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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARACENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA METALURGICA E DE MATERIAISPROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM ENGENHARIA E CIENCIA DE
MATERIAIS
Paulo Vicente de Cassia Lima Pimenta
Simulacao termomecanica do processo de
lingotamento contınuo utilizando o metodo de
volumes finitos baseado em elementos
FORTALEZA - CE
2014
Paulo Vicente de Cassia Lima Pimenta
Simulacao termomecanica do processo de
lingotamento contınuo utilizando o metodo de
volumes finitos baseado em elementos
Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-Graduacao em Engenharia e Ciencia de Materiaiscomo parte dos requisitos para obtencao do tıtulode Mestre em Engenharia e Ciencia de Materi-ais. Area de concentracao: Propriedades Fısicas eMecanicas dos Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Marcondes
Co-orientador: Prof. Dr. Peter Zoltan Berke
FORTALEZA - CE
2014
Dados Internacionais de Catalogação na PublicaçãoUniversidade Federal do Ceará
Biblioteca de Pós-Graduação em Engenharia - BPGE
P697s Pimenta, Paulo Vicente de Cassia Lima.Simulação termomecânica do processo de lingotamento contínuo utilizando o método de volumes
finitos baseado em elementos / Paulo Vicente de Cassia Lima Pimenta. – 2014.78 f. : il. color. , enc. ; 30 cm.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Departamento deEngenharia Metalúrgica e de Materiais, Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Ciência deMateriais, Fortaleza, 2014.
Área de Concentração: Propriedades Físicas e Mecânicas dos Materiais.Orientação: Prof. Dr. Francisco Marcondes.Coorientação: Prof. Dr. Péter Zoltan Berke.
1. Ciência dos materiais. 2. Acoplamentos. 3. Tensões. 4. Simulação. I. Título.
CDD 620.11
Ao meu avo Vicente de Paulo Pimenta
AGRADECIMENTOS
Agradeco a Deus.
Gostaria de agradecer tambem aos meus orientadores, Prof. Francisco Marcondes
e o Prof. Peter Zoltan Berke, pelo suporte, pela dedicacao de tempo e paciencia para
comigo durante todo perıodo do curso de mestrado.
A minha mae, Claudinete Lima Pimenta, pelo apoio e incentivo.
A minha tia Justina, que nos momentos mais difıceis, me ajudou financeiramente.
A minha namorada, Ingred, pela dedicacao e paciencia durantes os ultimos 5 anos.
Aos meus colegas de trabalho do Laboratorio de Dinamica dos Fluidos Computacio-
nal, que sao eles: Bruno Ramon, Ivens Costa, Claudio Oliveira, Alysson Goncalves, Jose
Rene, Denio Silva e Edilson Drumond, pela ajuda na construcao do codigo e pela amizade.
A instituicao de fomento CAPES, pelo apoio financeiro.
RESUMO
A tecnica de lingotamento contınuo, nas ultimas quatro decadas, e cada vez mais uti-
lizada na producao de aco semiacabado. A transferencia de calor e o principal mecanismo
dominante e ocorre em todas as etapas do processo. A qualidade do aco, no lingotamento,
esta diretamente relacionada a forma que ocorrem as trocas de calor, pois as variacoes
termicas produzem carregamentos mecanicos, assim como as forcas de contato, as quais
sao geradas por intermedio dos rolos e da oscilacao do molde. Tais fatores podem causar
defeitos, como fraturas ou trincas, no produto final, caso as tensoes e deformacoes resul-
tantes excedam valores crıticos. O aprimoramento da tecnica tem a finalidade de evitar
o surgimento de defeitos e reduzir o tempo de producao. Para isso e fundamental uma
boa compreensao dos fenomenos fısicos envolvidos ao longo do processo de solidificacao.
O foco deste trabalho e aplicar a abordagem do EbFVM (Element based Finite-Volume
Method) no estudo dos efeitos das tensoes lineares acopladas unidirecionalmente com a
temperatura aplicado ao lingotamento contınuo do aco 1013D (0,3% de carbono).
Nas simulacoes, adotou-se algumas simplificacoes com o estado plano de tensoes e
isotropia do material. Descartando-se as forcas de corpo, o contato com os rolos, a
pressao do aco lıquido nas paredes do lingote (pressao ferrostatica) e o efeito convectivo.
Contudo, apesar das simplificacoes adotadas, este trabalho traz informacoes quantitativas
quanto a formacao do acumulo das tensoes lineares, que apontam para regioes de possıveis
formacoes de trincas.
Palavras-chave: Simulacao numerica bidimensional, Campo termico, Tensoes
lineares, Acoplamento mecanico unilateral
ABSTRACT
The continuous casting technique, in the last four decades, has been large used for to
production of semi-finished steel. The heat transfer is major mechanism and it occurs in
various steps during the continuous casting. The quality of steel is directly related to the
way the heat transfer occur, because the thermal variations produce mechanical loads, as
well as contact forces, which are generated through the rollers and shake of the mold. Such
factors may cause defects such as fractures or cracks in the final product, if the resulting
stresses and strains exceed critical values. The technique must be improved in order to
reduce the appearance of defects and the production time. For this, a good understanding
of physical phenomena involved during the solidification process is critical. The focus of
this work is to apply the EbFVM (Element based Finite-Volume Method) approach to
study the effects of linear tensions unidirectionally coupled with the temperature applied
to continuous casting of the steel 1013D (0,3% of carbon).
In the simulations, we adopted some simplifications such as the Plane Strain and iso-
tropic material. We also neglected the body forces, contact with the rollers, the liquid
pressure on the walls of the steel ingot (ferrostatic pressure), and the convective effect.
However, despite of the simplifications adopted, this work provides quantitative informa-
tions on the linear tensions accumulation, that point out to areas of possible of cracks
formations.
Keywords: Two dimensional numerical simulation, Thermal field, Linear
stress, Coupling unilateral mechanic
LISTA DE FIGURAS
1.1 Foto da maquina de lingotamento contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representacao esquematica do processo de lingotamento contınuo . . . . . 3
2.1 Ilustracao da maquina de lingotamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Figura ilustrativa da seccao do molde de cobre . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Diagrama de fases Fe-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Diagrama de fases Fe-C (aco 0, 3%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Estado Plano de Tensao em um domınio contınuo . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Estado Plano de Deformacao em um domınio contınuo . . . . . . . . . . . 232.7 Graficos das propriedades mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Representacao das condicoes de contorno do problema mecanico . . . . . . 27
3.1 Esquema de malha nao estruturada utilizando a metodologia Cell vertex . 293.2 Esquema do elemento triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Ilustracao da area do elemento e da area que corresponde a funcao de forma
(em branco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Esquema do elemento triangular com as divisoes dos subvolumes de controle 373.5 Fluxograma para o problema termico (Variavel desconhecida T ) . . . . . . 393.6 Fluxograma esquematico do problema termomecanico . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Campo de temperatura dentro e fora do molde . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Perfil da casca solida formada na saıda do molde (z = 0, 70m) . . . . . . . 494.3 Representacao grafica da formacao percentual de solido . . . . . . . . . . . 504.4 Ilustracao do campo de temperatura no comprimento metalurgico e na
regiao de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 Representacao das componentes do EPT na seccao de corte (z = 12, 0m) . 524.6 Representacao do criterio de von Mises na seccao de corte (z = 12, 0m) . . 534.7 Resultado do campo de tensoes dentro do molde (z = 0, 43m) . . . . . . . 544.8 Campo de temperatura e o efeito acoplado das deformacoes termicas e
mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9 Componentes do estado plano de tensoes na regiao de corte (z = 12, 0 m) . 56
6.1 Diagrama que representa o acoplamento termomecanico forte . . . . . . . . 60
LISTA DE TABELAS
A.1 Parametros da equacao do coeficiente global de transferencia de calor nainterface molde/metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.2 Vazao dos sprays (ls−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.3 Coeficientes de transferencia de calor nas regioes dos sprays . . . . . . . . . 67A.4 Propriedades mecanicas para o aco 0,3% carbono . . . . . . . . . . . . . . 67
SUMARIO
1. INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 O Problema Industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Contribuicao da Modelagem Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Motivacao e Originalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Panorama da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. MODELO TERMOMECANICO ACOPLADO UNILATERALMENTE . . . . . 72.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Acos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Problema Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Condicoes de Contorno do Problema Termico . . . . . . . . . . . . 142.4 Tensao e Deformacao Linear em um Solido Isotropico . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Estado Plano de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Estado Plano de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Modelo Termomecanico Aplicado ao Lingotamento Contınuo . . . . . . . . 242.5.1 Condicoes de Contorno do Modelo Mecanico . . . . . . . . . . . . . 26
3. MODELO NUMERICO DO LINGOTAMENTO CONTINUO . . . . . . . . . . 283.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Discretizacao da Equacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 EbFVM Aplicado ao Modelo Termomecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Condicoes de Contorno do Problema Termomecanico . . . . . . . . 43
4. RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Resultados Termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Resultados da Simulacao Termomecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Resposta Mecanica a Partir do Comprimento Metalurgico . . . . . 504.3.2 Resposta Mecanica Para o Lingotamento Contınuo Completo . . . . 52
4.4 Limitacoes da Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5. CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6. TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A. APENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.1 Tabelas Utilizadas na Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1
1. INTRODUCAO
1.1 O Problema Industrial
A tecnica de lingotamento contınuo, nas ultimas quatro decadas, tem sido cada vez
mais utilizada na producao de aco semiacabado. Na Fig. 1.1, e possıvel observar uma das
etapas da fabricacao de tarugos e a maquina de lingotamento.
Figura 1.1: Foto da maquina de lingotamento contınuo
Fonte: Industrial [2014]
2
Essa tecnica recorre basicamente a transferencia de calor durante as etapas de solidi-
ficacao. O lingotamento comeca com a transferencia do metal lıquido da panela para o
distribuidor, no qual o aco e vazado atraves de um tubo de imersao e alimenta o molde
de cobre. A regiao do molde e refrigerada a agua (resfriamento primario) e tambem e
responsavel pela formacao de uma casca solida cuja espessura mınima deve estar entre
9 − 10mm [Anjos 2013] para suportar a pressao ferrostatica e a forca de corpo devido a
acao da gravidade na saıda do molde. Subsequentemente, o lingote e submetido a outras
regioes de resfriamento forcado, como e o caso da regiao dos sprays de ar-comprimido
e agua, composta pelas 1a, 2a e 3a zonas (veja Fig. 1.2), que correspondem a diferentes
vazoes de agua (resfriamento secundario). Por fim, ocorre o resfriamento por radiacao
e conveccao natural (resfriamento terciario) [Janik e Dyja 2004]. A Fig. 1.2 ilustra a
maquina de lingotamento contınuo com o molde e as regioes de resfriamento forcado e
natural (radiacao e conveccao natural).
