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PESQUISA E USO DE METODOLOGIAS PROPOSTAS POR MALBA TAHAN PARA A MELHORIA DO ENSINO1

Tnia Maria Vilela Salgado LACAZ2 Juraci Conceio de Faria OLIVEIRA3

Resumo: O presente artigo relata os resultados dos projetos intitulados "Projeto de Educao Continuada de Professores da Rede Municipal de Queluz: pesquisa e uso de metodologias propostas por Malba Tahan para a melhoria do Ensino de Matemtica", coordenado pela professora Tnia M. V. S. Lacaz da FEG/UNESP, e "A Escola vai Malba Tahan", coordenado pela professora Juraci C. F. Oliveira da UNISAL/Lorena. As pesquisas, fundamentadas na obra de Malba Tahan, foram realizadas pelas professoras e por cinco alunos do segundo ano da Licenciatura em Matemtica da FEG/UNESP, trs dos quais trabalharam como voluntrios e dois como bolsistas do Ncleo de Ensino, todos orientados pela professora Tnia M.V.S. Lacaz. Essas pesquisas apoiaram a organizao e a execuo de um curso de educao continuada, oferecido pela professora Juraci C.F. Oliveira aos professores da rede municipal de Queluz. Constam do artigo, um breve histrico da vida do professor Jlio Csar de Mello Souza, heternimo Malba Tahan, algumas das suas idias quanto s questes pedaggicas que envolvem a prtica docente e os resultados obtidos na execuo dos projetos. Este trabalho nos possibilitou transitar pelas trs vertentes que definem os objetivos da Universidade: ensino, pesquisa e extenso universitria, alm de oferecer aos alunos da Licenciatura oportunidade de vivenciar a organizao e a prtica docente no ambiente escolar.

Palavras-chave: educao continuada; pesquisa; uso de metodologias; ensino de Matemtica; Malba Tahan

1. INTRODUO

A ORIGEM DE JLIO CSAR DE MELLO E SOUZA

Jlio Csar de Mello e Souza nasceu no dia 6 de maio de 1895, na cidade do Rio de Janeiro. A famlia Mello e Souza veio de Portugal para a Corte do Brasil no sculo XVIII, por volta de 1750. A decadncia da famlia veio aps a morte do patriarca, Comendador Francisco Jos de Mello e Souza. Dos trs filhos, Joo de Deus de Mello e Souza pai de Jlio Csar trabalhava como escriturrio numa importante indstria no Rio. L conheceu Antonio Cinino, um rico fazendeiro de Queluz SP, ao qual contou uma histria das dificuldades e do abandono do curso de Direito. Joo de Deus, aceitando o convite de Antonio Cinino mudou-se para Queluz e trabalhou como funcionrio do Ministrio da Justia. Em 1882 fundou, com o irmo Irineu, o Colgio Joo de Deus, em regime de internato. Em Queluz conheceu e casou-se com Carolina Carlos de Mello e Souza, professora primria, que fundou a primeira Escola Pblica de Queluz. Em 1889, com a crise do caf, fecharam o Internato. Em 1891, j com trs filhos, mudaram-se para o RJ. Em 1897, com seis filhos (entre eles o quinto filho, Jlio Csar) e

1 Apoio: Prefeitura Municipal de Queluz SP, UNISAL e PROGRAD/Fundunesp.

2 Faculdade de Engenharia/UNESP/Campus de Guaratinguet

3 Centro Salesiano de Ensino (UNISAL Lorena SP).

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novamente em dificuldades financeiras, retornaram a Queluz, onde nasceram mais trs filhos. Dos nove filhos, seis se dedicaram ao Magistrio. A infncia tranqila em Queluz, as peripcias de Jlio Csar e suas relaes familiares foram mais tarde descritas pelo irmo Joo Batista, autor do livro Meninos de Queluz.

Aos dez anos de idade, Jlio Csar foi enviado pelo pai ao Rio de Janeiro, onde deveria se preparar para o Colgio Militar. Contrariando as previses pessimistas do irmo Joo Batista, que julgava que o menino escrevia mal e era uma negao em matemtica, Jlio Csar ingressou no Colgio Militar do RJ em 1906, onde permaneceu at 1909, quando se transferiu para o Colgio Pedro II. Nesta poca vendia redaes aos colegas, mas no era bom aluno de matemtica. Criticava veementemente a didtica da poca que classificava como o detestvel mtodo da salivao. Com vocao para o Magistrio, concluiu o curso de professor primrio na Escola Normal do antigo Distrito Federal; depois diplomou-se em Engenharia Civil pela Escola Politcnica em 1913.

Jlio Csar viveu sua adolescncia e idade adulta no Rio de Janeiro, onde lecionou no Colgio Pedro II, na Escola Normal, no Instituto de Educao, na Escola Normal da Universidade do Brasil e na Faculdade Nacional de Educao, onde recebeu o ttulo de Professor Emrito.

Alm disso, tambm no Rio, trabalhou no jornal O Imparcial, nas Rdios Nacional, Clube e Mairynk Veiga, e na TV Tupi. Trabalhou tambm no Canal 2 em So Paulo e editou duas revistas: Al-Kharism (de Matemtica) e Damio, dirigida causa dos hansenianos.

Como escritor, publicou mais de 120 livros e, ao contrrio do que muita gente acredita, ele no foi um matemtico puramente algebrista, dedicou-se tambm ao estudo da geometria, escrevendo sozinho, como Jlio C. M. Souza, os livros Geometria Analtica, Trigonometria Hiperblica, alm de outros como Funes Modulares. Como Malba Tahan publicou Didtica da Matemtica, Antologia da Matemtica (em dois volumes), alm de muitos livros paradidticos, entre eles seu mais famoso O homem que Calculava. Em parceria com outros matemticos, entre eles Euclides Roxo, Cecil Thir, Clia Moraes, Jairo Bezerra, escreveu mais de 40 livros. Foi tambm um orador magnfico, proferindo mais de duas mil conferncias no Brasil.

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Morreu em 18 de junho de 1974 em Recife onde estava ministrando dois cursos no Colgio Soares Dutra, A Arte de Contar Histrias e Jogos e Recreaes . Seu corpo foi sepultado no Rio de Janeiro; Jlio Csar havia recomendado para que as pessoas no usassem luto por causa de sua morte, citando Noel Rosa Roupa preta vaidade/para quem se veste a rigor/ o meu luto a saudade/ e a saudade no tem cor...

