Escola Politcnica da Universidade de So Paulo Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes PEF-5711 Fundamentos da Mecncia Computacional

__________________________________________________

Plasticidade 3D aplicada ao concreto armado

Trabalho de avaliao da disciplina

Henrique Towata Sato 5694821

Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta

08 de julho de 2013

1

1 Objetivo

O presente trabalho busca aprofundar e apresentar uma aplicao da teoria desenvolvida ao

longo do curso de Introduo Mecnica Computacional, ministrado pelos professores Paulo

de Mattos Pimenta e Adnan Ibrahimbegovic ao longo do primeiro semestre de 2013.

Ser abordado a aplicao da plasticidade tridimensional sob os critrios de resistncia da

norma brasileira de concreto armado.

2 Critrio de Resistncia

O Critrio de resistncia plastificao considerado ser composto de mltiplas superfcies

visando a adequao do modelo ao prescrito na norma NBR6118:2003. Para a descrio

destes critrios ser convencionado que as tenses principais em um dado estado mltiplo de

tenses so representadas por , considerando-se tenso de trao como positiva e de compresso como negativa.

Figura 1 Crculos de Mohr

A norma brasileira de concreto armado estabelece tenses limites atravs de duas inequaes

no item 8.2.6, a primeira das inequaes descreve que se deve ter uma tenso mxima menor

que a resistncia do concreto trao direta (), ou seja:

O critrio de trao mxima tambm conhecido como critrio de Rankine, representando a

ruptura frgil do concreto trao, sendo aplicado a materiais granulares.

Em termos de invariantes pode-se expressar este critrio como:

, , = 13 +233 cos

A segunda inequao descrita na norma :

+ 4

2

Tal critrio pode ser classificado como um critrio de Drucker-Prager, j que pode ser

expresso com invariantes na forma de:

, = + Este tipo de critrio est ligado tenso de cisalhamento como limitante, o cisalhamento

limite, entretanto varia conforme a intensidade da compresso mdia ou hidrosttica.

A representao dos critrios combinados no domnio das tenses apresentada abaixo

conforme a NBR6118, alm deste como comparao so apresentados os critrios de

Rankine, Rankine & Von-Mises e por fim Rankine & Drucker-Prager:

Figura 2 acima - a superfcie de ruptura conforme apresentada na NBR 6118; abaixo critrios de resistncia comunmente

encontrados em softwares de elementos finitos

3

importante salientar que o critrio mais comunmente utilizado para o concreto simples o

de Rankine & Von-Mises tendo sido validado por resultados experimentais como os de

Kupfer e Gerstle (1973) conforme compilado por Feenstra e Borst (1993) na figura abaixo:

Figura 3 comparao do critrio de Rankine-Von Mises com resultados experimentais

3 Plasticidade cenceituao e aplicao no concreto

armado

O modelo plstico clssico, ou modelo plstico de Saint-Venant representado por um slido

que desliza com atrito sobre uma superfcie, conforme apresentado na figura abaixo:

Figura 4 representao do modelo constitutivo da plasticidade simples

No concreto armado a plastificao pode ser entendida, no caso da flexo, como o

progressivo aumento da curvatura da viga e o aumento da profundidade da linha neutra

gerando a fissurao da regio do concreto sujeito trao, a deformao e escoamento do

ao e a plastificao da regio do concreto sujeito compresso.

4

Figura 5 representao da fissurao de uma viga fletida no Estdio 2

Entretanto no usual ou prtica a considerao de um modelo plstico para a representao

de estruturas reticuladas de concreto armado, isto, pois surgem dificuldades na representao

dos materiais trabalhando em conjunto bem como a necessidade de se considerar o histrico

de carregamentos e deformaes da estrutura.

Por outro lado, o Teorema Esttico da Anlise Plstica estabelece que, dado um campo de

tenses qualquer em equilbrio com um carregamento externo e o campo de tenses em

equilbrio com o carregamento externo correspondente ao colapso plstico, o fator de

carregamento do campo de tenses qualquer ser sempre menor que o fator de carregamento

referente situao do colapso plstico.

Portanto poder-se-ia considerar para o dimensionamento um campo de tenses qualquer, que

respeite as condies de equilbrio, e este estaria a favor da segurana em relao real

situao de colapso.

importante notar que o teorema esttico leva em conta uma srie de hipteses, dentre elas:

A validade do princpio da Mxima Dissipao Plstica;

a linearidade geomtrica;

a ductilidade infinita.

O terceiro item citado especialmente importante na considerao da plasticidade em

estruturas reticuladas de concreto, pois implica em deformaes, rotaes e deslocamentos

pequenos, de tal forma que possam ser suportados pela estrutura sem o comprometimento

desta no que diz respeito ao Estado Limite Ultimo bem como ao Estado Limite de Servio.

3.1 BR6118

A NBR6118/2003 leva em conta estes fatores para a determinao de critrios para a anlise

estrutural, em especial para a anlise de estruturas reticuladas.

5

O item 14 da NBR6118/2003 estabelece as premissas para a anlise estrutural, em particular

o item 14.6.4 e seus subitens estabelecem o procedimento para a redistribuio de esforos

nos modelos elstico-lineares e seus limites, e o item 14.6.5 estabelece como avaliar a

ductilidade de rtulas plsticas.