A qualidade do aco no lingotamento esta diretamente relacionada com o modo que
ocorrem as trocas de calor e aos carregamentos mecanicos produzidos por forcas de con-
tato, como os rolos. Observa-se que as altas variacoes termicas durante o resfriamento
produzem carregamentos termicos, que podem causar defeitos (p.e. fraturas/trincas) no
produto final, se as tensoes e deformacoes resultantes excederem valores crıticos.
O aprimoramento da tecnica esta em evitar o surgimento de defeitos e na reducao do
tempo de processamento. Para isso, e fundamental uma boa compreensao dos fenomenos
fısicos envolvidos ao longo do processo de solidificacao, como o efeito da temperatura sobre
o comportamento elastoplastico do material, das tensoes produzidas durante o contato
com os rolos extratores, do tempo e a forma do resfriamento [Chen et al. 2009, Huespe
et al. 2000]. A compreensao desses fenomenos requer a utilizacao de recursos qualitativos,
como medidas experimentais e/ou analise numerica.
E importante enfatizar que o emprego da ferramenta computacional como fonte de
informacao em processos industriais, como o lingotamento contınuo, e cada vez maior
[Fengming et al. 2014, Vertnik e Sarler 2014]. Isso pode ser visto pelos inumeros traba-
lhos que utilizam os recursos computacionais para simular os diversos fenomenos fısicos
3
Figura 1.2: Representacao esquematica do processo de lingotamento contınuo
envolvidos nas etapas de fabricacao do aco. Como no trabalho de Das [1999], que obteve
o campo de temperatura durante o processo de solidificacao na regiao do molde; Bellet
et al. [2004], Janik et al. [2004] e Chen et al. [2009], que analisaram o efeito das tensoes
produzidas pelas variacoes termicas, entretanto, tambem apenas na regiao do molde; Li
e Thomas [2004], que alem dos efeitos elastoplasticos produzidos pelas trocas de calor,
tambem incluıram o feito do superaquecimento em virtude da turbulencia do aco lıquido
e a acao produzida pela coluna desse lıquido no interior do lingote, bem como a formacao
da casca solida. Entretanto, ainda falta um modelo computacional completo aplicado ao
processo de lingotamento contınuo.
4
1.2 Contribuicao da Modelagem Numerica
Todo processo eficiente de fabricacao em larga escala dispoe de um projeto de en-
genharia que basicamente esta fundamentado em observacoes experimentais obtidas em
laboratorio e em informacoes obtidas por meio de analises computacionais (simulacao
numerica).
As observacoes experimentais tem como principal vantagem o tratamento de problemas
reais em ambiente controlado. Porem, o pesquisador nao pode desacoplar os diferentes
efeitos fısicos envolvidos sem comprometer a investigacao. Outro aspecto relevante, e o
custo de execucao elevado.
Uma outra forma de analise dos fenomenos fısicos e a solucao de modelos matematicos
atraves de metodos de solucao analıtica (solucao exata). Em contrapartida, a utilizacao
desse recurso se limita a resolver uma pequena classe de problemas e que, em geral,
estao muito distantes dos processos fısicos reais em decorrencia do grande numero de
simplificacoes que sao adotadas.
A simulacao numerica, contudo, e uma ferramenta que e utilizada para resolver mo-
delos matematicos, de forma aproximada, atraves de metodos de solucao numerica. A
utilizacao desse mecanismo flexibiliza a analise dos fenomenos, pois e possıvel escolher
os ingredientes fısicos que se pretende trabalhar. Os metodos mais modernos sao ca-
pazes de tratar problemas multi-fısicos com geometrias complexas e as nao linearidades
envolvidas. Essa ferramenta computacional traz aspectos como a possibilidade de con-
firmar ou rejeitar hipoteses, prever o comportamento de sistemas fısicos complexos em
um domınio arbitrario e apresentar baixo custo de execucao. E importante observar que
as solucoes analıticas sao comumente usadas para avaliar o desempenho e a precisao das
solucoes numericas quando e possıvel simplificar o modelo matematico. E, ainda, quando
acompanhado por medidas experimentais, a modelagem numerica e capaz de identificar
as fontes fısicas dominantes do processo. Atenta-se para o fato de que os resultados da
simulacao devem sempre ser validados com dados experimentais e ou numericos/analıticos
da literatura.
5
1.3 Motivacao e Originalidade
Neste trabalho sera empregada a abordagem EbFVM (Element based Finite-Volume
Method) na implementacao dos problemas que serao analisados. Esse metodo numerico
de solucao de equacoes permite o emprego de malhas nao estruturadas e, portanto, fle-
xibiliza o tratamento de problemas com geometrias arbitrarias. Uma caracterıstica fısica
importante do EbFVM e a conservacao das propriedades em nıvel discreto [Maliska 2004].
O sucesso do metodo pode ser constatado pela grande variedade de trabalhos na area
de mecanica dos fluidos, incluindo os multicomposicionais, como nas simulacoes de re-
servatorio de petroleo [Cordazzo et al. 2006, Marcondes e Sepehrnoori 2007; 2010], de
fluidos compressıveis e incompressıveis [Frink e Pirzadeh 1998].
O interesse de utilizar metodos cada vez mais robustos toma espaco na analise com-
putacional moderna. Ferramentas numericas que levam em consideracao o balanco de
massa, energia e momento tem despertado a atencao de pesquisadores para as vantagens
do EbFVM no ambito dos problemas estruturais [Bailey e Cross 1995, Limache e Idel-
sohn 2007], fluido-estruturais [Slone et al. 2003, Wheel 1999] e em abordagens hıbridas
(FVM-FEM) [Chandio et al. 2004].
Este trabalho se concentra na utilizacao do EbFVM na solucao numerica do mo-
delo bidimensional termico e mecanico acoplado unilateralmente aos efeitos da variacao
de temperatura, aplicado ao processo de lingotamento contınuo do aco 0,3% carbono.
Destaca-se que nao foram encontrados relatos na literatura da aplicacao do EbFVM a
problemas termomecanicos aplicado ao lingotamento contınuo.
O tratamento do problema segue os seguintes passos:
• Domınio do problema - Adota-se o domınio bidimensional, ou seja, uma seccao
plana do lingote. Utiliza-se o referencial Lagrangiano afim de se observar as variacoes
causadas pelas diferentes condicoes de contorno que pertencem a cada etapa do
resfriamento.
• Campo termico - Para o campo termico bidimensional, adota-se a equacao funda-
mental da conducao de calor em regimente transiente com um fator de geracao de
6
calor devido a mudanca de fase. Os coeficientes de transferencia de calor nas faces
do lingote foram obtidos numerico-experimentalmente1 em todas as etapas de res-
friamento do lingotamento contınuo, iniciando-se no menisco e finalizando na regiao
de corte;
• Estado de Tensao - Para o estudo das tensoes lineares provocadas pelas variacoes
termicas, adota-se o estado plano de tensoes (EPT) - O campo de tensoes e analisado
de duas formas: A primeira, com as propriedades mecanicas (E, ν, α) do material
sem a dependencia da temperatura, com o estado de referencia na regiao do com-
primento metalurgico (veja - Fig. 1.2). A segunda, com as propriedades mecanicas
do material variando com a temperatura e utilizando a temperatura solidus como
estado de referencia.
1.4 Panorama da Dissertacao
O restante desta dissertacao esta organizada da seguinte forma: O capıtulo 2 aborda os
modelos matematicos termico e mecanico que serao tratados, as consideracoes adotadas
e as condicoes de contorno. O capıtulo 3 apresenta a metodologia EbFVM e mostra
as equacoes aproximadas para os modelos termico e mecanico acoplado. No capıtulo
4, apresentam-se os resultados numericos. No capıtulo 5, observam-se as avaliacoes dos
resultados. No capitulo 6, apresentam-se sugestoes para trabalhos futuros.
1Para maiores detalhes veja em Anjos [2013].
7
2. MODELO TERMOMECANICO ACOPLADO
UNILATERALMENTE
Este capıtulo aborda os modelos matematicos que serao utilizados na simulacao.
Mostra-se ainda as simplificacoes adotadas e as condicoes de contorno que serao em-
pregadas.
2.1 Preliminares
Durante as etapas de fabricacao do aco no lingotamento contınuo estao presentes varios
ingredientes fısicos e um modelo fısico-matematico completo deve trazer aspectos, como as
nao linearidades termicas e mecanicas assim como o acoplamento entre esses fenomenos,
as forcas de contato produzidas pelos rolos, a friccao no molde e rolos e o calor gerado, as
formas de resfriamento, e as variacoes dos campos termico e mecanico nas tres dimensoes
espaciais (Fig. 2.1), deformacoes elasticas e plasticas. Contudo, o foco deste trabalho e
obter uma primeira analise e para isso, algumas simplificacoes foram adotadas. O que
se pretende analisar consiste na solucao do problema bidimensional termomecanico com
acoplamento unidirecional, assumindo-se que o material utilizado na simulacao apresente
comportamento isotropico e elastico linear.
Representa-se, de forma esquematica a maquina de lingotamento real (Fig. 2.1b) e
a maquina considerada na simulacao (Fig. 2.1a). Por comodidade, as zonas de resfria-
mento foram representadas apenas na Fig. 2.1a, porem essas mesmas zonas correspondem
tambem a Fig. 2.1b.
Para o domınio de calculo bidimensional, considere a Fig. 2.2, na qual observa-se a
ilustracao do molde de cobre (vista de cima) e a representacao da malha, que corresponde
a metade da seccao plana do lingote (Fig. 2.2). Essa escolha e capaz de avaliar as diferentes
8
Figura 2.1: Ilustracao da Maquina de lingotamento real, a direita, e a utilizada na simulacao,a esquerda
temperaturas nos raios externo e interno, e em uma das faces laterais. A seccao plana e
analisada do ponto do vista do referencial Lagrangiano, isto e, a seccao sera acompanhada
em cada etapa que corresponde ao lingotamento, de acordo com o esquema representado
na Fig. 2.1a, que tem inıcio no menisco (0, 110m) e segue ate a regiao de corte (12m),
e se admite existir apenas carregamentos devido a variacao de temperatura. Note-se
que as condicoes de contorno do problema termico variam, pois dependem dos tipos de
resfriamento que ocorrem durante o processo de solidificacao.
9
Figura 2.2: Figura ilustrativa da seccao do molde de cobre
2.2 Acos
As ligas de ferro com ate 2,1% de carbono sao denominadas acos. Observa-se que
2,11% e a separacao teorica entre acos e ferros fundidos. Para teores acima desse valor de
referencia, apresentam-se os ferros fundidos (Fig. 2.3). Os acos, alem do carbono, tambem
podem conter outros elementos como Cr, Mn, Si, Mo,V, Nb, Ti e Ni, e sao utilizados
comumente na fabricacao de ferramentas, pecas industriais, estruturas de sustentacao na
construcao civil e outras inumeras aplicacoes [Bortoleto 2010].