2. AS CRENAS E A DIDTICA DE UM EDUCADOR

Jlio Csar fez curso de teatro com Procpio Ferreira e, mais do que um professor, tornou-se um ator. Explorou o interesse ldico da juventude para introduzir nas aulas, nas conferncias e nos livros que escreveu uma nova didtica da matemtica. Nas aulas, trabalhava com estudo dirigido, manipulao de material concreto, e props a criao de laboratrios de matemtica em todas as escolas. Segundo o Professor Antonio Jos Lopes Bigode, ele estava muito alm do seu tempo: O resgate da sua didtica pode revolucionar o Ensino. Ainda hoje o ensino tradicional responsvel por metade das repetncias.

Em seu depoimento no Museu da Imagem e do Som, Jlio Csar admitiu no dar zeros: Por que dar zeros, se h tantos nmeros? Dar zero uma tolice!. O professor encarregava os melhores da turma de ajudar os mais fracos: Em junho, julho, estavam todos na mdia.

Foi um criativo e ousado professor, que praticava muito mais do que o ensino puramente terico e expositivo da poca. Destacamos os seguintes aspectos de sua obra didtica:

Foi um crtico severo da didtica usual de matemtica da primeira metade do sculo XX (contam-se episdios de violentas discusses que travou em congressos e conferncias). O professor de matemtica em geral um sdico, acusava, Ele tem o prazer de complicar tudo;

Foi um pioneiro no uso didtico da Histria da Matemtica, na defesa de um ensino baseado na resoluo de problemas no-mecnicos, na explorao didtica das atividades recreativas e no uso de material concreto no ensino da matemtica;

Foi um dos primeiros a explorar a possibilidade do ensino por rdio e televiso, antecipando o ensino a distncia;

Trabalhou com interdisciplinaridade e multiculturalismo, alm de se dedicar s causas sociais, exercendo as competncias de um verdadeiro Educador, e deixando um legado de valor incalculvel para os cursos de formao de professores.

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3. A CRIAO DE UM PERSONAGEM: MALBA TAHAN Jlio Csar nunca visitou o Oriente, mas estudou a lngua, a cultura, a histria e a

geografia rabes, leu o Talmude e o Coro, e criou um personagem, Ali Iezid Izz-Eduim Ibn Salim Hank Malba Tahan (Oliveira, J.C.F., tese de Mestrado). Tal personagem nasceu na Arbia Saudita, herdou enorme fortuna e viajou muitssimo, morrendo em 1921, em luta pela libertao de uma tribo rabe. Foi tambm criado um tradutor dos livros de MT, Breno Bianco, que iniciou publicando no Jornal O Imparcial, no qual Jlio Csar j trabalhava e j tentara publicar outros artigos com outros pseudnimos, inclusive os Contos de Malba Tahan, junto com a biografia do suposto autor.

O autor se consagrou e, mesmo aps a revelao de sua verdadeira identidade, o ento Presidente Getlio Vargas autorizou Jlio Csar a usar o nome Malba Tahan na sua cdula de identidade, criando ento o seu heternimo.

Malba Tahan publicou quase sessenta livros. Alm dos livros j citados, de didtica e de matemtica, escreveu muitos contos sobre o oriente, contos religiosos e morais, alm de temas diversos sobre o Brasil. Hoje, muitos livros so usados como paradidticos. Foi eleito membro da Academia de Letras de Recife, mas, na Academia Brasileira, no ocupou cadeira, no sendo reconhecido como literato. Sua famlia conta sua enorme frustrao por no ser reconhecido nem como matemtico nem como escritor.

4. PESQUISA

A pesquisa em Educao Matemtica acontece naturalmente na leitura e anlise dos livros de Malba Tahan. Linhas de pesquisa como histria da matemtica, etnomatemtica, modelagem matemtica, resoluo de problemas, uso de materiais concretos, montagem de laboratrios de ensino de matemtica, jogos e recreaes matemticas, e temas transversais como multiculturalismo, meio ambiente, cidadania, sade pblica, interdisciplinaridade e transdisciplinaridade, podem ser amplamente estudados e explorados por professores na sua prtica em sala de aula.

As pesquisas realizadas orientaram os professores na utilizao da obra de Malba Tahan em vrias atividades que extrapolaram as aulas de matemtica, como: oficinas de leitura, dramatizaes, dinmicas de grupo, projetos interdisciplinares, organizao de eventos etc.

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4.1. A Matemtica do livro O homem que calculava

O livro O homem que Calculava, publicado pela primeira vez em 1937, foi traduzido para doze idiomas e atualmente est na quadragsima sexta edio pela Editora Record. A trajetria de Beremiz Samir, personagem principal do livro, contada pelo narrador Hank-Tade-Mai, que, encantado com a enorme facilidade do amigo de trabalhar com nmeros astronmicos, convida-o para que juntos possam seguir viagem pelo deserto, e para que Beremiz possa resolver os mais diversos tipos de problemas do cotidiano das pessoas que encontram, utilizando seus extraordinrios saberes de matemtica para tornar-se um cidado prspero e respeitado. O objetivo do livro no a formalizao dos modelos matemticos que resolvam cada uma das inusitadas situaes com que se deparam seus divertidos personagens, embora o autor tea, no final, alguns comentrios acerca dos problemas.

Esta pesquisa apresenta a modelagem dos problemas do livro e, seguindo a orientao pedaggica do autor, a resoluo desses, utilizando alm das frmulas clssicas, recursos educacionais que tornem agradvel as aulas de matemtica, encantando o aluno e o educador.

A pesquisa dos alunos Carlos Frederico Bastarz (bolsista), Lucirene Ges Frana (voluntria) e Liliane Lellis (bolsista que organizou a tabela a seguir) seguiu a metodologia seguinte: mediante a leitura e o entendimento de cada problema do livro, Carlos e Lucirene discutiram a soluo apresentada e modelaram o problema. Liliane adequou-os aos contedos dados em sala de aula. Em alguns casos, sugeriram para as classes iniciais a utilizao de material concreto para a resoluo e/ou compreenso do problema matemtico.

A tabela a seguir contm a seleo dos exerccios e citaes da obra "O Homem que Calculava", de Malba Tahan, com a indicao da srie onde podem ser aplicados e o respectivo contedo matemtico envolvido na sua resoluo.

