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Pesquisa Operacional

Aplicações da Programação Aplicações da Programação Linear no Ambiente de GestãoLinear no Ambiente de GestãoLinear no Ambiente de GestãoLinear no Ambiente de Gestão

A Ciência da Decisão

Uma decisão pode ser classificada em t t d l é i d f testruturada se envolver uma série de fatores

que possam ser quantificados, e logo, equacionados;Pesquisa Operacional é uma ferramenta de apoio à decisão estruturada;apoio à decisão estruturada;Alguns problemas são surpreendentemente equacionáveis!

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Equacionando um problema

Vamos seguir um exemplo de um problema a ser equacionado.

É um problema corriqueiro, que já aconteceu com alguns de vocês.

O Planejamento Social de um “Galinha”Considere que você está saindo qcom duas namoradas:

Ana Paula Arósio Scheila Carvalho.

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Qual é a decisão?Se você pudesse, estou certo, planejaria sair com asduas ao mesmo tempo e a todo tempo acertei?duas ao mesmo tempo, e a todo tempo, acertei?Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá.Elas não aceitariam sair com você juntas.Ciumentas!E, sair todo dia também não dá. Você não temdi h i ( t t i ) i t d didinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia.Para garantir a sua felicidade, considerando estesproblemas desagradáveis, você precisa decidirquantas vezes na semana sair com cada uma!

A Decisão !Chamemos assim:

tid d d• x1: a quantidade de vezes porsemana que você vai sair com aAna;• x :a quantidade de vezes por• x2 :a quantidade de vezes porsemana que você vai sair com aScheila;

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Variáveis de DecisãoO que nós criamos, x1 e x2, são aschamadas VariáveisVariáveis dede DecisãoDecisão;chamadas VariáveisVariáveis dede DecisãoDecisão;As variáveis de decisão são aquelesvalores que representam o cerne doproblema, e que podemos escolherdecidir) livremente;decidir) livremente;Veja que, a princípio, você pode sairquantas vezes quiser com Ana Paula ecom Scheila.

Mas...Problemas Financeiros!!!Entretanto, existe um pequeno problema:

♥♥Ana é chique e gosta de lugares caros. Umanoite com ela custa R$1800,00;

♥ Scheila é mais simples, gosta de passeiosbaratos. Sair com ela custa só R$1000,00;Mas a sua semanada é de apenas R$ 8000,00!Como fazer para garantir que você não vai seendividar?

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Garantindo a mesadaSe você sai com a Ana x1 vezes no mês, ecada vez gasta R$1.800,00, então você gastaR$ 1.800 x1 por semana!Fazendo o mesmo raciocínio para Scheilaobtemos o seguinte:

800010001800 21 ≤+ xxgarantia

21

gasto total da semana

gasto disponível por semana

Problemas com o relógioAs diferenças entre as duas não são apenasno volume de gastos:no volume de gastos:→Scheila é muito agitada. Cada vez que vocêsai com ela gasta em média 4 horas do seuprecioso tempo.→Quando sai com Ana, que é mais sossegada,você gasta apenas 2 horas.

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Garantindo os estudosConsidere que os seus afazeres escolares sólhe permitem 20 horas de lazer por semanalhe permitem 20 horas de lazer por semana.Usando a notação anterior, como fazer paragarantir que não vai extrapolar este tempo?

garantia

2042 21 ≤+ xx

total de horas Tempo livre

Pensando em tudo junto: Restrições

2042 21 ≤+ xx (Horas por semana)021 xx800010001800 21 ≤+ xx( p )

(R$ p/ semana)

Você já pode se planejar! Decida quantas vezesvocê vai sair com Ana (x1) e com Scheila (x2)!( 1) ( 2)Vamos ver quantas horas e quanto de dinheirovocê pobre consumidor gastará em busca de suafelicidade, e depois quanto sobrou!

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Quanto consumo?

2042 21 ≤+ xx (Horas por semana)

800010001800 21 ≤+ xx (R$ p/ semana)

EXEMPLO:Saindo 3 vezes com Ana e 2 vezes com Scheila, teremos: x1 = 3 e x2 = 2

horas 142 x 43 x 2 =+Reais 00472 x 10003 x 1800 ≤+

O que sobra?20 horas – 14 horas = 6 horasR$ 8.000 – R$ 7.400 = R$ 600

Outra Situação?