Figura 2.3: Diagrama de fases Fe-C
Fonte: Adaptado de Bortoleto [2010]
10
Ainda de acordo com a concentracao de carbono, os acos podem ser classificados
como eutetoides, hipoeutetoides ou hipereutetoides, se, respectivamente, apresentarem
porcentagem em massa de carbono iguais, inferiores ou superiores a 0,77%. Note-se, que
o ponto eutetoide corresponde a menor temperatura de equilıbrio entre a ferrita, perlita
e austenita, que no diagrama ferro-carbono (Fig. 2.3)1 equivale a 0,77%.
Entretanto, este trabalho utiliza o aco 0, 3% de carbono na simulacao e, para ilustrar
as transformacoes de fases que ocorrem durante o resfriamento, evidencia-se, a partir da
Fig. 2.3, a regiao na qual essas transformacoes acontecem (Fig. 2.4).
Figura 2.4: Diagrama de fases Fe-C (aco 0, 3%)
Fonte: Adaptado de Bortoleto [2010]
Pelo diagrama da Fig. 2.4, fica claro que durante a solidificacao ocorrem diversas
1Abcissa – Representa a escala horizontal, com a porcentagem de carbono;Ordenada – Representa as temperaturas;A1 – Indica o limite da existencia de austenita;A3 – Indica inıcio da passagem da estrutura CFC para CCC durante o resfriamento;Acm – Indica o limite da quantidade de carbono dissolvido na austenita;Fe3C – E a formula do carboneto de ferro, chamado cementita;γ (gama) – Sımbolo de austenita;α (alfa) – Sımbolo de ferrita.
11
transformacoes de fase e que essas dependem da composicao quımica do aco. De acordo
com o percentual de carbono, as ligas de acos podem ser classificadas da seguinte maneira
[Anjos 2013]:
1- Acos hipoperiteticos apresentam na sua composicao teor de carbono menor ou igual
0,09% e se caracterizam pela formacao, na fase solida, de ferrita delta (δ − δFe);
2- Acos periteticos apresentam concentracao de carbono entre 0,09 e 0,53% e podem ser
caracterizados pela reacao da ferrita delta com a fase lıquida produzindo austenita
(γ − γFe) a uma temperatura de 1493oC;
3- Acos hiperperiteticos apresentam teor de carbono acima de 0,53%. Note-se que
nesta concentracao de carbono, nao ha a presenca da fase ferrita delta.
Assim, para o aco 0,3% carbono (ragiao dos acos periteticos), pode-se observar as
transformacoes de fases que ocorrem no processo de solidificacao e compreende a formacao
de aco lıquido, em seguida da fase lıquida mais a ferrita delta (L+ δ), que produz a fase
lıquida mais a austenita (L+ γ) e por fim, a formacao de austenita (γ).
2.3 Problema Termico
A relacao fundamental utilizada na modelagem da solidificacao e a equacao bidimensi-
onal da conducao de calor transiente com geracao de calor, expressa na forma conservativa
por:
∂
∂t[ρ (T ) c (T )T ] =
∂
∂x
[¯κ (T )
∂T
∂x
]+
∂
∂y
[¯κ (T )
∂T
∂y
]+ q (2.1)
de modo que ρ e a densidade do aco (kgm−3), c e o calor especıfico(Jkg−1K−1
), T e a
temperatura (K), t e o tempo fısico (s), ¯κ e a condutividade termica (Wm−1K−1) e q e
o termo de geracao oriundo do calor latente de mudanca de fase (Wm−3).
A condutividade termica ¯κ, na realidade, e um tensor de 2a ordem. Porem, assumindo
a particularidade do material ser isotropico, o tensor pode ser expresso como escalar
12
(tensor de ordem zero)
¯κ =
κ 0
0 κ
(2.2)
O termo de geracao de calor latente que surge devido a mudanca de fase (lıquida -
solida) pode ser escrito como:
q = ρ (T )L∂fs∂t
(2.3)
sendo L o calor latente de fusao(Jkg−1
), fs a fracao solida formada. O termo de geracao
ainda pode escrito, utilizando a regra da cadeia, na forma:
q = ρ (T )L∂fs∂T
∂T
∂t(2.4)
Substituindo a Eq.(2.4) na Eq.(2.1), obtem-se
∂
∂t[ρ (T ) c′ (T )T ] =
∂
∂x
[κ (T )
∂T
∂x
]+
∂
∂y
[κ (T )
∂T
∂y
](2.5)
uma vez que
c′ (T ) = c (T )− L∂fs∂T
(2.6)
sendo c (T ) expresso por
c (T ) =
cs, se T 6 1770K (solido)
fscs + (1− fs) cl
cl, se T > 1792K (lıquido)
(2.7)
Nota-se que as variaveis cs e cl representam o calor especıfico das fases solida (cs = 800
Jkg−1K−1) e lıquida (cl = 740 Jkg−1K−1), respectivamente.
Para a liga em estudo, o aco 1013D, o calor especıfico, c, depende da temperatura,
assim como a massa especıfica, ρ, e a condutividade termica, κ. A condutividade e
13
expressa por uma relacao similar a do calor especıfico e e representada por [Anjos 2013]:
κ (T ) =
κs, se T 6 1770K (solido)
fsκs + (1− fs)κl
κl, se T > 1792K (lıquido)
(2.8)
sendo que as variaveis κs e κl sao as condutividades termicas para as fases solida (κs = 33, 6
Wm−1K−1) e lıquida (κl = 34, 7 Wm−1K−1), respectivamente.
Da mesma forma, a densidade pode ser representada por
ρ (T ) =
ρs, se T 6 1770K (solido)
fsρs + (1− fs) ρl
ρl, se T > 1792K (lıquido)
(2.9)
onde as variaveis ρs e ρl representam as massas especıficas das fases solida (ρs = 7301
kgm−3) e lıquida (ρl = 7011 kgm−3), respectivamente.
A fracao solida (fs) depende dos constituintes da liga, bem como das interacoes en-
tre esses componentes durante a solidificacao. Na modelagem computacional, assume-se
tambem que esse termo depende da temperatura na forma [Anjos 2013]
fs =
(1
1− k0
)(Tliq − TTf − T
)(2.10)
Derivando a Eq.(2.10) em relacao a temperatura, tem-se
∂fs∂T
=
(1
1− k0
)[Tliq − T
(Tf − T )2 −1
Tf − T
](2.11)
onde Tf e a temperatura do solvente (Tf = 1808 K), k0 e o coeficiente de particao do
soluto (k0 = 0, 2) e Tliq e a temperatura liquidus (Tliq = 1792 K).
E importante observar que as constantes termofısicas apresentam dependencia nao
linear com a temperatura. Logo, o problema termico e naturalmente nao linear. Note-se
tambem que, nas simulacoes, o efeito advectivo da fase lıquida nao e levada em consi-
14
deracao. Mas substitui-se a condutividade termica do lıquido por uma condutividade
efetiva, dada por:
κef = Cκl (2.12)
assumindo a constante C = 7 [Anjos 2013].
2.3.1 Condicoes de Contorno do Problema Termico
Como considerado anteriormente, na seccao 2.1, existem diferencas nos coeficientes de
transferencia de calor nos raios externo e interno do lingote. Admite-se que isso ocorra
devido a curvatura da maquina de lingotamento, que promove diferentes trocas de calor.
Porem, as faces laterais apresentam um padrao de simetria e, neste trabalho, considera-se
nao haver diferencas nas trocas de calor nessas regioes. Com efeito, adota-se a analise dos
efeitos termicos e mecanicos em apenas metade do lingote, conforme ilustrado na Fig. 2.2.
Os contornos que nao estao sujeitos a condicao de simetria, sao tratados considerando
o efeito convectivo: ∫S
qdS =
∫S
h (Tamb − T ) dS (2.13)
Esta equacao representa o fluxo lıquido de calor entrando atraves da area S, sendo h o
coeficiente de pelıcula ou coeficiente convectivo de transferencia de calor e Tamb a tempe-
ratura ambiente.
Para a face lateral, raios externo e interno em cada zona de resfriamento do lingote,
utiliza-se coeficientes de transferencia de calor obtidos numerico-experimentalmente por
Anjos [2013]. Esses coeficientes sao organizados por regioes, como segue:
• Regiao de resfriamento primario - Molde - A equacao do coeficiente global de
transferencia de calor na interface molde/metal e representado pela relacao:
hg(z) = C + Ae−z(t)/B (2.14)
onde
z(t) = vt (2.15)
15
sendo A, B e C constantes obtidas numerico-experimentalmente por Anjos [2013] e
estao representadas na Tabela A.1 (Apendice A), z(t) e a posicao da seccao plana
ao longo do processo de lingotamento (m) (Fig. 2.1) em funcao do tempo e v e a
velocidade da seccao (m/mim) ou velocidade do lingotamento, que este trabalho
assume como sendo v = 3, 2 m/mim.
• Regiao de resfriamento secundario - Os coeficientes de transferencia de calor na
regiao dos jatos, foram obtidos atraves de medicoes da temperatura superficial do
lingote e da correlacao dessa com a vazao de agua de acordo com expressao sugerida
por Brimacombe et al. [1984]
h = 0, 366V n (2.16)
de modo que V e a vazao de agua dos sprays (ls−1) e n e um numero arbitrario. A
Tabela A.2 apresenta as vazoes de agua em cada zona de resfriamento forcado.
Afim de arbitrar o valor de n, Anjos [2013] utilizou medidas de temperatura super-
ficial do lingote e um simulador. Ao final do experimento, obteve o valor n = 0, 56
de modo que a Eq.(2.16) pode ser expressa na forma:
h = 0, 366V 0,56 (2.17)
• Regiao de resfriamento por radiacao/conveccao natural
Os valores do coeficiente de pelıcula podem ser encontrados na Tabela A.3.
Utilizando as vazoes de agua mostradas na Tabela A.2 e a Eq.(2.17), os coeficientes
de transferencia de calor podem calculados para cada zona de resfriamento secundario e
esses valores podem ser encontrados na Tabela A.3.
Os coeficientes de conveccao/radiacao tambem foram obtidos por Anjos [2013] utili-
zando o recurso teorico experimental que pode ser visto em Anjos [2013]. Tal procedimento
envolveu a medicao da temperatura superficial do lingote utilizando um pirometro otico
e a calibracao do coeficiente de transferencia de calor, a partir de um valor arbitrado do
16
coeficiente de pelıcula, por meio de um algoritmo. Caso o valor da temperatura superfi-
cial simulada fosse diferente daquela medida via pirometro, o valor do h (coeficiente de
pelıcula) deveria ser ajustado. O valor dos coeficientes, h, baseado nesse procedimento e
utilizado neste trabalho e podem ser observados no Apendice (Apendice A).
