pilardecontraventamentoa238726 (1)

Exercício retirado do livro de Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado – de José Milton de Araújo . Disciplina : Métodos Computacionais (1083)–Novembro_2007

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CÁLCULO DE PILARES DE CONTRAVENTAMENTO (de acordo com NBR-6118). Exemplo numérico do livro “Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado”, de José Milton Araújo.

Exemplo de Cálculo do pilar P2

O pilar P2 é um pilar de extremidade pertencente à subestrutura de

contraventamento. Conforme pode se observar na planta de forma do andar

tipo, o pilar é um apoio intermediário para a viga V202, segundo a direção

x. Logo, os momentos decorrentes do carregamento vertical, transmitidos

por essa viga, podem ser desprezados. Como o pilar é um apoio de

extremidade para a viga V227, deve-se considerar os momentos

transmitidos para essa viga, segundo a direção y.

Entretanto, o pilar está submetido aos momentos fletores segundo a

direção x, devidos à ação do vento. Assim, o pilar está em uma situação de

projeto de flexo-compressão oblíqua, de forma análoga a um pilar de canto.

Na figura 1, apresenta-se o modelo de cálculo para obtenção dos

momentos transmitidos pela viga V227, devidos ao carregamento vertical. A

viga é carregada com a carga total p=g+q.

Figura 1 – Modelo para cálculo dos momentos transmitidos pela viga


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Momento de engastamento perfeito:

mkNxp

M vigaeng .16,9

1294,272,12

12

22

=== �

Momento de inércia da viga:

43

6400012

4012cm

xI viga ==

Coeficiente de rigidez da viga:

38712946400044

cmxI

rviga

vigaviga ===

�

Momento de Inércia dos pilares:

43

3333312

2050cm

xI p ==

Coeficiente de rigidez dos pilares:

37142803333366

cmxI

rp

pp ===

�; rsup = rinf = rp

Momentos iniciais nos pilares:

mkNx

xr

rMM

vigarp

pengp .84,2

8717142714

16,92

=+

=+

=

Os momentos iniciais no pilar, devidos à ação do vento segundo a direção x,

são dados na figura 2 para os diversos andares do edifício. Observa-se que

esses momentos são muito maiores que o momento Mp = 2,84 kN.m,

decorrente do carregamento vertical. Desse modo, pode-se desconsiderar o


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momento transmitido pela viga V227 e dimensionar o pilar em flexo-

compressão normal, apenas para os momentos iniciais devidos à ação do

vento segundo a direção x. A flexo-compressão oblíqua será significativa

apenas nos andares superiores, mas os momentos são muito pequenos e o

dimensionamento deverá resultar em armadura mínima nesses andares.

Considerando, por exemplo, o momento M xk = 118 kNm na base do pilar no

nível do térreo (ver figura 3) e o momento M yk = 2,84 kNm transmitido pela

viga V227, os momentos reduzidos de primeira ordem são dados por:

22,052,150)2050(

118004,11 ===

xxxx

hAM

cdxc

xdx σ

µ

01,052,120)2050(

2844,11 ===

xxxx

hA

M

cdyc

ydy σ

µ

Figura 2 – Momentos fletores nos pilares do pórtico 1 da direção x (devidos a Wk)


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Devido à grande diferença entre os momentos reduzidos, pode-se considerar

01 =yµ e dimensionar a seção em flexo-compressão normal segundo a direção

x. Desse modo o Pilar P2 será dimensionado considerando-se apenas os

momentos devidos ao vento segundo a direção x. Esses momentos são

indicados na figura 4, para o andar térreo.

As forças normais nos pilares são dadas nas tabelas 1 e 2, para o

carregamento vertical e para ação do vento, respectivamente.

Considerando o nível do pilar P2 no nível do térreo, essas forças valem Fk1 =

692 kN (devido ao carregamento vertical) e Fk2 = kN29± (devido ao vento). O

sinal de Fk2 depende do sentido considerado para o vento.

