PESQUISA OPERACIONAL II

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• Metodologia de otimização;

• Problemas que requerem decisões sequenciais inter-relacionadas;

• Decisão tem um custo imediato e afeta contexto decisões futuras;

• Objetivo:• como obter a sequência de decisões;• minimização custo total em um número de estágios;• compromisso entre custo imediato e futuro;

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A Programação Dinâmica procura resolver o problema de otimização pela análise de uma sequência de problemas mais simples do que o problema original;

A resolução do problema original de n variáveis é caracterizada pela determinação de uma variável e pela resolução de um problema que possua uma variável a menos (n-1);

Este por sua vez é resolvido pela determinação de uma variável e pela resolução de um problema de n-2 variáveis e assim por diante;

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Problema elaborado pelo Prof. Harvey M. Wagner;

Ilustrar os conceitos de programação dinâmica;

Um caçador de ouros do Missouri decidiu participar da corrida do ouro na Califórnia;

A viagem seria realizada por um território inseguro, correndo um grande risco de ser assaltado;

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O caçador estava preocupado com sua segurança ao longo da viagem;

Empresas de seguros ofereciam apólices para passageiros de diligência;

Os custos da apólice era calculado de acordo com a segurança do trecho percorrido;

Assim, a rota mais segura seria aquela que tivesse a apólice mais barata;

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Uma possível maneira seria resolver o problema por meio de tentativa e erro;

Seria necessário verificar todas as rotas possíveis;

A programação dinâmica oferece uma solução com muito menos esforço;

Inicia com uma pequena porção do problema original, e gradualmente aumenta o tamanho do problema, até que todo o problema seja resolvido;

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Para o problema da diligência, a solução é iniciada a partir do último estágio, onde o caçador quase completou sua viagem;

Nesse caso, a solução é óbvia: ir do seu estado atual para o seu destino;

A cada iteração, o problema é ampliado aumentando 1 estágio para completar a viagem;

A solução do problema ampliado pode ser obtida baseada no resultado da iteração anterior;

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As variáveis de decisão Xn (n = 1, 2, 3, 4) são os destinos subsequentes ao inicio do estágio n;

Assim a rota final seria:◦ A → X1 → X2 → X3 → X4 (X4 = J);

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Seja fn(s, Xn) o custo total da melhor política a ser adotada para os próximos estágios;◦ O caçador está no estado s;◦ Pronto para seguir para o estágio n;◦ Xn é o seu destino imediato;

Objetivo: fn*(s, Xn) = min fn(s, Xn) = fn(s, Xn*) ;

fn(s, Xn) = Csxn + fn+1* ( Xn) ;

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Três rotas oferecem a mesma segurança:◦ A → C → E → H → J;◦ A → D → E → H → J;◦ A → D → F → I → J;

Qualquer uma dessas oferecem a maior segurança possível;

Custo total = f1*(A) = 11;

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O problema da diligência foi elaborado para oferecer uma interpretação física da estrutura abstrata dos problemas de programação dinâmica;

Uma maneira de reconhecer se uma situação pode ser formulada como um problema de PD é verificar se a estrutura do problema é análoga ao problema da diligência;

A seguir são apresentadas algumas características básicas de problemas de PD;

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O problema pode ser dividido em estágios, com uma decisão a ser tomada em cada estágio;

Cada estágio tem um conjunto de estados associados;◦ O número de estados pode ser finito ou infinito;

O efeito da decisão em cada estágio é relacionar o estado atual a um estado do próximo estágio;

O procedimento de resolução é desenvolvido para encontrar a melhor solução para o problema com um todo;

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• Dado o estágio atual, uma solução ótima para os demais estados é independente das decisões adotadas nos estágios anteriores (Princípio da Otimalidade de Bellman);

• O procedimento de resolução inicia-se encontrando a melhor solução para o último estágio;

• Existe uma relação que identifica a melhor solução para o estágio n, dado que a solução ótima para o estágio n+1 está disponível;

• O procedimento de resolução inicia-se pelo fim do problema e retrocede estágio por estágio até encontrar a melhor solução no início do problema;

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A programação dinâmica é uma técnica muito útil para tomar decisões sequencialmente inter-relacionadas;

O tipo de relação difere entre os problemas de PD;

Logo, é preciso formular bem as relações recorrentes para cada problema de PD;

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