2.4 Tensao e Deformacao Linear em um Solido Isotropico
Para o problema de mecanica do solido que sera tratado, considerou-se algumas sim-
plificacoes, como isotropia, ausencia de interacoes com as forcas de corpo e de contato, e
tambem sem considerar as deformacoes plasticas do material. Assim, a partir da equacao
da conservacao do momento linear [Voller 2009], pode-se escrever
∆σij,j = 0 (2.18)
onde ∆σij e a variacao do tensor tensao de Cauchy a partir de um estado de referencia
(os detalhes podem ser observados em Crisfield [1997]). A variacao do tensor por escrito
em termos das componentes, como:
∆σij =
∆σ11 ∆σ21 ∆σ31
∆σ21 ∆σ22 ∆σ23
∆σ31 ∆σ32 ∆σ33
(2.19)
De acordo com o princıpio da conservacao do momento linear e angular, uma vez que
o corpo nao esta sujeito a nenhuma interacao com forcas externas (equilıbrio de rotacao
de translacao), o tensor tensao e simetrico, ou seja,
∆σ[ij] = 0 (2.20)
e
∆σij = ∆σji (2.21)
17
podendo ser expresso em termos das variaveis independentes como:
∆σij =
∆σ11 ∆σ21 ∆σ31
∆σ22 ∆σ23
sim. ∆σ33
(2.22)
Observa-se que a notacao “sim.”denota as componentes simetricas da matriz.
O tensor tensao de Cauchy e aplicado na analise do estado de tensoes de materiais su-
jeitos a pequenas deformacoes (quando comparado as dimensoes do corpo como um todo).
Assim, considerando-se a relacao conhecida como Lei de Hooke Generalizada escrita em
termos do tensor tensao de Cauchy e do Tensor Deformacao Infinitesimal, tem-se
∆σij = Cijkl∆εkl. (2.23)
sendo
∆εkl =1
2(∆uk,l + ∆ul,k) (2.24)
onde uk e o vetor deslocamento (m). E importante observar tambem as condicoes de
simetria para o tensor εkl, isto e
∆εkl = ∆εlk (2.25)
O termo Cijkl e o tensor elastico classico de 4a ordem e apresenta 81 componentes
independentes sem considerar nenhuma simplificacao. Entretanto, esse numero cai para
36 componentes independentes quando a condicao de simetria e empregada (σij = σji),
levando-o a Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cjilk. Ademais, a relacao exigida para um material
elastico linear e C(ij)(kl) = C(lk)(ij), fazendo com que o numero de componentes indepen-
18
dentes se reduza para 21. Assim,
σ11
σ22
σ33
σ12
σ23
σ31
=
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C22 C23 C24 C25 C26
C33 C34 C35 C36
C44 C45 C46
C55 C56
sim. C66
ε11
ε22
ε33
2ε12
2ε23
2ε31
(2.26)
O numero de componentes tambem depende dos planos de simetria. Entao, para uma
material tridimensional, observa-se:
• Para 1 plano de simetria, o tensor Cijkl possui 13 componentes independentes;
• Para 2 planos de simetria, 9 componentes independentes (material ortotropico);
• Para 3 planos de simetria, 2 componentes independentes (material isotropico).
Conforme ja mencionado, considerou-se o caso com 3 planos de simetria, isto e, um
material isotropico e as componentes sao representadas por
λ = C12 (2.27)
µ =1
2(C11 − C12) (2.28)
Os parametros λ e µ sao conhecidas como constantes de Lame. A parametro µ e comu-
mente conhecida como G e e denominado de modulo cisalhante. Portando, reescrevendo
19
o tensor Cijkl em termos das constantes de Lame, observa-se
Cijkl =
λ+ 2µ λ λ 0 0 0
λ+ 2µ λ 0 0 0
λ+ 2µ 0 0 0
µ 0 0
µ 0
sim. µ
(2.29)
ou em notacao indicial,
Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (2.30)
sendo
δmn =
0, m 6= n
1, m = n
Substituindo a Eq.(2.30) em (2.23), obtem-se
∆σij = [λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk)]∆εkl (2.31)
resultando em
∆σij = λδij∆εkk + 2µ∆εij (2.32)
Note-se que o ındice mudo kk representa os eixos do sistema de coordenadas (p.e. no
sistema cartesiano kk assume xx, yy e zz).
Usualmente as constantes de Lame sao escritas em termos do Modulo de Young E
(Nm−2) e do Coeficiente de Poisson ν. As constantes de Lame em termos desses coefici-
entes sao dadas por
µ =E
2(1 + ν)(2.33)
λ =Eν
(1− 2ν)(1 + ν)(2.34)
20
A matriz constitutiva do material, agora em termos do modulo de Young e do coefici-
ente de Poisson, e escrita como
Cijkl =E
(1 + ν)(1− 2ν)
1− ν ν ν 0 0 0
1− ν ν 0 0 0
1− ν 0 0 0
(1−2ν)2
0 0
(1−2ν)2
0
sim. (1−2ν)2
(2.35)
A Eq.(2.35) e denominada lei constitutiva do material e se admite ter comportamento
elastico linear.
Se o corpo tambem estiver submetido a uma variacao de temperatura, ∆T , deve-se
incluir as deformacoes termicas do material na Eq.(2.32). Assim, obtem-se
∆σij =Eν
(1− 2ν)(1 + ν)δij∆εkk +
E
(1 + ν)∆εij + β (T − Tref ) δij (2.36)
onde Tref e a temperada de referencia, e β e expresso por
β = − E
1− 2ναi (2.37)
de modo que α e o coeficiente linear de expansao termica (K−1). Note-se que T − Tref =
∆T , sendo ∆T a variacao de temperatura (K) a partir de uma meidada local (T ) em
relacao a temperatura de referencia.
Para o tensor εij, tem-se
∆εij =1
2(∆ui,j + ∆uj,i) (2.38)
E para o tensor εkk, e possıvel escrever
∆εkk = ∆uk,k (2.39)
21
A forma expressa na Eq.(2.36), apesar de simplificada, pode ser encontrada em diver-
sas aplicacoes, como na simulacao das tensoes produzidas pelo efeito termico durante a
solidificacao no lingotamento contınuo [Das 1999, Huespe et al. 2000] e pode descrever o
comportamento de muitos materiais.
Escrevendo a Eq.(2.18) na forma integral, isto e, integrando-se em um volume ar-
bitrario, V , obtem-se ∫V
∆σij,jdV = 0 (2.40)
E, pelo teorema da divergencia, para a uma area arbitraria, S, pode-se escrever:
∮S
∆σijnjdS = 0 (2.41)
Em termos das componentes do tensor tensao em funcao do campo de deslocamentos,
reescreve-se a Eq.(2.41) como:
∮S
{Eν
(1− 2ν)(1 + ν)∆uk,kδij +
E
(1 + ν)
[1
2(∆ui,j + ∆uj,i)
]}njdS
−∮S
E
1− 2ναiδij (T − Tref )njdS = 0 (2.42)
E importante destacar que a Eq.(2.42) representa a forma integral da Eq.(2.18), tri-
dimensional, em funcao dos deslocamentos. Existem casos, contudo, que podem ser sim-
plificados quando se considera o problema bidimensional. Nessas situacoes, destacam-se
duas possibilidades: o Estado Plano de Tensao (EPT) e o Estado Plano de Deformacao
(EPD). A forma bidimensional da Eq.(2.42) que sera adotada no presente trabalho sera
a do Estado Plano de Tensoes.
22
2.4.1 Estado Plano de Tensao
Um corpo rıgido e considerado em um Estado Plano de Tensao quando se assume:
∆σ33 = ∆σ23 = ∆σ13 = 0 (2.43)
De acordo com o esquema mostrado na Fig. 2.5 e adotando o sistema de coordenadas
x1, x2 e x3, as tensoes normais ao plano sao desprezadas devido espessura do domınio.
Figura 2.5: Estado Plano de Tensao em um domınio contınuo
Manipulando-se a Eq.(2.36), considerando a simplificacao dada acima, tem-se na forma
matricial∆σ11
∆σ22
∆σ12
=E
1− ν2
1 ν 0
ν 1 0
0 0 1−ν2
∆ε11
∆ε22
2∆ε12
−Eαi∆T
1− ν
1
1
0
(2.44)
Pode-se tambem escrever a relacao acima (Eq.(2.44)) em funcao das componentes das
deformacoes na forma matricial
∆ε11
∆ε22
2∆ε12
=1
E
1 −ν 0
−ν 1 0
0 0 2(1 + ν)
∆σ11
∆σ22
∆σ12
+ αi∆T
1
1
0
(2.45)
23
Observa-se que no EPT, apesar da componente da tensao, ∆σ33 = 0, o mesmo nao
ocorre com a componente da deformacao, ∆ε33. Considerando a Eq.(2.36) escrita em
termos das deformacoes e aplicando algumas manipulacoes algebricas se pode obter a
equacao para o calculo de ∆ε33
∆ε33 =1
E[∆σ33 − ν(∆σ11 + ∆σ22)] + α3∆T (2.46)
e assumindo ∆σ33 = 0, obtem-se
∆ε33 = − νE
(∆σ11 + ∆σ22) + α3∆T (2.47)
Assim, como ∆σ11 6= 0 e ∆σ22 6= 0, logo ∆ε33 6= 0.
2.4.2 Estado Plano de Deformacao
O Estado Plano de Deformacao apresenta
∆ε33 = ∆ε23 = ∆ε13 = 0 (2.48)
Figura 2.6: Estado Plano de Deformacao em um domınio contınuo
24
Ao contrario do EPT, uma das dimensao e assumidamente maior do que as demais,
ou seja, considerando o sistema de coordenadas x1, x2 e x3, de acordo com a Fig. 2.6, e o
plano x1Ox2, a deformacao da direcao x3 e descartada (∆ε33 ≈ 0) (mas as tensoes nessa
direcao nao sao nulas).
Retomando a Eq.(2.36) e a simplificacao adotada na Eq.(2.48), obtem-se
∆σ11
∆σ22
∆σ12
=E
(1 + ν)(1− 2ν)
1− ν ν 0
ν 1− ν 0
0 0 1−2ν2
∆ε11
∆ε22
2∆ε12
−Eαi∆T
1− 2ν
1
1
0
(2.49)
Observa-se que no EPD a tensao σ33 e obtida por meio da manipulacao da Eq.(2.36),
ou simplesmente tomando a Eq.(2.46) e aplicando na Eq.(2.48)
∆ε33 =1
E[∆σ33 − ν(∆σ11 + ∆σ22)] + α3∆T = 0 (2.50)
resultando em,
∆σ33 = ν(∆σ11 + ∆σ22)− α3∆T (2.51)
Para os objetivos deste trabalho, utiliza-se o Estado Plano de Tensao, pois todas
as observacoes se concentram em uma seccao do lingote, que pode ser visto como uma
placa sujeita a variacoes nao uniformes de temperatura nas fronteiras. Contudo, se pode
transformar, com certa simplicidade, do Estado Plano de Tensao para o Estado Plano de
Deformacao ou vice-versa [Voller 2009].