2042 21 ≤+ xx (Horas por semana)

800010001800 21 ≤+ xx (R$ p/ semana)

Outro EXEMPLO:Saindo 3 vezes com Ana e 4 vezes com Scheila, teremos: x1 = 3 e x2 = 4

horas 224 x 43 x 2 =+Reais 00494 x 10003 x 1800 ≤+

O que sobra?22 horas – 14 horas = -2 horasR$ 8.000 – R$ 7.400 = -R$ 140

Impossível pelas condições de restrição

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Falta um ObjetivoÉ preciso pensar no objetivo final. O que euquero, para obter a maior felicidade?quero, para obter a maior felicidade?Algumas Opções:1ª Opção -Sair a maior quantidade de vezes por semana possível;

t t l d íd

21 xmax x +

total de saídas, independentemente de com quem

Outro Objetivo Possível

Suponha que você gosta da Scheila duas vezesSuponha que você gosta da Scheila duas vezesmais do que gosta da Ana.Assim, você pode criar um índice querepresenta a sua preferência:

21 x2max x +

A Scheila terá o dobro de saídas

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Criamos assim dois modelos diferentes

21 xmax x + 21 x2max x +Funções Objetivo21 21Objetivo

2042 21 ≤+ xx800010001800 21 ≤+ xx

2042 21 ≤+ xx800010001800 21 ≤+ xx

0, 21 ≥xx 0, 21 ≥xxCondições de não-negatividade

rest

riçõe

s

Problemas de OtimizaçãoEm problemas reais de otimização busca-se maximizarmaximizarou minimizarminimizar uma quantidade específica, chamada q p ,objetivoobjetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada.As variáveis de entrada podem ser: • Independentes uma das outras• Relacionadas umas com as outras por meio de uma Relacionadas umas com as outras por meio de uma ou mais restrições

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Programação MatemáticaUm problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções matemáticas erestrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionais

Bill Gates entrando na sua história

Sensibilizado com a sua procura pela felicidade com as duasnamoradas, Bill Gates desenvolveu uma ferramenta de apoio noutilitário Excel do pacote Office, chamada Solver . Com elavocê poderá descobrir as quantidades ÓTIMAS de saídas comas suas namoradas.Diga-se, de passagem, que durante a segunda guerra omatemático Dantzig, estudou um problema semelhante ao seupara ser usado na guerra (uma guerra de verdade e não a sualuta de galinha pela conquista de mulheres) A esta área daluta de galinha pela conquista de mulheres). A esta área damatemática muito desenvolvida hoje em dia deu-se o nome deProgramação Linear (aliás, um programa bem diferente doseu).O que vamos fazer agora é encontrar a solução ótima para asua felicidade!

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Solver – Microsoft Excel

• Para instalar o recurso Solver, clique em Suplementos no menu Ferramentas e marque a caixa de seleção Solver

• Clique em OK e o Excel instalará o recurso SolverApós a instalação do suplemento você• Após a instalação do suplemento, você poderá executá-lo clicando em Solver no menu Ferramentas.

Vamos Otimizar o Primeiro Modelo

21 xmax x + 21 x2max x +Funções Objetivo21 21Objetivo

2042 21 ≤+ xx800010001800 21 ≤+ xx

2042 21 ≤+ xx800010001800 21 ≤+ xx

0, 21 ≥xx 0, 21 ≥xxCondições de não-negatividade

rest

riçõe

s

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Resolvendo o modelo pelo SolverPara resolver o problema na planilha, devemos definir:definir:• as células para representar as variáveis de variáveis de

decisãodecisão, • uma célula para representar o valor da função valor da função

objetivoobjetivo, e• devemos representar também as restriçõesrestrições

em células separadas

12345

A B C D E F G HPRODUTOAna PaulaScheila

MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIA (Noitada)R$ 1.800,00R$ 1.000,00 = B13+C13

Resolvendo o modelo pelo Solver –cont...

