particulas e cordas em espaÇos com mÉtricas … · sei' fol'muladas como teorias de...

t

I

UNIVERSIDADE DE SAtildeO PAULO

INSTITUTO DE FIacuteSICA

PARTICULAS E CORDAS EM ESPACcedilOS COM

MEacuteTRICAS DEGENERADAS

1 SBImiddotIFUSP

Luiacutes ANTONIO CABRAL

Banca Examinadora

Prol Dr Marcelo Otaacutevio Caminha Gomes (IFUSP) Prof Dr Adilson Joseacute d Silva (IFUSP) Prof Dr Nathan Jacob Berkovits (IFTUNESp) Prof Dr Joatildeo Barcelos Neto (UFRJ)

Tese de Doutorado

submetida ao Instituto de Fiacutesica

da Universidade de Satildeo Paulo

lORIE1ADOR PnOF D1L VICTOR DE OLIVEIRA RIVELLES

sect~Ct ~

(i f

Uacutejl ~OccedilJ

~~Q~ ~v~~ 71f0~ ~ ~t

oi$ q -i

Q

0~-- SAtildeo PAILO

1999

5 3CJ -cQ C c~gtivOC 11+f I

10--1 112 ccedil 5Y flX 1

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

Cabral Luis Antonio

Partlculas e Cordas em Espaccedilos com Meacutetricas Degeneradas Satildeo Paulo 1999

Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Flsica - Departamento de Fisica Matemaacutetica

Orientador Prot Df Victor de Oliveira Rivelles Area de Concentraccedilatildeo Fiacutesica das Partiacuteculas Elementares

e Campos

Unltermos 1 Sistemas Vinculados 2 Partlculas 3 Cordas

USPIIFSBI-05299

f Resumo

Neste habalho estudamos a dinacircmica de pal-tiacuteculas e cordas num campo gravitacio~

naI com meacutetrica degenerada Utilizamos o formaliacutesmo HamiltonIacuteano para determinar 0$

viacutenculos da teoria e a dinacircmica efetiva do sistema Classificamos a estrutura dos viacutenculos

de acordo com a forma da meacutetrica e dimensatildeo do espaccedilo(-tempo) Obtemos tambeacutem a

representaccedilatildeo das simetrias em LClffiOS de isometrias geradas por auto-vct018S nulos da

meacutetrica

i I

i

bull1 bull i Abstract

In this work we study the dynamics af partides and strings in a gravitational field with

degenerate metric Ve use the Hamiacuteltonian formalism to find out the constraIacutents and the

effective dynamics of the system We classiacutefy tne constraint structure accolding to the

form af the metriacutec and the space(time) dimensiono We a150 obtain the representation of

the symmetries in terms Df the isometries generated by the nuH eigenvectors of the metriacutec

Agradecimentos

Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a

muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos

Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo

Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste

trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto

Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00

lFUSP

Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e

outros

Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea

Dolares e Stela

A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila

Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia

Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro

Conteuacutedo

1 Introduccedilatildeo 3

2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8

21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9

22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11

23 Vetores de Base Integraacuteveis 14

24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15

241 D - r Par 15

242 D - r Iacutempr 16

25 (aso 11p O 17

26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20

3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23

31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24

32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26

321 (aso D - r Par 29

322 Caso D - 7 Iacutempar 30

4 A Corda Bosocircnica 37

41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy

danais l8

1

42 Formalismo Hamiltoniano 41

421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41

422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43

423 GaioD-rPar 48

424 Caso D - r Iacutempar 50

43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54

44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56

5 Conclusatildeo 59

A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61

B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada

e Viacutenculos Secundaacuterios 65

C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72

2

Capiacutetulo 1

Introduccedilatildeo

As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto

natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy

dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como

demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o

nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute

a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da

teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos

pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy

tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge

supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as

D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco

negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas

tentativas neste contexto ~31_

As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy

tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado

recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se

num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem

3

j

definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto

Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna

singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa

leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em

pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo

pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal

do espaccedilo-tempo [6j

[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini

onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)

a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem

definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]

gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas

induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada

sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy

superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona

com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir

uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas

degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas

exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~

paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas

auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo

Ineacutetricas de posto trecircs

Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para

outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy

pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase

com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills

4

com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a

meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica

muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente

[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e

trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF

e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos

ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor

meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo

iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy

gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores

que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes

obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de

uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por

difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot

te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral

[15]

No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em

campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem

determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)

que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na

hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula

[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a

accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas

das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo

de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com

E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo

5

i

tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo

Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem

ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a

principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do

espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir

algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o

comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido

propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila

de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem

ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com

telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais

contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso

da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de

campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida

que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a

tetrada eacute inversiacuteveL

Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~

tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e

cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica

se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas

movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em

estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy

mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus

de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma

obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy

do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica

6

no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos

viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula

natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo

associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3

estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy

cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo

gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e

conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro

7

Capiacutetulo 2

A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica


o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido

objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa

ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees

de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar

nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada

surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo

dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de

Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados

e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial

O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy

toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo

que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de

viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso

da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL

Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem

8

I

inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise

que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o

movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta

do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir

21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado

Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo

l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t

onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas

satildeo

aiii + fijlXiii = 0 (22)

onde

rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)

Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a

meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a

Xi

DL jPt acircxi mx aij (23)

se lij natildeo for degenerada temos que

xi = giJgt (24) m

9

I

Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de

Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1

Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da

partiacutecula utilizando Hc

Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero

podemos escrever

gij = e j ejhab (26)

onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana

ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-

Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy

nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base

assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior

ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do

espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na

seccedilatildeo a segUir

10

I

22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado

Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy

nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por

h9ij=ei ei laquo6 (27)

onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma

meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com

posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo

possuem mversa

Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores

nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados

Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada

vamos considerar a lagrangeana como sendo

I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)

onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo

fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il

onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para

obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos

no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos

PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~

implicando nos vinculos primaacuterios

4)10 = PiU1 (211)

11

onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes

Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)

Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para

as r componentes iniciais

P bullmelXa

Pr = middot (212)merxn

onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)

As D - r equaccedilotildees restantes1

Pr+l mer +1tu

Pu ~ meDxmiddot a (213)

satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir

Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com

= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i

Entagraveo para p mex

a bull (214)

onde podemos usar que

i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)

temos

-i D ellrjmXa (216)

12

Considerando os D - l momentos restantes p~

~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n

temos os D - r vInculos

IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)

Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)

PiU = O= P - e~erpi (219)

ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)

A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por

1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m

-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada

- -ll-bhUi i = eje] aImiddot

Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute

H = Hc + AgraveUltIU) (222)

onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn

ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos

ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)

1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)

A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy

sistecircnciat fornece

~Q = No + MotJgtJ = OI (225)

13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J

N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)

Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou

natildeo

23 Vetores de Base Integraacuteveis

Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em

todo o espaccedilo

Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o

do sistema e satildeo todos de primeira classe

A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por

ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)

onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL

A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como

1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo

A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante

Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos

D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade

Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser

1 0L - tmiddot= -m9ijx x

deg1

~ (229)2

14

que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada

91j em r dimensotildees

24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis

Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)

precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo

do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)

e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem

duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar

241 D - r Par

Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que

Agrave - - JaPN-iVJ J (230)

Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos

sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por

D - ~(D - r) = HD + r)

Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em

det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre

os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos

o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com

meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O

15

242 D - r Iacutempar

Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O

nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira

classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as

velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees

em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos

resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes

associadas a Agravea

B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)

com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a

envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)

componentes

A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo

pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r

(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)

onde utilizamos (231)

Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com

auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos

entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A

A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por

ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX

A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma

H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16

onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy

Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por

x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)

J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)

0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)

A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI

gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)

Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em

ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)

que equivale a

X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)

que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos

o valol de AgraveD-l

gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull

Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com

que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de

segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees

25 Caso NIl = O

Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que

Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)

17

Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja

iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb

1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)

Usando que

cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)

D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)

obtemos

N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)

onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo

Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)

onde FI = eacute~Pi

Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a

- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)

temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas

componentes de MolJ J temos que

~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)

18

Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em

M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep

Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos

ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O

A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades

geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um

futuro projeto

Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)

4 = MupgtP = O (253)

Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo

gt1 lvInjJltfCP = O (254)

o que resulta )P = O

Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas

lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)

ou ainda

)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O

)3IvD-rfJ o (256)

Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)

ficando AgraveD-r indeterminado

19

Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de

segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira

classe

Se considerarmos as combinaccedilotildees

lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)

verificamos que

ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)

Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de

primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1

Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r

iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma

que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute

D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade

no espaccedilo de fase

26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas

Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute

uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)

com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes

isto significa

(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)

onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma

determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju

20

Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em

(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo

dri = -eu1(i (261)

onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante

Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja

1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)

onde temos

OcirciJij oacutext 89ij = ax

-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)

Substituindo (263) e (264) em (262) temos

(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX

-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj

1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]

Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica

satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante

Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy

formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com

isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada

21

I

Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r

auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado

na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj

os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as

transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto

ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como

15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a

UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)

que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy

giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea

os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling

Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy

pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende

do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido

a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que

a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe

porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria

no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute

necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com

vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo

de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante

simetrizada do vetor de KiIling [25]

22

Capiacutetulo 3

A Partiacutecula Relativiacutestica


Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com

D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da

partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um

espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero

apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de

primeira classe

Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas

mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia

do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso

encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo

explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos

viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula

23

31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado

A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo

curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por

(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)

onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein

As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por

ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)

sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e

onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy

vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal

agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em

(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~

A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy

me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy

se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em

termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero

Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a

meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa

24

Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente

dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP

Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada

por

H = (ppPgPv + m) (36)

Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia

de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos

e( )[I = 2 P + m = 0 (37)

onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo

rp = p2 + m2 = Q (38)

Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy

na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica

das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador

da simetria

ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo

admite inversa

25

32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado

Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy

cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato

de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de

um 000 viacutencuLo primaacuterio

Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo

anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada

Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma

a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)

tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante

da meacutetrica se anula

Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo

podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional

~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo

TIe = 0 (310)

~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli

onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L

Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base

~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)

a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por

e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)

Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui

inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1

de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa

Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana

primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)

onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos

lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como

eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)

ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)

Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O

que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso

degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em

(314)

Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos

1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy

(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)

27

- -

Vamos reescrever (319) considerando (312) e

-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)

onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter

-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +

2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy

P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9

P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]

W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ

onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora

I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n

ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo

eteuroVVp eteQ - ctteqIVI

p )PAacute a1ehd - hre amphiJ

(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(

Entatildeo podemos escrever (318) como

iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)

onde

28

j

- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)

gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi

A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o

que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem

l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo

Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar

321 Caso D - r Par

Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~

Entatildeo d (326) obtemos

Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)

Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes

viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio

extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever

essa combinaccedilatildeo linear como

1gt = JO + f 14fgt (331)

Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos

29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)

qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy

Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por

f = Nelv1et (334)

uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP

Substituindo (334) em (333) temos

f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)

que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos

viacutenculos iniciais eacute dado por e

qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)

Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira

classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase

322 Caso D - r Iacutempar

Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal

forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos

v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)

30

-- -

NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)

Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)


4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr

- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a

Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve

uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por

PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r

Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos

X XI+~ XltPE H D- x ltPo_

Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)

DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_

- [vo N + gtQND_ r ]

~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]

2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy

-~)-x = O (343) e

31

- --

Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos

Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)

desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy

vetor nulo de Mec eacute dado por

VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)

Poreacutem j

Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte

X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)

que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo

x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)

Devemos observar que -2

Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e

veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)

Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir

que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar

ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)

V~XltIgt

onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os

viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe

32

- -

- - -

Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna

anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente

caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por

e H = 1 + APR + IX- (3_51)

Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange

p associado ao viacutenculo x

ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy

x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)

ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)

Considerando (354) com = lI D ~ r temos

ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)

tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)

De (355) obtemos

Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)

Substituindo (357) em (356) obtemos

No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)

33

que eacute equivalente a

ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)

Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)

De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D

Entatildeo em (352) temos

-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a

~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)

resultando em

-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e

Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos

0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =

que equivale a

~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)

Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma

equivalente em (350)

Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos

X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que

y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe

34

Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar

de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos

viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo

dos viacutenculos que seraacute de primeira classe

Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse

fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)

Considerando a representaccedilatildeo matricial

11lt) 11 fWfl) (367)

sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz

antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no

Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que

WIJtW I) = 0 (368)

onde

I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo

Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo

3 = WWfllt) (370)

Entatildeo

3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll

WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35

3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)

eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe

Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos

de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase

36

I

i

Capiacutetulo 4

A Corda Bosocircnica


Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy

za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no

espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso

a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta

superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo

A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante

da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy

Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo

de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no

desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos

~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo

graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a

superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo

envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre

quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes

37

Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus

de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas

Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas

propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor

ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo

Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do

espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada

Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo

glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica

do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos

as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy

tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser

degenerados

Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso

em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy

rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura

algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute

gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica

do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas

41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais

A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo

de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por

s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)

38

onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de

movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente

V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)

~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o

Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ

portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada

No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a

GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)

Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)

onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8

Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)

da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy

paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma

DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy

nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI

Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy

rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada

conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante

Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira

as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto

que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel

39

a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos

contendo acirc+x+ se anule

As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para

fL = - i podem ser escritas como

P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +

+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0

o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)

P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +

+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O

Analogamente para (45) resulta em

(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +

+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)

As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv

Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por

G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)

G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)

onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi

40

Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes

x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas

Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem

satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo

G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_

(411)

G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_

onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica

degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy

donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL

Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila

de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas

42 Formalismo Hamiltoniano

421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado

Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades

de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)

DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P

Ionde T = 21lt bull

41

No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios

ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)

Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson

l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J

(415)

X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)

Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy

niana primaacuteria H

rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)

onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e

= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)

onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham

no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios

1 IPI = TPJlX p OI (418)

ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)

A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da

teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra

42

ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)

ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)

(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)

I

I 1

422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado

Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por

Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor

que D

Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em

(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo

existe iremos mostrar que surge um novo vinculo

Vamos escrever PII como

PI

na =

=

LlQep l

AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)

Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1

r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1

Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo

a - oacute~ (426)eielj

0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que

-p60 = eaPp (428)

Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)

Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio

~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)

Devemos notar ainda que

ltPI - U~P) (431)

U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I

onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja

UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj

OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores

nulos

Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica

1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t

li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU

44

onde

-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif

(435)

xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f

Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy

miltoniana primaacuteria Hp

Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)

Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que

Plo)() ltIgt = o (437)

Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de

1(11) = 0 (438)

obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios

1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X

conforme demonstrado no apecircndice B

A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como

n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos

ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)

onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h

Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo

dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)

- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)

a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f

-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)

+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)

(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)

o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)

46

(449)

Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que

Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O

ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))

- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)

+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)

Entatildeo

Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como

iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)

bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J

fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)

Desta formal segue que

~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)

- Nlaquo)oacute(a - ) (453)

(454)

47

Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com

4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT

N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)

Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas

relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo

de M eacute par ou iacutempar

423 Caso D - r Par

Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores

de Laglange)t = -MJLJVt

Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2

h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)

0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)

lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)

( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)

No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra

dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)

Entatildeo podemos concluir que

Oacute O (463)

natildeo gera novos viacutenculos

Poreacutem de

(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2

segue que

Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c

-~WlaquoT) (465) c shy

Como Ai = -MItNE verificamos que

1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL


Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep

e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira

classe

ifgt (12 + fecircifl (467)

49

~

e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de

ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O

ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)

Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por

j = NeMe ccedil = c (469)

Entatildeo

ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)

eacute a combinaccedilatildeo procurada

Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os

viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de

liberdade no espaccedilo de fase

424 Caso D - r Impar

Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo

v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo

ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo

x = VI1 = O (471)

onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos

x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r

50

Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy

rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por

)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)

Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot

Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo

gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos

IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy

Substituindo )11 temos

D-r OrJ2=A-X= bull (475)

ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado

Vejamos a evoluccedilatildeo de X

x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)

x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)

Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos

1-1laquolt7) = ~ltp (478)

onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo

c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)

Ainda temos

51

- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)

logo

Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)

Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na

partiacutecula relativiacutestica lesultando em

x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte

+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)

Devemos notar que

VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)

natildeo se anula Entatildeo

D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)

Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe

Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica

concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO

viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda

classe

Resta analisar )Oh X Temos que

52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~

+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)

Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende

explicitamente da meacutetrica

Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste

caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase

Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda

classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como

a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a

combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos

de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso

existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase

Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente

para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)

Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com

meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos

viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais

complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do

caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos

viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente

as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas

de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao

tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o

das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas

53

--

Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que

possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy

sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo

~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111

e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy

vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio

para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos

secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia

dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo

possui inversa

43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe

Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo

ocircpe~ = O

tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos

a partir de (4A9) (452) e (454) que

M() = 0 (486)

NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)

au Atilde2-iJGpX (er)) (487)

Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe

Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma

especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo

54

Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma

U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)

onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw

Partindo de (488) temos que

UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~

onde podemos utilizar

a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx

Mas

OpU xp = auJ (491) Q

logo

fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)

- ult1

Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0

Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de

viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2

graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo

Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy

generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda

servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe

55

I

I

Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy

diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas

o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo

tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a

isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de

primeira classe da corda com meacutetrica degenerada

Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe

soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j

sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada

Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo

graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]

Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes

da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo

duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)

eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras

interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas

44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico

Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas

podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo

foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja

No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos

em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de

fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de

invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331

56

Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy

rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo

de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que

soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico

Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que

permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que

F(X) ~ F(X) (493)

Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy

vendo

X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m

(494)

2iu p m -l p ccedil = e - pm

onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos

e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e

P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol

Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)

tom

p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)

Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute

Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16

57

Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo

degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles

natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se

o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de

Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico

Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico

da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado

Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia

conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado

Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute

possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o

uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy

tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza

uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir

do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente

com a meacutetrica degenerada

O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy

te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas

no cuacutentexto da teoria de cordas

58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo

Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de

partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy

pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo

Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos

Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo

dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e

natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado

Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais

no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco

eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em

espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os

modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute

invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas

Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo

relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada

possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy

nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada

59

a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy

da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos

viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda

em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na

construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos

satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese

Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite

algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta

tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]

Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de

uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um

aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o

inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas

podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais

Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy

volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy

volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria

de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma

descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais

Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy

de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista

uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto

da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A

Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar

Sabemos de (326) que

4gtl = Np + )tMpt = O (A1)

Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim

vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos

que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l

eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O

Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um

auto-vetor nulo

Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo

VlMjlt = 0 (A2)

Multiplicando (Al) por V1 temos

VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)

que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --

Entretanto) sabemos que

p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)

De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo

V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l

A partir de (A6) podemos checar diretamente que

p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)

pVID_r v - VID_rp~~ = o

Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo

para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de

uma forma compacta) ou seja) X = VN

Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a

partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a

matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees

O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O

V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M

v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O

62

A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo

V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1

Vamos considerar simplesmente que

y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~

1

Desta forma

-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)

( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M

que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M

Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~

considerando que (D -1) =l e li = (12)

Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde

onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas

componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy

dimensional anteriacuteOr

Ficamos entatildeo com

V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)

cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir

Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63

Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo

1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2

eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando

I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)

( -1) M13 -lv31middot M = - lvI

l2 12

vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E

V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-

eacute o terceiro termo de V em (A lO)

Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a

corda bastando considerar os iacutendices apropriados

64

Apecircndice B

Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios

Hamiltoniana Canocircnica

Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov

L=fCd(T

C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)

ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por

_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde

Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)

Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T

65

- -

Vamos escrever P como

Pp = 6oep ~

Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)

Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo

escrevemos (BA) como

p = lJnmiddot euroIl (B5)

Pp = 60 e (B6)

Mas

c ~p - sect (B7)eley

laquo -v sectv (B8)e1- eo

De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)

Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos

rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi

que corresponde ao viacutenculo primaacuterio

O (BH)eeor = ltP~ Pl

Vamos considerar que

A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV

66

Entatildeo

xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)

lv[OO Moo A e v l1aPshy

A partir desta uacuteltima temos

kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2

[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]

x (Mr (1l14)

Sabendo que

ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax

obtemos

ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2

1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2

Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades

ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1

~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p

Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos

ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~

67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW

Adicionalmente sabemos que

det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h

onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir

de (319)

T(lfol ) _ M = - V_hhoo

(B20)M

Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana

canocircnica dada por

1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h

Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por

I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado

Viacutenculos Secundaacuterios

Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp

temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos

calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos

68

1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)

onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que

1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)

A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por

1Il(dl(O) Ii(u) =

() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)

1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a

Em (B25) Val110S considerar o termo

1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)

No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar

() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)

Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos

69

ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com

PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))

Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por

() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)

_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)

11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull

Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por

PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)

1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J

+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)

A partir de (B31) temo em (B22)

Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)

2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70

1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T

~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I

Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a

O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0

Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a

(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)

Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos

os viacutenculos secundaacuterios

11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C

Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda

Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da

corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4

A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais

viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4

P(ollI9J = 0 (Cl)

P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)

Para os viacutenculos IPI e 01 temos

lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)

- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)

+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)

Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo

P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)

72

Ma)

X

(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)

V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r

Logo

Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)

Tambeacutem temos a partir de (C5)

XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)

Entatildeo (C3) equivale a

OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)

+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)

+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)

Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como

ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)

Logo

OI (o) ltlgtv(o) =

1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]

+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)

73

I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade

bull j

X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)

- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)

ficcedilalnos finalmente com

I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)

~ ltJI()Ja(a - ) (C13)

Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102

ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)

+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)

- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)

- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)

Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por

1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)

_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)

o termo (lI) de (C14) eacute dadO por

P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)

+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ

2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74

o termo (1lI) de (C14l eacute dado por

P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp

i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)

xGp (0) (Cl7)

onde

ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)

~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))

xFp()GAP0)6u - ) (C1S)

Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale

-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)

+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)

o termo (N) de (CH) eacute dado por

i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i

~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))

2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)

- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)

Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar

iJlj tpa Com isto ficamos com

75

~k(a)i() =

PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)

2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)

+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)

+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)

Considerando o termo (a) ternos que

PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)

- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)

que eacute equiacutevalente a

2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)

- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)

Vamos considerar nos termos (a) e (b) que

-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per

Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por

(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )

2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a

(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)

n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)

76

que reagrupando os termos acima resulta em

(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a

shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a

- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)

- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a

Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que

(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)

-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)

onde

Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O

Da mesma forma para o termo (d)

(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)

2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)

Entatildeo

- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c

- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _

+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a

-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)

+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)

77

I

o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute

dado por

(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e

~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)

+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj

~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)

+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)

~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)

+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J

xPx(u)etoacute(u - ) (C32)

Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos

(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)

+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)

+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)

que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica

Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos

OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)

+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)

_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)

- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)

78

Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades

o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)

~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)

X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)

I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com

Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]

- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]

= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)

Logo

(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)

Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2

(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)

+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)

+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)

Vamos reescrever cada termo de (CAO)

79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +

Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy

(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy

Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1

Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy

= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~

(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy

(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid

I I

I Jbull

_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =

2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)

Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que

X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)

onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =

2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)

Somando (Co49) e (C47) obtemos

[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)

Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por

_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =

-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)

Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)

-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)

+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81

A partir de (C52) e (C51) obtemos

_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)

+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)

Analogamente agrave (CAB temos

P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)

Somando (C54) e (C 52) obtemos

[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)

Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com

f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia

[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking

and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT

Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy

qc95030m (natildeo publicado)

I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys

I Rev Lett 77 (1996) 2368

3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram

Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e

E Martinec Class Quant Grav 13 (1996) 63

[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670

[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa

Quant Grav 14 (1997) 179

[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)

[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459

[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657

83

I

1

I

[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class

Quant Grav 9 L 119 (1992)

[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev

D59 (1999) 044008

[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys

B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)

A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw

Phys Rev Lett 69 233 (1992)

12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130

113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351

(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)

115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210

[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)

[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206

118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73

119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U

Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520

1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239

[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j

preprlllt 1999

84

[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics

(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)

[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)

[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~

WILEY amp SONS New York 1975)

I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy

panYI San Francisco 1973)

I i I

[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)

[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY

1987)