2.5 Modelo Termomecanico Aplicado ao Lingotamento Contınuo
Para o estudo do efeito das tensoes durante a solidificacao, adotou-se o EPT. Nesta
seccao, serao abordadas consideracoes importantes na aplicacao do modelo ao problema
industrial em questao. Enfatiza-se, que o modelo mecanico acoplado utilizado para des-
crever o comportamento das tensoes, leva em conta apenas os carregamentos devido as
variacoes de temperatura, ao passo que o lingotamento contınuo real apresenta diversos
efeitos fısico extremamente complexos que contribuem tambem na formacao das tensoes.
25
Apesar disso, pode-se fazer uma avaliacao quantitativa dos locais de concentracao das
tensoes lineares.
Assim, para as componentes da tensao considerando o EPT no plano xOy, tem-se
∆σxx =E
1− ν2[∆εxx + ν∆εyy − (1 + ν)αx∆T ] (2.52)
∆σyy =E
1− ν2[∆εyy + ν∆εxx − (1 + ν)αy∆T ] (2.53)
∆σxy =E
2 (1 + ν)∆εxy = ∆σyx (2.54)
ou ainda em termos do campo de deslocamentos
∆ui =
∆u1
∆u2
=
∆u
∆v
, (2.55)
∆σxx =E
1− ν2
[∂∆u
∂x+ ν
∂∆v
∂y− (1 + ν)αx∆T
](2.56)
∆σyy =E
1− ν2
[∂∆v
∂y+ ν
∂∆u
∂x− (1 + ν)αy∆T
](2.57)
∆σxy =E
2(1 + ν)
[∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
](2.58)
O problema foi tratado de duas maneiras, a primeira utilizando-se valores fixos de E
(32378, 0 MPa), ν (0, 33) e αxx = αyy = α (22, 3×10−6 K−1). E, a segunda, com os termos
E(T ), ν(T ) e α(T ) variando com a temperatura, de acordo com a Tabela A.4 apresentada
no Apendice (Apendice A). A variacao dos coeficientes foi implementada interpolando-os
linearmente em cada ponto dado (de acordo com a Tabela A.4), conforme representado
nos graficos (Fig. 2.7).
26
Figura 2.7: Graficos das propriedades mecanicas variando com a temperatura
Fonte: Adaptado de Huespe et al. [2000].
2.5.1 Condicoes de Contorno do Modelo Mecanico
As condicoes de contorno para o problema mecanico serao abordadas na sequencia:
I - Simulacao Completa - Utiliza-se o domınio de calculo que foi representado na
Fig. 2.8. Quanto ao estado de referencia das tencoes (σref = 0), adotou-se a regiao
do menisco (z = 0, 110 m). Utiliza-se tambem parametros (E, ν, α) variaveis com
a temperatura, como a finalidade de avaliar todas as possıveis contribuicoes para a
formacao de concentracoes das tensoes lineares.
II - Simulacao Iniciada no Comprimento Metalurgico - Neste caso, os parametros
27
Figura 2.8: Representacao das condicoes de contorno do problema mecanico
que descrevem o comportamento do aco durante o lingotamento sao constantes
e a temperatura de referencia corresponde ao campo localizado no comprimento
metalurgico (Veja Fig. 2.1).
• Restricoes - Para os casos I e II, as restricoes estao localizadas nos pontos de
simetria, como pode ser observado no esquema da malha da Fig. 2.8. Note-se
tambem, pela figura, que as restricoes impoe deslocamento prescrito igual a zero,
conforme ilustrado e sao necessarios para remover o movimento de corpo rıgido.
28
3. MODELO NUMERICO DO LINGOTAMENTO
CONTINUO
Este capıtulo apresenta as equacoes aproximadas dos modelos termico e mecanico
acoplado. Utiliza-se, portanto, a equacao da conservacao da energia para a avaliacao do
campo de temperatura e, para as tensoes, a conservacao do momento linear, adotando-se
a forma simplificada proposta no capıtulo anterior: o estado plano de tensoes (EPT).
Em ambos os modelos fısico-matematicos, empregam-se a metodologia EbFVM (Element
based Finite-Volume Method) em conjunto com elementos triangulares lineares.
3.1 Preliminares
Sera utilizada a abordagem do metodo dos volumes finitos baseados em elementos -
EbFVM. Nesse metodo, o domınio de calculo 2D e dividido em elementos triangulares e/ou
quadrangulares (conforme pode ser visto na Fig. 3.1). Posteriormente, esses elementos
sao divididos em subelementos (ou subvolumes de controle svc), de acordo com o numero
de vertices, e as equacoes de conservacao sao integradas para cada subelemento. Apos o
processo de integracao, obtem-se a equacao de conservacao de cada volume de controle
visitando-se todos os subelementos que compartilham o mesmo vertice, originando, dessa
forma, uma formulacao baseada nos vertices da malha (cell vertex formulation). Essa ideia
foi introduzida por Baliga e Patankar [1983] e Schneider e Zedan [1983] para elementos
triangulares e quadrangulares, respectivamente. Neste trabalho, entretanto, somente os
elementos triangulares (Fig. 3.2) serao utilizados.
E importante ressaltar que para essa tecnica, que define o volume de controle em volta
do vertice, encontram-se diversas denominacoes, tais como:
• Control-Volume-based Finite Element Method (CVFEM) - denominacao utilizada
29
Figura 3.1: Esquema de malha nao estruturada utilizando a metodologia Cell vertex
por Patankar [1980] e por Ferziger e Peric [2002];
• Element-based Finite Volume Method (EbFVM) - nomenclatura adotada por Ma-
liska [2004], Marcondes e Sepehrnoori [2007; 2010];
• Vertex-based Finite Volume Method (VFVM) - termo adotado por Taylor et al.
[1999];
• Cell-vertex Finite Volume Method (CV-FV) - termo utilizado por Slone et al. [2003].
Neste trabalho tambem sera adotada a nomenclatura EbFVM, pois a mesma se refere
a uma metodologia de volumes finitos que emprega elementos finitos e funcoes de forma,
mas as equacoes aproximadas sao obtidas obedecendo a conservacao fısica da propriedade
em cada elemento. No presente caso, conservacao de energia e momento linear.
No EbFVM, para avaliar a derivada de uma propriedade numericamente (p.e tempe-
ratura - T ), ou simplesmente o valor dessa propriedade, em qualquer ponto do elemento
(p.e. um ponto arbitrario P (x, y)), utiliza-se o recurso das funcoes de forma. Desse modo,
30
Figura 3.2: Esquema do elemento triangular com as divisoes dos subvolumes de controle (scv),os pontos nodais e (1, 2 e 3), nas faces de cada subvolume de controle, os pontos de integracao(ip)
considerando φ como sendo uma propriedade que se quer avaliar em qualquer ponto den-
tro do elemento, pode-se escrever φ em termos da aproximacao (com interpolacao linear):
φ ≈ ax+ by + c, (3.1)
Contudo os coeficientes a, b e c devem satisfazer a relacao nodal
φi ≈ aixi + biyi + ci, i = 1, 2, 3 (3.2)
A Eq.(3.1) poder se convenientemente definida em termos das funcoes de forma Ni
com i = 1, 2, 3, tal que:
Ni(x, y) =
0, Todos os pontos de lado oposto ao ponto nodal i
1, No ponto nodal(3.3a)
3∑i=1
Ni(x, y) = 1 em todos os pontos dentro do elemento (3.3b)
Sobre todo elemento, o campo contınuo de uma propriedade arbitraria φ pode ser re-
presentada como uma combinacao linear de valores nodais (i = 1, 2, 3), pela aproximacao:
φ(x, y) ≈3∑i=1
Ni(x, y)φi (3.4)
31
sendo
N1 = Ap23/A123 (3.5)
N2 = Ap31/A123 (3.6)
N3 = Ap21/A123 (3.7)
onde A123 e area do elemento, p e um ponto arbitrario dentro do elemento, Ap23, Ap21 e
Ap31 sao areas, tais que
Ap23 + Ap31 + Ap21 = A123 (3.8)
(essas areas podem ser ilustradas pela regiao em branco apresentadas nos triangulos da
Fig. 3.3). Observa-se que quando p assume valores que coincidem com o ponto nodal i
(i = 1, 2, 3), implica em Ni = 1 e para valores de p do lado posto ao ponto nodal i, a area
associada e Ni = 0. Como pode se verificado pelas relacoes
Figura 3.3: Ilustracao da area do elemento e da area que corresponde a funcao de forma (embranco)
32
A123 =1
2
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
(3.9)
e
Ap23 =1
2[(x2y3 − x3y2)− xp (y3 − y2) + yp (x3 − x2)] (3.10)
Ap31 =1
2[(x3y1 − x1y3)− xp (y1 − y3) + yp (x1 − x3)] (3.11)
Ap12 =1
2[(x1y2 − x2y1)− xp (y2 − y1) + yp (x2 − x1)] (3.12)
Retomando a Eq.(3.4), a derivada de um propriedade φ, pode ser escrita em termos
das funcoes de forma como:
∂
∂xφ(x, y) ≈
3∑i=1
∂
∂xNi(x, y)φi
∂
∂yφ(x, y) ≈
3∑i=1
∂
∂yNi(x, y)φi (3.13)
Portanto, para as propriedades avaliadas nas faces, como, por exemplo, a difusivi-
dade no subvolume de controle svc1, utilizando o ponto medio de cada face (ponto de
integracao), obtem-se
κip1 =3∑j=1
Niκi =5
12κ1 +
5
12κ2 +
2
12κ3 (3.14)
κip2 =3∑j=1
Niκi =5
12κ1 +
2
12κ2 +
5
12κ3 (3.15)
Note que i e o ındice do ponto nodal e Ni as funcoes de forma definidas anteriormente.
Para as derivadas, expressa-se as componentes do operador ∇ (as duas componentes do
operador - ∂∂x, ∂∂y
) como
∂
∂x=
3∑i=1
Nix (3.16)
33
∂
∂y=
3∑i=1
Niy (3.17)
N1x =∂N1
∂x=
(y2 − y3)
2V ele
N1y =∂N1
∂y=
(x3 − x2)
2V ele
N2x =∂N2
∂x=
(y3 − y1)
2V ele(3.18)
N2y =∂N2
∂y=
(x1 − x3)
2V ele
N3x =∂N3
∂x=
(y1 − y2)
2V ele
N3y =∂N3
∂y=
(x2 − x1)
2V ele
sendo V ele o volume do elemento assumindo profundidade unitaria e pode ser expresso
como:
V ele =(x2y3 − x3y2) + x1 (y2 − y3) + y1 (x3 − x2)
2(3.19)
A contribuicao, para o volume, do subvolume de controle e
Vi =1
3V ele (3.20)
Outra definicao importante sao os vetores unitarios localizados nos pontos de inte-
gracao (ip), nas faces dos subvolumes de controle (scv). As componentes desses vetores
unitarios sao expressas como:
~nxf1 =∆yf1Sf1
~i
~nyf1 =∆xf1Sf1
(−~j) (3.21)
~nxf2 =∆yf2Sf2
~i
~nyf2 =∆xf2Sf2
(−~j)
34
em que
∆xf1 =x3
3− x2
6− x1
6
∆yf1 =y3
3− y2
6− y1
6
∆xf2 =−x2
3+x3
6+x1
6
∆yf2 =−y2
3+y3
6+y1
6
e as areas das faces sao dadas por (assumindo profundidade unitaria):
Sf1 =√
∆x2f1
+ ∆y2f1, Sf2 =
√∆x2
f2+ ∆y2
f2(3.22)
3.2 Discretizacao da Equacao da Energia
Integrando-se a equacao da energia, Eq.(2.5), apresentada no Capıtulo (Cap. 2), no
volume e no tempo, e aplicando o teorema de Gauss para o termo difusivo, obtem-se a
relacao na forma conservativa:
∫t
∫V
∂
∂tρ (T ) c′ (T )TdV dt =
∫t
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndSdt (3.23)
Para a discretizacao da Eq.(3.23), considera-se primeiramente o termo condutivo e a
integracao no espaco. A tarefa e associar o domınio de integracao a area do volume de
controle associado a um ponto nodal e avaliar a integral em cada face do subvolume de
controle (nos pontos de integracao - ip - Fig. 3.2).