5678910

Ana Paula ScheilaGasto Semanal Disponível (R$) 8.000 1.800 1.000Tempo Livre Disponível (h) 20 2 4

Restrições Quantidade Máxima DisponívelQUANTIDADE REQUERIDA Por SAÍDA

Informações doProblema

1213141516

A B C D E F G HAna Paula Scheila

Quantidades de SaídasCusto unitário por Saída 1800 1000

0,00

VARIÁVEIS DE DECISÃO

Função Objetivo

617181920

21

Gasto Semanal Disponível (R$) 1800 1000 0 <= 8.000Tempo Livre Disponível (h) 2 4 0 <= 20

Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveisRestrições

=SOMARPRODUTO(B18:C18;$B$13:$C$13)=SOMARPRODUTO(B19:C19;$B$13:$C$13)

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Após digitar os valores, clique no menu Ferramentas > Opção Solver...

Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.)

Ferramentas > Opção Solver...Selecionar a célula da função objetivo(E15)Em “Igual a”: Escolha a opção Min

Na caixa “Células variáveis:” – inserir os valores das variáveis de decisão

Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.)

• Na caixa “Submeter às restrições:” devem ser inseridas as restrições do problema

• Clique no botão “Adicionar” e a janela abaixo• Clique no botão Adicionar e a janela abaixo aparecerá

Por último, clique no botão “OK”

Selecione as células contendo a 1a e a 2ª restrição (E18:E19)

Escolha a opção que corresponde ao tipo de restrição

Selecione as células que contém a restrição correspondente G18:G19

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Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.)

Na janela Parâmetros do Solver, clicando em Opções, aparecerá: Marque as caixas:

Presumir modelo linearPresumir não-negativos

Depois voltando, clique em OK.

• Após adicionar todas as restrições, clique no botão “Resolver”• A janela abaixo aparecerá• Nesta janela clique no botão “OK”

Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.)

• Nesta janela, clique no botão OK

Para criar um relatório (planilha) na (planilha) na pasta atual

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Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) – Resultados !

121314151617181920

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A B C D E F G HAna Paula Scheila

Quantidades de Saídas 2 4

6

Gasto Semanal Disponível (R$) 1800 1000 8000 <= 8.000Tempo Livre Disponível (h) 2 4 20 <= 20

Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

VARIÁVEIS DE DECISÃO

Função Objetivo

Restrições

Para resolver no Solver ... (cont.)(problemas a serem resolvidos em aula !)

Uma microempresa produz dois tipos de jogos paraadultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horassemanais O jogo A requer 3 horas para ser produzidosemanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzidoe propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogoB precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta umlucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogodevem produzidas semanalmente a fim de maximizar olucro?

Função objetivo:Maximizar Lucro = 30x1 + 40x2Restrições:3x1 + 5x2 ≤ 50x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

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Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas

Para resolver no Solver ... (cont.)(problemas já resolvidos em aula !)

produtos A e B. Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidratos e custa R$ 2,00. Um kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo ?

Função objetivo:Mi i i C t 2 3Minimizar Custo = 2x1 + 3x2Restrições:3x1 + 6x2 ≥ 1510x1 + 5x2 ≥ 20 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Um produtor que utilizou recursos deprogramação linear no planejamento da

Para resolver no Solver ... (cont.)

g jprodução de sua empresa, chegou a seguinteformulação de programação linear quemaximizará seu lucro:

Função objetivo:Maximizar lucroLucro = 130a + 350bRestrições:3a + 4b ≤ 1202a + 8b ≤ 160 a ≥ 0b ≥ 0

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Para resolver no Solver ... (cont.)

Um empreendedor decidiu comercializar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observações: cada modelo comum (A) rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido (B) rende um lucro de R$ 450,00.Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para oUm modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos ? Construa o modelo matemático e encontre a solução para o problema utilizando o método gráfico.

Função objetivo:Maximizar lucroLucro = 520a + 450bRestrições:40a + 25b ≤ 40024a + 30b ≤ 360 a ≥ 0b ≥ 0

Problema a ser resolvido em aula

Uma fábrica de computadores produz 2 modelos decomputador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, umgabinete pequeno e uma unidade de disco O modelo B requergabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque:60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquemade produção que maximiza o lucro ?