3.2 Regies de descontinuidade

Embora no seja necessria para uma anlise comum a aplicao da teoria da plasticidade aos

elementos lineares, em outras regies, em que h descontinuidade do perfil de deformao,

ou seja, em que no vlida a hiptese de Bernoulli, onde se tm um estado mltiplo de

tenses mais complexo, a considerao da plastificao recomendada, para isso ser

adotada uma abordagem voltada aplicao com elementos finitos, os prximos itens

detalham a teoria e metodologia de aplicao.

4 Plasticidade considerando 3 dimenses

Seguindo o raciocnio desenvolvido no livro Nonlinear Solid Mechanics do professor

Adnan Ibrahimbegovic, sero deduzidas as formulaes e avaliado o modelo para a

plasticidade tridimensional de acordo com o modelo de Prandtl-Reuss.

O tipo de plasticidade considerada ser a dita padro, sendo caracterizada por trs fatores

principais:

A decomposio da deformao em parte elstica e plstica;

a representao da funo da energia livre em forma quadrtica em temos das

deformaes e variveis auxiliares;

a representao da funo de plastificao em forma quadrtica em termos da tenso e

variveis auxiliares.

O campo de deformaes funo tanto da posio quanto do pseudo-tempo (tempo usado

para fracionar a aplicao dos carregamentos):

, ! Sendo u o vetor de deslocamento, x o vetor posio e t o pseudo-tempo.

As deformaes so tomadas como infinitesimais ou seja:

= #$%#&' (% ('; +#$%#&'+ 1

Alm disso, a hiptese de pequenas deformaes permite a representao das tenses

diretamente no slido na configurao indeformada. Desta forma as equaes cinemtica e

esttica, so respectivamente:

6

- = . /01234 + 5 = 6

Para a plasticidade padro considera-se que a resposta elstica se mantm linear, desta

forma a energia livre potencial na forma quadrtica em termos de deformao dada por:

78, 89, = 12 8 89 =8 89 +12 >?>

Por fim a funo de plastificao na forma quadrtica em termos da tenso dada por:

@3, A = 3 C3 DE AF 0;IJ 0;IJ@3, A Note que na equao acima foi tomado um critrio de resistncia simplificado em que a

tenso limite para plastificao em uma direo qualquer E. Por fim proposta a modificao para mltiplas superfcies de plastificao, sendo que cada

uma das funes @% representa uma superfcie diferente: 0 = @3 = 0 = @3 = 0 = @3 =

0 = @3 = 4 K&, 0 = @3 = 4 K&, 0 = @3 = 4 K&,

Ao termos mltiplas superfcies de plastificao necessrio saber quantas e quais

superfcies esto ativas para a determinao da direo e taxa de deformao plstica.

0 = #M9#3 -9J = OIPJ9

%Q#@%#3

7

5 Exemplo prtico

O exemplo prtico apresentado nesta seo apresentado tambm por Ibrahimbegovic

(2009), toma-se uma chapa delgada com um furo circular central sujeita compresso. O

Modelo constitutivo tomado o que considera plasticidade e dano acoplados (embora a

formulao de modelos com dano simples ou associado plasticidade no sejam abordados

no presente trabalho, a bibliografia indicada pode ser consultada), o critrio de resistncia o

de Drucker Prager (discutido no item 2).

Figura 6 perspectiva representando as superfcies limites para o critrio de Drucker-Prager e Von Mises

O modelo de dano adotado busca representar o ganho de resistncia do concreto devido ao

confinamento, sendo assim funo da parte esfrica do tensor de tenses:

@R3, AR = !T234 VR AR Sendo:

VR o limite elstico para o dano AR a varivel de encruamento devido ao dano Para a representao do encruamento foi tomada um relao linear:

AR>R = ?R>R Os parmetros adotados para o material foram:

Mdulo de Young W = 240XYZ Mdulo de cisalhamento [ = 92XYZ Tenso limite de plastificao E = 170^YZ ngulo de atrito interno tan = 0,6

8

Limite elstico para o dano V = 210^YZ Mdulo do encruamento por dano ?R = 200

Abaixo so apresentados os resultados referentes ao modelo de dano puro (a) e dano

associado plasticidade (b). apresentado e analisado apenas um quarto do domnio descrito

j que se faz uso dos eixos de simetria ao longo dos eixos da placa.

Figura 7 resultados da varivel de encruamento,

9

6 Bibliografia

ABNT NBR 6118 Projetos de estruturas de concreto Procedimento.

FEENSTRA, P. H.; BORST, R. Aspects of Robust Computational Modeling for Plain and

Reinforced Concrete. Heron, v.38, n.04, Delft, Netherlands, p.3-76,1993

KUPFER, H. B; GERSTLE, K. H. Behavior of Concrete Under Biaxial Stresses. Journal of

Engineering Mechanics, ASCE, v.99, n.4, p.853-866, 1973.

IBRAHIMBECOVIC, A.. Nonlinear Solid Mechanics Theoretical Formulations and Finite

Element Solution Methods. SPRINGER, 2009.

PIMENTA, PAULO DE MATTOS. Fundamentos da Mecnica dos Slidos e das Estruturas.

So Paulo: Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, 2006.