O número de ouro não é mais do que um valornumérico cujo valor aproximado é 1,618.Este número irracional é considerado por muitos osímbolo da harmonia. A escola grega de Pitágorasestudou e observou muitas relações e modelosnuméricos que apareciam na natureza, beleza,estética, harmonia musical e outros, masprovavelmente a mais importante é a razão áurea,razão divina ou proporção divina.

ΦPhi maiúsculo

A HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. NoEgito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta arazão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do ladoda base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

A pirâmide de Khéops, em Gisé.

Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro deRhind (Egípcio) ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimentopor 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano1650 a.C onde encontramos um texto matemático na forma demanual prático que contém 85 problemas copiados em escritahierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.

Papiro de Rhind (Egípcio) ou Ahmes (Museu Britânico)

Partenon Grego

Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designaçãoadaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phimaiúsculo).

Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal.

Foi o primeiro númeroirracional de que se teveconsciência que o era. Estenúmero era o número ouseção de ouro apesar destenome só lhe ser atribuído2000 anos depois.

Posteriormente, os gregos consideraram que o retângulo cujos ladospossuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhechamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando estaharmonia como uma virtude excepcional.

LEONARDO DA VINCI (1452-1519)

A excelência dos desenhos de Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentosmatemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de umaperfeição, beleza e harmonia únicas.

Simetria

Perspectiva

Leonardo da Vince

O Homem Vitruviano

Data: 1490 – Técnica: Lápis e tinta - Dimensão: 34 x 24 cm

O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do arquitecto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, em que ele descreve as proporções do corpo humano:

Um palmo é a largura de quatro dedosUm pé é a largura de quatro palmos Um antebraço é a largura de seis palmos A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos) Um passo é quatro antebraços A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de um homem A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da altura de um homem A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de um homem A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem A distância do cotovelo para o fim da mão é um quinto da altura de um homem A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem A longitude da mão é um décimo da altura de um homem A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da face A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da longitude da face

A altura da orelha é um terço da longitude da face

Roda d`Água com Taças1503

Desenho

O Codex Atlanticus, guardado na Biblioteca Ambrosiana, em Milão, é a maior coleção de anotações e esboços de Leonardo, mas até isso representa apenas uma pequena parte de suas notas e manuscritos. Dentro desta coleção, muitas páginas estão dedicadas a bombas, moinhos d`água e diversos aparelhos hidráulicos.

Leonardo se sentia frustrantemente limitado em muitas de suas invenções, pois as formas de energia motriz que hoje para nós são comuns - eletricidade, gás, gasolina e outros -simplesmente não estavam disponíveis. Mas ele podia soltar as rédeas da imaginação ao projetar aparelhos mecânicos movidos a água.

Desenho das proporções da Cabeça e do Olhodata desconhecida

Leonardo reforçava suas observações do corpo humano com o estudo da anatomia. Em

Florença, teve permissão para fazer dissecações no hospital Santa Maria Nuova. Como sempre, anotou e desenhou. Embora

tivesse um bom conhecimento do que ocorre por debaixo da pele, assim como total

compreensão das relações entre as diferentes partes do corpo, como demonstram estas anotações sobre as medidas e ângulos do

rosto, suas pinturas jamais parecem rígidas ou acadêmicas. Seu conhecimento informa mais

do que dita a estrutura.

Em 1502 Leonardo da Vinci fez o projeto de uma ponte para cruzar um rio em Constantinopla, na Turquia. A ponte, projetada paraser feita em pedra, teve o projeto rejeitado pelo Sultão Bajazet II, de Constantinopla (Istambul) e nunca foi construída. Nunca éuma palavra que nunca deve ser usada porque acaba acontecendo sempre. Alias, sempre é outra palavra que nunca deve serusada porque as vezes, nunca acontece. Então a ponte nunca foi construída, isto é, nunca, até agora, porque faz poucos anos oprojeto foi realizado, não na Turquia, mas na Noruega. O projeto original previa perto de 350m e foi reduzido para 100m e pedrasforam substituídas por madeira e modernos materiais de construção. A ponte foi realizada graças ao artista Vebjoern Sand, queanalisou o assunto e convenceu autoridades norueguesas a realizar o projeto de Leonardo, com as devidas adaptações para olocal. A ponte é uma passarela de 8 m de largura para ajudar pedestres na travessia de uma estrada de alta velocidade. Projetada500 anos antes, continua sendo a coisa mais moderna e arrojada na paisagem em que se encontra agora.