Função objetivo:M i i lMaximizar lucroLucro = 1800x1 + 1000x2Restrições:x1 + 2x2 ≤ 120x1≤ 60x2 ≤ 50x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;

Solução:

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Exemplo do Roteiro – p. 51Imaginemos que seja pedido a você, como gestor de umaconfecção de roupas, e precisa determinar a melhor forma deproduzir a linha Jeans da empresa, neste momento, para que amargem de contribuição total da linha seja a maior possível.Você, juntamente com o setor de contabilidade da empresa,, j p ,consegue as seguintes informações relevantes.

Função objetivo:Maximizar lucroLucro = 2x1 + 4x2 + 7x3Restrições:4x1 + x2 + 2x3 ≤ 25001x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 4000x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 3500

1234

A B C D EPRODUTOSaiaCalçaBermuda

MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIAR$ 2,00R$ 4,00R$ 7,00 x1 2x2 4x3 ≤ 3500

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;

Solução:

5

67

8910

Saia (a) Calça(b) Bermuda ( c )

Espaço Físico (m2) 2500 4 1 2Tecido (m) 4000 1 4 2Horas‐máquina (hm) 3500 1 2 4

RestriçõesQuantidade Máxima Disponível

QUANTIDADE REQUERIDA PELOS PRODUTOS

Solução do Exemplo do Roteiro –p. 51

1A B C D E F G

Saia Calça Bermuda123456

789

Saia Calça BermudaQuantidades 214,3 714,3 464,3Margem unitária 2 4 7Margem Total 428,57 2.857,14 3.250,00 6.535,71

Função Objetivo

Espaço Físico(m2) 4 1 2 2500 <= 2.500Tecido (m) 1 4 2 4000 <= 4.000Horas‐máquina(hm) 1 2 4 3500 <= 3.500

10 Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

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Solução do Exemplo do Roteiro –p. 51123

A B C D E F GMicrosoft Excel 12.0 Relatório de respostaPlanilha: [MetQuantitatEtapaVvol3.xlsm]ExemploPL1.2R l tó i i d 01/03/2009 18 59 363

45678910111213

Relatório criado: 01/03/2009 18:59:36

Célula de destino (Máx)Célula Nome Valor original Valor final$E$4 Margem Total 0,00 6.535,71

Células ajustáveisCélula Nome Valor original Valor final$B$2 Q tid d S i 0 0 214 313

141516171819202122

$B$2 Quantidades Saia 0,0 214,3$C$2 Quantidades Calça 0,0 714,3$D$2 Quantidades Bermuda 0,0 464,3

RestriçõesCélula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência$E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo 2500 $E$7<=$G$7 Agrupar 0$E$8 Tecido (m) Função Objetivo 4000 $E$8<=$G$8 Agrupar 0$E$9 Horas‐máquina(hm) Função Objetivo 3500 $E$9<=$G$9 Agrupar 0

Atividade 1A fábrica de brinquedos "Mambel" produz a boneca "Bárbara" para exportação, e a "Soninha", paraconsumo interno. A boneca Bárbara proporciona uma margem de contribuição unitária de R$ 40,00por unidade, contra R$ 30,00 da boneca Soninha. Por restrições de material, a fábrica sóconsegue produzir 400 bonecas por dia (turno de 8 h) independentemente do tipo. Se a Mambel sóproduzisse Bárbaras, a fábrica poderia fabricar apenas 250 unidades por dia, devido ao seu tempode produção ser o dobro do da Soninha. A empresa quer otimizar o lucro, ainda que dentro de suasde produção ser o dobro do da Soninha. A empresa quer otimizar o lucro, ainda que dentro de suaspolíticas de venda, tenha que produzir pelo menos 100 unidades da boneca Bárbara paraexportação.Determine a expressão matemática que representa a função objetivo e indique o tipo deotimização (maximização ou minimização) é desejada pela indústria. Descreva, também, asrestrições para o problema e encontre a melhor programação de produção diária pelouso doSOLVER.SoluçãoVariáveis: A = Bárbara (MC unitária 40,00) e B = Soninha (MC unitária 30,00)Função Objetivo: Margem de Contribuição= 40A +30B ....MáximoRestrições:A + B <= 400 ....Restrição de Produção da Fábrica (turno de 8 h) independente do tipo.Agora (xA + yB ) <= 8, isto é, x horas de produção diária de A e y horas de produção diária de B deve totalizar 8 horas. Produzindo apenas "Barbara" temos xA = 8 ou x 250 = 8 ⇒ x = 0,032. Como x deve ser o dobro de y, temos que y = 0,0160,032A + 0,016B ≤ 8 ... Restrição da produção diária de cada boneca.A ≥ 100 .... Restrição da política de venda da boneca Bárbara para exportação.