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndS =
∫ip1
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndS
+
∫ip2
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndS (3.24)
Entao, por exemplo, para um subvolume de controle svc1, da Fig. 3.2, se pode escrever
35
a aproximacao, usando a regra do ponto medio,
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndS ≈
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~nS|ip1
+
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~nS|ip1 (3.25)
e em termos das funcoes de forma, Eqs.(3.16) e (3.17), da relacao proposta para os vetores
unitarios, Eq.(3.21), e Eq.(3.22), para as areas das faces, tem-se
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~nS|ip1 = κip1
3∑i=1
NixTi∆yip1 + κip1
3∑i=1
NiyTi (−∆x)ip1 (3.26)
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂y
]· ~nS|ip2 = κip2
3∑i=1
NixTi∆yip2 + κip2
3∑i=1
NiyTi (−∆x)ip2 (3.27)
ou agrupando os termos geometricos de cada face, observa-se
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndS ≈
3∑i=1
(Gi1 +Gi2)Ti =3∑i=1
FiTi (3.28)
Voltando a Eq.(3.23), trata-se agora o termo transiente que, para um ponto nodal i,
pode ser expresso como
∫t
∫V
∂
∂t[ρi (T ) c′i (T )Ti] dV dt = Neti (3.29)
integrando no tempo e no volume, vem
Neti∆t
=[ρi (T ) c′i (T )Ti|t+∆t − ρi (T ) c′i (T )Ti|t
]∆V (3.30)
onde t + ∆t indica o passo de tempo atual e t o passo de tempo anterior. Para o termo
36
difusivo, resta
∫t
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndSdt ≈ ∆t
[(1− θ)
3∑i=1
FiTti + θ
3∑i=1
FiTt+∆ti
](3.31)
o parametro θ (0 ≤ θ ≤ 1) e usado como fator peso para aproximar o fluxo lıquido dentro
do volume de controle, que representa o ponto nodal i, durante o intervalo de tempo
[t, t + ∆t], em termos da taxa que flui imediatamente ao entrar e ao sair do volume de
controle ao longo do tempo.
Para os possıveis valores de θ, as tres formas mais conhecidas sao:
• Totalmente implıcito θ = 1
Neti = ∆t3∑i=1
FiTt+∆ti (3.32)
• Crank-Nicolson θ = 0, 5
Neti =∆t
2
[1
2
3∑i=1
FiTt+∆ti +
1
2
3∑i=1
FiTti
](3.33)
• Explıcito θ = 0
Neti = ∆t3∑i=1
FiTti (3.34)
A opcao que se faz neste trabalho e θ = 0, ou metodo Explıcito. Entao, para todos
os pontos nodais i, de cada elemento k, percorrendo primeiramente os correspondentes
subvolumes de controle j da malha (Fig. 3.4), a equacao discretizada pode ser escrita na
forma:nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
Netijk = ∆tnve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
FijkTti (3.35)
Na proxima seccao, discute-se a discretizacao das condicoes de contorno do problema
termico.
37
Figura 3.4: Esquema do elemento triangular com as divisoes dos subvolumes de controle
3.2.1 Condicoes de Contorno
Integrando-se a Eq.(2.5) no espaco e no tempo e substituıdo o fluxo de calor pela
condicao de contorno dada pela Eq.(2.13), obtem-se
∫t
∫V
∂
∂tρ (T ) c′ (T )TdV dt =
∫t
∮S
[κ (T )
∂T
∂xi+ κ (T )
∂T
∂yj
]· ~ndSdt
+
∫t
∫S
h (Tamb − T ) dSdt (3.36)
38
Logo, integrando-se nas faces que pertencem as fronteiras do domınio,
∫t
∫S
h (Tamb − T ) dSdt ≈ −BciTi∆t+BbiTamb∆t (3.37)
de modo que
Bci = hSi (3.38a)
Bbi = hTambSi (3.38b)
onde o coeficiente de pelıcula, h, e definido de acordo com as condicoes de contorno
ilustradas na Fig. 2.2 e podem ser listadas abaixo:
• Fronteira adiabatica, h = 0 - E definida pela fronteira de simetria (Fig. 2.2), que,
por essa razao, nao apresenta fluxo de calor;
• Demais Fronteiras, h > 0 - Essas contornos representam a face lateral, raios
externo e interno (Fig. 2.2). As equacoes discretizadas, incluindo os termos de
fronteira, podem ser representadas por:
[Bci∆t+ ∆Viρi (T ) c′i (T )]Ti|t+∆t =
[∆Viρi (T ) c′i (T ) + ∆t
3∑i=1
Fi
]tT ti +Bbi∆t
(3.39)
Note-se que ∆Vi e a soma de todos os volumes que circundam o ponto nodal i (vide
Fig. 3.4).
Na sequencia, apresenta-se de forma simplificada, o fluxograma do algoritmo do pro-
blema termico.
3.3 EbFVM Aplicado ao Modelo Termomecanico
Para analise das tensoes no lingotamento contınuo, considerou-se apenas uma fatia,
isto e, uma seccao fina do lingote. Essa foi acompanhada do menisco a regiao de corte.
Para a analise das tensoes provocadas pelas variacoes de temperatura, adotou-se o Estado
Plano de Tensoes cujas componentes, as Eqs.(2.56), (2.57) e (2.58), podem ser observadas
39
Figura 3.5: Fluxograma para o problema termico (Variavel desconhecida T )
no Capıtulo (Cap. 2). Para a abordagem do EbFVM, reescreve-se essas componentes em
funcao da variacao dos deslocamentos na forma integral
∮s
{E
1− ν2
[∂∆u
∂x+ ν
∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]i+
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)j
}· ndS = 0
(3.40)
∮s
{E
1− ν2
[ν∂∆u
∂x+∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]j +
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)i
}· ndS = 0
(3.41)
A tarefa neste momento e utilizar os recursos apresentados na seccao anterior para
aproximar numericamente as Eqs.(3.40) e (3.41). Entao, a integracao da Eq.(3.40), em
cada ponto ip, (p.e. do subvolume de controle mostrado na Fig. 3.2) pode ser escrita
como
40
∮s
{E
1− ν2
[∂∆u
∂x+ ν
∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]i+
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)j
}·ndS = Ixip1+Ixip2
onde
Ixip1 =
∫ip1
{E
1− ν2
[∂∆u
∂x+ ν
∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]i+
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)j
}· ndS
Ixip2 =
∫ip2
{E
1− ν2
[∂∆u
∂x+ ν
∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]i+
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)j
}· ndS
E para a Eq.(3.41),
∮s
{E
1− ν2
[ν∂∆u
∂x+∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]j +
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)i
}·ndS = Iyip1+Iyip2
onde
Iyip1 =
∫ip1
{E
1− ν2
[ν∂∆u
∂x+∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]j +
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)i
}· ndS
Iyip2 =
∫ip2
{E
1− ν2
[ν∂∆u
∂x+∂∆v
∂y− (1 + ν)α∆T
]j +
E
2 (1 + ν)
(∂∆u
∂y+∂∆v
∂x
)i
}· ndS
41
Assim, para cada ponto de integracao (Eq. 3.40),
Ixip1 ≈ κxxip1
[3∑j=1
Njx∆uj + νip1
3∑j=1
Njy∆vj − (1 + νip1)αip1∆Tip1
]∆yip1 +
κxyip1
(3∑j=1
Njy∆uj +3∑j=1
Njx∆vj
)ip1
(−∆xip1)
Ixip2 ≈ κxxip2
[3∑j=1
Njx∆uj + νip2
3∑j=1
Njy∆vj − (1 + νip2)αip2∆Tip2
]∆yip2 +
κxyip2
(3∑j=1
Njy∆uj +3∑j=1
Njx∆vj
)ip2
(−∆xip2)
Agora, para cada ponto de integracao da Eq.(3.41),
Iyip1 ≈ κyyip1
[νip1
3∑j=1
Njx∆uj +3∑j=1
Njy∆vj − (1 + νip1)αip1∆Tip1
](−∆xip1)
+κyxip1
(3∑j=1
Njy∆uj +3∑j=1
Njx∆vj
)ip1
∆yip1
Iyip2 ≈ κyyip2
[νip2
3∑j=1
Njx∆uj +3∑j=1
Njy∆vj − (1 + νip2)αip2∆Tip2
](−∆xip2)
+κyxip2
(3∑j=1
Njy∆uj +3∑j=1
Njx∆vj
)ip2
∆yip2
sendo
κxx = κyy =E
1− ν2(3.42)
κxy = κyx =E
2 (1 + ν)(3.43)
Agrupando os termos geometricos para a discretizacao da Eq.(3.40), obtem-se
Ixip1 + Ixip2 ≈3∑j=1
(Gxxj1 +Gxx
j2
)∆uj +
3∑j=1
(Gxyj1 +Gxy
j2
)∆vj −
(Gthx
1 +Gthx2
)= 0 (3.44)
42
onde
Gxxj1 = κxxip1Njx∆yip1 + κxyip1Njy(−∆xip1)
Gxxj2 = κxxip2Njx∆yip2 + κyxip2Njy(−∆xip2)
Gxyj1 = κxxip1νip1Njy∆yip1 + κxyip1Njx(−∆xip1)
Gxyj2 = κxxip2νip1Njy∆yip2 + κxyip2Njx(−∆xip2) (3.45)
Gthx1 = (1 + νip1)αip1∆Tip1∆yip1
Gthx2 = (1 + νip2)αip2∆Tip2∆yip2
e para os termos da Eq.(3.41),
Iyip1 + Iyip2 ≈3∑j=1
(Gyyj1 +Gyy
j2
)∆uj +
3∑j=1
(Gyxj1 +Gyx
j2
)∆vj −
(Gthy
1 +Gthy2
)= 0 (3.46)
onde
Gyyj1 =
(κyyip1Njy (−∆xip1) + κyxip1Njx∆yip1
)Gyyj2 =
(κyyip2Njy (−∆xip2) + κyxip2Njx∆yip2
)Gyxj1 =
(κyyip1νip1Njx (−∆xip1) + κyxip1Njy∆yip1
)Gyxj2 =
(κyyip2νip2Njx (−∆xip2) + κyxip2Njy∆yip2
)(3.47)
Gthy1 = (1 + νip1)αip1∆Tip1 (−∆xip1)
Gthy2 = (1 + νip2)αip2∆Tip2 (−∆xip2)
Apos o processo de integracao, obtem-se a equacao de conservacao de cada volume
de controle visitando-se todos os subelementos que compartilham o mesmo vertice (nve).