Leonardo da Vinci - moderno, mesmo depois de 500 anosA ponte na Noruega - o projeto original

FIBONACCI

O Matemático Italiano Leonardo de Pisanasceu na Itália por volta de 1175 e ficouconhecido como Fibonacci (filho deBonaccio) (Fibonacci = filius Bonacci).

Esquema do problema dos coelhos.

Seqüência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}

Ф = ( 1 + √5 )) / 2

A razão entre os termos desta seqüência convergirá para o numero de ouro.

O NÚMERO DE OURO NA:

NATUREZA

Sementes do girassol

Moluscos náuticos vistos em seção.

Pinha

Truta

Um retângulo tem a propriedade de poder ser

dividido infinitamente em retângulos menores

proporcionais. Isto significa que, quando um

retângulo é dividido ao meio, sucedem dois

retângulos menores. Deve se observar que a

proporção de um retângulo aproxima-se

bastante da razão áurea. As proporções do

retângulo são 1:1,141 e a razão áurea é 1:

1,618.

Construção de um retângulo, pelo método do

quadrado.

1 - comece com um quadrado.

2 - trace uma diagonal dentro do quadrado e

use-a como arco que toca a linha de base do

quadrado. Prolongue os lados do quadrado e

obterá, assim, um retângulo √2.

Construção do Retângulo Raiz √2

1

2

TrutaMuitos peixes também apresentam proporções

áureas. Três seções de construção em

proporção áurea, aplicadas ao corpo de uma

truta, mostram as relações entre o olho e a

barbatana da cauda em retângulos e quadrados

áureos recíprocos. Além disso, as barbatanas

individuais também guardam essas mesmas

proporções.

A forma do peixe azul tropical cabe de forma

perfeita num retângulo áureo. Sua boca e

guelras apresentam-se em razões áureas

recíprocas em relação à altura do seu corpo.

Cavala Sardinha Perca

A Anatomia do Compartilhar

Corpo humano Comparação das proporções faciais (desenhos de Da Vinci e Dürer)

O quadrado inscreve a altura do

corpo; mãos e pés tocam o círculo

cujo o centro é no umbigo. A figura é

dividida ao meio na virilha pela seção

áurea cujo lado superior do quadrado

passa também no umbigo.

Geometria Modular

O estudo da geometria é extremamente

importante na formação de designers, artistas e

arquitetos: não há divisão de espaços sem a

modulação geométrica; não há sistemas

construtivos sem suportes geométricos que

definam a localização virtual de elementos.

A divisão pela utilização de módulos concerne

não somente ao plano, mas também, a outras

dimensões do espaço.

Saint Chapelle

Sistema LEGO

Sistema ABSTRACTA

A geometria modular é portanto o

estudo rigoroso de formas que

podemos planejar no plano para

conceber o espaço.

Mies van der Rohe é mais conhecido por seus

monumentais arranha-céus em aço e vidro. Ele

foi um mestre em sistemas proporcionais e tais

arranha-céus guardam formas e proporções tão

semelhantes que poderiam ser classificados

como um arquétipo único.

Mies foi diretor da Faculdade de Arquitetura no

Instituto de Tecnologia de Illinois (IIT) por vinte

anos, e naquele período ele projetou todo o

campus e muitos dos seus prédios.

A capela do IIT é um bom exemplo do uso das

proporções em pequena escala. A fachada do

prédio é proporcionada à razão áurea, 1:1,618.

O prédio está perfeitamente subdividido em

cinco colunas por retângulos áureos, e quando

eles são repetidos, como padrão, o prédio

aparece como um módulo de 5x5 retângulos

horizontais.

Arquitetura

Capela do I.I.T., Mies van der Rohe – 1949/1952

A razão áurea pode ser vista de pronto nestes

desenhos. A fachada da frente da capela pode ser

subdividida numa série de retângulos áureos, que

circundam as grandes janelas superiores e as

pequenas superiores, para ventilação.

- As grandes janelas inferiores são quadradas.

- O desenho em corte do interior, em direção ao

altar, mostra que o perímetro da fachada frontal

pode ser definido por três retângulos áureos.

- O plano do perímetro da capela cabe

perfeitamente num retângulo áureo.