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Solver em ação!!!131415

A B C D E F GBárbara Soninha

Quantidades 100,0 300,0Margem unitária 40 30

16171819202122

gMargem Total 4.000,00 9.000,00 13.000,00

Função Objetivo

Produção Total 1 1 400,0 <= 400Produção Bárbara 0,032 0,016 8,0 <= 8Produção Bárbara 1 0 100,0 >= 100

Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

Atividade 2Uma empresa decidiu investir $12 milhões na compra de máquinas para fabricação de diferentes tipos de placas para uma nova geração de aparelhos celulares. Três modelos de máquinas estão sendo avaliados. O número total de operadores disponíveis no mercado local é de 100. Cada operador trabalha um turno de 6h, e todas as máquinas devem operar nos três turnos de produçãoda empresa. Informações adicionais referentes às máquinas estão indicadas na tabela, a seguir.

Descreva a função objetivo e restrições para o problema, determinando, em seguida, quantas máquinas de cada modelo a empresa deve ser adquirir, para que o número de placas fabricadas, por dia, seja maximizado?

Função Objetivo: Nº de Placas Fabricadas = 18*[(55*A)+(55*B)+(50*C) ....MáximoRestrições:400.000*A + 700.000*B + 600.000*C <= 12.000.000 ....Restrição do Investimento.6*A + 6*B + 3*C <= 100 .... Restrição do nº total de operadores.A>=0 ; B>=0 ; C >=0 .... Restrição da quantidade de máquinas em produção.A= número ; B = número ; C = número ... Restrição da quantidade de máquinas ser número inteiro.

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Solver em ação!!!131415161718

A B C D E F GA B C

Quantidades/Máquina 10,0 0,0 13,0Turnos 3,0 3,0 3,0Placas/hora 55 55 50Total de Placas Produzidas 9.900,0 0,0 11.700,0 21.600,0

Função Objetivo1819202122232425262728

Função Objetivo

Investimento 400.000 700.000 600.000 11.800.000,00 <= 12.000.000Operadores 6 6 3 99,0 <= 100Quantidades de peças a produzir 1 0 0 10,0 >= 0

0 1 0 0,0 >= 00 0 1 13,0 >= 0

Arredondamento 1 0 0 10,0 núm número0 1 0 0,0 núm número0 0 1 13,0 núm número

Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

Atividade 3Um Banco está delineando sua política de crédito para o próximo trimestre deste ano. Um total de 12 milhões será alocado às várias modalidades de empréstimo que ele pretende conceder. Sendo uma instituição de atendimento pleno, é obrigado a atender a uma clientela diversifi cada. A tabela, a seguir, prevê as modalidades de empréstimos praticadas pelo Banco, as taxas de juro por ele cobradas, e a possibilidade de inadimplência, medida em probabilidade, com base em históricos anteriores.

Toda inadimplência é assumida como irrecuperável e não produz retorno. Em função da concorrência, é preciso que, pelo menos, 40% do total disponível seja destinado a empréstimos agrícolas e comerciais. Para apoiar a indústria da construção civil na região, os empréstimos para compra de imóveis devem ser, pelo menos, metade do total alocado para empréstimos pessoais e compra de carro. A presidência do Banco deseja incluir na sua política de empréstimos a condição de que a razão entre o total da inadimplência em todos os empréstimos e o total emprestado não exceda 0,06. Formule um modelo de programação linear para otimizar a política de crédito do Banco, equacionando o problema por meio de uma função objetivo e das restrições. Busque para o banco a melhor solução usando o SOLVER.Função Objetivo: Retorno= (0,15 Pe + 0,15 CA + 0,11 CI + 0,10 Ag + 0,09 Com) ....MáximoRestrições:Pe + CA + CI + Ag + Com = 12.000.00 ... Restrição do total alocado a empréstimos pelo BancoAg + Com >= 0,4 * (12.000.000) ....Restrição de Empréstimos Agrícolas e Comerciais.CI >= 0,5 (Pe + CA) .... Restrição de apoio a indústria da construção civil na região.(0,10 Pe + 0,08 CA + 0,04 CI + 0,06 Ag + 0,03 Com) <= 0,06 * (12.000.000) .... Restrição da Inandimplência.