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Problemas/Citaes Srie Contedo

Cap 3: Prob dos 35 camelos EF Ciclo II e da 5a a 8a Conj. Num., Mltiplos, Divi. de um

nm., Divisi., Frao, Forma Decimal, MMC

Cap 4: O Prob dos 8 pes EF Ciclo II e da 5a a 8a Operaes Fundamentais da lgebra e Sistema Linear

Cap 5: O Prob do Joalheiro e do Hospedeiro EF 7

a e 8a sries

Op. Fund., Fraes e Forma Decimal, Conj. Num., Prop. e Rel. Num., Regra de Trs, Divisi. e Multiplici., Sistemas

de Medida

Cap 6: Nmero de Camelos de Uma Cfila EF 5

a, 6a e 8a sries

Primos, Nm. Quadrados, Sist., Divisi e Multiplici., Sist. Deci, Naturais,

Racionais e Rep. Fracionria e na Forma Decimal

Cap 6: Curios: Quadrados Num. EF 5

a a 8a sries Potenciao

Cap 7: O Prob dos 50 Dinares EF Ciclo I e II Interp. de Probs, Op. com Naturais e Reais Cap 7: O Prob dos Quatro Quatros; EF Ciclo I e II

Operaes Fund. Da lgebra e Utilizao dos Sinais de Operaes

Algbricas

Cap 8: O Prob dos 21 vasos EF Ciclo II,5a e 6a sries Op. Nat. e Racio, Forma Decimal, Utili. de Formas Geom. Planas, Grandezas e

Medidas, Conj. Num. e Sist. de Medidas

Cap 10: Os Nmeros Perfeitos (Citao) EF 6

a a 8a sries Soma e Multiplicao, Divisi. de um Natural e Divisores de um Nmero

Cap 12: Prob dos 60 Meles EF 5a a 8a sries El. Conj., Op., Fraes e Moedas Cap 13: Nm. Amigos (Citao) EF 6

a a 8a sries Op. Arit., Divisi. de um Nm. Natural e Divisores de um Nmero

Cap 15: O Prob do Quadrado Mgico de 9 Casas;

EF Ciclo I, tendo como foco principal a 1srie

Op. Fund. da lgebra, desenvolvido nesse apenas o conceito de soma.

Cap 15: O nmero PI (Citao) EF 7

a e 8a sries

Nm. Irrac., Circunferncia (Constante PI), rea do Crculo, Regra de Trs

Simples Cap 16: Prob do Jogo de Xadrez Ensino Mdio Progresses Geomtricas

Cap 17: Prob das 90 mas EF 7a e 8a sries Fraes, Razo e Proporo, Regra de Trs Simples Cap 18: O Teorema de Pitgoras;

EF 7a e 8a sries e Ensino Mdio

Potenc., Op., Relaes no Tringulo Retngulo

Cap 18: reas Equiv. (Citao) Ensino Mdio rea de Figuras Geomtricas Cap 18: Num. Decimal (Citao)

EF Ciclo II (3a e 4a sries) A Formao dos Nmeros

Cap 18: Vol. de Sli. Geomt. Ensino Mdio Geom., Volume de Slidos Geomtricos Cap 18: Medid.Propor. (Citao) EF 6

a srie Proporo

Cap 18: Conj. Num. (Citao) EF 5a srie Conjuntos Numricos Cap 18: Op. Arit. (Citao) EF Ciclo I e II As Quatro Operaes Cap 18: As Quatro Operaes EF Ciclo I e II As Quatro Operaes

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Cap 18: Poten. e Radic. (Citao) EF 6

a e 7a sries Potenciao e Radiciao

Cap 18: Red. de Fraes a um m/mo Denom. (MMC) (Citao)

EF 4a e 5a sries Nmeros Primos, Operaes com Fraes

Cap 18: O Prob das Abelhas EF 5a a 8a, tendo como

foco principal 6 srie Reco. de Fraes, Operaes, MMC,

Equaes do 1 Grau Cap 18: Unidades de Medidas (Citao) EF 2

o Ciclo Unidades de Medidas

Cap 18: Fig. Geom. (Citao) EF Ciclo I e II Dimens. de Espaos, Percep. de Rel. de Tamanho e Forma Cap 19: Fatorao (Citao) EF 4a e 5a sries Reco. de Nm. Primos e Nm. Composto Cap 19: O Prob dos Trs Marinheiros EF A Partir do Ciclo II

Op., Sistema de Equaes, Eq. E Inequaes do 1o Grau

Cap 19: O Prob do Nmero Quadripartido EF A partir da 7

a srie Sistema de Equaes, Equaes do 2

o

Grau Cap 20: Nmero e Sentido de Nmero (Citao) EF Ciclo I (1

a e 2a sries) Reconhecimento de Nmeros, Quantificao

Cap 20: A Origem do Nmero (Citao) EF 1

a srie Origem do Nmero

Cap 20: Os Algarismos (Citao) EF Ciclo I (1

a e 2a sries) Algarismos

Cap 20: Contar (Citao) EF Ciclo I (1a e 2a sries) Contagem Cap 20: Os Sistemas de Numerao (Citao) EF 5

a srie Sistemas de Numerao

Cap 20: O Zero (Citao) EF A partir do Ciclo II Zero como Parcela de uma Soma, A Quantidade Zero Cap 21: As Quatro Operaes EF Ciclos I e II (1

a a 4a

srie) As Quatro Operaes Cap 21: A Obra de Euclides EF A partir da 6a srie Histria e Curiosidades Matemticas Cap 21: Clculo com Fraes EF 5a srie Operaes com Fraes

Cap 21: O Prob dos Soldados EF Ciclo I e II e de 5a a

8a sries Noes de Geometria, Reco. De Figuras geom. e sua Aplicao

Cap 22: O Prob da Metade do x da Vida Ensino Mdio e Superior Noes de Limites e Derivadas Cap 23: Prob das Prolas do Raj