[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178

[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173

130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59

[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240

(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273

[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35

[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593

85

1

2

3

4

5 3CJ -cQ C c~gtivOC 11+f I

10--1 112 ccedil 5Y flX 1

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

Cabral Luis Antonio

Partlculas e Cordas em Espaccedilos com Meacutetricas Degeneradas Satildeo Paulo 1999

Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Flsica - Departamento de Fisica Matemaacutetica

Orientador Prot Df Victor de Oliveira Rivelles Area de Concentraccedilatildeo Fiacutesica das Partiacuteculas Elementares

e Campos

Unltermos 1 Sistemas Vinculados 2 Partlculas 3 Cordas

USPIIFSBI-05299

f Resumo






meacutetrica

i I

i







Agradecimentos







lFUSP


outros


Dolares e Stela




Conteuacutedo







241 D - r Par 15


25 (aso 11p O 17





321 (aso D - r Par 29




danais l8

1




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

f Resumo






meacutetrica

i I

i







Agradecimentos







lFUSP


outros


Dolares e Stela




Conteuacutedo







241 D - r Par 15


25 (aso 11p O 17





321 (aso D - r Par 29




danais l8

1




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

i







Agradecimentos







lFUSP


outros


Dolares e Stela




Conteuacutedo







241 D - r Par 15


25 (aso 11p O 17





321 (aso D - r Par 29




danais l8

1




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Agradecimentos







lFUSP


outros


Dolares e Stela




Conteuacutedo







241 D - r Par 15


25 (aso 11p O 17





321 (aso D - r Par 29




danais l8

1




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Conteuacutedo







241 D - r Par 15


25 (aso 11p O 17





321 (aso D - r Par 29




danais l8

1




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4




423 GaioD-rPar 48




5 Conclusatildeo 59





2

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Capiacutetulo 1



















3

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

j



























4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4
















[15]











5

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

i



























6









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4









7

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Capiacutetulo 2


















8

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

I









satildeo


onde




Xi



xi = giJgt (24) m

9

I






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4






podemos escrever










10

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

I








possuem mversa











PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~


4)10 = PiU1 (211)

11





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4





P bullmelXa




Pr+l mer +1tu






a bull (214)



temos

-i D ellrjmXa (216)

12




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4




IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)



ou seja l

i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)


1 Hc = Pacirc1

- L = -ir PiPj (221)2m












13

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

bull

onde

N ppNo ~ o 1 J



natildeo



todo o espaccedilo













deg1

~ (229)2

14









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4









241 D - r Par





D - ~(D - r) = HD + r)






15












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4












componentes



(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)








H = Hr + l1iFa + IJX (234)

16



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4



x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)


0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)





que equivale a








25 Caso NIl = O



17




Usando que



obtemos


onde

t -I 1la = eVcc (248)

Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




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65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







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Entatildeo






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Sabendo que


obtemos








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onde

i Cfltbull vPpPgt

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de (319)


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68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






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72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









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Entatildeo


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~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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Entatildeo

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4




Usando que



obtemos


onde

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Logo


onde FI = eacute~Pi






18







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


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19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4







futuro projeto


4 = MupgtP = O (253)






ou ainda


)3IvD-rfJ o (256)



19



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4



classe



verificamos que













isto significa




20



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4



dri = -eu1(i (261)




onde temos


-f)tDijfdeg[( (263)

Mi = _(O Ilt~)

-fuaj[(~ij _ da ( (264)










21

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

I







15x1 = -l~(t)lJ~ (266)

















22

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Capiacutetulo 3








primeira classe







23












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4












(31) e obtemos

i1J 12S = m ixv911) I di (34)

~







24




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4




por

H = (ppPgPv + m) (36)



e( )[I = 2 P + m = 0 (37)


rp = p2 + m2 = Q (38)




da simetria


admite inversa

25















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4















TIe = 0 (310)


onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L




e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)

26

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

-i

i

onde

~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)

~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)





primaacuteria

Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)



eI=l xmiddotp=J~

obtemos que

uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)





(314)




27

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

- -









onde

h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt

Consideremos agora





(323)

(324)

( -N)JeLel (325)

(



onde

28

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

j







321 Caso D - r Par



Agrave = - N (M) (329)

Mas

l d = M O ~O =Nl O (330)





1gt = JO + f 14fgt (331)


29

~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











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32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



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que equivale a


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que equivale a







34








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WIJtW I) = 0 (368)

onde



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Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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~

~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)



f = Nelv1et (334)






qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)







30

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a






Xltp IVleJtNe x IPI

+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)





-~)-x = O (343) e

31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

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que equivale a


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34








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onde



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Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





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I

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Capiacutetulo 4


















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degenerados











38






















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P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

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LlQep l



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f =

F

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








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1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

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c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







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-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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onde





Entatildeo


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I


dado por



















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06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

-- -


Entatildeo

)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)



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31

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








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onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

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temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


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(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








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I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






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Sabendo que


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i Cfltbull vPpPgt

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de (319)


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1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

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69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

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72

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X



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Logo

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73


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74




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onde














75

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Entatildeo


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77

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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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79

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4

- --






Poreacutem j











V~XltIgt



32

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

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PI

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LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