- O quadrado do retângulo áureo define o altar e

as áreas de serviço e dispensa da capela.

- Estas duas áreas estão separadas por uma

pequena elevação do altar e grades.

Arquitetura

Arte

Poster Folies-Bergére, Jules Chéret, 1877

Poster Mostra Bauhaus - Fritz Schleifer, 1922

A relação áurea define simplesmente proporções ideais, já previamente

intuídas pelo designer; é uma forma de verificação, e não um sistema

(estaria fadado ao insucesso, se assim fosse, como todos os sistemas).

"Diário, de Adolphe Mouron” - 1960.

Diário, de Adolphe Mouron” - 1960

Design de

Produto

Chaise Longue - Le Corbusier, 1929

Chaise Longue de Thonet - 1870

Brno Chair - Mies van der Rohe, 1929

Bentwood de Thonet

Plywood Chair - Charles Eames, 1946

Raios: A=1; B=4; C=6; D=8 M.

Pedestal Chair - Eero Saarinen, 1957

Misturador Manual Braun - 1987

Volkswagen Beetle - Jay Mays, Freeman Thomas, Peter Schreyer, 1997

Visão Posterior:

A exemplo da visão frontal, a visão traseira pode

ser inscrita num quadrado. O logotipo está

colocado próxima ao centro do quadrado, e todas

as superfícies e elementos são simétricos.

A geometria do corpo do carro apresenta, ainda,

outros detalhes; os faróis dianteiros e traseiros

são elípticos, mas como repousam sobre curvas,

aparentam ser circulares.

O ângulo que rege o capô da mala está a 45°.

Antena:

O ângulo da antena é tangente ao círculo do

para-lama da roda da frente e a posição da sua

base alinha-se com o para-lama da roda traseira.

Análise

Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga - Verschleisser/Visconti, 1972

1/62/3

PORTOBRÁS - Verschleisser/Visconti, 1980

CEG Cia. Estadual de Gás - Verschleisser/Visconti, 1972

Os textos , ilustrações e obras de arte que constam deste trabalho foram retirados de pesquisas efetuadas nos sites que constam na bibliografia .

REFERÊNCIASwww.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htmwww.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/provaouro.htmmembers.tripod.com/caraipora/proporouro.htmwww.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htmwww.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htmpessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htmpascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/FiFibonacci_Expresso_20041009.htmwww.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htmwww.perfeitauniao.org/pficial/2004/a_proporcao_aurea.htm

Leo Visconti - Apresentação do Microsoft Office PowerPoint

• www.somatematica.com.br

• www.pinturasbrasileiras.com

• www.buscatematica.com

• http://galeriadearte.vilabol.uol.com.br

• www.ima.art.br/workshops.htm#

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria

• http://www.theart.com.br/biografias/davinci/davinci.htm

• http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html

• http://paginas.terra.com.br/arte/mundoantigo/michelangelo/

• http://www.tg3.com.br/vinci/l-link.htm

• http://paineis.org/INDICE.htm

Geometria

Alguns conteúdos que serão utilizados no estudo da

Geometria Analítica

Plana

Ponto

Reta

Plano

SÃO ENTES MATEMÁTICOS, SÓ PODEMOS TER UMA IDÉIA DE CADA UM DELES.

REPRESENTAÇÃO

RETA

PONTO

Plano

Normalmente usamos letras maiúsculas para designarmos

A B C

Normalmente usamos letras minúsculas para designarmos

a b c

Normalmente usamos letras gregas para designarmos.

γ β θ

SEMI-RETA

É a parte de uma reta que foi dividida por um ponto, cada uma das partes da reta recebe então o nome de semi-reta.

A

O ponto A dividiu a reta em duas bem ao meio cada lado será representado:

AB ou AC

B

C

SEGMENTO

Tomando-se uma reta e sobre ela definimos dois pontos A e B distintos. Chama-se SEGMENTO a parte da reta compreendida entre esses dois pontos inclusive, os quais passam a ser chamados de extremidades

A

B

r

AB ou BA

Posições Relativas de Duas Retas no Plano

CONCORRENTES

PARALELAS

COINCIDENTES

r

s r

s

r

s

EQUIDISTANTES

Vamos observar a figura

para concluirmos:

H

G

M

I

J

L

MESMA DISTÂNCIA

A B

Os pontos H,G,M,I,J,L pertencem a reta r, e são todos eqüidistantes de AB

r

A reta r é a MEDIATRIZ de AB, e forma 90°.