7a srie, Ensino Mdio e Superior Produto notvel e Funes Quadrticas

Cap 23: Nmero Cabalstico EF - Ciclos I e II Num. Decimal, Val. Relativos e Multi. Cap 24: O Prob de Diofante EF 5a a 8a, com foco a 6a Reco. de fraes, op., MMC. Eq. do 1 G. Cap 24: O Prob.de Hiero EF, a partir da 6a srie Pesos e Medidas Cap 24: Os Cubos de 8 e 27 EF 7a srie Potenciao Cap 28: O Prob da Regra Falsa Retirada de uma Propriedade verdadeira

EF 5a a 8a sries, tendo como foco a 7a srie

Reco.da Raiz Quadrada e sua Det. por Decomp.Fatores Primos

Cap 31: O Prob dos Cinco Discos Ensino Mdio e Superior Anlise Combinatria

Cap 32: O Prob da Prola Mais Leve EF 6a srie Pesos e Medidas

Cap 33: O Prob dos Olhos Pretos e Azuis Ensino Mdio e Superior Anlise Combinatria

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O problema dos 60 meles

Contexto: Os dois irmos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de meles. Harim entregou a um dos mercadores 30 meles, que deveriam ser vendidos razo de 3 por 1 dinar; Hamed entregou, tambm, 30 meles para os quais estipulou preo mais caro, isto , razo de 2 por 1 dinar.

Problema: Efetuada a venda, claro que Harim deveria receber 10 e seu irmo, Hamed, 15 dinares. Mas o mercador juntou todos os meles, de forma a vend-los de uma s vez, sem se fazer distino entre os mais caros e os mais baratos. Sendo assim, a pergunta : Como pagar aos dois irmos se um deve receber 10 e o outro 15 dinares?

Resoluo: Como o mercador juntou todos os meles antes de vend-los, ele acabou misturando as partidas de meles dos irmos Harim e Hamed. Quando o mercante foi entregar os lucros que obteve aos irmos, surgiu a dvida de como fazer a partio correta dos lucros, uma vez que Harim estipulou o preo de 1 dinar por 3 meles e Hamed, 1 dinar por 2 meles. Segue uma ilustrao da partida de meles dos dois irmos:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Total: 10 dinares

A partida de Hamed: 2 meles por 1 dinar.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Total: 15 dinares

Separadamente, percebemos que Harim deve receber 10 dinares e Hamed 15 dinares. Mas como o mercador juntou todas as duas partidas, como dividir corretamente os lucros?

Quando o mercador decidiu juntar as duas partidas, ele imaginou que, a princpio, no haveria problema algum em junt-las. Sendo assim, ele decidiu vender 5 meles a dois dinares, 3 meles de Harim mais 2 meles de Hamed, com o preo de Harim mais o preo de Hamed.

A partida de Harim: 3 meles por 1 dinar.

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O raciocnio do mercador:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Total: 24 dinares

Veja que esta soma tem 24 como resultado, e no 25 como era de se esperar. Acabamos de perceber que no correto o pensamento do mercador. Podemos, sim, juntar as duas partidas de modo a facilitar a venda, mas desde que observemos que o valor de cada uma delas diferente.

Observe:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Total: 25 dinares

Esta parte da partida pode ser vendida razo de 5 por 2. Note que a outra parte que sobrou no vendida assim porque pertence partida de Hamed, cujo preo estipulou a razo 2 por 1. Efetuando-se a soma mostrada acima, encontramos 25.

O problema dos vinte e um vasos

Contexto: Beremiz e seu amigo Hank chegam a uma hospedaria de nome Sete Penas, onde encontram Salm Nassair que lhes apresenta o problema de trs criadores de carneiros.

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Problema: Como pagamento de um lote de carneiros, receberam em Bagd uma partida de vinho composta de 21 vasos iguais, sendo: 7 cheios, 7 cheios pela metade e 7 vazios. Como dividir esta partida pelos trs de forma que recebam a mesma quantidade de vasos e de vinho?

OBS: Repartir os vasos fcil, 7 para cada um, mas como dividir o vinho sem abrir os vasos?

Soluo de Beremiz Samir Primeiro Scio Segundo Scio Terceiro Scio

3 vasos cheios 1 meio - cheio 3 vazios

2 vasos cheios 3 meio - cheios 2 vazios

2 vasos cheios 3 meio - cheios 2 vazios

Chamando de 2 a poro de vinho de um vaso cheio e 1 a poro de vinho de um vaso meio-cheio, temos:

Primeiro Scio: 2 + 2 + 2 + 1 = 3 pores de vinho de vaso cheio e 1 poro de vaso meio-cheio Segundo Scio: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 2 pores de vinho de vaso cheio e 3 pores de vaso meio-cheio Terceiro Scio: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 2 pores de vinho de vaso cheio e 3 pores de vaso meio-cheio

Este problema tambm pode ter a seguinte soluo: Primeiro Scio Segundo Scio Terceiro Scio

1 vasos cheios 5 meio-cheio 1 vazios

3 vasos cheios 1 meio-cheios 3 vazios

3 vasos cheios 1 meio-cheios 3 vazios

Este problema no tem uma nica soluo e pode ser resolvido de forma ilustrativa, como segue abaixo:

Outra soluo: A quantidade de vasos que cada um deve receber est clara, 7 vasos cada um, a quantidade de vinho deve ser de 3,5 pores, mas como podemos obter esta quantidade de vasos e pores de vinho, sem mexer no contedo dos vasos? Se chamarmos a quantidade de vinho do vaso cheio de x, do meio-cheio de y, e do vazio de z, temos:

=++

=++

=++

5,35,35,3

izhygxfzeydxczbyax

- Os vasos cheios so representados pelos retngulos vinho. - Os vasos meio-cheios so representados pelos retngulos metade branco e metade vinho. - Os vasos vazios so representados pelos retngulos brancos.