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Llae~

(424)

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








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52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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55

I

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56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









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que implica em

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61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



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Desta forma






Neste caso usaremos

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M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


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67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


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de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









onde





Entatildeo


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77

I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

- -

- - -




e H = 1 + APR + IX- (3_51)




x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)





De (355) obtemos




33



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

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=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

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oacute cep

Llae~

(424)

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






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Sabendo que


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67

onde

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(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4



Isto resulta em

X-I(V~xllId) =0 (360)



-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy

que equivale a


resultando em




que equivale a







34








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4








11lt) 11 fWfl) (367)




WIJtW I) = 0 (368)

onde



3 = WWfllt) (370)

Entatildeo


WI) 111 1lt1 = O (371)

Logo

35





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4





36

I

i

Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

I

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Capiacutetulo 4


















37













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




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PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

=

oacute cep

Llae~

(424)

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























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--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

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- -- -

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O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

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63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

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73


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-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





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- - _8 cd a -) t )

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77

I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4













degenerados











38






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

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que D





PI

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LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

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(424)

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

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(435)








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1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



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Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

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73


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~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









onde





Entatildeo


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77

I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4






















39








P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +








G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)


40






(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

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=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

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oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


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de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







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Logo

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73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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74




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onde














75

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Entatildeo


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78




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06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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Entatildeo

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

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40






(411)










de momento

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Ionde T = 21lt bull

41


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(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




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LlQep l



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F

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oacute cep

Llae~

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


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UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








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1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

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temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


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(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


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Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










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50


















Ainda temos

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Devemos notar que








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PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























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--










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Mas


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I

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56







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vendo


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























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60

- ---

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Apecircndice A









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que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

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M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

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78




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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

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(411)










de momento

OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)


Ionde T = 21lt bull

41


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

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43

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-p60 = eaPp (428)



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Seodo assimj


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44

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1 IPt = rPpXP =0 (439)

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45

Evoluindo ipt

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c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








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52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

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possui inversa



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M() = 0 (486)






54








Mas


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55

I

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56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

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Apecircndice A









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que implica em

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61

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



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Neste caso usaremos

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-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

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63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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73


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2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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onde





Entatildeo


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77

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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4


ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)



(415)




rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)









42




I

I 1




que D





PI

na =

=

LlQep l



r D shy 1 temos

f =

F

Pll

=

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oacute cep

Llae~

(424)

(425)

43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

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Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

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73


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~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

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74




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onde














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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






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onde usamos (C45)

Entatildeo

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



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81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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2

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43

1




-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








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1 IPt = rPpXP =0 (439)

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45

Evoluindo ipt

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onde

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Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

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46

(449)






Entatildeo


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47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


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Poreacutem de


segue que




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classe


49

~






Entatildeo










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Devemos notar que








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PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























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Mas


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I

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56







F(X) ~ F(X) (493)


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57




















58

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Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

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63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


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V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




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Apecircndice B




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65

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Pp = 6oep ~





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Sabendo que


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68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

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06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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onde usamos (C45)

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



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81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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-p60 = eaPp (428)



~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)


ltPI - U~P) (431)



UiGv = 0 ( 433)

Seodo assimj


nulos




44

onde


(435)








1(11) = 0 (438)


1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

hOl

Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








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52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























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--










possui inversa



ocircpe~ = O



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54








Mas


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I

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56







F(X) ~ F(X) (493)


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57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

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Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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73


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2XP(u)G(u)Ja(u 0)

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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






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onde





Entatildeo


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77

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78




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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

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D59 (1999) 044008
















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84








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1987)





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onde


(435)








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1 IPt = rPpXP =0 (439)

1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X



n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)

45

Evoluindo ipt

(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7

temos


onde

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Cf = -Tshy (444)hOO

c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h


dados por

(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)





(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)


46

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








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52

PIX = pXpVeN

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53

--










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54








Mas


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56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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57




















58

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Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

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11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








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X



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74




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06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

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81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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Evoluindo ipt

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46

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Entatildeo


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47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


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Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


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Devemos notar que








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52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























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--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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I

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56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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tom




57




















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1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














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M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

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63


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I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


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V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




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65

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Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

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Entatildeo






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Sabendo que


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i Cfltbull vPpPgt

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de (319)


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69









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Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

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O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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onde














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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4

(449)






Entatildeo


iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)






(454)

47



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

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Devemos notar que








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52

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54








Mas


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56







F(X) ~ F(X) (493)


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Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























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60

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Apecircndice A









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Neste caso usaremos

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68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




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1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

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69









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2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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Apecircndice C






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72

Ma)

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4



N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)




423 Caso D - r Par






lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)



dos viacutenculos

I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)

48

I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










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50


















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PIX = pXpVeN

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53

--










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54








Mas


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56







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57




















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Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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que implica em

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61

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Desta forma






Neste caso usaremos

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M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

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V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


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V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

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Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






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Sabendo que


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67

onde

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(X)2 X VG - i fW


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de (319)


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68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

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1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

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69









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Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

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70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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78




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2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






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81



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f

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82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)