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Solver em ação!!!

15161718

A B C D E F G H IPe CA CI Ag Com

Volume de Empréstimo 0,00 4.800.000,00 2.400.000,00 3.200.000,00 1.600.000,00Função Objetivo 1.448.000,0

1819202122232425

Agrícola e Comerciais 0 0 0 1 1 4.800.000,00 >= 4.800.000Compra de Imóveis ‐0,5 ‐0,5 1 0 0 0,00 >= 0Disponibilidade para Alocação 1 1 1 1 1 12.000.000,0 = 12.000.000Inadimplência 1 1 1 1 1 720.000,0 <= 720.000

Valores das condições Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

Atividade 4O setor de telemarketing de uma empresa de cartão de crédito necessita da seguinte quantidade mínima de funcionáriostrabalhando no setor, por dia:

Cada f ncionário trabalha 5 dias consec ti os e tem 2 dias de folga e pode começar em q alq erCada funcionário trabalha 5 dias consecutivos, e tem 2 dias de folga, e pode começar em qualquer dia da semana. Cada funcionário recebe $100,00 por semana. Se trabalhar aos sábados, recebe um extra de $5,00, e se for aos domingos, um extra de $10,00. Formule um modelo de programação linear, de forma a minimizar a quantidade de funcionários que irá trabalhar em cada uma das 7 escalas montadas para atender à empresa. Descreva, para isso, a função objetivo do problema com suas respectivas restrições.Função Objetivo: Custo = (30 Dom + 20 Seg + 20 Ter + 20 Qua + 20 Qui + 20 Sex + 25 Sab) ....MínimoRestrições:Dom + Seg + Ter + Qua + Qui >= 18 ....Restrição de Quantidade Mínima de Funcionários.Dom Seg Ter Qua Qui 18 ....Restrição de Quantidade Mínima de Funcionários.

Seg + Ter + Qua + Qui + Sex >= 30Ter + Qua + Qui + Sex + Sab >= 30

Dom + Qua + Qui + Sex + Sab >= 20Dom + Seg + Qui + Sex + Sab >= 15Dom + Seg + Ter + Sex + Sab >= 17Dom + Seg + Ter + Qua + Sab >= 24

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Solver em ação!!!

20212223242526272829303132

A B C D E F G H I J KDom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

Escalas inicando em: 0 3 10 8 0 9 3Função Objetivo 675,0

Restrições ‐ Escala iniciando em: Dia de TrabalhoDom 1 1 1 1 1 0 0 21 >= 18Seg 0 1 1 1 1 1 0 30 >= 30Ter 0 0 1 1 1 1 1 30 >= 30Qua 1 0 0 1 1 1 1 20 >= 20Qui 1 1 0 0 1 1 1 15 >= 15Sex 1 1 1 0 0 1 1 25 >= 17Sab 1 1 1 1 0 0 1 24 >= 24

33Valores das condições

Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

Atividade 5Em uma fazenda, deseja-se fazer 12 toneladas de ração com o menor custo possível. De acordo com as recomendações do veterinário dos animais da fazenda, a ração deve conter: 18% de proteína, um mínimo de 10% de fibra e, por fim, cada kg de ração deve ter entre 1.200 e 2.500 calorias. Para fazer a ração, estão disponíveis quatro ingredientes cujas características técnico-econômicas estão mostradas, a seguir:

Outro fator importante é que a ração deve ter em sua composição m mínimo de 25% de milho e no má imoProteínas Fibras Calorias/kg Custo/kg composição um mínimo de 25% de milho e, no máximo, 18% de soja. Equacione o problema definido a função objetivo e as restrições, e indique para a fazenda quanto deverá ser utilizado de cada ingrediente para que o custo seja mínimo.