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Sabendo que z=0, podemos atribuir valores para c, f e i, de modo que: 7ifc =++

Conforme atribuirmos estes valores, o sistema acima representado mudar, mostrando as vrias solues que podem existir acerca deste problema. Ex. Se adotarmos c = 3, ento f = i = 2 e uma vez que temos tambm este outro sistema:

=++

=++

=++

7ihg7fed7cba

Desta forma, a + b = 4, d + e = 5 e g + h = 5. Sabendo tambm que x = 2y, ento:

=+

=+

=+

5,3hy)y2(*)h5(5,3ey)y2(*)e5(5,3by)y2(*)b4(

=

=

=

5,3y*)h10(5,3y*)e10(

5,3y*)b8(

Neste caso podemos concluir que e = h, logo teremos d = g. Se atribuirmos para vaso meio-cheio 0,5, teremos y = 0,5,

==

==

3e107e1b87b

Se b = 1, ento a = 3, e se e = 3, ento h = 3, e d = g = 2. Sabendo que cada equao do sistema equivale ao que cada scio, respectivamente, deve receber de vinhos, a equao ax + by + cz = 3,5, assumindo 3x + y + 3z = 3,5 mostra que o primeiro scio deve receber 3 vasos cheios, 1 pela metade e 3 vasos vazios, o que equivale a sete vasos com um total de 3,5 pores de vinho. As equaes dx + ey + fz = 3,5 e gx + hy + iz = 3,5, assumindo as duas 2x + 3y + 2z = 3,5 mostram que o segundo e o terceiro scios devem receber 2 vasos cheios, 3 pela metade e 2 vasos vazios, equivalendo da mesma maneira a um total de 7 vasos com 3,5 pores de vinho cada um. Alm desse problema, podemos montar outros problemas deste tipo que podem facilmente ser resolvidos em classe:

- Dividir 24 vasos por trs pessoas, sendo 5 cheios, 8 vazios e 11 meio-cheios. - Um mercador tem um vaso com 24 litros de vinho. Quer repartir esse vinho por trs

scios, em trs partes iguais, com 8 litros cada uma. O mercador s dispe de trs vasilhas vazias cujas capacidades so, respectivamente: 13 litros, 11 litros e 5 litros. Usando essas trs vasilhas, como poder dividir o vinho em 3 pores de 8 litros cada uma?

Os alunos voluntrios Dmis e Lucirene pesquisaram outras indicaes de Malba Tahan para a melhoria do ensino de matemtica, como uso de recreaes matemticas e jogos de classe. Apresentamos a seguir um resumo do trabalho.

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4.2 Recreaes Matemticas

Sua importncia didtica: muitos matemticos de alto renome na histria tiveram a ateno vivamente voltada para o estudo das recreaes e curiosidades matemticas. Por exemplo:

- Leonard Euler (1707-1783), matemtico, fsico e astrnomo. Interessou-se pelos quadrados mgicos e estudou mtodos para sua construo.

- Pierre de Fermat (1601-1665), francs, jurista. Cultivou as curiosidades aritmticas e os problemas pitorescos.

Malba Tahan afirma em seu livro Didtica da Matemtica, que uma "anedota histrica, uma curiosidade geomtrica, uma disposio numrica imprevista citadas em momento oportuno pelo professor de matemtica tornam o ensino gracioso e leve; atraem, para a cincia, a simpatia do estudante".

EXEMPLOS

- Produtos curiosos. Finalidade Didtica: despertar o interesse dos alunos para o clculo numrico (de 5 a 8 sries) - Nmeros e expresses palndromas. Finalidade Didtica: relacionar o ensino da matemtica com o ensino da linguagem. Esta curiosidade indicada para a 8 srie. - Nmero por extenso. Finalidade Didtica: chamar a ateno dos alunos para a grafia de certos nmeros (escritos por extenso). Despertar, nos alunos, interesse por questes da linguagem diretamente relacionadas com a matemtica. Para uma turma adiantada, da 8 srie, ou para qualquer outra do ensino mdio.

ATIVIDADES SUGERIDAS Vamos supor que os nmeros inteiros, desde o zero at o mil, foram escritos por

extenso, a saber:

Zero, um, dois, trs, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze, treze, quatorze, e assim por diante, at mil.

Faamos, em relao a esses nmeros inteiros, escritos assim por extenso, algumas perguntas curiosas, que podem ser facilmente respondidas. Preste bem ateno:

1 Qual o nmero, entre zero e mil, que se escreve com o menor nmero de letras? R: O nmero, entre zero e mil, que se escreve com o menor nmero de letras, o nmero um,

que exige apenas duas letras. O dez, o cem e o mil so escritos com trs letras.

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2 Qual o nmero, entre zero e mil, que se escreve com o maior nmero de letras? R: O nmero inteiro, entre zero e mil, que exige maior nmero de letras, o nmero quatrocentos e

cinqenta e quatro. Esse nmero escrito com 29 letras. Em relao ao nmero de letras o quatrocentos e cinqenta e quatro o maior na sucesso de zero a mil.

3 Na sucesso, de zero a mil, h vrios nmeros escritos com oito letras. Quais so esses nmeros?

R: Os nmeros inteiros, da sucesso de zero a mil, que, escritos por extenso, exigem oito letras, so: quatorze, dezenove, vinte e um, quarenta, sessenta, setenta, cento e um, e duzentos.

4 Qual o nmero que exprime o seu prprio nmero de letras? R: Na sucesso dos inteiros s h um nmero que exprime o seu prprio nmero de letras: o cinco. A

palavra cinco tem cinco letras.

5 Qual o maior nmero (na sucesso de zero a mil) que se escreve com quatro letras? R: o nmero doze. Esse , alis, o maior nmero que se escreve com quatro letras.

6 Vamos supor os nmeros inteiros, de zero a mil, escritos por extenso e em ordem alfabtica. Pergunta-se: Quais so os trs primeiros? Quais so os trs ltimos?

R: Supondo que todos os nmeros inteiros, de zero at mil, foram escritos por extenso, e em ordem alfabtica, os trs primeiros sero: cem, cento e cinco, e cento e cinqenta. E os trs ltimos: vinte e trs, vinte e um, e zero. O zero ser sempre o ltimo, em ordem alfabtica.

4.3. A Metodologia do Jogo de Classe em Matemtica

"O bom professor sente a mesma torrente de energia que lhe continuamente fornecida pela juventude. Se ele a puder aproveitar, nunca se sentir cansado. Pelo menos nas horas em que estiver ensinando."

Highet, A. Jogos de classe so jogos destinados a aprendizagem.

Objetivos 1) Morais: so vrios os objetivos morais (de carter altamente duradouro) que podem ser alcanados com o jogo de classe, por exemplo:

- incute no aluno o esprito de disciplina; - combate certos complexos; - educa a ateno; - desperta o interesse pelo estudo; - revigora o esprito de solidariedade; - fora o aluno a ser correto e leal; - reaviva a simpatia pelo mestre.