MEDIATRIZ

Ponto Médio

Por definição é o ponto que divide um segmento em dois outros segmentos congruentes ( mesma mediada).

C

A

B

PM =dist AC = dist CB

POSIÇÕES DE TRÊS PONTIOS

NO PLANO

ALINHADOS ou COLINEARES

Vértices de um triângulo

O det é ZERO O det é diferente de ZERO

Vamos estudar a Reta

Podemos Determinar uma reta sempre que conhecermos.

a) Dois pontos dela. b) Um ângulo e um ponto

Toda a reta como vimos, forma com o eixo x um ângulo cuja a sua tangente chamamos de coeficiente angular e representaremos pela letra m.

12

12

xx

yym

β<90

Logo m POSIT

β>90

Logo m NEG.

Equações da RETA

Já estudamos a equação da reta quando vimos Função:

f(x) = mx + b

Este m da função afim é o coeficiente angular da reta e nos fornece a inclinação.

Este termo independente passa a ser chamado de coeficiente linear e será o ponto que a reta intercepta o

eixo dos Y

Determinando a equação da reta:

Temos agora condições de encontrar a equação da reta conhecendo:

a) DOIS PONTOS

)()(11

xxmyy

12

12

xx

yym

ou podemos aplicar a teoria do alinhamento de três pontos

0

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

12

12

xx

yym

)()(11

xxmyy

b) Conhecendo UM ponto e o coeficiente angular

c) Conhecendo o ângulo que a reta forma com o eixo dos X

360

145

3

330

m

m

m

Voltando ao Paralelismo

m m

São duas retas que:1. Não se cruzam.

2. Tem o mesmo coeficiente angular.

3. A distância entre pontos de intersecção com uma reta perpendicular são sempre iguais.

4. A solução do sistema entre as duas equações é sempre uma impossibilidade.

PERPENDICULAREISMO

m m

1

1. São duas retas que formam entre sí um ângulo de 90º.

2. Cruzam-se em um único ponto determinado por meio da resolução do sistema.

3. Seus coeficientes angulares guardam a relação INVERSO SIMÉTRICO.

É um polígono de três lados.

Quanto aos

seus Lados

EQUILÁTEROS

ISÓSCELES

ESCALENO

3 lados =

2 lados =

3 lados ≠

Reta suporte da altura

ALTURA relativa ao lado ou vértice

MEDIANA

Reta suporte ao lado

ALGUNS ELEMENTOS

Triângulo Eqüilátero

Características * Três lados Iguais

* Sua altura

2

3l

* Sua área

4

32

l

* Sua área D2

1

A 1/3 da altura temos o RAIO da circunferênciainscrita e a 2/3 o Raio da circunferência Circunscrita

Triângulo Isósceles

h

a

bc

* Dois lados iguais

* A altura o divide em dois triângulos retângulos iguais

* Sua área D2

1

Triângulo Escaleno

* Três lados diferentes

* Sua área D

2

1

Triângulo Retângulo

* Um ângulo reto * T. Pitágoras a2 = b2 + c2

* Trigonometria

AC

OC

h

AC

h

OCsen

.

.tan

.cos

.

* Área

2

.CatCat

QuadriláteroQ

u

A

D

R

I

L

A

T

E

R

o

Paralelogramo

Trapézio

Quadrado

Retângulo

Losango ou Rombo

Retângulo

Isósceles

Escaleno

Algumas Particularidades

Paralelogramos As diagonais cruzam-se no PONTO MÉDIO

Quadrado e no

Losango

As diagonais também são PERPENDICULARES

Trapézio Prolongando os lados não paralelos optemos um triângulo

CIRCUNFERÊNCIA

.

É um conjunto de pontos eqüidistantes de um único ponto chamado centro

Elementos

C

A

Bc

D

EAE Arco

AC EC BC Raio

CD Corda

AB Diâmetro

A reta secante r sobre a

circunferência ¥ determina uma corda onde sua mediatriz

passa pelo centro da circunferência

Reta Secante a

Circunferência

.

r¥

c

OBS. Três pontos determinam uma circunferência

r

¥

.c

Reta TangenteA Reta tangente

a uma circunferência é

sempre perpendicular a reta suporte que

contém o raio