DICA: trabalhe as unidades das equações em quilogramas, para facilitar.

Função Objetivo: Custo = 0,43 Cevada + 0,36 Aveia + 0,57 Soja + 0,32 Milho....MínimoRestrições:Cevada + Aveia + Soja + Milho = 12.000 kg ... Restrição de Quantidade Total de Ração.

Cevada 7,1% 7,0% 1848 0,43Aveia 8,0% 12,0% 1785 0,36Soja 9,3% 12,0% 1108 0,57Milho 29,4% 16,0% 1470 0,32

Cevada Aveia Soja Milho 12.000 kg ... Restrição de Quantidade Total de Ração.0,071 Cevada + 0,08 Aveia + 0,093 Soja + 0,294 Milho = 18% de 12 ton ... Restrição de Proteína0,07 Cevada + 0,12 Aveia + 0,12 Soja + 0,16 MIlho >= 10% de 12 ton ... Restrição de Fibras1848 Cevada + 1785 Aveia + 1108 Soja + 1470 Milho >= 1.200 * 12.000 ...Quantidade Mínima de Calorias1848 Cevada + 1785 Aveia + 1108 Soja + 1470 Milho <= 2.500 * 12.000 ...Quantidade Máxima CaloriasMilho >= 25% de 12.000 kgSoja <= 18% de 12.000 kg

19/09/2009

24

Solver em ação!!!

A B C D E F G H17181920212223242526272829

A B C D E F G HCevada Aveia Soja Milho0,00 6.392,52 0,00 5.607,48

Função Objetivo R$ 4.095,70

RestriçõesQuantidade Total de Ração 1 1 1 1 12.000 = 12.000Proteínas 1 1 1 1 2.160 = 2.160Fibras 1 1 1 1 1.664 >= 1.200Mínima de Calorias 1 1 1 1 19.653.645 >= 14.400.000Máxima de Calorias 1 1 1 1 19.653.645 <= 30.000.000Porcentagem de Milho 0 0 0 1 5.607 >= 3.000Porcentagem de Soja 0 0 1 0 0 <= 2.160

30Valores das condições

Relação RestriçãoCoeficientes das variáveis

Atividade Avaliação à Distância1

23

4

A B C D E F G H I J

FunçãoObjetivo x1 x2 x3 x4 x5 x6

1 1,5 2,5 3 4 4

Loja Animais de EstimaçãoCoeficiente das Variáveis

5678910

11121314

Variáveis 2,00 3,33 0,00 0,00 0,00 0,00Z= 7

RestriçõesNº x1 x2 x3 x4 x5 x6 LHS RHS

1 20 30 40 40 35 30 140,0 ≥ 1402 50 30 20 25 50 20 200,0 ≥ 2003 4 9 11 10 9 10 38,0 ≥ 204 1 0 0 0 0 0 2 0 ≥ 0

Coeficientes das Variáveis Constantes

141516171819

4 1 0 0 0 0 0 2,0 ≥ 05 0 1 0 0 0 0 3,3 ≥ 06 0 0 1 0 0 0 0,0 ≥ 07 0 0 0 1 0 0 0,0 ≥ 08 0 0 0 0 1 0 0,0 ≥ 09 0 0 0 0 0 1 0,0 ≥ 0

19/09/2009

25

Atividade Avaliação à Distância1

23

4

A B C D E F G H

FunçãoObjetivo x1 x2 x3 x4

15 10 9 7

KIA Ltda.Coeficiente das Variáveis

45678910

1112

15 10 9 7

Variáveis 1.283 0 350 367Z= R$ 24.966,67

RestriçõesNº x1 x2 x3 x4 LHS RHS

1 2 3 4 5 5.800,0 ≥ 5.8002 3 4 5 6 7.800,0 ≥ 6.000

Coeficientes das Variáveis Constantes

131415161718

3 1 1 1 1 2.000,0 = 2.0004 0 0 1 0 350,0 ≥ 3505 1 0 0 0 1.283,3 ≥ 06 0 1 0 0 0,0 ≥ 07 0 0 1 0 350,0 ≥ 08 0 0 0 1 366,7 ≥ 0