(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)


Oacute O (463)


Poreacutem de


segue que




1lO = --M~N N O (466)

C2 tlL




classe


49

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Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

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Devemos notar que








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52

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--










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54








Mas


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55

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56







F(X) ~ F(X) (493)


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tom




57




















58

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Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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Temos

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63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


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64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

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Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






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Sabendo que


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67

onde

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68



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1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









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2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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O (B34)

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(B35)

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11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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74




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onde














75

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-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

~






Entatildeo










x = VI1 = O (471)



50


















Ainda temos

51


logo






Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


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68



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1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

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69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


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O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



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I

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Apecircndice C






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72

Ma)

X



Logo







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Logo

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73


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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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Entatildeo


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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Ainda temos

51


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Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


logo


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55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

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Apecircndice A









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que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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O



62


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1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

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Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

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66

Entatildeo






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Sabendo que


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67

onde

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(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


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68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

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69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






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72

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X



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76









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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















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84








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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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Devemos notar que








classe


52

PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










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ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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56







F(X) ~ F(X) (493)


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

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Apecircndice A









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que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


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67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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OI (o) ltlgtv(o) =



73


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2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




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onde














75

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Entatildeo


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I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

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79

os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



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81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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PIX = pXpVeN

~ p VRXPNR+ X VPN~
























53

--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


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tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

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Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


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67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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74




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75

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onde





Entatildeo


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I


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os

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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1

2

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--










possui inversa



ocircpe~ = O



M() = 0 (486)






54








Mas


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I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


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57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

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1



1

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Neste caso usaremos

ll

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Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

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Mas


logo


- ult1








55

I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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74




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onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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I

I

























56







F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

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62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



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Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

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71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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74




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75

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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F(X) ~ F(X) (493)


vendo


(494)






tom




57




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

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Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

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O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

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73


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2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


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77

I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

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(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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4




















58

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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4

1

Capiacutetulo 5

Conclusatildeo


















59























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4























da teoda de cordas

60

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

- ---

lt I I

Apecircndice A









auto-vetor nulo


VlMjlt = 0 (A2)



que implica em

x =V1Ne = 0 (AA)

61

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

- -- -

-- --














O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O

M= [

O



62


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4


V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M

1



1

Desta forma






Neste caso usaremos

ll

M = ( -if12 MI ) M- (O Ma

-~) I (A12)O== _1_ Otilde







Temos

V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-

63


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4


1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2


I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)


l2 12


V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-




64

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Apecircndice B




L=fCd(T






65

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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I


dado por



















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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

- -


Pp = 6oep ~





Pp = 60 e (B6)

Mas



De (B5) temos que

l10 = ecirc~Pp (B9)







66

Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







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Logo

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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









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77

I


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06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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79

os

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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Entatildeo






x (Mr (1l14)

Sabendo que


obtemos








67

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


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-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


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78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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79

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

onde

i Cfltbull vPpPgt

(X)2 X VG - i fW


det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h


de (319)


(B20)M










68



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












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-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


dado por



















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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

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I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4



1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)

1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)


1Il(dl(O) Ii(u) =




1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =

1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))

+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)




69









1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

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(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



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+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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74




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onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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onde





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I


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I I

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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J




2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O

Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)

1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)

70


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








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Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



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73


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74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4


~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I


O (B34)

jfJ ( )T(a)+TX a =0


(B35)

I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)



11 1=T1pXP = 0 (B37)

I

- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)

71

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

~(lt7) IM) _




77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +


(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy






I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4

Apecircndice C






P(ollI9J = 0 (Cl)








72

Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

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74




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onde














75

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76









onde





Entatildeo


- - _8 cd a -) t )

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77

I


dado por



















78




X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





Logo







79

os

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I I

I Jbull





onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




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I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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Ma)

X



Logo







+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)



Logo

OI (o) ltlgtv(o) =



73


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









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77

I


dado por



















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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






I Rev Lett 77 (1996) 2368






Quant Grav 14 (1997) 179




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I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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1

2

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4


bull j





~ ltJI()Ja(a - ) (C13)












2XP(u)G(u)Ja(u 0)

-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)

74




xGp (0) (Cl7)

onde














75

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2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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Bibliografia






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Quant Grav 14 (1997) 179




83

I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

84








I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

3

4




xGp (0) (Cl7)

onde














75

~k(a)i() =










- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per






76









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77

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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






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Quant Grav 14 (1997) 179




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I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

2

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- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)


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76









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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






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Quant Grav 14 (1997) 179




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I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

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Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

82

Bibliografia






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Quant Grav 14 (1997) 179




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I

1

I




D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



85

1

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I


dado por



















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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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Bibliografia






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I

1

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D59 (1999) 044008
















preprlllt 1999

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I i I



1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)

06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)





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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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Bibliografia






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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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onde usamos (C45)

Entatildeo

2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =






-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)

81



+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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Entatildeo

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-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)



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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)






f

(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)

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preprlllt 1999

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1987)





(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273



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particulas e cordas em espaÇos com mÉtricas … · sei' fol'muladas como teorias de...

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