Por partes:

o O montante de risco no ativo “i” é dado por ( )cov ,i mr r , ou, usando a

fórmula para �i, equivale a �i ( )var mr , ou, i mβ σ , se usarmos o desvio-padrão em vez da variância, por simplicidade.

o O preço do risco já foi encontrado anteriormente, equivalendo a

( )m f

m

r rp

σ−

=

o O valor do risco é igual a ( ) ( )m f

i m m i m fm

r rp r rβ σ σ β

σ−

= = − .

Usando a condição de arbitragem, dois ativos quaisquer, “i” e “j”, precisam ter o mesmo retorno ajustado para o risco, ou seja:

( ) ( )i i m f j j m fr r r r r rβ β− − = − −

Ou, lembrando que rf é a taxa de retorno do ativo livre de risco e também sujeito à regra de arbitragem:

1 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

cov ,

cov ,

x y E x E x y E y

x y E xy E x E y

= − − = −


( ) ( )

( )ou, para o ativo "i"i i m f j j m f f

i f j m f

r r r r r r r

r r r r

β β

β

− − = − − =

= + −

( )i f j m fr r r rβ= + − é a equação básica do modelo CAPM. Com base nela,

contrói-se a linha de mercado de capitais, com intercepto em rf e inclinação igual a ( )m fr r− . No eixo horizontal medem-se os ��e no eixo vertical os

retornos.

Um ativo cujo � esteja sobre a linha de mercado respeita a regra de arbitragem. Se seu � estiver acima desta linha, seu retorno ajustado para o risco supera rf, pelo que os agentes sairão comprando o ativo e, desta forma, aumentando seu preço de mercado. A elevação do preço implica uma redução do retorno, um processo que se verificará até que a regra de arbitragem volte a ser respeitada. Argumento análogo se aplica caso o ��esteja abaixo da linha.

Perguntas

Todos do Capítulo 15 do Pindyck & Rubinfeld.

Todos dos Caps. 11 e 12 do Varian

Bibliografia

Buchanan, James. Explorations in Constitutional Economics. USA: Texas A&M University

Press, 1986.

Eaton, B. Curtis, and Diane E. Eaton. Microeconomia. Brasil: Saraiva, 1999 (1995).


Pindyck, R. & Rubinfeld, D. Microeconomia, Makron Books, São Paulo, 1993.

Varian, Hal R., Microeconomia: Princípios Básicos, ed. Campus, 1999.

Apêndice

Índices de Preços (passos para a construção):

1) definição da cesta de bens/serviços: ijx =quantidade do bem/serviço i que compõe a

cesta no período j:

( )nxxxxxx 050

40

30

20

10 ,...,,,,

2) valoração da cesta no período j: ijp =preço do bem/serviço i prevalecente no período

j, jP = valor da cesta completa aos preços do período j :

nnjjjjk xpxpxpxpP 0

30

320

210

1 ...++++=

3) valoração da mesma cesta no no período k

nnkkkkk xpxpxpxpP 0

30

320

210

1 ...++++=

4) Comparação dos valores da mesma cesta entre o período j (= 0) e o período k:


∑

∑

=

=== n

i

ii

n

i

iik

kk

xp

xp

PP

L

100

10

00,

Este tipo de índice recebe a denominação de índice de preços de Laspeyres, sua característica principal é trabalhar com a variação de preços de uma mesma cesta de bens e serviços determinada no período inicial. É um índice de cesta fixa.

Outro índice bastante citado, ainda que menos usado em função dos custos de coleta de dados, é o de Paasche. Nele, a cada período procura-se encontrar uma nova cesta representativa que é valorada aos preços do período corrente e aos preços antigos:

∑

∑

=

==′′

= n

i

ik

i

n

i

ik

ik

kk

xp

xp

PPA

10

1

00,

Tanto estatisticamente como em termos econômicos os dois tipos de índices deixam muito a desejar. Os índices mais comuns são do tipo Laspeyres, IGP, IPC, IPA, por exemplo. Estatisticamente seria mais recomendável trabalhar com uma média geométrica de ambos, um índice conhecido como índice de Fisher:

0,0,0, kkk ALF =

Economicamente, a idéia seria pensar na cesta como um conjunto de bens/serviços representativos da renda real dos indivíduos. Assim, ao se descontar os efeitos das variações de preços, deflacionar segundo a taxa de inflação do índice “geral” de preços, obter-se-ia uma idéia de quantas unidades monetárias são necessárias à manutenção da renda real constante. Ex. Suponha que o nível de preços em t=0 seja igual a R$ 100,00, ou seja, que são necessárias 0,01 unidades de Real para adquirir uma cesta padrão, ou seja 100$0 RP = . Se a mesma cesta em t=1 custar R$ 120,00,

00,120$1 RP = , o índice de Laspeyres acusará uma inflação( P̂ ) de 20% entre os 2 instantes do tempo:


2,100,100$00,120$

0,1 ==RRL

%201ˆ0,1

0

0

0

1

0

01 =−=−=−

= LPP

PP

PPP

P

Note que o preço da moeda, em termos de cestas representativas, caiu em 20% no período.

Ativos com retorno nominal positivo: retorno nominal versus retorno real

pré-fixados: conhece-se o retorno nominal no momento da aplicação, o retorno real é desconhecido;

pós-fixados: conhece-se o retorno real no momento da aplicação, o retorno nominal é desconhecido.

pindyck & rubinfeld, cap 15; varian, caps.10, 11 · roland saldanha página 1 16/08/2005...

Documents