Desse modo, a força normal de serviço no pilar P2 varia entre

663 kN ≤ Fk ≤ 721 kN. Devido á proximidade dos valores, o

dimensionamento pode ser feito apenas para a força máxima Fk = 721 kN.

kNF

kNF

F

k

k

k

66329592

72129692

29692

=−==+=

±=

Figura 3 – Seção transversal e momentos iniciais de serviço no pilar P2 no nível do térreo


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Tabela 1 – Forças normais nos pilares decorrentes do vento segundo a direção x (em kN)

Tabela 2 – Forças normais nos pilares decorrentes do carregamento vertical (kN)


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Primeira situação de cálculo: Força norma no eixo x

a) Índice de esbeltez:

1912.50280

12 ===x

exx h

�λ

b) Excentricidades Iniciais:

Para obter as excentricidades iniciais, basta dividir os momentos iniciais de serviço pela força normal de serviço.

cmFM

ek

iaia 4,16

72111800 === ; cm

FM

ek

iaib 6,13

7219800 −=−==

c) Excentricidade acidental:

cmee eayax 7,0

400280

400====

�

d) Excentricidade mínima: cmexhe xxx 0,35003,05,103,05,1 min,1min,1 =�+=+=

Seção de Extremidade:

{

cmee

eee x

x

axiax 1,17

0,3

1,177,04,16

min,1

=��

==+=+

≥

e) Excentricidade inicial na seção intermediária:

��

==+=−+=+

≥cmx

cmxee

eia

eibiaix 6,64,164,04,0

4,4)6,13(4,04,166,04,06,0

Logo, cmeix 6,6=


7

f) Excentricidade de segunda ordem:

56,079,12050

7214,1.

===xx

xfA

F

cdc

doν

( ) ( ) cmh

ex

exx 74,0

505,056,0005,0

10280

5,0005,0

10

2

0

2

2 =+

=+

=ν

�

g) Excentricidade de fluência: 0=cxe cm, porque 90�λ (de acordo com a NBR 6118).

Seção Intermediária:

cmee

eee x

ix

axixx 3,7

0,3

3,77,06,61

min,1 =�

��

==+=+

≥

cmeeeee xcxxxx 04,8074,03,721 =�++=++=

Conclui-se que a seção crítica é a seção de extremidade, pois é a que

apresenta a maior excentricidade. Assim, deve-se dimensionar a seção de

extremidade com uma excentricidade e ex=17,1 cm. Os esforços de cálculo

para o dimensionamento à felxo-compressão normal são os seguintes:

kNxN d 10097214,1 == ; cmkNxeNdMd .172541,171009. ===

Como a seção tem um lado com dimensão maior que 40 cm, não é possível

adotar disposição mais econômica para as barras (com apenas duas

camadas de armadura). Isto ocorre porque o espaçamento máximo entre

eixos das barras longitudinais, junto ao contorno da peça, é igual a 40 cm

ou duas vezes a menor dimensão da seção transversal, conforme exigência


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da NBR-6118. Se fosse adotada a disposição em duas camadas, o

espaçamento entre os eixos das barras, paralelamente ao lado maior, seria

de 42 cm, aproximadamente. Assim, Considera-se a seção indicada na

figura 4, para o dimensionamento na primeira situação de cálculo.

Empregando as tabelas, obtém-se a área de aço As = 16,2 cm2. Logo pode

ser armada com 6 barras de 20 mm, ficando com uma área total de aço

igual a 18,85 cm2.

Segunda situação de cálculo: Força normal no eixo Y

4812.20

28012 ===

y

eyx h

�λ

cmee eayax 7,0

400280

400====

�

cmecmexhe yxyy 1,21,22003,05,103,05,1 1min,1min,1 =�=�+=+=

( ) ( ) cmh

ey

eyx 85,1

205,056,0005,0

10280

5,0005,0

10

2

0

2

2 =+

=+

=ν

�

0=cxe cm, porque 90�λ (de acordo com a NBR 6118). cmeeeee xcyyyy 95,3085,11,221 =�++=++= .

Figura 4 – Seção para o dimensionamento na primeira situação de cálculo.


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Os esforços de cálculo para o dimensionamento à flexo-compressão normal

são:

kNN d 1009= ; cmkNxM d .398695,31009 ==

Figura 5 – Armaduras do pilar P2 no térreo.

Para o dimensionamento segundo a direção y, a seção possui apenas duas

camadas de armadura, conforme figura 5. Realizado o dimensionamento,

resulta a armadura mínima As = 4 cm2. Logo, prevalece o resultado obtido

na primeira situação de cálculo, isto é, a seção do pilar será armada com 6

barras de 20 mm com disposição indicada na figura 5.

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