Assim, a forma discretizada da Eq.(3.40), pode ser expressa como:
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F xxijk∆uj +
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F xyijk∆vj − F
thx ≈ 0 (3.48)
43
Do mesmo modo para a Eq.(3.41)
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F yyijk∆vj +
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F yxijk∆uj − F
thy ≈ 0 (3.49)
sendo
F xxijk = Gxx
j1 +Gxxj2
F xyijk = Gxy
j1 +Gxyj2
F yyijk = Gyy
j1 +Gyyj2
F yxijk = Gyx
j1 +Gyxj2 (3.50)
F thx = Gthx
1 +Gthx2
F thy = Gthy
1 +Gthy2
Observa-se que o termo F corresponde a matriz de rigidez local, que e similar a expressao
obtida pelo FEM (Finite Element Method) [Filippini 2011].
3.3.1 Condicoes de Contorno do Problema Termomecanico
Para as condicoes de contorno, evoca-se as Eqs.(3.48) e (3.49), acrescentando-se as
constantes Bbxxj , Bbyyj , Bc
xxj e Bcyyj ,
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
[Bcxxj + F xx
ijk
]∆uj +
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F xyijk∆vj − F
thx +Bbxxj ≈ 0 (3.51)
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
[Bcyyj + F yy
ijk
]∆vj +
nve∑i=1
scv∑j=1
ele∑k=1
F yxijk∆uj − F
thy +Bbyyj ≈ 0 (3.52)
que representam as condicoes de contorno para o problema mecanico.
Observando-se a regiao de simetria, que esta ilustrada na Fig. 2.8, para evitar mo-
vimento de corpo rıgido, restringe-se os deslocamentos na horizontal representado pela
componente u, aplicando-se a Bcxxj um “peso”, isto e, adotando-se Bcxxj = 106 × Ej(T ).
44
Com esse valor, o deslocamento na direcao horizontal (x), na fronteira de simetria, e
aproximadamente nulo (u ≈ 0). E para os deslocamento na direcao vertical (y), toma-se
apenas o ponto P (0, 05; 0, 05) e adota-se Bcyyj = 106 × Ej(T ), isto e, fixa-se a compo-
nente do campo de deslocamento vi em P (0, 05; 0, 05) e para os outros pontos do domınio
Bcxxj = 0 e Bcyyj = 0. Como nao ha a presenca de forcas de compressao ou tracao produ-
zidas por agentes externos, as constantes Bbxxj e Bbyyj recebem zero em todos os outros
elementos.
Na Fig. 3.6, encontra-se o fluxograma para o calculo das variaveis desconhecidas
∆un+1 e ∆vn+1. Um vez obtidos esses valores, efetuam-se as operacoes:
un+1 = ∆un+1 + un (3.53)
e
vn+1 = ∆vn+1 + vn (3.54)
Obtidos os campos de deslocamentos un+1 e vn+1, reescreve-se as Eqs.(2.56), (2.57) e
(2.58), na forma (detalhes em Voller [2009]):
∆σn+1xxi
=Ei
(1− νi2)
ele∑i=1
V ele
3
∂∆un+1i
∂x
∣∣∣ele
Vi+ νi
ele∑i=1
V ele
3
∂∆vn+1i
∂y
∣∣∣ele
Vi− (1 + νi)αi∆T
n+1i
(3.55)
∆σn+1yyi
=Ei
(1− νi2)
νiele∑i=1
V ele
3
∂∆un+1i
∂x
∣∣∣ele
Vi+
ele∑i=1
V ele
3
∂∆vn+1i
∂y
∣∣∣ele
Vi− (1 + νi)αi∆T
n+1i
(3.56)
e
∆σn+1xyi
= ∆σn+1yxi
=Ei
2 (1 + νi)
ele∑i=1
V ele
3
∂∆un+1i
∂y
∣∣∣ele
Vi+
ele∑i=1
V ele
3
∂∆vn+1i
∂x
∣∣∣ele
Vi
(3.57)
45
Em seguida,
σn+1xx = σnxx + ∆σn+1
xx , (3.58)
σn+1yy = σnyy + ∆σn+1
yy (3.59)
e
σn+1xy = σnxy + ∆σn+1
xy (3.60)
Note-se que n+ 1 indica a variacao atual e n, a variacao anterior.
Agora, e possıvel calcular as componentes das tensoes e deformacoes. Em seguida,
para observar as regioes que acorrem acumulo de tensoes lineares, efetua-se o calculo da
tensao equivalente ou criterio de von Mises, por meio da relacao [Crisfield 1997]:
σvM =√σ2xx + σ2
yy − σxxσyy + 3σ2xy (3.61)
Com a Eq.(3.61), analisa-se as regioes de concentracao do estado de tensoes lineares
e, assim, verificar se esses valores ultrapassam o limite de escoamento do material, σY
(Tensao de escoamento - Veja Tabela A.4), causado deformacoes plasticas.
46
Figura 3.6: Fluxograma esquematico do problema termomecanico (Variaveis desconhecidas∆un+1,∆vn+1)
47
4. RESULTADOS
Neste capıtulo sao apresentados e discutidos os resultados das simulacoes termica e
mecanica. Durante a simulacao, escolhe-se algumas seccoes que se julgou mais interessan-
tes e essas sao mostradas de acordo com a posicao relativa a maquina de lingotamento
z(t).
4.1 Preliminares
Aborda-se, neste texto, os resultados obtidos nas simulacoes para os seguintes casos:
I- Resultados termicos - Apresentam-se os campos de temperatura de algumas
seccoes e o grafico da formacao da casca solida durante o resfriamento;
II- Simulacao iniciada no comprimento metalurgico (regiao na qual toda
seccao do lingote e solida) - Na simulacao iniciada no comprimento metalurgico,
foi observado o comportamento das tensoes tanto com parametros constantes (E, ν, α)
como dependentes da temperatura. Para o primeiro caso (propriedades mecanicas
constantes), adotou-se os parametros fısicos mostrados na primeira linha da Ta-
bela A.4, enquanto que para o segundo (propriedades mecanicas variaveis), utilizou-
se o ajuste linear que foi mostrado na Fig. 2.7 e o conjunto de dados apresentado
na Tabela A.4;
III- Simulacao iniciada no menisco - Na simulacao iniciada no menisco, as proprie-
dades mecanicas variam com a temperatura, conforme o grafico mostrado na Fig. 2.7
e os valores podem ser vistos na Tabela A.4.
Quanto as unidades, a temperatura e apresentada em Kelvin (K) e as tensoes em
MPa.
48
4.2 Resultados Termicos
Com os coeficientes de transferencia de calor obtidos por Anjos [2013], foi possıvel
implementar um algorıtimo e observar o perfil de temperatura durante todo processo de
lingotamento. Representa-se na Fig. 4.1, os campos termicos dentro, em z = 0, 115 m,
e fora do molde, em z = 2, 0 m. Nota-se a diminuicao da regiao lıquida e a formacao
da casca solida, que e definida pela regiao que representa as temperaturas T ≤ 1700 K
(temperatura solidos).
Figura 4.1: Campo de temperatura dentro e fora do molde
Uma importante consideracao da tecnica de lingotamento contınuo, segundo Brima-
combe et al. [1984], esta na fato de se obter uma espessura mınima de formacao da casca
solida, que deve apresentar uma camada entre 9 − 10 mm, para a prevencao do rompi-
mento do lingote ao sair do molde. A simulacao apresentou a formacao de 11 mm de
49
camada solidificada (e = 11 mm - Fig. 4.2), que e um valor acima do mınimo, e portanto,
considerado um bom resultado.
Figura 4.2: Perfil da casca solida formada na saıda do molde (z = 0, 70m)
Apresenta-se graficamente, na Fig. 4.3, a formacao percentual da casca solida em
funcao da distancia (z) ao menisco, com velocidade de lingotamento de v = 3, 2m/mim.
Foram testadas malhas com diferentes numeros de elementos com o objetivo de verificar
a dependencia do resultado com o numero de elementos e, como pode ser verificado no
grafico (Fig. 4.3), a malha mais grosseira (106 elementos) apresenta aproximadamente
o mesmo resultado quando comparado a malha com 5.900 elementos. Contudo, para os
resultados termicos e mecanico acoplado utilizou-se a malha com 5.900 elementos.
Na Fig. 4.4, apresentam-se os campos de temperatura localizados na regiao imediata-
mente abaixo do comprimento metalurgico (z = 7, 466 m) e na regiao de corte (z = 12, 0
m). Comparando-se o resultados obtidos na Fig. 4.4a e na Fig. 4.1b, observa-se um consi-
50
Figura 4.3: Representacao grafica da formacao percentual de solido
deravel reaquecimento na superfıcie do lingote, que pode ser explicado pela redistribuicao
da temperatura, devido a reducao da retirada de calor na regiao de resfriamento terciario.
4.3 Resultados da Simulacao Termomecanica
4.3.1 Resposta Mecanica a Partir do Comprimento Metalurgico
As simulacoes do problema mecanico acoplado cujos resultados sao encontrados nesta
seccao, foram obtidos empregando-se parametros constantes (E, ν, α) e variaveis com a
temperatura, utilizando-se as simplificacoes discutidas no Capıtulo 2.
Na regiao denominada de comprimento metalurgico, o aco esta totalmente solidificado.
Nos resultados mostrados nas Figs. 4.5 e 4.6, adota-se o comprimento metalurgico como
sendo a regiao de referencia e isso significa que as tensoes sao nulas nessa seccao do
lingote. Assim, os resultados apresentados nas Figs. 4.5 e 4.6 sao as contribuicoes dos
carregamentos termicos na secao de corte em relacao ao comprimento metalurgico, nao
observando as contribuicoes das zonas mistas (solido-lıquido).
Os campos de deslocamentos (u, v) e as componentes do estado plano de tensoes
51
Figura 4.4: Ilustracao do campo de temperatura no comprimento metalurgico e na regiao decorte
(σxy, σxx e σyy) sao mostradas na Fig. 4.5. Observa-se, na Fig. 4.5a, os resultados com
parametros constantes e, na Fig. 4.5b, com parametros variaveis. Como era esperado, uma
vez que para a simulacao com parametros constantes se utilizou o valor maximo do modulo
de Young (E- vide Tabela A.4), ha uma diferenca de valores significativa chegando a 40%
quando comparado a simulacao com parametros variaveis, porem o campos de tensoes
apresentam a mesma distribuicao em ambas as Figuras. E o mesmo pode ser visto na
Fig. 4.6, que apresenta a resposta da tensao equivalente de von Mises. Ainda na Fig. 4.6,
observa-se a concentracao de tensoes na regiao central (eixo de simetria), face lateral
e raios externo (acima) e interno (abaixo - Veja Fig. 2.8). Essas localizacoes podem
favorecer o aparecimento de trincas longitudinais.