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2) Didticos: um dos recursos mais interessantes e mais eficientes a que o professor pode recorrer para obter a melhor e mais segura aprendizagem de seus alunos. So muitas as finalidades:

- fixao da aprendizagem: os alunos fazem 3 vezes mais exerccios para fixar um conceito; - retificao da aprendizagem: erros durante o jogo podem ser corrigidos; - verificao da aprendizagem: rpida e segura; - atividade ldica: durante os dez ou quinze minutos iniciais da aula fazer um recitativo (canto declamado). Quando os alunos esto cansados, desatentos, ou agitados demais com algum fato ocorrido na escola; - funo motivadora: despertar o interesse do aluno, at mesmo fora da matemtica; - funo complementar: quando utilizados por professores substitutos, etc

Objetivos dos jogos em Matemtica 1) Desperta simpatia pela matemtica. O jogo de classe faz com que o aluno (sem aptido para matemtica) perca, por completo, qualquer sentimento de averso por essa cincia. 2) Clculo Mental. O jogo de classe, aplicado matemtica, desenvolve no aluno certa agilidade mental. 3) Cultivo da imaginao. Certos jogos visam especialmente ao cultivo da imaginao e tornam os alunos vivos e desembaraados.

O jogo de classe nas escolas O jogo de classe, de um modo geral, esquecido ou pelo menos subestimado pelos professores. No ensino mdio no aparece. No fundamental no aplicado como deveria.

"A Escola nunca deve oferecer ao aluno um trabalho que seja apenas trabalho; mas pode oferecer jogo em substituio a muitos trabalhos escolares e trabalhos aos quais os alunos se entreguem como se estivessem jogando." - conforme Aguayo, D. Jogo e interesse.

Exemplo I - Bate-Bolas Indicaes Gerais - Fixao e retificao da aprendizagem. Observao - Supondo uma turma de 7a srie. Ponto a recordar - Clculo de porcentagem.

Incio do jogo Cabe ao professor motivar a turma, propondo a eles um bate-bola amistoso.

A sala dividida em dois times, o 1o time denominado Pitagricos, o outro Calculistas.

Todos com papel e lpis mo.

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O professor prope um pequeno problema de porcentagem; os que acertarem marcam gol para o seu time. A partida de cinco jogos, cada jogo um problema que cada aluno deve fazer individualmente em sua carteira.

O professor calcula um tempo mdio para a resoluo do problema e d o sinal de terminao; neste momento todos interrompem o trabalho.

O professor faz o clculo ou pede para que um aluno, sob a sua orientao, efetue o clculo.

Cabe ao professor fazer a apurao do resultado do jogo. O resultado de cada jogo escrito no quadro-negro, sendo o time vencedor o que obtiver mais pontos.

Observaes Todos os problemas tm o mesmo grau de dificuldade; Se o professor desconfia de algum aluno, deve aproximar-se discretamente e fazer a

verificao dos clculos. preciso que o professor procure incutir na turma o "esprito esportivo", o time vencido

deve receber a derrota com alegria e preparar-se para uma revanche.

Exemplo II - Perdi o Bonde - Indicaes Gerais - Fixao da aprendizagem. - Observao - Supondo uma turma de 6a srie. - Ponto a fixar - Multiplicao e diviso de monmios.

Primeira Parte Todos com papel e lpis mo. O professor traa na lousa cinco retngulos iguais:

Cada aluno faz o mesmo em sua folha.

Segunda Parte - Regra do Jogo

O professor deve ser bem claro ao expor as regras do jogo. Dentro do primeiro retngulo, esquerda, o professor escreve um monmio qualquer, que deve ser copiado pelos alunos:

O professor indica quatro operaes. A 1a deve ser feita com o 1o monmio e sua resposta colocada no 2o retngulo, a 2a com o monmio antecessor e a resposta colocada no retngulo seguinte; e assim por diante.

3ab

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Terceira Parte - Resultado O professor coloca apenas o resultado final no quadro e verifica quantos acertaram. Depois vai fazendo a averiguao parcial e consultando, a cada resultado, em qual poste cada um perdeu o bonde.

Observaes Os alunos que perderam o bonde nos primeiros postes tm grau maior de dificuldade,

portanto devem receber maior ateno; Os clculos deste jogo devem ser simples, pois devem ser feitos mentalmente. A retificao da aprendizagem pode ser feita durante a averiguao parcial dos

resultados.

Exemplo III - Apague o Quadro - Indicaes Gerais - Verificao da aprendizagem. - Observao - Supondo uma turma de 6a srie. - Ponto a recordar - Equao do 1o grau com uma incgnita.

Incio do Jogo O professor divide a lousa ao meio por um trao vertical. Chama dois alunos que sero os participantes do jogo, ficando cada um em uma parte da lousa. O professor dita uma equao em voz alta e pausadamente:

x3283x

x2 =

Todos os alunos resolvem a equao. Os que esto no quadro disputam para ver quem encontra o resultado primeiro. O aluno que chegar ao resultado de x por ltimo apaga a lousa e continua na frente. O ganhador senta e o professor chama mais uma aluno.

Observaes Se um aluno errar, este apaga o quadro e continua na lousa; Se os dois errarem cada um apaga a sua parte da lousa e continuam l na frente. Cabe ao professor observar os que ainda no esto seguros no ponto e insistir com os

mais fracos.

5. ENSINO E EXTENSO UNIVERSITRIA Citamos como atividades de ensino e extenso universitria o oferecimento de

oficinas durante a I Semana Cultural e Olmpica Malba Tahan, realizada em Queluz, a participao na Semana de Planejamento Escolar das Escolas Municipais daquela cidade, a participao em eventos culturais e cientficos, e o trabalho de acompanhamento do Projeto Interdisciplinar "Malba Tahan, Que Luz!" oferecido aos alunos de 5a a 8a sries da Escola Arco ris, tambm de Queluz, SP.

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5.1 Participao em eventos culturais e cientficos

A pesquisa de parte da obra de Jlio C.M. Souza e Malba Tahan possibilitou-nos a participao, com apresentao de trabalhos, em vrios eventos cientficos.

No XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemtica Aplicada e Computacional, promovido pela SBMAC - Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional, realizado em setembro de 2003, em So Jos do Rio Preto, participamos com dois trabalhos na Sesso Tcnica de Ensino, intitulados "A Escola vai Malba Tahan: um projeto interdisciplinar de insero cultural de Jlio Csar de Mello e Souza, Malba Tahan, na Rede Municipal de Ensino de Queluz SP", e "Estratgias educaconais para o processo de ensino-aprendizagem de matemtica baseadas na obra de Malba Tahan", este ltimo com os alunos da Licenciatura em Matemtica da FEG/UNESP. Os trabalhos despertaram a curiosidade de diversos alunos, que desconheciam a origem de Malba Tahan, e tambm de muitos professores, alguns, inclusive, que o conheceram.

Participamos tambm da III Conferncia Nacional de Modelagem Matemtica e Educao Matemtica III CNMEM, realizada em outubro de 2003, em Piracicaba, com apresentao de dois psteres intitulados: "Relato de Experincia: Pesquisa e Educao Continuada de Professores com o uso da obra de Malba Tahan" e "Modelagem Matemtica no livro O Homem que Calculava", este ltimo com os alunos da Licenciatura. Estes mesmos psteres foram afixados durante a Semana Cultural do Colgio Fnix de Guaratinguet, despertando a curiosidade dos alunos tanto do ensino fundamental como do ensino mdio, que compareceram ao evento.

Durante a I Semana da Matemtica, realizada em novembro de 2003 na FEG/UNESP, relatamos o trabalho desenvolvido via Ncleo de Ensino, e apresentamos o que seria um esboo inicial de uma pgina da web com os resultados do trabalho. Chamamos a pgina de "Grupo Matematicando com Malba Tahan", em aluso ao grupo formado pela UNESP e pela UNISAL, batizado com o mesmo nome.

5.2 Participao no Curso de Educao Continuada "A Escola vai Malba Tahan"

A presena do grupo de parceiros durante a Semana de Planejamento do Ano Letivo de 2003 junto s escolas da rede Municipal de Queluz fez-se necessria, a fim de ouvir dos professores envolvidos um diagnstico. Os professores deveriam relatar os sucessos do ano anterior em relao ao primeiro Projeto Malba Tahan Vai Escola, oferecido pela UNISAL, e tambm apontar os maiores problemas enfrentados por eles dentro da escola como

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um todo, e em particular dentro da sala de aula. Para isto o grupo da FEG/UNESP e alguns participantes de Lorena se deslocaram para Queluz nos dias 5, 6 e 7 de fevereiro.

Os encontros aconteceram na Escola Jos Carlos de Oliveira Garcez, tombada recentemente, j fazendo parte do Patrimnio Histrico Cultural do Brasil e que dever passar por restaurao, com obras j iniciadas.

A professora Ktia da Silva Tavares, da UNISAL de Araraquara, SP, Mestre em Pedagogia pela PUCCAMP, abriu a participao dos parceiros, apresentando a palestra intitulada

O lugar do aprender e o lugar do ensinar: construindo autonomia de pensamento e escrita.

A professora realou a importncia de valorizar o positivo em todas as situaes e a necessidade de mudar o olhar. A verdadeira viagem consiste no em conhecer novos lugares, mas olhar os mesmos lugares de forma diferente. O professor que olha para o aluno com carinho, de forma positiva, quebra imagens pr-construdas e, junto com este aluno, aprende e ensina.

O professor Severino Antonio Moreira Barbosa, autor do livro Transdisciplinaridade e Educao, entre outros, continuou os trabalhos do dia, apresentando uma palestra sobre Desencantamento e desalento na prtica pedaggica do professor, comentando que o excesso de conscincia crtica perigoso, corremos o risco de perder a iluso e, o que desastroso, a esperana. Coordenou uma dinmica na qual apresentou alguns exerccios que podem ser praticados em sala de aula, a fim de despertar a criatividade adormecida nos alunos (e tambm nos professores), citando o livro A coragem de criar, de Cludio Roan, e finalmente, discutindo a necessidade de mudar o olhar, mudar a forma de avaliar os alunos, pedindo que os alunos comparem, imaginem, suponham, contra-argumentem, discordem, resolvam de outra forma etc.

A professora Juraci abriu o segundo dia de trabalhos com a palestra Programar importante, distribuindo um encarte da revista Razes e Asas da CENPEC, vol 3, realando o fato de que a capacitao s ser efetiva se os professores, ao longo do trabalho, puderem ampliar sua competncia pedaggica e sua conscincia social e poltica. preciso elaborar um programa de formao permanente dentro da escola, em que trabalho individual e coletivo estejam articulados num conjunto harmnico, com clareza dos pontos de partida e de chegada, tendo como eixo norteador a construo do projeto da prpria escola. Neste sentido que se pretende desenhar um programa interdisciplinar, trabalhando o individual e o coletivo.

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Com o programa de formao, entretanto, no se pode ter a pretenso de superar, de imediato, todos os problemas. Os limites e as possibilidades das propostas de capacitao precisam ser definidos por etapas, com garantia da continuidade de propsitos.

O referencial bsico para a elaborao de um programa sempre o conjunto de caractersticas, necessidades e expectativas dos educadores que atuam naquela escola. E como identifica-las? Por meio da fala e da reflexo dos educadores sobre quais as dificuldades que encontram no trabalho, quando e como elas aparecem, quais as causas provveis. Este o primeiro passo para identificar as questes significativas que devem ser priorizadas para o programa de formao.

Com base nos resultados da avaliao diagnstica realizada nas escolas da rede municipal de ensino de Queluz, as quais identificaram as necessidades pedaggicas de seus professores, bem como as dificuldades apresentadas por seus alunos, criou-se um projeto pedaggico interdisciplinar, tendo como tema gerador "Malba Tahan, que Luz!". Tal projeto desenvolveu, durante todo o ano de 2003, aes didtico-pedaggicas envolvendo todas as disciplinas do programa de 5a 8a sries do ensino fundamental.

Os encontros mensais de quatro horas de durao propuseram uma dinmica dialtica e contnua de ao-reflexo-ao, voltada para o pensar da prpria prtica pedaggica dos professores, e para uma reflexo com o grupo sobre esta prtica.

Os encontros na FEG/UNESP, realizados semanalmente, com a presena dos grupos da FEG e da UNISAL, objetivaram a organizao das aes em Queluz, a tabulao das avaliaes realizadas com os professores e a organizao dos encontros mensais realizados em Queluz. Os professores colaboradores Joo Frederico da Costa Azevedo Meyer e Rodney Bassanezi, ambos da UNICAMP, estiveram presentes em alguns desses encontros, enriquecendo as discusses em torno da modelagem do livro "O homem que Calculava".