52
Figura 4.5: Representacao das componentes do EPT na seccao de corte (z = 12, 0m)
4.3.2 Resposta Mecanica Para o Lingotamento Contınuo Completo
Os resultados da simulacao mecanica acoplada, com estado de referencia no menisco
(isto e, campo de tensoes zero nessa regiao), sem o efeito da pressao ferrostatica e com as
propriedades mecanicas dependendo da temperatura sao analisadas nesta seccao.
A Fig. 4.7 apresenta os resultados do campo de deslocamentos e das componentes das
tensoes σxx, σyy, σxy e σvM , nas Figs. 4.7a, b, c e d, respectivamente, na qual se observa
locais sujeitos ao efeito de compressao (tensoes negativas) e tracao (tensoes positivas).
Observa-se tambem areas cuja tensao e nula (em cinza), que indica a presenca de aco
lıquido. Por meio do resultado do criterio de von Mises, Fig. 4.7d, verificam-se locais de
concentracao de tensoes nas extremidades.
53
Figura 4.6: Representacao do criterio de von Mises na seccao de corte (z = 12, 0m)
Em seguida, na Fig. 4.8, mostra-se o efeito do campo termico e a deformacao em
duas seccoes do lingote, z = 4, 01 m e z = 4, 31 m, durante o reaquecimento. Nota-
se, nas extremidades, um aumento da temperatura de aproximadamente 100 K e, em
seguida, regioes de alıvio com deformacoes apresentado valores menos negativos. Devido
a isotropia do problema, a Fig. 4.8 mostra apenas uma das componente da deformacao
termica, εtermico. Contudo, tambem podem ser observadas as deformacoes mecanicas εxx
e εyy.
54
Figura 4.7: Resultado do campo de tensoes dentro do molde (z = 0, 43m)
55
Figura
4.8:
Cam
po
de
tem
per
atu
rae
oef
eito
das
def
orm
acoe
ste
rmic
as
em
ecan
icas
56
Note-se que os valores negativos das componentes da deformacao, indicam que o ma-
terial esta em compressao durante o resfriamento e logo em seguida, depois de uma nova
distribuicao de temperatura, observa-se valores menos negativos, isto e, ocorre um mode-
rado efeito de tracao nesse momento.
Finalmente, na Fig. (4.9), mostra-se a seccao de corte e as contribuicoes das compo-
nentes das tensoes iniciadas no menisco. Tambem se observa a tensao equivalente de von
Mises na qual se pode ver regioes de alta concentracao nas extremidades, indicando locais
de possıveis formacoes de trincas.
Figura 4.9: Componentes do estado plano de tensoes na regiao de corte (z = 12, 0 m)
Os resultados apresentados na Fig. 4.7, em comparacao aos mostrados na Fig. 4.9, sao
consideravelmente diferentes, pois as contribuicoes das zonas mistas afetam tanto a distri-
buicao quanto a magnitude do campo de tensoes e, por isso, nao podem ser desprezadas.
57
Como pode ser visto, a concentracao das tensoes estao presentes na superfıcie do lingote
conforme indica a Fig. 4.9. Por outro lado, a distribuicao apresentada na Fig. 4.7 mostra
acumulo de tensao na superfıcie e no centro do lingote. Observa-se ainda na Fig. 4.7
uma modesta diferenca na forma do produto final, o tarugo, devido a acao da compressao
causada pela forma que ocorreu o resfriamento. Esse resultado indica a necessidade de
formas de resfriamento mais eficiente de modo a evitar tais imperfeicoes.
4.4 Limitacoes da Modelagem
No processo industrial do lingotamento contınuo existem importantes aspectos que
nao formam considerados na simulacao, como a formacao de espacos vazios no molde
(“gaps”), do efeito advectivo produzido pelo aco lıquido e tambem da acao da pressao
ferrostatica (aco lıquido comprimindo as paredes do lingote). Este trabalho, entretanto,
aborda o efeito termico na formacao do campo de tensoes lineares. Observa-se ainda
que a solucao do problema termico e mecanico acoplado unidirecional foi sujeito a outras
simplificacoes, como a presenca da isotropia, ausencia das forcas de contato (com o molde
e os rolos) e domınio bidimensional.
Outro especto importante e que o calculo das tensoes lineares nao sao suficientes
para se observar a formacao de trincas, pois, na realidade, o material possui um limite de
elasticidade no qual, uma vez ultrapassado, as deformacoes apresentam estado irreversıvel
e aumento do limite de escoamento (σY ). Assim, faz-se necessario o tratamento mecanico
nao linear, do ponto de vista da plasticidade. Para ilustrar, observa-se, na Fig. 4.10, o
campo da funcao de plasticidade (fpl) que e definido segundo a relacao:
fpl =
σvM − σY < 0 Regime elastico
σvM − σY = 0 Limite de escoamento
σvM − σY > 0 Regime plastico
(4.1)
onde σY e o limite de escoamento do material e os valores sao mostrados na Tabela A.4.
Nota-se, na Fig. 4.10, que as regioes positivas indicam que a tensao equivalente, σvM , e
maior do que o limite de escoamento do material, σY , e o tratamento nao linear deve
58
Figura 4.10
ser considerado. Verifica-se ainda, na Fig. 4.10c, a seccao do lingote, na regiao de corte
(z = 12, 0 m) na qual a funcao, fpl, apresenta valores positivos em quase todo domınio
devido ao acumulo das tensoes lineares que tem inıcio no molde (Fig. 4.10a).
Outro fator importante na investigacao de trincas produzidas apenas pelos carrega-
mentos termicos e a contribuicao do efeito viscoplastico que se mostra importante em
problemas nos quais o material e sujeito a altas variacoes termicas, como e o caso do
lingotamento contınuo [Janik et al. 2004].
59
5. CONCLUSAO
Este trabalho teve como tarefa principal a avaliacao do campo termico e mecanico aco-
plado unidirecionalmente aplicado ao processo de lingotamento contınuo do aco 1013D
(0,3% de carbono), em conjunto com a metodologia EbFVM (Element based Finite-
Volume Method). Assim, utilizou-se a equacao da conservacao da energia, em meio
isotropico, para a obtencao do campo termico e a equacao da conservacao do momento
linear para a obtencao do campo de deslocamentos e a resposta das componentes das
tensoes.
Com a utilizacao de dados numerico-experimentais para o valor do coeficiente de
pelıcula, foi possıvel observar o comportamento bidimensional do campo termico em di-
ferentes partes do processo de lingotamento contınuo. Obtida a temperatura em cada
regiao, avaliou-se a influencia das deformacoes termicas, provocadas pelo resfriamento
durante o processo de solidificacao, e a contribuicao dessas deformacoes na formacao do
estado de tensoes. Tambem se obteve a regiao de concentracao das tensoes e, por meio
do criterio de von Mises, verificou-se que as tensoes atingiram o regime de plasticidade.
No presente caso, esses locais com maior concentracao sao face lateral e raios externo e
interno. E importante ressaltar que as solucoes obtidas para o estado plano de tensoes
devem ser tratadas observando o comportamento plastico do material, que nao foi consi-
derado neste trabalho. Observou-se ainda a influencia quantitativas e qualitativas quanto
a escolha do estado de tensao de referencia com a avaliacao das propriedades mecanicas
do material constantes e variaveis na solucao final do problema.
Apesar das simplificacoes adotadas, este texto traz informacoes quantitativas quanto
a formacao de acumulos das tensoes, que apontam para regioes de possıveis formacoes de
trincas.
60
6. TRABALHOS FUTUROS
Como o leitor pode ter observado, consideracoes importantes precisam ser acrescen-
tadas na modelagem. Este trabalho utilizou o Metodo de Volumes Finitos baseado em
Elementos (EbFVM) afim de resolver numericamente a equacao energia para obter campo
de temperatura e utilizou a equacao da conservacao do momento linear para resolver o
campo deslocamentos. Assim, a expectativa para os proximos trabalhos e a utilizacao do
EbFVM na simulacao do processo de lingamento contınuo tridimensional, e o tratamento,
com o mesmo metodo, dos fenomenos fısicos acoplados, como forcas de contato com os
rolos e o calor gerado no processo de friccao, e o efeito advectivo do aco lıquido dentro do
molde.
Apresenta-se, abaixo, uma lista de possıveis trabalhos que podem ser desenvolvidos:
I - Implementacao do comportamento Elasto-plastico bidimensional/tridimensional;
II - Estudos direcionados ao comportamento viscoelastico e/ou viscoplastico do mate-
rial;
III - Implementacao do acoplamento forte termomecanico em domınio bidimensional/tridimensional;
Figura 6.1: Diagrama que representa o acoplamento termomecanico forte
61
IV - Efeito advectivo produzido pelo aco lıquido dentro do tarugo, com efeito fer-
rostatico e forca de corpo;
V - O efeito das trocas de calor dentro do molde levando em conta a formacao de
“gaps” entre as paredes do molde e o lingote.
62
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66
A. APENDICE
Este apendice tem por finalidade expor as tabelas utilizadas na simulacao.
A.1 Tabelas Utilizadas na Simulacao
Tabela A.1: Parametros da equacao do coeficiente global de transferencia de calor na interfacemolde/metal
A B C
Raio Externo 1652,54982 0,076 1012,3554Raio Interno 1382,75331 0,11003 892,5904Face Lateral 1323,34964 0,10339 908,72076
Tabela A.2: Vazao dos sprays (ls−1)
Zonas dos Sprays
1a Zona 2a Zona 3a Zona3, 07 3, 02 2, 67
Fonte: Adaptado de Anjos [2013].
67
Tabela A.3: Coeficientes de transferencia de calor nas regioes dos sprays
Zonas dos Sprays Radiacao/Conveccao natural
1a Zona 2a Zona 3a Zona 154(Wm−2K−1)741(Wm−2K−1) 734(Wm−2K−1) 679(Wm−2K−1)
Fonte: Adaptado de Anjos [2013].
Tabela A.4: Propriedades mecanicas para o aco 0,3% carbono
T (K) E(GPa) ν α(K−1) σY (MPa)
1173 32,378 0,33 25, 0× 10−6 14,01273 20,0 0,33 11,01373 14,542 0,33 8,01473 12,896 0,33 29, 092× 10−6 5,51573 11,954 0,33 4,01673 8,608 0,36 41, 653× 10−6 3,51723 5,062 0,401728 65, 649× 10−6 1,91763 0,097 0,41 0 0,51770 0,002 0,41 0 0.5
Fonte: Adaptado de Huespe et al. [2000]