Novos projetos interdisciplinares que possam responder s aes didtica e metodolgica proposta por Malba Tahan em seu legado foram aplicados nas escolas por meio da hora do conto, dos jogos matemticos em sala de aula, dos problemas elaborados pelos alunos fundamentados na realidade cotidiana do municpio de Queluz, da dramatizao dos contos, das estrias e das lendas malbatahnicas e tambm por meio da musicalizao, da criao de jornais, de documentrios, de revistinhas infantis ou de projetos que contemplem a pluralidade cultural, a cidadania, a tica e a solidariedade. Todos os temas so amplamente divulgados na obra deste exmio educador.

Dois eventos marcaram as atividades realizadas pelos professores e o envolvimento dos alunos das Escolas: a I Semana Cultural e Olmpica Malba Tahan, realizada

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em setembro, sendo que todo o grupo da FEG/UNESP participou ativamente oferecendo oficinas de pipa e caleidoscpio, e participando da Gincana Cultural como membros da Comisso Julgadora; e o II Simpsio Malba Tahan, realizado no final do ano letivo, com a concluso do curso, a entrega da avaliao feita pelos professores e uma discusso sobre as perspectivas futuras.

6. CONCLUSES A maior contribuio deste trabalho foi a de criar oportunidades aos alunos

envolvidos em transitar nas vrias linhas de pesquisa: histria da matemtica no Brasil, didtica da matemtica, pedagogia de projetos, prtica docente e educao continuada, modelagem e resoluo de problemas em matemtica, e a participao ativa destes alunos em um projeto de Educao Continuada, ouvindo os professores, aprendendo com eles. O amadurecimento gerado, tanto no aspecto do contedo como o "como fazer" da prtica de sala de aula, dificilmente alcanado durante as aulas do curso de graduao.

Partindo do princpio que valorizar as obras de nossos escritores e ajudar os educadores a construir uma educao cada vez mais digna e preparada para oferecer as melhores condies de aprendizagem essencial, este projeto decidiu analisar a importncia didtica de Jlio Csar de Melo e Souza (Malba Tahan). Conhecendo sua obra e confrontando-a com as angstias presentes nas discusses atuais das quais participamos em vrios minisimpsios de ensino que so oferecidos em congressos cientficos, podemos concluir que a sua didtica, principalmente em Matemtica, hoje no s aceita como utilizada por diversos professores. Ou seja, desmistificar a matemtica e apresent-la de forma fina, elegante e divertida o que os professores atuais procuram fazer. Sem falar nas reestruturaes curriculares dos cursos de formao de professores, das novas Leis de Diretrizes que incluem a prtica como componente curricular nestes cursos, exigindo novas e desafiantes posturas pedaggicas de todos ns, professores formadores de professores, de um novo olhar sobre as competncias para ensinar e aprender. Assim, Malba Tahan foi um ser humano muito alm de seu tempo. Pode at no ter sido reconhecido no sculo passado, mas acreditamos que as prximas geraes o reconhecero como um dos maiores educadores em Matemtica de todos os tempos, e uma referncia da pesquisa em Educao Matemtica no Brasil.

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7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS A. J. Severino. "Educao, sujeito e histria". SP: Ed. Olho d'gua, 2001. E. Lages Lima. "A Matemtica do Ensino Mdio" 3. vol, CPM, Ed SBM, 2001. E. Lages Lima. "Matemtica e Ensino" CPM016, Ed SBM, 2001. E. Lages Lima. "Meu Professor de Matemtica e outras histrias" CPM04, Ed SBM, 2000 G. A. Polya. "A arte de resolver problemas". SP: Intercinica. G. Gardner. "O Verdadeiro, o Belo e o Bom: os princpios bsicos para uma nova educao". RJ: Objetiva, 1999. I. Fazenda. (Org). "A Academia vai Escola". Campinas: Ed. Papirus, 1995 I. Fazenda.(Org). "A pesquisa em Educao e as transformaes do conhecimento". Campinas: Ed. Papirus, 1995. J.C.F. Oliveira. "O reamanhecer de Malba Tahan no cenrio educacional brasileiro: um olhar a partir da histria de Jlio Csar de Mello e Souza" (Dissertao de Mestrado) Universidade Metodista de So Paulo. Orientador: Elydio dos Santos Neto, 2004. L. R. Dante. "Didtica da resoluo de problemas em Matemtica". M. Pereira. "O homem que Calculava em Sala de Aula" (Dissertao de Mestrado) Universidade de Frana. Orientador: Srgio Lorenzato, 2002. M. Tahan. "Matemtica Divertida e Curiosa". RJ: Ed. Record, 2002. M. Tahan. "O Homem Que Calculava". RJ: Ed. Record, 2001. M. Tahan.

"Lendas do Cu e da Terra". RJ: Ed. Record, 200. M. Tahan. "Didtica da Matemtica". SP: Ed. Saraiva, 1962. M. Tahan. "Antologia da Matemtica". vol. 1 e 2, SP: Ed. Saraiva, 1960. P. Perrenoud. "10 Novas Competncias para Ensinar". Ed Artes Medicas - ARTMED, 2000 P. Perrenoud. "Construir as competncias desde a Escola". Ed ARTMED, 2000 P. Perrenoud. "Agir na urgncia, decidir na incerteza". Ed ARTMED, 2001 R.C. Bassanezi. "Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemtica". SP: Ed. Contexto, 2002. SEC, "Parmetros Curriculares Nacionais: Lngua Portuguesa, Matemtica, Histria, Geografia, Cincias, Pluralidade Cultural, tica, Lngua Estrangeira, Artes." MEC, 1996. U. D'Ambrsio. "Educao Matemtica da Teoria Prtica". Campinas: Ed. Papirus, 2002. U. D'Ambrosio. "Etnomatematica". Autentica. 2001 V. D'Ambrosio. "Educao Matemtica". Papirus. 1997 U. D'Ambrosio, R. Crema, P. Weil. "Rumo nova transdisciplinaridade". Ed Summus, 1993. W. R. Valente. "Uma histria da matemtica escolar no Brasil". SP: Annablume, FAPESP, 1999.